Chapter

20. Índices elementales

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
September 2009
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A. Introducción

20.1 En todos los países, la elaboración de un índice de precios al productor (IPP) de la producción se lleva a cabo en dos (o más) etapas. En la primera etapa de elaboración, se estiman los índices elementales de preciospara los agregados elementales del IPP. En la segunda etapa, y en las siguientes etapas de agregación, se combinan estos índices elementales de precios para obtener índices de nivel superior y se utiliza como ponderación la información acerca del producto neto en cada uno de los agregados elementales. Un agregado elemental consiste en el ingreso que se obtiene a partir de un conjunto pequeño y relativamente homogéneo de productos definido dentro de la clasificación industrial utilizada en el IPP. Dentro de cada agregado elemental, se recopilan muestras de precios, por lo cual los agregados elementales funcionan como estratos a los fines del muestreo.

20.2 Por lo general, no se dispone de datos sobre los ingresos o las cantidades de los distintos bienes y servicios dentro de un agregado elemental. Al no haber ponderaciones de ingresos o cantidades, la mayor parte de la teoría de los números índice descrita en los capítulos 1519 no puede ser aplicada en forma directa. Tal como se señaló en el capítulo 1, el índice elemental de precios es un concepto más primitivo que suele basarse solo en datos sobre los precios.

20.3 En este capítulo se intenta analizar cuál es la fórmula más apropiada para estimar un índice elemental de precios. La calidad de un IPP depende en gran medida de la calidad de los índices elementales, ya que ellos constituyen los cimientos sobre los cuales se construye un IPP.

20.4 Tal como se explica en el capítulo 6, los compiladores tienen que seleccionar productos representativos dentro de un agregado elemental y luego recopilar una muestra de precios para cada uno de esos productos representativos, en general a partir de una muestra de distintos establecimientos. Los productos individuales cuyos precios efectivamente se recopilan se denominan productos muestreados. Sus precios se recopilan a lo largo de sucesivos períodos. Así, los índices elementales de precios se calculan, por lo general, a partir de dos conjuntos de observaciones equiparadas. En este capítulo se supone que no hay observaciones no disponibles ni cambios en la calidad de los productos muestreados, de modo que los dos conjuntos de precios se equiparan perfectamente. El tratamiento de nuevos productos y de productos que desaparecen, así como del cambio de calidad, es un tema aparte y de gran complejidad, que se analiza en detalle en los capítulos 7, 8 y 21 de este Manual.

20.5 Si bien con frecuencia no se dispone de ponderaciones del ingreso ni de la cantidad para los registros de precios elementales individuales, es útil considerar un marco ideal en el que esa información esté disponible. De esto se ocupa la sección B, donde también se analizan los problemas que conlleva la agregación de los registros de precios definidos de manera estricta a lo largo del tiempo. Así, el análisis en la sección B proporciona un objetivo teórico para los índices elementales de precios prácticos elaborados utilizando solo información sobre precios.

20.6 La sección C presenta las principales fórmulas del índice elemental utilizadas en la práctica, y la sección D desarrolla algunas relaciones numéricas entre los distintos índices. Los capítulos 1517 desarrollaron los distintos enfoques de la teoría de los números índice cuando se dispone de información tanto acerca de los precios como de las cantidades. También es posible desarrollar enfoques de muestreo axiomáticos o económicos de los índices elementales; esos tres enfoques se analizan en las secciones E, F y G. La sección H desarrolla un enfoque estadístico sencillo de los índices elementales, similar a un modelo de regresión hedónica muy simplificado. La sección I concluye con una descripción general de los diversos resultados1.

B. Índices elementales ideales

20.7 Los agregados que abarca un índice de precios al consumidor (IPC) o un IPP suelen ordenarse según una jerarquía dispuesta en forma de árbol, tal como la Clasificación del Consumo Individual por Finalidades (CCIF) o la Clasificación Industrial General de Actividades Económicas de las Comunidades Europeas (NACE). Un agregado es un conjunto de transacciones económicas relacionado con un conjunto de productos durante un período de tiempo determinado. Toda transacción económica involucra el cambio de propiedad de un producto (bien o servicio) específico y claramente definido en un lugar y fecha determinados, y tiene una cantidad y un precio. El índice de precios de un agregado se calcula como un promedio ponderado de los índices de precios de los subagregados y la fórmula del índice determina las ponderaciones (producto neto) y el tipo de promedio. Se puede descender dentro de esa jerarquía siempre que la información disponible permita desglosar las ponderaciones. Los agregados en el nivel más bajo se denominan agregadoselementales. Estos se dividen básicamente en dos clases:

  • i) Aquellos para los que se dispone de toda la información detallada de los precios y cantidades.

  • ii) Aquellos para los que los expertos en estadísticas, considerando el costo operativo y la carga que involucra obtener información detallada acerca de los precios y cantidades de todas las transacciones, deciden utilizar una muestra representativa de encuestados o de productos.

Este tema reviste gran importancia práctica. Como los agregados elementales conforman los cimientos del IPC o del IPP, la elección de una fórmula inadecuada en este nivel puede tener consecuencias muy graves para el índice general.

20.8 En esta sección se supondrá que se dispone de información detallada acerca de los precios y cantidades de todas las transacciones referentes al agregado elemental durante los dos períodos en consideración, lo cual nos permitirá definir un agregado elemental ideal. En las secciones siguientes, este fuerte supuesto respecto de la disponibilidad de datos detallados sobre precios y cantidades de las transacciones se volverá más laxo, pero es necesario tener un ideal teórico para los índices elementales prácticos.

20.9 Aunque es posible que el experto en estadísticas no disponga de datos detallados de precios y cantidades, en principio sí están disponibles en algún lugar. Suele ocurrir que en el nivel del encuestado (es decir, en el nivel de la empresa) se lleva a cabo una agregación parcial de la información de las transacciones individuales, por lo general de la forma más conveniente para el sistema de información financiera o administrativa del encuestado. Este nivel de información determinado por el encuestado se podría llamarnivel de información básica. Sin embargo, esta no es necesariamente la información más detallada que se le puede proporcionar al experto en estadísticas de precios. Siempre existe la posibilidad de solicitar al encuestado información con un mayor nivel de desagregación. Por ejemplo, en lugar de datos mensuales, es posible solicitar datos semanales o, si corresponde, pueden solicitarse datos regionales en lugar de globales, o bien pueden solicitarse datos según una clasificación de productos más detallada. La única barrera natural que impide continuar la desagregación es el nivel de la transacción individual2.

20.10 Ahora es necesario analizar un problema que surge cuando se dispone de datos detallados de las transacciones individuales. Este puede surgir en el nivel del establecimiento o incluso para series de producción por separado. Recordemos que en el capítulo 15 se presentaron los índices de precios y cantidades, P(p0, p1, q0, q1) y Q (p0, p1, q0, q1). Estos índices (bilaterales) de precios y cantidades desglosaban el cociente de valores V1/V0 en una parte correspondiente a la variación de precios, P(p0, p1, q0, q1) y otra correspondiente al cambio de cantidades, Q(p0, p1, q0, q1). En este marco, se dio por sentado que los precios y cantidades del producto i en el período t, pityqit, estaban bien definidos. No obstante, estas definiciones no son sencillas, pues durante el período t diferentes consumidores pueden comprar el mismo producto a precios distintos. De manera similar, consideremos las ventas de un establecimiento específico,donde el mismo producto puede venderse a precios muy distintos a lo largo del período. Así, antes de poder aplicar un índice de precios bilateral tradicional de la forma P(p0, p1, q0, q1), contemplada en capítulos anteriores de este Manual, debe resolverse un importante problema de agregación temporal para obtener los precios básicos pit y las cantidades qit, componentes de los vectores de precios p0 y p1 y de los vectores de cantidades q0 y q1. Walsh3 (1901, 1921a) y Davies (1924, 1932) sugirieron una solución para este problema de agregación temporal en el contexto de un IPC: la cantidad adecuada en esta primera etapa de agregación es la cantidad total comprada del producto definido de manera estricta, y el precio correspondiente es el valor de las compras de este producto divido por la cantidad total comprada, que da como resultado un valor unitario definido de manera estricta. El valor unitario adecuado en el contexto del IPP es el valor del ingreso dividido por la cantidad total vendida. Más recientemente, otros investigadores adoptaron la solución de Walsh y Davies al problema de agregación temporal4. Cabe notar que esta solución al problema de agregación temporal tiene las siguientes ventajas:

  • i) El agregado de cantidad es intuitivamente viable, pues es la cantidad total de los productos definidos de manera estricta vendida por los establecimientos durante el período considerado.

  • ii) La multiplicación del precio por la cantidad es igual al ingreso o valor total vendido por el establecimiento durante el período considerado.

Esta solución al problema de agregación temporal se adoptará como un concepto válido para el precio y la cantidad en esta primera etapa de agregación.

20.11 Una vez elegida una definición teórica adecuada para el precio y cantidad de un producto en el nivel más bajo de agregación (es decir, un valor unitario definido de manera estricta y la cantidad total de ese producto vendida por el establecimiento), es necesario considerar cómo agregar estos precios y cantidades elementales definidos de manera estricta en un agregado elemental general. Supongamos que en esta categoría elemental escogida existen M artículos o productos específicos en el nivel más bajo. Denominemos qmt a la cantidad del producto m en el período t y pmt al correspondiente valor unitario agregado temporalmente para t = 0,1 y para los productos m = 1,2,…,M. Definamos los vectores de cantidades y precios del período t como qt[q1t,q2t,,qMt]ypt[p1t,p2t,,pMt] para t = 0,1. Ahora debemos elegir una fórmula de número índice teóricamente ideal P(p0, p1, q0, q1) que agregue los precios de productos individuales para formar un relativo de precios agregado general para los M productos en el agregado elemental escogido. Sin embargo, este problema de elegir una forma funcional para P(p0, p1, q0, q1) es idéntico al problema general de los números índice que se abordó en los capítulos 1517. En ellos se analizaron cuatro enfoques distintos de la teoría de los números índice, que, según la perspectiva, señalaban como la mejor a distintas fórmulas específicas de números índice. Desde la perspectiva de los enfoques de canasta fija, se concluyó que los índices de precios de Fisher (1922) y de Walsh (1901), PF y PW, eran los mejores. Desde la perspectiva del enfoque de las propiedades, el índice de Fisher resultó el mejor. Desde la perspectiva del enfoque estocástico de la teoría de los números índice, la fórmula de número índice de Törnqvist-Theil (1967), PT, surge como la mejor. Por último, desde la perspectiva del enfoque económico de la teoría de los números índice, el índice de precios de Walsh, PW, el índice ideal de Fisher, PF, y la fórmula de número índice de Törnqvist-Theil, PT, se consideraron igualmente recomendables. También se demostró que estas tres fórmulas de los números índice están numéricamente muy próximas entre sí, por lo que no importa demasiado cuál de estos índices se elija5. Así se acepta que la fórmula de número índice elemental teóricamente ideal es una de las tres fórmulas PF(p0, p1, q0, q1), PW(p0, p1, q0, q1) o PT(p0, p1, q0, q1), donde la cantidad del producto m en el período t, qmt, es la cantidad total de ese producto definido de manera estricta, que produjo el establecimiento durante el período t, y el precio correspondiente al producto m es pmt, el valor unitario agregado temporalmente para t = 0,1 y para los productos m = 1,….,M.

20.12 En la próxima sección se definen varios índices elementales prácticos de precios. Estos índices no tienen ponderaciones de cantidades y, en consecuencia, son funciones solo de los vectores de precios p0 y p1, que contienen valores unitarios agregados temporalmente para los M productos del agregado elemental para los períodos 0 y 1. De ese modo, cuando una fórmula de número índice elemental práctica, por ejemplo, PE(p0, p1), es comparada con un índice elemental ideal de precios, como el índice de precios de Fisher PF(p0, p1, q0, q1), el resultado obvio es que PE difiere de PF porque los precios no se ponderan según su importancia económica en la fórmula elemental práctica. Llamaremos a esta diferencia entre ambas fórmulas de números índice error de aproximación de la fórmula.

20.13 Los índices elementales prácticos están sujetos a otros dos tipos de error:

  • En algunos casos, la oficina de estadística puede no ser capaz de recopilar información acerca de todos los M precios del agregado elemental; es decir, solo puede recopilar una muestrade los M precios. La divergencia resultante entre el agregado elemental incompleto y el índice elemental teóricamente ideal se denomina error de muestreo.

  • Aun cuando la oficina de estadística recopile el precio de un producto definido de manera estricta, este precio puede no ser igual al valor unitario agregado temporalmente adecuado desde la perspectiva teórica. Este uso de un precio no adecuado en el nivel de agregación más bajo da lugar al error de agregación temporal.

20.14 En la sección G se analiza un marco muestral para la recopilación de precios que puede reducir los tres tipos de error mencionados. En la sección C se definen las cinco principales fórmulas elementales de números índice, y en la sección D se desarrollan varias relaciones numéricas entre estos cinco índices. Las secciones E y F desarrollan los enfoques axiomático y económico de los índices elementales, y las cinco fórmulas elementales principales que se utilizan en la práctica se estudiarán bajo la perspectiva de estos enfoques.

C. Índices elementales utilizados en la práctica

20.15 Supongamos que hay M productos específicos o de nivel inferior en la categoría elemental elegida. Denotemos al precio del producto m en el período tcomo pmt para t = 0,1 y para los productos m = 1,2,…,M. Definamos al vector de precios del período t como pt[p1t,p2t,,pmt] para t = 0,1.

20.16 La primera fórmula de número índice elemental de uso muy generalizado se debe al economista francés Dutot (1738):

Así, el índice elemental de precios de Dutot es igual a la media aritmética de los M precios del período 1 dividida por la media aritmética de los M precios del período 0.

20.17 La segunda fórmula de número índice elemental muy utilizada corresponde al economista italiano Carli (1804):

Por lo tanto, el índice elemental de precios de Carli es igual a la media aritmética de los M cocientes de precios o relativos de precios, pm1pm0, de los productos elementales.

20.18 La tercera fórmula de número índice elemental de uso muy generalizado se atribuye al economista inglés Jevons (1863):

Así, el índice elemental de precios de Jevons es igual a la media geométrica de los M cocientes de precios o relativos de precios de los productos, pm1pm0..

20.19 La cuarta fórmula de número índice elemental, PH, es el promedioarmónico de los M relativos de precios de los productos, y los primeros en proponerla como fórmula de número índice fueron Jevons (1865, pág. 121) y Coggeshall (1887):

20.20 Por último, la quinta fórmula de número índice elemental es la media geométrica de la fórmula de Carli y la fórmula armónica; o sea, la media geométrica de las medias aritmética y armónica de losMrelativos de precios:

Esta fórmula de número índice fue propuesta en primera instancia por Fisher (1922, pág. 472) como su fórmula 101. Fisher también advirtió que, empíricamente para su conjunto de datos, PCSWD se aproximaba mucho al índice de Jevons PJ y que estos dos índices eran sus mejores fórmulas de número índice no ponderadas. Más recientemente, Carruthers, Sellwood y Ward (1980, pág. 25) y Dalén (1992a, pág. 140) también propusieron PCSWD como una fórmula de número índice elemental.

20.21 Una vez definidas las fórmulas elementales utilizadas con más frecuencia, cabe preguntarse cuál es la mejor. Desde luego, esta pregunta no puede responderse antes de definir las propiedades deseables para los índices elementales. Esto se lleva a cabo de manera sistemática en la sección E. No obstante, en esta sección se menciona una característica deseable para un índice elemental: la propiedad de reversión temporal, mencionada en el capítulo 15. En este contexto, esta propiedad para el índice elemental P(p0, p1) es:

20.22 Según esta propiedad, si los precios del período 2 se revierten a los precios iniciales del período 0, el producto de la variación de precios entre los períodos 0 y 1, P(p0, p1), multiplicado por la variación de precios entre los períodos 1 y 2, P(p1, p0), debería ser igual a uno; es decir que, en estas circunstancias, el índice debería terminar donde comenzó. Se puede verificar que los índices de Dutot, de Jevons y de Carruthers, Sellwood y Ward, PD, PJ y PCSWD, satisfacen la propiedad de reversión temporal, algo que no hacen el índice de Carli y el índice armónico, PC y PH. De hecho, en lo relativo a estas propiedades, estos dos últimos índices presentan el siguiente sesgo:

verificándose desigualdades estrictas en las fórmulas (20.7) y (20.8), siempre que el vector de precios del período 1, p1, no sea proporcional al vector de precios p0 del período 06. Así, el índice de Carli suele presentar un sesgo al alza, mientras que el índice armónico suele estar sesgado a la baja. Fisher (1922, págs. 66 y 383) parece haber sido el primero en establecer el sesgo al alza del índice de Carli7 e hizo las siguientes observaciones acerca de su utilización por parte de las oficinas de estadística:

En áreas ajenas a los números índice, suele ser la mejor forma de calcular un promedio. Sin embargo, debe advertirse que la media aritmética simple produce uno de los peores números índice. Y, si este libro no tiene más efecto que contribuir al abandono del tipo aritmético simple de números índice, su publicación habrá sido útil (Irving Fisher, 1922, págs. 29–30).

20.23 En la próxima sección se establecen algunas relaciones numéricas entre los cinco índices elementales definidos aquí. En la sección subsiguiente se desarrolla una lista más exhaustiva de las propiedades deseables para los índices elementales y se evalúan las cinco fórmulas elementales según estas propiedades o características.

D. Relaciones numéricas entre los índices elementales utilizados con frecuencia

20.24 Puede demostrarse8 que los índices elementales de precios de Carli, de Jevons y el índice armónico satisfacen las siguientes desigualdades:

es decir, el índice armónico es siempre igual o menor al índice de Jevons, el cual, a su vez, es igual o menor al índice de Carli. De hecho, la fórmula (20.9) se cumplirá con desigualdad estricta siempre que el vector de precios del período 0, p0, no sea proporcional al vector de precios del período 1, p1.

20.25 Las desigualdades de la fórmula (20.9) no indican por cuánto superará el índice de Carli al índice de Jevons ni por cuánto superará el índice de Jevons al índice armónico. Por lo tanto, en el resto de esta sección se desarrollarán algunas relaciones aproximadas entre los cinco índices definidos en la sección anterior, que brindarán cierta orientación práctica acerca de las magnitudes relativas de cada uno de los índices.

20.26 La primera relación aproximada que se deriva es la que existe entre el índice de Carli, PC, y el índice de Dutot, PD. Para cada período t, definamos la media aritmética de losMprecios correspondientes a ese período de la siguiente manera:

Ahora definamos la desviación multiplicativa delm- ésimo precio en el períodotrelativa al precio promedio en ese período, emt, de la siguiente manera:

Cabe señalar que las fórmulas (20.10) y (20.11) implican que las desviaciones emt suman cero en cada período; es decir:

Obsérvese que el índice de Dutot se puede expresar como el cociente de los precios medios, p1*p0*; es decir:

Al sustituir la fórmula (20.11) en la definición del índice de Jevons, fórmula (20.3) se obtiene:

donde et[e1t,,emt] para t = 0 y 1, y la función f se define de la siguiente manera:

Desarrollemos f(e0, e1) mediante una aproximación de Taylor de segundo orden en torno a e0 = 0M y e1 = 0M.

Utilizando la fórmula (20.12), se puede verificar9 que se obtiene la siguiente relación aproximada de segundo orden entre PJ y PD:

donde var (et) es la varianza de las desviaciones multiplicativas del período t; es decir, para t = 0,1:

dado que et* = 0 utilizando la ecuación (20.12)

20.27 En condiciones normales10, es probable que la varianza de las desviaciones de los precios respecto de sus medias en cada período sea aproximadamente constante; bajo estas condiciones, el índice de precios de Jevons es una aproximación de segundo orden al índice de precios de Dutot. A excepción de la fórmula de Dutot, los otros cuatro índices elementales definidos en la sección C son funciones de los precios relativos de losM productos agregados. Este hecho es utilizado para calcular algunas relaciones aproximadas entre estos cuatro índices elementales. Por consiguiente, definamos el m-ésimo relativo de precios como:

20.28 Definamos la media aritmética de los m relativos de precios como:

donde la última igualdad se desprende de la definición del índice de Carli en la fórmula (20.2). Por último, se define la desviación emdel m-ésimo relativo de precios rmrespecto de la media aritmética de los Mrelativos de precios r* de la siguiente manera:

20.29 Cabe notar que las fórmulas (20.19) y (20.20) implican que las desviaciones em suman cero; es decir:

Ahora se sustituye la fórmula (20.20) en las definiciones de PC, PJ, PH y PCSWD, fórmulas (20.2)(20.5), a fin de obtener las siguientes representaciones de estos índices en términos del vector de desviaciones, e ≡ [e1,…,eM]:

donde la última ecuación en las fórmulas (20.22)(20.25) sirve para definir las funciones de desviación, fC(e), fJ(e), fH(e) y fCSWD(e). Las aproximaciones de Taylor de segundo orden a cada una de estas funciones en torno del punto e = 0M son:

donde se utiliza repetidas veces la fórmula (20.21) para derivar estas aproximaciones11. De ese modo, en el segundo orden, el índice de Carli PC superará las aproximaciones de segundo orden de los índices de Jevons y de Carruthers, Sellwood y Ward, PJ y PCSWD, por (½)r*var(e), que es un medio de la varianza de los M relativos de precios pm1/pm0. De manera muy similar al segundo orden, el índice armónico PH está por debajo de los índices de Jevons y de Carruthers, Sellwood y Ward, PJ y PCSWD, por un medio de la varianza de los M relativos de precios pm1pm0.

20.30 Por consiguiente, desde la perspectiva empírica se espera que los índices de Jevons y de Carruthers, Sellwood y Ward se aproximen mucho entre sí. Utilizando la fórmula que se obtuvo en la aproximación anterior, (20.16), se espera que el índice de Dutot, PD, también se acerque bastante a PJ y PCSWD, con algunas fluctuaciones a lo largo del tiempo causadas por los cambios en la varianza de los vectores de desviación de los períodos 0 y 1, e0 y e1. Así, se espera que estos tres índices elementales arrojen resultados numéricos similares en aplicaciones empíricas. Por otro lado, puede esperarse que el índice de Carli quede sustancialmente porencima de estos tres índices, y que el grado de divergencia aumente junto con la varianza de los M relativos de precios. De modo similar, se espera que el índice armónico quede sustancialmente por debajo de los tres índices del medio, y que el grado de divergencia aumente a medida que la varianza de los M relativos de precios aumenta.

E. Enfoque axiomático de los índices elementales

20.31 Recordemos que en el capítulo 16 se desarrolló el enfoque axiomático para los índices de precios bilaterales, P(p0, p1, q0, q1). En este capítulo, el índice elemental de precios P(p0, p1) depende únicamente de los vectores de precios de los períodos 0 y 1, p0 y p1, y no de los vectores de cantidades de esos períodos, q0 y q1. Un método para obtener nuevas propiedades (P) o axiomas para un índice elemental consiste en observar los 20 axiomas enumerados en el capítulo 16 para los índices de precios bilaterales, P(p0, p1, q0, q1) y adaptarlos al contexto actual; es decir, utilizar las propiedades bilaterales viejas para P(p0, p1, q0, q1), que no dependen de los vectores de cantidades q0 y q1, como propiedades para un índice elemental P(p0, p1)12.

20.32 Los primeros ocho axiomas o propiedades son razonablemente directos y no suscitan controversia alguna:

P1: Continuidad: P(p0, p1) es una función continua de los M precios positivos del período 0, p0[p10,,pM0] y los M precios positivos del período 1, p1[p11,,pM1].

P2: Identidad: P(p,p) = 1; es decir, si el vector de precios del período 0 equivale al vector de precios del período 1, el índice es igual a 1.

P3: Monotonicidad respecto de los precios del período corriente: P(p0, p1) < P(p0, p) si p1 < p; es decir, si aumenta cualquier precio del período 1, también aumenta el índice de precios.

P4: Monotonicidad respecto de los precios del período base: P(p0, p1) > P(p, p1) si p0 < p; es decir, si aumenta cualquier precio del período 0, el índice de precios disminuye.

P5: Proporcionalidad respecto de los precios del período corriente: P(p0, λp1) = λP(p0, p1) si λ > 0; es decir, si se multiplican todos los precios del período 1 por un número positivo λ, el índice de precios inicial también se multiplica por λ.

P6: Proporcionalidad inversa respecto de los precios del período base: Pp0, p1) = λ–1P(p0, p1) si λ > 0; es decir, si se multiplican todos los precios del período 0 por un número positivo λ, el índice de precios inicial se multiplica por 1/λ.

P7: Propiedad del valor medio: minm{pm1pm0:m=1,,M}P(p0,p1)maxm{pm1pm0:m=1,,M}; es decir, el índice de precios se ubica entre el menor y el mayor de los relativos de precios.

P8: Tratamiento simétrico de establecimientos/productos: P(p0, p1) = P(p0*,p1*), donde p0* y p1* denotan la mismapermutación de los componentes de p0 y p1; es decir, si hay un cambio en el orden de los establecimientos de los cuales se obtienen los registros de precios (o los productos dentro de los establecimientos) para los dos períodos, entonces el índice elemental permanece igual.

20.33 Eichhorn (1978, pág. 155) demostró que las propiedades P1, P2, P3 y P5 implican la propiedad P7, por lo que no todas las propiedades mencionadas en los párrafos anteriores son independientes desde una perspectiva lógica. Las siguientes propiedades resultan más controvertidas y no necesariamente las aceptan todos los expertos en estadísticas de precios.

P9: Propiedad de rebote de precios: P (p0, p1) = P(p0*, p1**), donde p0* y p1** denotan permutaciones posiblemente distintas de los componentes de p0 y p1; es decir, si se modifica el orden de los registros de precios de ambos períodos aun de maneras distintas, el índice elemental permanece igual.

20.34 Es evidente que, la propiedad P8 es un caso especial de la propiedad P9; en la propiedad P8 las dos permutaciones del orden inicial de los precios están restringidas a ser iguales. Así, P9 implica P8. La propiedad P9 está tomada de Dalén (1992a, pág. 138), que la justificó sugiriendo que el índice de precios no debería cambiar si los precios de los puntos de venta (en el caso del IPC) “rebotan” de tal manera que los puntos de venta solo intercambian precios entre sí durante ambos períodos. Si bien esta propiedad tiene cierto atractivo desde el punto de vista intuitivo, no es compatible con la idea de que los precios en los puntos de venta deben equipararse uno a uno en los dos períodos. Si los agregados elementales contienen miles de productos específicos que no difieren solo en cuanto al punto de venta, mantener esta propiedad aún tiene menos sentido.

20.35 La siguiente propiedad también fue propuesta por Dalén (1992a) en el contexto de los índices elementales:

P10: Propiedad de reversión temporal: P(p1,p0) = 1/P (p0, p1); es decir, si se intercambian los datos correspondientes a los períodos 0 y 1, el índice de precios resultante tendría que ser igual al recíproco del índice de precios original.

20.36 Dado que muchos expertos en estadísticas de precios aprueban el uso del índice de precios de Las peyres en el contexto de los índices bilaterales y este índice no satisface la propiedad de reversión temporal, es evidente que no todos los expertos consideran a la propiedad de reversión temporal como una propiedad fundamental que debe satisfacerse en el contexto de los índices elementales. Sin embargo, muchos otros expertos en estadísticas de precios creen que esta propiedad es fundamental, pues resulta difícil aceptar un índice que arroje respuestas distintas al revertir el orden temporal.

P11: Circularidad: P(p0, p1)P(p1, p2) = P(p0, p2); es decir que el índice de precios que va del período 0 al período 1, multiplicado por el índice de precios que va del período 1 al 2, es igual al índice de precios que va del período 0 al 2 directamente.

20.37 Las propiedades de circularidad e identidad implican la propiedad de reversión temporal (basta definir p2 = p0). Así, la propiedad de circularidad es en esencia una generalización de la propiedad de reversión temporal, por ello es probable que los expertos en estadísticas de precios que no aceptan esta propiedad tampoco acepten aquella. Sin embargo, si no hay desventajas evidentes en aceptar la propiedad de circularidad, esta parece ser una propiedad muy deseable: es una generalización de una propiedad que se cumple para un único relativo de precios.

P12: Conmensurabilidad:

es decir, si las unidades de medida para cada producto en cada establecimiento cambian, el índice elemental permanece igual.

20.38 En el contexto de índices bilaterales, la mayoría de los expertos en estadísticas de precios acepta la validez de esta propiedad. Sin embargo, en el contexto de índices elementales, esta propiedad es más controvertida Si los M productos del agregado elemental son homogéneos, tiene sentido medir todos los productos en las mismas unidades. La esencia de la homogeneidad radica en la posibilidad de sumar las cantidades en una forma que tenga sentido económico. Así, si se cambia la unidad de medida, la propiedad P12 debería restringir a todos los λm a ser el mismo número (por ejemplo, λ), por lo que la propiedad pasa a ser:

Esta propiedad modificada P12 se satisface si se satisfacen las propiedades P5 y P6. Por ello, si los productos del agregado elemental son muy homogéneos, la propiedad P12 se vuelve innecesaria.

20.39 No obstante, en la práctica suele haber miles de productos en cada agregado elemental, y no es posible garantizar que se cumpla la hipótesis de homogeneidad de los productos. En estas circunstancias, es importante que el índice elemental satisfaga la propiedad de conmensurabilidad, pues las unidades de medida de los productos heterogéneos del agregado elemental son arbitrarias, y, por lo tanto, el experto en estadísticas de precios puede modificar el índice simplemente modificando las unidades de medida de algunos productos.

20.40 Esto completa la lista de las propiedades para un índice elemental. Aún nos queda evaluar cuántas propiedades satisface cada uno de los cinco índices elementales definidos en la sección C.

20.41 El índice elemental de Jevons, PJ, satisface todas las propiedades, por lo cual resulta el mejor en términos del enfoque axiomático de los índices elementales.

20.42 El índice de Dutot, PD, satisface todas las propiedades con la importante excepción de la propiedad de conmensurabilidad P12. La heterogeneidad de los productos del agregado elemental constituye un problema bastante grave, y los expertos en estadísticas de precios deben ser cuidadosos al utilizar este índice en estas condiciones ya que la deficiencia es bastante seria.

20.43 La media geométrica del índice elemental de Carli y el índice elemental armónico, PCSWD, satisface todas las propiedades menos las propiedad de rebote de precios P9 y la de circularidad P11. El hecho de que no satisfaga esas dos propiedades no la descalifica, por lo que los expertos en estadísticas de precios podrían utilizarla si, por alguna razón, decidieran no utilizar la fórmula de Jevons. En especial se ajustaría a quienes prefieren el enfoque de las propiedades al momento de elegir una fórmula de índice. Como se observó en la sección D, PCSWD se acerca mucho numéricamente a PJ.

20.44 El índice elemental de Carli y el índice elemental armónico, PC y PH, no satisfacen la propiedad de rebote de precios P9, la propiedad de reversión temporal P10 ni la propiedad de circularidad P11, pero sí satisfacen las demás propiedades. El hecho de que no satisfagan las propiedades P9 y P11 no la descalifica, pero que no cumplan la propiedad de reversión temporal P10 es bastante grave, por lo que los expertos en estadísticas de precios deberían ser cautelosos al utilizar estos índices.

F. Enfoque económico de los índices elementales

20.45 Retomemos la notación y el análisis de la sección B. En primer lugar, es preciso recordar algunos de los aspectos básicos del enfoque económico del capítulo 17. Este enfoque permite identificar las funciones agregadoras que representan la tecnología de producción y los supuestos de comportamiento de los agentes económicos implícitos en distintas fórmulas. Cuanto más realistas sean las funciones agregadoras, mayor será el respaldo que otorgan a la fórmula de número índice correspondiente. El enfoque económico ayuda a identificar cuál debería ser el índice objetivo.

20.46 Supongamos que cada establecimiento que elabora productos del agregado elemental cuenta con un conjunto de insumos y que la función agregadora linealmente homogénea f(q) describe qué vector de producciónq ≡ [q1,…,qM] puede ser producido a partir de los insumos. Además, supongamos un comportamiento maximizador de los ingresos en cada período por parte de cada establecimiento. Asimismo, como se señaló en el capítulo 17, se observa que ciertas formas funcionales específicas para la función agregadora f(q) o su función dual del ingreso unitario R(p)13 conducen a formas funcionales específicas del índice de precios, P(p0, p1, q0, q1), siendo:

20.47 Supongamos que las funciones agregadoras f de los establecimientos se definen de la siguiente manera14:

donde las αm son constantes positivas. Así, bajo estos supuestos, se observa que la ecuación (20.31) se convierte en15:

y los vectores de cantidades de los productos elaborados durante los dos períodos deben ser proporcionales; es decir:

20.48 Puede verse en la primera ecuación de la fórmula (20.33), que el índice de precios verdadero del producto, R(p1)/R(p0), dados los supuestos de la fórmula (20.32) sobre la función agregadora f, es igual al índice de precios de Laspeyres, PL(p0, p1, q0, q1) ≡ p1q0/p0·q0. La fórmula de Paasche PP(p0, p1, q0, q1) ≡ p1q1/p0q1 se justifica de manera similar mediante la fórmula (20.34).

20.49 Así, la fórmula (20.32) sobre f permite explicar los índices de Laspeyres y de Paasche como los agregados elementales “verdaderos” desde la perspectiva del enfoque económico de los índices elementales. No obstante, esto representa un supuesto restrictivo al menos desde el punto de vista económico, a saber, que las cantidades relativas producidas no varían con los precios relativos. Es posible adoptar otros supuestos menos restrictivos con respecto a la tecnología. Por ejemplo, como se muestra en la sección B.3 del capítulo 17, ciertos supuestos sobre la tecnología justifican el índice de precios de Törnqvist, PT, cuyo logaritmo se define como:

20.50 Supongamos ahora que los ingresos que se obtienen por los productos son proporcionales para cada producto a lo largo de los dos períodos, de modo que:

Bajo esas condiciones, las participaciones en el ingreso del período base, sm0, serán iguales a las participaciones en el ingreso del período 1 correspondientes, sm1, y también a la función β(m) correspondiente; es decir, la fórmula (20.36) implica que:

Bajo esas condiciones, el índice de Törnqvist se reduce al siguiente índice de Jevons ponderado:

20.51 Así, si los precios relativos de los productos en un índice de Jevons se ponderan utilizando ponderaciones proporcionales a las participaciones en el ingreso del período base en la clase del producto (que son iguales a las del período corriente), el índice de Jevons definido por la ecuación (20.38) es igual a la siguiente aproximación al índice de Törnqvist:

20.52 En la sección G, el enfoque del muestreo explica cómo, con distintos diseños de muestra, las fórmulas elementales de números índice tienen sistemas de ponderación implícitos. Son de especial interés los diseños de muestra en los que los productos se muestrean con probabilidades proporcionales a las participaciones en la cantidad o en el ingreso de alguno de los dos períodos. En esas circunstancias se introducen ponderaciones de cantidades en forma implícita, a fin de que el índice elemental muestral sea una estimación de un índice ponderado en función de la población. Seguidamente, el enfoque económico proporciona fundamentos para decidir si los supuestos económicos que subyacen a las estimaciones de la población son razonables. Por ejemplo, los resultados anteriores indican que el índice elemental muestral de Jevons puede ser justificado como una aproximación a un índice de precios de Törnqvist subyacente para un agregado elemental homogéneo en virtud de un esquema de muestreo de precios con probabilidades de selección proporcionales a las participaciones en el ingreso del período base.

20.53 Se describieron sucintamente dos supuestos: el supuesto de que los vectores de cantidades correspondientes a los dos períodos bajo análisis son proporcionales, fórmula (20.34), y el supuesto de que los ingresos son proporcionales a lo largo de los dos períodos, fórmula (20.36).

20.54 La elección entre fórmulas depende no solo del diseño muestral, sino también de los méritos relativos de los supuestos de cantidades proporcionales frente a los supuestos de ingresos proporcionales. Algunas consideraciones similares se aplican a la teoría económica del IPC (o de un IPP de insumos intermedios), a excepción de que, en el caso del IPC, la función agregadora describe las preferencias de un comprador que minimiza los costos. En este contexto, los teóricos de los números índice han debatido durante muchotiempo los méritos relativos del supuesto de cantidades proporcionales frente al supuesto de gastos proporcionales. Jevons (1865, pág. 295) y Ferger (1931, pág. 39; 1936, pág. 271) son algunos de los autores que creyeron que el supuesto de gastos proporcionales tenía mayor probabilidad de comprobarse empíricamente. Estos primeros autores no contaban aún con el enfoque económico de la teoría de los números índice pero comprendían intuitivamente, como Pierson (1895, pág. 332), que había efectos de sustitución y que, por lo tanto, era más razonable esperar que se cumpliera el supuesto de gastos proporcionales que el de cantidades proporcionales. Esto ocurre porque los consumidores minimizadores del costo comprarán una menor cantidad de productos muestreados con aumentos de precios superiores al promedio; así puede esperarse que las cantidades disminuyan, y no que se mantengan constantes. Esa disminución en las cantidades, combinada con el aumento de los precios, hace que el supuesto de gastos constantes sea más sostenible. Sin embargo, esto se aplica a la teoría económica de los IPC. En el capítulo 17, la teoría económica de los IPP sostuvo que los establecimientos maximizadores del ingreso producen una mayor cantidad de los productos muestreados cuyos aumentos de precios son superiores al promedio, por lo que los supuestos de ingresos constantes pierden sustento. No obstante, la teoría presentada en el capítulo 17 también indicó que el progreso técnico era un factor que agregaba complejidad y que en gran medida estaba ausente en el contexto de los consumidores.

20.55 La variación proporcional de las cantidades ofrecidas a lo largo del tiempo es consistente con una tecnología de Leontief, y el uso de un índice de Laspeyres es perfectamente compatible con el enfoque económico de los índices de precios del producto. Por otro lado, si se define que las probabilidades utilizadas para el muestreo de precios del índice de Jevons son la media aritmética de las participaciones de los productos en el ingreso de los períodos 0 y 1, y se utilizan valores unitarios definidos de manera estricta como concepto de precio, el índice de Jevons ponderado pasa a ser una clase de índice elemental ideal, como los examinados en la sección B. Por lo general, los sesgos introducidos por la aplicación de una fórmula no ponderada no pueden evaluarse con exactitud a menos que sea posible obtener información sobre las ponderaciones de ambos períodos.

G. Enfoque muestral de los índices elementales

20.56 Ahora es posible mostrar cómo varias fórmulas elementales pueden estimar esta fórmula de Laspeyres en virtud de distintos supuestos acerca del muestreo de precios.

20.57 Para respaldar el empleo de la fórmula elemental de Dutot, tomemos el valor esperado del índice de Dutot cuando se realiza un muestreo con probabilidades de inclusión de productos del período base iguales a la cantidad de ventas del producto m en el período base relativas a la cantidad de ventas totales de todos los productos en la clase de producto correspondiente en el período base. Supongamos queestas definiciones requieren que todos los productos en la clase de producto tengan la misma unidad de medida16.

20.58 El valor esperado del índice de Dutot muestral es17:

que es el conocido índice de Laspeyres:

20.59 Ahora es fácil ver de qué forma este diseño muestral puede ser transformado en un marco muestral riguroso para obtener muestras de los precios de la clase de producto en cuestión. Si los precios de los productos en la clase de producto fueran muestreados proporcionalmente a sus probabilidades en el período base, la fórmula del índice de Laspeyres (20.41) podría estimarse mediante un índice de Dutot ponderado en función de las probabilidades, definidas como sus participaciones en las cantidades del período base. En general, con un esquema de muestreo adecuado, el uso de la fórmula de Dutot en el nivel elemental de agregación para productos homogéneos puede ser perfectamente compatible con el concepto de índice de Laspeyres. En otras palabras, dado este diseño muestral, la esperanza del Dutot de la muestra es igual al Laspeyres de la población.

20.60 La fórmula de Dutot también puede ser coherente con un concepto de índice de Paasche en el nivel elemental de agregación. Si el muestreo se realiza con probabilidades de inclusión de artículos del período 1, la esperanza del Dutot muestral es equivalente a:

que es la conocida fórmula de Paasche:

20.61 En otras palabras, con este diseño muestral, la esperanza del Dutot muestral es igual al índice de Paasche de la población. También en este caso, es fácil ver de qué forma es posible transformar este diseño muestral en un marco muestral riguroso para obtener muestras de precios en la clase de producto en cuestión. Si los precios de los productos en la clase de productos se muestrearan proporcionalmente respecto a sus probabilidades en el período 1, la fórmula del índice de Paasche (20.43) podría estimarse mediante el índice de Dutot ponderado en función de las probabilidades. En general, con un marco muestral adecuado, el uso de la fórmula de Dutot en el nivel elemental de agregación (para un agregado elemental homogéneo) puede ser perfectamente compatible con el concepto de índice de Paasche18.

20.62 En lugar de utilizar las representaciones de canasta fija para los índices de Laspeyres y de Paasche, es posible usar las representaciones de participación en el ingreso para los dos índices junto con las participaciones en el ingreso sm0 o sm1 como ponderaciones de probabilidad para los relativos de precios. En el contexto de un muestreo proporcional a las participaciones en el ingreso del período base, la esperanza del índice de Carli es:

que es el índice de Laspeyres de la población. Claramente, la fórmula (20.44) no requiere el supuesto de productos homogéneos como lo hacen las fórmulas (20.40) y (20.42). Por otro lado, de manera análoga, puede demostrarse que, con un muestreo proporcional a las participaciones en el ingreso del período 1, la esperanza del recíproco del índice armónico muestral es igual al recíproco del índice de Paasche de la población y que, por lo tanto, la esperanza del índice armónico muestral:

será igual al índice de Paasche.

20.63 Los resultados expuestos indican que el índice elemental de Dutot muestral puede explicarse como una aproximación a un índice de precios subyacente de Paasche o de Laspeyres de la población para un agregado elemental homogéneo con esquemas de muestreo de precios adecuados. Los resultados anteriores también ponen de manifiesto que los índices elementales muestrales de Carli y armónico pueden explicarse como aproximaciones a un índice de precios subyacente de la población de Laspeyres o de Paasche para un agregado elemental heterogéneo con esquemas de muestreo de precios adecuados.

20.64 Por consiguiente, si los precios relativos de los productos en la clase de producto en cuestión se muestrean utilizando ponderaciones proporcionales a la media aritmética de las participaciones en el ingreso del período base y del corriente en la clase de producto, la esperanza de este índice de Jevons muestral es igual a la fórmula del índice de Törnqvist de la población (20.35).

20.65 Losíndices elementales muestrales obtenidos según diseños de probabilidad adecuados demostraron poseer la propiedad de aproximarse a distintos índices elementales económicos de la población, con una exactitud cada vez mayor a medida que el muestreo se acerca a la cobertura total. Recíprocamente, puede verse que, en general, es imposible que un índice elemental de precios muestral, del tipo definido en la sección C, proporcione una estimación no sesgada del índice elemental ideal de precios teórico de la población definido en la sección B aunque se muestreen todos los precios de los productos en el agregado elemental. Por ello, en lugar de limitarse al muestreo de precios, será necesario que el experto en estadísticas de precios reúna información sobre los valores(o cantidades) de transacción correspondientes a los precios muestreados, a fin de formar agregados elementales muestrales que se acerquen al agregado elemental ideal objetivo a medida que aumente el tamaño de la muestra. De este modo, en lugar de simplemente recopilar una muestra de precios, será necesario recopilar las correspondientes cantidades (o valores) de la muestra para poder elaborar un índice muestral de precios de Fisher, de Törnqvist o de Walsh. Este índice elemental superlativo de precios basado en la muestra se acercará al índice elemental ideal de la población a medida que aumente el tamaño de la muestra. Este enfoque de la elaboración de índices elementales en el contexto de muestreo fue recomendado por Pigou (1924, págs. 66–67), Fisher (1922, pág. 380), Diewert (1995a, pág. 25) y Balk (2002)19. En concreto, Pigou (1924, pág. 67) sugirió utilizar el índice ideal de precios de Fisher para deflactar el cociente de valores del agregado bajo análisis, a fin de obtener una estimación del cociente de cantidades de ese mismo agregado.

20.66 Hasta no hace mucho tiempo, no era posible determinar cuánto se acercaba un índice elemental no ponderado, como el definido en la sección C, a un agregado elemental ideal. Sin embargo, ahora la disponibilidad de datos escaneados (es decir, datos detallados sobre los precios y las cantidades de productos que se venden en los puntos de venta minorista) permite calcular agregados elementales ideales para algunos estratos de productos y comparar los resultados con las estimaciones sobre la variación de los precios realizadas por la oficina de estadística para la misma clase de producto. Desde luego, las estimaciones de la oficina de estadística sobre la variación de precios suelen basarse en el uso de las fórmulas de Dutot, de Jevons o de Carli. Estos estudios ofrecen la posibilidad de comparar los IPC con los datos recopilados a partir de los lectores de código de barras de los puntos de venta minorista. Sin embargo, la preocupación en este caso se relaciona con la magnitud de las discrepancias entre los índices ponderados y no ponderados utilizados en este nivel de agregados elementales, y la magnitud de las discrepancias justifica su mención en este contexto del IPP. Las siguientes citas resumen muchos de estos estudios sobre datos escaneados:

Un segundo avance reciente de importancia es la disposición de las oficinas de estadística de experimentar con datos escaneados, es decir, los datos electrónicos generados por el comercio minorista en el punto de venta y que suelen incluir el precio, la cantidad, el lugar, la fecha y la hora de las compras y la descripción del producto por marca o modelo. El detalle de estos datos puede resultar útil para la elaboración de mejores índices de nivel elemental. Algunos estudios recientes que utilizan datos escaneados de esta manera son los de Silver (1995), Reinsdorf (1996), Bradley, Cook, Leaver y Moulton (1997), Dalén (1997), de Haan y Opperdoes (1997) y Hawkes (1997). Algunas de las estimaciones del sesgo del índice elemental (anual) que surgieron de estos estudios fueron respectivamente: 1,1 puntos porcentuales para los televisores en el Reino Unido; 4,5 puntos porcentuales para el café en Estados Unidos; 1,5 puntos porcentuales para el ketchup, el papel higiénico, la leche y el atún en Estados Unidos; 1 punto porcentual para las grasas, los detergentes, los cereales para desayuno y el pescado congelado en Suecia; 1 punto porcentual para el café en los Países Bajos, y 3 puntos porcentuales para el café en Estados Unidos. Estas estimaciones de los sesgos incorporan tanto el sesgo elemental como el de sustitución de punto de venta y son significativamente mayores que nuestras previas estimaciones aproximadas de 0,255 y 0,41 puntos porcentuales. Por otra parte, no resulta claro hasta qué punto estas grandes estimaciones del sesgo pueden generalizarse a otros productos (Diewert [1998a, págs. 54–55]).

Antes de analizar los resultados, vale la pena comentar algunas de las conclusiones generales a las que se arribó empleando datos escaneados. Debe subrayarse que estos resultados son los de un experimento en el que se utilizaron los mismos datos para comparar métodos distintos. Los resultados para el Índice de Precios Minoristas del Reino Unido no pueden compararse adecuadamente, pues están basados en prácticas y datos significativamente distintos: los datos son recogidos por recopiladores, con los pros y los contras que ello implica (Fenwick, Ball, Silver y Morgan [2002]). Aun así, vale la pena tener en cuenta el comentario de Diewert (2002c) acerca de la sección de artefactos para el hogar del Índice de Precios Minoristas del Reino Unido, que incluye una amplia variedad de electrodomésticos, tales como planchas, tostadoras y refrigeradores, entre otros, que bajó de 98,6 a 98,0: una caída de 0,6 puntos porcentuales desde enero a diciembre de 1998. Diewert compara estos resultados con los correspondientes a las lavadoras y señala que “…es posible que los precios de los componentes no usados en las lavadoras, que integran el índice de artefactos eléctricos, hayan aumentado lo suficiente durante este período como para compensar la importante caída evidente en el precio de las lavadoras, pero yo pienso que esto es improbable”. Varios estudios acerca de productos similares se llevaron a cabo utilizando datos escaneados para el mismo período. Se elaboraron índices encadenados de Fisher con los datos escaneados (los Índices de Precios Minoristas (anuales) son índices de base fija de Laspeyres), y se encontraron caídas de alrededor de 12% para los televisores (Silver y Heravi [2001a]), 10% para las lavadoras (cuadro 7, infra), 7,5% para los lavaplatos, 15% para las cámaras y 5% para las aspiradoras (Silver y Heravi [2001b]). Estos resultados difieren sensiblemente de los de la sección de los Índices de Precios Minoristas y sugieren que la disparidad observada en las lavadoras, tal como señala Diewert, puede no ser una anomalía. Los métodos y fuentes de datos tradicionales parecen producir tasas mucho mayores para el IPC que los datos escaneados, aunque este estudio no se ocupa de los motivos de estas discrepancias (Silver y Heravi [2002, pág. 25]).

20.67 Estas citas resumen los resultados de varios estudios sobre números índice de agregados elementales basados en el uso de datos escaneados. Estos estudios indican que cuando se utilizan datos detallados de precios y cantidades para elaborar índices superlativos o índices hedónicos para una categoría de gasto, las mediciones resultantes de la variación de precios suelen estar por debajo de las estimaciones oficiales de la oficina de estadística acerca de la variación de precios para esa categoría. A veces, las medidas de variación de precios basadas en el uso de datos escaneados están considerablemente por debajo de las mediciones oficiales correspondientes20. Estos resultados indican que se pueden lograr importantes mejoras en la precisión de los índices elementales si se utiliza un marco de muestreoponderado.

20.68 ¿Existe una explicación sencilla e intuitiva para estos resultados empíricos? El trabajo empírico se refiere a los IPC, y los supuestos de comportamiento se aplican a esos índices, aunque también pueden aplicarse a los IPP de insumos. Además, el análisis puede realizarse fácilmente basándose en los supuestos de comportamiento que subyacen a los IPP de la producción, ya que sus principios son más importantes. Sería posible obtener una explicación parcial observando la dinámica de la demanda de productos. En cualquier economía de mercado, las empresas y los puntos de venta ofrecen productos cuyos precios van en disminución o en aumento. Usualmente, los productos cuyos precios disminuyen experimentan un aumento en las ventas. Por consiguiente, las participaciones en el gasto de los productos con precios decrecientes suelen aumentar. En el caso de los productos con precios en aumento ocurre lo contrario. Lamentablemente, los índices elementales no pueden reflejar esta correlación negativa entre las variaciones de precios y los cambios inducidos en las participaciones en el gasto, ya que solo dependen de los precios y no de las participaciones en el gasto.

20.69 Este punto se puede ilustrar con un ejemplo. Supongamos que hay solo tres productos en el agregado elemental y que, en el período 0, el precio de cada producto es pm0=1 y la participación en el gasto es igual para cada producto, de modo que sm0=1/3 para m = 1, 2, 3. Supongamos que, en el período 1, el precio del producto 1 aumenta a p11=1+i, el precio del producto 2 se mantiene constante en p21=1 y el precio del producto 3 disminuye a p31=(1+i)1, donde la tasa de aumento del precio del producto 1 es i > 0. Supongamos además que la participación en el gasto del producto 1 disminuye a s11=()σ, donde σ es una cifra pequeña entre 0 y ⅓, y que la participación en el gasto del producto 3 aumenta a s31=()+σ. La participación en el gasto del producto 2 se mantiene constante en s21=. Los cinco índices elementales, definidos en la sección C, pueden expresarse como funciones de la tasa de inflación i del producto 1 (que también es la tasa de deflación del producto 3) de la siguiente manera:

20.70 Cabe señalar que en este ejemplo el índice de Dutot fD(i) resulta ser igual al índice de Carli fC(i). Las aproximaciones de Taylor de segundo orden a cada una de estas fórmulas de índices elementales, (20.46)(20.50), se presentan en las fórmulas (20.51)(20.55) a continuación:

Así, para valores pequeños dei, los índices de Carli y de Dutot serán levemente mayores a 121, los índices de Jevons y de Carruthers, Sellwood y Ward serán aproximadamente iguales a 1 y el índice armónico será ligeramente menor a 1. Cabe notar que una aproximación de Taylor de primer orden a los cinco índices es 1; es decir, con la exactitud de una aproximación de primer orden, los cinco índices son iguales a 1.

20.71 Ahora calculemos los índices de Laspeyres, de Paasche y de Fisher para el agregado elemental:

Las aproximaciones de Taylor de primer orden a las fórmulas anteriores, (20.56)(20.58), en torno a i = 0, están dadas por las fórmulas (20.59)(20.61):

Un índice elemental ideal para los tres productos es el índice ideal de Fisher fF(i). Las aproximaciones en las fórmulas (20.51)(20.55) y la fórmula (20.61) muestran que el índice de Fisher se encuentra a un valor σ i por debajo de los cinco índices elementales, utilizando aproximaciones de primer orden a los seis índices. Así, los cinco índices elementales tendrán un sesgo al alza aproximado equivalente a σ i, en comparación con un agregado elemental ideal.

20.72 Supongamos que la tasa de inflación anual del producto cuyo precio va en aumento, es igual a 10%, de modo que i = 0,10 (y, por lo tanto, la tasa de disminución de precio para el producto cuyo precio disminuye es también de 10%). Si la participación en el gasto del producto con precio en aumento disminuye en 5 puntos porcentuales, entonces σ = 0,05, y el sesgo al alza anual aproximado en los cinco índices elementales es σ i = 0,05 × 0,10 = 0,005, o medio punto porcentual. Si i aumenta a 20% y σ aumenta a 10%, el sesgo aproximado aumenta a σ i = 0,10 × 0,20 = 0,02 o 2%.

20.73 El ejemplo anterior está muy simplificado, pero existen versiones más sofisticadas que pueden explicar al menos parte de la discrepancia entre los índices elementales oficiales y los índices superlativos calculados mediante la utilización de datos escaneados para una clase de gasto. Básicamente, los índices elementales definidos sin utilizar las ponderaciones de valor o de cantidad asociadas no pueden detectar los cambios en las participaciones en el gasto generados por las fluctuaciones en los precios de los productos22. A fin de erradicar este problema, será necesario muestrear los valores junto con los precios tanto en el período base como en el de comparación.

20.74 En la próxima sección se describe un enfoque simple, basado en una regresión, para la elaboración de índices elementales y, también para este caso, el análisis demostrará la importancia de ponderar los registros de precios.

H. Enfoque estocástico simple de los índices elementales

20.75 Recordemos la notación empleada en la sección B. Supongamos que los precios de los M productos para los períodos 0 y 1 son iguales a los miembros derechos de las fórmulas (20.62) y (20.63):

donde α y βm son parámetros positivos. Cabe notar que hay 2M precios en los miembros izquierdos de las ecuaciones (20.62) y (20.63), pero solo M + 1 parámetros en los miembros derechos de estas ecuaciones. La hipótesis básica en las ecuaciones (20.62) y (20.63) es que los dos vectores de precios, p0 y p1, son proporcionales (con p1 = αp0, tal que Σ es el factor de proporcionalidad), excepto por la presencia de errores aleatorios multiplicativos, y, por lo tanto, α representa el agregado elemental de precios subyacentes. Si se toman logaritmos en ambos miembros de las ecuaciones (20.62) y (20.63) y se suman los errores aleatorios, em0yem1, a los miembros derechos de las ecuaciones resultantes, se obtiene el siguiente modelo de regresión lineal:

donde:

20.76 Cabe señalar que las ecuaciones (20.64) y (20.65) pueden interpretarse como un modelo de regresión hedónica muy simplificado23. La única característica de cada producto es el producto en sí mismo. Este modelo es también un caso especial del método de la variable ficticia de país-producto utilizados para realizar comparaciones internacionales entre los precios de distintos países24. Una importante ventaja de este método de regresión para construir un índice elemental de precios es que se pueden obtener errores estándarpara el número índice Σ. Selvanathan y Rao (1994) resaltaron esta ventaja del enfoque estocástico para la teoría de los números índice.

20.77 Puede verificarse que el estimador de mínimos cuadrados para γ es:

Si se calcula la exponencial de γ*, se obtiene el siguiente estimador para el agregado elemental α:

donde PJ(p0, p1) es el índice elemental de precios de Jevons definido en la sección C. Así, existe una justificación para el uso de un índice elemental de Jevons basada en un modelo de regresión.

20.78 Consideremos el siguiente modelo de mínimos cuadrados no ponderados:

Puede demostrarse que el valor de γ que soluciona el problema de minimización no restringido (20.69) es el γ* definido en (20.67).

20.79 El modelo de mínimos cuadrados no ponderados definido por la fórmula (20.69) presenta un problema: los logaritmos de cada registro de precios tienen exactamente la misma ponderaciónen el modelo, sin importar cuál haya sido el ingreso correspondiente al producto en cuestión en cada período. Desde luego, esto es poco satisfactorio, ya que un precio que tiene muy poca relevancia económica (es decir, una baja participación en el ingreso en cada período) recibe en el modelo de regresión la misma ponderación que otro producto muy importante. Por consiguiente, es útil considerar el siguientemodelo de mínimos cuadrados ponderados:

donde la participación del producto m en el ingreso del períodot se define como es habitual:

Así, en el modelo (20.70), el logaritmo de cada registro de precios de cada producto en cada período se pondera en función de su participación en el ingreso de ese período.

20.80 La solución γ para (20.70) es:

donde:

y h(a, b) es la media armónica de los números a y b. Por lo tanto, γ** es un promedio ponderado por las participaciones de los logaritmos de los cocientes de precios pm1/pm0. Si se calcula la exponencial de γ**, se obtiene un estimador Σ** para el agregado elemental α.

20.81 ¿En qué se diferencia α** de los tres índices de precios elementales ideales definidos en la sección B? Puede demostrarse25 que α** aproxima esos índices en el segundo orden en torno a un punto donde los precios y las cantidades son iguales; o sea, para la mayoría de los conjuntos de datos, α** estará muy cerca de los índices elementales de Fisher, de Törnqvist y de Walsh.

20.82 Los resultados expuestos en esta sección ofrecen un débil respaldo a la utilización del índice elemental de Jevons; pero decididamente favorecen la utilización de los índices elementales ponderados del tipo definido en la sección B. Los resultados de esta sección también respaldan el uso de ponderaciones de cantidad o de valor en regresiones hedónicas.

I. Conclusiones

20.83 Los principales resultados expuestos en este capítulo pueden resumirse de la siguiente manera:

  • i) Para definir la “mejor” fórmula de número índice elemental, es necesario tener un concepto objetivo de número índice. En la sección B se sugiere que la teoría bilateral normal de los números índice se aplica tanto en el nivel elemental como en los niveles superiores, por lo que el concepto objetivo tendría que elegirse entre las fórmulas de Fisher, de Törnqvist y de Walsh.

  • ii) Al agregar los precios de un mismo producto definido de manera estricta en un mismo período, el valor unitario definido de manera estricta resulta razonable como concepto de precio objetivo.

  • iii) El enfoque axiomático de los índices elementales tradicionales (es decir, sin ponderaciones de valor o de cantidad) respalda la utilización de la fórmula de Jevons en cualquier circunstancia. Si los productos del agregado elemental son muy homogéneos (es decir, tienen la misma unidad de medida), es posible utilizar la fórmula de Dutot. En el caso de un agregado elemental heterogéneo (el caso usual), puede utilizarse la fórmula del índice de Carruthers, Sellwood y Ward como alternativa a la fórmula de Jevons, aunque ambas darán resultados numéricos prácticamente iguales.

  • iv) El índice de Carli tiene un sesgo al alza y el índice armónico tiene un sesgo a la baja.

  • v) Ninguno de los cinco índices elementales no ponderados resulta satisfactorio. Sería más conveniente recopilar información acerca de las can|tidades o los valores junto con la información sobre precios y formar índices superlativos muestrales como índices elementales preferidos.

  • vi) El enfoque de regresión hedónica simple de los índices elementales apoya la utilización de la fórmula de Jevons. Sin embargo, resulta más satisfactoria la regresión hedónica ponderada. El índice resultante se aproximará mucho a los índices ideales definidos en la sección B.

Este capítulo hace uso extensivo de las recientes contribuciones de Dalén (1992a), Balk (1994, 1998b, 2002) y Diewert (1995a, 2002a, 2002b).

Véase en Balk (1994) un enfoque similar.

Walsh explicó su razonamiento de esta manera: “De todos los precios registrados del mismo tipo de artículo, el promedio que debe calcularse es el aritmético, y los precios deben ponderarse según las cantidades relativas vendidas a esos precios” (Walsh [1901, pág. 96]). “Surgen algunas preguntas interesantes relativas a si debe contarse solamente lo que se consume en el país, solamente lo que allí se produce o ambas cantidades. También aparecen dificultades respecto de la cotización de precio específica que debe asignarse en cada período a cada producto, ya que también esta debe ser un promedio. A lo largo de todo el país, cada producto, en un determinado período, se vende a distintos precios, aun en la venta mayorista en su mercado principal. Se venden distintas cantidades de cada producto a distintos precios, y el valor total se obtiene sumando todos los montos gastados (en la misma etapa en su camino hacia el consumidor), y el precio promedio se halla dividiendo el monto total (o el valor total) por las cantidades totales” (Walsh [1921a, pág. 88]).

Por ejemplo, véanse Szulc (1987, pág. 13), Dalén (1992a, pág. 135), Reinsdorf (1994b), Diewert (1995a, págs. 20–21), Reinsdorf y Moulton (1997) y Balk (2002).

El teorema 5 de Diewert (1978, pág. 888) demuestra que PF, PT y PW son aproximaciones de segundo orden entre sí en torno a un punto en el que los precios son iguales y las cantidades también; véanse algunos resultados empíricos en Diewert (1978, pág. 894), R.J. Hill (2000) y la sección B del capítulo 19.

Estas desigualdades se deducen del hecho de que la media armónica de M números positivos es siempre igual o menor a la media aritmética correspondiente; véanse Walsh (1901, pág. 517) o Fisher (1922, págs. 383–84). Esta desigualdad es un caso especial de la desigualdad de Schlömilch; véase Hardy, Littlewood y Polyá (1934, pág. 26).

Véanse también Pigou (1924, págs. 59 y 70), Szulc (1987, pág. 12) y Dalén (1992a, pág. 139). Dalén (1994, págs. 150–51) ofrece algunas explicaciones intuitivas interesantes relativas al sesgo al alza del índice de Carli.

Cada uno de los índices PH, PJ y PC es una media de orden r, donde r es igual a –1, 0 y 1, respectivamente, por lo que las desigualdades se deducen de la desigualdad de Schlömilch; véase Hardy, Littlewood y Polyá (1934, pág. 26).

Carruthers, Sellwood y Ward (1980, pág. 25) obtuvieron por primera vez esta relación aproximada.

Si hay variaciones significativas en la tasa de inflación general, algunos estudios indican que la varianza de las desviaciones de los precios con respecto a sus medias también puede variar. Además, si M es pequeño, habrá fluctuaciones muestrales en las varianzas de los precios de un período a otro.

Estas aproximaciones de segundo orden se atribuyen a Dalén (1992a, pág. 143) para el caso r* = 1 y a Diewert (1995a, pág. 29) para el caso de un r* general.

Este fue el enfoque utilizado por Diewert (1995a, págs. 5–17), quien se basó en trabajos previos realizados por Eichhorn (1978, págs. 152–60) y Dalén (1992a).

La función del ingreso unitario se define como R(p) ≡ maxq {p · q: f(q) = 1}.

Las preferencias que corresponden a estaf se conocen como preferencias de Leontief (1936) o como preferencias de no sustitución.

A menos que los artículos sean homogéneos las probabilidades de inclusión carecen de sentido.

Existe un sesgo técnico, pues E(x/y) es aproximado por E(x)/E(y), pero a medida que aumenta m el sesgo tiende a cero.

Por supuesto, el índice de Dutot, como estimación de un índice de la población de Paasche, difiere del índice de Dutot como estimación de un índice de la población de Laspeyres a causa del sesgo de sustitución o de representatividad.

Para más detalles de este marco de muestreo, véase Balk (2002).

Sin embargo, los estudios de datos escaneados no siempre muestran sesgos potenciales de envergadura en los IPC oficiales. Masato Okamoto, del Centro Nacional de Estadística de Japón, nos informó en una comunicación que se estaba realizando un estudio interno a gran escala. Con datos escaneados para alrededor de 250 categorías de alimentos procesados y productos de uso diario, recopilados entre 1997 y 2000, se concluyó que en promedio los índices basados en datos escaneados se ubicaban solo aproximadamente 0,2 puntos porcentuales por debajo de los índices oficiales anuales correspondientes. El IPC oficial de Japón utiliza la fórmula de Dutot para el nivel elemental.

Recordemos la relación aproximada entre los índices de Dutot y de Jevons en la fórmula (20.16) de la sección C. En el ejemplo, var(e0) = 0, mientras que var(I1) > 0. Esto explica por qué el índice de Dutot no es aproximadamente igual al índice de Jevons en el ejemplo.

En otras palabras, los índices elementales son susceptibles de tener un sesgo de representatividad o de sustitución.

Véase un análisis de los modelos de regresión hedónica en los capítulos 7, 8 y 21.

Véase Summers (1973). En nuestro caso especial, hay solo dos “países”, que constituyen las dos observaciones de los precios del agregado elemental para dos períodos.

Mediante las técnicas analizadas en Diewert (1978).

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