Chapter

18. Cuestiones relativas a la agregación

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
September 2009
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A. Introducción

18.1 En el capítulo 15 se detectó un problema fundamental de los números índice: ¿cómo agregar la información microeconómica de millones de precios y cantidades para obtener un número más reducido de variables de precio y cantidad? Los capítulos 15 a 17 se centraron sobre todo en la manera de elegir una fórmula de número índice adecuada de tal forma que un cociente de valores correspondiente a dos períodos de tiempo pudiera desglosarse en un componente que mide la variación global de los precios entre esos dos períodos (el índice de precios) multiplicado por un término que mide el cambio global de las cantidades entre los dos períodos (el índice de cantidades). La sumatoria de estos índices se realizaba sobre los artículos. En el caso de los enfoques de Divisia y de canasta fija del capítulo 15 y los enfoques axiomático y estocástico del capítulo 16, no se distinguió entre la agregación de los artículos producidos en un único establecimiento, una industria o la economía en su conjunto. La teoría microeconómica relativa al comportamiento del establecimiento en un mercado se presentó en el capítulo 17, donde también se derivaron fórmulas de números índice acordes con supuestos teóricos específicos. No había nada explícito en el análisis que diera a entender que los mismos resultados no se sostendrían si se realizara la agregación de los productos, los insumos o el valor agregado de todos los establecimientos de la economía. La sección B analiza hasta qué punto las conclusiones alcanzadas en el capítulo 17 son válidas para un nivel agregado de toda la economía. La agregación de índices de precios de establecimientos para obtener índices de precios nacionales se analiza para el índice de precios del producto, el índice de precios de los insumos y el deflactor del valor agregado1. En la sección B.1 se exponen los detalles del análisis correspondiente al índice de precios del producto, pero como se utiliza una metodología similar para el índice de precios de los insumos y el deflactor del valor agregado, en las secciones B.2 y B.3 solo se presentan las conclusiones del análisis de esos índices.

18.2 En la sección C se indica que, en la práctica, los índices de precios al productor (IPP) suelen calcularse en dos etapas: primero se calculan los productos dentro de los establecimientos y luego esos resultados se utilizan en la agregación de productos y establecimientos, a fin de obtener los IPP de la industria, grupo de productos y de nivel general. La sección C también aborda la cuestión de si los índices calculados de esta manera son consistentes en la agregación; es decir, si presentan los mismos valores cuando se los calcula en una y en dos etapas.

18.3 La sección D analiza la relación entre los tres IPP y, en especial, el hecho de que al realizar por separado la deflación de insumos por el índice de precios de los insumos y la de los productos por el índice de precios del producto, se obtienen los componentes del índice del valor agregado de doble deflación. En esa sección también se describen algunos métodos equivalentes que pueden utilizarse para derivar estimaciones del índice del valor agregado de doble deflación para una unidad de producción determinada. Esas estimaciones se basan en realizar por separado la deflación por índices de precios de los valores del insumo y del producto, en indexar por separado los valores de los insumos y productos en el período de referencia por índices de cantidades, y en utilizar índices de precios y de cantidades de valor agregado. En la sección E se vuelve a analizar el uso de índices de precios y de cantidades de valor agregado para la agregación en dos etapas de industrias (y no de productos de una única industria, como en la sección D), a fin de determinar si es consistente con la agregación en una sola etapa. Por último, en la sección F se analiza bajo qué condiciones los índices nacionales de precios y cantidades de valor agregado serán idénticos a los índices de precios y cantidades de la demanda final correspondientes. Cabe señalar que los índices de la demanda final se calculan utilizando únicamente los componentes de la demanda final, mientras que los índices de valor agregado nacionales se construyen agregando los productos y los insumos intermedios de todas las industrias.

B. Agregación de establecimientos

B.1 Índice nacional de precios del producto

18.4 El análisis de la agregación de productos a nivel del establecimiento para el índice de precios del producto que se expuso en la sección B del capítulo 17 se extiende ahora a la agregación de establecimientos. Supongamos que existen E establecimientos en la economía (o en una industria, si se pretende obtener un agregado de la industria). El objetivo de esta sección es obtener un índice nacional de precios del producto que compare los precios del producto en el período 1 con los del período 0 y permita realizar una agregación de esos establecimientos.

18.5 Para e = 1,2, …, E, sea pe(p1e,pNe) un vector positivo de precios del producto que el establecimiento e podría enfrentar en el período t, y ve ≡ [xe, ze] un vector no negativo de insumos con los que el establecimiento e podría contar en el período t. Para denotar el conjunto de tecnologías del establecimiento e en el período t utilicemos Set. Al igual que en la sección B.1 del capítulo 17, es posible definir la función de ingreso del establecimiento e utilizando la tecnología del período t:

donde e = 1,…,E y t = 0, 1.

Ahora definamos la función del ingreso nacional, Rt(p1,…,pE, v1,…,vE), utilizando las tecnologías del período t como la suma de las funciones de ingreso de los establecimientos en el período t, Ret, definida por la ecuación (18.2):

Para simplificar la notación, definimos el vector de precios nacionales p como p ≡ [p1,…,pE] y el vector de insumos nacionales v como v ≡ [v1,…,vE]. Esta nueva notación permite expresar Rt(p1,…,pE, v1,…,vE) como Rt(p, v). Así, Rt(p, v) es el valor máximo de producto, Σe=1EΣn=1Npneqne, que pueden producir todos los establecimientos de la economía, dado que el establecimiento ese enfrenta al vector de precios del producto pe y dado que el establecimiento e cuenta con el vector de insumos ve y utiliza las tecnologías del período t.

18.6 Es posible utilizar la función del ingreso nacional del período t, Rt, para definir el índice nacional de precios del producto, utilizando las tecnologías del período t, Pt, entre dos períodos cualesquiera, por ejemplo, el período 0 y el período 1, de la siguiente manera:

donde p0 ≡ [p10, p20,…,pE0] y p1 ≡ [p11, p21,…,pE1] son los vectores nacionales de precios del producto que enfrentan los diversos establecimientos en los períodos 0 y 1, respectivamente, y v ≡ [v1, v2,…,vE] es un vector de referencia de insumos intermedios y primarios de cada establecimiento de la economía2. El numerador de la ecuación (18.3) es el ingreso máximo que la economía podría obtener (utilizando los insumos v) si los establecimientos se enfrentaran con los precios del producto del período 1, p1, mientras que el denominador de la ecuación (18.3) es el ingreso máximo que los establecimientos podrían obtener (utilizando los insumos v) si se enfrentarán con los precios del producto del período 0, p0. Cabe señalar que todas las variables en las funciones del numerador y del denominador son exactamente iguales, excepto los vectores de precio del producto, que difieren entre sí.

18.7 Al igual que el caso de un único establecimiento analizado en la sección B.1 del capítulo 17, existe una gran variedad de índices de precios con la forma de la ecuación (18.3), según la tecnología de referencia t y el vector de referencia de insumos v que se elijan. Así, no existe un único índice económico de precios del tipo definido por la ecuación (18.3): existe toda una familia de índices.

18.8 Como es habitual, el interés recae en dos casos especiales de la definición general del índice de precios del producto en la ecuación (18.3): i) P0(p0, p1, v0), que utiliza el conjunto de tecnologías de los establecimientos del período 0 y el vector de insumos v0 que se utilizó en el período 0, y ii) P1(p0,p1, v1), que utiliza los conjuntos de tecnologías del período 1 y el vector de insumos v 1 que se utilizó en el período 1. Sean qe0 y qe1 los vectores de productos observados en los establecimientos en los períodos 0 y 1, respectivamente, para e = 1,…,E. Si cada establecimiento adopta un comportamiento maximizador de ingresos en los períodos 0 y 1, la suma de los ingresos observados en los establecimientos en los períodos 0 y 1 debería ser equivalente a R0(p0, v0) y a R1(p1, v1), respectivamente; es decir, se deberían verificar las siguientes igualdades:

Con estos supuestos de maximización de ingresos, adaptando los argumentos de F. M. Fisher y Shell (1972, págs. 57–58) y Archibald (1977, pág. 66), Diewert (2001) demostró que los dos índices teóricos, P0(p0,p1, v0) y P1(p0,p1, v1), ya descritos en i) y ii), satisfacen las siguientes desigualdades de las ecuaciones (18.5) y (18.6):

utilizando la ecuación (18.3):

utilizando la ecuación (18.4):

pues qe0 es factible para el problema de maximización definido por Re0(pe1, ve0) y, por ello:

donde PL es el índice de precios del producto de Laspeyres, que trata por separado a cada producto producido por cada establecimiento. De manera similar:

utilizando la ecuación (18.3):

utilizando la ecuación (18.4):

pues qe1 es factible para el problema de maximización en la definición de Re1(pe0, ve1) y, por ello:

donde PP es el índice de precios del producto de Paasche, que trata por separado a cada producto producido por cada establecimiento. Así, la ecuación (18.5) indica que el índice de precios observable del producto de Laspeyres, PL, es una cota inferior del índice nacional teórico, de precios del producto P0(p0,p1, v0), y la ecuación (18.6) indica que el índice de precios observable del producto de Paasche, PP, es una cota superiordel índice nacional teórico, de precios del producto P1(p0,p1, v1).

18.9 Es posible relacionar el índice nacional de precios del producto de tipo Laspeyres,P0(p0,p1, v0), con el índice de precios del producto de tipo Laspeyres de cada establecimiento, Pe0(pe0, pe1, ve0), que se define de la siguiente manera:

para e = 1,…,E,

donde las funciones de ingreso de los establecimientos que utilizan la tecnología del período 0, Re0, fueron definidas mediante la ecuación (18.1), y se emplearon los supuestos de la ecuación (18.4) para establecer el segundo conjunto de igualdades; es decir, el supuesto de que los ingresos observados en el período 0 para cada cada establecimiento, Σn=1Npne0qne0, son equivalentes a los ingresos óptimos, Re0(pe0, ve0). Ahora definamos la participación del establecimiento e en el ingreso nacional, en el período 0, de la siguiente manera:

Si utilizamos la definición del índice nacional de precios del producto de tipo Laspeyres,P0(p0,p1, v0), la ecuación (18.3), para (t, v) = (0, v0), y también la ecuación (18.2):

utilizando la ecuación (18.8):

utilizando la ecuación (18.7).

De esta manera, el índice nacional de precios del producto de tipo Laspeyres P0(p0,p1, v0) es igual a un promedio de los índices de precios del producto de tipo Laspeyres de cada establecimiento, Pe0(pe0, pe1, ve0), ponderado por la participación de los establecimientos en el ingreso del período base.

18.10 También es posible relacionar el índice nacional de precios del producto de tipo Paasche, P1(p0,p1, v1), con el índice de precios del producto de tipo de Paasche de cada establecimiento, Pe1(pe0, pe1, ve1), definido de la siguiente manera:

e = 1,…,E,

donde las funciones de ingreso de los establecimientos que utilizan la tecnología del período 1, Re1, se definieron en la ecuación (18.1), y se utilizaron los supuestos de la ecuación (18.4) para establecer el segundo conjunto de igualdades; es decir, el supuesto de que los ingresos observados en el período 1 para cada establecimiento, Σn=1Npne1qne1, son iguales a los ingresos óptimos, Re1(pe1, ve1). Ahora definamos la participación del ingreso del establecimiento e en el ingreso nacional, en el período 1, como:

Si utilizamos la definición del índice nacional de precios del producto de tipo Paasche, P1(p0,p1, v1), la ecuación (18.3), para (t, v) = (1, v1), y también la ecuación (18.2):

utilizando la ecuación (18.10).

Así, el índice nacional de precios del producto de tipo Paasche, P1(p0,p1, v1), es igual a un promedio armónico de los índices de precios del producto de tipo Paasche de cada establecimiento, Pe1(pe0, pe1, ve1), ponderado por la participación de los establecimientos en el ingreso del período 1.

18.11 Al igual que en el caso presentado en la sección B.2 del capítulo 17, es posible definir un índice nacional de precios del producto que se ubique entre los índices nacionales observables de precios del producto de Paasche y de Laspeyres. Para lograrlo, en primer lugar se define una función de ingreso hipotética, Re (pe, α), para cada establecimiento, que corresponda al uso de un promedio ponderado por α de los conjuntos de tecnologías Se0(v0) y Se1(v1) (con sus vectores de insumos correspondientes) para los períodos 0 y 1 como vectores de referencia de tecnologías e insumos:

Una vez definidas las funciones de ingreso hipotéticas de los establecimientos mediante la ecuación (18.13), es posible definir la función del ingreso nacional de tecnología intermedia, Rt(p1,…,pE, v1,…,vE), como la suma de las funciones de ingreso de los establecimientos que utilizan la tecnología intermedia en el período t Re, definida por la ecuación (18.13):

Nuevamente, simplifiquemos la notación definiendo el vector de precios nacionales p como p ≡ [p1,…,pE]. Esa nueva notación permite expresar R(p1,…,pE, α) como R(p, α). Ahora utilicemos la función del ingreso nacional definida por la ecuación (18.14) a fin de definir la siguiente familia de índices nacionales teóricos de precios del producto:

18.12 Como es habitual, es posible adaptar la demostración de Diewert (1983a, págs. 1060–61) para probar que existe un a entre 0 y 1 tal que el índice nacional teórico de precios del producto definido en la ecuación (18.15) se ubica entre los índices nacionales observables (en principio) de precios del producto de Paasche y de Laspeyres, definidos en las ecuaciones (18.5) y (18.6), PP y PL; es decir, existe un a tal que:

Si los índices de Paasche y de Laspeyres están numéricamente próximos el uno al otro, la ecuación (18.16) indica que es posible determinar considerablemente bien un índice nacional de precios del producto verdadero y que puede obtenerse una aproximación razonablemente cercana al índice verdadero mediante el cálculo de una media simétrica de PL y PP, por ejemplo la media geométrica, que, de nuevo, nos conduce al índice de precios ideal de Irving Fisher (1922), PF, ya definido en la ecuación (17.9).

18.13 La teoría mencionada para los índices nacionales de precios del producto es de carácter muy general; esto se puede ver en el hecho de que no se plantearon formas funcionales restrictivas ni supuestos de separabilidad respecto de las tecnologías de los establecimientos.

18.14 Los supuestos de tecnología translogarítmica utilizados en la sección B.3 del capítulo 17 para fundamentar el uso del índice de precios del producto de Törnqvist-Theil para un único establecimiento como aproximación a un índice teórico de precios del producto para un único establecimiento puede adaptarse a fin de obtener un fundamento para el uso de un índice nacional de precios del producto de Törnqvist-Theil como una aproximación a un índice nacional teórico de precios del producto.

18.15 Recordemos la definición de la función del ingreso nacional del período t, Rt(p, v) ≡ Rt(p1,…,pE, v1,…,vE), definida en la ecuación (18.2). Supongamos que la función del ingreso nacional del período t tiene la siguiente forma funcional translogarítmica para t = 0,1:

donde los coeficientes αnt satisfacen las restricciones:

y los coeficientes αnjt satisfacen las siguientes restricciones3:

Cabe destacar que la dimensión del vector de precios del producto nacional, p, en la ecuación (18.17) es NE, la cantidad de productos multiplicada por la cantidad de establecimientos, es decir, p ≡ [p1,…,pN; pN+1,…,p2N; …; p(E – 1)N+1,…,pNE] = [p11,,pN1;p12,,ppN2;;p1E,,pNE].

De manera similar, la dimensión del vector v de insumos nacionales en la ecuación (18.17) es (M + K)E, la cantidad de insumos primarios e intermedios en la economía, multiplicada por la cantidad de establecimientos4. Las restricciones en las ecuaciones (18.18) y (18.19) son necesarias para garantizar que Rt(p, v) sea linealmente homogénea respecto de los componentes del vector de precios del producto, p, (una propiedad que toda función de ingreso debe satisfacer). Obsérvese que, a esta altura de la exposición, se permite que los coeficientes que caracterizan la tecnología de cada período (los α, β y γ) sean completamente distintos en cada período. También cabe mencionar que la forma funcional translogarítmica es un ejemplo de una forma funcional flexible5, es decir que puede aproximar en segundo orden a una tecnología arbitraria.

18.16 Definamos la participación del establecimiento e y el producto n en el ingreso nacional en el período t de la siguiente manera:

Utilizando las participaciones en el ingreso del establecimiento presentadas y sus relativos de precios del producto, pne1/pne0, definamos el logaritmo del índice nacional de precios del producto de Törnqvist-Theil, PT(Törnqvist, 1936; Törnqvist y Törnqvist, 1937, y Theil, 1967) de la siguiente manera:

18.17 Recordemos el enfoque estocástico ponderado de Theil (1967) de la teoría de los números índice. explicado en la sección D.2 del capítulo 16. En el contexto actual, la variable discreta aleatoria R adopta los NE valores de los logaritmos de los cocientes de precios del producto del establecimiento entre los períodos 0 y 1, In(pne1/pne0), con probabilidades 12(sne0+sne1). Así, el miembro derecho de la ecuación (18.21) también puede interpretarse como la media de esta distribución de los logaritmos de relativos de precios del producto de toda la economía.

18.18 Un resultado que se expone en Caves, Christensen y Diewert (1982b, pág. 1410) puede adaptarse al contexto actual: si los coeficientes de precio cuadráticos de la ecuación (18.17) no varían a lo largo de los dos períodos en los que se realiza una comparación de números índice (es decir, si αij0=αij1 para todos los i, j), la media geométrica del índice nacional de precios del producto que utiliza el vector de tecnologías del período 0 y el vector de insumos del período 0, v0, P0(p0,p1, v0), y el índice nacional de precios del producto que utiliza el vector de tecnologías del período 1 y el vector de insumos del período 1, v1, P1(p0,p1, v1), es exactamente igual al índice de precios del producto de Törnqvist, PT, definido en la ecuación (18.21); es decir:

Como es habitual, los supuestos necesarios para este resultado parecen un tanto débiles; específicamente, no se requiere que las tecnologías exhiban retornos constantes a escala en ninguno de los dos períodos y los supuestos son compatibles con la existencia de progreso tecnológico entre los dos períodos comparados. Como la fórmula de número índice PT es exactamente igual a la media geométrica de los dos índices económicos teóricos de precios del producto, y lo que corresponde a una forma funcional flexible, la fórmula de número índice nacional de precios del producto de Törnqvist es superlativa, según la terminología empleada por Diewert (1976).

18.19 Existen cuatro resultados importantes en esta sección, que pueden resumirse como sigue. Definamos el índice nacional de precios del producto de Laspeyres como:

Luego, este índice nacional de precios del producto de Laspeyres es una cota inferior del índice económico de precios del producto P0(p0,p1, v0) ≡ R0(p1, v0) / R0(p0, v0), donde la función del ingreso nacional R0(p, v0) que utiliza el vector de tecnologías e insumos del período 0, v0, está definida por las ecuaciones (18.1) y (18.2).

18.20 Definamos el índice nacional de precios del producto de Paasche como:

Luego, este índice nacional de precios del producto de Paasche es una cota superiordel índice económico de precios del producto P1(p0,p1, v1) ≡ R1(p1, v1) / R1(p0, v1), donde la función del ingreso nacional R1(p, v1) que utiliza la tecnología y el vector de insumos del período 1, v1, está definida por las ecuaciones (18.1) y (18.2).

18.21 Definamos el índice nacional de precios del producto de Fisher PF como la raíz cuadrada del producto de los índices nacionales de Laspeyres y Paasche, definidos arriba:

Con frecuencia el índice nacional de precios del producto de Fisher será una buena aproximación a un índice económico de precios del producto basado en una función de ingreso que utiliza un conjunto de tecnologías y un vector de insumos intermedios ante los conjuntos de tecnologías y vectores de insumos de los períodos 0 y 1.

18.22 Bajo el supuesto de que las funciones del ingreso nacional de los períodos 0 y 1 tienen formas funcionales translogarítmicas, la media geométrica del índice nacional de precios del producto que utiliza la tecnología y el vector de insumos del período 0, v0, P0(p0,p1, v0), y el índice nacional de precios del producto que utiliza la tecnología y el vector de insumos, v1, del período 1, P1(p0,p1, v1), es exactamente igual al índice de precios del producto de Törnqvist, PT, definido por la ecuación (18.21); es decir, se verifica la ecuación (18.22).

18.23 Esta sección concluye con una observación. Se han presentado fundamentos económicos para el uso del índice nacional de precios del producto de Fisher, PF(p0,p1, q0, q1), definido por la ecuación (18.25), y para el uso del índice nacional de precios del producto de Törnqvist, PT(p0,p1, q0, q1), definido por la ecuación (18.21). Los resultados de la sección B.5 del capítulo 17 indican que, en el caso de utilizar datos de series temporales normales, ambos índices arrojarían resultados prácticamente iguales.

B.2 Índice nacional de precios de los insumos intermedios

18.24 La teoría del índice de precios de los insumos intermedios para un único establecimiento que se desarrolló en la sección C del capítulo 17 puede ampliarse para abarcar el caso en el que hay E establecimientos en la economía. Las técnicas utilizadas para esta extensión son muy similares a las empleadas en la sección B.1 de este capítulo, por lo que no es necesario repetir aquí lo mencionado entonces.

18.25 Se comprueba que el índice nacional observable de precios de los insumos intermedios de Laspeyres, PL, es una cota superior del índice teórico nacional de precios de los insumos intermedios que utiliza la tecnología y los insumos del período 0, mientras que el índice nacional observable de precios de los insumos intermedios de Paasche, PP, es una cota inferior del índice nacional teórico de precios de los insumos intermedios que utiliza la tecnología y los insumos del período 1.

18.26 Al igual que en la sección B.1, es posible definir un índice teórico nacional de precios de los insumos intermedios que se ubique entre los índices nacionales observables de precios de los insumos intermedios de Paasche y de Laspeyres. Omitiremos los detalles, pues son similares a los planteados en la sección B.1. Con frecuencia, el índice nacional de precios de los insumos intermedios de Fisher, PF, definido como la raíz cuadrada del producto de los índices nacionales de Laspeyres y Paasche, es una buena aproximación a este índice económico de precios de los insumos intermedios. Un índice de este tipo está basado en una función de costo nacional que utiliza conjuntos de tecnologías de los establecimientos, vectores de productos de los establecimientos objetivo y vectores de insumos primarios de los establecimientos intermedios respecto de los conjuntos de tecnologías, los vectores de productos observados y los vectores de insumos primarios observados de los períodos 0 y 1.

18.27 Los supuestos de tecnología translogarítmica utilizados en la sección B.1 para justificar el uso del índice de precios de los insumos intermedios de Törnqvist-Theil para un único establecimiento como aproximación a un índice de precios teórico de los insumos intermedios para un único establecimiento pueden ser adaptados de modo que justifiquen el empleo de un índice nacional de precios de los insumos intermedios de Törnqvist-Theil como aproximación a un índice nacional de precios teórico de los insumos intermedios.

B.3 Deflactor del valor agregado nacional

18.28 En esta sección nos ocuparemos de la teoría del deflactor del valor agregado para un único establecimiento desarrollada en la sección D del capítulo 17 y la generalizaremos para que abarque el caso en el que existen E establecimientos en la economía. Las técnicas utilizadas para esta extensión son, en este caso, muy similares a las de la sección B.1, salvo que ahora se utilizan funciones de ingreso neto del establecimiento, πet, en lugar de las funciones de ingreso del establecimiento, Ret.

18.29 Puede verse que el índice observable de precios del producto neto de Laspeyres es una cota inferiordel deflactor teórico del valor agregado nacional basado en la tecnología y los insumos del período 0, mientras que el índice observable de precios del producto neto de Paasche es una cota superior del deflactor teórico del valor agregado nacional basado en la tecnología y los insumos del período 1.

18.30 Para elaborar índices de industrias o sectores, como los de Laspeyres y Paasche, a partir de índices de los distintos establecimientos, e índices nacionales a partir de índices de las distintas industrias, se requiere utilizar ponderaciones. Cabe notar que para el deflactor del valor agregado nacional se utilizan las participaciones de los establecimientos en el valor agregado nacional, mientras que en la sección B.1, para los índices nacionales de precios del producto, se utilizaron las participaciones de los establecimientos en el valor nacional de los productos (brutos) producidos. Los resultados que respaldan el uso del índice ideal de Fisher y del índice de Törnqvist surgen de razonamientos similares a los expuestos en el caso del índice nacional de precios del producto.

18.31 Recordemos el enfoque estocástico ponderado de la teoría de los números índice de Theil (1967), que se explicó en la sección D.2 del capítulo 16. Si se adapta ese enfoque al contexto actual, la variable aleatoria discreta R adoptará los (N + M)E valores de los logaritmos de los relativos de precios del producto neto de los establecimientos entre los períodos 0 y 1, Ia(pne1/pne0), con probabilidades (12)(sne0+sne1). Así, según esta interpretación del enfoque estocástico, todo indicaría que el miembro derecho del índice de Törnqvist-Theil podría interpretarse como la media de esta distribución de los logaritmos de los relativos de precios del producto e insumos intermedios de toda la economía. Sin embargo, en el contexto actual, como las participaciones (12)(sne0+sne1) son negativas cuando n corresponde a un insumo intermedio, esta interpretación estocástica de la fórmula de precios del producto de Törnqvist-Theil es imposible.

C. Índices superlativos de Laspeyres y Paasche y agregación en dos etapas

18.32 El análisis precedente se realizó como si la agregación se hubiera efectuado en una sola etapa. La mayoría de las oficinas de estadística utilizan la fórmula de Laspeyres para agregar los precios en dos etapas. En la primera etapa de agregación, la fórmula de Laspeyres se utiliza para agregar los componentes del índice general (por ejemplo, precios del producto agrícola, otros precios del producto industrial primario, precios de la industria manufacturera y precios del suministro de servicios). En la segunda etapa de agregación, estos componentes se combinan entre sí para llegar al índice general. Surge, desde luego, la siguiente pregunta: ¿coincide el índice calculado en dos etapas de agregación con el índice calculado en una sola etapa? Primero, nos ocuparemos de responderla en el contexto de la fórmula de Laspeyres6.

18.33 Ahora, supongamos que los datos de precios y cantidades para el período t, pt y qt, pueden expresarse en términos de J subvectores, de la siguiente manera:

donde la dimensión de los subvectores ptj y qtj es Nj para j = 1,2,…,J, y la suma de las dimensiones Nj es igual a N. Estos subvectores corresponden a los datos de precios y cantidades de los subcomponentes del índice de precios del producto al productor para el período t. En esta oportunidad se realiza el análisis para el índice de precios del producto, pero se arriba a conclusiones similares respecto de los índices de precios de los insumos. Elaboremos subíndices desde el período 0 hasta el período 1 para cada componente. El precio de cada subcomponente en el período base, digamos, Pj0 para j = 1,2,…J, se fija igual a 1 y las cantidades del subcomponente correspondientes del período base, Qj0 para j = 1,2,…,J, se fijan iguales al valor de la producción para ese subcomponente en el período base, es decir:

Ahora utilicemos la fórmula de Laspeyres para construir un precio Pj1 para el período 1 para j = 1,2,…,J para cada subcomponente del índice de precios al productor. Dado que la dimensión de los vectores de subcomponentes,ptj y qtj, difiere de la dimensión de los vectores de precios y cantidades del total del período t, pt y qt, es necesario utilizar símbolos distintos para estos subcomponentes de los índices de Laspeyres, por ejemplo, PLj para j = 1,2,…J. Así, los precios de los subcomponentes del período 1 se definen de la siguiente manera:

para j = 1,2,…,J.

Una vez que los precios del período 1 para los j subíndices han sido definidos por la ecuación (18.28), pueden definirse las cantidades de los subcomponentes correspondientes del período 1, Qj1, para j = 1,2,…,J, deflactando los valores de los subcomponentes del período 1 Σi=1Njpi1jqi1j por los precios Pj1 definidos por la ecuación (18.28); es decir:

Ahora es posible definir los vectores de precios y cantidades de los subcomponentes para cada período t = 0,1 mediante las ecuaciones (18.27) a (18.29). Los vectores de precios P0 y P1 de los subcomponentes para los períodos 0 y 1 se definen de la siguiente manera:

donde 1J denota un vector de dimensión j cuyos componentes son todos iguales a uno, y los componentes de P1 se definen en la ecuación (18.28). Los vectores de cantidades de los subcomponentes del período 0 y 1, Q0 y Q1, se definen de la siguiente manera:

donde los componentes de Q0 están definidos por la ecuación (18.27) y los componentes de Q1 por la ecuación (18.29). Los vectores de precios y cantidades de las ecuaciones (18.30) y (18.31) representan los resultados de la primera etapa de agregación. Ahora pueden utilizarse estos vectores para el problema de agregación de la segunda etapa, es decir que la fórmula del índice de precios de Laspeyres puede aplicarse utilizando la información de las ecuaciones (18.30) y (18.31) en la fórmula de número índice. Dado que los vectores de precios y cantidades que se emplean para el problema de la segunda etapa son de dimensión j a diferencia de la dimensión Nj de los vectores de la fórmula de una sola etapa de agregación, se requiere utilizar un símbolo diferente para el nuevo índice de Laspeyres, que denotaremos PL*. Así, el índice de precios de Laspeyres calculado en dos etapas puede denotarse PL*(p0,p1, Q0, Q1). Ahora corresponde preguntarse si este índice de Laspeyres en dos etapas es igual al índice correspondiente de una sola etapa PL estudiado en la sección anterior de este capítulo, es decir, si:

Si se utiliza la fórmula de Laspeyres en cada etapa de agregación, la respuesta a la pregunta precedente es afirmativa: mediante cálculos sencillos se puede comprobar que el índice de Laspeyres calculado en dos etapas es igual al índice de Laspeyres calculado en una sola etapa. La respuesta también es afirmativa si en cada etapa de agregación se utiliza la fórmula de Paasche, o sea, al igual que la fórmula de Laspeyres, la fórmula de Paasche es consistente en la agregación.

18.34 Ahora supongamos que se utiliza la fórmula de Fisher o la de Törnqvist en cada etapa de agregación; es decir, supongamos que en la ecuación (18.28), la fórmula de Laspeyres PLj(p0j,p1j,q0j,q1j) se reemplaza por la fórmula de Fisher PFj(p0j,p1j,q0j,q1j) o por la fórmula de Törnqvist PTj(p0j,p1j,q0j,q1j) y, en la ecuación (18.32), PL*(P0,P1,Q0,Q1) se reemplaza por PF* (o por PT*) y PL(p0,p1, q0, q1) se reemplaza por PF (o por PT). ¿Existen contrapartes al resultado de agregación en dos etapas de la fórmula de Laspeyres de la ecuación (18.32)? La respuesta es negativa; puede demostrarse que, en general:

De manera similar, es posible demostrar que la fórmula de número índice de media cuadrática de orden r, Pr, definida por la ecuación (17.28), y la fórmula implícita de número índice de media cuadrática de orden r, Pr*, definida por la ecuación (17.25), tampoco son consistentes en la agregación.

18.35 Sin embargo, aunque las fórmulas de Fisher y de Törnqvist no son exactamente consistentes en la agregación se puede demostrar que sí lo son de manera aproximada. En concreto, se puede demostrar que la fórmula de Fisher en dos etapas PF* y la fórmula de Fisher en una etapa PF de la ecuación (18.33), ambas consideradas funciones de las 4N variables en los vectores p0,p1, q0, q1, son entre sí aproximaciones de segundo orden en torno a cualquier punto en el cual los dos vectores de precios son iguales (de manera tal que p0 = p1) y los dos vectores de cantidades también lo son (de manera tal que q0 = q1). Un resultado similar se verifica para la agregación en dos etapas y en una etapa de los índices de Törnqvist de la ecuación (18.33)7. Como se demostró en la sección anterior, los índices de Fisher y de Törnqvist en una etapa tienen una propiedad de aproximación similar, y por lo tanto los cuatro índices de la ecuación (18.33) son entre sí aproximaciones de segundo orden en torno a cualquier punto en el cual los precios y las cantidades son iguales (o proporcionales). Por lo tanto, en el caso de los datos de series temporales normales, los índices de Fisher y de Törnqvist en una y dos etapas suelen estar muy próximos desde el punto de vista numérico8. Este resultado se ejemplifica en el capítulo 19 mediante un conjunto de datos artificiales.

18.36 Pueden obtenerse resultados similares de consistencia aproximada en la agregación (similares a los resultados para las fórmulas de Fisher y de Törnqvist explicados en el párrafo anterior) para el índice de media cuadrática de orden r, Pr, y para el índice implícito de media cuadrática de orden r, Pr*; véase Diewert (1978, pág. 889). Sin embargo, los resultados de R. J. Hill (2000) nuevamente implican que la propiedad de aproximación de segundo orden del índice de media cuadrática de orden r de una etapa, Pr, a su contrapartida de dos etapas queda sin efecto a medida que r tiende a más o menos infinito. Para comprobarlo, analicemos un ejemplo simple en el que hay solo cuatro productos en total. Supongamos que el primer relativos de precios p11/p10 es igual al número positivo a, el segundo y el tercer relativos de precios pi1/pi0 son iguales a b y el último relativo de precios es p41/p40 es igual a c, donde se supone que a < c y abc. A partir del resultado de R. J. Hill de la ecuación (17.32), se obtienen las cotas del índice en una sola etapa:

Si los productos 1 y 2 se agregan en un subcomponente y los productos 3 y 4 en otro, utilizando nuevamente el resultado de R. J. Hill de la ecuación (17.32), se demuestra que el valor límite del índice de precios del primer subcomponente es [ab]1/2 y el valor límite del índice de precios del segundo subcomponente es [bc]1/2. Aplicando la segunda etapa de agregación y utilizando de nuevo el resultado de R. J. Hill, podemos concluir que el valor límite de la agregación en dos etapas con Pr como fórmula de número índice es [ab2c]1/4. Así, el valor límite del agregado en una etapa sobre el agregado en dos etapas cuando r tiende a más o menos infinito es [ac]1/2 / [ab2c]1/4 = [ac/b2]1/4. Ahora, b puede adoptar cualquier valor entre a y c, y el cociente entre el valor límite de Pr en una etapa y su contraparte en dos etapas puede adoptar cualquier valor entre [c/a]1/4 y [a/c]1/4. Como c/a es menor que 1 y a/c es mayor que 1, se observa que el cociente entre el índice de una etapa y el índice de dos etapas puede alejarse arbitrariamente de 1 a medida que la magnitud de r aumenta, cuando se eligen de manera apropiada los números a, b y c.

18.37 Los resultados del párrafo anterior demuestran que es necesario tener cuidado al suponer que todos los índices superlativos serán aproximadamente consistentes en la agregación. Sin embargo, existen estudios publicados que demuestran que los tres índices superlativos más comunes (el índice ideal de Fisher PF, el índice de Törnqvist-Theil PT y el índice de Walsh PW) satisfacen la propiedad de consistencia en la agregación en un grado suficientemente alto de aproximación, de modo tal que los usuarios no deben preocuparse a causa de inconsistencias9.

18.38 Un análisis similar en relación con los índices de precios de los insumos, dará como resultado conclusiones similares. En la siguiente sección se analiza el deflactor del valor agregado.

D. Deflactores del valor agregado: Relaciones entre los índices de precios al productor

D.1 Precio del producto, precio de insumos intermedios y deflación del valor agregado

18.39 Denotemos los vectores de precios del producto, cantidades del producto, precios de los insumos intermedios y cantidades de los insumos intermedios de un establecimiento10 en el período t mediante pyt,yt,ptxyxt, respectivamente, para t = 0,1. Supongamos que se utiliza una fórmula de números índice bilaterales P para construir un índice de precios del producto del establecimiento, P(py0,py1,y0,y1), un índice de precios de los insumos intermedios del establecimiento, P(px0,px1,x0,x1), y un deflactor del valor agregado del establecimiento, P(p0,p1, q0, q1), donde, como siempre, pt[pyt,pxt]yqt[yt,xt] para t = 0,1. De ello se desprenden dos preguntas:

  • ¿Cómo se relaciona el deflactor del valor agregado con el índice de precios del producto y el índice de precios de los insumos intermedios?

  • ¿Cómo puede combinarse el índice de precios del producto con el índice de precios de los insumos intermedios para obtener un deflactor del valor agregado?

El método de agregación en dos etapas explicado en la sección C permite responder estas preguntas.

18.40 En esta aplicación del método de agregación en dos etapas explicado en la sección C, sea j = 2. Los vectores de precios y cantidades ptj y qtj que aparecieron en la ecuación (18.26) ahora se definen de la siguiente manera:

Por lo tanto, el primer grupo de productos agregados en la primera etapa de agregación está constituido por los productos yt del establecimiento y el segundo grupo de productos agregados en la primera etapa de agregación es menos los insumos intermedios -xt del establecimiento.

18.41 Los precios y cantidades del período base agregados en la primera etapa, Pj0yQj0, que aparecieron en la ecuación (18.27) ahora se definen de la siguiente manera:

Cabe notar que Q10 es el valor de los productos producidos por el establecimiento en el período base y Q20 es menos los insumos intermedios utilizados por el establecimiento en el período 0.

18.42 Ahora, utilicemos la fórmula de número índice elegida para construir un índice de precios del producto, P(py0,py1,y0,y1) y un índice de precios de los insumos intermedios, P(px0,px1,x0,x1). Estos dos números se fijan iguales al precio agregado del producto del establecimiento P11 y al precio agregado de los insumos intermedios P21 en el período 1; es decir, se utiliza la fórmula de números índice bilaterales P para construir las siguientes contrapartes de la ecuación (18.28) de la sección C:

18.43 Por último, las siguientes contrapartes de la ecuación (18.29) generan el agregado de cantidades del producto del período 1, Q11, y menos el agregado de los insumos del período 1, Q21:

Así, el agregado del producto del período 1, Q11, es igual igual al valor de la producción del período 1, Σn=1Npyn1yn1, dividido por el índice de precios del producto, P(py0, py1, y0, y1). El agregado de los insumos intermedios del período 1, Q21, es igual a menos el costo de los insumos intermedios en el período 1, Σm=1Mpxm1xm1, dividido por el índice de precios de los insumos intermedios, P(px0,px1,x0,x1). Así, los agregados de cantidades de productos e insumos intermedios del período 1 se construyen deflactando los agregados de valor del período 1 por índices de precios adecuados, lo que puede considerarse un método de doble deflación.

18.44 En concordancia con la ecuación (18.30), los vectores de subcomponentes de precios del período 0 y 1, P0 y P1, y los vectores de subcomponentes de cantidades del período 0 y 1, Q0 y Q1, se definen de la siguiente manera:

Por último, dados los vectores de precios y cantidades agregados definidos en la ecuación (18.39), utilicemos nuevamente la fórmula de número índice bilateral P, y calculemos el deflactor del valor agregado en dos etapaspara el establecimiento, P(p0,p1, Q0, Q1). La construcción de este deflactor del valor agregado en dos etapas responde a la segunda pregunta formulada con anterioridad, a saber, ¿cómo puede combinarse el índice de precios del producto con el índice de precios de los insumos intermedios para obtener un deflactor del valor agregado?

18.45 Ahora es preciso preguntarse si el deflactor del valor agregado en dos etapas, P(p0,p1, Q0, Q1), recién construido, utilizando la fórmula de número índice bilateral P en ambas etapas de agregación es igual al deflactor del valor agregado construido en una sola etapa de agregación, P(p0,p1, q0, q1), utilizando la misma fórmula de número índice P. Dicho de otro modo, nos preguntamos si:

La respuesta es afirmativa si en cada etapa de agregación se utiliza el índice de precios de Laspeyres o de Paasche, es decir, si P = PL o P = PP. La respuesta es negativa si en cada etapa de agregación se utiliza un índice de precios superlativo, es decir, si P = PF o si P = PT. Sin embargo, utilizando los resultados explicados en la sección C, si las fórmulas de Fisher o Törnqvist-Theil, PF o PT, se utilizan en cada etapa de agregación de manera consistente, la diferencia entre los dos miembros de la ecuación (18.40) será muy pequeña. Por ello, utilizar una fórmula de número índice superlativo para construir índices de precios del producto, índices de precios de los insumos intermedios y deflactores del valor agregado genera un costo en términos de pequeñas inconsistencias a medida que los precios se agregan en dos o más etapas, mientras que las fórmulas de Laspeyres y Paasche son absolutamente consistentes en la agregación. Sin embargo, la utilización de fórmulas de Laspeyres o de Paasche también tiene su costo: estos índices tienen un sesgo de sustitución de valor indeterminado en comparación con sus contrapartes teóricas11, mientras que los índices superlativos no suelen tener ningún sesgo de sustitución.

D.2 Deflactores del valor agregado de Laspeyres y Paasche

18.46 Dada la importancia de los índices de precios de Paasche y de Laspeyres en la práctica de las oficinas de estadística, vale la pena describir explícitamente el deflactor del valor agregado aplicando el método de agregación en dos etapas ya explicado cuando se utiliza cualquiera de estos dos índices como fórmula básica de número índice. Si se utiliza la fórmula de Laspeyres, ambos miembros de la ecuación (18.40) se transforman en:

donde la participación del producto en el período 0, sy0, y la participación de los insumos intermedios en el período 0, sx0, se definen de la siguiente manera:

Cabe señalar que sy0 será mayor que 1 y sx0 será negativo. Así, la ecuación (18.41) muestra que el deflactor del valor agregado de Laspeyres puede formularse como una media ponderada del índice de precios del producto de Laspeyres, PL(py0,py1,y0,y1), y el índice de precios de los insumos intermedios de Laspeyres, PL(px0,px1,x0,x1). A pesar de que las ponderaciones sumen 1, sx0 es negativo y sy0 es mayor que 1, por ello estas ponderaciones son bastante atípicas.

18.47 De manera análoga el deflactor del valor agregado de Paasche puede desglosarse en dos etapas:

donde la participación del producto del período 1, sy1, y la participación de los insumos intermedios del período 1, sx1, se definen de la siguiente manera:

Obsérvese que sy1 será mayor que 1 y sx1 será negativo. Por lo tanto, la ecuación (18.43) muestra que el deflactor del valor agregado de Paasche puede formularse como la media armónica ponderada del índice de precios del producto de Paasche, PL(py0,py1,y0,y1), y del índice de precios de los insumos intermedios de Paasche, PP(px0,px1,x0,x1).

18.48 El análisis de las relaciones entre el índice de precios del producto, el índice de precios de los insumos intermedios y el deflactor del valor agregado de un establecimiento presentado en esta sección puede ampliarse a nivel industrial y nacional.

D.3 Deflactores del valor agregado y método de doble deflación para la determinación del valor agregado real

18.49 En la sección anterior se demostró que los deflactores del valor agregado de Laspeyres y Paasche para un establecimiento estaban relacionados con los índices de precios del producto y de los insumos intermedios de Laspeyres y Paasche para un establecimiento. En esta sección, este análisis se amplía para estudiar los problemas que surgen al utilizar estos índices para deflactar valores nominales y convertirlos en valores reales. Luego de definir un deflactor del valor agregado, P(p0,p1, q0, q1), mediante alguna fórmula de número índice, puede utilizarse la ecuación (15.4) del capítulo 15 para definir el índice de cantidades correspondiente, Q(p0,p1, q0, q1), el que puede ser interpretado como la tasa de crecimiento del valor agregado real entre los períodos 0 y 1; es decir, dado P, Q puede definirse de la siguiente manera:

donde Vt es el valor agregado nominal del establecimiento para el período t = 0,1.

18.50 Cuando se utiliza el deflactor del valor agregado de Laspeyres, PL((p0,p1, q0, q1), como el índice de precios en la ecuación (18.45), el índice de cantidades resultante Q es el índice de cantidades del valor agregado de Paasche QP definido como:

Cuando se utiliza el deflactor del valor agregado de Paasche, PP(p0,p1,q0,q1), como el índice de precios en la ecuación (18.45), el índice de cantidades resultante Q es el índice de cantidades de valor agregado de Laspeyres QL definido de la siguiente manera:

18.51 Dado un índice de cantidades genérico del valor agregado, Q(p0,p1,q0,q1), el valor agregado real del período 1 a los precios del período 0, rva1, puede definirse como el valor agregado nominal del período 0 del establecimiento multiplicado por el índice de cantidades de valor agregado Q; es decir:

18.52 Si se utiliza el índice de cantidades del valor agregado de Laspeyres QL(p0,p1,q0,q1) definido por la ecuación (18.47) para realizar el ajuste o la indexación del valor agregado nominal en la ecuación (18.48), se obtiene el siguiente interesante desglose del valor agregado real resultante del período 1 a los precios del período 0:

utilizando la ecuación (18.47):

Así, el valor agregado real del período 1 a los precios del período 0, rva1, se define como el valor agregado nominal del período 0, Σn=1Npyn0yn0Σm=1Mpxm0xm0, ajustado por el índice de cantidades de valor agregado de Laspey- res, QL(p0,p1,q0,q1), definido en la ecuación (18.47). Pero la última línea de la ecuación (18.49) demuestra que rva1 también es igual al valor de la producción del período 0, Σn=1Npyn0yn0, ajustado por el índice de cantidades del producto de Laspeyres12, QL(py0,py1,qy0,qy1), menos el costo de los insumos intermedios del período 0, Σm=1Mpxm0xm0, ajustado por el índice de cantidades de los insumos intermedios de Laspeyres, QL(px0,px1,q0,q1).

18.53 Utilizando la ecuación (18.45) se llega a la siguiente fórmula del índice de cantidades de valor agregado de Laspeyres, QL, en términos del deflactor del valor agregado de Paasche, PP:

Ahora sustituyamos la ecuación (18.50) en la primera línea de la ecuación (18.49) para obtener el siguiente desglose alternativo del valor agregado real del período 1 a precios del período 0, rva1:

utilizando la ecuación (18.43):

Así, el valor agregado real del período 1 a precios del período 0, rva1, es igual al valor agregado nominal del período 1, Σn=1Npyn1yn1Σm=1Mpxm1xm1, deflactado por el deflactor del valor agregado de Paasche, Pp(p0,p1, q0, q1), definido por la ecuación (18.43). Pero la última línea de la ecuación (18.51) demuestra que rva1 también es igual al valor de la producción del período 1, Σn=1Npyn1yn1, deflactado por el índice de precios del producto de Paasche, PP(py0,py1,qy0,qy1), menos el costo de los insumos intermedios del período 1, Σm=1Npxm1xm1 deflactado por el índice de precios de los insumos intermedios de Paasche, PP(px0,px1,qx0,qx1). Por ello, la utilización del deflactor del valor agregado de Paasche deriva en una medición del valor agregado real del período 1 a precios del período 0, rva1, que es igual al producto deflactado del período 1 menos los insumos intermedios deflactados del período 1. Por ello, este método para construir una medición del valor agregado real se denomina método de doble deflación13. Este método ha sido objeto de algunas críticas. Peter Hill (1996) demostró que los errores de medición de los componentes tomados por separado, reflejados en una mayor varianza de las variaciones en los precios, pueden dar lugar a errores todavía mayores en el valor agregado doblemente deflactado, debido a que la diferencia de las dos varianzas potencia el error global.

18.54 Existe un método de doble deflación menos conocido que invierte los papeles antes mencionados de los índices de Laspeyres y Paasche. En lugar de expresar el valor agregado real del período 1 a precios del período 0, también es posible definir el valor agregado real del período 0 a precios del período 1, rva0. Aplicando esta metodología, dado un índice de cantidades genérico del valor agregado, la contraparte de la ecuación (18.48) es:

Así, para obtener el valor agregado real del período 0 a precios del período 1, rva0, se toma el valor agregado nominal del período 1, V1, y se deflacta por el índice de cantidades del valor agregado, Q(p0,p1, q0, q1).

18.55 Si se utiliza como deflactor del valor agregado nominal en (18.52) el índice de cantidades del valor agregado de Paasche QP(p0,p1, q0, q1) definido por la ecuación (18.46), se obtiene el siguiente desglose del valor agregado real del período 0 a precios del período 1:

utilizando la ecuación (18.46):

Así, el valor agregado real del período 0 a precios del período 1, rva0, se define como el valor agregado nominal del período 1, Σn=1Npyn1yn1Σm=1Mpxm1xm1, deflactado por el índice de cantidades del valor agregado de Paasche, QP(p 0,p1,q0,q1), definido por la ecuación (18.46). Pero la última línea de la ecuación (18.53) muestra que rva0 también es igual al valor de la producción del período 1, Σn=1Npyn1yn1, deflactado por el índice de cantidades del producto de Paasche, QP(py0,py1,y0,y1), menos el costo de los insumos intermedios del período 1, Σm=1Mpxm1xm1, deflactado por el índice de cantidades de los insumos intermedios de Paasche, QP(px0,px1,x0,x1).

18.56 Mediante la ecuación (18.45) se obtiene la siguiente fórmula de índice de cantidades de valor agre- gado de Paasche, QP, en términos del deflactor del valor agregado de Laspeyres, PL:

Ahora sustituyamos la ecuación (18.54) en la primera línea de la ecuación (18.53) para obtener el siguiente desglose alternativo del valor agregado real del período 0 a precios del período 1, rva0:

utilizando la ecuación (18.41):

Así, el valor agregado real del período 0 a precios del período 1, rva0, es igual al valor agregado nominal del período 0, Σn=1Npyn0yn0Σm=1Mpxm0xm0, ajustado por el y deflactor del valor agregado de Laspeyres, PL(p0,p1,q0,q1), de- finido por la ecuación (18.41). Pero la última línea de la ecuación (18.55) muestra que rva0 también es igual al valor de la producción del período 0, Σn=1Npyn0yn0, ajustado por el índice de precios del producto de Laspeyres, PL(py0,py1,y0,y1), menos el costo de los insumos intermedios del período 0, Σm=1Mpxm0xm0, ajustado por el índice de precios de los insumos intermedios de Laspeyres, PL(px0,px1,x0,x1)14.

E. Agregación de deflactores de establecimientos en un deflactor del valor agregado nacional

18.57 Construidos los deflactores del valor agregado para cada establecimiento, todavía subsiste el problema de agregarlos en un deflactor del valor agregado industrial, regional o nacional. En esta sección solo se con- siderará el problema de agregación nacional, pero el mismo razonamiento se aplica a problemas de agrega- ción regional y de industrias15.

18.58 Denotemos los vectores de precios del pro- ducto, cantidades del producto, de precios de los insu- mos intermedios y cantidades de los insumos interme- dios de un establecimiento e en el período t por pyet,yet,pxetyxet, respectivamente, para t = 0,1 y e = 1,…,E. Como siempre, los vectores de precios y cantidades netos del establecimiento e en el período t se definen como pet[pyet,pxet]yqet[yet,xet] para t = 0,1 y e = 1,…,E. Supongamos que la fórmula de números índice bilaterales P se utiliza para construir un deflactor del valor agregado, P(pe0,pe1,qe0,qe1), para el estableci- miento e donde e = 1,…,E. El problema es encontrar la manera de agregar estos índices de establecimientos en un deflactor del valor agregado nacional.

18.59 Para realizar esta agregación se utiliza el método de agregación en dos etapas explicado en la sección C. La primera etapa de agregación de los vec- tores de precios y cantidades es la de los vectores de precios del producto neto del establecimiento, pet, y los vectores de cantidades del producto neto del esta- blecimiento, qet. Estos vectores de precios y cantidades de los establecimientos se combinan en vectores de precios y cantidades nacionales, pt y qt, de la siguiente manera16:

Para cada establecimiento e, su precio agregado del valor agregado en el período base Pe0 se fija igual a 1 y la cantidad de valor agregado del establecimiento ecorrespondiente en el período base, Qe0, se define como el valor agregado del establecimiento en el período 0; es decir:

Ahora se utiliza la fórmula de índice de precios elegida, P, para construir el precio del período 1 del valor agregado para cada establecimiento e, digamos, Pe1 para e = 1,2,…,E:

Una vez definidos los precios del período 1 para los Eestablecimientos mediante la ecuación (18.58), pueden definirse las cantidades correspondientes del establecimiento e en el período 1, Qe1, deflactando los valores del período 1 del establecimiento, Σi=1N=Mpie1qie1, por los precios Pe1 definidos por la ecuación (18.58); es decir:

Los vectores de precios y cantidades agregados de los establecimientos para cada período t = 0,1 pueden definirse utilizando las ecuaciones (18.57) a (18.59). Así, los vectores de precios del valor agregado del establecimiento P0 y P1 se definen de la siguiente manera:

donde 1E denota un vector de dimensión E cuyos componentes son iguales a uno y los componentes de P1 se definen mediante la ecuación (18.58). Los vectores de cantidades del valor agregado del establecimiento de los períodos 0 y 1, Q0 y Q1, se definen de la siguiente manera:

donde los componentes de Q0 se definen en la ecuación (18.57) y los componentes de Q1 en la ecuación (18.59). Los vectores de precios y cantidades de las ecuaciones (18.60) y (18.61) representan los resultados de la primera etapa de agregación (de todos los productos dentro de un establecimiento). Estos vectores luego se emplean en la segunda etapa de agregación (que abarca todos los establecimientos); es decir, la fórmula de índice de precios elegida puede aplicarse para la fórmula del número índice utilizando la información de las ecuaciones (18.60) y (18.61). El deflactor del valor agregado nacional que resulta de la agregación en dos etapas es P(p0,p1, Q0, Q1). Cabe preguntarse si este índice en dos etapas es igual al índice en una sola etapa correspondiente P (p0,p1, q0, q1) que trata a cada producto o insumo intermedio de cada establecimiento como un producto separado, utilizando la misma fórmula de número índice P. Es decir, se pregunta si:

18.60 Si se utiliza la fórmula de Laspeyres o de Paasche en cada etapa de cada agregación, la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa. Por lo tanto, en especial, el deflactor del valor agregado nacional de Laspeyres que se construye en una única etapa de agregación, PL(p0,p1, q0, q1), es igual al deflactor del valor agregado de Laspeyres en dos etapas, PL(p0,p1, Q0, Q1), que utiliza la fórmula de Laspeyres en la ecuación (18.58) para construir deflactores del valor agregado de establecimientos en la primera etapa de agregación. Si en cada etapa de agregación se utiliza una fórmula superlativa, la respuesta a la pregunta sobre la consistencia en la agregación es negativa: cuando se utiliza un P superlativo, la igualdad de los miembros de la ecuación (18.62) no será exacta sino aproximada. No obstante, si en cada etapa de agregación se utilizan fórmulas de índices de precios de Fisher, de Walsh o de Törnqvist, la diferencia entre los miembros derecho e izquierdo de la ecuación 18.62 será muy pequeña cuando se usan datos de series temporales normales.

F. Deflactor del valor agregado nacional versus deflactor de la demanda final

18.61 En esta sección nos preguntamos si existen relaciones entre el deflactor del valor agregado nacional definido en las secciones precedentes de este capítulo y el deflactor nacional del gasto de la demanda final. Específicamente, buscamos las condiciones que implicarán que los dos deflactores sean exactamente iguales.

18.62 Supongamos que la clasificación de los bienes es la misma para los insumos intermedios y para los productos, de manera que, en particular, N, el número de productos que se producen, es igual a M, el número de insumos intermedios. Este supuesto no es restrictivo, dado que si se elige un N lo suficientemente grande, todos los insumos intermedios que se producen pueden ubicarse en la clasificación de productos ampliada17. Con este cambio en los supuestos, se puede utilizar la misma notación que en la sección anterior. Por lo tanto, denotemos los vectores de precios del producto, de cantidades del producto, de precios de los insumos intermedios y de cantidades de los insumos intermedios de un establecimiento e en el período t como pyet,yet,pxet y xet, respectivamente, para t = 0,1 y e = 1,…,E. Como es habitual, los vectores de precios y cantidades netos del establecimiento e en el período t se definen como pet[pyet,pxet]yqet[yet,xet] para t = 0,1 y e = 1,…,E. También en este caso, los vectores de precios y cantidades nacionales, pt y qt, se definen como:

Al igual que en la sección anterior, se elige una fórmula de número índice P y se denota al deflactor del valor agregado nacional como P(p0, p1, q0, q1).

18.63 Utilizando la notación anterior, Yt, la matriz de oferta de la economía en el período t, de dimensión N por E, y Xt, la matriz de utilización de la economía en el período t, de dimensión N por E, se definen de la siguiente manera:

El vector de la demanda final del período t de la economía,ft, puede definirse mediante la suma de todos los vectores de productos de los establecimientos yet en la matriz de oferta del período t y restando todos los vectores de demanda de insumos intermedios xet en la matriz de utilización del período t; es decir, definamos ft como18:

18.64 Se requiere que los precios de la demanda final se equiparen con los componentes del vector de cantidades de la demanda final del período t, ft=[f1t,,fNt]. El valor neto de la producción del bien n en el período tdividido por las entregas netas de ese bien a la demanda final fnt es el valor unitario de la demanda final del bienn en el período t, pfnt:

Si la ecuación (18.64) continúa siendo válida, de manera que para cada bien la producción menos los insumos intermedios utilizados sea igual a las entregas para la demanda final en el período t, y si para cada bien el valor de la producción menos el valor de la demanda intermedia es igual al valor de la demanda final en el período t, entonces los precios del valor agregado definidos en la ecuación (18.65) deben utilizarse como precios de la demanda final.

18.65 Definamos el vector de precios de la demanda final en el período t como pft[pf1t,pf0t,,pfNt] para t = 0,1, donde los componentes pfnt se definen mediante la ecuación (18.65). El vector de cantidades de la demanda final correspondiente ft ya fue definido por la ecuación (18.64). Así, puede utilizarse una fórmula genérica de número índice de precios, P, para conformar el deflactor de la demanda final, P(pf0,pf1, f0, f1). Ahora cabe preguntarse si este deflactor de la demanda final es igual al deflactor del valor agregado nacional P(p0,p1, q0, q1) definido en la sección B.3; es decir, si:

Obsérvese que la dimensión de cada vector de precios y cantidades en el miembro izquierdo de la ecuación (18.66) es N (la cantidad de bienes en nuestra clasificación de productos), en tanto que la dimensión de cada vector de precios y cantidades del miembro derecho de la ecuación (18.66) es 2NE, donde E es la cantidad de establecimientos (o industrias o sectores que tienen distintos vectores de precios y cantidades para los productos e insumos intermedios) en la agregación.

18.66 La respuesta a la pregunta del párrafo anterior es negativa: en general el deflactor de la demanda final no es igual al deflactor del valor agregado nacional.

18.67 Sin embargo, bajo ciertas condiciones se verificará la igualdad de la ecuación (18.66). A continuación se establece un conjunto de condiciones para ello. El primer supuesto es que todos los establecimientos se enfrentan al mismo vector de precios pt en el período tpara los productos que producen y los insumos intermedios que utilizan. Es decir, se supone que19:

Si se cumplen los supuestos de la ecuación (18.67) es fácil verificar que el vector de precios de la demanda final en el período t, pft, definido por la ecuación (18.65), también es igual al vector de precios básicos del período t, pt.

18.68 Si se cumplen los supuestos de la ecuación (18.67) y se utiliza la fórmula de Laspeyres como fórmula del índice de precios en ambos miembros de la ecuación (18.66), se verifica la igualdad de esta ecuación; o sea que el deflactor de la demanda final de Laspeyres será igual al deflactor del valor agregado nacional de Laspeyres. Para ver por qué ocurre esto, utilicemos la fórmula de Laspeyres de la ecuación (18.66) y, para el miembro izquierdo del índice, recopilemos todos los términos de cantidades en el numerador y denominador del índice que corresponden al precio común a los establecimientos del n-ésimo bien, pnt=pynet=pxnet, para e = 1,…,E. Utilizando la ecuación (18.64) para t = 0, la suma que resulta de los términos de cantidades recopilados será igual a fn0. Como esto es válido para n = 1,…,N, puede verse que el miembro izquierdo y el miembro derecho del índice de Laspeyres son iguales entre sí.

18.69 Si se cumplen los supuestos de la ecuación (18.67) y se utiliza la fórmula de Paaschecomo fórmula del índice de precios en ambos miembros de la ecuación (18.66), también se verifica la igualdad de esta ecuación; o sea que el deflactor de la demanda final de Paasche será igual al deflactor del valor agregado nacional de Paasche. Para ver por qué ocurre esto, utilicemos la fórmula de Paasche de la ecuación (18.66) y, para el miembro izquierdo del índice, recopilemos en el numerador y denominador del índice todos los términos de cantidades que corresponden al precio común a los establecimientos del n-ésimo producto, pnt=pynet=pxnet, para e = 1,…,E. Utilizando la ecuación (18.64) para t = 1, la suma resultante de los términos de cantidades recopilados será igual a fn1. Como esto es válido para n = 1,…,N, puede verse que el miembro izquierdo y el miembro derecho del índice de Paasche son iguales entre sí.

18.70 Estos resultados implican que el deflactor del valor agregado nacional será igual al deflactor de la demanda final siempre y cuando se utilicen los índices de Laspeyres o de Paasche y se cumplan los supuestos de la ecuación (18.67). Pero estos dos resultados también implican que si se cumple la ecuación (18.67) y se utilizan índices de precios ideales de Fisher, se obtiene una importante igualdad: el deflactor del valor agregado nacional de Fisher es igual al deflactor de la demanda final de Fisher.

18.71 Recordemos la ecuación (18.21) del índice nacional de precios del producto de Törnqvist-Theil, PT, presentado en la sección B.1. El deflactor del valor agregado nacional de Törnqvist-Theil correspondiente, PT, se definió en la sección B.3. Formulemos los supuestos de la ecuación (18.67), empezando con el deflactor del valor agregado nacional de Törnqvist-Theil, y recopilemos todos los exponentes que correspondan al relativo de precios común del bien n, pn1/pn0. Utilizando la ecuación (18.65), la suma de estos exponentes es igual al exponente del n-ésimo término de precios, pfn1/pfn0=pn1/pn0, del deflactor de la demanda final de Törnqvist-Theil. Dado que esta igualdad es válida para todos los n = 1,…,N, también se obtiene la igualdad entre el deflactor del valor agregado nacional y el deflactor de la demanda final si se utiliza la fórmula de Törnqvist, PT, en ambos miembros de la ecuación (18.66).

18.72 Resumiendo los resultados anteriores, se ha demostrado que el deflactor del valor agregado nacional es igual al deflactor de la demanda final siempre y cuando todos los establecimientos se enfrenten al mismo vector de precios en cada período para los bienes que producen y los insumos intermedios que utilizan, y siempre y cuando se utilicen fórmulas de índices de precios de Laspeyres, de Paasche, de Fisher o de Törnqvist para ambos deflactores20. Sin embargo, estos resultados se determinaron sin tener en cuenta la existencia de posibles impuestos indirectos y subsidios aplicables sobre los productos e insumos intermedios de cada establecimiento. Es necesario generalizar los resultados iniciales para contemplar aquellas situaciones en las cuales se presentan impuestos indirectos que graven las entregas a la demanda final y a la utilización de los insumos intermedios.

18.73 Por otra parte, supongamos que todos los establecimientos se enfrentan a los mismos precios de los insumos y productos, pero ahora supongamos que las entregas al sector de la demanda final están gravadas con impuestos indirectos21. Sea τnt la tasa impositiva ad valórem al producto en el período t sobre las entregas para la demanda final del bien n para t = 0,1 y n = 1,…,N22. Así, el precio de la demanda final del bien n en el período t ahora es:

Estos precios de la demanda final ajustados por impuestos, definidos en la ecuación (18.68) pueden utilizarse para formar nuevos vectores de precios de la demanda final, pft[pf1t,,pfNt] para t = 0,1. Los vectores de cantidades de la demanda final correspondientes, f0 y f1, siguen siendo los definidos en la ecuación (18.64).

Ahora, elijamos una fórmula de número índice P y elaboremos un deflactor de la demanda final P(pf0, pf1, f0, f1) utilizando los nuevos precios ajustados por impuestos, pf0, pf1. Si las tasas impositivas τnt que gravan los bienes son significativas, el nuevo deflactor de la demanda final P(pf0, pf1, f0, f1) puede ser muy distinto del deflactor del valor agregado nacional P(p0,p1, q0, q1) definido antes en esta sección (porque ninguno de los términos de los impuestos a los productos figura en el deflactor del valor agregado nacional).

18.74 Sin embargo, es posible ajustar el deflactor del valor agregado nacional a fin de hacerlo más comparable al deflactor de la demanda final. Recordemos que los vectores de precios y cantidades, pt y qt, en el deflactor del valor agregado nacional se definen de la siguiente manera23:

donde pyet es el vector de precios del producto que enfrenta el establecimiento e en el período t, pxet es el vector de precios de los insumos que enfrenta el establecimiento e en el período t, yet es el vector del producto del establecimiento e en el período t y xet es el vector de los insumos intermedios utilizado por el establecimiento e durante el período t. El ajuste realizado al deflactor del valor agregado nacional consiste en agregarle N bienes artificiales a la lista de productos e insumos agregados en el deflactor del valor agregado nacional. Definamos el precio y la cantidad del n-ésimo bien artificialadicional como:

Así, el precio del n-ésimo bien artificial en el período tes simplemente el producto de la multiplicación entre el n-ésimo precio básico, pnt, y la tasa impositiva del n-ésimo bien en el período t, τnt. La cantidad del n-ésimo bien artificial en el período t es simplemente igual a la demanda final del bien n en el período t, fnt. Nótese que el valor de los N bienes artificiales en el período t es simplemente igual a los ingresos tributarios del bien en el período t. Definamos los vectores de precios y cantidades de los bienes artificiales en el período t como lo hacemos habitualmente, es decir, pAt[p1At,,pNAt]yqAt[q1At,,qNAt]=ft, para t = 0,1. Ahora agreguemos el vector de precios adicionales pAt al vector de precios iniciales del período t, pt, utilizado en el deflactor del valor agregado nacional y agreguemos el vector de cantidades adicionales qAt al vector de cantidades iniciales del período t, qt, utilizado en el deflactor del valor agregado nacional. Es decir, definimos los vectores de precios y cantidades nacionales aumentados, pt* y qt*, de la siguiente manera:

A partir de los vectores de precios y cantidades aumentados recién definidos, calculemos un nuevo deflactor del valor agregado nacional ajustado por impuestos utilizando la fórmula de número índice elegida, P(p0*, p1*, q0*, q1*), y preguntémonos si es igual al deflactor de la demanda final, P(pf0, pf1, f0, f1), que utiliza los nuevos precios ajustados por impuestos, pf, pf1, definidos por la ecuación (18.68). Es decir, preguntémonos si se verifica la siguiente igualdad:

18.75 Tomemos P igual a PL, (fórmula de Laspeyres), y evaluemos el miembro izquierdo de la ecuación (18.72). A partir de los supuestos de la ecuación (18.67), recopilemos todos los términos que corresponden al precio del n-ésimo bien pn1 en el numerador del deflactor del valor agregado nacional de Laspeyres, PL(p0*, p1*, q0*, q1*). Utilizando la ecuación (18.64) para t = 0, la suma resultante de los términos que incluyen pn1 es pn1(1 + τn1)fn0, que es igual al n-ésimo término del numerador del deflactor de la demanda final, PL(pf0, pf1, f0, f1). De manera similar, recopilemos todos los términos que corresponden al precio del n-ésimo bien pn0 en el denominador del deflactor del valor agregado nacional de Laspeyres, PL(p0*, p1*, q0*, q1*). Utilizando la ecuación (18.64) para t = 0, la suma resultante de los términos que incluyen pn0 es pn0(1 + τn1)fn0, que es igual al n-ésimo término en el denominador del deflactor de la demanda final, PL(pf0, pf1, f0, f1). Así, bajo los supuestos anteriores y utilizando el índice de precios de Laspeyres para cada uno de los deflactores, se verifica exactamente la igualdad de la ecuación (18.72).

18.76 Ahora tomemos P igual a PP (formula de Paasche), y evaluemos el miembro izquierdo de la ecuación (18.72). A partir de los supuestos de la ecuación (18.67), recopilemos todos los términos que corresponden al precio del n-ésimo bien pn1 en el numerador del deflactor del valor agregado nacional de Paasche, PP(p0*, p1*, q0*, q1*). Utilizando la ecuación (18.64) para t = 1, la suma resultante de los términos que incluyen pn1 es pn1(1 + τn1)fn1, que es igual al n-ésimo término en el numerador del deflactor de la demanda final, PP(pf0, pf1, f0, f1). De manera similar, recopilemos todos los términos que corresponden al precio del n-ésimo bien pn0 en el denominador del deflactor del valor agregado nacional de Paasche, PP(p0*, p1*, q0*, q1*). Utilizando la ecuación (18.64) para t = 1, la suma resultante de estos términos que incluyen pn0 es pn0(1 + τn1)fn1, que es igual al n-ésimo término en el denominador del deflactor de la demanda final, PP(pf0,pf1, f0, f1). Por ello, bajo los supuestos anteriores y utilizando el índice de precios de Paasche para cada uno de los deflactores, se verifica exactamenta la de la ecuación (18.72). Teniendo en cuenta este resultado y el obtenido en el párrafo anterior, se advierte que, bajo los supuestos mencionados, también se verifica la igualdad de la ecuación (18.72) si utilizamos el índice de Fisher tanto para el deflactor de la demanda final como para el deflactor del valor agregado nacional ajustado por impuestos, que se construye a partir de información de la industria.

18.77 Por último, tomemos P igual a PT (fórmula de Törnqvist-Theil para un índice de precios), y evaluemos ambos miembros de la ecuación (18.79). En general, en este caso no se obtiene una igualdad absoluta entre el deflactor del valor agregado nacional de Törnqvist-Theil ajustado por impuestos, PT(p0*, p1*, q0*, q1*), y el deflactor de la demanda final de Törnqvist-Theil, PT(pf0,pf1, f0, f1).

18.78 Sin embargo, si además de la ecuación (18.67), que supone igualdad de precios básicos entre las industrias, se supone también la igualdad de las tasas impositivas de los bienes en el período 0 y 1 de manera que:

entonces puede demostrarse que el deflactor del valor agregado nacional de Törnqvist-Theil ajustado por impuestos, PT(p0*,p1*, q0*, q1*), y el deflactor de la demanda final de Törnqvist-Theil, PT(pf0,pf1, f0, f1), son exactamente iguales.

Estos últimos resultados pueden modificarse para funcionar a la inversa; es decir, comencemos con el deflactor de la demanda final y ajustémoslo con bienes artificiales. Luego el deflactor de la demanda final ajustado por impuestos resultante es igual al deflactor del valor agregado nacional original sin ajustar. Para implementar este método inverso, es necesario agregar N bienes artificiales más a la lista de productos e insumos que abarca el deflactor de la demanda final. Definamos el precio y la cantidad del n-ésimo bien artificialadicional de la siguiente manera:

Así, el precio del n-ésimo bien artificial en el período t es tan solo el producto de la multiplicación entre el n-ésimo precio básico, pnt, y la tasa impositiva del n-ésimo bien en el período t, τnt. La cantidad del n-ésimo bien artificial en el período t es simplemente igual a menos la demanda final del bien n en el período t, –fnt. Cabe señalar que el valor en el período t de todos los Nbienes artificiales es igual a menos los ingresos tributarios de los bienes del período t. Definamos los vectores de precios y cantidades del período t de los bienes artificiales como es habitual, es decir, pAt[p1At,,pNAt] y qAt[q1At,,qNAt]=ft, para t = 0,1. Ahora agreguemos el vector de precios adicionales pAt al viejo vector de precios del período t, pft, utilizado en el deflactor de la demanda final, y el vector de cantidades adicionales qAt al vector de cantidades iniciales del período t, ft, que se utilizó en el deflactor de la demanda final. Es decir, definimos los vectores aumentados de precios y cantidades de la demanda final, pt* y ft*, de la siguiente manera:

Utilizando los vectores aumentados de precios y cantidades definidos anteriormente, calculamos un nuevo deflactor de la demanda final ajustado por impuestos mediante la fórmula de número índice elegida, P(pf0*, pf1*, f0*, f1*), y ahora la pregunta es si este será igual al deflactor del valor agregado nacional inicial (sin ajustes por impuestos a los bienes sobre la demanda final), P(p0,p1, q0, q1); es decir, nos preguntamos si se verifica la siguiente igualdad:

18.79 Bajo el supuesto de que todos los establecimientos se enfrentan a los mismos precios, puede demostrarse que el deflactor de la demanda final ajustado por impuestos es exactamente igual al deflactor del valor agregado nacional, siempre que se elija como fórmula de número índice en la ecuación (18.76) una fórmula de Laspeyres, de Paasche o de Fisher, PL, PP o PF. Generalmente la ecuación (18.76) no se verifica exactamente cuando se utiliza la fórmula de Törnqvist-Theil, PT. Sin embargo, si las tasas impositivas sobre los bienes en los períodos 0 y 1 son iguales, de manera que se cumplan los supuestos de la ecuación (18.73) adicionalmente a los de la ecuación (18.67), entonces puede demostrarse que la igualdad de la ecuación (18.76) se verifica cuando P se fija igual a PT, la fórmula de Törnqvist-Theil. Estos resultados tienen cierta importancia en la práctica por la siguiente razón: la mayoría de los países no cuenta con información suficiente para respaldar un sistema completo de índices de precios del valor agregado para cada sector de la economía24. Suele haber suficiente información para que la oficina de estadística calcule el deflactor de la demanda final. Sin embargo, el deflactor preferido para medir la productividad de la economía cuando se utiliza el enfoque económico de la teoría de los números índice es el deflactor del valor agregado nacional25. Los resultados recién presentados demuestran que, bajo ciertas condiciones, el deflactor de la demanda final puede modificarse de modo que se aproxime bastante al deflactor del valor agregado nacional.

18.80 Dentro de la teoría de la contabilidad nacional siempre ha sido un tanto misteriosa la cuestión de cómo desglosar los ingresos tributarios en componentes de precio y cantidad. Los resultados expuestos en esta sección pueden ser útiles a la hora de sugerir desgloses razonables bajo ciertas condiciones.

Si bien en cuanto a su definición el índice de precios del valor agregado es como cualquier otro índice de precios, suele llamárselo “deflactor del valor agregado”, y este Manual respetará esta terminología de uso generalizado.

Este concepto de índice de precios del producto de toda la economía puede encontrarse en Diewert (2001).

También se supone que se satisfacen las condiciones de simetría αnjt=αjnt para todo n, j y para t = 0,1 y γmkt=γkmt para todo m, k y para t = 0,1.

También implícitamente se supone que todos los establecimientos pueden producir cada uno de los N productos de la economía y que todos los establecimientos utilizan todos los M + K insumos de la economía. Estos supuestos restrictivos pueden flexibilizarse con facilidad, pero solo a costa de aumentar la complejidad de la notación. Lo único que se requiere es que todos los establecimientos produzcan el mismo conjunto de productos en cada período.

De hecho, el supuesto de que la función del ingreso nacional del período t, Rt(p, v), tenga la forma funcional translogarítmica definida por la ecuación (18.17) puede considerarse como una aproximación a la verdadera tecnología, pues la ecuación (18.17) no impone ninguna restricción sobre la tecnología nacional, lo que quedaba implícito en la igualdad entre la función del ingreso nacional y la suma de las funciones de ingreso de los establecimientos.

Gran parte del material en la primera parte de esta sección es una adaptación de Diewert (1978) y Alterman, Diewert y Feenstra (1999). Véanse también Vartia (1976a; 1976b) y Balk (1996b) para un análisis de las distintas definiciones del concepto de agregación en dos etapas y referencias bibliográficas sobre este tema.

Véase Diewert (1978, pág. 889), quien utilizó algunos resultados atribuidos a Vartia (1976a; 1976b).

Véase una comparación empírica de los cuatro índices en Diewert (1978, págs. 894–95). Para los datos de consumo de Canadá allí considerados, el índice encadenado en dos etapas de Fisher de 1971 era 2,3228 y el índice encadenado en dos etapas de Törnqvist correspondiente era 2,3230, los mismos valores que los índices correspondientes en una etapa.

Véase más información sobre este tema en el capítulo 19.

“Establecimiento” podría sustituirse por “industria” o “economía nacional”.

Recordemos el gráfico 17.1, que ejemplificaba los sesgos de sustitución de los índices de precios del producto de Laspeyres y de Paasche.

La utilización del índice de cantidades del producto de Laspeyres se atribuye a Bowley (1921, pág. 203).

Véase Schreyer (2001, pág. 32). Gran parte de este libro revestirá interés para los expertos en estadísticas de precios.

Este método para construir mediciones del valor agregado real fue utilizado por Phillips (1961, pág. 320).

El álgebra desarrollada en la sección E también puede aplicarse al problema de la agregación de índices del producto o de los insumos intermedios de establecimientos o industrias en índices nacionales de precios del producto de los insumos intermedios nacionales.

La ecuación (18.56) es la contraparte de la ecuación (18.26) de la sección C. Las ecuaciones (18.57) a (18.61) son contrapartes de las ecuaciones (18.27) a (18.38) de las secciones C y D.

No es necesario suponer que cada establecimiento o sector de la economía produce todos los productos ni utiliza todos los insumos intermedios en cada uno de los dos períodos comparados. Solo se requiere que si el establecimiento e no produce algún producto en alguno de los dos períodos tampoco lo haga en el otro. De manera similar, se requiere que si un establecimiento no utiliza algún insumo intermedio en alguno de los períodos, tampoco utilice ese insumo en el otro.

Los componentes de ft pueden ser negativos si el producto correspondiente se importa en el período t, o si el componente corresponde a un cambio en el artículo de inventario.

Bajo estas hipótesis, el vector de precios al productor pt puede interpretarse como el vector de precios básicos al productordel SCN 1993.

Este resultado no se cumple si utilizamos la fórmula del índice de precios de Walsh.

Hicks (1940, pág. 106) parece haber sido el primero en notar que el tratamiento de los impuestos indirectos en la contabilidad nacional depende del propósito del cálculo. Por lo tanto, para medir la productividad, Hicks (1940, pág. 124) propuso utilizar los precios que mejor representen los costos y beneficios marginales desde la perspectiva de los productores, es decir, los precios básicos. Por otra parte, si lo que se busca es medir el bienestar económico, Hicks (1940, págs. 123–24) recomienda utilizar los precios que mejor representen las utilidades marginales de los consumidores, es decir, los precios de la demanda final. Bowley (1922, pág. 8) sugiere utilizar los precios de la demanda final, pero adoptó implícitamente la perspectiva del bienestar: “Para el comprador de whisky, tabaco o entradas a espectáculos, los bienes comprados valen lo que paga por ellos; le resulta indistinto si el dinero va al Estado o al productor”.

Si se subsidia el bien n en el período t, entonces τnt puede fijarse igual a menos la tasa del subsidio. En la mayoría de los países, el régimen impositivo indirecto es mucho más complejo que el modelo aquí presentado, dado que los sectores de la demanda final se gravan con distintas tasas impositivas; por ejemplo, los bienes exportados suelen gravarse con una tasa menor a la de los bienes de otros sectores de la demanda final o directamente no se gravan. Para incorporar estas complicaciones al análisis, sería necesario desglosar todo el sector de la demanda final en varios sectores (un desglose típico sería C + I + G + XM) y darle un tratamiento impositivo uniforme a cada sector. Las tarifas sobre bienes y servicios importados pueden incorporarse fácilmente a este marco desagregado. A su vez, los impuestos que gravan insumos intermedios complican el análisis aún más y requieren ampliar la exposición. En este punto, el propósito es señalarle al lector que el deflactor del valor agregado nacional está muy vinculado con el deflactor de la demanda final.

Bajo los supuestos de la ecuación (18.67), la definición de pt se simplifica notablemente.

Específicamente, suele faltar información sobre los precios y cantidades de los insumos intermedios utilizados por cada sector. Fabricant (1938, págs. 566–70) notó hace muchos años esta deficiencia de datos e indicó algunos métodos útiles que se aplican aún hoy para intentar superar el problema.

Véase una explicación más amplia en Schreyer (2001).

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