Chapter

16. Enfoques axiomático y estocástico de la teoría de los números índice

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
September 2009
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A. Introducción

16.1 Tal como se demostró en el capítulo 15, resulta útil poder evaluar las distintas fórmulas de números índice propuestas en función de sus características. Si una fórmula resulta tener características indeseables, surgen dudas acerca de su idoneidad como índice objetivo para una oficina de estadística. El análisis de las características matemáticas de las fórmulas de números índice conduce al enfoque de las propiedades o enfoque axiomático de la teoría de los números índice. En este enfoque, se estipulan las características que se desean para una fórmula de número índice; luego se establece si una determinada fórmula es coherente con estas propiedades. La situación ideal es que las propiedades propuestas sean deseables y determinen por completo la forma funcional del índice.

16.2 El enfoque axiomático de la teoría de los números índice no resulta del todo sencillo, pues se deben tomar decisiones de dos tipos:

  • Se debe establecer el marco de referencia para el número índice.

  • Una vez elegido el marco de referencia, se deben determinar las propiedades por las que se evaluará al número índice.

El segundo punto es sencillo: distintos expertos en estadísticas de precios pueden tener ideas diferentes respecto de cuáles son las propiedades importantes, y distintos conjuntos de axiomas pueden derivar en distintas formas funcionales de números índice que resulten mejores. Ello se debe tener en cuenta al leer este capítulo, pues no hay consenso universal acerca de cuál es el mejor conjunto de axiomas razonables. De ahí que el enfoque axiomático pueda originar más de una fórmula mejor de números índice.

16.3 La primera de las decisiones enumeradas requiere un análisis más profundo. La mayor parte del capítulo anterior se centró en la teoría de números índice bilaterales; es decir, se suponía que los precios y las cantidades de los mismos n productos estaban dados para dos períodos y que el objetivo de la fórmula del número índice era comparar el nivel general de precios de un período con el del otro. Dentro de este marco de referencia, ambos conjuntos de vectores de precios y de cantidades se consideraban variables que podían variar en forma independiente, de manera que, por ejemplo, las variaciones de precios de un período no afectaban los precios del otro ni las cantidades de ninguno de los dos. El énfasis estaba puesto en comparar el costo total de una canasta fija de cantidades entre los dos períodos o en calcular los promedios de tales índices de canasta fija. Este es un ejemplo de un marco de referencia de número índice.

16.4 No obstante, existen otros marcos de referencia posibles. Por ejemplo, en lugar de desglosar un cociente de valores en un término que representa la variación de los precios entre los dos períodos multiplicado por otro término que representa la variación de las cantidades, se podría intentar desglosar un agregado de valor de un período en un único número que represente el nivel de precios multiplicado por otro número que represente el nivel de cantidades del período. En la primera variante de este enfoque, se supone que el número índice de los precios es una función de los precios de los n productos que corresponden a ese agregado en el período en cuestión, mientras que se supone que el número índice de las cantidades constituye una función de las cantidades de los n productos correspondientes al agregado del período. La función del índice de precios resultante fue denominada número índice absoluto por Frisch (1930, pág. 397), nivel de precios por Eichhorn (1978, pág. 141) e índice de precios unilateral por Anderson, Jones y Nesmith (1997, pág. 75). En una segunda variante de este enfoque, las funciones de precios y de cantidades dependen tanto de los vectores de precios como de los de cantidades correspondientes al período en cuestión1. En la sección B se analizarán estas dos variantes de la teoría de los números índice unilaterales2.

16.5 Los enfoques restantes de este capítulo son en su mayoría enfoques bilaterales; es decir, se comparan los precios y las cantidades de un agregado en dos períodos. En las secciones C y E se toma el enfoque del desglose del cociente de valores3. En la sección C, los índices bilaterales de precios y de cantidades, P(p0, p1, q0, q1) y Q(p0, p1, q0, q1), se consideran funciones de los vectores de precios correspondientes a los dos períodos, p0 y p1, y de los dos vectores de cantidades, q0 y q1. Los axiomas y propiedades a los cuales se somete el índice de precios P(p0, p1, q0, q1) no solo reflejan propiedades razonables de índices de precios, sino que algunos se originan como propiedades “razonables” para el índice de cantidades Q(p0, p1, q0, q1). El enfoque que se presenta en la sección C determina al mismo tiempo los mejores índices de precios y de cantidades.

16.6 La sección D se ocupa de los cocientes de precios para los n productos entre los períodos 0 y 1, ripi1/pi0 para i = 1, …, n. En el enfoque estocástico no ponderado de la teoría de los números índice, el índice de precios se considera un promedio equiponderado de los n relativos de precios o cocientes de precios, ri. Carli (1804, publicado originalmente en 1764) y Jevons (1863, 1865) fueron los pioneros de este enfoque de la teoría de los números índice: Carli utilizó la media aritmética de los relativos de precios y Jevons prefirió la media geométrica (pero también tomó en cuenta la media armónica). Este enfoque de la teoría de los números índice, que se tratará en la sección D.1, resulta coherente con el enfoque estadístico que considera cada cociente de precios ri como una variable aleatoria con una media igual al índice de precios subyacente.

16.7 Un problema grave que plantea el enfoque del promedio no ponderado de los relativos de precios es que no toma en cuenta la importancia económica de cada producto en el agregado. Arthur Young (1812) se manifestó a favor de ponderar de manera aproximada los relativos de precios según su valor relativo durante el período en cuestión, pero no indicó la forma precisa de llevar a cabo estas ponderaciones de valor4. Fue Walsh (1901, págs. 83–121; 1921a, págs. 81–90), sin embargo, quien enfatizó la importancia de ponderar los cocientes de precios individuales de manera tal que las ponderaciones fueran funciones de los valores asociados a los productos en cada período y todos los períodos se trataran en forma simétrica en la fórmula resultante:

Buscamos promediar las variaciones del valor de cambio de una suma total de dinero con respecto a distintas clases de bienes a cuyas variaciones [cocientes de precios] deben asignarse ponderaciones proporcionales al tamaño relativo de cada clase. Por ende deben considerarse los tamaños relativos de las clases en los dos períodos (Correa Moylan Walsh, 1901, pág. 104).

Los productos deberán ponderarse según su importancia, o su valor completo. Pero el problema de la axiometría siempre involucra al menos dos períodos. Hay un primer período y un segundo período con el cual este se compara. Entre ellos ocurren variaciones de precios que deben promediarse para obtener la magnitud total de la variación5. Pero es probable que las ponderaciones de los productos en el segundo período sean distintas de sus ponderaciones en el primer período. Entonces, ¿cuáles son las ponderaciones correctas: las del primer período o las del segundo? ¿O deberían combinarse los dos conjuntos de ponderaciones? No hay razón para preferir el primero o el segundo. Luego, una combinación de ambos parecería ser la respuesta adecuada. Y esta combinación en sí misma consiste en promediar las ponderaciones de ambos períodos (Correa Moylan Walsh, 1921a, pág. 90).

16.8 Walsh, por lo tanto, fue el primero en examinar con cierto detalle los complicados problemas6 de la decisión de cómo ponderar los relativos de precios correspondientes a un agregado, teniendo en cuenta la importancia económica de los productos en los dos períodos considerados. Cabe señalar que el tipo de fórmula de número índice que el autor estaba considerando tenía la forma P(r, v0, v1), donde r es el vector de relativos de precios cuyo i-ésimo componente es ri = pi1/pi0 y vt es el vector de valores del período t, cuyo i-ésimo componente es vit = pitqit para t = 0,1. La solución que propuso Walsh para este problema de las ponderaciones no resultó del todo satisfactoria pero al menos sugirió un marco de referencia útil para los índices de precios: un promedio de los n relativos de precios ponderados por valor. La primera solución satisfactoria al problema de la ponderación fue propuesta por Theil (1967, págs. 136–37) y se explicará en la sección D.2.

16.9 Se puede observar que uno de los enfoques de Walsh con respecto a la teoría de los números índice7 consistió en intentar determinar el mejor promedio ponderado de los relativos de precios, ri. Esto equivale a utilizar un enfoque axiomático para determinar el mejor índice de la forma P(r, v0, v1). En la sección E se tratan estos enfoques8.

16.10 Recordemos que en el capítulo 15 se presentaron los índices de Young y de Lowe. Estos índices no se ajustan en forma exacta al marco de referencia bilateral, pues las ponderaciones de valores y de cantidades utilizadas en ellos no se corresponden necesariamente con los valores ni con las cantidades de ninguno de los períodos a los cuales corresponden los vectores de precios p0 y p1. Las propiedades axiomáticas de estos dos índices con relación a sus variables de precios se estudian en la sección F.

B. Enfoque de los niveles de la teoría de los números índice

B.1 Primer enfoque axiomático de los índices de precios unilaterales

16.11 Denotemos el precio y la cantidad del producto n en el período t como pit y qit, respectivamente, para i = 1,2,…, n y t = 0,1,…, T. La variable qit se interpreta como la cantidad total del producto i que es comercializada en el período t. Para conservar el valor de las transacciones, es necesario definir pit como valor unitario; es decir, pit debe ser igual al valor de las transacciones del producto i en el período t dividido por el total de la cantidad objeto de transacción, qit. En principio, se debería elegir un período tal que las variaciones de los precios de los productos dentro de un período sean muy pequeñas en comparación con las variaciones entre un período y otro9. Para t = 0,1,…, T, e i = 1,…, n, se define el valor de las transacciones cuyo objeto es el producto i como vitpitqit y el valor total de las transacciones en el período t como:

16.12 Utilizando la notación anterior, se define la versión de los niveles del problema de los números índice de la siguiente manera: para t = 0,1,…, T, encontremos escalares Pt y Qt tales que:

16.13 El número pt se interpreta como un nivel agregado de precios del período t, mientras que el número Qt se interpreta como un nivel agregado de cantidades del período t. El nivel agregado de precios pt se toma como una función del vector de precios del período t, pt, mientras que el nivel agregado de cantidades del período t, qt, se toma como una función del vector de cantidades qt del período t. Como resultado, se obtiene lo siguiente:

16.14 Las funciones c y f se deben determinar de alguna manera. Cabe señalar que la ecuación (16.3) requiere que las formas funcionales de las funciones de agregación de los precios c y de agregación de las cantidades f sean independientes del tiempo. Este es un requisito razonable, pues no hay motivo para modificar el método de agregación a medida que varía el tiempo.

16.15 Si se reemplazan las ecuaciones (16.3) y (16.2) en la ecuación (16.1) y se abandona el superíndice t, resulta que c y f deben satisfacer la siguiente ecuación funcional para todos los vectores de precios y cantidades estrictamente positivos:

16.16 Es natural suponer que las funciones c(p) y f(q) son positivas si todos los precios y cantidades son positivos:

para todo pi > 0 y para todo qi > 0.

16.17 Supongamos que 1n denota un vector n-dimensional cuyos elementos son todos iguales a 1. Entonces, la ecuación (16.5) implica que cuando p = 1n, c(1n) es un número positivo, al que llamaremos a, y de la misma manera, cuando q = 1n, f(1n) también es un número positivo, al que llamaremos b; es decir, la ecuación (16.5) implica que:

16.18 Sea p = 1n y sustituyamos la primera ecuación de (16.6) en (16.4) para obtener:

16.19 Ahora sea q = 1n y sustituyamos la segunda ecuación de (16.6) en (16.4) para obtener:

16.20 Por último, sustituyamos las ecuaciones (16.7) y (16.8) en el término de la izquierda de la ecuación (16.4), a fin de obtener la siguiente ecuación:

para todo pi > 0 y para todo qi > 0. Si n es mayor que uno, es obvio que la ecuación (16.9) no puede cumplirse para todos los vectores p y q estrictamente positivos. Así, si el número de productos n es mayor que uno, no existe ningún par de funciones c y f que satisfaga las ecuaciones (16.4) y (16.5)10.

16.21 Por ello, este enfoque de la propiedad de los niveles de la teoría de los números índice acaba acá: no tiene sentido buscar funciones de niveles de precios y de cantidades, pt = c(pt) y qt = f(qt), que satisfagan las ecuaciones (16.2) o (16.4) junto con el muy razonable requisito de positividad de la ecuación (16.5).

16.22 Cabe observar que la función de niveles de los índices de precios, c(pt), no dependía del vector de cantidades correspondiente qt, y que la función de niveles de los índices de cantidades, f(qt), no dependía del vector de precios pt. Quizá sea esta la razón por la cual anteriormente se llegó a un resultado negativo. Por ello, en la próxima sección se consideran funciones de precios y de cantidades que pueden ser al mismo tiempo funciones de pt y de qt.

B.2 Segundo enfoque axiomático de los índices de precios unilaterales

16.23 El objetivo de esta sección es hallar funciones de 2n variables, c(p, q) y f(p, q) de modo que resulte válida la siguiente contrapartida de la ecuación (16.4):

para todo pi > 0 y para todo qi > 0.

16.24 Nuevamente, es natural suponer que las funciones c(p, q) y f(p, q) son positivas si todos los precios y cantidades son positivos:

si pi > 0 y si qi > 0 para todo i.

16.25 El presente marco de referencia no distingue entre las funciones c y f, por lo que es necesario exigir que estas funciones cumplan ciertas propiedades razonables. La primera propiedad impuesta a c es que la función sea homogénea de grado uno respecto de sus componentes de precio:

Así, si todos los precios se multiplican por el número positivo λ, el índice de precios resultante es λ veces el índice de precios inicial. Una propiedad similar de homogeneidad lineal se impone al índice de cantidades f; es decir, f debe ser homogénea de grado uno respecto de sus componentes de cantidad:

16.26 Cabe señalar que las propiedades expresadas en ecuaciones (16.10), (16.11) y (16.13) implican que el índice de precios c(p, q) posee la siguiente propiedad de homogeneidad respecto de los componentes de q:

Así, c(p, q) es homogénea de grado cero respecto de sus componentes q.

16.27 Una última propiedad que se impone a la función de niveles de precios c(p, q) es la siguiente. Supongamos que están dados los números positivos di. Se pide que el índice de precios no varíe ante cambios en las unidades de medida de los n productos, de manera que la función c (p, q) tenga la siguiente propiedad:

16.28 Ahora es posible demostrar que las propiedades (16.10), (16.11), (16.12), (16.14) y (16.15) de la función de niveles de precios c (p, q) no son compatibles; es decir, no hay ninguna función de 2n variables c (p, q) que cumpla estas propiedades bastante razonables11.

16.29 Para entender el por qué de lo anterior, utilicemos la ecuación (16.15), estableciendo que di = qi para todo i, a fin de obtener la siguiente ecuación:

Si c(p, q) satisface la propiedad de homogeneidad lineal (16.12), de manera que cp, q) = λc(p, q), la ecuación (16.16) implica que c(p, q) es también linealmente homo-génea en q, de manera que c(p, λq) = λc(p, q). Sin embargo, esta última ecuación contradice la ecuación (16.14), lo que demuestra la imposibilidad del resultado.

16.30 Los resultados más bien negativos alcanzados en la sección B.1 y en esta sección indican que no es útil recurrir al enfoque axiomático para la determinación de niveles de precios y de cantidades considerando los vectores de precios y cantidades como variables independientes12. Por ello, en las próximas secciones de este capítulo se explorará el enfoque axiomático para determinar un índice de precios bilateral de la forma P(p0, p1, q0, q1).

C. Primer enfoque axiomático de los índices de precios bilaterales

C.1 Índices bilaterales y algunas propiedades iniciales

16.31 En esta sección la estrategia será suponer que la fórmula del índice de precios bilateral, P(p0, p1, q0, q1), cumple suficientes propiedades razonables, de manera que la forma funcional de P queda determinada por ella13. El término “bilateral”14 se refiere al supuesto de que la función P depende solo de los datos correspondientes a las dos situaciones o períodos que se comparan; es decir, P se considera una función de los dos conjuntos de vectores de precios y de cantidades, (p0, p1, q0, q1), que deben agregarse en un solo número que resuma la variación total de los n cocientes de precios, p11/p10, …, pn1/pn0.

16.32 En esta sección adoptamos el enfoque del desglose del cociente de valores de la teoría de los números índice; es decir, para un índice de precios P(p0, p1, q0, q1), existe un índice de cantidades Q(p0, p1, q0, q1) asociado tal que el producto de ambos es igual al cociente de los valores entre ambos períodos15. Por ello, en toda esta sección se supone que P y Q cumplen la siguiente propiedad del producto:

Los valores del período t, Vt, para t = 0,1 se definen mediante la ecuación (16.1). La ecuación (16.17) implica que, una vez que se determina la forma funcional del índice de precios P, la ecuación (16.17) puede utilizarse para determinar la forma funcional del índice de cantidades Q. Otra ventaja de suponer que se cumple la propiedad del producto es que, si se impone una propiedad razonable al índice de cantidades Q, la ecuación (16.17) puede utilizarse para transformar esta propiedad impuesta al índice de cantidades en una propiedad correspondiente del índice de precios P16.

16.33 Si n = 1, de manera que hay un único precio y cantidad a agregar, entonces el candidato natural para P es p11/p10, el cociente del único precio, y el candidato natural para Q es q11/q10, el cociente de la única cantidad. Cuando el número de productos o artículos a agregar es mayor a 1, los teóricos especialistas en números índice han propuesto durante años, propiedades que debía cumplir el índice de precios, P. Estas propiedades suelen ser el análogo multidimensional de la fórmula del índice de precios de un único bien, p11/p10. En las secciones comprendidas entre C.2 y C.6 se enumeran 20 propiedades que caracterizan al índice de precios ideal de Fisher.

16.34 Supondremos que todos los componentes de cada vector de precios y de cantidades son positivos; es decir, pt > > 0n y qt > > 0n17 para t = 0,1. Si se desea fijar q0 = q1, el vector de cantidades común a los dos períodos se denota como q; si se desea fijar p0 = p1, el vector de precios común a los dos períodos se denota como p.

16.35 Las primeras dos propiedades no son muy controvertidas, por lo cual no se analizarán en detalle.

P1: Positividad18: P(p0, p1, q0, q1) > 0.

P2: Continuidad19: P(p0, p1, q0, q1) es una función continua en sus argumentos.

16.36 Las próximas dos propiedades son un tanto más controvertidas.

P3: Propiedad de identidad o de precios constantes20: P(p, p, q0, q1) = 1.

16.37 Es decir, si los precios de todos los bienes son idénticos durante ambos períodos, el índice de precios deberá ser igual a uno, independientemente del valor de los vectores de cantidades. El aspecto de esta propiedad que suscita polémica es que permite que los dos vectores de cantidades difieran entre sí21.

P4: Propiedad de canasta fija o de cantidades constantes22:

Es decir, si las cantidades son constantes durante los dos períodos, de manera que q0 = q1q, el índice de precios deberá ser igual al ingreso en la canasta fija del Σi=1npi1qi, período 1, dividido por el ingreso en la canasta del período 0, Σi=1npi0qi.

16.38 Si el índice de precios P satisface la propiedad P4, y P y Q cumplen conjuntamente la propiedad del producto—ecuación (16.17)—, resulta sencillo demostrar23 que Q debe satisfacer la propiedad de identidad Q(p0, p1, q, q) = 1 para todos los vectores estrictamente positivos p0, p1, q. Esta propiedad de cantidades constantes para Q también es algo polémica, ya que permite que p0 difiera de p1.

C.2 Propiedades de homogeneidad

16.39 Las siguientes cuatro propiedades restringen el comportamiento del índice de precios P a medida que cambia la escala de cualquiera de los siguientes cuatro vectores p0, p1, q0, q1.

P5: Proporcionalidad respecto de los precios del período corriente24: P(p0, λp1, q0, q1) = λP(p0, p1, q0, q1) para λ > 0.

16.40 Es decir, si todos los precios del período 1 se multiplican por un número positivo λ, el nuevo índice de precios es λ veces el índice de precios anterior. Expresado de otra manera, la función del índice de precios P(p0, p1, q0, q1) es (positivamente) homogénea de grado uno respecto de los componentes del vector de precios del período 1, p1. La mayoría de los teóricos especialistas en números índice consideran que el cumplimiento de esta propiedad es esencial para una fórmula de número índice.

16.41Walsh (1901) y Fisher (1911, pág. 418; 1922, pág. 420) propusieron la propiedad afín de proporcionalidad P(p, λp, q0, q1) = λ, que es una combinación de P3 y P5. De hecho, Walsh (1901, pág. 385) señaló que esta última propiedad implica la de identidad, P3.

16.42 En la siguiente propiedad, en lugar de multiplicar todos los precios del período 1 por el mismo número, todos los precios del período 0 se multiplican por el número λ.

P6: Proporcionalidad inversa respecto de los precios del período base25:

Pp0, p1, q0, q1) = λ–1P(p0, p1, q0, q1) para λ > 0.

Es decir, si todos los precios del período 0 se multiplican por el número positivo λ, el nuevo índice de precios es 1/λ veces el índice de precios anterior. En otras palabras, la función del índice de precios P(p0, p1, q0, q1) es (positivamente) homogénea de grado menos uno respecto de los componentes del vector de precios del período 0, p0.

16.43 Las dos siguientes propiedades de homogeneidad también pueden considerarse como propiedades de invariancia.

P7: Invariancia ante variaciones proporcionales de las cantidades corrientes:

P(p0, p1, q0, λq1) = P(p0, p1, q0, q1) para todo λ > 0.

Es decir que, si todas las cantidades del período corriente se multiplican por λ, el índice de precios no varía. En otras palabras, la función del índice de precios P(p0, p1, q0, q1) es (positivamente) homogénea de grado cero respecto de los componentes del vector de cantidades del período 1, q1. Vogt (1980, pág. 70) fue el primero en proponer esta propiedad26, y es interesante ver como la obtuvo. Supongamos que el índice de cantidades Q cumple el análogo en términos de cantidades de la propiedad de precios P5; es decir, supongamos que Q cumple Q(p0, p1, q0, λq1) = λQ(p0, p1, q0, q1) para λ > 0. Entonces, utilizando la propiedad del producto de la ecuación (16.17), se observa que P debe satisfacer P7.

P8: Invariancia ante variaciones proporcionales de las cantidades del período base27:

P(p0, p1, λq0, q1) = P(p0, p1, q0, q1) para todo λ > 0.

Es decir, si todas las cantidades del período base se multiplican por el número λ, el índice de precios no varía. En otras palabras, la función del índice de precios P(p0, p1, q0, q1) es (positivamente) homogénea de grado cero respecto de los componentes del vector de cantidades del período 0, q0. Si el índice de cantidades Q cumple la siguiente contrapartida de P8: Q(p0, p1, λq0, q1) = λ–1Q(p0, p1, q0, q1) para todo λ > 0, entonces utilizando la ecuación (16.17), el índice de precios correspondiente P debe satisfacer P8. Este argumento aporta otra justificación para suponer la validez de P8 para la función del índice de precios P.

16.44 Juntas, P7 y P8 imponen el requisito de que el índice de precios P no dependa de las magnitudes absolutas de los vectores de cantidades q0 y q1.

C.3 Propiedades de invariancia y de simetría

16.45 Las cinco propiedades siguientes son propiedades de invariancia o de simetría. Fisher (1922, págs. 62–63, 458–60) y Walsh (1901, pág. 105; 1921b, pág. 542) parecen haber sido los primeros investigadores en advertir la importancia de este tipo de propiedades. Fisher (1922, págs. 62–63) hablaba de imparcialidad, pero no hay duda que se refería a propiedades de simetría. Quizá sea lamentable que no se haya percatado de que había más propiedades de simetría e invariancia de las que propuso; de lo contrario, podría haber brindado una caracterización axiomática de su índice de precios ideal, como la que se presenta en la sección C.6. La primera propiedad de invariancia consiste en que el índice de precios no varía si se cambia el orden de los productos:

P9: Propiedad de reversión de productos (o invariancia ante cambios en el orden de los productos):

P(p0, p1*, q0*, q1*) = P(p0, p1, q0, q1),

donde pt* denota una permutación de los componentes del vector pt, y qt* denota la misma permutación de los componentes de qt para t = 0,1. Esta propiedad se atribuye a Irving Fisher (1922, pág. 63)28 y es una de sus tres famosas propiedades de reversión. Las otras dos son la propiedad de reversión temporal y la propiedad de reversión de los factores que se consideran a continuación.

16.46 La siguiente propiedad requiere que el índice sea invariante respecto de variaciones en las unidades de medida.

P10: Invariancia ante variaciones en las unidades de medida (propiedad de conmensurabilidad):

P1p10,…, αnpn0; α1p11,…, αnpn1; α1−1q10,…, αn−1qn0; α1−1q11,…, αn−1qn1) = P(p10,…,pn0; p11,…,pn1; q10,…,qn0; q11,…,qn1)

para todo α1 > 0, …, αn > 0.

Es decir, el índice de precios no cambia si varían las unidades de medida de los productos. El concepto de esta propiedad se atribuye a Jevons (1863, pág. 23) y al economista holandés Pierson (1896, pág. 131), quien criticó varias fórmulas de números índice por no cumplir esta propiedad fundamental. Al comienzo, Fisher (1911, pág. 411) la llamó propiedad de la variación de unidades y, más tarde (1922, pág. 420), propiedad de conmensurabilidad.

16.47 La próxima propiedad requiere que la fórmula sea invariante con respecto al período elegido como período base.

P11: Propiedad de reversión temporal: P(p0, p1, q0, q1) = 1/P(p1, p0, q1, q0).

Es decir, si se intercambian los datos de los períodos 0 y 1, el índice de precios resultante deberá ser igual al recíproco del índice de precios original. Desde luego, en el caso de un solo producto, en que el índice de precios sea simplemente el cociente del único precio, esta propiedad se cumplirá (al igual que todas las demás propiedades enumeradas en esta sección). Cuando la cantidad de bienes es mayor a uno, muchos de los índices de precios que suelen utilizarse no satisfacen esta propiedad. Por ejemplo, ni el índice de precios de Laspeyres (1871), PL, definido en la ecuación (15.5) del capítulo 15, ni el índice de precios de Paasche (1874), PP, definido en la ecuación (15.6) del capítulo 15, satisfacen esta propiedad fundamental. El concepto de esta propiedad proviene de Pierson (1896, pág. 128), a quien le preocupaba tanto que muchas de las fórmulas usuales de número índice no la cumplieran que propuso abandonar por completo el concepto de número índice. Algunos teóricos realizaron presentaciones más formales de esta propiedad, entre ellos Walsh (1901, pág. 368; 1921b, pág. 541) y Fisher (1911, pág. 534; 1922, pág. 64).

16.48 Las próximas dos propiedades son más controvertidas, porque no son necesariamente compatibles con el enfoque económico de la teoría de los números índice. No obstante, son bastante compatibles con el enfoque estocástico ponderado de la teoría de los números índice, analizado más adelante en este capítulo.

P12: Propiedad de reversión de cantidades (propiedad de simetría de las ponderaciones de cantidades): P(p0, p1, q0, q1) = P(p0, p1, q1, q0).

Es decir, si se intercambian los vectores de cantidades de los dos períodos, el índice de precios no varía. Esta propiedad implica que, si se utilizan cantidades para ponderar los precios de la fórmula de número índice, las cantidades del período 0, q0, y las cantidades del período 1, q1, deben ingresar en la fórmula de manera simétrica o pareja. Funke y Voeller (1978, pág. 3) fueron los primeros en presentar esta propiedad, a la cual denominaron propiedad de ponderación.

16.49 La siguiente propiedad es análoga a P12 pero aplicada a índices de cantidades:

P13: Propiedad de reversión de precios (propiedad de simetría de las ponderaciones de precios)29:

Así, si aplicamos la ecuación (16.17) para definir el índice de cantidades Q en términos del índice de precios P, se observa que P13 equivale a la siguiente propiedad para el índice de cantidades asociado, Q:

Es decir, si se intercambian los vectores de precios de los dos períodos, el índice de cantidades no varía. O sea, si se utilizan los precios del mismo producto en los dos períodos para ponderar las cantidades al elaborar el índice de cantidades, la propiedad P13 implica que estos precios ingresan en el índice de cantidades de manera simétrica.

C.4 Propiedades del valor medio

16.50 Las siguientes tres propiedades son propiedades del valor medio.

P14: Propiedad del valor medio de los precios30:

Es decir, el índice de precios se ubica entre el cociente de precios mínimo y el cociente de precios máximo. Como se supone que el índice de precios se interpreta como una suerte de promedio de los n cocientes de precios, pi1/pi0, parece esencial que el índice de precios P satisfaga esta propiedad.

16.51 La siguiente propiedad es análoga a P14, aplicada a los índices de cantidades:

P15: Propiedad del valor medio de las cantidades31:

donde Vt es el valor del período t para el agregado definido por la ecuación (16.1). Utilizando la propiedad del producto (16.17) para definir el índice de cantidades Q en términos del índice de precios P, resulta que P15 equivale a la siguiente propiedad para el índice de cantidades asociado Q:

Es decir, el índice de cantidades implícito Q definido por P se ubica entre las tasas de crecimiento mínima y máxima de las cantidades individuales qi1/qi0.

16.52 En la sección C del capítulo 15 se argumentó que era muy razonable considerar un promedio de los índices de precios de Laspeyres y de Paasche como la mejor medida de la variación general de precios. Este punto de vista puede plasmarse en una propiedad:

P16: Propiedad de las cotas de Paasche y de Laspeyres32: El índice de precios P se ubica entre los índices de Laspeyres y de Paasche, PL y PP, definidos por las ecuaciones (15.5) y (15.6) del capítulo 15.

Podría proponerse una propiedad según la cual el índice de cantidades implícito Q que se corresponde con P mediante la ecuación (16.17) deba caer entre los índices de cantidades de Laspeyres y de Paasche, QP y QL, definidos por las ecuaciones (15.10) y (15.11) del capítulo 15. Sin embargo, la propiedad resultante será equivalente a la propiedad P16.

C.5 Propiedades de monotonicidad

16.53 Las últimas cuatro propiedades son propiedades de monotonicidad; es decir, buscan responder al interrogante de cómo debería variar el índice de precios P(p0, p1, q0, q1) cuando aumenta cualquiera de los componentes de los dos vectores de precios p0 y p1 o cuando aumenta cualquiera de los componentes de los dos vectores de cantidades q0 y q1.

P17: Monotonicidad respecto de los precios del período corriente: P(p0, p1, q0, q1) < P (p0, p2, q0, q1) si p1 < p2.

Es decir, si aumenta algún precio del período 1, el índice de precios también debe aumentar, de manera que P(p0, p1, q0, q1) es creciente respecto de los componentes de p1. Esta propiedad fue propuesta por Eichhorn y Voeller (1976, pág. 23) y resulta razonable como requisito para un número índice.

P18: Monotonicidad respecto de los precios del período base: P(p0, p1, q0, q1) > P(p2, p1, q0, q1) si p0 < p2.

Es decir, si aumenta cualquier precio del período 0, el índice de precios debe bajar, de manera que P(p0, p1, q0, q1) es decreciente respecto de los componentes de p0. Esta propiedad, muy razonable, también fue propuesta por Eichhorn y Voeller (1976, pág. 23).

P19: Monotonicidad respecto de las cantidades del período corriente: Si q1 < q2, entonces:

P20: Monotonicidad respecto de las cantidades del período base: Si q0 < q2, entonces:

16.54 Si suponemos que Q es el índice de cantidades implícito que corresponde a P según la ecuación (16.17), P19 se transforma en la siguiente desigualdad para Q:

Es decir, si aumenta cualquier cantidad del período 1, debe aumentar el índice de cantidades implícito Q que se corresponde con el índice de precios P. De modo similar, se observa que P20 se transforma en:

Es decir, si aumenta cualquier cantidad del período 0, debe disminuir el índice de cantidades implícito Q. Las propiedades P19 y P20 se atribuyen a Vogt (1980, pág. 70).

16.55 Aquí concluye el listado de propiedades. En la siguiente sección, se explora si existe alguna fórmula de números índice P(p0, p1, q0, q1) que pueda satisfacer estas veinte propiedades.

C.6 Índice ideal de Fisher y enfoque de las propiedades

16.56 Se puede demostrar que la única fórmula de números índice P(p0, p1, q0, q1) que cumple las propiedades P1–P20 es el índice de precios ideal de Fisher PF, definido como la media geométrica de los índices de Laspeyres y de Paasche33:

A fin de verificar esta aseveración, es relativamente sencillo demostrar que el índice de Fisher cumple las veinte propiedades.

16.57 La parte más difícil de esta verificación es demostrar que es la única fórmula de número índice que cumple estas propiedades. Esta última demostración se basa en que, si P satisface la propiedad de positividad P1 y las tres propiedades de reversión, P11–P13, P debe ser igual a PF. Para comprobarlo, reordenemos los términos de la expresión de la propiedad P13 de la siguiente manera:

usando la propiedad de reversión de cantidades, P12,

= P(p0,p1,q0,q1)P(p0,p1,q0,q1),

usando la propiedad de reversión temporal, P11.

Si tomamos las raíces cuadradas positivas de ambos miembros de la ecuación (16.28), observamos que el miembro izquierdo de la ecuación es el índice de Fisher PF(p0, p1, q0, q1) definido por la ecuación (16.27) y el miembro derecho es P(p0, p1, q0, q1). Así, si P cumple P1, P11, P12 y P13, debe ser igual al índice ideal de Fisher PF.

16.58 El índice de cantidades que se corresponde con el índice de Fisher al aplicar la propiedad del producto (16.17) es QF, es decir, el índice de cantidades de Fisher definido por la ecuación (15.14) del capítulo 15.

16.59 Resulta que PF cumple con una propiedad más, P21, que era la tercera propiedad de reversión de Irving Fisher (1921, pág. 534; 1922, págs. 72–81) (las otras dos son P9 y P11):

P21: Propiedad de reversión de los factores (propiedad de simetría de la forma funcional):

Esta propiedad se justifica de la siguiente manera: supongamos que P(p0, p1, q0, q1) es una buena forma funcional para el índice de precios; entonces, si se inter-cambian los papeles de los precios y de las cantidades, debería ser una buena forma funcional para un índice de cantidades (lo cual parece un argumento correcto). El producto entre el índice de precios P(q0, q1, p0, p1) y el índice de cantidades Q(q0, q1, p0, p1) = P(q0, q1, p0, p1) debería ser igual al cociente de los valores, V1/V0. La segunda parte de este argumento no parece ser válida; en consecuencia, por muchos años, numerosos investigadores se opusieron a la propiedad de reversión de los factores. Sin embargo, si se está dispuesto a aceptar P21 como propiedad básica, Funke y Voeller (1978, pág. 180) demostraron que la única función de números índice P(q0, q1, p0, p1) que cumple P1 (positividad), P11 (reversión temporal), P12 (reversión de cantidades) y P21 (reversión de los factores) es el índice ideal de Fisher PF definido por la ecuación (16.27). Así, la propiedad de reversión de precios P13 se puede reemplazar por la de reversión de los factores a efectos de obtener un conjunto de solo cuatro propiedades que conduzcan al índice de precios de Fisher34.

C.7 Cumplimiento de las propiedades por parte de otros índices

16.60 El índice de precios de Fisher PF satisface las veinte propiedades enumeradas en las secciones comprendidas entre C.1 y C.5. ¿Qué propiedades cumplen otros índices de precios comúnmente utilizados? Recordemos el índice de Laspeyres, PL, ecuación (15.5); el índice de Paasche, PP, ecuación (15.6); el índice de Walsh, PW, ecuación (15.19), y el índice de Törnqvist, PT, ecuación (15.81) del capítulo 15.

16.61 Mediante cálculos sencillos puede demostrarse que los índices de precios de Paasche y de Laspeyres, PL y PP, fallan solo en las tres propiedades de reversión, P11, P12 y P13. Dado que las propiedades de reversión de cantidades y de precios, P12 y P13, son algo polémicas y, por ello, pueden llegar a descartarse, el cumplimiento de las propiedades por parte de PL y PP parece satisfactorio a primera vista. No obstante, el incumplimiento de la propiedad de reversión temporal, P11, constituye una seria limitación al empleo de estos índices.

16.62 El índice de precios de Walsh, PW, no cumple las siguientes cuatro propiedades: P13 (reversión de precios), P16 (cotas de Paasche y de Laspeyres), P19 (monotonicidad respecto de las cantidades del período corriente) y P20 (monotonicidad respecto de las cantidades del período base).

16.63 Por último, el índice de precios de Törnqvist, PT, no cumple con nueve propiedades: P4, canasta fija; P12 y P13, las propiedades de reversión de cantidades y de precios; P15, valor medio de las cantidades; P16, cotas de Paasche y de Laspeyres, y P17–P20, las cuatro propiedades de monotonicidad. Por ello, el índice de Törnqvist muestra un grado bastante alto de incumplimiento desde la perspectiva del enfoque axiomático de la teoría de los números índice35.

16.64 La conclusión provisoria que se extrae de estos resultados, desde la perspectiva de este enfoque particular de propiedades bilaterales de los números índice, es que el índice de precios ideal de Fisher, PF, parece ser el mejor, dado que cumple las 20 propiedades36. Le siguen los índices de Paasche y de Laspeyres si asignamos igual importancia a todas las propiedades. No obstante, ninguno de los dos cumple la importante propiedad de reversión temporal. Los dos índices restantes, el de Walsh y el de Törnqvist, satisfacen la propiedad de reversión temporal pero el índice de Walsh parece mejor, pues satisface 16 de las 20 propiedades, mientras que el de Törnqvist satisface solo 11.

C.8 Propiedad de aditividad

16.65 Otra propiedad que numerosos funcionarios de la oficina de cuentas nacionales consideran muy importante es la propiedad de aditividad. Esta propiedad se impone al índice de cantidades implícito Q(q0, q1, p0, p1) que corresponde al índice de precios P(q0, q1, p0, p1), haciendo uso de la propiedad del producto (16.17). Esta propiedad sostiene que el índice de cantidades implícito tiene la siguiente forma:

donde el precio común a los distintos períodos del producto i, pi* para i = 1,…, n, puede ser una función de los 4n precios y cantidades correspondientes a los dos períodos o situaciones que se consideran, p0, p1, q0, q1. En los trabajos sobre comparaciones multilaterales (es decir, comparaciones entre más de dos situaciones), es bastante habitual suponer que la comparación de cantidades entre dos regiones cualesquiera se puede establecer entre los dos vectores de cantidades regionales, q0 y q1, y un vector de precios de referencia común, p* ≡ (p1*, …, pn*)37.

16.66 Se obtendrán distintas versiones de la propiedad de aditividad si se imponen más restricciones a las variables de las que depende cada precio de referencia pi*. La restricción más simple es suponer que cada pi* depende solamente de los precios del producto i correspondientes a cada una de las dos situaciones en cuestión, pi0 y pi1. Si, además, se supone que la forma de la función de ponderaciones es la misma para cada producto, de manera que pi* = m(pi0, pi1) para i = 1, …, n, llegaremos al índice de cantidades inequívoco que postuló Knibbs (1924, pág. 44).

16.67 La teoría del índice de cantidades inequívoco (o índice de cantidades puro)38 es análoga a la teoría del índice de precios puro descrita en la sección C.2 del capítulo 15. A continuación se presenta una descripción de esta teoría. Supongamos que el índice de cantidades puro QK posee la siguiente forma funcional:

Se supone que los vectores de precios p0 y p1 son estrictamente positivos y que los vectores de cantidades q0 y q1 son no negativos pero tienen al menos un componente positivo39. El problema es determinar, si es posible, la forma funcional de la función media, m. A tal efecto, es necesario imponer algunas propiedades al índice de cantidades puro QK. Al igual que en el caso del índice de precios puro, resulta razonable exigir que el índice de cantidades cumpla la propiedad de reversión temporal:

16.68 Del mismo modo que en el caso de la teoría del índice de precios inequívoco, se observa que, si se espera que el índice de cantidades inequívoco QK cumpla la propiedad de reversión temporal de la ecuación (16.32), la función media de la ecuación (16.31) debe ser simétrica. También se requiere que QK cumpla la siguiente propiedad de invariancia ante variaciones proporcionales de los precios corrientes:

16.69 La idea en la que se basa esta propiedad de invariancia es la siguiente: el índice de cantidades QK(p0, p1, q0, q1) debería depender solo de los precios relativos de cada período, y no de la inflación entre ambos períodos. Otra manera de interpretar la ecuación (16.33) es analizar las consecuencias de la propiedad sobre el índice de precios implícito, PIK, definido según la propiedad del producto presentada en la ecuación (16.17). Puede demostrarse que, si QK satisface la ecuación (16.33), el índice de precios implícito correspondiente PIK cumplirá la propiedad P5, de proporcionalidad respecto de los precios del período corriente. Las dos propiedades expuestas en las ecuaciones (16.32) y (16.33) determinan la forma funcional exacta del índice de cantidades puro QK definido por la ecuación (16.31): el índice de cantidades puro o índice de cantidades inequívoco de Knibbs, QK, debe ser el índice de cantidades de Walsh, QW40, definido por:

16.70 De esta manera, si se añaden dos propiedades a las anteriores, el índice de precios puro PK es el índice de precios de Walsh, PW, definido por la ecuación (15.19) del capítulo 15. Si se agregan las dos mismas propiedades (pero aplicadas a índices de cantidades y no ya a índices de precios), el índice de cantidades puro QK debe ser el índice de cantidades de Walsh QW definido por la ecuación (16.34). Observemos, sin embargo, que el producto entre los índices de precios y de cantidades de Walsh no es igual al cociente de ingresos, V1/V0. Así, los seguidores de los conceptos de índices puros o inequívocos de precios y de cantidades deben elegir uno de los dos conceptos, pues no se pueden aplicar ambos de manera simultánea41.

16.71 Si el índice de cantidades Q(q0, q1, p0, p1) satisface la propiedad de aditividad presentada en la ecuación (16.30) para ciertas ponderaciones de precios pi*, el cambio porcentual del agregado de cantidades, Q(q0, q1, p0, p1) – 1, se puede reexpresar de la siguiente manera:

donde la ponderación del producto i, wi, se define de la siguiente manera:

Cabe señalar que la variación del producto i entre la situación 0 y la situación 1 es qi1qi0. Así, el i-ésimo término del miembro derecho de la ecuación (16.35) es la contribución de la variación del producto i a la variación porcentual general del agregado entre el período 0 y el 1. Los analistas de negocios a menudo pretenden que las oficinas de estadística brinden desgloses como el de la ecuación (16.35) para poder descomponer la variación general de un agregado en componentes específicos para cada sector42. En otras palabras, existe demanda de índices de cantidades aditivos por parte de los usuarios.

16.72 Para el índice de cantidades de Walsh definido por la ecuación (16.34), la i-ésima ponderación es la siguiente:

Así, el índice de cantidades de Walsh, QW, tiene un desglose porcentual en las variaciones de los componentes de la forma de la ecuación (16.35), cuyas ponderaciones se definen según la ecuación (16.37).

16.73 El índice de cantidades de Fisher, QF, definido por la ecuación (15.14) del capítulo 15, también tiene un desglose porcentual aditivo de la variación de la forma dada por la ecuación (16.35)43. La i-ésima ponderación, wFi, de este desglose de Fisher es bastante complicada y depende del índice de cantidades de Fisher QF(p0, p1, q0, q1), según se muestra a continuación44:

donde QF es el valor del índice de cantidades de Fisher, QF(p0, p1, q0, q1), y el precio normalizado del producto i en el período t, wit, se define como el precio del período i, pit, dividido por el ingreso del período t en el agregado:

16.74 Utilizando las ponderaciones wFi definidas por las ecuaciones (16.38) y (16.39), se obtiene el siguiente desglose exacto del índice de cantidades ideal de Fisher45:

Por lo tanto, el índice de cantidades de Fisher presenta un desglose porcentual aditivo de la variación.

16.75 Dada la naturaleza simétrica de los índices de cantidades y de precios de Fisher, se puede ver que el índice de precios de Fisher, PF, definido por la ecuación (16.27) también tiene el siguiente desglose porcentual aditivo de su variación:

donde la ponderación vFi del producto i se define como:

donde PF es el valor del índice de precios de Fisher, PF(p0, p1, q0, q1), y la cantidad normalizada del producto i en el período t, vit, se define como la cantidad del período i, qit, dividida por el ingreso del período t en el agregado:

16.76 Los resultados precedentes muestran que los índices de precios y de cantidades se desglosan con exactitud de manera aditiva en componentes que indican la contribución de la variación de cada precio (o cantidad) a la variación total del índice de precios (o de cantidades).

D. Enfoque estocástico de los índices de precios

D.1 Enfoque estocástico no ponderado en sus comienzos

16.77 El enfoque estocástico para determinar índices de precios se remonta a más de un siglo atrás, a los trabajos de Jevons (1863, 1865) y Edgeworth (1888)46. La idea básica que sirve de sustento al enfoque estocástico (no ponderado) es que cada relativo de precio, pi1/pi0 para i = 1,2,…, n se puede considerar una estimación de una tasa común de inflación α entre los períodos 0 y 147; es decir, se supone que:

donder α es la tasa común de inflación y los εi son variables aleatorias con media 0 y varianza σ2. El estimador de mínimos cuadrados o de máxima verosimilitud de α es el índice de precios deCarli (1804), PC, definido como:

Una desventaja del índice de precios de Carli es que no cumple la propiedad de reversión temporal, es decir, PC(p1, p0) ≠ 1/ PC(p0, p1)48.

16.78 Ahora cambiemos la especificación estocástica y supongamos que el logaritmo de cada relativo de precios, ln(pi1/pi0), es un estimador insesgado del logaritmo de la tasa de inflación entre los períodos 0 y 1, al que llamaremos β. La contrapartida de la ecuación (16.44) es:

donde β ≡ ln α y los εi son variables aleatorias distribuidas de manera independiente con media 0 y varianza σ2.

El estimador de mínimos cuadrados o de máxima verosimilitud de β es el logaritmo de la media geométrica de los relativos de precios. De ahí que la estimación correspondiente de la tasa de inflación común α49 sea el índice de precios deJevons (1865), PJ, definido de la siguiente manera:

16.79 El índice de precios de Jevons, PJ, cumple la propiedad de reversión temporal y, por ello, resulta mucho más satisfactorio que el índice de Carli, PC. No obstante, los índices de precios de Jevons y de Carli adolecen de un defecto gravísimo: asignan a todos los relativos de precios pi1/pi0idéntica importancia y la misma ponderación en las ecuaciones de números índice (16.45) y (16.47). Keynes fue particularmente crítico de este enfoque estocástico no ponderado de la teoría de los números índice50 y manifestó la siguiente objeción acerca de este enfoque, que, por su parte, Edgeworth (1923) recomendaba con fervor:

No obstante, me atrevo a sostener que estas ideas, que intenté exponer antes de la manera más fiel y verosímil posible, están equivocadas de cabo a rabo. La concepción de los números índice de precios que sostiene que hay “errores de observación”, que “el primer tiro no da en el blanco” o “la variación promedio objetiva de los precios generales” de Edgeworth son el resultado de un pensamiento confuso. No hay tal cosa como un blanco. No existe un único centro móvil, que pueda llamarse nivel general de precios ni variación promedio objetiva de los precios generales, en torno al cual se distribuyen los niveles móviles de precios de objetos individuales. Lo que existe es una variedad bien definida de concepciones de niveles de precios de productos compuestos que sirven a distintos propósitos e investigaciones que se mencionaron más arriba, además de muchas otras. No existe nada más. Jevons perseguía un espejismo.

¿Cuál es el defecto de este argumento? En primer lugar, supone que las fluctuaciones de los precios individuales en torno a una “media” son “aleatorias” en el sentido requerido por la teoría de la combinación de observaciones independientes. Según esta teoría, se supone que la divergencia de una “observación” respecto de la verdadera posición no influirá en las divergencias de otras “observaciones”. Pero en el caso de los precios, la variación del precio de un producto necesariamente influye en la variación de los precios de los demás, mientras que las magnitudes de estas variaciones compensatorias dependen de la magnitud de la variación del ingreso en el primer producto, en comparación con la importancia del ingreso en los productos afectados después. Así, en vez de “independencia”, existe entre los “errores” de las “observaciones” sucesivas lo que algunos autores sobre el tema de las probabilidades llamaron “conexidad” o, como dijera Lexis, existe una “dispersión subnormal”.

Por lo tanto, no podemos proseguir hasta enunciar una ley adecuada sobre conexidad. Pero la ley de conexidad no puede enunciarse sin referirse a la importancia relativa de los productos afectados, con lo cual volvemos al problema que tratábamos de eludir, el de ponderar los rubros de un producto compuesto (John Maynard Keynes, 1930, págs. 76–77).

La idea principal que Keynes parece enfatizar en la cita anterior es que, en la economía, los precios no se distribuyen independientemente entre sí ni con respecto a las cantidades. En la terminología macroeconómica actual, puede interpretarse que Keynes decía que un shock macroeconómico se traslada a todos los precios y cantidades de la economía a través de la interacción normal de la oferta y la demanda, es decir, a través de los mecanismos del sistema de equilibrio general. Por lo tanto, Keynes parecía inclinarse hacia el enfoque económico de la teoría de los números índice (aun antes de que este se desarrollara en profundidad), en el cual las variaciones de las cantidades se relacionan funcionalmente con las variaciones de los precios. La segunda idea planteada por Keynes en la cita anterior es que no hay tal cosa como la tasa de inflación, sino solo variaciones de precios que corresponden a conjuntos específicos de productos o transacciones; es decir, el dominio de definición del índice de precios debe especificarse con sumo cuidado51. Por último, Keynes argumenta que deben ponderarse las variaciones de los precios por su importancia económica, es decir, por las cantidades o los ingresos.

16.80 Además de estas críticas teóricas, Keynes también formuló un enfático ataque al enfoque estocástico no ponderado de Edgeworth desde el punto de vista empírico:

Aquellos que no tenían la misma sensibilidad de Edgeworth acerca de las sutilezas del caso solían identificar la “variación promedio objetiva de los precios generales”, el estándar “indefinido” de Jevons-Edgeworth, con el poder adquisitivo del dinero, aunque sea solo por la excelente razón de que es difícil visualizarlo de otra manera. Y como cualquier número índice respetable, cualquiera fuese su ponderación, que cubriera una cantidad bastante grande de productos, podía considerarse, según este argumento, una aproximación razonable al estándar indefinido, parecía natural considerar todo índice de este tipo también una aproximación razonable al poder adquisitivo del dinero.

Por último, la conclusión de que todos los están-dares “llevan al mismo puerto” se vio reforzada “inductivamente” por el hecho de que los números índice rivales (todos ellos, sin embargo, del tipo mayorista) concordaron bastante entre sí a pesar de sus diferentes composiciones… Por el contrario, los cuadros precedentes (págs. 53, 55) brindan una sólida evidencia presunta de que, a largo plazo y a corto plazo, las variaciones de los estándares al por mayor y al consumidor, respectivamente, pueden divergir de modo considerable (John Maynard Keynes, 1930, págs. 80–81).

En esta cita, Keynes señala que quienes proponían el enfoque estocástico no ponderado para medir las variaciones de precios veían un consuelo en el hecho de que todos los índices (no ponderados) de los precios al por mayor que existían entonces mostraban variaciones aproximadamente similares. Sin embargo, Keynes demostró empíricamente que sus índices de precios al por mayor no variaban de la misma manera que sus índices de precios al consumidor.

16.81 Para superar las críticas señaladas al enfoque estocástico no ponderado de los números índice, resulta necesario:

  • Tener un claro dominio de la definición del número índice.

  • Ponderar los relativos de precios por su importancia económica52.

16.82 En la próxima sección se analizarán otros métodos de ponderación.

D.2 Enfoque estocástico ponderado

16.83 Walsh (1901, págs. 88–89) parece haber sido el primer teórico de números índice en señalar que un enfoque estocástico sensato para medir la variación de los precios debe ponderar los relativos de precios según su importancia económica o el valor de sus transacciones en los dos períodos considerados:

A primera vista, parecería que toda cotización de precios fuera simplemente un único artículo y, dado que todo producto (cualquier tipo de producto) tiene asociada una sola cotización de precios, parecería que las variaciones de precios de todo tipo de producto fueran el único artículo en cuestión. Esta es la forma en la cual los prime-ros investigadores se plantearon el problema de las variaciones de precios, y por ello utilizaron promedios simples con ponderaciones equitativas. Pero una cotización de precios es la cotización del precio de una denominación genérica para muchos artículos; algunas de estas designan a pocos artículos y otras a muchos… Una única cotización de precios, por lo tanto, puede referirse a las cotizaciones de precios de los artículos que componen el producto designado, que pueden valer cien, mil o un millón de dólares. En consecuencia, su ponderación en el cálculo del promedio debería estar en función de su valor monetario unitario (Correa Moylan Walsh, 1921a, págs. 82–83).

Pero la argumentación de Walsh sobre el cálculo exacto de estas ponderaciones económicas no resulta convincente.

16.84 Theil (1967, págs. 136–37) propuso una solución ante la falta de ponderación del índice de Jevons, PJ, definido por la ecuación (16.47). Su argumento se formuló en los siguientes términos. Supongamos que se extraen al azar relativos de precios de manera tal que cada dólar de ingreso en el período base tenga la misma probabilidad de ser elegido. Entonces, la probabilidad de que se extraiga el i-ésimo relativo de precios es igual a si0pi0qi0/Σk=1npk0qk0, la participación del producto i en el ingreso del período 0. Luego, la media total (ponderada por el período 0) de la variación logarítmica de los precios es Σi=1nsi0ln(pi1/pi0)53. Ahora repitamos el experimento hipotético anterior y extraigamos al azar relativos de precios de manera tal que cada dólar de ingreso en el período 1 tenga la misma probabilidad de ser elegido. Esto da como resultado la siguiente media total (ponderada por el período 1) de las variaciones logarítmicas de los precios Σi=1nsi1ln(pi1/pi0)54. Cada una Cada una de estas medidas de la variación logarít-mica total de los precios parece igualmente válida, de manera que podemos argumentar a favor de calcular un promedio simétrico de las dos medidas a efectos de obtener una única medida final de la variación logarítmica total de los precios. Theil55 argumentaba que puede obtenerse una “elegante” fórmula simétrica de número índice si la probabilidad de elegir el n -ésimo relativo de precios se iguala al promedio aritmético de las participaciones en el ingreso de los períodos 0 y 1 para el producto n. Utilizando estas probabilidades de selección, la medida final de Theil de la variación logarítmica total de los precios fue:

El índice PT definido en la ecuación (16.48) es igual al índice de Törnqvist definido en la ecuación (15.81) del capítulo 15.

16.85 Existe una interpretación estadística para el miembro derecho de la ecuación (16.48). Definamos el logaritmo del i-ésimo cociente de precios, ri, de la siguiente manera:

Ahora definamos la variable aleatoria discreta, R, como la variable aleatoria que toma los valores ri con las probabilidades ρi ≡ (1/2)[si0 + si1] para i = 1,…, n. Observemos que, como cada conjunto de participaciones en el ingreso, si0 y si1, suma uno en i, las probabilidades ρi también sumarán uno. El valor esperado de la variable aleatoria discreta R es:

De esta manera, el logaritmo del índice PT se inter-preta como el valor esperado de la distribución de los logaritmos de los cocientes de precios en el dominio de definición considerado, donde los n cocientes de precios discretos se ponderan según las ponderaciones de probabilidad de Theil, ρi ≡ (1/2)[si0 + si1] para i = 1,…, n.

16.86 Tomando el antilogaritmo de ambos términos de la ecuación (16.48) se obtiene el índice de precios de Törnqvist (1936, 1937) y Theil, PT56. Esta fórmula de número índice tiene varias propiedades favorables. En particular, PT cumple la propiedad de proporcionalidad respecto de los precios del período corriente (P5) y la propiedad de reversión temporal (P11) analizadas en la sección C. Estas dos propiedades sirven para justificar el método (aritmético) de Theil de calcular una media entre los dos conjuntos de participaciones en el ingreso a efectos de obtener sus ponderaciones de probabilidades, ρi ≡ (1/2)[si0 + si1] para i = 1,…, n. Consideremos la siguiente clase de fórmulas logarítmicas de media simétrica de números índice:

donde m(si0, si1) es una función positiva de las participaciones del producto i en el ingreso de los períodos 0 y 1, si0 y si1, respectivamente. A efectos de que PS cumpla la propiedad de reversión temporal, es necesario que la función m sea simétrica. Entonces se puede demostrar57 que para que PS cumpla la propiedad P5, m debe ser la media aritmética. Así se logra justificar en buena medida la elección de función promedio que hiciera Theil.

16.87 El enfoque estocástico de Theil tiene otra característica favorable de simetría. En lugar de considerar la distribución de los logaritmos de los cocientes de precios ri = ln (pi1/pi0), también se podría considerar la distribución de los logaritmos de los recíprocos de estos cocientes de precios, por ejemplo:

La probabilidad simétrica, ρi ≡ (1/2)[si0 + si1], todavía se puede asociar con el i-ésimo recíproco del cociente de precios logarítmico ti para i = 1,…, n. Ahora definamos la variable aleatoria discreta T como la variable aleatoria que puede adoptar valores ti con probabilidades ρi ≡ (1/2)[si0 + si1] para i = 1,…, n. Así, el valor esperado de la variable aleatoria discreta T es:

Puede verse, entonces, que la distribución de la variable aleatoria T es igual a menos la distribución de la variable aleatoria R. De ahí que no tenga importancia si se considera la distribución de los logaritmos de cocientes de precios originales, ri ≡ ln (pi1/pi0), o la distribución de los logaritmos de sus recíprocos, ti ≡ ln (pi1/pi0); en esencia, se llega a la misma teoría estocástica.

16.88 Es posible considerar enfoques estocásticos ponderados de la teoría de los números índice según los cuales se tome en cuenta la distribución de los cocientes de precios, pi1/pi0, en lugar de la distribución de los logaritmos de los cocientes de precios, ln (pi1/pi0). Supongamos, siguiendo nuevamente a Theil, que los relativos de precios se extraen al azar, de manera que cada dólar de ingreso en el período base tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Entonces, la probabilidad de extraer el i-ésimo relativo de precios es igual a si0, la participación del producto i en el ingreso del período 0. Así, la media total (ponderada según el período 0) de la variación de precios es:

lo cual da como resultado el índice de precios de Laspeyres, PL. Este enfoque estocástico constituye la opción natural para estudiar los problemas de muestreo relacionados con la aplicación del índice de precios de Laspeyres.

16.89 Tomemos la misma situación hipotética y extraigamos al azar relativos de precios de manera tal que cada dólar de ingreso en el período 1 tenga la misma probabilidad de ser seleccionado. Esto lleva a una media total (ponderada según el período 1) de la variación de los precios igual a:

Esto se conoce como la fórmula de número índice de Palgrave (1886)58.

16.90 Se puede verificar que ni el índice de precios de las Laspeyres ni el de Palgrave cumplen la propiedad de reversión temporal, P11. Así, nuevamente siguiendo a Theil, se puede intentar obtener una fórmula que cumpla esta propiedad calculando una media simétrica de los dos conjuntos de participaciones. Consideremos la siguiente clase de fórmulas de medias simétricas de números índice:

donde m(si0, si1) es una función simétrica de las participaciones del producto i en el ingreso de los períodos 0 y 1, si0 y si1, respectivamente. A fin de interpretar el miembro derecho de la ecuación (16.56) como un valor esperado de los cocientes de precios pi1/pi0, es necesario que:

Para cumplir la ecuación (16.57), sin embargo, m debe ser la media aritmética59. Conforme a esta elección de m, la ecuación (16.56) se transforma en la siguiente fórmula de número índice (sin nombre), Pu:

Desgraciadamente, el índice sin nombre Pu tampoco cumple la propiedad de reversión temporal60.

16.91 En lugar de considerar la distribución de los cocientes de precios, pi1/pi0, podría considerarse la distribución de los recíprocos de estos cocientes de precios. Las contrapartidas de los índices asimétricos definidos antes por las ecuaciones (16.54) y (16.55) ahora son Σi=1nsi0(pi0/pi1)yΣi=1nsi1(pi0/pi1), respectivamente. Estos son índices de precios (estocásticos) que van hacia atrás desde el período 1 hasta el 0. A fin de poder comparar estos índices con otros, ya vistos, que van hacia adelante, se toman los recíprocos de estos índices (lo cual da como resultado promedios armónicos) y se obtienen los dos índices siguientes:

utilizando la ecuación (15.9) del capítulo 15. Así, el índice de precios estocástico recíproco definido por la ecuación (16.60) resulta ser igual al índice de precios de canasta fija de Paasche, PP. Este enfoque estocástico constituye la opción natural para estudiar los problemas de muestreo relacionados con la aplicación de un índice de precios de Paasche. El otro índice de precios estocástico recíproco ponderado asimétricamente definido por la ecuación (16.59) no lleva el nombre de ningún autor, pero Irving Fisher (1922, pág. 467) lo señaló como su fórmula 13 de número índice. Vartia (1978, pág. 272) lo llamóíndice armónico de Laspeyres, terminología que emplearemos aquí.

16.92 Ahora consideremos la clase de los índices de precios recíprocos simétricamente ponderados definidos de la siguiente manera:

donde, como es habitual, m(si0, si1) es una media simétrica homogénea de las participaciones en el ingreso del producto i en los períodos 0 y 1. Sin embargo, ninguno de los índices definidos por las ecuaciones (16.59) a (16.61) satisface la propiedad de reversión temporal.

16.93 El hecho de que la fórmula de número índice de Theil, PT, cumple la propiedad de reversión temporal lleva a preferir este índice como el mejor enfoque estocástico ponderado.

16.94 Las principales características del enfoque estocástico ponderado de la teoría de los números índice se resumen de la siguiente manera. Primero, es necesario elegir dos períodos y un dominio de definición para las transacciones. Como siempre, cada valor de transacción para cada uno de los n productos del dominio de definición se divide en componentes de precio y de cantidad. Así, suponiendo que no se produce la aparición ni desaparición de productos, hay n relativos de precios, pi1/pi0, correspondientes a las dos situaciones bajo estudio junto con las 2n participaciones respectivas en el ingreso. El enfoque estocástico ponderado simplemente supone que estos n relativos de precios, o algún tipo de transformación de ellos, f(pi1/pi0), tienen una distribución estadística discreta, donde la i-ésima probabilidad, ρi = m(si0, si1), es una función de las participaciones del producto i en el ingreso en las dos situaciones que se consideran, si0 y si1. Ello da como resultado distintos índices de precios según cómo se elijan las funciones f y m. En el enfoque de Theil, la función de transformación f es el logaritmo natural y la función media m es la media aritmética simple no ponderada.

16.95 Hay un tercer aspecto del enfoque estocástico ponderado de la teoría de los números índice: debe decidirse cuál es el mejor número único que resuma la distribución de los n relativos de precios (posiblemente transformados). En el análisis precedente, la media de la distribución discreta se eligió como mejor medida para resumir la distribución de los correspondientes relativos de precios (posiblemente transformados); pero existen otras medidas posibles. En particular, la mediana ponderada o diversas medias truncadas suelen proponerse como la mejor medida de la tendencia central, porque estas mediciones minimizan la influencia de valores atípicos. No obstante, escapa al alcance de este capítulo analizar en mayor profundidad estas medidas alternativas de la tendencia central. Para hallar más material sobre los enfoques estocásticos de la teoría de los números índice y referencias bibliográficas, pueden consultarse Clements e Izan (1981, 1987), Selvanathan y Rao (1994), Diewert (1995b), Cecchetti (1997) y Wynne (1997, 1999).

16.96 En lugar de adoptar el enfoque estocástico que acabamos de examinar, con los mismos datos prima-rios es posible recurrir al enfoque axiomático. Por lo tanto, en la próxima sección se considera al índice de precios como una función de los n relativos de precios ponderados por valor y se utiliza el enfoque de las propiedades de la teoría de los números índice a efectos de determinar la forma funcional del índice de precios. En otras palabras, el enfoque axiomático de la próxima sección analiza las propiedades de distintas estadísticas descriptivas que agregan los relativos de precios individuales (ponderados según su importancia económica) en mediciones que resumen las variaciones de precios a fin de hallar la medida que mejor resuma la variación de precios. En consecuencia, el enfoque axiomático expuesto en la sección E se puede considerar como una rama de la teoría de estadística descriptiva.

E. Segundo enfoque axiomático de los índices de precios bilaterales

E.1 Marco de referencia básico y algunas propiedades preliminares

16.97 Como se mencionó en la sección A, en el curso de su trabajo sobre la teoría de los números índice, Walsh intentó determinar la mejor media ponderada de los relativos de precios, ri61. Esto equivale a utilizar un enfoque axiomático para tratar de deter-minar el mejor índice de la forma P(r, v0, v1), donde v0 y v1 son los vectores de ingresos de los n productos durante los períodos 0 y 162. No obstante, en lugar de comenzar con índices de la forma P(r, v0, v1), se considerarán índices de la forma P(p0, p1, v0, v1), pues este marco resulta más comparable con el primer marco axiomático bilateral adoptado en la sección C. Si se impone la propiedad de invariancia ante variaciones en las unidades de medida a un índice de la forma P(p0, p1, v0, v1), entonces P(p0, p1, v0, v1) se puede expresar como P (r, v0, v1).

16.98 Recordemos que se utilizó la propiedad del producto, ecuación (16.17), para definir el índice de cantidades, Q(p0, p1, q0, q1) ≡ V1/[V0P(p0, p1, q0, q1)], que corresponde al índice de precios bilateral P(p0, p1, q0, q1). Una propiedad del producto similar rige para el marco actual; es decir, como una vez determinada la forma funcional del índice de precios P(p0, p1, v0, v1), el correspondiente índice de cantidades implícito se determina en términos de P de la siguiente manera:

16.99 En la sección C, los índices de precios y de cantidades P(p0, p1, q0, q1) y Q(p0, p1, q0, q1) se determinaron conjuntamente ; es decir, no solo se impusieron axiomas a P(p0, p1, q0, q1), sino también a Q(p0, p1, q0, q1), y se utilizó la propiedad del producto (16.17) para transformar estas propiedades correspondientes a Q en propiedades correspondientes a P. En la sección E, no se seguirá el mismo enfoque: solo se utilizarán propiedades con respecto a P(p0, p1, v0, v1) para determinar el mejor índice de precios con esta forma. Por lo tanto, hay una teoría paralela de los índices de cantidades de la forma Q(q0, q1, v0, v1) en virtud de la cual se intenta encontrar la mejor media de los relativos de cantidades, qi1/qi0, ponderada por valor63.

16.100 La mayoría de las propiedades que se impondrán en esta sección al índice de precios P(p0, p1, v0, v1) son contrapartidas de las propiedades impuestas al índice de precios P(p0, p1, v0, v1) en la sección C. Supondremos que todos los componentes de cada vector de precios y de valores son positivos; es decir, pt > > 0n y vt > > 0n para t = 0,1. Si se quiere fijar v0 = v1, el vector común de ingresos se denota como v; si se quiere fijar p0 = p1, el vector común de los precios se denota como p.

16.101 Las dos primeras propiedades son contrapartidas directas de las propiedades respectivas de la sección C.

P1: Positividad: P(p0, p1, v0, v1) > 0.

P2: Continuidad: P(p0, p1, v0, v1) es una función continua de sus argumentos.

P3: Propiedad de identidad o de precios constantes: P (p, p, v0, v1) = 1.

Es decir, si el precio de cada bien es idéntico durante los dos períodos, el índice de precios deberá ser igual a la unidad, con independencia de los vectores de valores. Cabe observar que en la propiedad precedente se permite que los dos vectores de valores difieran entre sí.

E.2 Propiedades de homogeneidad

16.102 Las siguientes cuatro propiedades restringen el comportamiento del índice de precios P cuando cambia la escala de cualquiera de los siguientes cuatro vectores:p0, p1, v0 y v1.

P4: Proporcionalidad respecto de los precios del período corriente:

P (p0, λp1, v0, v1) = λP(p0, p1, v0, v1) para λ > 0.

Es decir que, si todos los precios del período 1 se multiplican por el número positivo λ, el nuevo índice de precios es λ veces el viejo índice de precios. Expresado de otra manera, la función del índice de precios P(p0, p1, v0, v1) es (positivamente) homogénea de grado uno respecto de los componentes del vector de precios del período 1, p1. Esta propiedad es la contrapartida de la propiedad P5 de la sección C.

16.103 En la siguiente propiedad, en vez de multi-plicar todos los precios del período 1 por el mismo número, se multiplican todos los precios del período 0 por el número λ.

P5: Proporcionalidad inversa respecto de los precios del período base:

Pp0, p1, v0, v1) = λ–1P(p0, p1, v0, v1) para λ > 0.

Así, si todos los precios del período 0 se multiplican por el número positivo λ, el nuevo índice de precios es 1/λ veces el viejo índice de precios. En otras palabras, la función del índice de precios P(p0, p1, v0, v1) es (positivamente) homogénea de grado menos uno respecto de los componentes del vector de precios del período 0, p0. Esta propiedad es la contrapartida de la propiedad P6 de la sección C.

16.104 Las siguientes dos propiedades de homogeneidad también se pueden considerar propiedades de invariancia.

P6: Invariancia ante variaciones proporcionales de los valores del período corriente:

P(p0, p1, v0, λv1) = P(p0, p1, v0, v1) para todo λ > 0.

Es decir, si todos los valores del período corriente se multiplican por el número λ, el número índice no varía. En otras palabras, la función del índice de precios P(p0, p1, v0, v1) es (positivamente) homogénea de grado cero respecto de los componentes del vector de valores del período 1, v1.

P7: Invariancia ante variaciones proporcionales de los valores del período base:

P(p0, p1, λv0, v1) = P(p0, p1, v0, v1) para todo λ > 0.

Es decir, si todos los valores del período base se multiplican por el número λ, el índice de precios no varía. En otras palabras, la función del índice de precios P(p0, p1, v0, v1) es (positivamente) homogénea de grado cero respecto de los componentes del vector de valores del período 0, v0.

16.105 P6 y P7 conjuntamente imponen la propiedad de que el índice de precios P no dependa de las magnitudes absolutas de los vectores de valores v0 y v1. Utilizando la propiedad P6 con λ=1/Σi=1nvi1, y la propiedad P7 con λ=1/Σi=1nvi0, se puede comprobar que P tiene la siguiente propiedad:

donde s0 y s1 son los vectores de participaciones en el ingreso de los períodos 0 y 1; es decir, el i-ésimo componente de st es sit=vit/Σk=1nvkt para t = 0,1. Así, las propiedades P6 y P7 implican que la función del índice de precios P es una función de los dos vectores de precios p0 y p1 y de los dos vectores de participaciones en el ingreso, s0 y s1.

16.106 La siguiente cita señala el propósito de las propiedades P6 y P7, según lo sugiere Walsh:

Nuestro propósito es promediar las variaciones del valor de cambio de un monto dado de dinero con relación a varias clases de bienes, a cuyas variaciones [es decir, los relativos de precios] se les deben asignar ponderaciones proporcionales al tamaño relativo de las clases. Por ello deben considerarse los tamaños relativos de las clases en los dos períodos (Correa Moylan Walsh, 1901, pág. 104).

16.107 Walsh también se percató de que ponderar el i-ésimo relativo de precios ri por la media aritmética de las ponderaciones de valor en los dos períodos bajo consideración, (1/2)[vi0 + vi1], asignaría una ponderación demasiado grande al período que tuviera el mayor nivel de precios:

A primera vista podría pensarse que es suficiente sumar las ponderaciones de todas las clases en los dos períodos y dividirlas por dos. Ello daría el tamaño de la media (aritmética) de cada clase para los dos períodos juntos. Pero se trata de una operación manifiestamente errónea. En primer lugar, los tamaños de las clases en cada período se calculan en la moneda del período, y si ocurriera que el valor de cambio de la moneda disminuyera, o si los precios en general aumentaran, se daría más peso en el resultado a las ponderaciones del segundo período; o, si los precios en general disminuyeran, se daría más peso a las ponderaciones del primer período. O si la comparación se realizara entre países, se daría mayor peso a la ponderación del país que tuviera el nivel de precios más alto. Pero queda claro que un período o un país es tan importante como el otro en nuestra comparación entre ambos y que la ponderación en el cálculo medio de sus ponderaciones, en realidad, debería ser equitativa (Correa Moylan Walsh, 1901, págs. 104–05).

16.108 Para solucionar este problema de ponderación, Walsh (1901, pág. 202; 1921a, pág. 97) propuso el siguiente índice geométrico de precios:

donde la i-ésima ponderación de esta fórmula se definió como:

La segunda parte de la ecuación (16.65) muestra que el índice geométrico de precios de Walsh, PGW(p0, p1, v0, v1), también se puede expresar como una función de los vectores de la participación en el ingreso, s0 y s1; es decir, PGW(p0, p1, v0, v1) es homogénea de grado 0 respecto a los componentes de los vectores de valores v0 y v1, con lo cual PGW(p0, p1, v0, v1) = PGW(p0, p1, s0, s1). Por lo tanto, Walsh estuvo muy cerca de obtener el índice de Törnqvist-Theil definido en la ecuación (16.48)64.

E.3 Propiedades de invariancia y de simetría

16.109 Las próximas cinco propiedades son propiedades de invariancia o de simetría, cuatro de las cuales son contrapartidas directas de propiedades similares presentadas en la sección C. La primera propiedad de invariancia es que el índice de precios debe permanecer constante si se modifica el orden de los productos.

P8: Propiedad de reversión de productos (o invariancia ante variaciones en el orden de los productos):

P(p0*, p1*, v0*, v1*) = P(p0, p1, v0, v1),

donde pt* denota una permutación de los componentes del vector pt y vt* denota la misma permutación de los componentes de vt para t = 0,1.

16.110 La siguiente propiedad requiere que el índice sea invariante ante variaciones en las unidades de medida.

P9: Invariancia ante variaciones en las unidades de medida (propiedad de conmensurabilidad):

P1p10,…,αnpn0; α1p11,…,αnpn1; v11,…,vn0; vn1,…,vn1) = P(p10,…,pn0; p11,…,pn1; v10,…,vn0; v11,…,vn1)

para todo α1 > 0, …, αn > 0.

Es decir, el índice de precios no cambia si las unidades de medida de los productos varían. Observemos que el ingreso del producto i durante el período t, vit, no cambia si varía la unidad con la que se mide el producto i.

16.111 La propiedad P9 trae aparejada una consecuencia muy importante. Sea α1 = 1/p10, …, αn = 1/pn0 y sustituyamos estos valores en los αi en la definición de la propiedad. Se obtiene la siguiente ecuación:

donde 1n es un vector de dimensión n cuyos componentes son todos iguales a 1, y r es un vector de relativos de precios; es decir, el i-ésimo componente de r es ripi1/pi0. Así, si se cumple la propiedad de conmensurabilidad P9, el índice de precios P(p0, p1, v0, v1), que es función de 4n variables, puede expresarse como una función de 3n variables, P*(r, v0, v1), donde r es el vector de los relativos de precios y P*(r, v0, v1) se define como P(1n, r, v0, v1).

16.112 La siguiente propiedad requiere que la fórmula sea invariante con respecto al período elegido como período base.

P10: Propiedad de reversión temporal:

P(p0, p1, v0, v1) = 1/P(p1, p0, v1, v0).

Es decir, si se intercambian los datos de los períodos 0 y 1, el índice de precios resultante deberá ser igual al recíproco del índice de precios original. Desde luego, en el caso de un solo producto, en que el índice de precios sea simplemente el cociente de precios de ese producto, esta propiedad resultará satisfecha (al igual que todas las demás propiedades enumeradas en esta sección).

16.113 La siguiente propiedad es una variante de la de circularidad, presentada en la sección F del capítulo 1565.

P11: Transitividad con respecto a los precios para ponderaciones de valor fijo:

P(p0, p1, vr, vs)P(p1, p2, vr, vs) = P(p0, p2, vr, vs).

Según esta propiedad, los vectores de las ponderaciones del ingreso, vr y vs, se mantienen fijos mientras se realizan todas las comparaciones de precios. Sin embargo, como estas ponderaciones se mantienen constantes, la propiedad requiere que el producto entre el índice que abarca desde el período 0 al 1, P(p0, p1, vr, vs), y el índice que abarca desde el período 1 al 2, P(p1, p2, vr, vs), sea igual al índice directo que compara los precios del período 2 con los del período 0, P(p0, p2, vr, vs). Sin duda, esta propiedad es una contrapartida para productos múltiples de una propiedad que rige para el relativo de un único precio.

16.114 La siguiente propiedad de esta sección refleja la idea de que las ponderaciones de valor deberían ingresar en la fórmula de número índice de manera simétrica.

P12: Propiedad de simetría de las ponderaciones de cantidades:

P(p0, p1, v0, v1) = P(p0, p1, v1, v0).

Es decir, si se intercambian los vectores de ingreso de los dos períodos, el índice de precios no varía. Esta propiedad significa que, si se utilizan valores para ponderar los precios de la fórmula de número índice, los valores del período 0, v0, y los valores del período 1, v1, deben ingresar en la fórmula de manera simétrica o pareja.

E.4 Propiedad del valor medio

16.115 La siguiente propiedad es la propiedad del valor medio.

P13: Propiedad del valor medio de los precios:

Es decir, el índice de precios se ubica entre el cociente de precios mínimo y el cociente de precios máximo. Como el índice de precios debe interpretarse como un promedio de los n cocientes de precios, pi1/pi0, resulta esencial que el índice de precios P satisfaga esta propiedad.

E.5 Propiedades de monotonicidad

16.116 Las siguientes dos propiedades que veremos en esta sección son propiedades de monotonicidad, que abordan el siguiente interrogante: ¿cómo debería variar el índice de precios P(p0, p1, v0, v1) ante un aumento en cualquiera de los componentes de los dos vectores de precios, p0 y p1?

P14: Monotonicidad respecto de los precios del período corriente:

P(p0, p1, v0, v1) < P(p0, p2, v0, v1) si p1 < p2.

Es decir, si aumenta algún precio del período 1, el índice de precios debe aumentar (manteniendo fijos los vectores de valores), de manera que P(p0, p1, v0, v1) sea creciente respecto de los componentes de p1 con p0, v0 y v1 fijos.

P15: Monotonicidad respecto de los precios del período base:

P(p0, p1, v0, v1) > P(p2, p1, v0, v1) si p0 < p2.

Es decir, si aumenta cualquier precio del período 0, el índice de precios debe disminuir, de manera que P(p0, p1, v0, v1) sea decreciente respecto de los componentes de p0 con p1, v0 y v1 fijos.

E.6 Propiedades de ponderación

16.117 Las propiedades anteriores no bastan para determinar la forma funcional del índice de precios; por ejemplo, se puede demostrar que el índice de precios geométrico de Walsh, PGW(p0, p1, v0, v1), definido por la ecuación (16.65) y el índice de Törnqvist-Theil, PT(p0, p1, v0, v1), definido por la ecuación (16.48) cumplen todos los axiomas precedentes. Así, se requerirá al menos una propiedad más para determinar la forma funcional del índice de precios P(p0, p1, v0, v1).

16.118 Las propiedades propuestas hasta aquí no especifican con precisión cómo utilizar los vectores de las participaciones en el ingreso, s0 y s1, para ponderar, por ejemplo, el primer relativo de precios, p11/p10. La siguiente propiedad sostiene que solo las participaciones en el ingreso s10 y s11 correspondientes al primer producto se pueden utilizar para ponderar los precios que corresponden al producto 1, p11 y p10.

P16: Ponderación de precios por su propia participación:

Cabe señalar que v1t/Σk=1nvkt es igual a s1t, la participación en el ingreso del producto 1 en el período t. Esta propiedad sostiene que, si todos los precios se fijan iguales a 1, excepto los precios del producto 1 en ambos períodos, pero los ingresos en ambos períodos están dados en forma arbitraria, el índice depende solo de los dos precios del producto 1 y de las dos participaciones en el ingreso del producto 1. El axioma sostiene que, en realidad, esta función de 2 + 2n variables es solo una función de cuatro variables66.

16.119 Si la propiedad P16 se combina con P8, la de reversión de productos, puede verse que P tiene la siguiente propiedad:

La ecuación (16.69) indica que, si todos los precios se fijan iguales a 1, a excepción de los precios del producto i en los dos períodos, y los ingresos en los dos períodos se fijan de manera arbitraria, el índice depende solo de los dos precios del producto i y de las dos participaciones en el ingreso del producto i.

16.120 La última propiedad que también supone ponderar precios es la siguiente:

P17: Irrelevancia de las variaciones de precios con ponderaciones de muy poco valor:

De acuerdo con la propiedad P17, si todos los precios se fijan iguales a 1, con excepción de los precios del producto 1 en los dos períodos, y los ingresos en el producto 1 son nulos en los dos períodos pero los ingresos en los demás productos se fijan de manera arbitraria, el índice será igual a 167. En líneas generales, si las ponderaciones de valor del producto 1 son muy pequeñas, no importa cuál sea el precio del producto 1 durante los dos períodos.

16.121 Si la propiedad P17 se combina con P8, la de reversión de productos, puede verse que P cumple la siguiente propiedad para i = 1,…, n:

De acuerdo con la ecuación (16.71), si todos los precios se fijan iguales a 1, con excepción de los precios del producto i en los dos períodos, y los ingresos en el producto i equivalen a 0 durante los dos períodos pero los demás ingresos se fijan de manera arbitraria, el índice es igual a 1.

16.122 Con esto se completa la enumeración de las propiedades relativas al enfoque de la teoría de números índice bilaterales basado en el promedio ponderado de los relativos de precios. Las propiedades estudiadas son suficientes para implicar una forma funcional específica del índice de precios, como se expondrá en la próxima sección.

E.7 Índice de precios de Törnqvist-Theil y segundo enfoque de las propiedades para los índices bilaterales

16.123 En el apéndice 16.1 se demuestra que, si la cantidad de productos n es mayor que dos y la función de índices de precios bilaterales P(p0, p1, v0, v1) cumple los 17 axiomas antes enumerados, P deberá ser el índice de precios de Törnqvist-Theil, PT(p0, p1, v0, v1), definido por la ecuación (16.48)68. Es decir, las 17 propiedades descritas en la sección E brindan una caracterización axiomática del índice de precios de Törnqvist-Theil, de la misma manera que los 20 axiomas enumerados en la sección C proporcionan una caracterización axiomática del índice de precios ideal de Fisher.

16.124 Desde luego, hay una teoría axiomática paralela para índices de cantidades de la forma Q(p0, p1, v0, v1) que dependen de los dos vectores de cantidades para los períodos 0 y 1, q0 y q1, y de los correspondientes vectores de ingreso, v0 y v1. Así, si Q(p0, p1, v0, v1) cumple las contrapartidas para índices de cantidades de las propiedades P1–P17, Q debe ser igual al índice de cantidades de Törnqvist-Theil QT(q0, q1, v0, v1), definido como sigue:

donde, como siempre, la participación en el ingreso del producto i en el período t, sit, se define como v1t/Σk=1nvkt para i = 1,…, n y t = 0,1.

16.125 Desafortunadamente, el índice de precios implícito de Törnqvist-Theil, PIT(q0, q1, v0, v1), que corresponde al índice de cantidades de Törnqvist-Theil, QT, definido por la ecuación (16.72) mediante la propiedad del producto, no es igual al índice de precios directo de Törnqvist-Theil, PT(p0, p1, v0, v1), definido por la ecuación (16.48). La ecuación de la propiedad del producto que define PIT en el presente contexto es la siguiente:

El hecho de que el índice de precios directo de Törnqvist-Theil PT no suele ser igual al índice de precios implícito de Törnqvist-Theil, PIT, definido en la ecuación (16.73), resulta en cierta manera una desventaja en comparación con el enfoque axiomático descrito en la sección C, que llevó a considerar los índices de precios y de cantidades ideales de Fisher como los mejores. La aplicación del enfoque de Fisher significó que no era necesario decidir si se desea el mejor índice de precios o el mejor índice de cantidades: la teoría esbozada en la sección C determina ambos índices en forma simultánea. Sin embargo, en el enfoque de Törnqvist-Theil descrito en esta sección, es necesario elegir si se desea el mejor índice de precios o el mejor índice de cantidades69.

16.126 Por cierto, existen otras propiedades. Una contrapartida a la P16 de la sección C, la propiedad de las cotas de Paasche y de Laspeyres, es la siguiente propiedad de las cotas geométricas de Paasche y de Laspeyres:

donde los logaritmos de los índices de precios geométricos de Laspeyres y de Paasche, PGL y PGP, se definen de la siguiente manera:

Como siempre, la participación del producto i en el ingreso del período t, sit, se define como v1t/Σk=1nvkt para i = 1,…, n y t = 0,1. Puede demostrarse que el índice de precios de Törnqvist-Theil, PT(p0, p1, v0, v1), definido por la ecuación (16.48) satisface esta propiedad, pero no así el índice de precios geométrico de Walsh PGW(p0, p1, v0, v1) definido por la ecuación (16.65). La propiedad de las cotas geométricas de Paasche y de Laspeyres no se incluyó como propiedad primordial en la sección E, pues a priori no se sabía qué tipo de promedio de los relativos de precios (por ejemplo, media geométrica, aritmética o armónica) resultaría apropiado en el marco de esta propiedad. La propiedad en la ecuación (16.74) es la que conviene si se decide que el marco adecuado es la media geométrica de los relativos de precios. Los índices geométricos de Paasche y de Laspeyres corresponden a formas extremas de ponderar por valor en un contexto de medias geométricas, y es lógico exigir que el mejor índice de precios se ubique entre estos índices extremos.

16.127 Walsh (1901, pág. 408) identificó un problema de su índice de precios geométrico, PGW, definido por la ecuación (16.65), que también se aplica al índice de precios de Törnqvist-Theil, PT(p0, p1, v0, v1), definido por la ecuación (16.48): estos índices de tipo geométrico no dan la respuesta correcta cuando los vectores de cantidades son constantes (o proporcionales) en los dos períodos. En este caso, Walsh pensó que la respuesta correcta debía ser el índice de Lowe, que es el cociente entre los costos de adquirir una misma canasta en dos períodos. En otras palabras, los índices geométricos PGW y PT no satisfacen la propiedad de canasta fija P4 expuesta en la sección C. Entonces, ¿qué argumento llevó a Walsh a definir su índice de tipo media geométrica PGW? Pues llegó a este tipo de índice por considerar otra propiedad que pasaremos a explicar a continuación.

16.128 Walsh (1901, págs. 228–31) desarrolló su propiedad considerando este sencillo marco. Supongamos que el índice se compone de dos productos y que la participación en el ingreso de cada producto es igual en cada uno de los dos períodos que se consideran. El índice de precios, en estas condiciones, es igual a P(p10, p20; p11, p21; v10, v20; v11, v21) = P*(r1, r2; 1/2, 1/2; 1/2, 1/2) ≡ m(r1, r2), donde m(r1, r2) es una media simétrica de los dos relativos de precios, r1p11/p10 y r2p21/p2070. En este marco, Walsh propuso la siguiente propiedad de relativos de precios recíprocos:

Así, Walsh (1901, pág. 230) argumentó que, si la ponderación de valor de los dos productos es la misma en los dos períodos y el segundo relativo de precios es el recíproco del primer relativo de precios r1, el índice general de precios, en estas circunstancias debería ser igual a 1, pues la caída relativa en un precio se ve contrarrestada exactamente por el alza en el otro, y ambos productos generan el mismo ingreso en cada período. Walsh descubrió que la media geométrica cumple esta propiedad a la perfección, pero la media aritmética arroja valores de índice mayores que uno (siempre y cuando r1 no sea igual a uno) y la media armónica da como resultado valores de índice inferiores a uno, situación que dista de ser satisfactoria71. Esto lo llevó, en uno de sus enfoques de la teoría de los números índice, a inclinarse por alguna forma de promedio geométrico de los relativos de precios.

16.129 Resulta sencillo generalizar la conclusión de Walsh. Supongamos que la función media, m(r1, r2), cumple la propiedad recíproca de Walsh, ecuación (16.77), y que, además, m es una media homogénea, de manera que cumple la siguiente propiedad para todo r1 > 0, r2 > 0, y λ > 0:

Sea r1 > 0, r2 > 0. Entonces:

donde la función de una variable (positiva) f(z) se define de la siguiente manera:

Utilizando la ecuación (16.77):

usando la ecuación (16.78) con λ=1r1.

Utilizando la ecuación (16.80), la ecuación (16.81) se puede reordenar del siguiente modo:

Sea zr1–2 de manera que z1/2 = r1–1, la ecuación (16.82) se convierte en:

Ahora sustituyamos la ecuación (16.83) en la ecuación (16.79); la forma funcional de la función media m(r1, r2) se determina de la siguiente manera:

Así, la media geométrica de los dos relativos de precios es la única media homogénea que satisface la propiedad de relativos de precios recíprocos de Walsh.

16.130 Aún resta mencionar otra propiedad, que Fisher (1911, pág. 401) presentó en su primer libro, referido al enfoque de las propiedades de la teoría de los números índice. La llamó propiedad de determinación de los precios y la describió en los siguientes términos:

Un índice de precios no debería tomar el valor cero, infinito, ni quedar indeterminado porque un precio individual adoptó el valor cero. Así, si cualquier producto en 1910 satura el mercado y se transforma en un “bien gratuito”, este hecho no debería llevar a cero el valor del número índice de 1910 (Irving Fisher, 1911, pág. 401).

En el contexto actual, esta propiedad podría interpretarse de la siguiente manera: si cualquier precio individual pi0 o pi1 tiende a cero, el índice de precios P(p0, p, v0, v1) no debería tender a cero ni a más infinito. Sin embargo, con esta interpretación de la propiedad, que considera que los valores vit permanecen fijos mientras que pi0 o pi1 tienden a cero, ninguna de las fórmulas de números índice comúnmente utilizadas logrará satisfacer esta propiedad. Por ello esta propiedad debe interpretarse como aplicable a los índices de precios P(p0, p1, q0, q1) del tipo estudiado en la sección C, que es la interpretación que Fisher tenía en mente. Así, la propiedad de deter-minación de los precios de Fisher debería interpretarse de la siguiente manera: si un solo precio pi0 o pi1 tiende a cero, el índice de precios P(p0, p, q0, q1) no deberá tender a cero o a más infinito. Con esta interpretación de la propiedad, se verifica que los índices de Laspeyres, de Paasche y de Fisher satisfacen esta propiedad, pero no así el índice de precios de Törnqvist-Theil. Por ello, cuando se utiliza este último índice deben tomarse los recaudos necesarios para poner cotas que alejen los precios de cero a efectos de evitar un valor del número índice que carezca de sentido.

16.131 Walsh se percataba de que los índices de tipo media geométrica, como el índice de precios de Törnqvist-Theil, PT, o el índice de precios geométrico de Walsh, PGW, definido por la ecuación (16.64) se vuelven, de alguna manera, inestables72 cuando los relativos de precios individuales aumentan o disminuyen mucho:

Por ello, en la práctica, es probable que la media geométrica no esté muy alejada de la verdad. Aun así, vimos que cuando las clases [es decir, los ingresos] son muy desiguales entre sí y las variaciones de los precios son muy grandes, esta media puede desviarse considerable-mente (Correa Moylan Walsh, 1901, pág. 373).

En los casos de desigualdad moderada entre los tamaños de las clases y de una variación excesiva de alguno de los precios, el método geométrico parece tener la tendencia a desviarse naturalmente, con lo cual deja de ser confiable, mientras que los otros dos métodos se mantienen bastante próximos entre sí (Correa Moylan Walsh, 1901, pág. 404).

16.132 La consideración de todos los argumentos y propiedades presentados en las secciones C y E de este capítulo sugeriría una ligera preferencia por la utilización del índice de precios ideal de Fisher como índice objetivo conveniente para las oficinas de estadística, aunque puede haber distintas opiniones respecto de cuál es el conjunto de axiomas más apropiado para utilizar en la práctica.

F. Propiedades axiomáticas de los índices de Lowe y de Young

16.133 Los índices de Young y de Lowe se definieron en el capítulo 15. En esta sección se desarrollan las propiedades axiomáticas de estos índices con respecto a sus argumentos de precios73.

16.134 Supongamos que qb ≡ [q1b, …, qnb] y pb ≡ [p1b,…, pnb] denotan los vectores de cantidades y de precios correspondientes a un determinado año base. Las correspondientes participaciones en el ingreso al año base se definen, como es habitual, de la siguiente manera:

Sea sb ≡ [s1b, …, snb] el vector de las participaciones en el ingreso del año base. El índice de precios de Young (1812) entre los períodos 0 y t se define como:

El índice de precios de Lowe (1823, pág. 316)74 entre los períodos 0 y t se define como sigue:

16.135 A continuación se enumeran 12 axiomas seleccionados de los presentados previamente en las secciones C y E. Se presume que los vectores de precios de los períodos 0 y t, p0 y pt, tienen componentes estrictamente positivos.

P1: Propiedad de positividad: P(p0, pt) > 0 si todos los precios son positivos.

P2: Propiedad de continuidad: P (p0, pt) es una función continua de los precios.

P3: Propiedad de identidad: P (p0, p0) = 1.

P4: Propiedad de homogeneidad para los precios del período t: P(p0, λpt) = λP(p0, pt) para todo λ > 0.

P5: Propiedad de homogeneidad para los precios del período 0: Pp0, pt) = λ–1P(p0, pt) para todo λ > 0.

P6: Propiedad de reversión de productos: P(pt, p0) = P(p0*, pt*), donde p0* y pt* denotan la misma permutación de los componentes de los vectores de precios p0 y pt75.

P7: Invariancia ante variaciones en las unidades de medida (Propiedad de conmensurabilidad):

P1p10, …, αnpn0; α1p1t, …, αnpnt) = P(p10, …, pn0; p1t, …, pnt) para todo α1 > 0, …, αn > 0.

P8: Propiedad de reversión temporal: P(pt, p0) = 1/P(p0, pt).

P9: Propiedad de circularidad o transitividad: P(p0, p2) = P(p0, p1)P(p1, p2).

P10: Propiedad del valor de la media: min{pit/pi0 : i = 1, …, n} ≤ P(pt, p0) ≤ max{pit/pi0 : i = 1, …, n}.

P11: Propiedad de monotonicidad con respecto a los precios del período t: P(p0, pt) < P(p0, pt*) si pt < pt*.

P12: Propiedad de monotonicidad con respecto a los precios del período 0: P(p0, pt) > P(p0*, pt) si p0 < p0*.

16.136 Resulta sencillo demostrar que el índice de Lowe definido por la ecuación (16.87) cumple los 12 axiomas o propiedades precedentes. Por lo tanto, el índice de Lowe tiene muy buenas características axiomáticas en cuanto a sus variables de precio76.

16.137 Resulta sencillo demostrar que el índice de Young definido por la ecuación (16.86) cumple 10 de las 12 propiedades, ya que no cumple la propiedad de reversión temporal P8, ni la propiedad de circularidad P9. Por lo tanto, las características axiomáticas del índice de Young son, definitivamente, inferiores a las del índice de Lowe.

Apéndice 16.1: Demostración de la optimalidad del índice de precios de Törnqvist-Theil según el segundo enfoque de las propiedades bilaterales

16.138 Definamos ripi1/pi0 para i = 1,…, n. Utilizando P1, P9 y la ecuación (16.66), P(p0, p1, v0, v1) = P*(r, v0, v1). Utilizando P6, P7 y la ecuación (16.63):

donde st es el vector de la participación en el ingreso del período t para t = 0,1.

16.139 Sean x ≡ (x1,…, xn) e y ≡ (y1,…, yn) vectores estrictamente positivos. La propiedad de transitividad P11 y la ecuación (A16.1) implican que la función P* tiene la siguiente propiedad:

16.140 Utilizando la propiedad P1, P*(r, s0, s1) > 0, mientras que utilizando la propiedad P14, P*(r, s0, s1) aumenta estrictamente con respecto a los componentes de r. La propiedad de identidad P3 implica que:

donde 1n es un vector de dimensión n cuyos componente son todos iguales a uno. Utilizando un resultado atribuido a Eichhorn (1978, pág. 66), puede verse que estas propiedades de P* son suficientes para implicar que existen funciones positivas αi(s0, s1) para i = 1,…, n tal que P* puede representarse como:

16.141 La propiedad de continuidad P2 implica que las funciones positivas αi(s0, s1) son continuas. Para λ > 0, la propiedad de homogeneidad lineal P4 implica que:

usando la ecuación (A16.4).

Al igualar los miembros derechos de la primera y última línea de (A16.5), se observa que las funciones αi(s0, s1) deben satisfacer la siguiente restricción:

para todos los vectores estrictamente positivos s0 y s1.

16.142 Cuando se utiliza la propiedad de ponderación P16 y la de reversión de productos P8, se verifica la ecuación (16.69). La ecuación (16.69), combinada con la propiedad de conmensurabilidad P9, implica que P* satisface la siguiente ecuación:

para todo ri > 0, donde f es la función definida por la propiedad P16.

16.143 Sustituyamos la ecuación (A16.7) en la ecuación (A16.4) a fin de obtener el siguiente sistema de ecuaciones:

Sin embargo, la primera parte de la ecuación (A16.8) implica que la función continua positiva de 2n variables αi(s0, s1) es constante con respecto a todos sus argumentos, excepto si0 y si1, y esta propiedad se verifica para cada i. Por lo tanto, cada αi(s0, s1) puede representarse mediante la función continua positiva de dos variables βi(si0, si1) para i = 1, …, n77. Ahora reemplacemos αi(s0, s1) en la ecuación (A16.4) por βi(si0, si1) para i = 1,…, n, y obtendremos la siguiente representación de P*:

16.144 La ecuación (A16.6) implica que las funciones βi(si0, si1) también satisfacen las siguientes restricciones:

16.145 Supongamos que se verifica la propiedad de ponderación P17 y sustituyamos la ecuación (16.71) en (A16.9) a fin de obtener la siguiente ecuación:

Dado que pi1 y pi0 pueden ser números positivos arbitrarios, la ecuación (A16.11) implica que:

16.146 Supongamos que la cantidad de productos n es igual o mayor a tres. Al utilizar las ecuaciones (A16.10) y (A16.12), puede aplicarse el teorema 2 de Aczél (1987, pág. 8), de modo que se obtiene la siguiente forma funcional para cada βi(si0, si1):

donde β es un número positivo que cumple con 0 < λ < 1.

16.147 Por último, puede utilizarse la propiedad de reversión temporal P10 o bien la propiedad de simetría de las ponderaciones de cantidades P12 a fin de probar que β debe ser igual a ½. Si se sustituye este valor o λ. en la ecuación (A16.13) y luego se sustituyen estas ecuaciones en la ecuación (A16.9), la forma funcional de P* y, por lo tanto, de P, se determina de esta manera:

Eichhorn (1978, pág. 144) y Diewert (1993d, pág. 9) consideraron este enfoque.

En estos enfoques de números índice unilaterales, los vectores de precios y de cantidades varían independientemente el uno del otro. En un tercer marco de referencia de números índice, los precios varían libremente pero las cantidades se consideran dependientes de los precios. Esto lleva al enfoque económico de la teoría de los números índice, que se estudiará con mayor profundidad en los capítulos 17 y 18.

Recordemos la explicación de este enfoque brindada en la sección B del capítulo 15.

Walsh (1901, pág. 84) se refiere al aporte de Young en los siguientes términos: “Aun así, aunque pocos investigadores empíricos emplearon de hecho algo que no fuera la equiponderación, casi siempre reconocieron la necesidad teórica de tener en cuenta la importancia relativa de las distintas clases desde que Arthur Young señaló esta necesidad por primera vez, al inicio del siglo que acaba de concluir. […] Arthur Young aconsejó simplemente ponderar las clases según su importancia”.

Una variación de precios es un cociente de precios o un relativo de preios según la terminología de Walsh.

Walsh (1901, págs. 104–05) comprendió que no serviría considerar el promedio aritmético de los valores de los dos períodos, [vi0 + vi1]/2, como la ponderación correcta del i-ésimo relativo de precios ri ya que, en un período de acelerada inflación, se daría demasiada importancia al período que tuviese los precios más altos, y él deseaba tratar a ambos períodos de manera simétrica: “Pero tal operación es sin lugar a dudas errónea. En primer lugar, los tamaños de las clases en cada período se calculan en la moneda del período, y si ocurriera que el valor de cambio de la moneda disminuyera, o si los precios en general aumentaran, se daría más peso en el resultado a las ponderaciones del segundo período; o, si los precios en general disminuyeran, se daría más peso a las ponderaciones del segundo período. O, si la comparación se realizara entre países, se daría mayor peso a la ponderación del país que tuviera el nivel de precios más alto. Pero queda claro que un período o un país es tan importante como el otro en nuestra comparación entre ambos y que la ponderación en el cálculo medio de sus ponderaciones debería, en realidad, ser equitativa “. Sin embargo, Walsh no pudo encontrar la solución de Theil (1967) al problema de las ponderaciones, que consistió en utilizar la participación promedio en el ingreso [si0 + si1]/2 como la ponderación correcta para el i-ésimo relativo de precios en el contexto que utiliza la media geométrica ponderada de los relativos de precios.

Walsh también consideró los enfoques de canasta de la teoría de los números índice, como se vio en el capítulo 15.

En la sección E, en lugar de empezar por índices de la forma P(r, v0, v1), se consideran índices de la forma P(p0, p1, v0, v1). Ahora bien, imponer a este índice la propiedad de invariancia ante cambios en las unidades de medida es equivalente a estudiar los índices de la forma P (r, v0, v1). Vartia (1976a) también desarrolló una versión de este enfoque de la teoría de los números índice.

Este tratamiento de los precios como unidades de valor en el tiempo sigue la línea de Walsh (1901, pág. 96; 1921a, pág. 88) y Fisher (1922, pág. 318). Fisher y Hicks estimaban que el período debía ser lo suficientemente corto para no tener que considerar las variaciones del precio dentro de él, como se señala en las siguientes citas: “A lo largo de este libro, se supusieron dados para cualquier año determinado ‘el precio’ y ‘la cantidad’ de cualquier producto. Pero ¿cuál es ese precio o esa cantidad? A veces se trata de un único registro del 1 de enero o del 1 de julio, pero suele ser un promedio de varios registros distribuidos a lo largo del año. Entonces surge la siguiente pregunta: ¿Sobre la base de qué principio debe construirse este promedio? La respuesta práctica es cualquier tipo de promedio, pues, por lo general, las variaciones que tienen lugar durante un año, al menos en lo que se refiere a precios, son demasiado pequeñas para incidir en el resultado de una manera perceptible, cualquiera sea el promedio utilizado. De lo contrario, se justificaría subdividir el año en trimestres o meses hasta llegar a un período lo suficientemente pequeño para considerarlo un punto desde el punto de vista práctico. Sin duda, las cantidades vendidas sufrirán grandes variaciones. Lo que se necesita es su suma para todo el año (que, por supuesto, es lo mismo que la media aritmética simple de las tasas anuales de cada mes o cualquier otra subdivisión). En síntesis, se puede utilizar la media aritmética simple de los precios y de las cantidades. O bien, si vale la pena hilar un poco más fino, se podría tomar la media aritmética ponderada de los precios utilizando como ponderaciones las cantidades vendidas” (Irving Fisher, 1922, pág. 318). “Definiré una semana como el período durante el cual pueden ignorarse las variaciones de precios. Para fines teóricos, ello significa que se supone que los precios varían a intervalos breves y no de manera continua. La semana de siete días, desde luego, es bastante arbitraria; pero, gracias a que es muy corta, nuestro esquema teórico se puede ajustar tanto como queramos a la incesante oscilación que caracteriza a los precios en ciertos mercados” (John Hicks, 1946, pág. 122).

Eichhorn (1978, pág. 144) estableció este resultado.

Esta proposición se atribuye a Diewert (1993d, pág. 9), pero su demostración es una adaptación de un resultado muy similar desarrollado por Eichhorn (1978, págs. 144–45).

Recordemos que en el enfoque económico el vector de precios p puede variar en forma independiente, pero se considera que el vector de cantidades respectivo q está determinado por p.

Gran parte del análisis de esta sección se basa en las secciones 2 y 3 de Diewert (1992a). Véanse estudios más recientes acerca del enfoque axiomático en Balk (1995) y Auer (2001).

La teoría multilateral de los números índice se refiere al caso en el cual existen más de dos situaciones para las que se requiere agregar precios y cantidades.

Véase la sección B del capítulo 15 para más detalles sobre este enfoque, ideado por I. Fisher (1911, pág. 403; 1922).

Fisher (1911, págs. 400–06) realizó esta observación por primera vez. Véanse también Vogt (1980) y Diewert (1992a).

Notación: q >> 0n significa que cada componente del vector q es positivo; q ≥ 0n significa que cada componente de q es no negativo, y q > 0n significa q ≥ 0n y q ≠ 0n.

Eichhorn y Voeller (1976, pág. 23) propusieron esta propiedad.

Fisher (1922, págs. 207–15) sugirió de manera informal esta propiedad.

Laspeyres (1871, pág. 308), Walsh (1901, pág. 308) y Eichhorn y Voeller (1976, pág. 24) sugirieron esta propiedad. Laspeyres la desarrolló para desacreditar el índice de cocientes de valores unitarios de Drobisch (1871a), que no la cumple. Esta propiedad también es un caso especial de la propiedad de proporcionalidad de los precios de Fisher (1911, págs. 409–10).

Los economistas suelen suponer que, dado un vector de precios p, queda determinado un único vector de cantidades correspondiente, q. Aquí se utiliza el mismo vector de precios pero se permite que los respectivos vectores de cantidades difieran entre sí.

Los orígenes de esta propiedad se remontan por lo menos 200 años, a la legislatura de Massachusetts, la cual utilizó una canasta fija de bienes para indexar la paga de los soldados de Massachusetts que luchaban en la guerra de la independencia de Estados Unidos; véase Willard Fisher (1913). Otros investigadores que han propuesto esta propiedad a lo largo de los años son Lowe (1823, Apéndice, pág. 95), Scrope (1833, pág. 406), Jevons (1865), Sidgwick (1883, págs. 67–68), Edgeworth (1925, pág. 215, publicado originalmente en 1887), Marshall (1887, pág. 363), Pierson (1895, pág. 332), Walsh (1901, pág. 540; 1921b, págs. 543–44) y Bowley (1901, pág. 227). Vogt y Barta (1997, pág. 49) observan correctamente que esta propiedad es un caso especial de la de proporcionalidad de Fisher (1911, pág. 411) para índices de cantidades, que Fisher (1911, pág. 405) transformó en una propiedad para índices de precios utilizando la propiedad del producto (15.3).

Véase Vogt (1980, pág. 70).

Esta propiedad fue propuesta por Walsh (1901, pág. 385), Eichhorn y Voeller (1976, pág. 24) y Vogt (1980, pág. 68).

Esta propiedad fue propuesta por Eichhorn y Voeller (1976, pág. 28).

Fisher (1911, pág. 405) propuso la propiedad afín P(p0,p1,q0,λq0)=P(p0,p1,q0,q0)=Σi=1npi1qi0/Σi=1npi0qi0.

Esta propiedad fue propuesta por Diewert (1992a, pág. 216).

“Esta [propiedad] es tan simple que jamás se formuló. Sencillamente se da por sentado y se observa de manera intuitiva. Cualquier regla para calcular promedios de productos debe ser tan general que pueda aplicarse de manera intercambiable a todos los términos promediados” (Irving Fisher, 1922, pág. 63).

Esta propiedad fue propuesta por Diewert (1992a, pág. 218).

Esta propiedad parece haber sido propuesta por primera vez por Eichhorn y Voeller (1976, pág. 10).

Esta propiedad fue propuesta por Diewert (1992a, pág. 219).

Bowley (1901, pág. 227) y Fisher (1922, pág. 403) avalaban esta propiedad en los índices de precios.

Véase Diewert (1993a, pág. 221).

Otras caracterizaciones del índice de precios de Fisher pueden encontrarse en Funke y Voeller (1978) y Balk (1985, 1995).

No obstante, en el capítulo 19 se demostrará que el índice de Törnqvist se aproxima bastante al índice de Fisher si se utilizan datos de series temporales “normales” que presenten tendencias relativamente graduales. En estas circunstancias, puede decirse que el índice de Törnqvist satisface las veinte propiedades de manera razonablemente aproximada.

Esta aseveración está sujeta a una salvedad: existen muchas otras propiedades que no analizamos y, además, algunos expertos en estadísticas de precios podrían tener distintas opiniones respecto de la importancia de satisfacer distintos conjuntos de propiedades. Algunos estudios en los que se analizan otras propiedades son Auer (2001; 2002), Eichhorn y Voeller (1976), Balk (1995) y Vogt y Barta (1997). En la sección E, se demuestra que el índice de Törnqvist es ideal para un conjunto distinto de axiomas.

Hill (1993, págs. 395–97) denominó a estos métodos multilaterales el enfoque del bloque, mientras que Diewert (1996a, págs. 250–51) empleó el término enfoques de precios promedio y, posteriormente, Diewert (1999b, pág. 19), sistema aditivo multilateral. Para enfoques axiomáticos de la teoría de los números índice multilaterales, véanse Balk (1996a; 2001) y Diewert (1999b).

Diewert (2001) empleó este término.

Se supone que m (a, b) tiene las siguientes características: m (a, b) es una función positiva y continua, definida para todos los números positivos a y b; y m (a, a) = a para todo a > 0.

Este índice de cantidades se corresponde con el índice de precios 8 definido por Walsh (1921a, pág. 101).

Knibbs (1924) no se percató de esta cuestión.

Los analistas de negocios y del gobierno a menudo exigen también un desglose análogo de la variación del agregado de precios en componentes de sectores específicos que se pueden agregar.

El índice de cantidades de Fisher también tiene un desglose aditivo del tipo definido en la ecuación (16.30) atribuido a Van Ijzeren (1987, pág. 6). El i-ésimo precio de referencia pi* se define como pi* ≡ (1/2)pi0 + (1/2)pi1/PF(p0, p1, q0, q1) para i = 1,…, n, donde PF es el índice de precios de Fisher. Este desglose también fue desarrollado independientemente por Dikhanov (1997). El desglose de Van Ijzeren del índice de cantidades de Fisher se utiliza actualmente en la Oficina de Análisis Económico de Estados Unidos; véanse Moulton y Seskin (1999, pág. 16) y Ehemann, Katz y Moulton (2002).

Este desglose fue obtenido por Diewert (2002a) y Reinsdorf, Diewert y Ehemann (2002). Véase una interpretación económica del mismo en Diewert (2002a).

Para verificar la exactitud de este desglose, sustituyamos la ecuación (16.38) en la ecuación (16.40) y resolvamos la ecuación resultante para QF. Encontraremos que la solución es igual a QF, según se define en la ecuación (15.14) del capítulo 15.

Para referencias bibliográficas, véase Diewert (1993a, págs. 37–38; 1995a; 1995b).

“Al calcular nuestros promedios, las fluctuaciones independientes se cancelarán más o menos entre sí; la única variación requerida, la del oro, permanecerá inalterada” (W. Stanley Jevons, 1863, pág. 26).

De hecho, Fisher (1922, pág. 66) señaló que PC(p0, p1)PC(p1, p0) ≥ 1 salvo que el vector de precios del período 1, p1, sea proporcional al vector de precios del período 0, p0; es decir, Fisher demostró que el índice de Carli tiene un sesgo al alza definido, por lo que recomendó a las oficinas de estadística no utilizar esta fórmula. Walsh (1901, págs. 331 y 530) también obtuvo este resultado para el caso en que n = 2.

Greenlees (1999) señaló que aunque 1nΣi=1nIn(pi1pi0) es un estimador insesgado de β, el exponencial correspondiente de este estimador, PJ definido por la ecuación (16.47), no suele ser un estimador insesgado de α conforme a nuestros supuestos estocásticos. Para comprobarlo, sea xi = ln (pi1/pi0). Si tomamos esperanza, tenemos: Exi = β = ln α. Definamos la función positiva y convexa f de una variable x como f(x) ≡ ex. En virtud de la desigualdad de Jensen (1906), Ef(x) ≥ f(Ex). Si se toma x igual a la variable aleatoria xi, esta desigualdad se transforma en E(pi1/pi0) = Ef(xi) ≥ f(Exi) = f(β) = eβ = eln α = α. Así, para cada n, E(pi1/pi0) ≥ α, y se ve que el índice de precios de Jevons, por lo general, tendrá un sesgo al alza de acuerdo con los supuestos estocásticos habituales.

Walsh (1901, pág. 83) también enfatizó la importancia de la ponderación adecuada conforme a la importancia económica de los productos en los períodos comparados: “Pero no llevaría demasiado trabajo asignar ponderaciones desparejas con aproximación a los tamaños relativos, para una serie prolongada de años o para cada período por separado; hasta, un procedimiento aproximado de este tipo brindaría resultados muy superiores a los que brinda la ponderación equitativa. Es particularmente absurdo abstenerse de utilizar estimaciones aproximadas de ponderaciones desiguales argumentando que no son exactas, y utilizar en su lugar una ponderación equitativa, que resulta mucho más imprecisa”.

Véase un análisis más extenso sobre este tema en la sección B del capítulo 15.

Walsh (1901, págs. 82–90; 1921a, págs. 82–83) también objetó la falta de ponderación en el enfoque estocástico no ponderado de la teoría de los números índice.

En el capítulo 19, este índice se llama índice geométrico de Laspeyres, PGL. Vartia (1978, pág. 272) se refirió a este como el índice logarítmico de Laspeyres. También se le ha llamado índice geométrico ponderado por el período base.

En el capítulo 19, este índice se llama índice geométrico de Paasche, PGP. Vartia (1978, pág. 272) se refirió a este como el índice logarítmico de Paasche. Otro nombre que se le dio es índice geométrico ponderado por el período corriente.

“El número índice de precios definido en (1.8) y (1.9) utiliza como ingredientes básicos las n diferencias logarítmicas de los precios individuales. Se combinan linealmente mediante un procedimiento de selección aleatoria en dos etapas: en la primera, se da a cada región la misma probabilidad (½) de ser seleccionada y, en la segunda, se da la misma probabilidad de ser seleccionado a cada dólar que se gasta en la región elegida (1/ma o 1/mb)” (Henri Theil, 1967, pág. 138).

El problema del sesgo de la muestra estudiado por Greenlees (1999) no tiene lugar en el presente contexto, pues la ecuación (16.50) no involucra muestreo alguno: la suma de pitqit con respecto a i para cada período t se supone igual al agregado de valor Vt del período t.

Es la fórmula número 9 de la lista de fórmulas de números índice de Fisher (1922, pág. 466).

Véase una demostración de esta afirmación en Balk y Diewert (2001).

De hecho, este índice sufre el mismo sesgo al alza que el índice de Carli porque Pu(p0, p1, q0, q1)Pu(p1, p0, q1, q0) ≥ 1. Para demostrarlo, observemos que la desigualdad anterior es equivalente a [Pu(p1, p0, q1, q0)]–1Pu(p0, p1, q0, q1), y surge del hecho de que la media armónica ponderada de n números positivos es igual o menor a su correspondiente media aritmética ponderada; véase Hardy, Littlewood y Pólya (1934, pág. 26).

Fisher también adoptó este punto de vista al describir su enfoque de la teoría de los números índice: “Un número índice de los precios de una cantidad de productos es una media de los relativos de sus precios. Para que esta definición tenga sentido práctico, debe expresarse en términos de precios. Pero, de manera análoga, puede calcularse un número índice para salarios, para cantidades de bienes importados o exportados y, de hecho, para cualquier materia que suponga variaciones divergentes de un grupo de magnitudes. Nuevamente, esta definición se expresó en términos de tiempo. Pero un número índice puede aplicarse igualmente bien a las comparaciones entre dos lugares o, de hecho, a las comparaciones entre las magnitudes de un grupo de elementos en un conjunto de circunstancias y sus magnitudes en otro conjunto de circunstancias” (Irving Fisher, 1922, pág. 3). Al establecer su enfoque axiomático, Fisher impuso axiomas sobre los índices de precios y de cantidades formulados en términos de funciones de los dos vectores de precios, p0 y p1, y los dos vectores de cantidades, q0 y q1; es decir, no expresó su índice de precios como P(r, v0, v1) ni impuso axiomas sobre índices de este tipo. A la larga, desde luego, su índice ideal resultó ser la media geométrica de los índices de precios de Laspeyres y de Paasche y, como vimos en el capítulo 15, cada uno de estos índices puede formularse como una media ponderada por las participaciones en el ingreso de los n relativos de precios, ripi1/pi0.

El capítulo 3 de Vartia (1976a) considera una variante de este enfoque axiomático.

Conforme a este enfoque, el índice de precios que se corresponde con el mejor índice de cantidades, definido como P*(p0,p1,v0,vi)Σi=1nlnvi1/[Σi=1nlnvi0Q(q0,q1,v0,vi)] no será igual al mejor índice de precios, P(p0, p1, q0, q1). Por lo tanto, el enfoque axiomático utilizado en la sección E genera los mejores índices de precios y de cantidades por separado, y su producto no es en general igual al cociente de valores. Esto representa una desventaja del segundo enfoque axiomático de los índices bilaterales en comparación con el primer enfoque, estudiado en la sección C.

El índice de Walsh puede obtenerse utilizando los mismos argumentos de Theil, con la salvedad de que la media geométrica de las participaciones en el ingreso (si0si1)1/2 se podría tomar como una ponderación preliminar de probabilidad para el logaritmo del i-ésimo relativo de precios, ln ri. Estas ponderaciones preliminares se normalizan dividiéndolas por su suma a efectos de que sumen 1. Es evidente que el índice de precios geométrico de Walsh se aproximará mucho al índice de Theil si se utilizan datos de una serie temporal normal. En términos más formales, considerando ambos índices como funciones de p0, p1, v0, v1, se puede demostrar que PW(p0, p1, v0, v1) y PT(p0, p1, v0, v1) son aproximaciones entre sí de segundo orden en torno a cualquier punto en el que los precios sean iguales (es decir, p0 = p1) y las cantidades también (es decir, q0 = q1).

En los estudios de economía, los axiomas de este tipo se conocen como axiomas de separabilidad.

Más precisamente, como se requiere que todos los precios y valores sean positivos, el miembro izquierdo de la ecuación (16.70) se debería sustituir por el límite cuando los valores del producto 1, v10y v11, tienden a 0.

El índice de precios de Törnqvist-Theil satisface las 17 propiedades, pero la demostración del apéndice 16.1 no utiliza todas estas propiedades para establecer el resultado en la dirección contraria: no hace falta que se cumplan las propiedades P5, P13, P15 y ya sea P10 o P12 para demostrar que un índice que cumple las propiedades restantes debe ser un índice de precios de Törnqvist-Theil. Véanse otras caracterizaciones del índice de precios de Törnqvist-Theil en Balk y Diewert (2001) y Hillinger (2002).

Para resolver este conflicto, Hillinger (2002) sugirió calcular la media geométrica de los índices de precios directos e implícitos de Törnqvist-Theil. Desgraciadamente, el índice resultante no es el mejor para ninguno de los dos conjuntos de axiomas consignados en esta sección.

Walsh consideró solo los casos en que m era la media aritmética, geométrica y armónica de r1 y r2.

“La tendencia de estas soluciones aritmética y armónica a derrumbarse totalmente o a volar por los aires debido a estas demandas excesivas constituye una clara indicación de su falsedad” (Correa Moylan Walsh, 1901, pág. 231).

Es decir, el índice puede aproximarse a cero o a más infinito.

Baldwin (1990, pág. 255) desarrolló algunas de las propiedades axiomáticas del índice de Lowe.

Esta fórmula de número índice es también, precisamente, la fórmula de número índice Tipo A de Bean y Stine (1924, pág. 31). Walsh (1901, pág. 539) inicialmente atribuyó por error la fórmula de Lowe a G. Poulett Scrope (1833), quien escribió Principles of Political Economy en 1833, donde sugirió la fórmula de Lowe sin reconocer la autoría de este último. Pero en su análisis del trabajo de Fisher (1921), Walsh (1921b, págs. 543–44) rectificó su error al adjudicar la fórmula a Lowe: “Entonces ¿cuál es el número índice que debería utilizarse? Debería ser: α q p1/ αq p0. Este fue el método utilizado por Lowe hace casi cien años. En mi libro [de 1901], lo llamé número índice de Scrope, pero debería llamarse de Lowe. Obsérvese que en él se utilizan cantidades que no corresponden al año base ni al siguiente. Las cantidades utilizadas deberían ser estimaciones aproximadas de las cantidades de todo el período estudiado”.

Al aplicar esta propiedad a los índices de Lowe y de Young, se supone que el vector de cantidades del año base qb y el vector de participaciones del año base sb están sujetos a idéntica permutación.

Cabe recordar, como se vio en el capítulo 15, que el principal problema del índice de Lowe surge si el vector de ponderaciones de cantidades qb no es representativo de las cantidades compradas durante el intervalo que transcurre entre los períodos 0 y 1.

Más explícitamente, β1(s10, s11) ≡ α1(s10,1,…,1; s11,1,…,1), y así sucesivamente. Es decir, al definir β1(s10, s11), la función α1(s10,1,…,1; s11,1,…,1) se utiliza cuando todos los componentes de los vectores s0 y s1, excepto el primero, se fijan iguales a un número positivo arbitrario como uno.

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