Chapter

17. Enfoque económico

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
September 2009
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A. Introducción

A.1 Información preliminar

17.1 La familia de los IPP brinda índices de precios para deflactar sectores del sistema de cuentas nacionales. Es de conocimiento general1 que existen tres enfoques distintos para medir el PIB:

  • El enfoque de la producción.

  • El enfoque del gasto o de la demanda final.

  • El enfoque del ingreso.

El cálculo del PIB nominal mediante el enfoque de la producción2, requiere calcular el valor del producto elaborado por una industria y restar el valor de los insumos intermedios (o del consumo intermedio, según el término utilizado por la contabilidad nacional) empleados en dicha industria. Esta diferencia de valor se denomina valor agregado de la industria. La suma de estas estimaciones del valor agregado de las industrias provee una estimación del PIB nacional. Los IPP se utilizan para deflactar por separado la producción de las industrias y sus insumos intermedios3. El IPP también se utiliza para deflactar el valor agregado nominal de una industria, a efectos de expresarlo a precios constantes.

17.2 El enfoque económico del IPP no comienza a nivel de la industria, sino a nivel de los establecimientos. El establecimiento para el IPP es la contrapartida del hogar en la teoría del IPC. El establecimiento es una entidad económica que se ocupa de la producción o la actividad productiva en una determinada ubicación geográfica en un país y está capacitado para suministrar información contable básica de los precios y cantidades de los productos que elabora y los insumos que utiliza durante un período contable. Este capítulo se centra en aquellos establecimientos que se dedican a la producción con fines de lucro. En el capítulo 14, se indicó que el SCN 1993subdivide las cuentas de producción en producción de mercado (P.11), producción para uso final propio (P.12) y otra producción no de mercado (P.13). Esta última incluye la producción del gobierno e instituciones sin fines de lucro que sirven a los hogares que es distribuida en forma gratuita o vendida a precios que no son económicamente significativos. El IPP abarca todos los tipos de bienes y servicios producidos o procesados en el país valorados a precios de mercado y, por ello, excluye la otra producción no de mercado, P.13.

17.3 La producción es una actividad que transforma o combina insumos materiales a fin de obtener otros productos materiales (por ejemplo, las actividades agrícolas, mineras, manufactureras o de la construcción) o transporta materiales de una ubicación a otra. La producción también comprende actividades de almacenamiento que, en realidad, transportan materiales que se encuentran en una misma ubicación, de un período a otro. Por último, la producción también comprende el uso y la creación de toda clase de servicios4.

17.4 La definición de establecimiento recién expuesta presenta dos problemas principales. El primero es que muchas unidades de producción, en determinadas ubicaciones geográficas, no tienen la capacidad de suministrar la información contable básica relativa a los insumos utilizados ni los productos elaborados. Estas unidades de producción pueden ser, simplemente, una división o una única planta de una empresa más grande, y es posible que solo se disponga de información contable detallada sobre precios en la oficina central. En este caso, se modifica la definición de establecimiento a fin de que incluya unidades de producción en varias ubicaciones geográficas del país y no en una sola. El aspecto importante de la definición de establecimiento es la capacidad de suministrar información contable sobre precios y cantidades5. El segundo problema es que, si bien el establecimiento puede informar datos cuantitativos con exactitud, su información de precios puede estar basada en precios de transferencia establecidos por la oficina central. Estos precios de transferencia son precios imputados y es posible que su relación con los precios de mercado no sea muy estrecha6.

17.5 Por ello, los problemas que involucran la obtención de los precios correctos de los productos de los establecimientos suelen ser más complejos que los correspondientes a la obtención de los precios de mercado para los hogares. Sin embargo, en este capítulo, no se toman en cuenta estos problemas y se supondrá que se dispone de precios de mercado representativos para cada producto elaborado por un establecimiento y para cada uno de los insumos intermedios utilizados por el mismo establecimiento durante al menos dos períodos contables7.

17.6 El enfoque económico de los IPP requiere que los precios del producto de los establecimientos excluyan todo impuesto indirecto que diversos niveles de gobierno puedan imponer sobre los productos elaborados por el establecimiento. Estos impuestos indirectos son excluidos porque las empresas no pueden quedarse con esos ingresos tributarios, aunque los recauden para luego dárselos al gobierno. Por ello, estos impuestos no forman parte del flujo de ingresos del establecimiento. Por otra parte, el enfoque económico de los IPP requiere que los precios de los insumos intermedios de los establecimientos incluyan todo impuesto indirecto que grave estos insumos utilizados por el establecimiento. Estos impuestos se incluyen porque en realidad son costos pagados por el establecimiento. Estas convenciones acerca del tratamiento de los impuestos indirectos a la producción son coherentes con aquellas especificadas en la sección B.1 del capítulo 2.

17.7 A los fines de las primeras secciones de este capítulo, se definirán el índice de precios del producto, el índice de precios de los insumos intermedios y el deflactor del valor agregado8 para un único establecimiento desde una perspectiva económica. En secciones subsiguientes, se agregarán los establecimientos a fin de definir las contrapartidas nacionales correspondientes a estos índices de precios de los establecimientos.

17.8 Se requiere definir alguna notación. Consideremos el caso de un establecimiento que elabora N productos durante dos períodos, 0 y 1. Definamos el vector de precios de productosdel período t como pyt[py1t,,pyNt] y el vector de cantidades del productodel período t como yt[y1t,,yNt], para t = 0,1. Supongamos que el establecimiento utiliza M productos como insumos intermedios en los períodos 0 y 1. Un insumo intermedio es un insumo producido por otro establecimiento en el país o un producto importado (no duradero)9. El vector de precios de insumos intermedios del período t se denota como pxt[px1t,,pxMt] y el vector de cantidades de insumos intermediosdel período t correspondiente como xt[x1t,,xMt] para t = 0,1. Por último, se supone que el establecimiento utiliza los servicios de K insumos primariosdurante los períodos 0 y 1. El vector de insumos primarios del período t utilizado por el establecimiento se expresa como zt[z1t,,zKt] para t = 0,1.

17.9 Cabe destacar que se supone que la lista de productos elaborados por el establecimiento y la lista de insumos utilizados por este permanecen igualesen los dos períodos para los que se quiere comparar los precios. En la práctica, la lista de productos que el establecimiento utiliza y elabora no permanece constante en el tiempo. Nuevos productos aparecen, y otros viejos desaparecen. Esta rotación se debe, entre otras razones, a que:

  • i) Los productores sustituyen viejos procesos por otros nuevos en respuesta a cambios en los precios relativos, y algunos de estos nuevos procesos utilizan nuevos insumos.

  • ii) El progreso técnico crea nuevos procesos o productos, y los nuevos procesos utilizan insumos no utilizados anteriormente.

  • iii) Las fluctuaciones estacionales de la demanda (u oferta) de productos lleva a que en ciertos períodos del año no estén disponibles determinados productos.

La introducción de nuevos productos se analiza en el capítulo 21, y los problemas asociados con los productos estacionales, en el capítulo 22. En este capítulo, se dejan de lado estas complicaciones y se supone que la lista de productos permanece igual en los dos períodos bajo consideración. También se supondrá que todos los establecimientos están presentes en los dos períodos bajo estudio; es decir, que no hay nuevos establecimientos ni tampoco otros que desaparecen10.

17.10 Cuando resulta conveniente, se simplifica la notación anterior a fin de equipararla a la utilizada en los capítulos 15 y 16. Así, cuando se estudie el índice de precios del producto, pyt[py1t,,pyNt]yyt[y1t,,yNt], se reemplazarán por pt[p1t,,pNt]yqt[q1t,,qNt]. Cuando se estudie el índice de precios de los insumos, pxt[px1t,,pxMt]yxt[x1t,,xMt], se reemplazarán por pt[o1t,,pMt]yqt[q1t,,qMt], y, cuando se estudie el deflactor del valor agregado, el vector compuesto de precios de productos e insumos [pyt,pxt], se reemplazará por pt[p1t,,pNt], y el vector de productos netos [yt, –xt], por qt[q1t,,qNt] para t = 0,1 en cada caso. Por lo tanto, la definición apropiada de pt y qt depende del contexto.

17.11 Para la mayoría de los profesionales que trabajan en el campo, el marco de referencia de este trabajo, según el cual se cuenta con datos detallados de precios y cantidades para cada uno de los establecimientos de la economía, cuyo número puede llegar a los millones, parecerá muy poco realista. No obstante, es posible dar dos respuestas a esta muy legítima crítica:

  • La generalización del uso de la informática y la facilidad para almacenar datos de transacciones ha vuelto más realista el supuesto de que la oficina de estadística tiene acceso a datos detallados de precios y cantidades. Con la colaboración de las empresas, ahora es posible calcular índices de precios y cantidades del tipo estudiado en los capítulos 15 y 16 utilizando datos muy detallados sobre precios y cantidades11.

  • Aun si no es realista esperar obtener datos detallados de precios y cantidades de cada transacción realizada por cada establecimiento de la economía con una frecuencia mensual o trimestral, de todos modos, es necesario especificar con precisión el universo de transacciones en la economía. Una vez definido el universo objetivo, es posible adoptar técnicas de muestreo que permitan reducir los requerimientos de datos.

A.2 Descripción general del capítulo

17.12 En esta sección, se presenta una breve descripción general del contenido de este capítulo. En la sección B, se esboza la teoría económica de los índices de precios del producto para un establecimiento. Esta teoría se atribuye principalmente a Fisher y Shell (1972) y a Archibald (1977). Se desarrollan varias cotas para el índice de precios del producto, así como también algunas aproximaciones útiles al índice teórico de precios del producto. Se esboza la teoría de índices superlativos de Diewert (1976). Es posible evaluar un índice superlativo mediante la utilización de datos de precios y cantidades observables pero, bajo ciertas condiciones, este índice puede arrojar la misma respuesta que el índice teórico de precios del producto.

17.13 En los dos capítulos anteriores, el índice de precios ideal de Fisher (1922) y el índice de precios de Törnqvist (1936) fueron convalidados por los enfoques estocástico y de propiedades de la teoría de los números índice, respectivamente. Estos dos índices también surgirán como dos muy buenas opciones desde la perspectiva económica. Sin embargo, un inconveniente práctico a la hora de utilizarlos es que se requiere información de cantidades del período corriente, y la oficina de estadística no suele contar con esta información en el período corriente. Por ende, en la sección E, se consideran propuestas recientes para aproximarestos índices mediante la utilización de información corriente solo de precios; es decir, se supone que no se dispone de información sobre las cantidades del período corriente.

17.14 Por último, el apéndice 17.1, analiza la relación entre el índice de precios de Divisia presentado en el capítulo 15 y un índice económico de precios del producto.

B. Índice de precios del producto de Fisher-Shell: El caso de un único establecimiento

B.1 Índice de precios del producto de Fisher-Shell y cotas observables

17.15 Esta sección presenta una síntesis de la teoría del índice de precios del producto para un único establecimiento desarrollada por Fisher y Shell (1972) y Archibald (1977). Esta teoría es la contrapartida del productor de la teoría del costo de vida para un único consumidor (u hogar) ideada originalmente por el economista ruso Konüs (1924). Estos enfoques económicos de los índices de precios dependen del supuesto del comportamiento optimizador (competitivo) por parte de los agentes económicos (consumidores o productores). Así, en el caso del índice de precios del producto, dado un vector de precios de productos pt que enfrenta el agente en un período dado de tiempo t, se supone que el correspondiente vector de cantidades hipotético qt es la solución al problema de maximización de ingresos que considera la función de producción del productor fo el conjunto de posibilidades de producción (de ahora en más, los términos valor de producción e ingreso se utilizarán indistintamente, y se dejan de lado las variaciones de inventarios).

17.16 A diferencia del enfoque axiomático de la teoría de los números índice, el enfoque económico no supone que los dos vectores de cantidades q0[q10,,qN0]yq1[q11,,qN1] son independientes de los dos vectores de precios p0[p10,,pN0]yp1[p11,,pN1]. Según el enfoque económico, el vector de cantidades del período 0, q0, se determina por la función de producción del productor del período 0 y el vector de precios p0 que enfrenta el productor, y el vector de cantidades q1 del período 1 se determina por la función de producción f del productor del período 1 y el vector de precios p1 del período 1.

17.17 Antes de definir el índice de precios del producto de un establecimiento, es necesario describir la tecnología del establecimiento en el período t. En la bibliografía económica es habitual describir la tecnología de una empresa o industria en términos de una función de producción, que revela la cantidad máxima de producto que es posible producir utilizando un vector de insumos dado. Sin embargo, debido a que la mayoría de los establecimientos elaboran más de un producto, es más conveniente describir la tecnología de un establecimiento en el período t mediante un conjunto de posibilidades de producción St. El conjunto St describe qué vectores de productos q es posible producir en el período t si el establecimiento dispone del vector de insumos v ≡ [x,z], donde x es un vector de insumos intermedios y z es un vector de insumos primarios. Así, si [q,v] pertenece a St, el establecimiento puede producir el vector de productos no negativo q en el período t utilizando el vector no negativo de insumos v.

17.18 Sea p ≡ (p1, … pN) o un vector de precios positivos del producto que un establecimiento enfrenta en el período t, y sea v ≡ [x,z] un vector no negativo de insumos que el establecimiento tiene disponibles para utilizar en el período t; entonces, la función de ingreso del establecimiento que utiliza tecnología del período t se define como la solución al siguiente problema de maximización de ingresos:

Así, Rt(p, v) es el valor máximo del producto, Σn=1Npnqn, que el establecimiento puede generar, dado el vector de precios de productos p al que se enfrenta y dado el vector de insumos v disponible para ser utilizado, empleando la tecnología del período t12.

17.19 La función de ingreso del período t, Rt, puede ser utilizada para definir el índice de precios del producto, Pt, del establecimiento con la tecnología del período t, entre dos períodos, por ejemplo, los períodos 0 y 1, de la siguiente manera:

donde p0 y p1 son los vectores de precios del producto que enfrenta el establecimiento en los períodos 0 y 1, respectivamente, y v es el vector de referencia de los insumos intermedios y primarios13. Si N = 1, de manera que el establecimiento produce solo un producto, se puede demostrar que el índice de precios del producto se reduce al relativo de precios de un único producto entre los períodos 0 y 1, p11/p10. En el caso general, cabe señalar que el índice de precios del producto definido por la ecuación (17.2) es un cociente de ingresos hipotéticos que el establecimiento podría alcanzar, dado que dispone de la tecnología del período t y del vector de insumos v. El numerador de la ecuación (17.2) es el ingreso máximo que el establecimiento podría alcanzar si enfrentara los precios del producto del período 1, p1, y el denominador de la ecuación (17.2) es el ingreso máximo que el establecimiento podría alcanzar si enfrentara los precios del producto del período 0, p0. Cabe señalar que todas las variables en el numerador y denominador son las mismas, a exepción de los vectores de precios del producto. Se trata de una característica distintiva del índice de precios económico: todas las variables del entorno se mantienen constantes, con la excepción de los precios en el dominio de definición del índice de precios.

17.20 Cabe señalar que existe una amplia variedad de índices de precios con la forma de la ecuación (17.2), dependiendo de la tecnología de referencia t y el vector de insumos de referencia v seleccionados. Por ello, no existe un único índice de precios económico del tipo definido por la ecuación (17.2) sino toda una familia de índices.

17.21 El interés suele recaer sobre dos casos especiales de la definición general del índice de precios del producto expuesta en la ecuación (17.2): i) P0(p0, p1, v0), que utiliza el conjunto de tecnologías del período 0 y el vector de insumos v0 utilizado efectivamente en el período 0, y ii) P1(p0, p1, v1), que utiliza el conjunto de tecnologías del período 1 y el vector de insumos v1 utilizado efectivamente en el período 1. Sean q0 y q1 los vectores de productos observados del establecimiento en los períodos 0 y 1, respectivamente. Si el establecimiento tiene un comportamiento maximizador de ingresos en los períodos 0 y 1, el ingreso observado en los períodos 0 y 1 debe ser igual a R0(p0, v0) y R1(p1, v1), respectivamente; es decir, se deben cumplir las siguientes igualdades:

17.22 Bajo estos supuestos de maximización de ingresos, Fisher y Shell (1972, págs. 57–58) y Archibald (1977, pág. 66) demostraron que los dos índices teóricos P0(p0, p1, v0) y P1(p0, p1, v1) descritos en i) y ii) satisfacen las ecuaciones (17.4) y (17.5):

utilizando la ecuación (17.2)

utilizando la ecuación (17.3)

dado que q0 es factible para el problema de maximización que define R0(p1, v0), y por ello:

donde PL es el índice de precios de Laspeyres (1871). De manera similar:

utilizando la ecuación (17.2)

utilizando la ecuación (17.3)

ya que q1 es factible para el problema de maximización que define R1(p0,v1) y, por lo tanto:

donde PP es el índice de precios de Paasche (1874). Así, la desigualdad en la ecuación (17.4) expresa que el índice de Laspeyres observable de los precios del producto PL es una cota inferior del índice teórico de precios del producto P0(p0, p1, v0), y la desigualdad (17.5) expresa que el índice de Paasche observable de los precios del producto PP es una cota superior del índice teórico de precios del producto P1(p0, p1, v1). Cabe señalar que estas desigualdades están en dirección opuesta a la de sus contrapartes en la teoría del índice verdadero del costo de vida14.

17.23 Es posible ilustrar las dos desigualdades de las ecuaciones (17.4) y (17.5) si solo hay dos productos. Véase la figura 17.1, basada en diagramas atribuidos a Hicks (1940, pág. 120) y a Fisher y Shell (1972, pág. 57).

17.24 En primer lugar, se ilustra la desigualdad de la ecuación (17.4) para el caso de dos productos elaborados en los dos períodos. La solución al problema de maximización de ingresos del período 0 es el vector q0, y la línea recta que pasa por B representa la línea de ingresos que es tangente al conjunto de posibilidades de producción del período 0, S0(v0) ≡ {(q1, q2, v0) pertenece a S0}. La línea curva que pasa por q0 y por A es la frontera del conjunto de posibilidades de producción del período 0 del productor S0(v0). La solución al problema de maximización de ingresos del período 1 es el vector q1, y la recta que pasa por H representa la línea de ingresos que es tangente al conjunto de posibilidades de producción del período 1, S1(v1) ≡ {(q1, q2, v1) pertenece a S1}. La línea curva que pasa por q1 y por F es la frontera del conjunto de posibilidades de producción del productor en el período 1, S1(v1). El punto q0* es la solución al problema hipotético de maximización de ingresos cuando se enfrenta al vector de precios del período 1, p1=(p11,p21), pero utilizando el vector de tecnología e insumos del período 0. Ello está dado por R0(p1,v0)=p11,q10*+p21,q20*, y la línea punteada que pasa por D es la línea de isoingreso p11q1+p21q2=R0(p1,v0). Cabe señalar que la línea de ingreso hipotético que pasa por D es paralela a la línea de ingreso real del período 1 que pasa por H. En cuanto a la ecuación (17.4); el índice hipotético de precios del producto de Fisher-Shell, P0(p0, p1, v0), es R0(p1,v0)/[p10q10+p20q20], y el índice de precios del producto de Laspeyres ordinario es [p11q10+p21q0]/[p10q10+p20q20]. Dado que los denominadores de estos dos índices son iguales entre sí, la diferencia entre ambos se debe a las diferencias en los numeradores. En el gráfico 17.1, la diferencia en los numeradores se expresa en el hecho de que la recta de ingresos que pasa por C está debajo de la línea de ingresos paralela que pasa por D. Ahora bien, si el conjunto de posibilidades de producción del productor en el período 0 fuera rectangular con vértice en q0, el productor no cambiaría el patrón de producción ante variaciones en los precios relativos de los dos productos cuando utiliza la tecnología e insumos del período 0. En este caso, el vector hipotético q0* coincidiría con q0, la línea punteada que pasa por D coincidiría con la línea punteada que pasa por C y el índice verdadero de precios del producto P0(p0, p1, v0) coincidiría con el índice de precios de Laspeyres ordinario. Sin embargo, los conjuntos rectángulos de posibilidades de producción de ángulos rectos no suelen ser compatibles con el comportamiento de los productores; es decir, los productores suelen ofrecer una mayor cantidad de producto cuando su precio aumenta. Por lo tanto, en general, existirá una separación entre los puntos C y D, cuya magnitud representa el tamaño del sesgo de sustitución entre el índice verdadero y el índice de Laspeyres correspondiente; es decir, el índice de Laspeyres suele ser inferior al correspondiente índice verdadero de precios del producto, P0(p0, p1, v0).

Gráfico 17.1.Cotas de Laspeyres y Paasche del índice de precios del producto

17.25 También es posible utilizar el gráfico 17.1 para ejemplificar la desigualdad (17.5) para el caso de dos productos. Cabe señalar que el progreso técnico o la mayor disponibilidad de insumos ha hecho que el conjunto de posibilidades de producción del período 1, S1(v1) ≡ {(q1, q2) : [q1, q2, v1] pertenece a S1}, sea significativamente mayor que el correspondiente al período 0, S0(v0) ≡ {(q1, q2): [q1, q2, v0] pertenece a S0}15. Cabe señalar también que las líneas punteadas que pasan por E y G son paralelas a la línea de isoingreso del período 0 que pasa por B. El punto q1* es la solución al problema hipotético de maximización de ingresos utilizando tecnología e insumos del período 1 al enfrentar el vector del precios del período 0, p0=(p10,p20). Esta expresión esta dada por R1(p0,v1)=p10q11*+p20q21*, y la línea punteada que pasa por G es la línea de isoingreso correspondiente, p11q1+p21q2=R1(p0,v1). En lo que respecta a la ecuación (17.5), el índice teórico de precios del producto que utiliza tecnología e insumos del período 1 es [p11q11+p21q21]/R1(p0,v1), y el índice ordinario de precios de Paasche es [p11q11+p21q21]/[p10q11+p20q21]. Dado que los numeradores de ambos índices son iguales entre sí, la diferencia entre los dos índices se debe a las diferencias entre sus denominadores. En el gráfico 17.1, esta diferencia en los denominadores se debe al hecho de que la línea de ingreso que pasa por el punto E se encuentra por debajo de la línea de costo paralela que pasa por el punto G. La magnitud de esta diferencia representa el tamaño del sesgo de sustitución entre el índice verdadero y el respectivo índice de Paasche; es decir, el índice de Paasche suele ser mayor que el correspondiente índice verdadero de precios del producto que utiliza tecnología e insumos del período corriente, P1(p0, p1, v1). Cabe señalar que esta desigualdad va en la dirección contraria a la desigualdad anterior (17.4). Este cambio de dirección se debe a que un conjunto de diferencias entre los dos índices se da en el numerador de los dos índices (las desigualdades de Laspeyres), mientras que el otro conjunto, se produce en los denominadores de los dos índices (las desigualdades de Paasche).

17.26 Las ecuaciones (17.4) y (17.5) tienen dos problemas:

  • Dos índices de precios económicos igualmente válidos, P0(p0, p1, v0) y P1(p0, p1, v1), sirven para describir la magnitud de la variación de precios entre los períodos 0 y 1, pero el público esperar que la oficina de estadística elabore una única estimación de la variación de precios entre los dos períodos.

  • Este análisis de los dos índices de precios teóricos16 solo arroja cotas observables para un extremo, mientras que, para la mayoría de los fines prácticos, se requiere obtener cotas para los dos extremos.

La siguiente sección presenta una posible solución a los dos problemas enunciados.

B.2 Índice ideal de Fisher como promedio de cotas observables

17.27 Es posible definir un índice teórico de precios del producto que se ubique entre los índices observables de precios de Paasche y Laspeyres. A tal efecto se define en primer lugar una función de ingreso hipotética π(p,α), que corresponde a la utilización de un promedio ponderado por α de los conjuntos de tecnologías S0(v0) y S1(v1) para los períodos 0 y 1 como la tecnología de referencia:

Así, el problema de maximización de ingresos de la ecuación (17.6) corresponde a la utilización de un promedio ponderado de los conjuntos de tecnologías de los períodos 0 y 1, donde se asigna al vector del período 0 una ponderación igual a 1–α y al vector del período 1, una ponderación α, donde α es un número entre 0 y 117. El significado del promedio ponderado del conjunto de tecnologías en la ecuación (17.6) puede explicarse en términos de la figura 17.1. Dado que el cambio de α entre 0 y 1 es continuo, el conjunto de posibilidades de producción cambia de manera continua pasando del conjunto S0(v0), (cuya frontera es la curva que termina en el punto A), al conjunto S1(v1), (cuya frontera es la curva que termina en el punto F). Por ende, para cualquier α entre 0 y 1, se obtiene un conjunto hipotético de posibilidades de producción de un establecimiento que se ubica entre el conjunto del período base, S0(v0), y el conjunto del período corriente, S1(v1). Para cada α, este conjunto hipotético de posibilidades de producción se puede utilizar como el conjunto de restricciones para un índice teórico de precios del producto.

17.28 La nueva función de ingreso expuesta en la definición (17.6) se utiliza ahora para definir la siguiente familia (indexada por α) de índices teóricos de precios del producto:

Los índices teóricos de precios del producto de la forma de las ecuaciones (17.2) o (17.7) tienen una ventaja importante respecto de los índices tradicionales de precios del producto de Laspeyres y Paasche, PL y PP, pues el tratamiento de los efectos de sustitución por parte de estos índices teóricos es correcto; es decir, cuando aumenta el precio de un producto, el productor debería aumentar su oferta, si se mantuvieran constantes los insumos y la tecnología18.

17.29Diewert (1983a, págs. 1060–61) demostró que, bajo ciertas condiciones19, existe un α entre 0 y 1 tal que el índice teórico de precios del producto definido por la ecuación (17.7) se encuentra entre los índices observables (en principio) del producto de Paasche y Laspeyres, PP y PL; es decir, que existe un α tal que

17.30 El hecho que los índices de precios del producto de Paasche y Laspeyres proveen cotas superiores e inferiores al precio “verdadero” del producto P(p0, p1,α) en la ecuación (17.8) es un resultado más útil e importante que las cotas solamente inferiores a los índices “verdaderos” obtenidas en las ecuaciones (17.4) y (17.5). Si los índices observables (en principio) de Paasche y de Laspeyres no difieren mucho entre sí, el cálculo de un promedio simétrico de estos índices debería brindar una buena aproximación a un índice económico de precios del producto, para el cual la tecnología de referencia se encuentra en algún punto entre las tecnologías del período base y del corriente. El promedio simétrico preciso de los índices de Paasche y de Laspeyres se determinó en la sección C.1 del capítulo 15 desde una perspectiva axiomática y llevó a la media geométrica, el índice de precios de Fisher, PF:

Así, hay buenas razones que señalan al índice de precios ideal de Fisher como una buena aproximación a un índice teórico no observable20.

17.31 Las cotas dadas por las ecuaciones (17.4), (17.5) y (17.8) son las mejores que pueden obtenerse para los índices económicos de precios del producto sin tener que adoptar nuevos supuestos. En la próxima sección, se agregan supuestos relativos a los dos conjuntos de tecnologías S0 y S1 o, lo que es igual, a las dos funciones de ingresos R0(p,v) y R1(p,v). Estos supuestos adicionales, permiten determinar la media geométrica de los dos índices teóricos de precios del producto de mayor interés, P0(p0, p1, v0) y P1(p0, p1, v1).

B.3 Índice de Törnqvist como aproximación al índice económico de precios del producto

17.32 Una alternativa a los índices de Laspeyres y de Paasche definidos en las ecuaciones (17.4) y (17.5) y al índice de Fisher definido en la ecuación (17.9) es el índice de precios de Törnqvist (1936)Theil (1967), PT, cuyo logaritmo natural se define de la siguiente manera:

donde snt=pntqnt/Σn=1Npntqnt es la participación del ingreso del producto n en el valor total de ventas del período t.

17.33 Recordemos la definición de la función de ingreso del período t, Rt(p,v), presentada en la ecuación (17.1). Supongamos ahora que la función de ingreso del período t tiene la siguiente forma funcional translogarítmica21 para t = 0,1:

donde los coeficientes αnt satisfacen las restricciones:

y los coeficientes αnjt satisfacen las siguientes restricciones22:

Se requieren las ecuaciones (17.12) y (17.13) para asegurar que Rt(p,v) sea linealmente homogénea en los componentes del vector de precios de productos p (una propiedad que debe cumplir la función de ingreso)23. Cabe señalar que, a esta altura del razonamiento, se permite que los coeficientes que caracterizan la tecnología en cada período (los α, β, y λ) sean totalmente distintos en cada período. También se debe destacar que la forma funcional translogarítmica es un ejemplo de la forma funcional flexible24; es decir, puede utilizarse como una aproximación de segundo orden a una tecnología arbitraria.

17.34 Ahora es posible adaptar al contexto presente un resultado de Caves, Christensen y Diewert (1982, pág. 1410): si los coeficientes cuadráticos de precios en la ecuación (17.11) son iguales en los dos períodos de la comparación del número índice (es decir, αnj0=αnj1 para todo n y para todo j), entonces la media geométrica del índice económico de precios del producto que utiliza la tecnología del período 0 y el vector de insumos v0 del período 0, P0(p0, p1, v0), y el índice económico de precios del producto que utiliza la tecnología del período 1 y el vector de insumos v1 del período 1, P1(p0, p1, v1), es exactamente igual al índice de precios del producto de Törnqvist, PT, definido por la ecuación (17.10); es decir:

Los supuestos necesarios para este resultado parecen bastante débiles; en concreto, no se requieren tecnologías con rendimientos constantes a escala en ninguno de los dos períodos, y nuestros supuestos son compatibles con el progreso tecnológico que tiene lugar entre los dos períodos comparados. Debido a que la fórmula de número índice PT es exactamente igual a la media geométrica de los dos índices económicos teóricos de precios del producto, y corresponde a una forma funcional flexible, se dice que la fórmula del número índice de precios del producto de Törnqvist es superlativa, según la terminología utilizada por Diewert (1976).

17.35 En la siguiente sección, se derivan otras fórmulas superlativas de precios del producto. Ahora bien, esta sección concluye con algunas advertencias sobre la pertinencia del enfoque económico para los IPP.

17.36 Los enfoques económicos de la teoría del índice de precios del producto recién expuestos se basaron en el supuesto de que los productores toman los precios de sus productos como parámetros fijos dados que ellos no pueden afectar mediante su accionar. Sin embargo, un oferente monopólico de un producto sabe bien que el precio promedio que se puede obtener por su producto en el mercado dependerá del número de unidades ofrecidas en ese período. Por lo tanto, en condiciones no competitivas, cuando los productos se ofrecen en condiciones monopólicas (o cuando la demanda de los insumos intermedios es monopsónica), el enfoque económico de los PPI fracasa. El problema de modelar el comportamiento no competitivo no aparece en el enfoque económico de los IPC, pues por lo general un único hogar no tiene mucho control sobre los precios que enfrenta en el mercado.

17.37 El enfoque económico del índice de precios del producto del productor puede modificarse para atender ciertas situaciones monopólícas. La idea básica se atribuye a Frisch (1936, 14–15) y requiere linealizar las funciones de demanda enfrentadas por el productor en cada período alrededor de los puntos de equilibrio observados en cada período y, luego, calcular precios sombra que reemplazan los precios de mercado. Otra alternativa es suponer que el productor es un monopolista que simplemente agrega un margen de ganancias o un porcentaje al correspondiente costo marginal de producción25. Sin embargo, a fin de implementar estas técnicas, suele ser necesario recurrir a métodos econométricos y, por ello, en la práctica estos métodos no son adecuados para el uso en las oficinas de estadística, salvo en aquellas circunstancias muy especiales donde se considera que el problema del comportamiento no competitivo es considerable y la oficina dispone de recursos econométricos.

B.4 Índice ideal de Fisher, un nuevo análisis

17.38 En la sección B.2, se ofreció una justificación del índice ideal de Fisher. Se argumentó, desde el enfoque económico, que un índice apropiado cuya definición se basara en la teoría económica debería ubicarse entre los índices de Laspeyres y Paasche. Entonces, en base a fundamentos axiomáticos, se propuso al índice ideal de Fisher como el mejor promedio de estas dos fórmulas. La justificación del índice de Törnqvist, en la sección B.3, fue bastante distinta, ya que recurrió a la teoría de los números índice exactos y superlativos. En la sección anterior, la ecuación (17.14) demostró que, si la función de ingreso asumía una forma funcional translogarítmica, como en la ecuación (17.11), entonces el índice de precios teórico basado en esta forma funcional correspondería exactamente con el índice de precios del producto de Törnqvist, que es una fórmula de número índice de precios basada en datos observables de precios y cantidades. Además, como la función translogarítmica es una forma específica dentro una clase de formas funcionales flexibles, se dice que la fórmula de número índice de precios del producto de Törnqvist es superlativa, utilizando la terminología empleada por Diewert (1976). Esta forma funcional flexible puede utilizarse como una aproximación de segundo orden a una forma funcional arbitraria dos veces continuamente diferenciable y linealmente homogénea, lo que es una propiedad atractiva para un número índice. Cabe recordar que los índices de Laspeyres y Paasche corresponden a funciones de ingresos que tienen formas restrictivas de Leontief, que no admiten sustituciones, y que los índices geométricos de Laspeyres y Paasche se corresponden a formas Cobb-Douglas, que imponen elasticidades de sustitución unitarias. La tecnología de producción translogarítmica es una forma funcional que admite mayores posibilidades de sustitución y que puede aproximar en segundo orden a un rango de formas funcionales. La teoría económica de los números índice proporcionó un nexo directo entre las fórmulas utilizadas en la práctica y el comportamiento económico subyacente implícito que las mismas representan. Diewert (1973) demostró que, si la forma funcional supuesta no es flexible, impone de manera implícita restricciones a la elasticidad de sustitución. Los números índice que no se corresponden con formas funcionales flexibles, es decir, que no son superlativos, son restrictivos en este sentido. En esta sección, se resumen las conclusiones respecto del índice ideal de Fisher. Es decir, si bien en la sección B.2 se lo justifica a partir de una combinación de principios económicos y axiomáticos, aquí se lo estudia nuevamente utilizando el enfoque exacto y superlativo de los números índice económicos. Se demostrará que su derivación, si bien análoga a la del índice de Törnqvist, requiere de supuestos más restrictivos. En la sección B.5 se generalizan las conclusiones sobre los índices superlativos.

17.39 El enfoque de la sección anterior se aplica al índice ideal de Fisher. Sin embargo, primero se supone la existencia de una función agregadora linealmente homogénea para los productos. En este caso, se adopta un supuesto adicional a los requeridos para el índice de Törnqvist (y considerablemente más restrictivo): se dice que los productos son débilmente separables de forma homogénea de los otros productos de la función de producción. El significado intuitivo del supuesto de separabilidad definido en la ecuación (17.15) es que existe un agregado de productos q ≡ f(q1,…,qN; es decir, el número q = f(q1, q2,…,qN) es una medida de la contribución agregada a la producción de la cantidad q1 del primer producto, la cantidad q2 del segundo producto,… y la cantidad qN del enésimo producto. Cabe señalar que se supone que la función linealmente homogénea agregadora del producto f no depende de t. Estos supuestos son muy restrictivos desde la perspectiva de la economía empírica26, pero se requieren supuestos fuertes para obtener la existencia de agregados de producto.

17.40 Una función de ingreso unitario27r se puede definir de la siguiente manera:

donde p ≡ [p1,…,pN] y q ≡ [q1,…,qN]. Por lo tanto, r(p) es el ingreso máximo que puede obtener el establecimiento, considerando que enfrenta el vector de precios de productos p y se espera que produzca una combinación de productos [q1,…,qN] = q que producirán un nivel unitario de producto agregado. Bajo los supuestos de separabilidad, el índice de precios teórico r(p1) / r(p0) es un cociente de funciones del ingreso unitario.

17.41 En lugar de comenzar con una función translogarítmica para la función de ingreso del índice de Törnqvist, el supuesto del índice ideal de Fisher es que la función deingreso unitario asume una forma cuadrática homogénea dada por:

donde los parámetros bik satisfacen las siguientes condiciones de simetría:

Al diferenciar r(p), definido por la ecuación (17.16), con respecto a pi, se obtienen las siguientes ecuaciones:

i = 1, …, N y utilizando la ecuación (17.16),

donde ri(p) ≡ ∂r(pt) / ∂pi. Para obtener la primera ecuación (17.18), es necesario utilizar las condiciones de simetría de la ecuación (17.17). La segunda ecuación de la ecuación (17.18) ahora se valora en el vector de precios observados del período t,pt(p1t,,pNt), y, al dividir ambos lados de la ecuación resultante por r(pt), se obtiene:

La ecuación anterior define un índice de precios teó-rico. Ahora, debe relacionarse este índice de precios teórico, que proviene de una forma funcional específica de la función de ingreso unitario, una forma cuadrática homogénea, con una fórmula del número índice que pueda utilizarse en la práctica. Para ello, es necesario suponer que el establecimiento maximiza ingresos durante los dos períodos, sujeto a las limitaciones tecnológicas, y que la función de ingreso unitario es diferenciable y aplicar el Lema de Hotelling: la derivada parcial de una función de ingreso unitario con respecto al precio de un producto es proporcional a la cantidad de producto de equilibrio:

Para expresarlo en palabras, la ecuación (17.20) indica que el vector de los productos del establecimiento en el período t, qt, dividido por los ingresos del establecimiento en el período t,Σk=1Npktqkt, es igual al vector de derivadas parciales de primer orden de la función de ingreso unitario del establecimiento ∇r(pt) ≡ [∂r(pt)/∂p1,…,∂r(pt)/∂pN], dividido por la función de ingreso unitario del período t, r(pt).

Recordemos ahora la definición del índice ideal de precios de Fisher PF definido por las ecuaciones (15.12) o (17.9):

en la que sustituimos qnt/Σk=1Npktqkt usando la ecuación (17.20) para t = 0

y qnt/Σk=1Npktqkt, usando la ecuación (17.20) para t = 1

y utilizando la ecuación (17.19):

utilizando la ecuación (17.17) y cancelando términos:

Así, bajo los supuestos de que el productor adopta un comportamiento maximizador de ingresos durante los períodos 0 y 1 tiene tecnologías que satisfacen el supuesto de separabilidad, y que la función de ingreso unitario es cuadrática homogénea, el índice ideal de precios de Fisher PF es exactamente igual al índice verdadero de precios, r(p1) / r(p0)28.

17.42 Dado que la función de ingreso unitario cuadrática homogénea r(p) definida por la ecuación (17.16) también es una forma funcional flexible, el hecho de que el índice ideal de precios de Fisher, PF, sea exactamente igual al índice verdadero de precios, r(p1) / r(p0), significa que PF es una fórmula de número índice superlativo29.

B.5 Índices superlativos de precios del producto

B.5.1 Una clase general de índices superlativos de precios del producto

17.43 Existen muchas otras fórmulas de números índice superlativos; es decir, existen muchos índices de cantidades, Q(p0, p1, q0, q1), que son exactamente iguales a f(q1) / f(q0) y muchos índices de precios P(p0, p1, q0, q1) que son exactamente iguales a r(p1) / r(p0), donde la función agregadora f o la función de ingreso unitario r es una forma funcional flexible. A continuación, se definen dos familias de índices superlativos: los índices de cantidad y los índices de precios.

17.44 Supongamos que la función agregadora del producto del productor30 es la siguiente función agregadora de media cuadrática de orden r:

donde los parámetros aik satisfacen las condiciones de simetría aik = aki para todo i y para todo k, y el parámetro r satisface la restricción r ≠ 0. Diewert (1976, pág. 130) demostró que la función agregadora fr definida por la ecuación (17.22) es una forma funcional flexible; es decir, que puede utilizarse como una aproximación de segundo orden a una forma funcional arbitraria, dos veces continuamente diferenciable y linealmente homo-génea. Cabe señalar que cuando r = 2, rr equivale a la función cuadrática homogénea definida previamente por la ecuación (17.16).

17.45 Definamos el índice de cantidades de media cuadrática de orden r, Qr, como:

donde como es habitual sit=pitqit/Σi=1Npitqit es la participación del producto i en el ingreso del período t. Puede comprobarse que, cuando r = 2, si se simplifica Qr se obtiene QF, el índice ideal de cantidades de Fisher.

17.46 Utilizando exactamente las mismas técnicas que en la sección B.3, se puede demostrar que Qr es exacto para la función agregadora fr definida por la ecuación (17.22); es decir:

Así, bajo el supuesto de que el productor tiene un comportamiento maximizador de ingresos durante los períodos 0 y 1 y que tiene tecnologías que satisfacen una función agregadora de productos31 linealmente homo-génea donde la función agregadora del producto f(q) se define por la ecuación (17.22), entonces el índice de cantidades de media cuadrática de orden r, QF, es exactamente igual al índice verdadero de cantidades, fr(q1)/fr(q0)32. Debido a que Qr es exacto para fr y fr es una forma funcional flexible, el índice de cantidades de media cuadrática de orden r, Q,r es un índice superlativo para cada r ≠ 0. Por lo tanto, hay una cantidad infinita de índices superlativos de cantidades.

17.47 Para cada índice de cantidades Qr, la pro-piedad del producto expresada en la ecuación (15.3) puede utilizarse para definir el correspondiente índice implícito de precios de media cuadrática de orden r, Pr*:

donde rr* es la función de ingreso unitario que corresponde a la función agregadora fr definida por la ecuación (17.22). Para cada r ≠ 0, el índice implícito de precios de media cuadrática de orden r, Pr*, también es un índice superlativo.

17.48 Cuando r = 2, Qr, definido por la ecuación (17.23), se reduce a QF, el índice de cantidades ideal de Fisher y Pr*, definido por la ecuación (17.25), se reduce a PF, el índice de precios ideal de Fisher. Cuando r = 1, Qr, definido por la ecuación (17.23), se reduce a:

donde PW es el índice de precios de Walsh definido previamente por la ecuación (15.19) del capítulo 15. Por lo tanto, P1* es igual al índice de precios de Walsh PW y, en consecuencia, también es un índice de precios superlativo.

17.49 Supongamos que la función de ingreso unitario del productor33 es la siguiente función de ingreso unitario de media cuadrática de orden r:

donde los parámetros bik satisfacen las condiciones de simetría bik = bki para todo i y para todo k, y el parámetro r satisface la restricción r ≠ 0. Diewert (1976, pág. 130) demostró que la función de ingreso unitario rr definida por la ecuación (17.27) es una forma funcional flexible; es decir que puede utilizarse como una aproximación de segundo orden a una forma funcional arbitraria dos veces continuamente diferenciable y linealmente homo-génea. Cabe señalar una vez más que, cuando r = 2, rr equivale a la función cuadrática homogénea definida previamente por la ecuación (17.16).

17.50 Definamos el índice de precios de media cuadrática de orden r, Pr, como:

donde, como es habitual, sit=pitqit/Σi=1Npitqit es la participación del producto i en el ingreso del período t. Puede verificarse que cuando r = 2, Pr se reduce a PF, el índice de precios ideal de Fisher.

17.51 Mediante exactamente las mismas técnicas que en la sección B.3, puede demostrarse que Pr es exacto para la función de ingreso unitario rr definida por (17.27); es decir,

Así, sujeto al supuesto de que el productor adopta un comportamiento maximizador de ingresos durante los períodos 0 y 1 y sus tecnologías son débilmente separables de forma homogénea, donde la función agregadora del producto f(q) corresponde a la función de ingreso unitario rr(p) definida por (17.27), el índice de precios de media cuadrática de orden r, Pr, es exactamente igual al índice verdadero de precios del producto, rr(p1)/rr(p0)34. Debido a que Pr es exacto para rr y rr es una forma funcional flexible, el índice de precios de media cuadrática de orden r, Pr, es un índice superlativo para cada r ≠ 0. Por lo tanto, existe una cantidad infinita de índices superlativos de precios.

17.52 Para cada índice de precios Pr, puede utilizarse la propiedad del producto (15.3) para definir el correspondiente índice implícito de cantidades de media cuadrática de orden r, Qr*:

donde fr* es la función agregadora que corresponde a la función de costos unitaria rr definida recién por (17.27)35. Para cada r ≠ 0, el índice implícito de cantidades de media cuadrática de orden r Qr* también es un índice superlativo.

17.53 Cuando r = 2, Pr definido por (17.28) se reduce a PF, el índice ideal de precios de Fisher y Qr* definido por (17.30) se reduce a QF, el índice ideal de cantidades de Fisher. Cuando r = 1, Pr definido por (17.28) se reduce a:

donde QW es el índice de cantidades de Walsh definido previamente por la ecuación (16.34) en el capítulo 16. Así, Q1* es igual QW, el índice de cantidades de Walsh (1901; 1921) y por lo tanto también es un índice super-lativo de cantidades.

17.54 En esencia, el enfoque económico de la teoría de los números índice brinda argumentos razonablemente fuertes para la utilización del índice de precios de Fisher, PF, definido por la ecuación (15.12) o (17.9); el índice de precios de Törnqvist-Theil, PT, definido por la ecuación (16.22) o (17.10), y los índices de precios de media cuadrática de orden r, Pr, definidos por la ecuación (17.28) (cuando r = 1, este índice es el índice de precios de Walsh definido por la ecuación [15.19] en el capítulo 15). Ahora es necesario preguntarse si importa cuál de estas fórmulas se considera la mejor.

B.5.2 Propiedades de aproximación de los índices superlativos

17.55 Los resultados de este capítulo señalaron tres fórmulas de números índice superlativos: el índice de precios de Fisher, el índice de precios de Törnqvist-Theil y el índice de precios de Walsh. Todos parecen tener buenas propiedades desde la perspectiva del enfoque económico de la teoría de los números índice.

17.56 Estos resultados sugieren dos preguntas:

  • ¿Tiene relevancia cuál de estas fórmulas se elige?

  • En caso afirmativo, ¿cuál de ellas debería elegirse?

En relación a la primera pregunta, las razones para utilizar el índice de Törnqvist presentadas en la sección B.3 tienen mayor peso que las presentadas en la sección B.2 para los demás índices superlativos, pues la derivación económica no se basó en supuestos restrictivos de separabilidad. Sin embargo, la justificación para el índice de Fisher no tuvo el mismo fundamento. La teoría económica estableció que los índices de Laspeyres y de Paasche eran cotas para un índice verdadero y se encontraron fundamentos axiomáticos que justificaban la elección del índice de Fisher como el mejor promedio de estos dos índices. Sin embargo, Diewert (1978, pág. 888) demostró que las tres fórmulas de números índice superlativos enunciadas se aproximan entre sí en segundo orden en torno a cualquier punto donde los dos vectores de precios, p0 y p1, son iguales y donde los dos vectores de cantidades, q0 y q1, son iguales. Por ello, concluyó que “todos los índices superlativos se aproximan mucho entre sí” (Diewert, 1978, pág. 884).

17.57 Sin embargo, cabe una advertencia respecto de esta conclusión. El problema es consecuencia de que el índice de precios de media cuadrática de orden r, Pr, sea una función (continua) del parámetro r. Así, cuando r asume valores muy altos, el índice Pr puede diferir sustancialmente de, por ejemplo, P2 = PF, el índice ideal de Fisher. De hecho, utilizando la ecuación (17.28) y las propiedades de los límites de las medias de orden r,36 R.J. Hill (2000, pág. 7) demostró que Pr tiene el siguiente límite cuando r tiende a más o menos infinito:

Así, para un valor grande de r, Pr puede diferir de manera sustancial de los índices de precios de Törnqvist-Theil y de Walsh, y del índice ideal de Fisher37.

17.58 Si bien los resultados teóricos y empíricos de R.J. Hill demuestran de manera concluyente que no necesariamente todos los índices superlativos se aproximan entre sí, todavía cabe preguntarse hasta qué punto se aproximan entre sí los índices superlativos más difundidos. Todos los índices superlativos de uso más generalizado, Pr y Pr*, se ubican dentro del intervalo 0 ≤ r ≤ 2. Diewert (1980, pág. 451) demostró que el índice de Törnqvist PT es un caso límite de Pr a medida que r tiende a 0. R.J. Hill (2002, pág. 16) resumió la distancia existente entre los índices de Törnqvist y Fisher realizando todas las comparaciones bilaterales posibles entre dos puntos de datos de sus series temporales, como se señala a continuación:

También es de interés la diferencia superlativa S(0,2), dado que, en la práctica, el índice de Törnqvist (r = 0) y el índice de Fisher (r = 2) son los índices super-lativos más utilizados. En las 153 comparaciones bilaterales, S(0,2) es menor que la diferencia entre Paasche y Laspeyres y, en promedio, la diferencia superlativa es de solo 0,1%. En los trabajos sobre números índice ha per sistido la percepción errónea de que todos los índices superlativos se aproximan mucho entre sí, debido a que, hasta el momento, se ha prestado atención en forma casi exclusiva a los índices superlativos en el rango 0 ≤ r ≤ 2.

17.59 Así, para el conjunto de datos de las series temporales de R.J. Hill, que abarca 64 rubros del PIB de Estados Unidos desde 1977 hasta 1994, cuando se realizan todas las comparaciones bilaterales posibles entre dos años cualesquiera, los índices de precios de Fisher y de Törnqvist difieren apenas en un 0,1% en promedio. Esta correspondencia estrecha se condice con los resultados de otros estudios empíricos que utilizan datos de se ries temporales anuales38. En el capítulo 19 se presentan más datos sobre este tema.

17.60 El enfoque económico brindó una justificación razonablemente sólida para un grupo pequeño de números índice: el índice ideal de Fisher PF = P2 = P2*, definido por la ecuación (15.12) o (17.9), el índice de Törnqvist-Theil PT, definido por la ecuación (17.10) o (15.81) y el índice de Walsh, PW, definido por la ecuación (15.19) (que equivale al índice de precios implícito de media cuadrá tica de orden r, Pr*, definido por la ecuación (17.25) cuando r = 1). Estos índices comparten la característica de ser superlativos y aproximarse entre sí en el segundo orden en torno a cualquier punto. Ello indica que, para datos de series temporales normales, estos tres índices arrojan prácticamente la misma respuesta. El enfoque económico avaló especialmente los índices de Fisher y Törnqvist-Theil, aunque para hacerlo se basó en otro fundamento. El índice de Fisher se recomendó como el único promedio ponderado simétrico de cotas de Laspeyres y Paasche que cumplía la propiedad de reversión temporal. La teoría econó-mica respaldó la existencia de cotas de Laspeyres y Paasche para un índice teórico verdadero. La recomendación del índice de Törnqvist surgió del hecho de que requería menos supuestos restrictivos para demostrar que es superlativo en comparación con los índices de Fisher y Walsh. El índice de Törnqvist-Theil parece ser el mejor según la perspectiva estocástica, y el índice ideal de Fisher surge como el mejor según la perspectiva axiomática, pues cumple mejor las propiedades razonablemente exigidas. El índice de Walsh parece ser el mejor desde la perspectiva del índice de precios puro. Para determinar cuáles de estos tres índices utilizar como índice objetivo teórico o como índice en la práctica, la oficina de estadística tendrá que decidir qué enfoque de la teoría bilateral de los números índice está más en consonancia con sus metas. Es bueno saber que, como se demuestra en el capítulo 19, estos tres índices arrojan prácticamente la misma respuesta para datos de series temporales normales.

C. Enfoque económico del índice de precios de los insumos intermedios para un establecimiento

17.61 Ahora la atención se centra en la teoría econó-mica del índice de precios de los insumos intermedios para un establecimiento. Esta teoría es análoga a la teoría económica de los índices de precios del producto explicada en la sección B, excepto que ahora utiliza la función de costo conjunta o la función de costo condicional C en lugar de la función de ingreso r utilizada en la sección B. La sección E continuará con un análisis similar para el deflactor del valor agregado. El enfoque de esta sección para el índice de precios de los insumos intermedios es análogo a la teoría de Konüs (1924), es decir, la teoría del índice verdadero del costo de vida de la teoría del consumidor.

17.62 Cabe recordar que el conjunto St(vt) describe cuáles son los vectores de productos y que pueden producirse en el período t si el establecimiento tiene a su disposición el vector de insumos v ≡ [x,z], donde x es el vector de insumos intermedios y z es el vector de insumos primarios. Así, si [y,x,z] pertenece a St, entonces el establecimiento puede elaborar un vector no negativo de productos y en el período t, si dispone del vector no negativo x de insumos intermedios y del vector no negativo z de insumos primarios.

17.63 Sea px ≡ (px1,… pxM) el vector positivo de precios de insumos intermedios que el establecimiento podría enfrentar en el período t, sea y un vector no negativo de objetivos de producción y z, un vector no negativo de insumos primarios que el establecimiento podría tener disponible durante el período t. Entonces, la función de costo condicional del establecimiento que utiliza tecnología del período t se define como la solución al siguiente problema de minimización de costos de insumos intermedios:

Por lo tanto, Ct(px, y, z) es el costo mínimo de los insumos intermedios, Σm=1Mpxmxm que debe pagar el establecimiento para producir el vector de productos y utilizando la tecnología del período t, dado que enfrenta el vector de precios de insumos intermedios px y dispone del vector de insumos primarios z39.

17.64 A fin de que la notación del índice de precios de los insumos intermedios sea comparable con la notación utilizada en los capítulos 15 y 16 para índices de precios y cantidades, en el resto de esta subsección, el vector de precios de insumos intermedios px es reemplazado por el vector p, y el vector de cantidades inter-medias x es reemplazado por el vector q. Por lo tanto, Ct(px,y,z) se reformula como Ct(p,y,z).

17.65 La función de costo condicional del período t, Ct, se puede utilizar para definir el índice de precios de los insumos intermedios de la tecnología del período t de la economía, Pt, entre dos períodos cualesquiera, por ejemplo, los períodos 0 y 1, de la siguiente manera:

donde p0 y p1 son los vectores de precios de insumos intermedios que enfrenta el establecimiento en los períodos 0 y 1, respectivamente, y es el vector de productos de referencia que el establecimiento debe producir y z es un vector de insumos primarios de referencia40. Si M = 1, de manera que el establecimiento utiliza un único insumo intermedio, entonces puede demostrarse que el índice de precios de los insumos intermedios se reduce al relativo de precios del único insumo intermedio entre los períodos 0 y 1, p11/p10. En el caso general, cabe señalar que el índice de precios de los insumos intermedios definido por la ecuación (17.34) es un cociente de costos hipotéticos de insumos intermedios que el establecimiento debe afrontar para producir el vector de productos y, dado que tiene tecnología del período t y dispone del vector de insumos primarios z. El numerador de la ecuación (17.34) es el costo mínimo de insumos intermedios disponible para el establecimiento si enfrentara los precios de los insumos intermedios del período 1, p1, y el denominador de la ecuación (17.34) es el costo mínimo de los insumos intermedios disponible para el establecimiento si enfrentara los precios de producción del período 0, p0. Cabe señalar que todas las variables del numerador y denominador de la ecuación (17.34) se mantienen constantes, excepto los precios de los insumos intermedios.

17.66 Al igual que en el caso de la teoría del índice de precios del producto, en la ecuación (17.34) hay una amplia variedad de índices de precios dependiendo del vector de referencia (t,y,z) que se elija (la tecnología de referencia se indexa por t, el vector de productos de referencia se indexa por y y el vector de insumos primarios de referencia se indexa por z). Como en la teoría del índice de precios del producto, cabe señalar dos casos especiales de la definición general de índice de precios de los insumos intermedios, la ecuación (17.34): i) P0(p0, p1, y0, z0), que utiliza el conjunto de tecnologías del período 0, el vector y0 de productos producidos en el período 0 y el vector z0 de insumos primarios utilizados en el período 0, y ii) P1(p0, p1, y1, z1), que utiliza el conjunto de tecnologías del período 1, el vector y1 de productos producidos en el período 1, y el vector z1 de insumos primarios utilizados en el período 1. Sean q0 y q1 los vectores observados de insumos inter-medios para el establecimiento en los períodos 0 y 1, respectivamente. Si el productor tiene un comportamiento minimizador de costos en los períodos 0 y 1, el costo observado de los insumos intermedios en los períodos 0 y 1 debería ser igual a C0(p0, y0, z0) y C1(p1, y1, z1), respectivamente; es decir, se deberían verificar las siguientes igualdades:

17.67 Bajo estos supuestos de minimización de costos, se adaptan los argumentos de Fisher y Shell (1972, págs. 57–58) y Archibald (1977, pág. 66) para demostrar que los dos índices teóricos, P0(p0, p1, y0, z0) y P1(p0, p1, y1, z1), descritos en i) y ii) satisfacen las desigualdades de las ecuaciones (17.36) y (17.37):

utilizando la ecuación (17.34)

utilizando la ecuación (17.35)

dado que q0 es factible para el problema de minimización que define C0(p1, y0, z0) y, entonces:

donde PL es el índice de precios de los insumos inter-medios de Laspeyres. De manera similar:

utilizando la ecuación (17.34)

utilizando la ecuación (17.35)

dado que q1 es factible para el problema de minimización que define C1(p0, y1, z1) y, entonces:

donde PP es el índice de precios de Paasche. Por lo tanto, la ecuación (17.36) establece que el índice de precios observable de los insumos intermedios de Laspeyres, PL, es una cota superior para el índice de precios teórico de los insumos intermedios, P0(p0, p1, y0, z0), y la ecuación (17.37) establece que el índice de precios observable de los insumos intermedios de Paasche, PP, es una cota inferior para el índice de precios teórico de los insumos intermedios, P1(p0, p1, y1, z1). Cabe señalar que estas desigualdades son las inversas de las ecuaciones (17.4) y (17.5) elaboradas previamente para el índice de precios del producto, sin embargo las nuevas desigualdades son análogas a sus contrapartes en la teoría del índice del costo de vida verdadero.

17.68 Al igual que en la sección B.2, es posible definir un índice de precios teórico de los insumos intermedios que se ubique entre los índices de precios observable de los insumos intermedios de Paasche y Laspeyres. Para ello, primero definamos una función de costos hipotética de los insumos intermedios, C (p, α), que corresponda al uso de un promedio ponderado α de los conjuntos de tecnologías S0(y0, z0) y S1(y1, z1) para los períodos 0 y 1 como tecnología de referencia y que utiliza un promedio ponderado por α de los vectores de productos de los períodos 0 y 1, y0 y y1, y de los vectores z0 y z1 como vectores de referencia de productos e insumos primarios respectivamente:

Así, el problema de minimización del costo de los insumos intermedios de la ecuación (17.38) corresponde a la meta intermedia de producto (1−α)y0 + αy1 y la utilización de un promedio de los vectores de insumos primarios del período 0 y 1, z0 y z1, en el cual el vector del período 0 se pondera con 1–α y el vector del período 1 se pondera con α. Se utiliza un promedio de los conjuntos de tecnologías de los períodos 0 y 1 donde se pondera al conjunto del período 0 por 1–α y al conjunto del período 1 por α, donde α es un número entre 0 y 1. La nueva función de costo de los insumos intermedios definida por la ecuación (17.38) puede utilizarse ahora para definir la siguiente familia de índices de precios teóricos de los insumos intermedios:

17.69 Una adaptación de la demostración de Diewert (1983a, págs. 1060–61), prueba que existe un α entre 0 y 1 tal que el índice de precios teórico de los insumos intermedios definido por la ecuación (17.39) se ubica entre los índices de precios observables (en principio) de los insumos intermedios de Paasche y Laspeyres, observables, PP y PL; es decir, que existe un α tal que:

17.70 Si los valores de los índices de Paasche y Laspeyres son cercanos entre sí en términos numéricos, entonces la ecuación (17.40) indica que el verdadero índice económico de precios de los insumos intermedios está bastante bien determinado, y se puede hallar una aproximación razonablemente buena al índice verdadero mediante el cálculo de un promedio simétrico de PL y PP, como por ejemplo la media geométrica, con lo cual se llega al índice ideal de precios de Irving Fisher (1922)PF, definido por la ecuación (17.40).

17.71 Cabe señalar que la teoría económica de los índices de precios de los insumos intermedios que acabamos de exponer era muy general; en particular, no consideraba ninguna forma funcional restrictiva ni supuestos de separabilidad sobre la tecnología.

17.72 Es posible adaptar los supuestos de tecnología translogarítmica utilizados en la sección B.3 para justificar la utilización del índice de precios del producto de Törnqvist-Theil como una aproximación al índice de precios del producto para brindar una justificación de la utilización del índice de precios de los insumos inter-medios de Törnqvist-Theil como una aproximación al índice de precios teórico de los insumos intermedios. Recordemos la definición de la función de costo condicional de los insumos intermedios del período t, Ct(px, y,z), definida por la ecuación (17.33). Reemplacemos el vector de precios de los insumos intermedios px por el vector p y definamos el vector u de dimensión N + K como u[y,z]. Supongamos ahora que la función de costo condicional del período t tiene la siguiente forma funcional translogarítmica para t = 0,1:

donde los coeficientes αntyγnt satisfacen las siguientes restricciones:

Las restricciones en las ecuaciones (17.44) y (17.45) son necesarias para asegurar que Ct(p, u) sea linealmente homogénea en los componentes del vector de precios de los insumos intermedios p (una propiedad que debe satisfacer una función de costo condicional). Cabe señalar que, a esta altura de la explicación, se permite que los coeficientes que caracterizan la tecnología de cada período (los α, β y γ) sean totalmente distintos en cada período.

17.73 Al adaptar el resultado de Caves, Christensen y Diewert (1982b, pág. 1410) al contexto presente41, si los coeficientes cuadráticos de precios en la ecuación (17.41) son iguales en los dos períodos donde se realiza la comparación de números índice (es decir, αmj0=αmj1 para todo m, y j), la media geométrica del índice de precios económico de los insumos intermedios que utiliza tecnología del período 0, el vector de productos y0 del período 0 y el vector de insumos primarios z0 del período 0, P0(p0, p1, y0, z0), y el índice de precios económico de los insumos intermedios que utiliza tecnología del período 1, el vector de productos y 1 del período 1 y el vector de insumos primarios z1 del período 1, P1(p0, p1, y1, z1), es exactamente igual al índice de precios de los insumos intermedios de Törnqvist PT definido por la ecuación (17.10)42; es decir:

17.74 Como en el caso del resultado de la ecuación (17.40), los supuestos necesarios para el resultado (17.46) parecen bastante débiles; en especial, no se requiere que la tecnología tenga rendimientos constantes a escala en ambos períodos. Además los supuestos son coherentes con la comparación del progreso tecnológico ocurrido entre los dos períodos. Debido a que la fórmula de números índice PT es exactamente igual a la media geométrica de dos índices económicos de precios teóricos de los insumos intermedios y esto corresponde con una forma funcional flexible, se dice que la fórmula del índice de precios de los insumos intermedios de Törnqvist es superlativa.

17.75 Es posible adaptar el análisis del índice de precios del producto expuesto en las secciones C.3 y C.4 al índice de precios de los insumos intermedios y demostrar que las dos familias de índices superlativos de precios del producto, Pr*, definida por la ecuación (17.25), y Pr, definida por la ecuación (17.23), también están constituidas por índices superlativos de precios de insumos intermedios. Sin embargo, aquí se omiten los detalles, ya que para la obtención de estos resultados, se requieren restricciones de separabilidad restrictivas sobre la tecnología del establecimiento43.

17.76 En la siguiente sección, se modifica el análisis presentado hasta aquí a fin de brindar un enfoque económico del deflactor del valor agregado.

D. Enfoque económico del deflactor del valor agregado para un establecimiento

17.77 Ahora la atención se centra en la teoría econó-mica del deflactor del valor agregado para un establecimiento. Esta teoría es análoga a la teoría económica del índice de precios del producto explicada en la sección B, excepto que ahora se utiliza la función de utilidades π en lugar de la función de ingreso r usada en la sección B.

17.78 Recordar que el conjunto St describe qué vectores de productos y se pueden producir en el período t si el establecimiento dispone del vector de insumos [x,z], donde x es el vector de insumos intermedios y z es el vector de insumos primarios. Por lo tanto, si [y,x,z] pertenece a St, el vector de productos no negativo y puede ser producido por el establecimiento en el período t si se dispone del vector no negativo x de insumos intermedios y del vector no negativo z de insumos primarios.

17.79 Sean py ≡ (py1,…pyN) y px ≡ (px1,…pxM) los vectores positivos de precios del producto y de los insumos intermedios que el establecimiento puede encontrar en el período t, y sea z el vector no negativo de insumos primarios del que el establecimiento puede disponer durante el período t. Entonces, la función de utilidades (brutas) o función de ingreso neto del establecimiento que utiliza tecnología del período t se define como la solución al siguiente problema de maximización del ingreso neto:

donde y ≡ [y1,…,yN] es un vector de productos y x ≡ [x1,…,xM] es un vector de insumos intermedios. Así, πt(py, px, z) es el máximo ingreso de producción, Σn=1Npynyn, menos el costo de los insumos intermedios, Σm=1Mpxmxm, que podría generar el establecimiento, dado que enfrenta el vector de precios de productos py y el vector de precios de los insumos intermedios px, dispone del vector de insumos primarios z, y utiliza la tecnología del período t44.

17.80 Para que en el resto de esta subsección la notación del deflactor del valor agregado sea comparable con la notación utilizada en los capítulos 15 y 16 para los índices de precios y cantidades, se define al vector de precios del producto neto p como p ≡ [py, px], y al vector de cantidades de los productos q como q ≡ [y, –x]. Por lo tanto, todos los precios de los productos e insumos intermedios son positivos, las cantidades los productos son positivas, pero se indexan los insumos intermedios con el signo menos. Con estas definiciones, πt(py, px, z) puede reformularse como πt(p,z).

17.81 La función de utilidades πt del período t se puede utilizar para definir el deflactor del valor agregado de la tecnología del período t de la economía, Pt, entre dos períodos cualesquiera, por ejemplo, los períodos 0 y 1, de la siguiente manera45:

donde p0 y p1 son los vectores de dimensión N + M de precios de los productos netos que enfrenta el establecimiento en los períodos 0 y 1, y z es un vector de referencia de los insumos primarios. Cabe señalar que todas las variables del numerador y denominador de la ecuación (17.48) se mantienen constantes, excepto los vectores de precios del producto neto y de los insumos intermedios.

17.82 Como en el caso de la teoría del índice de precios del producto, hay diferentes índices de precios con la forma de la ecuación (17.48) según el vector de referencia (t,z) elegido. El análisis del índice de precios del producto sigue al presentado en la sección B. Al igual que en la teoría de los índices de precios del producto, dos casos especiales de la definición general del índice de precios de los insumos intermedios de la forma de la ecuación (17.48) cobran interés: un índice teórico que utiliza el conjunto de tecnologías del período 0 y el vector de insumos primarios z0 utilizado en el período 0, y otro que usa el conjunto de tecnologías del período 1 y el vector de insumos primarios z1 del período 1. Se demuestra que el índice de precios observable de productos e insumos intermedios de Laspeyres, PL, es una cota inferior para el primer deflactor teórico del valor agregado definido y el índice de precios observable de productos e insumos intermedios de Paasche, PP es una cota superior para el segundo deflactor teórico del valor agregado46. Estas desigualdades siguen el mismo sentido que las desigualdades de las ecuaciones (17.4) y (17.5) obtenidas para el índice de precios del producto.

17.83 Como en el caso de la sección B.2, es posible definir un deflactor del valor agregado que se encuentre entre los deflactores observables del valor agregado de Paasche y Laspeyres. Para ello, se define una función de ingreso neto hipotética, π(p,α), para que corresponda con un promedio ponderado por α de los conjuntos tecnológicos de los períodos 0 y 1, y se utiliza un promedio ponderado por α de los vectores de insumos primarios z0y z1 como vector de insumos primarios de referencia.

17.84 Siguiendo los argumentos presentados en el caso del índice de precios del producto cuando los valores de los índices de Paasche y Laspeyres son próximos entre sí, un deflactor económico verdadero del valor agregado queda bastante bien determinado. Una aproximación razonablemente buena al índice verdadero es una media simétrica de PL y PP, como, por ejemplo, la media geométrica, con la que se obtiene nuevamente el índice de precios ideal de Irving Fisher47.

17.85 Los supuestos de tecnología translogarítmica utilizados en la sección B.3 para justificar la utilización del índice de precios del producto de Törnqvist-Theil como una aproximación al índice teórico de precios del producto pueden adaptarse a fin de justificar la utilización del índice de precios del valor agregado de Törnqvist-Theil como aproximación al deflactor teórico del valor agregado. Recordemos la definición de la función de ingreso neto del período t, πt(py, px, z), definida por la ecuación (17.47). Reemplacemos los vectores de precios de los productos py y el vector de precios de los insumos intermedios px por el vector p ≡ [py, px], y supongamos que la función de ingreso neto del período t tiene una forma funcional translogarítmica. De acuerdo con un argumento similar al del índice de precios del producto, cuando los coeficientes cuadráticos de precios son iguales en los dos períodos, el deflactor del valor agregado de Törnqvist es exactamente igual a esta forma del índice teórico. Debido a que la fórmula de número índice es exactamente igual a la forma funcional flexible subyacente, la fórmula del deflactor del valor agregado de Törnqvist es superlativa. Al igual que en el caso del índice de precios del producto, los supuestos necesarios para esta conclusión parecen bastante débiles; en particular, no es necesario suponer que las tecnologías tienen rendimientos constantes a escala en cualquiera de los dos períodos, y los supuestos son coherentes con el progreso tecnológico que ocurre entre los dos períodos comparados.

17.86 Es posible adaptar el análisis del índice de precios del producto expuesto en las secciones B.4 y B.5 al deflactor del valor agregado y demostrar que la familia de índices superlativos de precios del producto Pr, definida por la ecuación (17.28), está constituida por deflactores superlativos del valor agregado48. Sin embargo, aquí se omiten los detalles pues, a fin de derivar estos resultados, se requieren restricciones de separabilidad restrictivas sobre la tecnología del establecimiento49.

17.87 A continuación, se estudiarán los problemas que surgen al agregar establecimientos para formar los deflactores del producto, los insumos intermedios y el valor agregado nacionales.

E. Aproximaciones a los índices superlativos: Índices del año intermedio

17.88 Un problema práctico en la implementación de los índices superlativos es que siempre requieren información en el período corriente sobre cantidades y precios. En la próxima sección, se estudia una sugerencia reciente para aproximar índices superlativos cuando no se dispone de información sobre cantidades del período corriente.

17.89 Recordemos las ecuaciones (15.18) y (15.19) en la sección C.2 del capítulo 15, que definían los índices de precios de Walsh (1901, pág. 398; 1921a, pág. 97) y Marshall (1887)Edgeworth (1925) entre los períodos 0 y 1, PW(p0, p1, q0, q1) y PME(p0, p1, q0, q1), respectivamente. En la sección C.4 se indicó que el índice de precios de Walsh es un índice superlativo. Por otra parte, aunque el índice de precios de Marshall-Edgeworth no es superlativo, Diewert (1978, pág. 897) demostró que aproxima cualquier índice superlativo en el segundo orden en torno a un punto en el cual los vectores de precios y cantidades de los períodos base y corriente son iguales50, de manera que PME suele aproximarse bastante bien a un índice superlativo. En esta sección, se examinarán algunos resultados recientes atribuidos a Schultz (1999) y Okamoto (2001) para demostrar que, en ciertas condiciones, varios índices de precios del año intermedio se aproximan bastante bien a los índices de Walsh o Marshall-Edgeworth. Como se verá, los índices del año intermedio no dependen de ponderaciones de cantidades para los períodos base y corriente, sino que utilizan ponderaciones de cantidades de años entre el período base y el período corriente, y por lo tanto, se pueden compilar de manera oportuna. Cabe señalar que la explicación se plantea en términos de la utilización de ponderaciones de cantidades del año intermedio, pero también podrían definirse índices equivalentes recurriendo a participaciones en el ingreso del año intermedio mediante definiciones apropiadas de los índices según los términos dados, por ejemplo, para los índices de Laspeyres y Paasche en las ecuaciones (15.8) y (15.9), respectivamente.

17.90 Sea t un número entero positivo y par. Schultz (1999) definió un índice de precios del año intermedio, que compara el vector de precios del período t, pt, con el vector de precios correspondiente del período 0, p0, de la siguiente manera:

donde qt/2 es el vector de cantidades perteneciente al período intermedio, t/2. La definición de un índice de precios del año intermedio en el que t es impar (y mayor que 2) es un poco más compleja. Okamoto (2001) definió índices de precios del año intermedio de tipo aritmético y de tipo geométrico que compara los precios del período 0 con los precios del período t, donde t es impar, en las ecuaciones (17.50) y (17.51), respectivamente:

Cada uno de los índices de precios definidos por las ecuaciones (17.50) y (17.51) es del tipo de canasta fija. En el índice de tipo aritmético definido por (17.50), el vector de cantidades de la canasta fija es la media aritmética simple de los dos vectores de cantidades que pertenecen a los períodos intermedios, (t – 1) / 2 y (t + 1) / 2, mientras que, en el índice de tipo geométrico definido por la ecuación (17.51), el vector de cantidades de referencia es la media geométrica de estos dos vectores de cantidades del período intermedio.

17.91Okamoto (2001) utilizó las definiciones anteriores para definir la siguiente secuencia de índices de precios del año intermedio (tipo aritmético) de base fija:

Por lo tanto, en el período 0, se establece que el índice es igual a 1. En el período 1, se establece que el índice es igual al índice de precios de Marshall-Edgeworth entre los períodos 0 y 1, PME(p0, p1, q0, q1) (que es el único número índice de dicha secuencia que requiere información sobre cantidades del período corriente). En el período 2, se establece que el índice es igual al índice del año intermedio de Schultz, PS(p0, p2, q1), definido por la ecuación (17.49), que utiliza las ponderaciones de cantidades del período 1 anterior, q1. En el período 3, se establece que el índice es igual al índice aritmético del año intermedio de Okamoto, POA(p0, p3, q1, q2), definido por la ecuación (17.50), que utiliza las ponderaciones de cantidades de los dos períodos anteriores, q1y q2, y así sucesivamente.

17.92Okamoto (2001) también utilizó estas definiciones para determinar la siguiente secuencia de índices de precios del año intermedio (tipo geométrico) de base fija:

Por lo tanto, en el período 0, se establece que el índice es igual a 1. En el período 1, se establece que el índice es igual al índice de precios de Walsh entre los períodos 0 y 1, PW(p0, p1, q0, q1) (el único número índice en la secuencia que requiere información sobre cantidades del período corriente). En el período 2, se establece que el índice es igual al índice del año intermedio de Schultz, PS(p0, p2, q1). En el período 3, se establece que el índice es igual al índice del año intermedio de Okamoto (tipo geométrico), POG(p0, p3, q1, q2), definido por la ecuación (17.51), que utiliza las ponderaciones de cantidades de los dos períodos anteriores, q1 y q2, y así sucesivamente.

17.93 También pueden definirse secuencias encadenadas51 de índices del año intermedio, que constituyen las contrapartidas de las secuencias de base fija definidas por las ecuaciones (17.52) y (17.53). Por lo tanto, una contrapartida encadenada de la ecuación (17.52) puede definirse de la siguiente manera:

Una contrapartida encadenada de la ecuación (17.53) puede definirse de la siguiente manera:

Cabe señalar que las ecuaciones (17.54) y (17.55) difieren solo en que una utiliza el índice de Marshall-Edgeworth, PME(p0, p1, q0, q1), para comparar los precios del período 1 con los precios del período 0, en tanto que la otra utiliza el índice de Walsh, PW(p0, p1, q0, q1), para comparar los precios de los mismos dos períodos. Por lo demás, solo se utiliza la fórmula básica del año intermedio de Schultz, PS(pt, pt+2, qt+1), en ambas ecuaciones, (17.54) y (17.55).

17.94 Utilizando datos de Canadá y Japón, Schultz (1999) y Okamoto (2001) demostraron que las secuencias de números índice del año intermedio como las definidas por las ecuaciones (17.54) y (17.55) se aproximan aceptablemente a sus contrapartes del índice ideal superlativo de Fisher.

17.95 Además de estos resultados empíricos, es posible desarrollar algunos resultados teóricos que respalden el uso de índices del año intermedio como aproximaciones a los índices superlativos52. Los resultados teóricos expuestos se basan en determinados supuestos específicos sobre el modo en que los vectores de cantidad qt cambian con el correr del tiempo. Se utilizarán dos supuestos específicos de este tipo.

17.96 Supongamos ahora que existen tendencias lineales en cantidades en el período de la muestra; es decir, se supone que:

donde α ≡ [α1,…, αN] es un vector de constantes. Por lo tanto, para valores impares de t, utilizando la ecuación (17.56), se sigue que:

De manera similar, para valores impares de t (mayores que 2), se desprende que:

Por lo tanto, bajo el supuesto de tendencias lineales con el tiempo de la ecuación de cantidades (17.56), puede demostrarse, utilizando las ecuaciones (17.57) y (17.58), que los índices del año intermedio de Schultz y de tipo aritmético de Okamoto son iguales a sus contrapartes de Marshall-Edgeworth, es decir:

Por lo tanto, según la ecuación de tendencias lineales (17.56), las secuencias de tipo aritmético de base fija y encadenada de los índices del año intermedio, las ecuaciones (17.52) y (17.54), respectivamente, se convierten en las siguientes secuencias de índices de Marshall-Edgeworth53:

17.97 El segundo supuesto específico sobre el comportamiento de las cantidades en el tiempo es que estas varían a tasas geométricas a lo largo del período de la muestra; es decir, se supone que:

donde gn es la tasa de crecimiento geométrico de la cantidad n. Por lo tanto, para valores pares de t, utilizando la ecuación (17.62),

Para valores impares de t (mayores que 2), nuevamente utilizando (17.62),

Utilizando las ecuaciones (17.63) y (17.64), puede demostrarse que, si las cantidades crecen geométricamente, los índices del año intermedio de Schultz y de tipo geométrico de Okamoto serán iguales a sus contrapartes de Walsh, es decir:

Por lo tanto, según la ecuación de las tasas de crecimiento geométrico (17.62), las secuencias de tipo geométrico de base fija y encadenada de índices del año intermedio de las ecuaciones (17.53) y (17.55), respectivamente, se transforman en las siguientes secuencias de índices de precios de Walsh:

17.98 Debido a que los índices de precios de Walsh son superlativos, los resultados expuestos en esta sección demuestran que, si las cantidades tienen una tendencia gradual, es probable que los índices superlativos puedan aproximarse bastante bien sin conocer las cantidades del período corriente (siempre y cuando los vectores de cantidades rezagadas puedan estimarse en forma continua).

17.99 Es probable que los índices del año intermedio tengan un mayor grado de aproximación a los índices superlativos que los índices encadenados o de base fija de Laspeyres54. Sin embargo, la verdadera elección puede no ser la de elaborar índices de Laspeyres o índices del año intermedio, sino la de elaborar índices del año intermedio de manera oportuna, en lugar de esperar un año o dos para elaborar índices superlativos propiamente dichos. No obstante, siempre existe el riesgo de obtener, cuando las tendencias de precios o cantidades cambian repentinamente, una estimación errónea del índice superlativo a partir de los índices del año intermedio considerados. Sin embargo, si se tiene en cuenta esta limitación de los índices del año intermedio, en general, sería muy útil para las oficinas de estadística calcular índices del año intermedio en forma experimental55.

Apéndice 17.1: Relación entre los enfoques económico y de Divisia

17.100 El enfoque de Divisia de la teoría de los números índice se basaba en la teoría de la diferenciación. Por lo tanto, no parece tener ninguna relación con la teoría económica. Sin embargo, a partir de Ville (1946), varios economistas56 establecieron que los índices de precios y cantidades de Divisia guardan relación con el enfoque económico de la teoría de los números índice. Esta relación se esboza en el contexto del índice de precios del producto.

17.101 El enfoque elegido para el índice de precios del producto es similar al adoptado en la sección C.1. Así, se supone que existe una función agregadora del producto linealmente homogénea f(q) = f(q1,…,qN), que agrega los N productos individuales producidos por el establecimiento en un producto agregado, q =f(q)57. Además, se supone que, en el período t, el productor maximiza el ingreso que puede alcanzar, dado que tiene ante sí la restricción de agregación del período t, f(q) = f(qt), donde qt es el vector de productos del establecimiento observado en el período t. Por lo tanto, se supone que el vector de producción observado en el período t, qt, resuelve el siguiente problema de maximización de ingresos en el período t :

donde el agregado de producto del período t, Qt, se define como Qtf(qt),yqt[q1t,,qNt] es el vector de productos del establecimiento observado en el período t. El vector de precios del período t para los N productos producidos por el establecimiento es pt[p1t,,pNt]. Cabe señalar que la solución al problema de maximización de ingresos del período t define la función de ingreso del productor, R (Qt, pt).

17.102 Al igual que en la sección B.4, se supone que f es linealmente homogénea (positiva) para vectores de cantidades estrictamente positivos. Bajo este supuesto, la función de ingreso del productor, R(Q, p), se desglosa en Qr(p), donde r(p) es la función de ingreso unitario del productor; véase la ecuación (17.16) en la sección B.4. Utilizando este supuesto, el ingreso observado del período t, Σi=1Npitqit se desglosa de la siguiente manera:

Por lo tanto, el ingreso total agregado del período t para los N productos, se Σi=1Npitqit, desglosa en el producto ducto de dos términos, r(pt)f(qt). El ingreso unitario del período t, r (pt), puede identificarse como el nivel de precios del período t, Pt, y el agregado de producto del período t, f (qt), como el nivel de cantidades del período t, Qt.

17.103 El nivel económico de precios para el período t, Ptc(pt), definido en el párrafo anterior, se relaciona ahora con el nivel de precios de Divisia para el momento t, P(t), que se definió en el capítulo 15 por la ecuación diferencial (15.29). Como en la sección D.1 del capítulo 15, pensemos ahora en los precios como funciones continuas y diferenciables respecto del tiempo, pi(t), para i = 1, …, N. Por lo tanto, la función de ingreso unitario también puede considerarse una función del tiempo t ; es decir, puede definirse la función de ingreso unitario como una función de t de la siguiente manera:

Si suponemos que existen derivadas parciales de primer orden de la función de ingreso unitario r, la derivada logarítmica de r*(t) puede calcularse de la siguiente manera:

donde

es la derivada parcial de la función de ingreso unitario con respecto al precio i-ésimo, pi(t) ≡ dpi(t)/dt es la derivada respecto del tiempo de la i-ésima función de precios, pi(t). Utilizando el Lema de Hotelling (1932, pág. 594), la oferta del producto i que maximiza el ingreso del productor en el momento t es:

donde el nivel de producto agregado en el momento t es Q(t) = f[q1(t), q2(t),…,qN(t)]. La contraparte de tiempo continuo de la ecuación (A17.2) es que el ingreso total del momento t es igual al agregado de producto, Q(t), multiplicado por el ingreso unitario del período t, r*(t); es decir,

Ahora, la derivada logarítmica del nivel de precios de Divisia, P (t), puede escribirse de la siguiente manera (recordemos la ecuación 15.29 del capítulo 15):

utilizando la ecuación (A17.5)

utilizando la ecuación (A17.4)

Por lo tanto, según los supuestos de maximización de ingresos en tiempo continuo, el nivel de precios de Divisia, P(t), es esencialmente igual a la función de ingreso unitario valorada a los precios del momento t, es decir,

17.104 Si se establece que el nivel de precios de Divisia, P(t), es igual a la función de ingreso unitario r*(t) ≡ r[p1(t), p2(t), …, pN(t)], de la ecuación (A17.2) se desprende que el nivel de cantidades de Divisia Q(t), definido en el capítulo 15 por la ecuación (15.30), será igual a la función agregadora del producto del productor considerada una función del tiempo, f*(t) ≡ f[q1(t), …, qN(t)]. Por lo tanto, según el supuesto de que el productor maximiza continuamente su ingreso, dada una meta de producción agregada cuya función agregadora del producto es linealmente homogénea, se demuestra que los niveles de precios y cantidades de Divisia, P(t) y Q(t), definidos implícitamente por las ecuaciones diferenciales (15.29) y (15.30) del capítulo 15, son esencialmente iguales a la función de ingreso unitario del productor r*(t) y la función agregadora del producto f*(t), respectivamente58. Cabe destacar estas igualdades, ya que, en principio, dadas las funciones de tiempo, pi(t) y qi(t), las ecuaciones diferenciales pueden resolverse en forma numérica59 y, por lo tanto, P(t) y Q(t) son, en principio, observables (considerando algunas constantes normalizadas).

17.105 Pueden hallarse más comentarios sobre el enfoque de Divisia de la teoría de los números índice en Vogt (1977; 1978) y Balk (2000).

Véanse Eurostat et al.(1993) o Bloem, Dippelsman y Maehle (2001, pág. 17).

Entre los primeros en explorar este enfoque, estuvieron Bowley (1922, pág. 2), Rowe (1927, pág. 173), Burns (1930, págs. 247–50) y Copeland (1932, págs. 3–5).

En el capítulo 14 pueden consultarse más datos sobre la relación entre los agregados de contabilidad nacional y los IPP.

Véase Peter Hill (1999) para una taxonomía de los servicios.

En esta definición modificada se considera establecimiento un conjunto de unidades de producción generalmente menor que una empresa, pues esta puede ser multinacional. Por ello, otro modo de definir un establecimiento que sirva a nuestros propósitos es el siguiente: un establecimiento es el agregado más pequeño de unidades de producción nacionales con la capacidad de suministrar información contable de sus insumos y productos en el período considerado.

Puede ocurrir que los precios de mercado de muchos insumos intermedios muy especializados de un proceso de producción de etapas múltiples y tecnologías patentadas, no existan. Además, pueden definirse precios de transferencia haciendo uso de otros conceptos; véanse Diewert (1985) y Eden (1998). El SCN 1993 (párrafo 6.82) señala que, para entregas entre establecimientos pertenecientes a la misma empresa,

Los bienes y servicios que un establecimiento suministra a otro establecimiento perteneciente a la misma empresa se contabilizan como parte de la producción del establecimiento productor. El establecimiento receptor puede emplear esos bienes y servicios como consumo intermedio o como formación bruta de capital fijo. El establecimiento productor debe valorar los citados bienes y servicios a precios básicos corrientes; el establecimiento receptor debe valorarlos a los mismos precios más los costos adicionales de transporte pagados a terceros. Debe evitarse, en la medida de lo posible, el uso de precios artificiales de transferencia que las empresas suelen aplicar con propósitos de contabilidad interna.

No obstante, se reconoce que no es fácil establecer dichos precios:

Desde un punto de vista contable, puede resultar difícil la división en establecimientos de una empresa integrada verticalmente, ya que tienen que imputarse valores a las producciones obtenidas en las primeras fases del proceso que no se venden realmente en el mercado, sino que se emplean como insumos intermedios en fases posteriores. Algunas de estas empresas pueden registrar los suministros internos a precios que reflejan los valores de mercado, pero otras pueden no hacerlo. Aunque se disponga de datos apropiados sobre los costos en los que se ha incurrido en cada fase de la producción, puede ser complicado decidir cuál es la forma más adecuada de asignar el excedente de explotación de la empresa a las distintas fases. Una posibilidad es aplicar una tasa uniforme de beneficio a los costos incurridos en cada fase del proceso productivo (SCN 1993, párrafo 5.33).

Estos problemas de determinación de los precios se abordan en el capítulo 6, donde el concepto de precio de mercado de cada producto, elaborado por un establecimiento durante el período contable bajo estudio, se calcula dividiendo el valor de la producción de ese producto por la cantidad producida en el período; es decir, el precio es el precio promedio para ese producto.

Si bien en cuanto a su definición el índice de precios del valor agregado es como cualquier otro índice de precios, se lo suele llamar “deflactor del valor agregado”, y este Manual respetará esta terminología de uso generalizado.

Los insumos de capital o insumos duraderos, sin embargo, son excluidos de la lista de insumos intermedios. Un insumo duradero es un insumo cuya contribución a la producción dura más de un período contable. Por ello, la definición de insumo duradero depende de la duración del período contable. Sin embargo, por convención, un insumo se clasifica como duradero si dura más de dos o tres años. De este modo, un insumo intermedio es un insumo no duradero que tampoco es un insumo primario. Los insumos duraderos se clasifican como insumos primarios aun si son producidos por otros estableci mientos. El trabajo, la tierra y los recursos naturales constituyen otros insumos primarios.

Rowe (1927, págs. 174–75) fue uno de los primeros economistas en comprender las dificultades que enfrentaban los expertos en estadísticas de precios cuando intentaban elaborar índices de precios o de cantidades del producto: “En la construcción de un índice del producto existen tres dificultades inherentes que, al ser casi irresolubles, en ciertas circunstancias limitan severamente la exactitud del índice. La primera es que no es posible realizar una medición cuantitativa de muchos productos. El caso más grave de esta dificultad es el de la industria de la energía. […] La segunda dificultad estructural proviene de que el producto de una industria, aun cuando pueda medirse en forma cualitativa, puede cambiar cualitativa y cuantitativamente a lo largo de una serie de años. Así, durante los últimos veinte años, se experimentó, casi con certeza, una tendencia a la mejora de la calidad promedio del hilado y del tejido producidos por la industria del algodón […] La tercera dificultad intrínseca se debe a la inclusión de nuevas industrias cuya importancia aumenta a lo largo del tiempo”. Estos tres problemas aún subsisten: consideremos las dificultades de medir los productos de las industrias de seguros y juegos de azar; un número cada vez mayor de industrias elabora productos que son únicos y, por lo tanto, las comparaciones de precios y cantidades son difíciles, cuando no imposibles. Por último, el gran aumento en los gastos en investigación y desarrollo de empresas y gobiernos derivó en la creación de un número cada vez mayor de nuevos productos e industrias. El capítulo 8 aborda las cuestiones relativas a la compilación de índices cuando hay establecimientos y bienes y servicios que aparecen y desaparecen.

Diewert y Smith (1994), en un estudio pionero computaron índices ideales de Fisher para una empresa comercializadora del oeste de Canadá durante siete trimestres y agregó más de 76.000 artículos de inventario.

La función Rt se conoce como la función del PIB o la función del producto nacional en los trabajos sobre comercio internacional (véase Kohli, 1978 y 1991 y Woodland, 1982). Samuelson (1953) fue quien por primera vez la mencionó en los estudios publicados. Otros términos que pueden utilizarse para esta función son i) la función de utilidades bruta, véase Gorman (1968); ii) la función de utilidades restringida, véanse Lau (1976) y McFadden (1978) y iii) la función de utilidades variable, véase Diewert (1973 y 1974a). Estas referencias bibliográficas describen las propiedades matemáticas de la función de ingreso.

Este concepto de índice de precios del producto (o una variante muy similar) fue definido por Fisher y Shell (1972, págs. 56–58), Samuelson y Swamy (1974, págs. 588–92), Archibald (1977, págs. 60–61), Diewert (1980, págs. 460–61; 1983a, pág. 1055) y Balk (1998a, págs. 83–89). Los lectores familiarizados con la teoría del índice verdadero del costo de vida notarán que el índice de precios del producto definido en la ecuación (17.2) es análogo al índice verdadero del costo de vida, que es un cociente de funciones de costo, por ejemplo, C(u, p1)/C(u, p0), donde u es el nivel de utilidad de referencia: r sustituye a C, y el nivel de utilidad de referencia u se reemplaza por el vector de variables de referencia (t, v). Véanse referencias a la teoría del índice verdadero del costo de vida en Konüs (1924), Pollak (1983a) o la contrapartida de este Manual para el IPC, OIT et al. (2004).

Esto se debe a que el problema de optimización en la teoría del costo de vida es un problema de minimización de costos, y no un problema de maximización de ingresos como el que nos ocupa en esta sección. El método de demostración utilizado para derivar las ecuaciones (17.4) y (17.5) se remonta a Konüs (1924), Hicks (1940) y Samuelson (1950).

Sin embargo, la validez de la ecuación (17.5) no depende de la posición relativa de los dos conjuntos de posibilidades de producción. Para obtener la versión estricta de la desigualdad en la ecuación (17.5) se requieren dos condiciones: i) que la frontera del conjunto de posibilidades de producción del período 1 sea “curva” y ii) que los precios relativos del producto varíen entre los períodos 0 y 1, de manera que las dos rectas de precios que pasan por G y H en el gráfico 17.1 sean tangentes a la frontera del conjunto de posibilidades de producción del período 1 en distintos puntos.

El índice de precios del producto de Laspeyres es una cota inferior al índice teórico P0(p0, p1, v0), y el índice de precios del producto de Paasche es una cota superior al índice teórico P1(p0, p1, v1).

Cuando α = 0, R(p,0) = R0(p, v0) y cuando α = 1, R(p,1) = R1(p, v1).

Esto se considera un efecto de sustitución de productos normal. Sin embargo, empíricamente suele suceder que las reducciones de precios observadas de un período a otro no se ven correspondidas por reducciones en la oferta. No obstante, estos efectos anormales de “sustitución” se pueden explicar como los efectos del progreso tecnológico. Por ejemplo, supongamos que el precio de los chips de computadoras disminuye de manera considerable entre los períodos 0 y 1. Si la tecnología permaneciera constante durante ambos períodos, se esperaría que los productores locales disminuyeran su oferta de chips del período 0 al 1. En realidad, ocurre lo contrario, porque el progreso tecnológico lleva a una drástica reducción en el costo de producción de los chips, que se traslada a quienes demandan chips. Por ello, la teoría del índice de precios del producto no puede hacer caso omiso los efectos del progreso tecnológico. La contraparte del cambio tecnológico en la teoría del índice del costo de vida es el cambio en los gustos, que no suele tomarse en cuenta.

Diewert adaptó un método de demostración originariamente atribuido a Konüs (1924) en el contexto del consumidor. Diewert (1983a, pág. 1105) establece condiciones suficientes para los conjuntos de tecnología de los períodos 0 y 1 para que el resultado se verifique. El planteo de las secciones B.2, B.3 y C.1 también se beneficia del capítulo 2 de Alterman, Diewert y Feenstra (1999).

Cabe señalar que Irving Fisher (1922) construyó índices de precios del producto de Laspeyres, de Paasche y de Fisher para su conjunto de datos de Estados Unidos. Fisher también adoptó la perspectiva de que el producto de los índices de precios y cantidades debería ser igual al cociente de valor entre los dos períodos bajo estudio, una idea que había formulado previamente (1911, pág. 403). No consideró de manera explícita el problema de deflactar el valor agregado; sin embargo, hacia 1930, su idea de que la deflación y la medición del crecimiento de las cantidades eran en esencia una misma cuestión se extendió al problema de deflactar el valor agregado nominal; véase Burns (1930).

Christensen, Jorgenson y Lau (1971) presentaron y le dieron nombre a esta forma funcional. Diewert (1974a) la adaptó al contexto de la función de ingreso o de utilidades.

También se supone que las condiciones de simetría αnjt=αjnt se satisfacen para todo n, para todo j y para t = 0,1, y γmkt=γkmt para todo m, para todo k y para t = 0,1.

Véanse Diewert (1973 y 1974a) para las condiciones de regularidad que deben satisfacer las funciones de ingreso o de utilidades.

El concepto de forma funcional flexible fue presentado por Diewert (1974a, pág. 113).

Véase una descripción más detallada de estas técnicas para mode-lar comportamientos monopólicos y más referencias bibliográficas en Diewert (1993b, págs. 584–90).

Suponga que, en el período 0 el vector de insumos v0 genera el vector de productos q0. Los supuestos de separabilidad implican que el mismo vector de insumos v0 podría generar cualquier vector de productos q tales que f(q) = f(q0). En la práctica, a medida que cambia q, se espera que los requerimientos correspondientes de insumos también cambien, en lugar de permanecer fijos.

Un enfoque alternativo que llega a las mismas conclusiones es comenzar por suponer que la función agregadora del productor toma esta forma cuadrática y, suponiendo que los productos son débilmente separables de forma homogénea entre sí dentro de la función de producción, aplicar la identidad de Wold. Entonces, es posible demostrar que el índice de cantidades ideal de Fisher corresponde en forma exacta a un agregador cuadrático homogéneo. Puede derivarse la función de ingreso unitario utilizando la regla del producto, a efectos de conseguir resultados análogos para el índice de precios ideal de Fisher.

A este resultado llegó Diewert (1976, págs. 133–34) en el marco del consumidor.

Cabe señalar que el índice de Fisher, PF, es exacto para la función de ingreso unitario de la ecuación (17.16). Estas dos funciones agregadoras de productos no suelen coincidir. Sin embargo, si la matriz simétrica A de las aik, de N por N, tiene matriz inversa, puede demostrarse fácilmente que la matriz B de las bik de N por N será igual a A–1.

Esta terminología se atribuye a Diewert (1976, pág. 129). Esta forma funcional fue definida por primera vez por Denny (1974) como una función de costo unitario.

Este método para justificar la agregación de productos se atribuye a Shephard (1953, págs. 61–71). Se supone que f(q) es una función creciente, positiva y convexa de q para q positivos. Samuelson y Swamy (1974) y Diewert (1980, págs. 438–42) también desarrollaron este enfoque de la teoría de los números índice.

Véase Diewert (1976, pág. 130).

Nuevamente, el enfoque en este caso es por medio de una función de ingreso unitario. Una formulación alternativa es por medio de un índice de cantidades superlativo de media cuadrática de orden r. Utilizando la regla del producto el índice de cantidades define un índice de precios implícito de media cuadrática de orden r que también es un índice superlativo.

Véase Diewert (1976, págs. 133–34).

La función fr* puede definirse utilizando rr de la siguiente manera: fr*(q)=maxp{Σi=1npiqi:rr(p)=1}.

Véase Hardy, Littlewood y Polyá (1934). De hecho, Allen y Diewert (1981, pág. 434) también obtuvieron este resultado (17.32), pero no comprendieron su alcance.

R.J. Hill (2000) documenta esta disparidad para dos conjuntos de datos. Sus datos de series temporales consisten en datos anuales de gasto y volumen, de 64 rubros del PIB de Estados Unidos desde 1977 hasta 1994. Para este conjunto de datos, Hill (2000, pág. 16) notó que “los índices superlativos pueden diferir en un factor superior a dos (es decir, en más de 100%), aun cuando los índices de Fisher y Törnqvist nunca difieren en más de 0,6 %”.

Véase, por ejemplo, Diewert (1978, pág. 894) o Fisher (1922), que se reproduce en Diewert (1976, pág. 135).

Véase McFadden (1978) para las características matemáticas de una función de costo condicional. A su vez, cabe señalar que −Ct(px,y,z) tiene las mismas características matemáticas que la función de ingreso Rt definida previamente en este capítulo.

Este concepto del índice de precios de insumos intermedios es análogo al índice de precios de importación definido en Alterman, Diewert y Feenstra (1999). Si se omite el vector de insumos primarios de la ecuación (17.34), el índice de precios de insumos intermedios resultante se reduce al índice del costo físico de producción definido por Court y Lewis (1942–43, pág. 30).

El resultado de exactitud translogarítmica de Caves, Christensen y Diewert tiene un carácter un poco más general que un resultado de exactitud translogarítmica obtenido previamente por Diewert y Morrison (1986, pág. 668); Diewert y Morrison supusieron que todos los términos cuadráticos de la ecuación (17.41) eran iguales en los dos períodos estudiados, mientras que Caves, Christensen y Diewert solo supusieron que αmj0=αmj1 para todo m y para todo j.

En el contexto actual, los precios del producto son reemplazados por los precios de los insumos intermedios y el número de términos en la sumatoria definida por la ecuación (17.10) cambia de N a M.

La contrapartida de nuestro anterior supuesto de separabilidad en la ecuación (17.15) es ahora z1 = Ft(y,x,z2,…,zK) = Gt(y,f(x), z2,…,zK) para t = 0,1, donde la función agregadora de los insumos intermedios f es linealmente homogénea e independiente de t.

La función de utilidades πt tiene las mismas propiedades matemáticas que la función de ingreso Rt.

Si no hay insumos intermedios, este concepto se reduce al índice de precios del producto con cantidades fijas de insumos de Archibald (1977). En los casos en los que no haya progreso técnico entre los dos períodos, este concepto se reduce al deflactor del precio del producto neto de Diewert (1980, págs. 455–61). Diewert (1983a) consideró el concepto general, que admite progreso técnico entre períodos.

A fin de derivar esta desigualdad, el valor agregado hipotético debe Σn=1N+Mpn0qn1=Σn=1Npyn0yn1Σm=1Mpxm0xm1 ser positivo para establecer la desigualdad en (17.4). Si los períodos 0 y 1 se encuentran bastante apartados o si hay variaciones dramáticas en los precios de los productos o en los precios de los insumos intermedios entre los dos períodos, este valor agregado hipotético puede ser negativo. En este caso, uno puede intentar recurrir al principio del encadenamiento para desglosar las variaciones grandes de precios y cantidades que ocurrieron entre los períodos 0 y 1 en una serie de variaciones más pequeñas. Con variaciones más pequeñas, es más probable que la serie del valor agregado hipotético permanezca positiva. Esto parece ser coherente con el consejo de Burns (1930, pág. 256) sobre este tema. En ciertas circunstancias, Bowley (1922, pág. 256) indicó la posibilidad de obtener un valor agregado nominal negativo. Burns (1930, pág. 257) señaló que esta anomalía suele desaparecer con un nivel mayor de agregación de establecimientos o industrias.

Burns (1930, pág. 244–47) notó que los deflactores del valor agregado de Laspeyres, de Paasche y de Fisher podían ser utilizados para deflactar el producto neto nominal o valor agregado a efectos de obtener mediciones reales. Burns (1930, pág. 247) también señaló que el agregado ideal de producción de Fisher elaborado como el producto de los índices de cantidades de Laspeyres y Paasche (el método de “índice”) llevaría al mismo resultado que deflactar el cociente del valor agregado nominal por el índice de precios de Fisher (el método de “deflación”).

La función agregadora del valor agregado que corresponde a la ecuación (17.55) ahora es fr(y,x). Todas las cantidades deben ser positivas para esta forma funcional y, por lo tanto, los precios de los productos deben ser considerados positivos y los precios de los insumos intermedios deben ser negativos para que se verifique con exactitud el resultado de la ecuación (17.56). Para la función de ingreso neto unitario que ahora corresponde a la ecuación (17.27), todos los precios deben ser positivos y las cantidades de los productos también, pero las cantidades de los insumos intermedios deben ser negativas, a fin de mantener la exactitud del resultado (17.29).

La contrapartida del supuesto de separabilidad mencionado en la ecuación (17.15) ahora es z1 = Ft(y,x,z2,…,zK = Gt(f(y,x), z2,…,zK) para t = 0,1, donde la función agregadora de los insumos intermedios y el producto, f, es linealmente homogénea e independiente de t. Este tipo de supuesto de separabilidad fue planteado por primera vez por Sims (1969). Bajo este supuesto de separabilidad, la familia de deflactores del valor agregado definida por la ecuación (17.48) se reduce a r(p1) / r(p0), donde la función de ingreso neto unitaria esta definida por r(p) maxq{Σn=1N+Mpnqn:f(q1,,qN+M)=1}. Cabe señalar que estos deflactores son independientes de las cantidades. Bajo el supuesto de separabilidad, el índice de cantidades que corresponde al índice de precios del valor agregado real es f(y1, x1)/f(y0, x0) y, por lo tanto, este índice depende solo de cantidades. En Sims (1977, pág. 129) se enfatiza que, si las mediciones del producto neto real dependen solamente de los vectores de cantidad de productos elaborados e insumos intermedios utilizados, es necesario utilizar un supuesto de separabilidad. Debido a que estos supuestos de separabilidad son muy restrictivos desde una perspectiva empírica, se formuló el enfoque económico del IPP, para no depender de ellos.

Como siempre, este resultado puede generalizarse a los puntos de aproximación donde p1 = αp0 y q1 = βq0; es decir, los puntos en los cuales el vector de precios del período 1 es proporcional al vector de precios del período 0 y el vector de cantidades del período 1 es proporcional al vector de cantidades del período 0.

Véase la sección F del capítulo 15, donde se expone un análisis de los índices encadenados.

Okamoto (2001) también argumenta desde una perspectiva teórica y se basa en la teoría de los índices de Divisia para explicar por qué los índices del año intermedio se aproximan a los índices superlativos.

Recordemos que los índices de Marshall-Edgeworth no son, en realidad, superlativos, pero suelen aproximarse bastante bien a sus contrapartes superlativas de Fisher si se utilizan datos de series temporales “normales”.

Queda claro que los métodos de los índices del año intermedio pueden considerarse esquemas de pronóstico muy simples para estimar el vector de cantidades del período corriente basado en series temporales pasadas de vectores de cantidades. Desde esta perspectiva, los métodos del año intermedio pueden generalizarse ampliamente utilizando métodos de pronósticos mediante series temporales.

Okamoto (2001) señala que, en la revisión de 2000 del IPC de Japón, los índices del año intermedio y encadenado de Laspeyres se agregarán como un conjunto de índices complementarios al índice de precios de Laspeyres de base fija utilizado habitualamente.

Véanse, por ejemplo, Malmquist (1953, pág. 227), Wold (1953, págs. 134–47), Solow (1957), Jorgenson y Griliches (1967) y Hulten (1973). Véase Balk (2000), donde se expone un análisis exhaustivo de los estudios sobre los índices de precios y cantidades de Divisia.

Recordemos los supuestos de separabilidad (17.15).

La escala de la función agregadora del producto y de la de ingreso unitario no se determina en forma única por las ecuaciones diferenciales (15.29) y (15.30); es decir, dadas f(q) y r(p), estas funciones pueden reemplazarse por αf(q) y (1/α)r(p), respectivamente, y todavía se satisfacen las ecuaciones (15.29) y (15.30) del capítulo 15.

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