Chapter

15. Teoría básica de los números índice

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
September 2009
Share
  • ShareShare
Show Summary Details

A. Introducción

La respuesta a la pregunta “¿cuál es la media de un conjunto dado de magnitudes?” no puede contestarse sin conocer para qué se requiere dicho valor. Hay tantos promedios como finalidades y casi podríamos decir, en materia de precios, tantas finalidades como autores. Ello explica tanta controversia estéril entre personas que están, literalmente, hablando de cosas distintas (F.Y. Edgeworth, 1888, pág. 347).

15.1 Los consumidores pueden comprar millones de bienes físicamente distintos y millones de tipos exclusivos de servicios. Las empresas, o el sector productivo comercian aún más productos. La razón es que las empresas no solo producen bienes para consumo final sino también para exportación y bienes intermedios que requieren otros productores. Las empresas en su conjunto también utilizan millones de bienes y servicios importados, miles de clases distintas de servicios laborales y centenares de miles de tipos específicos de bienes de capital. Si además distinguimos los productos físicos por su ubicación geográfica o por la temporada o la hora del día en que se producen o consumen, resulta que en cualquier economía avanzada se comercializan miles de millones de productos en el curso de cada año. Para numerosos fines es necesario resumir esta gran cantidad de información sobre precios y servicios en un conjunto mucho menor de cifras. Este capítulo aborda la siguiente pregunta: ¿cómo agregar la información microeconó-mica de millones de precios y cantidades para obtener un número más reducido de variables de precio y cantidad? Es ese el problema básico de los números índice.

15.2 Es posible plantear el problema de los números índice dentro del contexto de la teoría microeconómica; es decir, dado que deseamos implementar un modelo económico basado en la teoría de la producción o del consumo, ¿cuál es el “mejor” método para construir un conjunto de agregados para el modelo? Sin embargo, al construir agregados de precios o cantidades, es posible adoptar otras perspectivas (que no se basan en la teoría económica). En este capítulo y en el siguiente se analizan algunos de esos otros puntos de vista, mientras que los enfoques económicos se tratan en los capítulos 17 y 18.

15.3 El problema de los números índice puede encuadrarse como el problema de desglosar el valor de un conjunto de transacciones bien definido correspondiente a un período de tiempo a fin de obtener un precio agregado multiplicado por un término de cantidades agregadas. No obstante, este enfoque de los números índice no conduce a una solución que sea de utilidad. Por lo tanto, en la sección B se considera el problema del desglose de un cociente de valores correspondiente a dos períodos en un componente que mide la variación global de los precios entre esos dos períodos (el índice de precios) multiplicado por un término que mide la variación general de las cantidades entre los dos períodos (el índice de cantidades). El índice de precios más simple es el índice de canasta fija, en el que se eligen cantidades fijas de las n cantidades del agregado de valor, y luego se calcula esta canasta fija de cantidades a los precios de los períodos 0 y 1. El índice de precios de canasta fija no es más que el cociente de estos dos valores, en el cual los precios varían pero las cantidades se mantienen constantes. Dos elecciones naturales para la canasta fija son las cantidades comerciadas en el período base (el período 0) o las cantidades comerciadas en el período corriente (el período 1). Estas dos elecciones conducen a los índices de precios de Laspeyres (1871) y de Paasche (1874), respectivamente.

15.4 Desafortunadamente, las mediciones de Paasche y de Laspeyres de la variación agregada de los precios pueden diferir entre sí, a veces en forma sustancial. Por lo tanto, en la sección C se considera calcular un promedio de estos dos índices para alcanzar una única medición de la variación de los precios. En la sección C.1 se tratará de demostrar que el mejor promedio que puede calcularse es la media geométrica, que es el índice de precios ideal de Irving Fisher (1922). En la sección C.2, en lugar de promediar las mediciones de la variación de precios de Paasche y de Laspeyres, se examina la opción de calcular el promedio de las dos canastas. Este enfoque de canasta fija para la teoría de los números índice es la base del índice de precios propuesto por Walsh (1901, 1921a). También, existen otros enfoques de canasta fija posibles. En lugar de elegir una canasta del período 0 o 1 (o un promedio de estas dos canastas), puede elegirse una canasta que corresponda a un período totalmente distinto, por ejemplo el período b. De hecho, es una práctica común de las oficinas de estadística elegir una canasta de transacciones correspondiente a un año entero (o incluso a dos años) en algún año anterior al período 0, el que usualmente es un mes. Los índices de este tipo, en los cuales el período de referencia de las ponderaciones difiere del período de referencia de los precios, fueron originalmente propuestos por Joseph Lowe (1823), y se estudian en la sección D. Estos índices también se evalúan desde la perspectiva axiomática en el capítulo 16 y desde la perspectiva económica en el capítulo 171.

15.5 En la sección E se describe otro enfoque para determinar la forma funcional o fórmula del índice de precios. Este enfoque, creado por el economista francés Divisia (1926), se basa en el supuesto de que se dispone de datos de precios y cantidades como funciones continuas en el tiempo. La teoría de diferenciación se utiliza para desglosar la tasa de cambio de un agregado de valor continuo en el tiempo en dos componentes que reflejan la variación agregada en los precios y las cantidades. Si bien el enfoque de Divisia ofrece algunas perspectivas interesantes2, no brinda suficiente orientación a las oficinas de estadística para la elección definitiva de la fórmula del número índice.

15.6 En la sección F, se examinan las ventajas y desventajas de utilizar un período de base fija en la comparación bilateral de números índice, con respecto al método de comparar siempre el período corriente con el anterior, que recibe la denominación de sistema en cadena. En el sistema en cadena, un eslabón es la comparación de un período con el anterior por medio de un número índice. Estos eslabones se multiplican a efectos de realizar comparaciones que abarquen varios períodos.

B. Desglose de agregados de valor en sus componentes de precio y cantidad

B.1 Desglose de agregados de valor y la propiedad del producto

15.7 Un índice de precios es una medida o función que resume la variación en los precios de muchos productos entre una situación 0 (un determinado período o lugar) y otra situación 1. Más específicamente, para la mayoría de los fines prácticos, un índice de precios puede considerarse como una media ponderada de la variación en los precios relativos de los productos abarcados en las dos situaciones. Para determinar un índice de precios, es necesario saber:

  • i) Qué productos o artículos incluir en el índice.

  • ii) Cómo determinar los precios de los artículos.

  • iii) Cuáles de las transacciones en que participan estos artículos deben incluirse en el índice.

  • iv) Cómo determinar las ponderaciones y de qué fuentes obtenerlas.

  • v) Qué fórmula o media se utilizará para promediar los precios relativos de los artículos seleccionados.

Todas esas cuestiones referidas a la definición del índice de precios, con excepción de la última, se responden recurriendo a la definición del agregado de valor al que se refiere el índice de precios. Un agregado de valor V para un conjunto dado de artículos y transacciones se calcula de la siguiente manera:

donde, pi representa el precio del i-ésimo artículo en unidades de moneda nacional, qi representa la cantidad comerciada en el período que se considera y el subíndice i identifica el i-ésimo artículo elemental en el grupo de n artículos que componen el agregado de valor seleccionado V. En esta definición de agregado de valor están especificados el grupo de productos incluidos (qué artículos incluir) y los agentes económicos que intervienen en las transacciones de esos productos (qué transacciones incluir), y los principios de valoración y momento de registro que motivan el comportamiento de los agentes económicos que llevan a cabo las transacciones (determinación de los precios). Los artículos elementales que se incluyen, su valoración (pi), la elegibilidad de las transacciones y las ponderaciones de los artículos (qi) quedan dentro del dominio de la definición del agregado de valor. La manera de determinar pi y qi con precisión se analizó en mayor detalle en el capítulo 5, entre otros3.

15.8 El agregado de valor V definido por la ecuación (15.1) se refería a cierto conjunto de transacciones perteneciente a un único período de tiempo (que no se especifica). Ahora, consideremos el mismo agregado de valor para dos lugares o períodos, 0 y 1. Por claridad, se llamará período base al período 0 y período corriente al período 1. Supongamos que se recopilaron las observaciones de los vectores de precio y de cantidad del período base, p0[p10,,pn0]yq0[q10,,qn0], respectivamente4. Los agregados de valor en los dos períodos se definen naturalmente de la siguiente manera:

15.9 En el párrafo anterior, se definieron los índices de precios como funciones o medidas que resumen la variación en los precios de los n productos en el agregado de valor entre la situación 0 y la situación 1. En este párrafo se definen un índice de precios P(p0, p1, q0, q1) y el índice de cantidades (o índice de volumen) Q(p0, p1, q0, q1) correspondiente como dos funciones de las 4n variables p0, p1, q0, q1 (las variables describen los precios y cantidades que corresponden al agregado de valor de los períodos 0 y 1), donde estas dos funciones satisfacen la siguiente ecuación5:

Si hay solo un artículo en el agregado de valor, el índice de precios P debería reducirse al cociente de precios individual p11/p10, mientras que el índice de cantidades Q debería reducirse al cociente de cantidades individual q11/q10. En caso de que haya numerosos artículos, el índice de precios P se interpreta como una suerte de promedio ponderado de los cocientes de precios individuales, p11/p10, …, pn1/pn0.

15.10 Así, el primer enfoque de la teoría de los números índice puede definirse como el problema de desglosar el cambio en un agregado de valor, V1/V0, en el producto de dos componentes, uno que se debe a la variación de precios, P (p0, p1, q0, q1), y otro que se debe a la variación de cantidades, Q (p0, p1, q0, q1). Este enfoque a la determinación del índice de precios es el utilizado en las cuentas nacionales, donde, a fin de obtener una estimación de la variación de cantidades, se utiliza un índice de precios para deflactar un cociente de valores. Por ello, según este enfoque de la teoría de los números índice, la principal finalidad del índice de precios es servir como deflactor. Cabe observar que, una vez conocida la forma funcional del índice de precios P (p0, p1, q0, q1), el índice correspondiente de cantidades Q (p0, p1, q0, q1) está completamente determinado por P ; es decir, volviendo a ordenar la ecuación (15.3) puede obtenerse:

Recíprocamente, si se conoce la forma funcional del índice de cantidades Q (p0, p1, q0, q1), el índice de precios correspondiente, P (p0, p1, q0, q1), queda completamente determinado por Q. Así, aplicando este enfoque de deflación a la teoría de los números índice, no se requieren teorías independientes para determinar los índices de precios y de cantidades: si se determina uno de los dos, P o Q, la otra función queda implícitamente determinada por la ecuación de la propiedad del producto (15.4).

15.11 En la siguiente sección se analizan dos opciones concretas para el índice de precios P (p0, p1, q0, q1), y también se calculan los índices de cantidades correspondientes Q (p0, p1, q0, q1) que surgen del uso de la ecuación (15.4). Estas son las dos opciones más utilizadas por quienes llevan la contabilidad de las cuentas nacionales.

B.2 Índices de Paasche y de Laspeyres

15.12 Uno de los enfoques más sencillos para determinar la fórmula del índice de precios fue descrito en detalle por Joseph Lowe (1823). Su enfoque para medir la variación de precios entre los períodos 0 y 1 consistía en especificar una canasta de productos representativa aproximada6, que es un vector de cantidades q ≡ [q1,…, qn], representativo de las compras realizadas durante los dos períodos bajo análisis, y luego calcular el nivel relativo de precios del período 1 respecto del período 0 como el cociente entre el costo de la canasta en el período 1, Σi=1npi1qi, y el costo de la canasta período 0, Σi=1npi0qi. Este enfoque canasta fija para determinar el índice de precios plantea el siguiente interrogante: ¿Cuál es la manera exacta de seleccionar el vector de canasta fija q?

15.13 Con el paso del tiempo, los economistas y los expertos en estadísticas de precios fueron exigiendo más precisión en la especificación del vector de la canasta q. Hay dos opciones naturales para la canasta de referencia: el vector de producto del período base 0, q0, y el vector de producto del período corriente 1, q1. Estas dos opciones llevan al índice de precios de Laspeyres (1871)7, PL, definido mediante la ecuación (15.5), y al índice de precios de Paasche (1874)8, PP, definido mediante la ecuación (15.6)9:

15.14 Estas fórmulas pueden replantearse de una manera más útil para las oficinas de estadística. Definamos la participación del producto i en el ingreso del período t de la siguiente manera:

y t = 0,1.

En ese caso, el índice de Laspeyres, de la ecuación (15.5), puede reformularse10:

utilizando las definiciones de la ecuación (15.7).

Por consiguiente, el índice de precios de Laspeyres, PL, puede expresarse como una media aritmética de los n cocientes de precios, p01/pi0, ponderada de acuerdo con la participación en el ingreso en el período base. La fórmula de Laspeyres (hasta hace muy poco tiempo) se utilizaba habitualmente en todo el mundo como fundamento intelectual de los IPP. Para ponerla en práctica, la oficina de estadística solo tiene que recopilar información de las participaciones en el ingreso, sn0, para el dominio de definición del índice en el período base 0, y luego puede limitarse a recopilar periódicamente información solo sobre los precios de los artículos. De ese modo, el IPP de Laspeyres puede elaborarse en forma periódica sin necesidad de contar con información de las cantidades del período corriente.

15.15 El índice de Paasche también puede expresarse en términos de participación en el ingreso y cociente de precios, de la siguiente manera11:

utilizando las definiciones de la ecuación (15.7).

Por consiguiente, el índice de precios de Paasche, PP, puede expresarse como un promedio armónico de los cocientes de precios de los n artículos, pi1/pi0, ponderado según la participación en el ingreso en el período 1 (o período corriente)12. La falta de información sobre las cantidades del período corriente impide que las oficinas de estadística elaboren índices de Paasche sin retrasos.

15.16 El índice de cantidades que corresponde al índice de precios de Laspeyres de acuerdo con la propiedad del producto, la ecuación (15.3), es el índice de cantidades de Paasche; es decir, si en la ecuación (15.4)P se reemplaza por PL según está definido en la ecuación (15.5), se obtiene el siguiente índice de cantidades:

Cabe notar que QP es el valor del vector de cantidades del período 1 valorado a los precios del período 1, Σi=1npi1qi1 , y, dividido por el valor (hipotético) del vector de cantidades del período 0 valorado a los precios del período 1, Σi=1npi1qi0. Así, los vectores de cantidades del período 0 y 1 se valoran utilizando el mismo conjunto de precios, el del período corriente, p1.

15.17 El índice de cantidades que corresponde al índice de precios de Paasche utilizando la propiedad del producto, la ecuación (15.3), es el índice de cantidades de Laspeyres; es decir, si en la ecuación (15.4)P se reemplaza por PP según se define en la ecuación (15.6), se obtiene el siguiente índice de cantidades:

Cabe notar que QL es el valor (hipotético) del vector de cantidades del período 1 valorado a los precios del período 0, Σi=1npi0qi1, dividido por el valor del vector de cantidades del período 0 valorado a los precios del período 0, Σi=1npi0qi0. Así los vectores de cantidades de los períodos 0 y 1 se valoran utilizando el mismo conjunto de precios, el del período base, p0.

15.18 El problema con las fórmulas de los números índice de Laspeyres y de Paasche es que son igualmente viables, pero en general arrojan resultados distintos. En la mayoría de los casos, no resulta satisfactorio que la oficina de estadística brinde dos respuestas para la pregunta de cuál es el mejor indicador global que resume la variación de precios del agregado de valor entre dos períodos13 analizados. Por lo tanto, en la siguiente sección se analiza cómo construir los mejores promedios de estas estimaciones de variación de precios. Pero antes debemos preguntarnos cuál es la relación normal entre los índices de Paasche y de Laspeyres. En condiciones económicas normales, cuando los cocientes de precios correspondientes a las dos situaciones bajo análisis se correlacionan negativamente con los correspondientes cocientes de cantidades, puede mostrarse que el índice de precios de Laspeyres será mayor que el índice de Paasche correspondiente14. En el apéndice 15.1 se presenta una demostración rigurosa de este resultado15. Esta divergencia entre PL y PP indica que si se requiere una única estimación de la variación de precios entre los dos períodos, debería tomarse algún tipo de promedio equiponderado de los dos índices como estimación final de la variación de precios entre los períodos 0 y 1. Esta estrategia se analizará en la próxima sección. Sin embargo, es preciso tener en cuenta que, con frecuencia, las oficinas de estadística no tendrán información sobre ponderaciones de los ingresos corrientes, y, por ello, en caso de que se elaboren promedios de los índices de Paasche y de Laspeyres, será con cierto rezago (quizás a partir de información de las cuentas nacionales).

C. Promedios simétricos de los índices de precios de canasta fija

C.1 Índice de Fisher como promedio de los índices de Paasche y de Laspeyres

15.19 Como se mencionó en el párrafo anterior, debido a que los índices de Paasche y de Laspeyres son igualmente convincentes pero a menudo arrojan distintas estimaciones de la magnitud de la variación agregada de los precios entre los períodos 0 y 1, resulta útil pensar en calcular un promedio equiponderado de estos índices de precios de canasta fija como único estimador de la variación de precios entre ambos períodos. Ejemplos de dichos promedios simétricos16 son la media aritmética, que conduce al índice de Drobisch (1871b, pág. 425), Sidgwick (1883, pág. 68) y Bowley (1901, pág. 227)17, PDR ≡ (1/2)PL + (1/2)PP, y la media geométrica, que lleva al índice ideal de Irving Fisher18 (1922), PF, definido como:

A esta altura, el enfoque de la canasta fija de la teoría de los números índice se transforma en el enfoque de las propiedades de la teoría de los números índice; es decir que, para determinar cuál de estos índices de canasta fija o qué promedios de estos son mejores, se necesitan establecer criterios o propiedades deseables o convenientes para el índice de precios. Este tema se desarrollará con mayor profundidad en el próximo capítulo, pero aquí expondremos una introducción al enfoque de las propiedades porque para determinar el mejor promedio de los índices de Paasche y de Laspeyres se utiliza una propiedad.

15.20 ¿Qué promedio simétrico de PL y PP consitituye la mejor estimación puntual de un índice teórico del costo de vida? Conviene que la fórmula de un índice de precios que depende de los vectores de precios y cantidades correspondientes a los dos períodos bajo análisis cumpla con la propiedad de reversión temporal19. Una fórmula del número índice P (p0, p1, q0, q1) satisface la propiedad si:

es decir, si los datos sobre precios y cantidades de los períodos 0 y 1 se intercambian entre sí y se evalúa la fórmula del número índice, el nuevo índice P (p1, p0, q1, q0) es igual al recíproco del índice original P (p0, p1, q0, q1). Un cociente de precios único cumple esta propiedad, y es conveniente que también lo haga la medición de la variación agregada de los precios de manera que no importe cuál de los períodos se elija como base. Dicho de otro modo, la comparación de números índice entre dos puntos de tiempo cualesquiera no debería depender del período elegido como base: si se eligiera el otro período, el nuevo número índice simplemente debería ser igual al recíproco del índice original. Cabe tener en cuenta que los índices de precios de Laspeyres y de Paasche no cumplen la propiedad de reversión temporal.

15.21 Una vez que se tiene en claro qué significa que el índice de precios P cumpla la propiedad de reversión temporal, es posible establecer el siguiente resultado20: el índice de precios ideal de Fisher definido por la ecuación (15.12) es el único índice que es un promedio simétrico homogéneo21 de los índices de precios de Laspeyres y de Paasche, PL y PP, y que cumple la propiedad de reversión temporal en la ecuación (15.13). Así, el índice de precios ideal de Fisher surge posiblemente como el “mejor” promedio equiponderado de los índices de precios de Paasche y de Laspeyres.

15.22 Es interesante destacar que el enfoque simétrico de la canasta de la teoría de los números índice se remonta a uno de los pioneros de esta teoría, Arthur L. Bowley, como las siguientes citas lo demuestran:

No existen dificultades adicionales mientras [el índice de Paasche] y [el de Laspeyres] se hallen próximos entre sí; si difieren mucho pueden considerarse como los límites inferior y superior del número índice, que puede estimarse como su media aritmética […] como primera aproximación (Bowley [1901, pág. 227]).

Cuando se estima el factor que se necesita para corregir un cambio en los salarios monetarios y obtener el cambio en el salario real, los expertos en estadística no se contentan con implementar solo el Método II [calcular el índice de precios de Laspeyres], sino que al mismo tiempo trabajan en sentido inverso [calcular el índice de precios de Paasche] […] Después, calculan la media aritmética, geométrica o armónica de los dos números así obtenidos (Bowley [1919 pág. 348])22.

15.23 El índice de cantidades que corresponde al índice de precios de Fisher utilizando la propiedad del producto, la ecuación (15.3), es el índice de cantidades de Fisher; es decir, si P en la ecuación (15.4) se reemplaza por PF, definido por la ecuación (15.12), se obtiene el siguiente índice de cantidades:

Así, el índice de cantidades de Fisher es igual a la raíz cuadrada del producto de los índices de cantidades de Laspeyres y de Paasche. Cabe observar además que QF(p0, p1, q0, q1) = PF(q0, q1, p0, p1); es decir, que si se intercambia el papel de los precios y las cantidades en la fórmula del índice de precios de Fisher se obtiene el índice de cantidades de Fisher23.

15.24 En vez de calcular el promedio simétrico de los dos índices de precios de canasta fija básicos correspondientes a dos situaciones, PL y PP, también es posible regresar a la fórmula básica de Lowe y elegir un vector canasta q que sea un promedio simétrico de los vectores de la canasta del período base y el corriente, q0 y q1. En la siguiente sección se aplica este enfoque a la teoría de los números índice.

C.2 Índice de Walsh y teoría del índice de precios “puro”

15.25 Los expertos en estadísticas de precios suelen sentirse cómodos con el concepto de un índice de precios que se basa en la determinación de precios de una canasta de productos constante y representativa, q ≡ (q1, q2,…, qn), a los precios de los períodos 0 y 1, p0(p10/p20,,pn0)yp1(p11/p21,,pn1), respectivamente. Los expertos en estadística de precios se refieren a este tipo de índice como índice de canasta fija o índice de precios puro24 y corresponde al índice de precios inequívoco de Knibb (1924, pág. 43)25. Como Lowe (1823) fue el primero en describir de manera sistemática este tipo de índice, se lo conoce como índice de Lowe. Así, la forma funcional general del índice de precios de Lowe es:

donde las participaciones híbridas (hipotéticas)en el ingreso26 correspondientes al vector de ponderaciones de cantidades q se definen de este modo:

15.26 La razón principal por la cual los expertos en estadísticas de precios pueden preferir un integrante de la familia de los índices de precios de Lowe o índices de precios de canasta fija definidos por la ecuación (15.15) es que el concepto de canasta fija puede explicarse al público con facilidad. Los índices de Laspeyres y de Paasche son casos especiales del concepto de precio puro si elegimos q = q0 (que lleva al índice de Laspeyres) o si elegimos q = q1 (que lleva al índice de Paasche)27. El problema práctico de elegir q aún no está resuelto y se abordará en esta sección.

15.27 Cabe señalar que Walsh (1901, pág. 105; 1921a) también consideró el problema de los números índice de precios dentro del marco de referencia anterior:

Los productos deberán ponderarse según su importancia, o su valor completo. Pero el problema de la axiometría siempre involucra al menos dos períodos. Hay un primer período y un segundo período con el cual este se compara. Entre ellos ocurren variaciones de precios que deben promediarse para obtener la magnitud total de la variación. Pero es probable que las ponderaciones de los productos en el segundo período sean distintas de sus ponderaciones en el primer período. Entonces, ¿cuáles son las ponderaciones correctas: las del primer período o las del segundo? ¿O deberían combinarse los dos conjuntos de ponderaciones? No hay razón para preferir el primero o el segundo. Luego, una combinación de ambos parecería ser la respuesta adecuada. Y esta combinación en sí misma consiste en promediar las ponderaciones de ambos períodos (Correa Moylan Walsh, 1921a, pág. 90).

Si seguimos la sugerencia de Walsh, la ponderación de la cantidad i-ésima, qi, será un promedio o una media de la cantidad del período base qi0 y la cantidad del período corriente del producto i, qi1, llamémoslo, m(qi0,qi1)m(q0i,qi1), para i = 1,2,…, n28. De acuerdo con este supuesto, el índice de precios de Lowe de la ecuación (15.15) pasa a ser:

15.28 Para determinar la forma funcional de la función media m, es necesario imponer algunas propiedades o axiomas al índice de precios puro definido por la ecuación (15.17). Al igual que en la sección C.1, buscamos que PLo satisfaga la propiedad de reversión temporal de la ecuación (15.13). En virtud de esta hipótesis, resulta evidente que la función media m debería ser una media simétrica29, es decir, m debe satisfacer la siguiente propiedad: m(a, b) = m(b, a) para todo a > 0 y b > 0. Este supuesto todavía no determina la forma funcional del índice de precios puro definida por la ecuación (15.17). Por ejemplo, la función m (a, b) podría ser una media aritmética, (1/2)a + (1/2)b en cuyo caso la ecuación (15.17) se reduce al índice de precios deMarshall (1887)Edgeworth (1925)PME, que era el índice de precios puro que prefería Knibbs (1924, pág. 56):

15.29 Por otro lado, la función m (a, b) podría ser la media geométrica, (ab)½; en tal caso, la ecuación (15.17) se reduce al índice de precios deWalsh (1901, pág. 398; 1921a, pág. 97), PW30:

15.30 Hay muchas otras posibilidades para la función media m, incluyendo la media de orden r, [(1/2)ar + (1/2)br]1/r para r ≠ 0. A los efectos de deter-minar completamente la forma funcional del índice de precios puro PLo, es necesario imponerle al menos una propiedad o axioma más a PLo(p0, p1, q0, q1).

15.31 Existe un problema potencial con el uso del índice de precios de Marshall-Edgeworth, ecuación (15.18), que se advirtió al utilizar la fórmula para efectuar comparaciones internacionales de precios. Si los niveles de precios de un país muy grande se comparan con los de uno pequeño, mediante la ecuación (15.18), el vector de cantidades del país mayor puede opacar totalmente la influencia del vector de cantidades correspondiente al país pequeño31. En términos técnicos, la fórmula de Marshall-Edgeworth no es homo-génea de grado 0 en los componentes de q0 y q1. Para evitar este problema al utilizar el índice de precios puro PK(p0, p1, q0, q1) definido por la ecuación (15.17), es necesario que PLo cumpla con la siguiente propiedad de invariancia ante cambios proporcionales en las cantidades corrientes32:

para todo p0, p1, q0, q1) y todo λ > 0.

Las dos propiedades, la de reversión temporal expuesta en la ecuación (15.13) y la de invariancia en la ecuación (15.20), permiten determinar la forma funcional precisa para el índice de precios puro PLo definido por la ecuación (15.17): el índice de precios puro PK debe ser el índice de Walsh PW definido por la ecuación (15.19)33.

15.32 Para que una fórmula de número índice sea de utilidad práctica para las oficinas de estadística, debe poder expresarse como una función de las participaciones en el ingreso del período base, si0; las participaciones en el ingreso del período corriente, si1, y los n cocientes de precios, pi1/pi0. El índice de precios de Walsh definido por la ecuación (15.19) puede reformularse así:

C.3 Conclusiones

15.33 El enfoque de la teoría de los números índice adoptado aquí consistió en considerar promedios de diversos índices de precios de canasta fija. El primer enfoque consistió en tomar un promedio simple de los dos índices de canasta fija principales: el índice de precios de Laspeyres y el de Paasche. Estos dos índices primarios se conforman determinando los precios de las canastas correspondientes a los dos períodos (o lugares) que se consideran. Calcular un promedio de ambos dio como resultado el índice de precios ideal de Fisher, PF, definido por la ecuación (15.12). El segundo enfoque consistió en promediar las ponderaciones de las cantidades de la canasta y luego registrar los precios de esta canasta promedio a los precios correspondientes a las dos situaciones bajo estudio. El resultado fue el índice de precios de Walsh, PW, definido por la ecuación (15.19). Ambos índices pueden formularse como una función de las participaciones en el ingreso del período base, si0; las participaciones en el ingreso durante el período corriente, si1, y los n cocientes de precios, pi1/pi0. Suponiendo que la oficina de estadística dispone de información sobre estos tres conjuntos de variables, ¿cuál de estos índices debería utilizarse? La experiencia con datos de series de tiempo normales indica que estos dos índices no difieren mucho entre sí, por lo que es indistinto cuál de ellos se utiliza en la práctica34. Ambos son ejemplos de índices superlativos, los cuales se definen en el capítulo 17. Cabe observar, sin embargo, que ambos índices tratan los datos correspondientes a las dos situaciones de manera simétrica. Hill reflexionó sobre los índices de precios superlativos y la importancia del tratamiento simétrico de los datos, en los siguientes términos:

Así la teoría económica indica que, en general, es preferible un índice simétrico que asigna la misma ponderación a ambas situaciones que cualquiera de los índices de Laspeyres o de Paasche. La elección precisa del índice superlativo—sea el de Fisher, el de Törnqvist o cualquier otro índice superlativo—reviste una importancia secundaria dado que es probable que todos los índices simétricos y el índice teórico subyacente se encuentren lo suficientemente próximos, al menos cuando la diferencia entre los números índice de Laspeyres y de Paasche no sea muy grande (Meter Hill, 1993, pág. 384)35.

D. Ponderaciones anuales e índices de precios mensuales

D.1 Índice de Lowe con precios mensuales y cantidades anuales del año base

15.34 Ahora es necesario abordar un problema práctico de gran envergadura en la teoría de los índices de canasta fija. Hasta ahora, se supuso que el vector de cantidades q ≡ (q1, q2,…, qn) que apareció en la definición del índice de Lowe, PLo(p0, p1, q), establecido por la ecuación (15.15), es el vector de cantidades del período base q0, el vector de cantidades del período corriente q1 o un promedio de ambos. De hecho, en términos prácticos, las oficinas de estadística por lo general consideran el vector de cantidades q como un vector de cantidades anual que se refiere a un año base b que, por ejemplo, está antes del período base de los precios, el 0. Por lo general, una oficina de estadística elabora un IPP mensual o trimestral, pero a fin de mantener la claridad, a continuación se supone una frecuencia mensual. Así, un índice de precios típico tendrá la forma PLo(p0, pt, qb), donde p0 es el vector de precios correspondiente al mes del período base para los precios, el mes 0; pt es el vector de precios que corresponde al mes del período corriente para los precios, el mes t, y qb es el vector de cantidades de una canasta de referencia que corresponde al año base b, que es igual al mes 0 o anterior a este36. Nótese que este índice de Lowe, PLo(p0, pt, qb), no es un índice de Laspeyres verdadero (porque en general el vector de cantidades anuales qb no es igual al vector de cantidades mensuales q0)37.

15.35 La pregunta es: ¿por qué no eligen las oficinas de estadística al vector de cantidades mensuales q0 que corresponde a las transacciones del mes 0 como el vector de cantidades de referencia q de la fórmula del índice de Lowe (de manera que el índice se reduzca a un índice de precios de Laspeyres común)? Existen dos razones principales:

  • La mayoría de las economías están sujetas a fluctuaciones estacionales, por lo cual elegir el vector de cantidades del mes 0 como vector de cantidades de referencia para todos los meses del año no resultaría representativo de las transacciones realizadas durante el año.

  • La oficina de estadística, por lo general, recopila las ponderaciones mensuales de ingresos y cantidades de los hogares utilizando una encuesta de establecimientos con una muestra relativamente pequeña. De ahí que las ponderaciones resultantes suelan estar sujetas a errores de muestreo de gran magnitud y que la práctica estándar sea calcular el promedio de estas ponderaciones de cantidades o ingresos mensuales a lo largo de todo el año (y, en algunos casos, a lo largo de varios años), a fin de reducir los errores de muestreo. En otras instancias, cuando se utiliza un censo de los establecimientos, las ponderaciones informadas de los ingresos corresponden a un período anual.

Los problemas de los números índice causados por las ponderaciones mensuales estacionales se analizarán en mayor detalle en el capítulo 22. Por ahora, puede argumentarse que la utilización de ponderaciones anuales en una fórmula de número índice mensual no es más que un método para tratar el problema de la estacionalidad38.

15.36 A esta altura debe llamarse la atención sobre un problema que surge en el contexto de un IPP mensual cuando se utilizan ponderaciones anuales correspondientes a un año quizás alejado en el tiempo. Si los precios de los productos manifiestan tendencias sistemáticas (pero divergentes) y los consumidores y las empresas aumentan las compras de productos cuyo precio disminuye (en términos relativos) y reducen las compras de productos cuyo precio aumenta (en términos relativos), la utilización de cantidades de un período distante como ponderaciones tenderá a sesgar al alza este índice de Lowe comparado con uno que utilice ponderaciones más actuales, como se demostrará a continuación. Por ello las oficinas de estadística deberían procurar obtener ponderaciones actualizadas en forma regular.

15.37 Es útil explicar cómo puede obtenerse el vector de cantidades anual qb a partir de los ingresos mensuales en cada producto durante el año base elegido, b. Sea vib, m el ingreso de la población de referencia en el mes m en el año base b para el producto i, y sean pib, m y qib, m el precio y la cantidad correspondientes, respectivamente. El valor, el precio y la cantidad de cada producto se relacionan entre sí según las siguientes ecuaciones:

Para cada producto i, el total anual, pib se puede obtener deflactando mediante los precios los valores mensuales y sumándolos para contemplar todos los meses del año base b de la siguiente manera:

donde se utiliza la ecuación (15.22) para obtener la ecuación (15.23). En la práctica, las ecuaciones precedentes se evaluarán utilizando los ingresos agregados para productos estrechamente relacionados, y el precio pib, m será el índice de precios para este grupo i de productos elementales correspondiente al mes m del año b relativo al primer mes de ese año.

15.38 Para algunos propósitos, también resulta útil contar con precios anuales por producto, correspondientes a las cantidades anuales definidas por la ecuación (15.23). Según convenciones contables de los sistemas de cuentas nacionales, un precio razonable39pib correspondiente a la cantidad anual qib es el valor del ingreso total del producto i en el año b, dividido por qib. Por consiguiente:

donde la participación en el ingreso anual del producto i en el mes m del año base es:

De ese modo, el precio anual del año base para el producto i, pib, resulta una media armónica ponderada por el ingreso de los precios mensuales del producto i en el año base, pib,1, pib,2, …, pib,12.

15.39 Utilizando los precios anuales de los productos en el año base definidos por la ecuación (15.24), se puede definir un vector pb ≡ [pib,…, pnb] de estos precios. En virtud de esta definición, el índice de Lowe se puede expresar como un cociente de dos índices de Laspeyres, donde el vector de precios pb desempeña el papel de los precios del período base en cada uno de los dos índices de Laspeyres:

donde la fórmula de Laspeyres PL ya fue definida por la ecuación (15.5). Así, la ecuación precedente muestra que el índice de precios mensual de Lowe que compara los precios del mes 0 con los del mes t utilizando las cantidades del año base b como ponderaciones, PLo(p0, pt, qb), es igual al índice de Laspeyres que compara los precios del mes t con los del año b, PL(pb, pt, qb), dividido por el índice de Laspeyres que compara los precios del mes 0 con los del año b, PL(pb, p0, qb). Cabe notar que el índice de Laspeyres que se halla en el numerador se puede calcular si se conocen las participaciones en el ingreso de los productos del año base, sib, y los cocientes de precios que comparan los precios del producto i en el mes t, pit, con los precios promedio anuales correspondientes en el año base b, pib. Asimismo si se conocen las participaciones del producto en el ingreso del año base, sib, y los cocientes de precios que comparan los precios del producto i en el mes 0, pi0, con los precios promedio anuales correspondientes en el año base b, pib, es posible calcular el índice de Laspeyres del denominador.

15.40 Otra fórmula conveniente para evaluar el índice de Lowe, PLo(p0, pt, qb), utiliza la fórmula de ponderaciones híbridas, presentada en la ecuación (15.15). En este contexto, la fórmula pasa a ser:

donde las ponderaciones híbridas si0b que utilizan los precios del mes 0 y las cantidades del año b están definidas por:

En la ecuación (15.28) se demuestra cómo los ingresos del año base, pibqib, pueden multiplicarse por los índices de precios de los productos, pi0/pib, para calcular las participaciones híbridas.

15.41 Se presentará otra fórmula para el índice de Lowe, PLo(p0, pt, qb). El desglose según Laspeyres del índice de Lowe que aparece en la tercera línea de la ecuación (15.26) comprende los relativos de precios a muy largo plazo, pit/pib, que comparan los precios en el mes t, pit, con los precios del año base, pib, posiblemente alejados en el tiempo. Además, el desglose según participaciones híbridas del índice de Lowe definido por la tercera línea de la ecuación (15.27) implica el uso de los relativos de precios mensuales a largo plazo, pit/pi0, que comparan los precios del mes t, pit, con los precios del mes base pi0. Ninguna de las dos fórmulas resulta satisfactoria en la práctica por el problema del desgaste de la muestra: mes a mes, una proporción sustancial de productos desaparece del mercado, y, por ello, es útil contar con una fórmula que actualice el índice de precios del mes anterior utilizando solo relativos de precios mes a mes. En otras palabras, los relativos de precios a largo plazo desaparecen a un ritmo que, en la práctica, es demasiado rápido para basar una fórmula de número índice en su utilización. El índice de Lowe para el mes t + 1, PLo(p0, pt+1, qb), puede escribirse en términos del índice de Lowe para el mes t, PLo(p0, pt, qb), y un factor de actualización, de la siguiente manera:

donde las ponderaciones híbridas si0b están definidas por:

Así, el factor de actualización requerido, que va del mes t al mes t + 1, es el índice en cadena, Σi=1nSitb(pit+1/pit) que utiliza las ponderaciones de participación híbridas sitb correspondientes al mes t y al año base b.

15.42 El índice de Lowe PLo(p0, pt, qb) puede considerarse como una aproximación al índice de Laspeyres ordinario, PL(p0, pt, q0), que compara los precios del mes base 0, p0, con los del mes t, pt, utilizando como ponderaciones al vector de cantidades del mes 0, q0. Existe una fórmula bastante sencilla que relaciona ambos índices. Antes de explicarla, es preciso enunciar algunas definiciones. Definamos el relativo del i-ésimo precio entre el mes 0 y t de la siguiente manera:

El índice de precios de Laspeyres ordinario, que va del mes 0 al mes t, puede definirse, en términos de estos relativos de precios, de la siguiente manera:

donde las participaciones en el ingreso del mes 0, si0, se definen como:

15.43 Definamos el i-ésimo relativo de cantidad ti como el cociente entre la cantidad del producto i utilizada en el año base b, qib, y la cantidad utilizada en el mes 0, qi0, de la siguiente manera:

El índice de cantidades de Laspeyres, QL(q0, qb, p0), que compara las cantidades del año b, qb, con las cantidades correspondientes del mes 0, q0, utilizando los precios del mes 0, p0, como ponderaciones puede definirse como un promedio ponderado de los cocientes de cantidades ti, de la siguiente manera:

15.44 Según la ecuación (A15.2.4) que figura en el apéndice 15.2, la relación entre el índice de Lowe, PLo(p0, pt, qb), que utiliza las cantidades del año b como ponderaciones para comparar los precios del mes t con los del mes 0 y el correspondiente índice de Laspeyres ordinario, PL(p0, pt, q0), que utiliza las cantidades del mes 0 como ponderaciones se define como:

Así el índice de precios de Lowe que utiliza las cantidades del año b como ponderaciones, PLo(p0, pt, qb), es igual al índice de Laspeyres ordinario que utiliza las cantidades del mes 0 como ponderaciones, PL(p0, pt, q0), más un término de covarianza, Σi=1n(rir*)(tit*)Si0 entre los relativos de precios, ripit/pi0; y los relativos de cantidad, tiqib/qi0, dividido por el índice de cantidades de Laspeyres, QL(q0, qb, p0), entre el mes 0 y el año base b.

15.45 En la ecuación (15.36) se muestra que el índice de precios de Lowe coincidirá con el índice de precios de Laspeyres si es nula la covarianza o correlación entre los relativos de precios del mes 0 al t, ripit/pi0 y los relativos de cantidades del mes 0 al año b, tiqib/qi0. Cabe señalar que esta covarianza será nula en tres conjuntos distintos de condiciones:

  • Si los precios del mes t son proporcionales a los del mes 0 de manera que todo ri = r*.

  • Si las cantidades del año base b son proporcionales a las cantidades del mes 0 de manera que todo ti = t*.

  • Si la distribución de los precios relativos ri es independiente de la distribución de las cantidades relativas ti.

Es poco probable que las primeras dos condiciones se verifiquen empíricamente, pero la tercera sí es posible, al menos de manera aproximada, si los compradores no modifican en forma sistemática sus hábitos de compra en respuesta a cambios en los precios relativos.

15.46 Si la covarianza de la ecuación (15.36) es negativa, el índice de Lowe será menor que el índice de Laspeyres, y, por último, si la covarianza es positiva, el índice de Lowe será superior al índice de Laspeyres. Si bien en última instancia el signo y la magnitud del término de covarianza son cuestiones empíricas, pueden hacerse algunas conjeturas razonables en torno al signo probable de esta. Si el año base b precede al mes de referencia de los precios 0 y los precios presentan tendencias a largo plazo, es probable que la covarianza sea positiva, con lo cual el índice de Lowe será mayor que el índice de precios de Laspeyres correspondiente40; es decir:

Para ver por qué es probable que la covarianza sea positiva, supongamos que existe una tendencia alcista a largo plazo en el precio del producto i, de modo que rir* ≡ (pit/pi0) – r* sea positivo. Con respuestas de sustitución normales41, es probable que qit/qi0 menos un cambio de cantidad promedio de este tipo (t*) sea negativo, o bien, tomando los recíprocos, es probable que qi0/qit menos un promedio de los cambios de este tipo (recíproco) en las cantidades sea positivo. Pero si persiste la tendencia alcista a largo plazo en los precios hasta el año base b, es también probable que tit* ≡ (qib/qi0) – t* sea positivo. Por consiguiente, en estas circunstancias la covarianza será positiva. Además, cuanto mayor sea la distancia entre el año de referencia de las ponderaciones b y el mes de referencia de los precios 0, mayores tenderán a ser los residuos tit* y mayor será la covarianza positiva. De manera similar, cuanto más alejados estén el mes del período corriente t y el mes del período base 0, mayores tenderán a ser los residuos rir * y mayor será la covarianza positiva. Por lo tanto, suponiendo que existen tendencias a largo plazo en los precios y respuestas normales de sustitución, el índice de Lowe normalmente será mayor que el correspondiente índice de Laspeyres.

15.47 Definamos el índice de Paasche entre el mes 0 y el mes t de la siguiente manera:

Como se analizó en la sección C.1, un índice objetivo razonable para medir la variación de precios entre el mes 0 y el mes t es una suerte de promedio simétrico del índice de Paasche PP(p0, pt, qt), definido por la ecuación (15.38), y el índice de Laspeyres correspondiente PL(p0, pt, q0), definido por la ecuación (15.32). Adaptando la ecuación (A15.1.5) del apéndice 15.1, la relación entre los índices de Paasche y de Laspeyres puede formularse de la siguiente manera:

donde los relativos de precios ripit/pi0 se definen en (15.31) y su promedio ponderado por las participaciones r* en la ecuación (15.32); ui, u* y QL se definen de la siguiente manera:

y las participaciones en el ingreso del mes 0, si0, están definidas por la ecuación (15.33). Así, u* es igual al índice de cantidades de Laspeyres entre los meses 0 y t. Ello significa que el índice de precios de Paasche que utiliza como ponderaciones las cantidades del mes t, PP(p0, pt, qt), es igual al índice de Laspeyres ordinario que usa las cantidades del mes 0 como ponderaciones, PL(p0, pt, q0), más un término de covarianza,Σi=1n(rir*)(uiu*)Si0, entre los relativos de precios ripit/pi0 y los relativos de cantidades uiqit/qi0, dividido por el índice de cantidades de Laspeyres QL(q0, qt, p0) entre el mes 0 y el mes t.

15.48 Si bien nuevamente el signo y la magnitud del término de covarianza son cuestiones empíricas, es posible conjeturar con cierta certeza sobre cuál será el signo. Si existen tendencias a largo plazo en los precios y, a la hora de comprar, los compradores responden de manera normal a las variaciones de precios, es probable que esta covarianza sea negativa, con lo cual el índice de Paasche será menor al índice de Laspeyres correspondiente; es decir:

Para ver por qué es probable que esta covarianza sea negativa, supongamos que existe una tendencia a largo plazo al alza en el precio del producto i42 de manera que rir* ≡ (pit/pi0) – r* sea positivo. Con respuestas normales de sustitución, es probable que qit/qi0 menos un cambio de cantidad promedio de este tipo (u*) sea negativo. Por ello es probable que, uiu* ≡ (qit/qi0) – u* sea negativo. De ese modo, en estas circunstancias la covarianza será negativa. Además, cuanto mayor sea la distancia entre el mes base 0 y el mes corriente t, mayor tenderá a ser la magnitud de los residuos uiu * y será mayor la magnitud de la covarianza negativa43. De manera similar, cuanto mayor sea la distancia entre el mes del período corriente t y el mes del período base 0, mayores tenderán a ser los residuos rir* y mayor será la covarianza. Por lo tanto, suponiendo que existen tendencias a largo plazo en los precios y respuestas normales de sustitución, el índice de Laspeyres será mayor que el correspondiente índice de Paasche, y es probable que la divergencia tienda a crecer a medida que el mes t se aleja del mes 0.

15.49 Considerando en forma conjunta lo expuesto en los tres párrafos precedentes, puede verse que dados los supuestos de que existen tendencias a largo plazo en los precios y respuestas de sustitución normales, el índice de precios de Lowe entre los meses 0 y t será mayor que el correspondiente índice de precios de Laspeyres, el cual será a su vez mayor que el correspondiente índice de Paasche; es decir que, en virtud de estas hipótesis:

Por lo tanto, si la meta a largo plazo del índice de precios es un promedio de los índices de Laspeyres y de Paasche, puede verse que el índice de Laspeyres tendrá un sesgo al alza con relación a este índice objetivo mientras que el índice de Paasche tendrá un sesgo a la baja. Además, si el año base b es anterior al mes de referencia de los precios, el mes 0, el índice de Lowe también tendrá un sesgo al alza respecto del índice de Laspeyres y, por ende, también con relación al índice objetivo.

D.2 Índice de Lowe e índices del año intermedio

15.50 En el párrafo anterior supusimos que el año base de las cantidades b era anterior al mes base de los precios, el mes 0. Sin embargo, si el mes del período corriente t está muy alejado del mes base 0, es dable pensar que el año base b se refiere a un año que se encuentra entre los meses 0 y t. Si el año b efectivamente cae entre los meses 0 y t, el índice de Lowe pasará a constituir un índice del año intermedio44. El índice del año intermedio de Lowe deja de estar sesgado al alza como indicaban las desigualdades en la ecuación (15.43) para el caso en que los precios manifiestan tendencias a largo plazo y las respuestas de sustitución en términos de cantidades son normales.

15.51 Supongamos ahora que el vector de cantidades del año base qb corresponde a un año que cae entre los meses 0 y t. Suponiendo que los precios manifiestan tendencias a largo plazo y efectos normales de sustitución de manera que también se verifican tendencias a largo plazo en las cantidades (en sentido contrario a las tendencias en los precios, de modo que si el precio del i-ésimo producto muestra una tendencia al alza, la cantidad i-ésima correspondiente tiende a la baja), es probable que el vector de cantidades del año intermedio caiga entre los vectores de cantidades mensuales q0 y qt. El índice del año intermedio de Lowe, PLo(p0, pt, qb), y el índice de Laspeyres que va del mes 0 al mes t, PL(p0, pt, q0), aún cumplirán la relación establecida en la ecuación (15.36). Así, PLo(p0, pt, qb) será igual a PL(p0, pt, q0) más el término de covarianza Σi=1n(rir*)(tit*)Si0/QL(q0,qb,p0), donde QL(q0, qb, p0) es el índice de cantidades de Laspeyres que abarca del mes 0 al mes t. Es probable que este término de covarianza sea negativo, con lo cual:

Para entender por qué es probable que esta covarianza sea negativa, supongamos que el precio del producto i manifiesta una tendencia alcista a largo plazo de manera que rir* ≡ (pit/pi0) – r* es positivo. Con respuestas normales de sustitución, qi tenderá a disminuir en términos relativos en el tiempo, y como se supone que qib se ubica entre qi0 y qit, es probable que qit/qi0 menos un cambio de cantidad promedio de este tipo, r*, sea negativo. Por eso es probable que uiu* ≡ (qib/qi0) – t* sea negativo. De ese modo, en estas circunstancias probablemente la covarianza será negativa. Suponiendo que el año base de las cantidades cae entre los meses 0 y t y que los precios manifiestan una tendencia a largo plazo y las respuestas de sustitución son normales, el índice de Laspeyres normalmente será mayor que el correspondiente índice del año intermedio de Lowe, y la divergencia entre ambos probablemente crezca a medida que el mes t se aleja del mes 0.

15.52 Se observa también que, a partir de los supuestos anteriores, es probable que el índice del año inter-medio de Lowe sea mayor que el índice de Paasche entre los meses 0 y t; es decir:

Para entender por qué es probable que se verifique la desigualdad anterior, pensemos que qb empieza en el vector de cantidades del mes 0, q0, y luego tiende suavemente hacia el vector de cantidades del mes t, qt. Cuando qb = q0, el índice de Lowe pasa a ser el índice de Laspeyres PL(p0, pt, q0). Cuando qb = qt, el índice de Lowe pasa a ser el índice de Paasche PP(p0, pt, qt). Anteriormente se demostró que, suponiendo tendencias en los precios y respuestas normales de sustitución ante estas tendencias, el índice de Paasche es menor que el correspondiente índice de precios de Laspeyres; es decir, que PP(p0, pt, qt) es menor que PL(p0, pt, q0); recordemos la ecuación (15.42). Así, suponiendo que los precios y las cantidades presentan tendencias suaves entre los meses 0 y t, y que qbse ubica entre q0 y qt, obtendremos que:

Así, si se elige un año base para el índice de Lowe que caiga entre el mes base de los precios, 0, y el mes corriente de los precios, t, y los precios manifiestan tendencias que se corresponden con tendencias en las cantidades relativas a efectos normales de sustitución, entonces es probable que el índice de Lowe resultante se halle entre los índices de Paasche y de Laspeyres que van desde el mes 0 al t. Si los precios y las cantidades manifiestan tendencias suaves, al elegir el año base en la mitad del lapso entre 0 y t debería obtenerse un índice de Lowe que se encuentre aproximadamente a mitad de camino entre los índices de Paasche y de Laspeyres; por ello se acercará mucho a un índice ideal objetivo entre los meses 0 y t. Esta idea básica fue aplicada por Okamoto (2001), quien utilizó datos sobre el consumo en Japón y halló que los índices del año intermedio resultantes se aproximaban mucho a los correspondientes índices ideales de Fisher.

15.53 Cabe observar que estos índices del año inter-medio solo pueden computarse de manera retrospectiva, es decir, no pueden calcularse en forma inmediata como los índices de Lowe, que utilizan un año base anterior al mes 0. Por ello, los índices del año intermedio no sirven para reemplazar a los índices de Lowe. Sin embargo, lo expuesto precedentemente indica que es probable que esos índices regulares de Lowe que pueden calcularse sin demoras muestren un sesgo al alza aún mayor que el sesgo al alza del índice ordinario de Laspeyres en comparación con el índice ideal objetivo, constituido por un promedio de los índices de Paasche y de Laspeyres.

15.54 Todas las desigualdades calculadas en esta sección surgen del supuesto de que existen tendencias a largo plazo en los precios (y las correspondientes respuestas económicas de las cantidades). Si los precios no manifiestan tendencias sistemáticas a largo plazo, sino solo fluctuaciones aleatorias en torno a una tendencia común a todos los precios, no resultan válidas las desigualdades descritas y es probable que el índice de Lowe que utiliza un año base anterior sea una aproximación perfectamente adecuada a los índices de Paasche y de Laspeyres. No obstante, existen razones para creer que los precios manifiestan tendencias a largo plazo, a saber:

  • i) La revolución de los chips de computación que ha tenido lugar en los últimos 40 años hizo que los precios de los productos que utilizan chips de manera intensiva manifiesten tendencias fuertes a la baja. A medida que se fueron desarrollando nuevos usos para los chips, aumentó la participación de los productos que los usan intensivamente, con lo cual lo que constituía un problema relativamente menor pasó a ser un problema mayor.

  • ii) Otros adelantos científicos importantes tuvieron efectos similares. Por ejemplo, el invento del cable de fibra óptica (y el láser) provocó una tendencia a la baja en los precios de las telecomunicaciones, a medida que se reemplazaron gradualmente las tecnologías obsoletas basadas en el cable de cobre.

  • iii) Desde la finalización de la segunda guerra mun-dial, una serie de acuerdos comerciales internacionales redujeron drásticamente los aranceles en todo el mundo. Estas reducciones, combinadas con los adelantos en la tecnología del transporte, causaron un rápido aumento del comercio internacional y notables mejoras en la especial-ización internacional. Las actividades manufactureras en los países más desarrollados se han ido trasladando de manera gradual a los países de salarios más bajos, lo cual da como resultado una deflación de los precios de los productos en la mayoría de los países. Sin embargo, muchos de los servicios no pueden tercerizarse45, por lo que, en promedio, el precio de los servicios tiende al alza mientras que el de los bienes tiende a la baja.

  • iv) A nivel microeconómico, hay diferencias enormes en la tasa de crecimiento de las empresas. Las exitosas expanden la escala, bajan los costos y debilitan a los competidores que ofrecen precios más altos y manejan volúmenes más reducidos. Ello trae aparejada una sistemática correlación negativa entre las variaciones en los precios de los artículos y las variaciones correspondientes en los volúmenes de los artículos que, por cierto, puede ser muy grande.

Por lo tanto, existe a priori cierto fundamento para suponer que los precios manifiestan tendencias divergentes a largo plazo, y, por lo tanto, hay razón para temer que, a diferencia de un índice objetivo más ideal, pueda haber un sesgo al alza en el índice de Lowe que utiliza un año base para las ponderaciones de cantidad que es anterior al mes base de los precios.

D.3 Índice de Young

15.55 Recordemos las definiciones de las cantidades del año base, qib, y los precios del año base, pib, dados por las ecuaciones (15.23) y (15.24). Las participaciones en el ingreso del año base se pueden definir como siempre, de la siguiente manera:

Definamos del modo habitual el vector de participaciones en el ingreso del año base como sb ≡ [s1b, …, snb]. Estas participaciones en el ingreso del año base se utilizaron para expresar una fórmula alternativa del índice de precios de Lowe con año base b entre los meses 0 y t, definido en la ecuación (15.26) como PLo(p0,pt,qb)=Σi=1nSib(pit/pib)/Σi=1nSib(pi0/pib). En vez de utilizar este índice como el índice objetivo a corto plazo, muchas oficinas de estadística utilizan el siguiente índice, estrechamente relacionado:

Este tipo de índice fue definido por primera vez por el economista inglés Arthur Young (1812)46. Cabe observar que cuando se utiliza el índice de Young se cambia de foco respecto de los índices propuestos anteriormente en este capítulo. Hasta aquí, los índices eran del tipo de canasta fija (o promedios de estos índices) en los cuales se elige una canasta de productos que resulte de alguna manera representativa de los dos períodos que se comparan, la que “se compra” a los precios de los dos períodos, y el índice es el cociente entre estos dos costos. Por otro lado, en el caso del índice de Young, se eligen participaciones representativas del ingreso que corresponden a los dos períodos bajo estudio y luego estas participaciones se utilizan para calcular el índice general como un promedio ponderado por las participaciones de los cocientes de precios individuales, pit/pi0. Esta perspectiva de la teoría de los números índice, que se basa en el promedio de los cocientes de precios ponderados por las participaciones, es un poco diferente de la adoptada al comienzo de este capítulo, que veía el problema de los números índice como la descomposición de un cociente de valores en el producto de dos términos, uno de los cuales expresa la magnitud de la variación de precios entre los dos períodos y el otro la magnitud de la cambio variación en las cantidades47.

15.56 Las oficinas de estadística a veces consideran el índice de Young, definido antes, como una aproximación al índice de precios de Laspeyres PL(p0, pt, q0). Por esa razón, resulta interesante determinar cómo se comparan ambos índices. Si definimos los relativos de precios mensuales a largo plazo entre los meses 0 y t como ripit/pi0 y utilizamos las ecuaciones (15.32) y (15.48):

ya que Σi=1nsib=Σi=1n = 1 y con la definición r*=Σi=1nsi0ri=PL(p0,pt,q0).

Así el índice de Young PY(p0, pt, sb) es igual al índice de Laspeyres PL(p0, pt, q0), más la covarianza entre la diferencia de las participaciones anuales correspondientes al año b y las participaciones del mes 0, sibsi0, y las desviaciones de los precios relativos respecto de su media, ri– r*.

15.57 Ya no es posible conjeturar el signo que pueda adoptar el término de covarianza. La pregunta ya no es si la cantidad demandada baja a medida que el precio del producto i aumenta (por lo general, la respuesta a esta pregunta es sí), sino si la participación en el ingreso disminuye a medida que el precio del producto i aumenta. La respuesta a esta pregunta depende de la elasticidad de la demanda del producto. Sin embargo, supongamos por el momento que existen tendencias a largo plazo en los precios de los productos, y que si la tendencia en el precio del producto i es superior a la media, la participación en el ingreso del producto tiene una tendencia a la baja (y viceversa). Por consiguiente, suponemos elasticidades altas o efectos de sustitución muy fuertes. Si también suponemos que el año base b es anterior al mes 0, entonces, en estas condiciones, supongamos que hay una tendencia a largo plazo al alza en el precio del producto i, de modo que rir* ≡ (pit/pi0) – r * sea positivo. De acuerdo con el supuesto de respuestas de sustitución muy elásticas por parte de los compradores, si tenderá a disminuir relativamente a lo largo del tiempo. Como se supone que sib es anterior a si0, se espera que si0 sea menor que sib, o que sibsi0 arroje un resultado positivo. Por consiguiente, en estas circunstancias es probable que la covarianza sea positiva. Por ende, cuando los precios manifiestan tendencias a largo plazo y las respuestas de los compradores a las variaciones de precios son muy elásticas, es probable que el índice de Young sea mayor que el correspondiente índice de Laspeyres.

15.58 Supongamos que los precios de los productos manifiestan tendencias a largo plazo. Si la tendencia del precio del producto i está por encima de la media, supongamos que la participación en el ingreso del producto i tiende a aumentar (y viceversa). Así, suponemos elasticidades bajas o efectos de sustitución muy débiles. Supongamos también que el año base b es anterior al mes 0, y que el precio del producto i manifiesta una tendencia alcista a largo plazo de manera que rir* ≡ (pit/pi0) – r* es positivo. Ya que se supusieron respuestas de sustitución muy inelásticas, si tenderá a aumentar relativamente en el tiempo y, como se supone que sib es anterior a si0, se espera que si0 sea mayor que sib, o sea, que sibsi0 sea negativo. Así, es probable que en estas circunstancias la covarianza sea negativa. Por ende, cuando los precios manifiestan tendencias a largo plazo y las respuestas de los compradores a las variaciones de precios son muy inelásticas, es probable que el índice de Young sea menor al correspondiente índice de Laspeyres.

15.59 Los dos párrafos precedentes indican que no se conoce a priori cuál será la diferencia probable entre el índice de Young y el correspondiente índice de Laspeyres. Si las elasticidades de sustitución se acercan a uno, los dos conjuntos de participaciones en el ingreso, sib y si0, se acercarán entre sí y la diferencia entre los dos índices se aproximará a cero. No obstante, si las participaciones en el ingreso mensuales muestran una fuerte estacionalidad, las participaciones anuales sib podrían ser sustancialmente diferentes de las participaciones mensuales si0.

15.60 Resulta útil contar con una fórmula que actua-lice el índice de precios de Young del mes anterior utilizando solo relativos de precios mes a mes. El índice de Young para el mes t + 1, PY(p0, pt+1, sb), puede formularse en términos del índice de Lowe para el mes t, PY(p0, pt, sb), y un factor de actualización:

utilizando la ecuación (15.47),

donde las ponderaciones híbridas sib0t se definen como:

Así, las ponderaciones híbridas sib0t se obtienen actualizando las ponderaciones del año base sib, es decir, multiplicándolas por los relativos de precios (o los índices de niveles de agregación superiores) pit/pi0, Así, el factor de actualización requerido entre el mes t y el mes t+1, es el índice en cadena, Σi=1nsib0t(pit+1/pit), que utiliza las ponderaciones de participación híbridas sib0t definidas en (15.51).

15.61 Aun cuando el índice de Young se aproxime bastante al correspondiente índice de Laspeyres, es difícil recomendar la utilización del índice de Young como la estimación final de la variación en los precios entre los períodos 0 y t, de la misma manera que fue difícil recomendar el índice de Laspeyres como la estimación final de la inflación entre el período 0 y el período t. Recordemos que el problema del índice de Laspeyres era su falta de simetría en el tratamiento de los dos períodos analizados. Es decir, si se justifica el índice de Laspeyres como un buen índice de canasta fija, un argumento idéntico justifica el índice de Paasche como un índice de canasta fija igualmente bueno para comparar los períodos 0 y t. El índice de Young adolece de una falta de simetría similar en cuanto al modo de tratar el período base. El problema se explica de la siguiente manera: el índice de Young PY(p0, pt, sb) definido en la ecuación (15.48) calcula la variación de precios entre los meses 0 y t considerando al mes 0 como mes base. Pero adoptar este mes como el mes base no es más que una convención. Por lo tanto, si consideramos al mes t como la base y utilizamos la misma fórmula para medir la variación de precios hacia atrás desde el mes t al mes 0, el índice PY(p0,pt,sb)=Σi=1nsib(pi0/pit) resultaría apropiado. Esta estimación de la variación de precios puede luego compararse con el índice de Young original si se toma su recíproco, con lo cual se llegaría al siguiente índice de Young con la base cambiada48PY*(p0, pt, sb):

El índice de Young con la base cambiada, PY*(p0, pt, sb), que utiliza el mes corriente como período base inicial, es una media armónica ponderada por las participaciones de los relativos de precios entre los meses 0 y t, mientras que el índice de Young original, PY(p0, pt, sb), es una media aritmética ponderada por las participaciones de los mismos relativos de precios.

15.62 Fisher argumentaba que una fórmula de número índice debía dar el mismo resultado cualquiera que fuera el período base elegido:

Cualquiera de los dos momentos puede tomarse como “base”. ¿Habrá alguna diferencia según cuál de los dos se elija? Sin duda, no debería haberla y nuestra Propiedad 1 así lo exige. Para decirlo con mayor precisión, nuestra Propiedad estipula que la fórmula para calcular un número índice debería ser tal que se obtenga el mismo cociente entre un punto de comparación y otro, independientemente de cuál de los dos se tome como base (Irving Fisher, 1922, pág. 64).

15.63 El problema con el índice de Young es que no solo no coincide con su contraparte de base cambiada, sino que además existe una desigualdad definida entre ambos índices, a saber:

con una desigualdad estricta si el vector de precios del período t, pt, no es proporcional al vector de precios p0 del período 049. De ese modo, una oficina de estadística que utilice el índice de Young directo PY(p0, pt, sb) gene-ralmente mostrará una tasa de inflación mayor que otra que utilice los mismos datos originales pero los aplique al índice de Young con la base cambiada, PY*(p0, pt, sb).

15.64 La desigualdad (15.53) no informa por cuánto superará el índice de Young a su antítesis temporal de base cambiada. Sin embargo, en el apéndice 15.3 se muestra que con la precisión de una aproximación de Taylor de segundo orden se verifica la siguiente relación entre el índice de Young directo y su antítesis temporal:

donde Var e se define como sigue:

Las desviaciones ei se definen mediante 1 + ei = ri/r* para i = 1,…, n donde los ri y sus medias ponderadas r* se definen mediante:

lo cual resulta igual al índice de Young directo, PY(p0, pt, sb). La media ponderada de los ei se define como sigue:

lo cual resulta igual a 0. Por ello, cuanto mayor sea la dispersión entre los relativos de precios, pit/pi0, con la precisión de una aproximación de segundo orden, mayor será la diferencia por la cual el índice de Young directo superará su contraparte que utiliza el mes t como período base inicial en lugar de utilizar el mes 0.

15.65 Ante dos fórmulas de números índice a priori igualmente convincentes que arrojan resultados distintos, como el índice de Young y su antítesis temporal, Irving Fisher (1922, pág. 136) sugirió en general tomar la media geométrica de los dos índices50. Una ventaja de este cálculo es que la fórmula resultante cumplirá con la propiedad de reversión temporal. Por ello, en vez de utilizar o bien el índice de Young con base en el período 0, PY(p0, pt, sb), o bien el índice de Young con base en el período corriente t, PY*(p0, pt, sb), que siempre será menor que el índice de Young con período base 0 si hay alguna dispersión de precios relativos, parece preferible utilizar el siguiente índice, que es la media geométrica de los dos índices de Young con las bases mencionadas51:

Si las participaciones del año base sib llegaran a coincidir con las participaciones de los meses 0 y t, si0 y sit respectivamente, el índice de Young rectificado por el factor tiempo, PY**(p0, pt, sb), definido en la ecuación (15.59) coincidirá con el índice de precios ideal de Fisher entre los meses 0 y t, PF(p0, pt, q0, qt) (que en estas condiciones también será igual a los índices de Laspeyres y de Paasche). Por otra parte, cabe señalar que las oficinas de estadística pueden elaborar el índice PY** definido por la ecuación (15.59) sin demoras.

E. Índice de Divisia y sus aproximaciones discretas

E.1 Índices de precios y cantidades de Divisia

15.66 El segundo enfoque general de la teoría de los números índice se basa en el supuesto de que los datos de precios y de cantidades varían de manera más o menos continua.

15.67 Supongamos que pueda considerarse a los datos de precios y de cantidades de los n productos en el dominio de definición elegido como funciones continuas del tiempo (continuo), a las que llamaremos pi(t) y qi(t) para i = 1,…, n. El valor del ingreso del productor en el período t es V(t), que naturalmente define como:

15.68 Supongamos además que las funciones pi(t) y qi(t) son diferenciables. Luego, diferenciando la ecuación (15.60) se obtiene:

Dividamos ambos miembros de la ecuación (15.61) por V(t) ; si se usa la definición (15.60) se obtiene la siguiente ecuación:

donde la participación en el ingreso del producto i en el período t, si(t), se define como:

15.69 François Divisia (1926, pág. 39) argumentaba lo siguiente: supongamos que el agregado de valores del período t, V(t), es el producto de una función del nivel de precios del período t, P(t), y una función del nivel de cantidades del período t, Q(t); es decir que tenemos:

Supongamos además que las funciones P(t) y Q(t) son diferenciables. Luego, diferenciando la ecuación (15.64) se obtiene:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación (15.65) por V(t) y utilizando la ecuación (15.64) se llega a la siguiente ecuación:

15.70 Divisia comparó las dos expresiones de la derivada logarítmica del valor V'(t)/V (t), dadas por las ecuaciones (15.62) y (15.66), y simplemente definió la tasa de cambio logarítmica del nivel agregado de precios, P'(t)/P (t), como el primer conjunto de términos del miembro derecho de la ecuación (15.62). También definió simplemente la tasa de variación logarítmica del nivel agregado de cantidades, Q'(t)/Q(t), como el segundo conjunto de términos del miembro derecho de la ecuación (15.62). Es decir, estipuló las siguientes definiciones:

15.71 Las ecuaciones (15.67) y (15.68) definen razonablemente los cambios proporcionales en los niveles agregados de precios y cantidades (o únicamente en las cantidades), P(t) y Q(t)52. El problema de estas definiciones es que los datos económicos no se recolectan en forma continua en el tiempo, sino discreta. Dicho de otro modo, aunque puede pensarse que las transacciones ocurren a lo largo de un tiempo continuo, ningún productor contabiliza sus compras en términos de tiempo continuo, sino que acumula sus compras durante cierto tiempo finito y solo después las contabiliza. Lo mismo ocurre con los productores y vendedores de productos: las empresas acumulan ventas durante períodos de tiempo discretos con fines contables o analíticos. Si se intenta aproximar el tiempo continuo mediante intervalos discretos cada vez más breves, puede esperarse que los datos empíricos sobre precios y cantidades se vuelvan cada vez más erráticos por cuanto los consumidores solo realizan sus compras en momentos discretos de tiempo (y los productores y vendedores solo realizan las ventas en momentos discretos). No obstante, aun así resulta de interés aproximar los niveles de precios y de cantidades de tiempo continuo, P(t) y Q(t), definidos implícitamente por las ecuaciones (15.67) y (15.68), mediante aproximaciones de tiempo discreto. Ello puede llevarse a cabo de dos maneras. Pueden emplearse métodos de aproximación numérica o bien pueden formularse supuestos acerca de la trayectoria temporal de las funciones pi(t) y qi(t) (i = 1,…, n). La primera estrategia se aplica en la próxima sección. Para distintos análisis de la segunda estrategia, véanse Vogt (1977; 1978), Van Ijzeren (1987, págs. 8–12), Vogt y Barta (1997) y Balk (2000).

15.72 Existe una conexión entre los niveles de precios y de cantidades de Divisia, P(t) y Q(t), y el enfoque económico de la teoría de los números índice. Sin embargo, tal conexión se comprende mejor tras estudiar el enfoque económico de la teoría de los números índice en el capítulo 17. Como este tema es más bien técnico, se presenta en el apéndice 17.1.

E.2 Aproximaciones discretas al índice de tiempo continuo de Divisia

15.73 A efectos de volver operativos los niveles de precios y de cantidades continuos de Divisia, P(t) y Q(t), definidos por las ecuaciones diferenciales (15.67) y (15.68), es necesario convertirlos en funciones de tiempo discreto. Divisia (1926, pág. 40) sugirió un método sencillo para esta conversión, que ahora pasaremos a explicar.

15.74 Definamos las siguientes diferencias (hacia adelante) de precios y de cantidades:

Utilizando las definiciones anteriores:

utilizando (15.67) cuando t = 0 y aproximando pi(0) por la diferencia Δpi:

donde pt ≡ [p1(t), …, pn(t)] y qt ≡ [q1(t),…, qn(t)] para t = 0,1. Así, puede verse que la aproximación discreta de Divisia a su propio índice de precios de tiempo continuo no es más que el índice de precios de Laspeyres, PL, definido en la ecuación (15.5).

15.75 Pero ahora surge el problema señalado por Frisch (1936, pág. 8): en lugar de aproximar las derivadas mediante las diferencias discretas (hacia adelante) definidas por las ecuaciones (15.69) y (15.70), podrían utilizarse otras aproximaciones y obtenerse una gran variedad de aproximaciones de tiempo discreto. Por ejemplo, en lugar de utilizar diferencias hacia adelante y evaluar el índice en el momento t = 0, sería posible utilizar diferencias hacia atrás y evaluar el índice en el momento t = 1. Estas diferencias hacia atrás se definen de la siguiente manera:

Utilizar diferencias de este tipo da como resultado la siguiente aproximación de P(0)/P(1):

utilizando (15.67) cuando t = 1 y aproximando pi(1) mediante la diferencia Δbpi:

donde PP es el índice de Paasche definido anteriormente en la ecuación (15.6). Calculando los recíprocos de ambos miembros de la ecuación (15.73) se obtiene la siguiente aproximación discreta para P(1)/P(0):

15.76 Así, como señaló Frisch53, los índices de Paasche y de Laspeyres pueden considerarse como aproximaciones (igualmente válidas) al índice de precios de tiempo continuo de Divisia54. Como los índices de Paasche y de Laspeyres a veces pueden diferir considerablemente en ciertas aplicaciones empíricas, la idea de Divisia no resulta útil para determinar una única fórmula de número índice de tiempo discreto55. Lo que resulta útil de la idea de los índices de Divisia es que, en ciertas circunstancias, a medida que la unidad de tiempo discreta se acorta cada vez más, las aproximaciones discretas a los índices de Divisia pueden aproximarse a índices económicamente significativos. Además, si el concepto de Divisia se acepta como el correcto para la teoría de los números índice, su correspondiente contraparte correcta de tiempo discreto puede considerarse como un promedio ponderado de los relativos de precios encadenados correspondientes a los períodos adyacentes, donde las ponderaciones son de alguna manera representativas de los dos períodos bajo consideración.

F. Índices de base fija frente a índices en cadena

15.77 En esta sección56 analizaremos los méritos de utilizar el sistema en cadena para elaborar índices de precios dentro de un contexto de series temporales, frente a la utlización del sistema de base fija57.

15.78 El sistema en cadena58 mide el cambio en los precios entre un período y el siguiente utilizando una fórmula bilateral de número índice que comprende los precios y las cantidades correspondientes a los dos períodos adyacentes. Estas tasas de variación de un único período (los eslabones de la cadena) luego se acumulan para generar los niveles de precios relativos que se refieren a todo el período bajo consideración. Así, si el índice de precios bilateral es P, el sistema en cadena genera el siguiente esquema de niveles de precios para los primeros tres períodos:

15.79 Por otro lado, el sistema de base fija de los niveles de precios, que utiliza la misma fórmula bilateral de número índice P, simplemente calcula el nivel de los precios del período t con relación al período base 0 como P(p0,pt,q0,qt). Así, el esquema de base fija de los niveles de precios de los períodos 0, 1 y 2 es el siguiente:

15.80 En los sistemas en cadena y de base fija de los niveles de precios definidos por las ecuaciones (15.75) y (15.76), el nivel de precios del período base se fija igual a 1. La práctica habitual de las oficinas de estadística es fijar en 100 el nivel de precios del período base. Para esto, es necesario multiplicar cada uno de los números de las ecuaciones (15.75) y (15.76) por 100.

15.81 Debido a las dificultades para obtener información sobre cantidades (o, de manera equivalente, sobre ingresos) del período corriente, muchas oficinas de estadística calculan el IPP basándose aproximadamente en la fórmula de Laspeyres (15.5) y el sistema de base fija. Por lo tanto, es de interés identificar algunos de los problemas que pueden surgir de utilizar índices de Laspeyres de base fija.

15.82 El principal problema de utilizar índices de Laspeyres de base fija es que a menudo la canasta fija de productos del período 0 de la que se toman los precios en el período t puede ser muy diferente de la canasta del período t. Así, si algunos de los precios y cantidades59 de la canasta del índice manifiestan tendencias sistemáticas, el índice de precios de Laspeyres de base fija, PL(p0, pt, q0, qt), puede ser muy diferente del índice de precios de Paasche de base fija, PP(p0, pt, q0, qt)60. Ello significa que es probable que ninguno de los índices represente adecuadamente las variaciones de los precios promedio durante el período que se considera.

15.83 El índice de cantidades de Laspeyres de base fija no puede utilizarse indefinidamente: en algún momento, las cantidades del período base q0 estarán tan alejadas de las cantidades del período corriente qt que la base deberá modificarse. El encadenamiento es tan solo el caso límite, en el cual la base se cambia en cada período61.

15.84 La ventaja principal del sistema en cadena es que, en condiciones normales, reduce la brecha entre los índices de Paasche y de Laspeyres62. Ambos índices brindan una perspectiva asimétrica de la magnitud de la variación de precios ocurrida entre los períodos bajo estudio y podría esperarse que una estimación en un único punto de la variación agregada de los precios se ubique entre esas dos estimaciones. Así, la utilización de índices de Paasche o de Laspeyres en cadena llevará a una diferencia menor entre ambas y, por ende, a estimaciones más cercanas a la “verdad”. 63

15.85 Peter Hill (1993, pág. 388), sobre la base de su estudio anterior (Hill [1988, págs. 136–37] y el de Szulc (1983), observó que no es adecuado utilizar un sistema en cadena cuando los precios oscilan o “rebotan”, según el término propuesto por Szulc (1983, pág. 548). Este fenómeno puede ocurrir en un contexto de fluctuaciones estacionales periódicas o en medio de una guerra de precios. Sin embargo, en el caso de precios y cantidades que varían aproximadamente de manera monotónica, Peter Hill (1993, pág. 389) recomendó usar índices en cadena simétricamente ponderados (véase la sección C). Los índices de Fisher y de Walsh son ejemplos de índices simétricamente ponderados.

15.86 Es posible definir con un poco más de precisión en qué condiciones se debería encadenar y en qué condiciones no es conveniente hacerlo. Básicamente, es recomendable encadenar cuando los precios y cantidades correspondientes a los períodos adyacentes son más similares que los precios y cantidades correspondientes a períodos más alejados, pues esta estrategia llevará a reducir la brecha entre los índices de Paasche y de Laspeyres en cada empalme64. Desde luego, se requiere una medida de cuán similares son los precios y las cantidades correspondientes a dos períodos. Las medidas de similitud podrían formularse en términos relativos o absolutos. En el caso de comparaciones absolutas, dos vectores de la misma dimensión son similares solo si son idénticos, y disímiles en caso contrario. En el caso de comparaciones relativas, dos vectores son similares si son proporcionales, y disímiles si no lo son65. Definida la medida de similitud, se comparan los precios y las cantidades de los dos períodos en función de ella y se elabora un “árbol” o trayectoria que relacione todas las observaciones, en el cual las observaciones más similares se comparan entre sí utilizando una fórmula bilateral de número índice66. R. J. Hill (1995) estipuló que las estructuras de precios de dos países eran tanto más disímiles cuanto mayor fuera la brecha entre PL y PP; es decir, cuanto mayor fuera el max {PL/PP, PP/PL}. El problema con esta medida de disimilitud de las estructuras de precios de dos países es que podría darse el caso de que PL = PP (de manera que la medición de R. J. Hill registraría un grado máximo de similitud), pudiendo ser p0 muy diferente de pt. Así, se requiere un estudio más sistemático sobre las medidas de similitud (y disimilitud) a efectos de elegir la “mejor” y utilizarla en el algoritmo del árbol extendido de R. J. Hill (1999a; 1999b; 2001 para el empalme de las observaciones.

15.87 Es posible que el método para encadenar las observaciones explicado en el párrafo anterior, que se basa en la similitud de las estructuras de precios y de cantidades entre dos observaciones cualesquiera, no resulte práctico dentro del contexto de una oficina de estadística debido a que la incorporación de un período adicional puede llevar a reordenar los eslabones anteriores. Pero es posible que este método “científico” de encadenar observaciones sea útil para decidir si es preferible encadenar o utilizar índices de base fija a la hora de efectuar comparaciones de mes a mes dentro del mismo año.

15.88 Algunos teóricos de los números índice han objetado el principio de encadenar sobre la base de que no posee contrapartida en un contexto espacial:

[Los índices en cadena] solo se refieren a comparaciones intertemporales y, a diferencia de los índices directos, no pueden aplicarse a casos en los cuales no hay un orden natural ni una secuencia. Así, la idea de un índice en cadena, por ejemplo, no tiene contrapartida en las comparaciones de precios interregionales ni internacionales, pues no es posible ordenar los países de manera “lógica” o “natural” (no existe un país k + 1 ni k – 1 que pueda compararse con el país k) (Peter von der Lippe [2001, pág. 12])67.

Esto es cierto, sin lugar a dudas, pero el enfoque de R. J. Hill conduce a un conjunto natural de eslabones espaciales. Aplicar el mismo enfoque al contexto de series temporales, dará como resultado un conjunto de empalmes entre períodos que pueden no ser mes a mes, pero en numerosos casos justificará encadenar los datos correspondientes al mismo mes de un año a otro. Volveremos sobre este problema en el capítulo 22.

15.89 Reviste cierto interés investigar si existen fórmulas de números índice que lleguen al mismo resultado ya sea que se utilice la base fija o el sistema en cadena. Si se compara la secuencia de índices en cadena definidos por la ecuación (15.75) con los correspondientes índices de base fija, se observa que obtenemos la misma respuesta en cada uno de los tres períodos si la fórmula de número índice P satisface la siguiente ecuación funcional para todos los vectores de precios y de cantidades:

Si una fórmula de número índice P satisface la ecuación (15.77), P cumple la propiedad de circularidad68.

15.90 Si se supone que la fórmula de número índice P cumple ciertas propiedades además de la propiedad de circularidad69, Funke, Hacker y Voeller (1979) demostraron que P debe tener la siguiente forma funcional, originalmente estipulada por Konüs y Byushgens70 (1926, págs. 163–66)71:

donde las n constantes Σi satisfacen las siguientes restricciones:

Así, en condiciones muy débiles de regularidad, el único índice de precios que cumple la propiedad de circularidad es la media geométrica ponderada de todos los cocientes de precios individuales, siendo las ponderaciones constantes en el tiempo.

15.91 Un interesante caso especial de la familia de índices definida por la ecuación (15.78) se presenta cuando las ponderaciones Σi son todas iguales. En este caso, PKB se reduce al índice de Jevons (1865):

15.92 El problema de los índices definidos por Konüs y Byushgens y por Jevons es que los cocientes de precios individuales, pi1/pi0, tienen ponderaciones (Σi o 1/n) que son independientes de la importancia económica del producto i en los dos períodos bajo estudio. Planteado de otro modo, estas ponderaciones de precios son independientes de las cantidades del producto i consumidas o los ingresos obtenidos a partir del producto i durante los dos períodos. Por lo tanto, estos índices no resultan verdaderamente convenientes para ser utilizados por las oficinas de estadística en los niveles superiores de agregación cuando se cuenta con información acerca de las participaciones en el ingreso.

15.93 Los resultados anteriores indican que no es útil exigir que el índice de precios P cumpla la propiedad de circularidad con exactitud. Sin embargo, sí resulta interesante hallar fórmulas de números índice que satisfagan la propiedad de circularidad con algún grado de aproximación, pues el empleo de dichas fórmulas llevará a mediciones de variación agregada de los precios que sean más o menos iguales más allá de si aplicamos el sistema en cadena o el de base fija. Irving Fisher (1922, pág. 284), utilizando su conjunto de datos y el índice de precios ideal de Fisher, PF, definido por la ecuación (15.12), descubrió que las desviaciones con respecto a la circularidad eran bastante reducidas. Este grado relativamente alto de correspondencia entre los índices de base fija y los índices en cadena también se encontró en otras fórmulas ponderadas simétricamente, como el índice de Walsh, PW, definido por la ecuación (15.19)72. En la mayoría de las aplicaciones a series temporales de la teoría de los números índice en las cuales el año base de los índices de base fija se cambia aproximadamente cada cinco años, no importa demasiado si la oficina de estadística utiliza un índice de base fija o un índice en cadena, siempre y cuando se use una fórmula simétricamente ponderada73. La elección entre un índice de precios de base fija y uno en cadena dependerá, por supuesto, de la longitud de la serie temporal estudiada y del grado de variación de los precios y de las cantidades a medida que avanzamos período por período. Cuanto más expuestos a grandes fluctuaciones estén los precios y las cantidades (en vez de manifestar tendencias suaves), menor será la correspondencia74.

15.94 Es posible explicar desde el punto de vista teórico el cumplimiento aproximado de la propiedad de circularidad por parte de fórmulas de números índice simétricamente ponderadas. Otra fórmula simétricamente ponderada es el índice de Törnqvist, PT75. El logaritmo natural de este índice se define de la siguiente manera:

donde las participaciones en el ingreso del período t, sit, se definen según la ecuación (15.7). Alterman, Diewert y Feenstra (1999, pág. 61) demostraron que si tanto los logaritmos de los cocientes de precios ln (pit/pit-1 – 1) como las participaciones en el ingreso sit manifiestan tendencias lineales a lo largo del tiempo t, el índice de Törnqvist, PT, cumple la propiedad de circularidad con exactitud76. Como numerosas series temporales económicas de precios y de cantidades cumplen estos supuestos en forma aproximada, el índice de Törnqvist cumple la propiedad de circularidad también aproximadamente. Como veremos en el capítulo 19, en general el índice de Törnqvist suele acercarse bastante a los índices simétricamente ponderados de Fisher y de Walsh, de manera que, para muchas series económicas temporales (de tendencias suaves), estos tres índices simétricamente ponderados satisfacen la propiedad de circularidad con un grado de aproximación suficientemente alto, por lo que no hay diferencia entre utilizar el principio del sistema en cadena o el del sistema de base fija.

15.95 Walsh (1901, pág. 401; 1921a, pág. 98; 1921b, pág. 540) introdujo una útil variante de la propiedad de circularidad, a saber:

La motivación para esta propiedad es la siguiente. Utilicemos la fórmula de índice bilateral P(p0, p1, q0, q1) para calcular la variación en los precios entre el período 0 y el 1, utilicemos la misma fórmula evaluada con los datos correspondientes a los períodos 1 y 2, P(p1, p2, q1, q2), para calcular la variación en los precios entre el período 1 y 2, …., y utilicemos P(pT-1, pT, qT-1, qT) para calcular la variación en los precios entre el período T – 1 y T. Introduzcamos un período artificial T + 1 que tenga exactamente los precios y las cantidades del período inicial 0 y utilicemos P(pT, p0, qT, q0) para calcular la variación de los precios entre los períodos T y 0. Por último, multipliquemos todos estos índices entre sí, y, como finalizamos donde empezamos, el producto de todos estos índices debería ser idealmente igual a 1. Esta propiedad fue denominada por Diewert (1993a, pág. 40) propiedad de identidad de períodos múltiples77. Nótese que si T = 2 (de manera que la cantidad total de períodos sea tres), la propiedad de Walsh se reduce a la propiedad de reversión temporal de Fisher (1921, pág. 534; 1922, pág. 64)78.

15.96 Walsh (1901, págs. 423–33) demostró cómo podía utilizarse su propiedad de circularidad para evaluar la utilidad de una fórmula bilateral de número índice. Inventó datos artificiales de precios y cantidades para cinco períodos y agregó un sexto período con los datos del primero. Luego evaluó el miembro derecho de la ecuación (15.82) con diversas fórmulas, P(p0, p1, q0, q1), y determinó cuán alejados estaban los resultados de la unidad. Sus mejores fórmulas tenían productos cercanos a la unidad79.

15.97 Este mismo marco de referencia se utiliza a menudo para evaluar la eficacia de los índices en comparación con la de sus contrapartes directas. Así, si el miembro derecho de la ecuación (15.82) resulta ser distinto de la unidad, se dice que los índices en cadena padecen de “deriva por encadenamiento”. Si una fórmula efectivamente padece deriva por encadenamiento, a veces se recomienda utilizar índices de base fija en lugar de los índices en cadena. Sin embargo, aceptar esta recomendación llevaría siempre a la adopción de índices de base fija, mientras la fórmula de índice bilateral cumpla la propiedad de identidad, P(p0, p0, q0, q0) = 1. Por ende, no se recomienda utilizar la propiedad de circularidad de Walsh para decidir si calcular índices de base fija o índices en cadena; pero sí utilizarla como él lo hizo, es decir, como método aproximado para determinar la fuerza de una fórmula de número índice determinada. Para decidirentre el uso de índices de base fija o en cadena, es preciso basarse en el grado de similitud entre las observaciones comparadas y elegir el método que mejor encadene las observaciones más similares entre sí.

15.98 En este capítulo se presentaron varios criterios, propiedades o axiomas que puede satisfacer una fórmula de número índice. En el próximo examinaremos el enfoque de las propiedades de la teoría de los números índice de manera más sistemática.

Apéndice 15.1: Relación entre los índices de Paasche y de Laspeyres

15.99 Recordemos la notación utilizada en la sección B.2. Definamos el i-ésimo precio relativo o relativo de precios, ri, y el i-ésimo relativo de cantidades, ti, de la siguiente manera:

Utilizando la ecuación (15.8) del índice de precios de Laspeyres PL y la ecuación (A15.1.1), obtenemos:

es decir, definimos el relativo de precios “promedio”, r*, como el promedio de los relativos de precios individuales, ri, ponderado por las participaciones en el ingreso del período base.

15.100 Aplicando la ecuación (15.6) para el índice de precios de Paasche, PP, obtenemos:

utilizando la ecuación (A15.1.2) y Σi=1nsi0=1 y donde se define el relativo de cantidades promedio t* de la siguiente manera:

donde la última igualdad surge de utilizar la ecuación (15.11), la definición del índice de cantidades de Laspeyres, QL.

15.101 Calculando la diferencia entre PP y PL y utilizando las ecuaciones (A15.1.2), (A15.1.3) y (A15.1.4), se obtiene:

Ahora, sean r y t variables aleatorias discretas que toman los n valores ri y ti respectivamente. Sea si0 la probabilidad conjunta de que r = ri y t = ti para i = 1,…, n, y sea esta probabilidad conjunta igual a 0 si r = ri y t = tj donde ij. Se verifica que la sumatoria Σi=1n(rir*)(tit*)si0 del miembro derecho de la ecuación (A15.1.5) es la covarianza entre los relativos de precios, ri, y los correspondientes relativos de cantidades, ti. Es posible convertir esta covarianza en un coeficiente de correlación80. Si la covarianza es negativa, como suele ser en el contexto del consumo, PP será menor que PL. Si es positiva, como ocurre en situaciones donde las condiciones de oferta son constantes (como en el índice de precios del producto con insumos fijos), pero la demanda esta cambiando, PP será mayor que PL.

Apéndice 15.2: Relación entre los índices de Lowe y de Laspeyres

15.102 Recordemos la notación utilizada en la sección D.1. Definamos el i-ésimo precio relativo, ri, que relaciona el precio del producto i del mes t al del mes 0, y el i-ésimo relativo de cantidades, ti, que relaciona la cantidad del producto i del año base b al mes 0 de la siguiente manera:

Como en el apéndice 15.1, el índice de precios de Laspeyres PL(p0, pt, q0) puede definirse como r*, el promedio, ponderado por las participaciones en el ingreso del mes 0, de los relativos individuales de precios ri, definidos en (A15.2.1), con la diferencia de que el precio del mes t, pit, ahora reemplaza el precio del período 1, pi1, en la definición del i-ésimo relativo de precios ri:

15.103 El relativo de cantidades promedio t*, que relaciona las cantidades del año base b con las del mes 0 se define como el promedio, ponderado por las participaciones en el gasto del período 0, de los relativos individuales de cantidades ti, definidos en (A15.2.1):

donde QL = QL(q0, qb, p0) es el índice de cantidades de Laspeyres que compara las cantidades del mes 0, q0, con las del año b, qb, utilizando como ponderaciones los precios del mes 0, p0.

15.104 Utilizando la ecuación (15.26), el índice de Lowe que compara los precios del mes t con los del mes 0 y usa como ponderaciones las cantidades del año base b es igual a:

utilizando (A15.2.3)

dado que utilizando (A15.2.2), r* es igual al índice precios de Laspeyres, PL(p0, pt, q0), y utilizando (A15.2.3), t* es igual al índice de cantidades de Laspeyres, QL(q0, qb, p0). Así, la ecuación (A15.2.4) da cuenta de que el índice de precios de Lowe que utiliza las cantidades del año b como ponderaciones, PLo(p0, pt, qb), esigual al índice de Laspeyres ordinario que usa las cantidades del mes 0 como ponderaciones, PL(p0, pt, q0), más un término de covarianza αi=1n(rir*)(tit*)si0 entre los cocientes de precios ripit/pi0 y los cocientes de cantidades tiqib/qi0, dividido por el índice de cantidades de Laspeyres QL(q0, qb, p0) entre el mes 0 y el año base b.

Apéndice 15.3: Relación entre el índice de Young y su antítesis temporal

15.105 Recordemos que el índice directo de Young, PY(p0, pt, sb), se definió en la ecuación (15.48), y su antítesis temporal, PY*(p0, pt, sb), en la ecuación (15.52). Definamos el i-ésimo precio relativo entre los meses 0 y t de la siguiente manera:

y definamos el promedio ponderado (con las ponderaciones del año base sib) de las ri como:

lo cual resulta igual al índice directo de Young, PY(p0, pt, sb). Definamos la desviación ei de ri respecto de su media ponderada r* utilizando la siguiente ecuación:

Si la ecuación (A15.3.3) se sustituye en la ecuación (A15.3.2), se obtiene la siguiente:

Por lo tanto la media ponderada e* de las desviaciones ei es igual a 0.

15.106 El índice directo de Young, PY(p0, pt, sb), y su antítesis temporal, PY*(p0, pt, sb), pueden formularse como funciones de r*, de las ponderaciones sib y de las desviaciones de los relativos de precios ei de la siguiente manera:

15.107 Ahora consideremos PY*(p0, pt, sb) como una función del vector de desviaciones, e ≡ [e1, …, en], por ejemplo, PY*(e). La aproximación de Taylor de segundo orden a PY*(e) en torno al punto e = 0n se expresa de la siguiente manera81:

utilizando la ecuación (A15.3.5)

utilizando la ecuación (A15.3.5)

utilizando la ecuación (A15.3.6)

donde la varianza muestral ponderada del vector e de desviaciones de precios se define de la siguiente manera:

15.108 Reordenando la ecuación (A15.3.8) se llega a la siguiente relación aproximada entre el índice directo de Young PY(p0, pt, sb) y su antítesis temporal PY*(p0, pt, sb), con la exactitud de una aproximación de Taylor de segundo orden en torno a un punto de precios donde el vector de precios del mes t es proporcional al vector de precios del mes 0:

Así, con la precisión de una aproximación de segundo orden, el índice directo de Young será mayor a su antítesis temporal en una magnitud igual al índice directo de Young multiplicado por la varianza ponderada de las desviaciones de los relativos de precios respecto de sus medias ponderadas. Así, cuanto mayor sea la dispersión de los precios relativos, mayor será la diferencia por la cual el índice directo de Young superará a su antítesis temporal.

Los índices en los cuales el período de referencia de las ponderaciones difiere del período de referencia de los precios no aparecen en el capítulo 19, donde se ilustra la mayoría de las fórmulas de números índice presentadas en las capítulos 1518 mediante un conjunto de datos artificiales pero se los ilustra en forma numérica en el capítulo 22, al abordar el problema de los productos estacionales.

En particular, sirve para justificar el sistema en cadena de números índice, que se analiza en la sección E.2.

En Ralph Turvey et al. (1989) se advierte que puede resultar difícil desglosar sin ambigüedad algunos valores en componentes de precio y calidad. Algunos valores difíciles de desglosar sin ambigüedad en componentes de precio y cantidad, son por ejemplo las comisiones bancarias, el gasto en juegos de azar y las primas de seguros de vida.

Se supone que en los agregados de valor no hay nuevos productos ni productos que hayan desaparecido. En los capítulos 7, 8 y 21 se examinan enfoques con respecto al “problema de los artículos nuevos” y al problema de dar cuenta de los cambios en la calidad.

Fue Fisher (1911, pág. 418) el primero en sugerir que los índices de precios y de cantidades deberían calcularse conjuntamente para satisfacer la ecuación (15.3). Frisch (1930, pág. 399) llamó a la ecuación (15.3) la propiedad del producto.

Lowe (1823, apéndice, pág. 95) sugirió actualizar el vector q de la canasta de productos cada cinco años. Los índices de Lowe se analizan con mayor profundidad en la sección D.

Drobisch (1871a, pág. 147) presentó y fundamentó este índice un poco antes que Laspeyres. Laspeyres (1871, pág. 305) de hecho reconoció explícitamente que fue Drobisch quien le indicó el camino. No obstante, los aportes de Drobisch fueron en gran medida olvidados por autores posteriores debido a que sostuvo insistentemente que el cociente de los dos valores unitarios era la mejor fórmula de número índice. Si bien esta fórmula tiene algunas propiedades excelentes cuando todos los n productos comparados tienen la misma unidad de medida, resulta inútil por ejemplo cuando la canasta del índice está compuesta por bienes y servicios.

Drobisch (1871b, pág. 424) también parece haber sido el primero en definir de manera explícita y justificar la fórmula del índice de precios de Paasche, pero rechazó esta fórmula a favor de la que él prefería, el cociente entre valores unitarios. Así, nuevamente, tampoco fue reconocido como descubridor de la fórmula de Paasche.

Nótese que en realidad PL (p0, p1, q0, q1) no depende de q1 y que PP(p0, p1, q0, q1) no depende de q0. Incluir estos vectores no es erróneo, sin embargo, y la notación indica al lector que se encuentra en el ámbito de la teoría de los números índice bilaterales, es decir que se comparan precios y cantidades de un agregado de valor que corresponden a dos períodos.

Este método de reformular el índice de Laspeyres (o cualquier índice de canasta fija) como una media aritmética de cocientes de precios, ponderada por participaciones se atribuye a Fisher (1897, pág. 517; 1911, pág. 397; 1922, pág. 51) y Walsh (1901, pág. 506; 1921a, pág. 92).

Este método de reformular el índice de Paasche (o cualquier índice de canasta fija) como un promedio armónico de cocientes de precios ponderado por participaciones se atribuye a Walsh (1901, pág. 511; 1921a, pág. 93) y Fisher (1911, págs. 397–98).

Cabe observar que el cálculo de la fórmula (15.9) demuestra que las medias armónicas surgen con total naturalidad en la teoría de los números índice.

En principio, en vez de promediar los índices de Paasche y de Laspeyres, la oficina de estadística podría pensar en difundir los dos índices (el de Paasche, por cierto, un poco más tarde). Ello resultaría en una matriz de comparaciones de precios entre cada par de períodos en lugar de una serie temporal de comparaciones. Walsh (1901, pág. 425) señaló esta posibilidad: “De hecho, si utilizamos estas comparaciones directas, deberíamos utilizar todas las comparaciones posibles”.

Peter Hill (1993, pág. 383) resumió esta desigualdad en los siguientes términos: “Puede mostrarse que la relación (13) [a saber, que PL es mayor que PP] se cumple siempre que los cocientes relativos de precios y cantidades (ponderados por los valores) se correlacionan negativamente. Esta correlación negativa debe esperarse para los agentes económicos sin influencia en el precio que reaccionan a los cambios en los precios relativos sustituyendo bienes y servicios que se tornaron relativamente más caros por aquellos que se tornaron más baratos. En la gran mayoría de las situaciones contempladas por los números índice, los cocientes relativos de precios y cantidades suelen estar negativamente correlacionados de manera que los índices de Laspeyres tienden en forma sistemática a registrar aumentos mayores a los de Paasche, con lo cual la brecha entre ambos tiende a acrecentarse con el transcurso del tiempo”.

Existe otra forma de ver por qué PP es a menudo menor que PL. Si las participaciones en el ingreso del período 0, s0i, son exactamente iguales a las correspondientes del período 1, s1i, entonces por la desigualdad de Schlömilch (1858) (véase Hardy, Littlewood y Polyá [1934, pág. 26]) puede demostrarse que una media armónica ponderada de n números es menor o igual que la media aritmética correspondiente de los n números y la desigualdad es estricta si los n números no son todos iguales. Si las participaciones en el ingreso se mantienen aproximadamente constantes a lo largo de todo el período, en estas condiciones se observa que PP tenderá a ser siempre menor que PL; véase la sección D.3

Para un análisis de las propiedades de los promedios simétricos, véase Diewert (1993c). Formalmente, un promedio m(a, b) de dos números a y b es simétrico si m(a, b) = m(b, a). En otras palabras, los números a y b se tratan del mismo modo en el promedio. Un ejemplo de un promedio no simétrico de a y b es (1/4)a + (3/4)b. En líneas generales, Walsh (1901, pág. 105) proponía un tratamiento simétrico cuando debía asignarse igual importancia a los dos períodos (o países) bajo análisis.

Walsh (1901, pág. 99) también sugirió este índice. Véase Diewert (1993a, pág. 36) para obtener información adicional sobre los comienzos de la teoría de los números índice.

Bowley (1899, pág. 641) parece haber sido el primero en sugerir utilizar el índice. Walsh (1901, págs. 428–29) también propuso usar este índice al analizar las grandes diferencias entre los índices de Laspeyres y de Paasche en uno de sus ejemplos numéricos: “Las cifras de las columnas (2) [Laspeyres] y (3) [Paasche] son, tomadas individualmente, extravagantes y absurdas. Pero hay orden en su extravagancia, porque la cercanía de sus medias a los resultados más veraces muestra que van a horcajadas del verdadero sendero, variando una por un lado lo que la otra varía en el otro”.

Véase Diewert (1992a, pág. 218) para conocer las primeras referencias a esta propiedad. Si deseamos que el índice de precios tenga la misma propiedad que un único cociente de precios, es importante que satisfaga la propiedad de reversión temporal. Sin embargo, existen otros puntos de vista posibles. Por ejemplo, podríamos querer utilizar el índice de precios para remuneraciones, en cuyo caso no interesaría tanto si se cumple o no la propiedad de reversión temporal.

Véase Diewert (1997, pág. 138).

El promedio o la media entre dos números a y b, m(a, b), es homo-géneo si, cuando ambos números a y b se multiplican por un número positivo λ, la media también se multiplica por; es decir, m cumple la siguiente propiedad: ma, λb) = λm (a, b).

Irving Fisher (1911, págs. 417–18; 1922) también consideró las medias aritmética, geométrica y armónica de los índices de Paasche y de Laspeyres.

Irving Fisher (1922, pág. 72) señaló que P y Q cumplían la propiedad de reversión de los factores si Q(p0, p1, q0, q1) = P(q0, q1, p0, p1) y si P y Q también cumplían la propiedad del producto en la ecuación (15.3).

Véase la sección 7 en Diewert (2001).

“Supongamos sin embargo que, para cada producto, Q' = Q, entonces la fracción, α(P′Q) / α(PQ), es decir, el cociente entre el valor agregado del segundo período de la segunda unidad y el valor agregado del primer período ya no es solo un cociente entre totales, sino que también muestra inequívocamente el efecto de la variación en el precio. Así, es un índice de precios inequívoco para el complejo de cantidades constantes de productos, A, B, C, etc.

Es evidente que si las cantidades son distintas en ambas situaciones y que, si al mismo tiempo, los precios no variaron, la fórmula anterior se convertirá en α(PQ′) / α(PQ). Todavía sería el cociente entre el valor agregado del segundo período y el valor agregado del primer período. Pero también sería más que esto. Mostraría de forma generalizada el cociente de las cantidades en las dos situaciones. Por ello, es un índice de cantidades inequívoco para el complejo de productos, con precios invariables y con variación solo en las cantidades.

Cabe destacar que la mera fórmula algebraica de estas expresiones pone inmediatamente en evidencia que la lógica del problema de buscar cualquiera de estos dos índices es idéntica” (Knibbs [1924, págs. 43–44]).

Nótese que Fisher (1922, pág. 53) utilizó la expresión “ponderados por un valor híbrido”, mientras que Walsh (1932, pág. 657) empleó el término “ponderaciones híbridas”.

La participación i-ésima definida por la ecuación (15.16) en este caso es la participación híbrida si=pi0qi1,Σi=1npi0qi1, que utiliza los pre cios del período 0 y las cantidades del período 1.

Obsérvese que elegimos una función media m(qi0, qi1) igual para todos los artículos i. Suponemos que m (a, b) tiene las siguientes propiedades:m (a, b) es una función positiva y continua, definida para todos los números positivos a y b y m (a, a) = a para todo a > 0.

Para mayor información sobre medias simétricas, véase Diewert (1993c, pág. 361).

Walsh (1921a, pág. 103) sostuvo que PW era la mejor fórmula de número índice: “Tenemos razones para creer que la fórmula 6 es mejor que la fórmula 7. Quizá la fórmula 9 sea la mejor entre las restantes, pero entre esta y las número 6 y 8 es difícil decidirse con certeza”. La fórmula 6 a la que se refiere es PW definida por la ecuación (15.19) y la 9 es la fórmula ideal de Fisher definida por la ecuación (15.12). El índice de cantidades de Walsh, QW(p0, p1, q0, q1), se define como PW(q0, q1, p0, p1); es decir, se intercambian los precios y las cantidades en la definición (15.19). Si el índice de cantidades de Walsh se utiliza para deflactar el cociente de valores, se obtiene un índice implícito de precios que es la fórmula 8 de Walsh.

Sin embargo, es poco probable que se trate de un problema grave en el contexto de las series temporales, cuando los cambios que ocurren en los vectores de cantidades entre un período y el otro son leves.

Esta terminología es de Diewert (1992a, pág. 216); Vogt (1980) fue el primero en proponer esta propiedad.

Véase la sección 7 de Diewert (2001).

Diewert (1978, págs. 887–89) demostró que estos dos índices son una aproximación de segundo orden el uno del otro en torno a un punto de igual precio y cantidad. Así, para datos de series de tiempo normales donde los precios y las cantidades no varían mucho entre el período base y el período corriente, los índices se aproximan bastante.

Véase también Hill (1988).

El mes 0 se denomina período de referencia de los precios y el año b, período de referencia de las ponderaciones.

Triplett (1981, pág. 12) definió el índice de Lowe, llamándolo índice de Laspeyres, y denominando al índice cuyo período de referencia de las ponderaciones es igual al período de referencia de los precios “índice de Laspeyres puro”. Triplett también señaló la representación de las participaciones híbridas del índice de Lowe definida por las ecuaciones (15.15) y (15.16). Además observó que el cociente de dos índices de Lowe que utilizan las mismas ponderaciones de cantidades también constituye un índice de Lowe.

De hecho, la utilización del índice de Lowe PLo(p0, pt, qb) en un contexto de productos estacionales concuerda con la fórmula de número índice tipo A de Bean y Stine (1924, pág. 31). Bean y Stine realizaron otras tres propuestas con relación a los índices de precios para productos estacionales. Estos aportes se evalúan en el capítulo 22.

Estos precios anuales de los productos son esencialmente precios de valor unitario. En condiciones de alta inflación, los precios anuales definidos en la ecuación (15.24) pueden haber dejado de ser “razonables” o representativos de los precios de todo el año porque los ingresos en los últimos meses de un año de alta inflación se verán “inflados” artificialmente por la inflación general. En estas circunstancias, los precios anuales y las participaciones de los productos en el ingreso anual deben interpretarse con cuidado. Para más recomendaciones sobre el modo de proceder en situaciones de alta inflación anual, véase Hill (1996).

También es necesario suponer que los compradores manifiestan conductas de sustitución normales en respuesta a las tendencias a largo plazo de los precios; es decir, si el precio de un producto aumenta (en términos relativos), la cantidad comprada bajará (en términos relativos), y si el precio de un producto baja en términos relativos, la cantidad comprada aumentará en términos relativos. Esto refleja la respuesta normal de “equilibrio de mercado” frente a los cambios en la oferta.

Walsh (1901, págs. 281–82) era muy consciente de los efectos de sustitución, como surge del siguiente comentario que señalaba el problema básico de los índices de canasta fija que utilizan las ponderaciones de cantidad de un único período: “El argumento planteado por quienes propugnan la media aritmética supone que compramos la misma cantidad de cada clase en ambos períodos a pesar de que varíen los precios, algo que no hacemos frecuentemente, si es que lo hacemos alguna vez. En sentido amplio, nosotros como comunidad generalmente gastamos más en aquellos artículos cuyo precio aumenta, de los cuales compramos una menor cantidad, y gastamos menos en los artículos cuyos precios bajan, de los cuales compramos más”.

El lector podrá desarrollar el argumento de una tendencia a largo plazo a la baja en el precio del i-ésimo producto. El argumento necesario para obtener una covarianza negativa requiere que haya algunas diferencias en las tendencias a largo plazo de los precios; es decir que, si todos los precios aumentan (o disminuyen) con la misma velocidad, habrá proporcionalidad de precios y la covarianza será nula.

Sin embargo, QL = u* también puede estar aumentando en su tamaño, de manera que el efecto neto sobre la divergencia entre PL y PP es ambiguo.

El concepto de índice del año intermedio se remite a Hill (1998, pág. 46): “Cuando la inflación debe medirse a lo largo de una secuencia específica de años, como una década, una solución pragmática a los problemas planteados anteriormente sería tomar el año medio del período como año base. Ello podría justificarse argumentando que es probable que la canasta de bienes y servicios comprada en el año intermedio resulte mucho más representativa del patrón de consumo de toda la década que las canastas del primer año o del último. Además, elegir una canasta más representativa también contribuirá a reducir, y hasta eliminar, cualquier sesgo en la tasa de inflación de la década en su conjunto, en comparación con el aumento del índice del costo de la vida. Así, además de introducir el concepto de índice del año intermedio, Hill introdujo el término sesgo de representatividad. Para más detalles acerca de índices del año intermedio, véanse Schultz (1999) y Okamoto (2001). Cabe señalar que el concepto de índice del año intermedio puede considerarse como un sustituto cercano del índice de canasta fija plurianual de Walsh (1901, pág. 431), en el cual se elige como vector de cantidades a un vector de medias aritméticas o geométricas de los vectores de cantidades del período en cuestión”.

No obstante, algunos servicios pueden tercerizarse a otros países, por ejemplo, los centros de atención telefónica, la programación de sistemas y el mantenimiento de las flotas aéreas.

Fue Walsh (1901, pág. 536; 1932, pág. 657) quien atribuyó esta fórmula a Young.

La obra de Fisher de 1922 es famosa por desarrollar el enfoque de la descomposición del cociente de valor en la teoría de los números índice, pero sus capítulos introductorios adoptan la perspectiva del promedio ponderado por las participaciones: “Un número índice de precios muestra el cambio porcentual promedio en los precios entre un momento y otro” (Fisher [1922, pág. 3]). Fisher continúa señalando la importancia de la ponderación económica: “El cálculo precedente trata todos los productos como igualmente importantes; consecuentemente el promedio se llamó ‘simple’. Si un producto es más importante que otro, podemos tratar al más importante como si fuera dos o tres productos, dándole así dos o tres veces tanta ‘ponderación’ como al otro producto” (Fisher [1922, pág. 6]). Walsh (1901, págs. 430–31) consideró ambos enfoques: “Podemos 1) extraer un promedio de los valores monetarios totales de las clases durante una secuencia de años y, con la ponderación así determinada, emplear una media geométrica de las variaciones [cocientes] de precios; o bien 2) extraer un promedio de las cantidades brutas de las clases durante el período y aplicarles el método de Scrope”. El método de Scrope es equivalente a utilizar el índice de Lowe. Todo el tiempo Walsh (1901, págs. 88–90) enfatizaba la importancia de ponderar los cocientes de precios por su importancia económica (en lugar de utilizar promedios equiponderados de relativos de precios). Los enfoques del desglose del cociente de valor y del promedio ponderado por participaciones de la teoría de los números índice se estudian desde una perspectiva axiomática en las secciones C y E del capítulo 16.

Utilizando la terminología de Fisher (1922, pág. 118), PY*(p0, pt, sb) ≡ 1/[PY(pt, p0, sb)] es la antítesis temporal del índice de Young original, PY(p0, pt, sb).

Estas desigualdades surgen del hecho de que la media armónica de M números positivos siempre es mayor o igual que la correspondiente media aritmética; véase Walsh (1901, pág. 517) o Fisher (1922, págs. 383–84). Esta desigualdad es un caso especial de la desigualdad de Schlömilch (1858); véase Hardy, Littlewood y Polyá (1934, pág. 26). Walsh (1901, págs. 330–32) señaló explícitamente la desigualdad (15.53) y también observó que la correspondiente media geométrica se ubicaría entre la armónica y la aritmética. Walsh (1901, pág. 432) calculó algunos ejemplos numéricos del índice de Young y encontró grandes diferencias entre este y los índices que él consideraba mejores, aun utilizando ponderaciones representativas de los períodos en cuestión. Recordemos que el índice de Lowe se convierte en el de Walsh cuando se eligen como ponderaciones las medias geométricas de las cantidades, con lo cual el índice de Lowe arroja buenos resultados si se utilizan ponderaciones representativas. No necesariamente ocurre esto con el índice de Young, ni siquiera empleando ponderaciones representativas. Walsh (1901, pág. 433) resumió sus experimentos numéricos con el índice de Young de la siguiente manera: “De hecho, encontramos que el método de Young resulta malo en cualquiera de sus formas”.

Ahora estamos frente a un tercer uso de estas propiedades, a saber, el de “rectificar” fórmulas, es decir, derivar de una fórmula que no cumple con una propiedad otra fórmula que sí la cumpla […]. Esto se hace fácilmente “cruzando”, es decir, promediando antítesis. Si una fórmula dada no cumple con la Propiedad 1 [de reversión temporal], su antítesis temporal tampoco la cumplirá; pero ambas fracasarán, por así decirlo, en sentidos opuestos, de manera que cruzar las dos (mediante una media geométrica) llevará al justo medio que sí la cumplirá” (Fisher [1922, pág. 136]). En realidad, Walsh sugirió la idea básica que sustenta el procedimiento de rectificación de Fisher cuando comentó el trabajo de Fisher (1921), en el que Fisher ofreció un anticipo de su libro de 1922: “Lo único que tenemos que hacer es tomar cualquier número índice, calcular su antítesis como lo indica el profesor Fisher, y luego calcular la media geométrica de ambos” (Walsh [1921b, pág. 542]).

Este índice es una contraparte ponderada por el año base de otro índice equiponderado que propusieron Carruthers, Sellwood y Ward (1980, pág. 25) y Dalén (1992a, pág. 140) en un contexto de fórmulas de números índice elementales. Véase el capítulo 20 para un análisis más profundo de este índice no ponderado.

Si estas definiciones se aplican (en forma aproximada) al índice de Young estudiado en la sección anterior, se verá que para que el índice de precios de Young sea consistente con el índice de precios de Divisia, las participaciones del año base deben ser participaciones promedio correspondientes a todo el período comprendido entre los meses 0 y t.

“Como fórmula elemental de la cadena, podemos utilizar una fórmula de Laspeyres o de Paasche o de Edgeworth o casi cualquier otra, según el principio de aproximación que elijamos para los pasos de la integración numérica” (Frisch [1936, pág. 8]).

Diewert (1980, pág. 444) también obtuvo las aproximaciones de Paasche y Laspeyres para el índice de Divisia utilizando un argumento de aproximación algo diferente. También mostró cómo otras fórmulas conocidas de números índice de tiempo discreto podían considerarse como aproximaciones al índice de tiempo continuo de Divisia.

Trivedi (1981) examinó sistemáticamente los problemas que surgen al buscar la mejor aproximación de tiempo discreto a los índices de Divisia utilizando técnicas de análisis numérico. Estas dependen del supuesto de que las verdaderas funciones continuas de microprecios, pi(t), pueden representarse adecuadamente mediante una aproximación polinómica. Así llegamos a la conclusión de que la mejor aproximación de tiempo discreto al índice de Divisia depende de supuestos que son difíciles de verificar.

Esta sección se basa principalmente en el trabajo de Hill (1988; 1993, págs. 385–90).

Los resultados del apéndice 17.1 brindan cierto fundamento teórico a la utilización de índices en cadena porque muestran que, en ciertas circunstancias, el índice de Divisia será igual a un índice de enfoque económico. De ahí que cualquier aproximación discreta al índice de Divisia se acercará al índice de enfoque económico a medida que se acorte el período. Así, en ciertas circunstancias, los índices en cadena se acercarán al índice de enfoque económico subyacente.

El principio del encadenamiento apareció independientemente en los estudios de economía publicados por Lehr (1885, págs. 45–46) y Marshall (1887, pág. 373). Ambos autores observaron que el sistema en cadena mitigaría las dificultades que surgen del lanzamiento de nuevos productos al mercado, una cuestión también señalada por Hill (1993, pág. 388). Fisher (1911, pág. 203) introdujo el término “sistema en cadena”.

Ejemplos de precios con tendencias rápidamente decrecientes y cantidades con tendencias rápidamente crecientes son las computadoras, los equipos electrónicos de todo tipo, el acceso a Internet y las tarifas de telecomunicaciones.

Cabe señalar que PL(p0, pt, q0, qt) será igual a PP(p0, pt, q0, qt) si los dos vectores de cantidades q0 y qt son proporcionales o bien si los dos vectores de precios p0 y pt son proporcionales. Por lo tanto, a efectos de obtener una diferencia entre los índices de Paasche y de Laspeyres, se requiere que ni los precios ni las cantidades sean proporcionales.

Las fluctuaciones estacionales periódicas pueden provocar que ciertos datos mensuales o trimestrales “reboten”—para emplear el término acuñado por Szulc (1983)—y empalmar datos que rebotan puede originar una deriva considerable en el índice; es decir, si luego de 12 meses los precios y las cantidades vuelven a su nivel inicial de un año atrás, normalmente un índice mensual en cadena no regresa a la unidad. De ahí que no se recomiende la utilización de índices en cadena para datos mensuales o trimestrales con “ruido” sin tomar las debidas precauciones.

Véanse Diewert (1978, pág. 895) y Hill (1988; 1993, págs. 387–88).

Esta observación se ilustrará mediante un conjunto de datos artificiales en el capítulo 19.

Walsh, al analizar si se deben calcular números índice de base fija o en cadena, dio por sentado que la precisión de todas las fórmulas bilaterales de números índice aumentaría si los dos períodos o situaciones comparadas fueran más similares, por lo cual se inclinaba por los índices en cadena: “La verdadera pregunta es ¿por cuál de los dos caminos [números índice de base fija o en cadena] es probable que consigamos mayor precisión de las comparaciones que efectivamente realizamos? Aquí parece que la probabilidad se inclina a favor del segundo, pues es probable que las condiciones difieran menos entre dos períodos contiguos que entre períodos separados por unos cincuenta años, por ejemplo” (Walsh [1901, pág. 206]). Walsh (1921a, págs. 84–85) reiteró luego su preferencia por los números índice en cadena. Fisher también utilizó la idea de que el sistema en cadena normalmente establecería comparaciones bilaterales entre datos de precios y cantidades que fueran más similares, con lo cual las comparaciones resultantes serían más precisas: “Los números índice de 1909 y 1910 (calculados ambos en términos de 1867–77) se comparan entre sí. Pero una comparación directa entre 1909 y 1910 daría un resultado diferente y más valioso. Utilizar una base común es como comparar la altura relativa de doshombres midiendo la altura de cada uno respecto del piso en vez de ponerlos espalda con espalda y medir directamente la diferencia entre los niveles de sus coronillas” (Fisher [1911, pág. 204]). “Por lo tanto, parece aconsejable comparar cada año con el siguiente, es decir, hacer de cada año la base del año siguiente. Marshall, Edgeworth y Flux recomendaron este procedimiento, que supera en gran medida la dificultad que presentan los cambios no uniformes en las cantidades, dado que las desigualdades de años sucesivos son relativamente pequeñas” (Fisher [1911, págs. 423–24]).

Diewert (2002b) adopta un enfoque axiomático y define diversos índices de disimilitud absoluta y relativa.

Fisher (1922, págs. 271–76) insinuó la posibilidad de utilizar esla-bones espaciales, es decir, encadenar países que tuvieran estructuras similares. Pero los estudios modernos se desarrollaron a partir de los esfuerzos pioneros de Robert Hill (1995; 1999a; 1999b; 2001). Hill (1995) utilizó la brecha entre los índices de precios de Paasche y de Laspeyres como un indicador de similitud y demostró que este criterio arroja los mismos resultados que el que consiste en comparar la brecha entre los índices de cantidades de Paasche y de Laspeyres.

Cabe tener en cuenta que von der Lippe (2001, págs. 56–58) critica enérgicamente todas las propiedades de números índice basadas en la simetría para contextos de series temporales, aunque está dispuesto a aceptar la simetría para un contexto de comparaciones internacionales. “Pero hay buenas razones para no insistir con estos criterios en el caso intertemporal. Cuando no hay simetría entre 0 y t, no tiene sentido intercambiar 0 y t (von der Lippe [2001, pág. 58]).

El nombre de la propiedad se atribuye a Fisher (1922, pág. 413) y el concepto se atribuyó originalmente a Westergaard (1890, págs. 218–19).

Las propiedades adicionales a las cuales nos referimos son: i) la de positividad y continuidad de P(p0, p1, q0, q1) para todos los vectores estrictamente positivos de precios y de cantidades p0, p1, q0, q1; ii) la propiedad de identidad; iii) la propiedad de conmensurabilidad; iv) P(p0, p1, q0, q1) es positivamente homogéneo de grado uno en los componentes de p1, y v) P(p0, p1, q0, q1) es positivamente homogéneo de grado cero en los componentes de q1.

Konüs y Byushgens demuestran que el índice definido por la ecuación (15.78) es exacto para preferencias Cobb-Douglas (1928). El concepto de una fórmula de número índice exacta se explica en el capítulo 17.

El resultado de la ecuación (15.78) puede obtenerse utilizando los resultados de Eichhorn (1978, págs. 167–68) y de Vogt y Barta (1997, pág. 47). Una demostración sencilla se encuentra en Balk (1995). Este resultado reivindica la intuición de Irving Fisher (1922, pág. 274) respecto de que “las únicas fórmulas que cumplen la propiedad circular a la perfección son los números índice que tienen ponderaciones constantes…”. Fisher (1922, pág. 275) continúa: “Pero, claramente, no es correcto mantener constantes las ponderaciones. Si comparamos 1913 con 1914, necesitamos determinado conjunto de ponderaciones; si comparamos 1913 con 1915, necesitamos, por lo menos en teoría, un conjunto de ponderaciones diferente. […] De modo similar, pasando de lo temporal a lo espacial, un número índice que compare Estados Unidos con Inglaterra requiere un conjunto de ponderaciones, y uno que compare Estados Unidos con Francia requiere, al menos en teoría, un conjunto distinto”.

Véase, por ejemplo, Diewert (1978, pág. 894). Walsh (1901, págs. 424 y 429) advirtió que sus tres fórmulas preferidas al igual que el índice ideal de Fisher, se acercaban mucho entre sí, para su conjunto hipotético de datos.

Más específicamente, la mayoría de los índices superlativos (que se ponderan simétricamente) cumplen la propiedad de circularidad con un alto grado de aproximación en el contexto de series temporales. Véase el capítulo 17 para la definición de índice superlativo. Vale la pena enfatizar que es probable que los índices de base fija de Paasche y de Laspeyres difieran considerablemente pasados cinco años si las computadoras (o cualquier otro producto cuyos precios y cantidades manifiesten tendencias distintas de las de los demás productos) se incluyen en el agregado de valor bajo consideración (véase el capítulo 19 por evidencia empírica sobre este tema).

Nuevamente, véanse Szulc (1983) y Hill (1988).

Esta fórmula se introdujo de manera implícita en Törnqvist (1936) y se definió explícitamente en Törnqvist y Törnqvist (1937).

Es posible extender este resultado de exactitud para que abarque el caso en que hay variaciones mensuales proporcionales en los precios y las participaciones en el ingreso tienen efectos estacionales constantes además de tendencias lineales; véase Alterman, Diewert y Feenstra (1999, pág. 65).

Walsh (1921a, pág. 98) llamó a su propiedad circular, pero como Fisher también utilizó este término para describir su propiedad de transitividad definida anteriormente en la ecuación (15.77), parecería mejor ajustarse a la terminología de Fisher ya que está muy arraigada en los estudios publicados.

Walsh (1921b, págs. 540–41) señaló que la propiedad de reversión temporal era un caso especial de su propiedad de circularidad.

Esto es esencialmente una variante de la metodología que utilizó Fisher (1922, pág. 284) para verificar hasta qué punto se correspondían diversas fórmulas con su versión de la propiedad de circularidad.

Véase Bortkiewicz (1923, págs. 374–75) para la primera aplicación de esta técnica de desglose del coeficiente de correlación.

Este tipo de aproximación de segundo orden se atribuye a Dalén (1992; pág. 143) para el caso r* = 1 y a Diewert (1995a, pág. 29) para el caso de un r* general.

    Other Resources Citing This Publication