Chapter

20. Les indices d’agrégat élémentaire

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
September 2009
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A. Introduction

20.1 Dans tous les pays, l’indice des prix des extrants (IPE) est calculé en deux étapes (ou plus). Dans un premier temps, des indices d’agrégat élémentaire sont estimés pour les agrégats élémentaires d’un IPP. Dans une deuxième phase d’agrégation—suivie d’autres étapes, le cas échéant—, ces indices sont combinés pour obtenir des indices de niveau supérieur utilisant comme pondérations les informations disponibles sur la production nette de chacun des agrégats élémentaires. Un agrégat élémentaire regroupe les recettes tirées d’une série limitée et relativement homogène de produits définis dans la classification par secteur d’activité utilisée pour l’IPP. Des échantillons de prix sont recueillis au sein de chaque agrégat élémentaire, de sorte que les agrégats élémentaires servent de strates pour l’échantillonnage.

20.2 Les données sur les recettes ou les quantités des différents biens et services ne sont en général pas disponibles au sein d’un agrégat élémentaire. Comme il n’existe pas de pondérations en quantités, ni de pondérations de recettes, la théorie des indices esquissée aux chapitres 15 à 19 n’est pas, pour l’essentiel, directement applicable. Ainsi que nous l’avons observé au chapitre 1, l’indice d’agrégat élémentaire est un concept plus primitif souvent établi uniquement à partir de données de prix.

20.3 Quelle formule est la plus indiquée pour construire un indice d’agrégat élémentaire? C’est la question qui sera examinée dans le présent chapitre. La qualité d’un IPP dépend en grande partie de celle des indices d’agrégat élémentaire, car c’est sur la base de ces éléments qu’il est construit.

20.4 Comme il est expliqué au chapitre 6, les statisticiens doivent choisir des produits représentatifs au sein de chaque agrégat élémentaire et relever ensuite des échantillons de prix pour chaque produit représentatif, le plus souvent à partir d’un échantillon d’établissements. Les produits dont les prix sont effectivement recueillis sont appelés produits de l’échantillon. Leurs prix sont relevés pendant une série de périodes successives. En règle générale, donc, un indice d’agrégat élémentaire est calculé à partir de deux séries d’observations appariées de prix. Dans le présent chapitre, nous supposons qu’il n’y a pas d’observations manquantes ni de modification de la qualité des produits de l’échantillon, de sorte que l’on dispose de deux séries de prix parfaitement appariées. Le traitement des nouveaux produits qui apparaissent (ou des produits qui disparaissent) et des changements de qualité pose une question distincte et complexe, qui est examinée en détail aux chapitres 7, 8 et 21 du Manuel.

20.5 Même si les pondérations en quantités ou les pondérations de recettes ne sont en général pas disponibles pour les prix élémentaires relevés, il est utile d’envisager un cadre idéal dans lequel ces informations seraient données. La question est examinée à la section B, où sont abordés aussi les problèmes que soulève l’agrégation dans le temps de prix étroitement définis. La réflexion poursuivie à la section B permet de proposer une cible théorique pour les indices d’agrégat élémentaire pratiques établis uniquement à partir des données sur les prix.

20.6 Les principales formules d’indices d’agrégat élémentaire utilisées dans la pratique sont présentées à la section C et certaines relations numériques entre les divers indices sont développées à la section D. Les chapitres 15 à 17 examinent les diverses approches de la théorie des indices dans le cas où l’on disposerait à la fois de données sur les prix et sur les quantités. Il est possible aussi de développer des approches axiomatiques, économique et stochastique (échantillonnage) des indices d’agrégat élémentaire, et ces trois méthodes seront examinées aux sections E, F et G ci-après. La section H développe une approche statistique simple des indices d’agrégat élémentaire, qui s’apparente à un modèle de régression hédonique très simplifié. La section I, enfin, récapitule les divers résultats1.

B. Indices d’agrégat élémentaire

20.7 Les agrégats couverts par l’IPC ou par l’IPP sont en général structurés selon une hiérarchie arborescente, telle que la Nomenclature des fonctions de la consommation individuelle (COICOP) ou la Nomenclature générale des activités économiques dans les Communautés européennes (NACE). Un agrégat est un ensemble de transactions économiques portant sur un ensemble de produits durant une période déterminée. Chaque transaction économique a trait au transfert de propriété d’un produit (bien ou service) spécifique et bien défini à un endroit précis et à une date donnée, et se rapporte à une quantité et à un prix donnés. On calcule l’indice de prix d’un agrégat en faisant la moyenne pondérée des indices établis pour les sous-agrégats, les pondérations (de la production nette) et le type de moyenne étant déterminés par la formule d’indice. Il est possible de descendre les échelons de cette hiérarchie aussi loin que les informations disponibles permettent de décomposer les pondérations. Au niveau d’agrégation le plus bas, on obtient des agrégats élémentaires, qui sont pour l’essentiel de deux types:

  • i) les agrégats pour lesquels on dispose de toutes les informations détaillées sur les prix et les quantités;

  • ii) les agrégats pour lesquels le statisticien décide d’utiliser un échantillon représentatif de produits ou de répondants, en raison du coût opérationnel et de la charge de travail (dépouillement des réponses) qu’entraînerait la collecte de données élémentaires sur les prix et les quantités pour l’ensemble des transactions.

L’examen de cette question présente un intérêt pratique manifeste. Comme les agrégats élémentaires sont les éléments de base de l’IPC et de l’IPP, le choix d’une formule inadaptée à ce niveau peut être lourd de conséquences pour l’indice global.

20.8 Dans la présente section, nous supposerons que des informations détaillées sont disponibles sur les prix et les quantités pour l’ensemble des transactions relatives à l’agrégat élémentaire pendant les deux périodes considérées, hypothèse qui nous permet de définir un agrégat élémentaire idéal. Nous assouplirons dans les sections suivantes cette hypothèse forte, d’accès à des données élémentaires sur les prix et quantités afférents aux transactions, mais il est nécessaire que notre indice d’agrégat élémentaire pratique repose sur une cible théorique idéale.

20.9 En principe, des données élémentaires sur les prix et les quantités existent dans le monde extérieur même si le statisticien n’y a pas accès. Il est fréquent que les données sur les transactions individuelles fassent l’objet d’une certaine agrégation au niveau des répondants (c’est-à-dire des entreprises), sous une forme inspirée en général du système d’information financière ou administrative de ces derniers. Ce niveau d’information déterminé par le répondant peut être qualifié de niveau d’information de base. Cependant, ce n’est pas forcément le meilleur niveau d’information auquel les statisticiens pourraient avoir accès. Il est toujours possible de demander au répondant de fournir des informations plus désagrégées. On peut l’inviter par exemple à communiquer des données hebdomadaires plutôt que mensuelles ou, le cas échéant, des informations régionales plutôt que mondiales; le répondant peut être invité aussi à communiquer des données selon une nomenclature des produits plus détaillée. Le niveau des transactions individuelles est le seul obstacle naturel qui s’oppose à une désagrégation plus poussée2.

20.10 Il convient maintenant d’aborder le problème qui se pose lorsqu’il existe des données élémentaires sur les transactions individuelles au niveau de chaque établissement, ou même de chaque série de production. Reprenons les indices de prix et de quantités, P(p0,p1,q0,q1) et Q(p0,p1,q0,q1) examinés au chapitre 15. Ces indices (bilatéraux) des prix et des quantités décomposent le ratio de valeurs V1/V0 en une variation des prix, P(p0,p1,q0,q1) et une variation des quantités, Q(p0,p1,q0,q1). Dans ce contexte, on considère comme acquis que le prix et la quantité du produit i durant la période t: respectivement pit et qit, sont correctement définis. Cependant, ces définitions ne sont pas parfaitement claires puisque les acheteurs peuvent acheter individuellement le même produit à des prix différents durant la période t. De même, si l’on examine les ventes d’un établissement précis, on constate que le même produit peut être vendu à des prix très différents pendant la période concernée. Pour pouvoir appliquer un indice de prix bilatéral traditionnel se présentant sous la forme P(p0,p1,q0,q1) examinée aux précédents chapitres de ce manuel, il faut donc d’abord résoudre un problème d’agrégation temporelle non trivial afin d’obtenir les prix et quantités de base, pit et qit qui composent les vecteurs de prix p0 et p1 et les vecteurs de quantité q0 et q1. Walsh3 (1901, 1921a) et Davies (1924, 1932) proposent une solution à ce problème d’agrégation temporelle dans le cadre de l’IPC: la quantité appropriée à ce tout premier stade d’agrégation est la quantité totale achetée du produit élémentaire étroitement défini, et le prix correspondant est égal à la valeur des achats de ce produit divisée par le montant total acheté, ce qui correspond à une valeur unitaire étroitement définie. La valeur unitaire appropriée dans le cadre de l’IPP est la valeur des recettes divisée par le montant total vendu. Plus récemment, d’autres chercheurs ont adapté la solution de Walsh et Davies au problème de l’agrégation temporelle4. On notera que cette solution du problème d’agrégation temporelle présente les avantages suivants:

  • i) l’agrégat des quantités est intuitivement plausible: il est égal à la quantité totale des produits étroitement définis vendus par les établissements durant la période considérée;

  • ii) le produit du prix par la quantité donne les recettes totales (ou la valeur totale) des ventes de l’établissement durant la période considérée.

Cette solution du problème d’agrégation temporelle sera retenue comme concept valable pour les prix et les quantités à ce premier stade d’agrégation.

20.11 Une fois choisie la définition théorique appropriée du prix et de la quantité d’un produit au niveau d’agrégation le plus bas (c’est-à-dire la valeur unitaire étroitement définie et la quantité totale de ce produit vendue par un établissement donné), l’étape suivante consiste à examiner comment agréger ces prix et ces quantités élémentaires étroitement définis en un agrégat élémentaire global. Supposons qu’il existe M produits du niveau d’agrégation le plus bas, ou produits spécifiques, dans cette catégorie élémentaire choisie. Soit qmt la quantité de produit m vendue pendant la période t, et pmt la valeur unitaire agrégée dans le temps correspondante pour t = 0, 1 et pour les produits m = 1, 2,…,M. Soit qt=[q1t,q2t,,qMt] et pt=[p1t,p2t,,pMt] les vecteurs des quantités et des prix de la période t pour t = 0, 1. Il faut maintenant choisir une formule d’indice théoriquement idéale, P(p0,p1,q0,q1), qui permettra d’agréger les prix d’un produit dans un rapport de prix agrégé global pour les M produits de l’agrégat élémentaire choisi. Toutefois, le problème du choix d’une forme fonctionnelle pour P(p0,p1,q0,q1) est identique au problème d’indice global examiné aux chapitres 15 à 17. Quatre différentes approches de la théorie des indices sont analysées dans ces chapitres, ce qui permet de déterminer les meilleures formules d’indice pour chacune d’elles. Si l’on adopte l’approche des paniers types, les indices de prix de Fisher (1922) et Walsh (1901), PF et PW, semblent être les meilleures formules. Si l’on adopte l’approche des tests, c’est l’indice de Fisher qui est ainsi distingué, alors que l’approche stochastique de la théorie des indices met en avant la formule d’indice de Törnqvist–Theil (Theil, 1967), PT. Enfin, l’approche économique de la théorie des indices conclut que l’indice des prix de Walsh PW, l’indice idéal de Fisher PF et la formule d’indice de Törnqvist–Theil PT sont aussi pertinents les uns que les autres. Il apparaît, en outre, que ces trois formules d’indice sont numériquement très proches. Peu importe donc quel indice est choisi5. Nous considérons donc que la formule d’indice d’agrégat élémentaire théoriquement idéale est l’une des trois formules suivantes: PF(p0,p1,q0,q1), PW(p0,p1,q0,q1) ou PT(p0,p1,q0,q1), où la quantité du produit m achetée durant la période t, à savoir qmt, est la quantité totale de ce produit étroitement défini produite par l’établissement durant la période t et le prix correspondant du produit m est pmt, valeur unitaire agrégée dans le temps, pour t = 0, 1 et pour les produits m = 1,….,M.

20.12 Divers indices d’agrégat élémentaire pratiques sont définis à la section suivante. Ces indices n’ayant pas de pondérations en quantités, ils sont uniquement fonction des vecteurs des prix p0 et p1, qui contiennent les valeurs unitaires agrégées dans le temps pour les M produits de l’agrégat élémentaire dans les périodes 0 et 1. En conséquence, si l’on compare une formule d’indice d’agrégat élémentaire pratique, telle que PE(p0,p1), à un indice d’agrégat élémentaire idéal, tel que l’indice des prix de Fisher PF(p0,p1,q0,q1), PE sera de toute évidence différent de PF, puisque les prix ne sont pas pondérés selon leur importance économique dans la formule élémentaire pratique. Nous appellerons biais d’approximation de formule cette différence entre les deux formules d’indice.

20.13 Les indices d’agrégat élémentaire pratiques peuvent être entachés de deux autres types d’écarts:

  • L’office de statistique n’est pas toujours en mesure de recueillir des données sur la totalité des M prix de l’agrégat élémentaire, et la collecte se limite alors à un échantillon de ceux-ci. Nous appellerons écart d’échantillonnage la différence entre l’indice de l’agrégat élémentaire incomplet et la formule d’indice d’agrégat élémentaire théoriquement idéale.

  • Même lorsque l’office de statistique relève le prix d’un produit étroitement défini, il se peut que ce prix ne soit pas égal à la valeur unitaire agrégée dans le temps théoriquement appropriée. Cette utilisation d’un prix inapproprié au niveau d’agrégation le plus bas donne lieu à un biais d’agrégation temporelle.

20.14 À la section G, nous examinerons une base de sondage qui peut être utilisée pour la collecte des prix et permet de réduire les trois types d’erreurs mentionnés cidessus. Les cinq principales formules d’indices d’agrégat élémentaire sont présentées à la section C et les relations numériques qui existent entre elles sont analysées à la section D. Les sections E et F sont consacrées aux approches axiomatique et économique de ces indices, sous l’angle desquelles sont ensuite évaluées les cinq formules d’indices d’agrégat élémentaire utilisées dans la pratique.

C. Indices d’agrégat élémentaire utilisés dans la pratique

20.15 Supposons qu’il existe M produits au niveau d’agrégation le plus bas (dits aussi produits spécifiques) dans la catégorie élémentaire choisie. Soit pmt le prix du produit m pendant la période t pour t = 0, 1 et pour les produits m = 1, 2,…,M. Soit également pt=[p1t,p2t,,pMt] pour t = 0, 1 le vecteur de prix de la période t.

20.16 La première formule d’indice d’agrégat élémentaire largement utilisée, élaborée par l’économiste français Dutot (1738), se présente comme suit:

L’indice d’agrégat élémentaire de Dutot est donc égal à la moyenne arithmétique des prix des M produits élémentaires durant la période 1 divisée par la moyenne arithmétique des prix des M produits élémentaires durant la période 0.

20.17 La deuxième de ces formules d’indice d’agrégat élémentaire, élaborée par l’économiste italien Carli (1804), se présente comme suit:

L’indice d’agrégat élémentaire de Carli est donc égal à la moyenne arithmétique des ratios ou rapports de prix, pmt/pm0, des M produits élémentaires.

20.18 La troisième de ces formules d’indice d’agrégat élémentaire, élaborée par l’économiste anglais Jevons (1863), se présente comme suit:

L’indice d’agrégat élémentaire de Jevons est donc égal à la moyenne géométrique des ratios ou rapports de prix, pmt/pm0 des M produits.

20.19 La quatrième formule d’indice d’agrégat élémentaire PH est la moyenne harmonique des rapports de prix des M produits. Elle a été citée pour la première fois comme formule d’indice d’agrégat élémentaire, de façon incidente, par Jevons (1865, p. 121) et Coggeshall (1887):

20.20 Enfin, la cinquième formule d’indice d’agrégat élémentaire est la moyenne géométrique de la formule de Carli et de la formule harmonique: autrement dit, c’est la moyenne géométrique des moyennes arithmétique et harmonique des rapports de prix des M produits élémentaires:

Cette formule d’indice a été suggérée pour la première fois par Fisher (1922, p. 472) sous la forme de sa formule 101. Fisher a observé en outre de façon empirique, à partir de son ensemble de données, que PCSWD était très proche de l’indice de Jevons, PJ, et que ces deux indices étaient ses meilleures formules d’indice non pondérées. Plus récemment, Carruthers, Sellwood et Ward (1980, p. 25) et Dalén (1992a, p. 140) ont proposé à leur tour PCSWD comme formule d’indice d’agrégat élémentaire.

20.21 Les formules élémentaires les plus fréquemment utilisées étant ainsi définies, reste à déterminer quelle est la meilleure. De toute évidence, il ne peut être répondu à cette question tant que l’on a pas défini les propriétés souhaitables des indices d’agrégat élémentaire. Celles-ci seront définies de façon systématique à la section E, mais nous en signalerons une dès à présent, la réversibilité temporelle, dont le test a déjà été mentionné au chapitre 15. En l’occurrence, ce test pour l’indice d’agrégat élémentaire P(p0,p1) devient:

20.22 Ce test indique que, si les prix de la période 2 reviennent à leur niveau initial de la période 0, le produit de la variation des prix entre les périodes 0 et 1, P(p0,p1), et de la variation des prix entre les périodes 1 et 2, P(p1,p0), devrait être égal à l’unité: dans les conditions énoncées, donc, l’indice devrait donc revenir finalement à son point de départ. On peut vérifier que les indices de Dutot; Jevons; et Carruthers, Sellwood et Ward, PD, PJ, et PCSWD, satisfont tous au test de réversibilité temporelle, mais qu’il n’en va pas de même pour l’indice de Carli et les indices harmoniques, respectivement, PC et PH. En fait, ces deux derniers indices échouent de la façon biaisée suivante:

Les inégalités des équations6 (20.7) et (20.8) sont strictes dès que le vecteur des prix de la période 1, p1, n’est pas proportionnel à celui de la période 0, p0. En règle générale, donc, l’indice de Carli affichera un biais positif et l’indice harmonique un biais négatif. Fisher (1922, p. 66 et 383), qui a été semble-t-il le premier à démontrer le biais positif de l’indice de Carli7, fait la remarque suivante quant à son utilisation par les offices de statistique:

Dans d’autres domaines que celui des indices, il constitue souvent le meilleur type de moyenne. Mais nous verrons que la moyenne arithmétique simple donne l’un des plus mauvais indices. Et même si cet ouvrage n’a pas d’autre effet que de conduire à l’abandon total de l’indice arithmétique simple, il n’aura pas été inutile (Irving Fisher, 1922, p. 29–30).

20.23 Dans la section suivante, nous précisons certaines relations numériques entre les cinq indices d’agrégat élémentaire qui viennent d’être définis, avant de dresser une liste plus complète des propriétés souhaitables pour les indices d’agrégat élémentaire et puis d’évaluer les cinq formules élémentaires par rapport à ces propriétés ou tests.

D. Relations numériques entre les indices d’agrégat élémentaire les plus utilisés

20.24 Il est possible de démontrer8 que les indices d’agrégat élémentaire de Carli et de Jevons satisfont, de même que les indices d’agrégat élémentaire harmoniques, aux inégalités suivantes:

Autrement dit, l’indice harmonique est toujours inférieur ou égal à l’indice de Jevons, lequel est toujours inférieur ou égal à l’indice de Carli. En fait, les inégalités strictes de la formule (20.9) sont valables à condition que le vecteur de prix de la période 0, p0, ne soit pas proportionnel au vecteur de prix de la période 1, p1.

20.25 Les inégalités de la formule (20.9) ne nous disent pas dans quelle mesure l’indice de Carli dépassera celui de Jevons, ni de combien ce dernier dépassera l’indice harmonique. Nous établirons donc, dans le reste de cette section, des relations approximatives entre les cinq indices définis dans la section précédente, afin de fournir des indications pratiques sur l’ampleur relative de chaque indice.

20.26 La première de ces relations approximatives est celle qui lie l’indice de Carli PC à l’indice de Dutot PD. Pour chaque période t, définissons comme suit la moyenne arithmétique des M prix de cette période:

Définissons maintenant comme suit l’écart multiplicatif du mièmeprix durant la période t par rapport au prix moyen de cette période, emt:

On observera également que les formules (20.10) et (20.11) impliquent que la somme des écarts emt est égale à 0 durant chaque période:

Notons que l’indice de Dutot peut s’exprimer comme le rapport des prix moyens, p1*p0*:

Insérons maintenant la formule (20.11) dans la définition de l’indice de Jevons (20.3):

et=[e1t,,emt] pour t = 0 et 1, et la fonction f est définie comme suit:

Procédons au développement limité au second ordre de f(e0,e1) par une série de Taylor autour de e0 = 0M et e1 = 0M. À l’aide de la formule (20.12), on peut vérifier9 que l’on obtient la relation approximative de second ordre suivante entre PJ et PD:

où var(et) est la variance des écarts multiplicatifs durant la période t; donc, pour t = 0, 1:

20.27 Dans des circonstances normales10, il est probable que la variance des écarts des prix par rapport à leurs moyennes dans chaque période serait approximativement constante et que, dans ce cas, l’indice des prix de Jevons donnerait une approximation de second ordre de l’indice des prix de Dutot. Si l’on excepte la formule de Dutot, les quatre autres indices d’agrégat élémentaire définis à la section C sont des fonctions des prix relatifs des M produits sur lesquels porte l’agrégation. Ce constat est utilisé pour calculer les relations approximatives entre ces quatre indices d’agrégat élémentaire. Définissons donc le mièmerapport de prix comme suit:

20.28 Définissons la moyenne arithmétique des m rapports de prix comme suit:

où la dernière égalité découle de la définition de la formule (20.2) de l’indice de Carli. Enfin, définissons comme suit l’écart emdu mièmerapport de prix, rm, à partir de la moyenne arithmétique des M rapports de prix, r*:

20.29 On notera que les formules (20.19) et (20.20) impliquent que la somme des écarts em est nulle:

Insérons maintenant la formule (20.20) dans les définitions de PC, PJ, PH, et PCSWD dans les formules (20.2) à (20.5), afin d’obtenir les représentations suivantes de ces indices, établies en fonction du vecteur des écarts, e = [e1,…, eM]:

où la dernière équation des formules (20.22) à (20.25) sert à définir les fonctions d’écart, fC(e), fJ(e), fH(e) et fCSW(e). Les approximations de second ordre par une série de Taylor effectuées pour chacune de ces fonctions autour du point e = 0M sont les suivantes:

où la formule (20.21) est utilisée de façon répétée pour calculer les approximations ci-dessus11. Au second ordre, l’indice de Carli PC sera donc supérieur aux indices de Jevons et de Carruthers, Sellwood et Ward, PJ et PCSWD, de (½)r*var(e), soit la moitié de la variance des M rapports de prix pm1/pm0. De même, au second ordre, l’indice harmonique PH sera inférieur aux indices de Jevons et de Carruthers, Sellwood et Ward: PJ et PCSWD, de la moitié de la variance des M rapports de prix pm1/pm0.

20.30 On peut donc s’attendre, empiriquement, à ce que les indices de Jevons et de Carruthers, Sellwood et Ward soient très proches l’un de l’autre. Si l’on utilise le résultat de l’approximation précédente (20.16), l’indice de Dutot, PD, devrait lui aussi être relativement proche de PJ et PCSWD, avec quelques fluctuations au cours du temps dues à l’évolution des variances des vecteurs d’écart pour les périodes 0 et 1, e0 et e1. On peut donc s’attendre à ce que ces trois indices d’agrégat élémentaire donnent des réponses numériques semblables dans le cadre d’applications empiriques. D’un autre côté, l’indice de Carli devrait être nettement supérieur à ces trois indices, la divergence s’accentuant à mesure que la variance des M rapports de prix augmente. On peut s’attendre de même à ce que l’indice harmonique soit nettement inférieur à ces trois indices, la divergence s’accentuant là aussi à mesure que la variance des M rapports de prix augmente.

E. Approche axiomatique des indices d’agrégat élémentaire

20.31 Rappelons que l’approche axiomatique des indices de prix bilatéraux P(p0,p1,q0,q1) a été présentée au chapitre 16. Dans le présent chapitre, l’indice d’agrégat élémentaire P(p0,p1) ne dépend que des vecteurs de prix des périodes 0 et 1, p0 et p1, et non pas des vecteurs de quantités des périodes 0 et 1, q0 et q1. Si l’on souhaite de nouveaux tests (T) ou axiomes pour un indice d’agrégat élémentaire, une solution consiste à examiner la vingtaine d’axiomes mentionnés au chapitre 16 pour les indices de prix bilatéraux P(p0,p1,q0,q1), et à les adapter à notre contexte. Autrement dit, on peut utiliser les anciens tests bilatéraux pour P(p0,p1,q0,q1), qui ne dépendent pas des vecteurs de quantités q0 et q1, comme tests d’un indice d’agrégat élémentaire P(p0,p1)12.

20.32 Les huit premiers tests ou axiomes, d’une relative simplicité, ne sont pas controversés:

T1: Continuité: P(p0,p1) est une fonction continue des M prix positifs de la période 0, p0=[p10,,pM0], et des M prix positifs de la période 1, p1=[p11,,pM1].

T2: Identité: P(p,p) = 1; autrement dit, si le vecteur des prix de la période 0 est égal au vecteur des prix de la période 1, l’indice est égal à l’unité.

T3: Monotonie aux prix de la période en cours: P(p0,p1) < P(p0,p) si p1 < p; si un prix de la période 1 augmente, l’indice des prix augmente.

T4: Monotonie aux prix de la période de référence: P(p0,p1) > P(p,p1) si p0 < p; si un prix de la période 0 augmente, l’indice des prix baisse.

T5: Proportionnalité pour les prix courants: P(p0p1) = λP(p0,p1) si λ > 0; si tous les prix de la période 1 sont multipliés par le nombre positif λ, l’indice des prix initial est aussi multiplié par λ.

T6: Proportionnalité inverse des prix de la période de référence: Pp0,p1) = λ−1P(p0,p1) si λ > 0; si tous les prix de la période 0 sont multipliés par le nombre positif λ, l’indice des prix initial est multiplié par 1/λ.

T7: Test de la valeur moyenne: minm{pm1/pm0:m=1,,M}P(p0,p1)maxm{pm1/pm0:m=1,,M}; autrement dit, l’indice des prix se situe entre les plus petits et les plus grands rapports de prix.

T8: Traitement symétrique des établissements/produits: P(p0,p1) = P(p0*,p1*), où p0* et p1* expriment la même permutation des composantes de p0 et p1; autrement dit, si nous modifions l’ordre des établissements (ou des produits de ces établissements) auprès desquels les prix ont été relevés au cours des deux périodes, l’indice d’agrégat élémentaire reste inchangé.

20.33 Eichhorn (1978, p. 155) a montré que les tests T1, T2, T3 et T5 impliquent T7, de sorte que les tests ci-dessus ne sont pas tous indépendants d’un point de vue logique. Les tests suivants, plus controversés, ne sont pas nécessairement acceptés par tous les statisticiens.

T9: Le test de bouncing des prix: P(p0,p1) = P(p0*,p1**) où p0* et p1** expriment des permutations différentes, le cas échéant, des composantes de p0 et p1. Si nous apportons des modifications (qui peuvent être différentes) à l’ordre des prix relevés durant les deux périodes, l’indice d’agrégat élémentaire demeure inchangé.

20.34 Le test T8 est à l’évidence un cas particulier du test T9 où les deux permutations de l’ordre initial des prix doivent être identiques. Le test T9 implique donc le test T8. Le test T9 a été formulé par Dalén (1992a, p. 138), qui l’a justifié en suggérant que l’indice des prix devrait rester inchangé dans le cas où l’oscillation (bouncing) des prix aux points de vente (dans le cas de l’IPC) serait telle que les établissements ne feraient qu’échanger des prix entre eux durant les deux périodes.

En dépit de l’attrait que présente son côté intuitif, ce test n’est pas conforme à l’idée selon laquelle les prix dans un point de vente doivent être appariés individuellement d’une période à l’autre. Si les agrégats élémentaires se composent de milliers de produits qui ne se distinguent pas seulement en fonction des établissements, le maintien de ce test se justifie encore moins.

20.35 Le test suivant a été proposé aussi par Dalén (1992a) dans le contexte des indices d’agrégat élémentaire:

T10: Test de réversibilité temporelle: P(p1,p0) =1/P(p0,p1); autrement dit, si les données des périodes 0 et 1 sont interverties, l’indice des prix qui en résulte devrait être égal à l’inverse de l’indice des prix initial.

20.36 Étant donné que de nombreux statisticiens approuvent le choix de l’indice des prix de Laspeyres dans le cadre des indices bilatéraux et que celui-ci ne satisfait pas au test de réversibilité temporelle, il est évident que tous ne considèrent pas que son application aux indices d’agrégat élémentaire est fondamentale et qu’il faut impérativement satisfaire à ce test. Ils n’en sont pas moins nombreux à juger ce test fondamental, car il est difficile d’accepter un indice qui donne une réponse différente lorsque l’ordre temporel est inversé.

T11: Transitivité: P(p0,p1)P(p1,p2) = P(p0,p2); le produit de l’indice des prix allant de la période 0 à la période 1 par l’indice des prix allant de la période 1 à la période 2 est égal à l’indice des prix allant directement de la période 0 la période 2.

20.37 Les tests de transitivité et d’identité impliquent le test de réversibilité temporelle (soit p2 = p0). Le test de transitivité est donc essentiel au renforcement du test de réversibilité temporelle et, de ce fait, il est peu probable que les statisticiens qui n’ont pas accepté le test de réversibilité temporelle accepteront le test de transitivité. Toutefois, s’il n’y pas d’inconvénient manifeste à l’accepter, ce test semble présenter une propriété très souhaitable: il correspond à la généralisation d’une propriété valable pour un seul rapport de prix.

T12: Commensurabilité:

autrement dit, l’indice d’agrégat élémentaire ne change pas si l’on modifie les unités de mesure utilisées pour chaque produit dans chaque établissement.

20.38 La quasi-totalité des statisticiens accepte la validité de ce test dans le contexte des indices bilatéraux. Il est plus controversé, en revanche, dans le cadre des indices d’agrégat élémentaire. Si les M produits de l’agrégat élémentaire sont homogènes, il est logique de mesurer tous les produits dans les mêmes unités. Fondamentalement, l’homogénéité signifie que les quantités peuvent s’additionner de façon économiquement rationnelle. Si l’on change l’unité de mesure, le test T12 doit donc restreindre tous les λm au même nombre (disons λ) et le test devient alors:

Ce test T12 modifié sera satisfait si les tests T5 et T6 le sont aussi. Il n’est donc pas nécessaire de procéder au test T12 si les produits de l’agrégat élémentaire sont très homogènes.

20.39 Dans la pratique, toutefois, chaque agrégat élémentaire se compose en général de milliers de produits et l’hypothèse de l’homogénéité du produit n’est pas justifiée. Il est important alors que l’indice d’agrégat élémentaire satisfasse au test de commensurabilité, puisque les unités de mesure des produits hétérogènes de l’agrégat élémentaire sont arbitraires, et les statisticiens peuvent modifier l’indice en changeant simplement d’unité de mesure pour certains produits.

20.40 Nous avons ainsi terminé de dresser la liste des tests de l’indice d’agrégat élémentaire. Il reste maintenant à déterminer le nombre de tests auxquels satisfait chacun des cinq indices d’agrégat élémentaire définis à la section C.

20.41 L’indice d’agrégat élémentaire de Jevons, PJ, satisfait à tous les tests et apparaît donc comme le meilleur du point de vue de l’approche axiomatique des indices d’agrégat élémentaire.

20.42 L’indice de Dutot, PD, satisfait à tous les tests, à l’exception notable du test de commensurabilité, T12. La présence de produits hétérogènes dans l’agrégat élémentaire représente un grave inconvénient, et les statisticiens doivent donc utiliser cet indice avec prudence.

20.43 Le test de bouncing des prix, T9 et le test de transitivité, T11, sont les seuls auxquels ne satisfait pas 1a moyenne géométrique de l’indice d’agrégat élémentaire de Carli avec l’indice d’agrégat élémentaire harmonique: PCSWD. L’échec à ces deux tests n’est sans doute pas rédhibitoire, de sorte que les statisticiens peuvent recourir à l’indice constitué par cette moyenne géométrique s’ils décident, pour telle ou telle raison, de ne pas utiliser la formule de Jevons. Cet indice conviendrait particulièrement à ceux qui préfèrent recourir à la méthode des tests pour choisir une formule d’indice. Comme on l’a vu à la section D, PCSWD sera numériquement très proche de PJ.

20.44 L’indice d’agrégat élémentaire de Carli et l’indice d’agrégat élémentaire harmonique, PC et PH, ne satisfont pas aux tests de bouncing des prix T9, de réversibilité temporelle T10 et de transitivité T11, mais passent avec succès tous les autres. L’échec aux tests T9 et T11 n’est pas rédhibitoire, mais le fait de ne pas satisfaire au test de réversibilité temporelle T10 pose un sérieux problème: les statisticiens doivent également utiliser ces indices avec prudence.

F. Approche économique des indices d’agrégat élémentaire

20.45 Reprenons les notations retenues et les analyses développées à la section B. Tout d’abord, il convient de rappeler les grandes lignes de l’approche économique présentée au chapitre 17. Cette approche nous a permis de définir les fonctions d’agrégation représentant les techniques de production et les hypothèses de comportement des agents économiques retenues de façon implicite dans diverses formules. Plus ces fonctions sont réalistes, plus la formule d’indice correspondante se justifie. L’approche économique aide à définir l’indice cible qui devrait être retenu.

20.46 Supposons que chaque établissement fabriquant des produits inclus dans l’agrégat élémentaire dispose d’un ensemble d’intrants, et que la fonction d’agrégation linéaire homogène f(q) indique quel vecteur d’extrants q = [q1,…,qM] peut être produit à partir de ces intrants. Supposons aussi que chaque établissement maximise ses recettes durant chaque période. Alors, comme nous l’avons vu au chapitre 17, on peut démontrer que certaines formes fonctionnelles spécifiques de la fonction d’agrégation f(q) ou de sa fonction de recettes unitaire duale R(p)13 conduisent à des formes fonctionnelles spécifiques pour l’indice des prix P(p0,p1,q0,q1), avec:

20.47 Supposons que les fonctions d’agrégation f des établissements soient définies comme suit14:

où les αm sont des constantes positives. Dans ces hypothèses, on peut démontrer que l’équation (20.31) devient15:

et les vecteurs de quantités des biens ou services produits durant les deux périodes doivent être proportionnels:

20.48 La première équation de la formule (20.33) montre que l’indice véritable des prix des extrants ou prix à la production, R(p1)/R(p0), dans les hypothèses retenues pour la fonction d’agrégation f dans la formule (20.32), est égal à l’indice des prix de Laspeyres, PL(p0,p1,q0,q1) = p1·q0 / p0·q0. La formule de Paasche PP(p0,p1,q0, q1) = p1q1/p0q1 est tout aussi justifiée dans la formule (20.34).

20.49 La formule (20.32) définissant la fonction f justifie donc les indices de Laspeyres et de Paasche en tant que «véritables» agrégats élémentaires du point de vue de l’approche économique des indices d’agrégat élémentaire. Il s’agit là cependant d’une hypothèse restrictive (d’un point de vue économique, au moins), puisque les quantités relatives produites ne varient pas en fonction des prix relatifs. Il est possible de faire des hypothèses moins restrictives au sujet de la technologie. La section B.3 du chapitre 17 montre par exemple que certaines hypothèses relatives à la technologie justifient l’indice des prix de Törnqvist, PT, dont le logarithme est défini comme suit:

20.50 Supposons maintenant que les recettes tirées des différents produits au cours des deux périodes soient proportionnelles pour chacun d’eux, de sorte que:

Dans ces conditions, les parts de recettes de la période de référence, sm0, seront égales aux parts de recettes correspondantes de la période 1, sm1, ainsi qu’aux β(m) correspondants; autrement dit, la formule (20.36) implique que:

Dans ces conditions, l’indice de Törnqvist se réduit à l’indice de Jevons pondéré suivant:

20.51 Donc, si les prix relatifs des produits d’un indice de Jevons reçoivent des pondérations proportionnelles aux parts de recettes de la période de référence (qui équivaut à la période en cours) dans la classe de produits, l’indice de Jevons défini par la formule (20.38) est égal à l’approximation suivante de l’indice de Törnqvist:

20.52 À la section G, l’approche par l’échantillonnage montre comment les formules d’indice élémentaire présentent des systèmes de pondération implicites selon les méthodes de tirage retenues. Les méthodes dans lesquelles les produits sont échantillonnés avec des probabilités proportionnelles à leur part des quantités ou des recettes dans l’une ou l’autre des périodes présentent un intérêt particulier. Dans ce cas, en effet, des pondérations en quantités sont introduites implicitement, de sorte que l’indice élémentaire pour l’échantillon est une estimation d’un indice pondéré pour la population. On peut alors s’appuyer sur l’approche économique pour décider si les hypothèses économiques sur lesquelles reposent les estimations de population obtenues sont raisonnables. Par exemple, les résultats ci-dessus montrent que l’indice d’agrégat élémentaire de Jevons pour un échantillon peut se justifier en tant qu’approximation d’un indice de prix de Törnqvist pour un agrégat élémentaire homogène si l’on utilise, pour l’échantillon de prix, une méthode de tirage aléatoire à probabilités inégales proportionnelles aux parts de recettes dans la période de référence.

20.53 Deux hypothèses sont développées ici. Dans la première, les vecteurs des quantités se rapportant aux deux périodes considérées sont proportionnels (20.34); dans la seconde, les recettes sont proportionnelles sur les deux périodes (20.36).

20.54 Le choix entre les formules dépend non seulement de la méthode de tirage utilisée, mais aussi des mérites respectifs des hypothèses de quantités proportionnelles et de recettes proportionnelles. Il en va de même pour la théorie économique de l’IPC—ou de l’indice des prix des intrants intermédiaires (IPI)—si ce n’est que la fonction d’agrégation décrit les préférences d’un acheteur qui minimise ses coûts. Dans ce contexte, les théoriciens des indices débattent depuis longtemps des avantages comparés des hypothèses de quantités proportionnelles et de dépenses proportionnelles. Jevons (1865, p. 295) et Ferger (1931, p. 39; 1936, p. 271) sont au nombre des auteurs qui pensaient que l’hypothèse des dépenses proportionnelles était la plus probable au niveau empirique. Ces auteurs ne pouvaient pas s’appuyer sur l’approche économique de la théorie des indices, mais ils ont compris intuitivement, de même que Pierson (1895, p. 332), que des effets de substitution se produisaient et que l’hypothèse des dépenses proportionnelles était par conséquent plus plausible que celle des quantités proportionnelles. En effet, les consommateurs qui minimisent les coûts achètent moins de produits de l’échantillon dont les prix augmentent plus que la moyenne; on peut donc s’attendre à voir les quantités diminuer plutôt que se maintenir au même niveau. Cette baisse des quantités conjuguée à la hausse des prix conforte l’hypothèse de dépenses constantes. Cependant, cela vaut pour la théorie économique des IPC. Au chapitre 17, la théorie économique des IPP soutient que les établissements qui minimisent leurs coûts produiront davantage de produits de l’échantillon dont les prix augmentent plus que la moyenne, ce qui fragilise l’hypothèse de recettes constantes. Cela dit, la théorie présentée au chapitre 17 précise aussi que le progrès technique est un facteur de complexité supplémentaire qui est largement absent dans le cas de la consommation.

20.55 Si les quantités offertes évoluent de façon proportionnelle au fil du temps, nous sommes dans une configuration compatible avec une fonction de technologie à coefficients fixes de type Leontief et l’utilisation de l’indice de Laspeyres est parfaitement cohérente avec l’approche économique de l’indice des prix à la production. D’un autre côté, si les probabilités utilisées pour échantillonner les prix de l’indice de Jevons sont la moyenne arithmétique des parts des recettes correspondant au produit dans les périodes 0 et 1, et si l’on utilise les valeurs unitaires étroitement définies comme concept de prix, l’indice de Jevons pondéré devient le type d’indice d’agrégat élémentaire idéal examiné à la section B. Il n’est pas possible, en général, de mesurer avec précision les biais introduits par l’emploi de formules non pondérées, à moins d’obtenir des informations sur les pondérations pour les deux périodes.

G. Approche des indices d’agrégat élémentaire par l’échantillonnage

20.56 Nous pouvons voir maintenant comment diverses formules élémentaires permettent d’estimer cette formule de Laspeyres selon les différentes hypothèses d’échantillonnage des prix.

20.57 Afin de justifier l’emploi de la formule élémentaire de Dutot, considérons l’espérance mathématique de l’indice de Dutot quand on procède à un tirage aléatoire à probabilité d’inclusion du produit dans la période de référence égale au rapport des quantités du produit m vendues durant la période de référence au total des quantités de tous les produits de cette catégorie vendues durant la période de référence. Supposons que ces définitions requièrent que les mêmes unités s’appliquent à tous les produits de la catégorie considérée16.

20.58 L’espérance mathématique de l’indice de Dutot calculé pour l’échantillon est la suivante17:

ce qui correspond à l’indice de Laspeyres habituel:

20.59 Il est facile maintenant de voir comment la méthode de tirage peut être transformée en un plan de sondage rigoureux pour échantillonner les prix de la catégorie de produits considérée. Si les prix des produits de cette catégorie sont échantillonnés proportionnellement à leur probabilité durant la période de référence, la formule de l’indice de Laspeyres (20.41) peut être estimée par l’indice de Dutot, les probabilités étant définies par leur part des quantités dans la période de référence. En général, avec un dispositif d’échantillonnage approprié, l’emploi de la formule de Dutot au niveau d’agrégation élémentaire pour des produits homogènes peut être parfaitement cohérent avec un concept d’indice de Laspeyres. Autrement dit, selon ce procédé d’échantillonnage, l’espérance mathématique de l’indice de Dutot calculé pour l’échantillon serait égale à l’indice de Laspeyres pour la population.

20.60 La formule de Dutot peut être aussi cohérente avec un concept d’indice de Paasche au niveau d’agrégation élémentaire. Si l’échantillonnage se fait avec les probabilités d’inclusion du produit élémentaire proportionnelles aux quantités durant la période 1, l’espérance mathématique de l’indice de Dutot calculé pour l’échantillon est la suivante:

ce qui correspond à la formule de Paasche habituelle:

20.61 En d’autres termes, selon cette méthode de tirage, l’espérance mathématique de l’indice de Dutot calculé pour l’échantillon est égale à l’indice de Paasche calculé pour la population. À nouveau, il est facile de voir comment cette méthode peut être transformée en un plan de sondage rigoureux pour échantillonner les prix de la catégorie de produits considérée. Si les prix des produits de cette catégorie sont échantillonnés proportionnellement à leurs probabilités de la période 1, la formule de l’indice de Paasche (20.43) peut être estimée par l’indice de Dutot. En règle générale et moyennant un dispositif d’échantillonnage approprié, l’utilisation de la formule de Dutot au niveau d’agrégation élémentaire (pour un agrégat élémentaire homogène) peut être parfaitement cohérente avec un concept d’indice de Paasche18.

20.62 Plutôt que d’utiliser les représentations de panier type pour les indices de Laspeyres et Paasche, il est possible de se servir des représentations avec les parts des recettes pour ces deux indices. On utilise alors les parts de recettes sm0 ou sm1 comme pondérations des probabilités pour les rapports de prix. Si l’on procède à un échantillonnage avec des pondérations proportionnelles aux parts de recettes dans la période de référence, l’espérance mathématique de l’indice de Carli est:

c’est-à-dire l’indice de Laspeyres pour la population. Contrairement aux formules (20.40) et (20.42), la formule (20.44) n’exige pas, bien sûr, que les produits soient homogènes. D’un autre côté, on peut montrer par analogie qu’avec un échantillonnage proportionnel aux parts de recettes de la période 1, l’espérance mathématique de l’inverse de l’indice harmonique pour l’échantillon est égale à l’inverse de l’indice de Paasche pour la population, et donc que l’espérance mathématique de l’indice harmonique pour l’échantillon, à savoir:

sera égale à l’indice de Paasche.

20.63 Les résultats ci-dessus montrent que l’indice d’agrégat élémentaire de Dutot pour l’échantillon peut se justifier comme une approximation d’un indice de prix de Laspeyres ou de Paasche (pour la population) pour un agrégat élémentaire homogène si les méthodes d’échantillonnage des prix sont appropriées. Ils montrent aussi que l’indice d’agrégat élémentaire de Carli et l’indice d’agrégat élémentaire harmonique pour l’échantillon peuvent se justifier en tant qu’approximation d’un indice des prix de Laspeyres ou de Paasche pour la population si les méthodes d’échantillonnage des prix sont appropriées.

20.64 En conséquence, si les prix relatifs des produits élémentaires de la catégorie considérée sont échantillonnés avec des pondérations proportionnelles à la moyenne arithmétique des parts de recettes de la période de référence et de la période en cours dans la catégorie de produits considérée, l’espérance mathématique de cet indice de Jevons pour l’échantillon est égale à la formule de l’indice de Törnqvist pour la population (20.35).

20.65 Des indices d’agrégat élémentaire calculés pour un échantillon en utilisant des techniques de tirage aléatoire appropriées peuvent donner une approximation de divers indices d’agrégat élémentaire de la théorie économique pour la population et cette approximation est d’autant plus exacte que la couverture de l’échantillon se rapproche de l’ensemble des produits. À l’inverse, on constate que l’indice d’agrégat élémentaire pour un échantillon du type défini à la section C ne peut pas, en général, produire une estimation non biaisée de l’indice d’agrégat élémentaire pour la population théoriquement idéal défini à la section B, même si tous les prix des produits de l’agrégat élémentaire sont échantillonnés. En conséquence, plutôt que de s’en tenir au seul échantillonnage des prix, les statisticiens devront recueillir des informations sur les valeurs (ou quantités) des transactions correspondant aux prix échantillonnés, de façon à constituer, sur la base de l’échantillon, des agrégats élémentaires qui se rapprocheront de l’agrégat élémentaire idéal ciblé à mesure que la taille de cet échantillon augmentera. Plutôt que de se borner à recueillir un échantillon de prix, il faudra recueillir des quantités (ou valeurs) associées à l’échantillon de manière à construire un indice de Fisher, de Törnqvist ou de Walsh pour l’échantillon. Cet indice d’agrégat élémentaire superlatif reposant sur des échantillons se rapprochera de l’indice d’agrégat élémentaire idéal pour la population visée à mesure que la taille de l’échantillon augmentera. Cette approche de la construction d’indices d’agrégat élémentaire à partir d’échantillonnages est recommandée par Pigou (1924, p. 66–67), Fisher (1922, p. 380), Diewert (1995a, p. 25) et Balk (2002)19. En particulier, Pigou (1924, p. 67) propose d’utiliser l’indice des prix idéal de Fisher reposant sur un échantillon pour déflater la variation de la valeur pour l’agrégat considéré, afin d’obtenir une estimation de la variation du volume pour cet agrégat.

20.66 Jusqu’à une période assez récente, il n’était pas possible de déterminer dans quelle mesure un indice d’agrégat élémentaire non pondéré du type défini à la section C, s’approchait d’un agrégat élémentaire idéal. Toutefois, les données obtenues par lecture optique(c’est-à-dire des informations détaillées sur les prix et les quantités de produits vendus dans les points de vente au détail) permettent de calculer des agrégats élémentaires idéaux pour certaines strates de produits élémentaires et de comparer les résultats avec les estimations des offices de statistique concernant les variations de prix dans la même catégorie de produits élémentaires. Naturellement, ces estimations de prix reposent en général sur l’utilisation des formules de Dutot, Jevons ou Carli. Ces études portent sur l’IPC (et les données sont recueillies par les lecteurs de code à barres des points de vente au détail), mais ce sont les discordances entre les indices non pondérés et pondérés utilisés à ce niveau de l’agrégat élémentaire qui posent problème, et celles-ci sont suffisamment prononcées pour qu’on s’y intéresse dans le cadre de l’IPP. Les citations ci-après résument les conclusions d’un grand nombre d’études sur ce type de données obtenues par lecture optique:

Un deuxième développement notable est survenu au cours de la période récente: les offices de statistique sont disposés désormais à travailler à partir de données obtenues par lecture optique, à savoir des données électroniques produites par le magasin sur le lieu de vente et regroupant diverses informations sur les achats (prix, quantités, localisation, date, heure) accompagnées d’une description du produit par marque ou modèle. Ces données élémentaires peuvent contribuer notamment à l’amélioration de la qualité des indices au niveau élémentaire. Parmi les études récentes consacrées à cette question, on citera Silver (1995), Reinsdorf (1996), Bradley, Cook, Leaver, and Moulton (1997), Dalén (1997), de Haan and Opperdoes (1997) et Hawkes (1997). Ces travaux ont débouché sur les estimations suivantes du biais des indices d’agrégat élémentaire (sur une base annuelle): 1,1 point de pourcentage pour les téléviseurs au Royaume-Uni; 4,5 points pour le café aux États-Unis; 1,5 point pour le ketchup, le papier hygiénique, le lait et le thon aux États-Unis; 1 point pour les graisses, les détergents, les céréales du petit déjeuner et le poisson congelé en Suède; 1 point pour le café aux Pays-Bas et 3 points pour le café aux États-Unis. Ces estimations de biais intègrent aussi bien les biais d’agrégat élémentaire que les biais de substitution des points de vente et sont sensiblement plus élevées que les estimations approximatives que nous avons faites, à savoir 0,255 et 0,41 points de pourcentage. Par ailleurs, on ne sait pas exactement dans quelle mesure il est possible de généraliser ces estimations de biais de grande ampleur aux autres produits (Diewert, 1998a, p. 54–55).

Avant d’étudier les résultats, il convient de se pencher sur certaines conclusions générales sur les données obtenues par lecture optique. Soulignons que les résultats utilisés ici ont trait à une expérience dans laquelle les mêmes données ont été utilisées pour comparer des méthodes différentes. Les résultats concernant l’indice des prix de détail du Royaume-Uni ne peuvent leur être comparés, puisqu’ils reposent sur des pratiques et des données très différentes: les données sont recueillies par des enquêteurs et présentent aussi bien des avantages que des inconvénients (Fenwick, Ball, Silver, and Morgan (2002)). Pour autant, il est bon de reprendre les observations de Diewert (2002c) sur le poste «appareils électriques» de l’indice des prix de détail du Royaume-Uni, composé d’un large éventail d’appareils (fers à repasser, grille-pain, réfrigérateurs, etc.), qui est passé de 98,6 à 98,0 entre janvier et décembre 1998, soit une baisse de 0,6 point de pourcentage. Diewert compare ces résultats à ceux des machines à laver le linge et note qu’«il se peut que les prix des composantes de l’indice des appareils électriques (autres que les machines à laver) aient suffisamment augmenté durant cette période pour annuler la forte baisse apparente du prix des machines à laver le linge, mais cela me semble plutôt improbable». Diverses études ont été réalisées sur des produits similaires à l’aide de données obtenues par lecture optique durant la période considérée. Les indices-chaînes de Fisher ont été calculés de cette manière (les indices de prix de détail—dans l’année—sont des indices de Laspeyres à base fixe) et on a constaté qu’ils avaient baissé d’environ 12% pour les téléviseurs (Silver and Heravi, 2001a), 10% pour les machines à laver le linge (voir tableau 7 ci-dessous), 7,5% pour les machines à laver la vaisselle, 15% pour les appareils photo et 5% pour les aspirateurs (Silver and Heravi, 2001b). Ces résultats sont très différents des résultats obtenus pour la section de l’indice des prix de détail et laissent penser que la disparité relevée au sujet des machines à laver le linge n’est peut-être pas une anomalie, comme le note Diewert. Les méthodes et sources de données traditionnelles semblent produire des taux d’IPC beaucoup plus élevés que les données obtenues par lecture optique, mais les raisons de cette discordance sortent du champ de cette étude (Silver and Heravi, 2002, p. 25).

20.67 Ces citations résument les conclusions de nombreuses études consacrées aux indices d’agrégat élémentaire reposant sur des données obtenues par lecture optique. Ces études montrent que, quand on utilise des informations détaillées sur les prix et les quantités pour calculer les indices superlatifs ou hédoniques d’une catégorie de dépenses donnée, les mesures des variations de prix qui en résultent sont souvent inférieures aux estimations des variations de prix faites par les offices de statistique officiels pour cette catégorie. Parfois, les mesures des variations de prix reposant sur des données obtenues par lecture optique sont nettement inférieures aux mesures officielles correspondantes20. Cela montre que l’on peut améliorer très sensiblement la précision des indices d’agrégat élémentaire en utilisant une base de sondage pondérée.

20.68 Existe-t-il une explication intuitive simple aux résultats empiriques ci-dessus? Les travaux empiriques portent sur les IPC et les hypothèses de comportement concernent ce type d’indices, mais elles s’appliquent aussi bien aux IPI. Par ailleurs, il est facile d’effectuer des analyses à partir des hypothèses de comportement qui sous-tendent les IPE, dont les principes sont plus importants. L’examen de la dynamique de la demande de produits peut apporter une réponse partielle à cette question. Dans toute économie de marché, les entreprises et les points de vente commercialisent des produits dont le prix baisse ou monte. Ceux dont le prix baisse voient en général leurs ventes augmenter. On assiste alors, en général, à une progression des parts des dépenses consacrées aux produits dont le prix baisse et au phénomène inverse pour les produits dont le prix augmente. Malheureusement, les indices d’agrégat élémentaire ne peuvent saisir les effets de cette corrélation négative entre les variations de prix et les variations des parts de dépenses qu’elles induisent, puisqu’ils dépendent uniquement des prix et non pas des parts des dépenses.

20.69 Illustrons ce point par un exemple. Supposons que l’agrégat élémentaire ne comprenne que trois produits élémentaires, que le prix de chaque produit soit pm0=1 durant la période 0 et que les parts de dépenses consacrées à chacun d’eux soient identiques, de sorte que sm0=13 pour m = 1,2,3. Posons aussi que, durant la période 1, le prix du produit élémentaire 1 augmente pour atteindre p11=1+i, celui du produit élémentaire 2 reste constant p21=7 et celui du produit élémentaire 3 baisse à p31=(1+i)1, où la hausse du prix du produit 1 est donnée par i > 0. Supposons enfin que la part des dépenses consacrée au produit 1 baisse pour s’établir à s11=(13)σ, où σ est un petit nombre compris entre 0 et ⅓, et que la part des dépenses consacrée au produit 3 augmente pour atteindre s21=(13)+σ. La part des dépenses consacrée au produit 2 reste constante à s21=13. Les cinq indices d’agrégat élémentaire définis à la section C peuvent être exprimés comme des fonctions du taux de hausse du prix i du produit 1 (qui est aussi le taux de baisse du prix du produit 3) de la façon suivante:

20.70 On notera que, dans cet exemple particulier, l’indice de Dutot fD(i) est égal à l’indice de Carli fC(i). Les approximations de second ordre des cinq formules d’indices d’agrégat élémentaire (20.46) à (20.50) par une série de Taylor sont exprimées par les formules (20.51) à (20.55):

Pour des valeurs de i, peu élevées, les indices de Carli et de Dutot sont donc légèrement supérieurs à 121, les indices de Jevons et de Carruthers, Sellwood et Ward sont approximativement égaux à 1 et l’indice harmonique est légèrement inférieur à 1. L’approximation de premier ordre par une série de Taylor des cinq indices est égale à 1. Autrement dit, dans les limites d’exactitude d’une approximation de premier ordre, les cinq indices sont tous égaux à l’unité.

20.71 Calculons maintenant les indices de Laspeyres, Paasche et Fisher pour l’agrégat élémentaire:

Les approximations de premier ordre par une série de Taylor des formules d’indices ci-dessus (20.56) à (20.58) autour de i = 0 sont exprimées par les formules (20.59)–(20.61):

L’indice d’agrégat élémentaire idéal de Fisher fF(i) est un indice d’agrégat élémentaire idéal pour les trois produits. Les approximations des formules (20.51) à (20.55) et de la formule (20.61) montrent qu’il sera inférieur de σ i aux cinq indices d’agrégat élémentaire si l’on utilise des approximations de premier ordre pour les six indices. Les cinq indices d’agrégat élémentaire présenteront donc un biais positif approximatif égal à σ i, par comparaison à un agrégat élémentaire idéal.

20.72 Supposons que le taux annuel de hausse du prix du produit qui enchérit est de 10%, de sorte que i = 0,10 (le taux de baisse du prix du produit dont le prix baisse est donc aussi d’environ 10%). Si l’on observe une diminution de 5 points de la part des dépenses consacrée au produit dont le prix augmente, alors σ = 0,05 et le biais positif annuel approximatif des cinq indices d’agrégat élémentaire est σ i = 0,05 × 0,10 = 0,005, soit un demi-point de pourcentage. Si i et σ augmentent pour atteindre respectivement 20% et 10%, le biais approximatif est porté à σ i = 0,10 × 0,20 = 0,02 ou 2%.

20.73 L’exemple ci-dessus est très simplifié, mais des versions plus sophistiquées peuvent expliquer une partie au moins des discordances entre les indices d’agrégat élémentaire officiels et les indices superlatifs établis à partir de données obtenues par lecture optique pour une catégorie de dépenses spécifique. Foncièrement, les indices d’agrégat élémentaire définis sans utiliser les pondérations de quantités ou de valeurs correspondantes ne permettent pas de déceler les variations des parts de dépenses induites par les fluctuations des prix des produits22. Pour supprimer ce problème, il faut échantillonner les valeurs et les prix dans la période de référence et dans la période de comparaison.

20.74 Une simple analyse de la construction des indices d’agrégat élémentaire à l’aide d’une régression est présentée à la section suivante: elle confirme là encore qu’il est important de pondérer les prix relevés.

H. Approche stochastique simple des indices d’agrégat élémentaire

20.75 Reprenons la notation utilisée à la section B et supposons que les prix des M produits pour les périodes 0 et 1 sont égaux aux termes de droite des formules (20.62) et (20.63) ci-dessous:

où α et βm sont des paramètres positifs. Notons qu’il y a deux M prix dans les termes de gauche des équations (20.62) et (20.63), mais seulement M + 1 paramètres dans ceux de droite. Les équations (20.62) et (20.63) reposent sur l’hypothèse que les deux vecteurs de prix p0 et p1 sont proportionnels (avec p1 = αp0, de sorte que α est le facteur de proportionnalité), aux erreurs multiplicatives aléatoires près. En conséquence, α représente l’agrégat élémentaire sous-jacent. Si l’on prend les logarithmes des deux côtés des équations (20.62) et (20.63), et si l’on ajoute les erreurs aléatoires em0 et em1 aux termes de droite des équations qui en résultent, on obtient le modèle de régression linéaire suivant:

où:

20.76 Notons que les équations (20.64) et (20.65) peuvent être interprétées comme un modèle de régression hédonique très simplifié23. La seule caractéristique de chaque produit est le produit lui-même. Ce modèle est aussi un cas particulier de la méthode des produits de pays fictifs utilisée pour les comparaisons de prix entre divers pays24. L’utilisation de cette méthode de régression dans la construction d’indices d’agrégat élémentaire a pour avantage majeur de permettre d’obtenir les écarts types de l’indice α. Cet atout de l’approche stochastique de la théorie des indices a été souligné par Selvanathan et Rao (1994).

20.77 Il est possible de vérifier que l’estimateur des moindres carrés pour γ est:

Si l’on prend l’exponentielle de γ*, on obtient l’estimateur suivant pour l’agrégat élémentaire α:

PJ(p0,p1) est l’ indice d’agrégat élémentaire de Jevons défini à la section C ci-dessus. Le modèle de régression conduit par conséquent à justifier l’utilisation de l’indice d’agrégat élémentaire de Jevons.

20.78 Considérons le modèle des moindres carrés non pondérés suivant:

On peut vérifier que la solution γ au problème de minimisation sans contrainte (20.69) est le γ* défini par (20.67).

20.79 Le modèle des moindres carrés non pondérés défini par la formule (20.69) pose un problème: le logarithme de chaque prix relevé reçoit exactement la même pondération dans le modèle quelles que soient les recettes tirées du produit concerné durant chaque période. Ce n’est pas satisfaisant, à l’évidence, car un prix de faible importance économique (en ce sens qu’il porte sur un produit duquel n’est tirée qu’une faible part des recettes dans chaque période) reçoit la même pondération qu’un produit très important dans le modèle de régression. Il est donc utile d’envisager le modèle de régression suivant, qui repose sur la méthode des moindres carrés pondérés:

où la part des recettes tirée du produit m dans la période t est définie de la manière habituelle, à savoir:

Dans le modèle (20.70), le logarithme de chaque prix de produit relevé durant chaque période est donc pondéré par la part des recettes tirée de ce produit dans cette période.

20.80 La solution γ à (20.70) se présente comme suit:

et h(a, b) est la moyenne harmonique des nombres a et b. En conséquence, γ** est la moyenne, pondérée par les parts de dépenses, des logarithmes des rapports de prix pm1/pm0. Si l’on prend l’exponentielle de γ**, on obtient l’estimateur α** pour l’agrégat élémentaire α.

20.81 Comment α** se compare-t-il aux trois indices d’agrégat élémentaire idéaux définis à la section B? On peut démontrer25 qu’il existe entre α** et ces trois indices une approximation de second ordre autour d’un point d’égalité des prix et d’égalité des quantités, autrement dit, dans la plupart des ensembles de données, α** est très proche des indices d’agrégat élémentaire de Fisher, Törnqvist et Walsh.

20.82 Les résultats de cette section ne justifient que faiblement l’utilisation de l’indice d’agrégat élémentaire de Jevons, mais appuient beaucoup plus, en revanche, le recours aux indices d’agrégat élémentaire pondérés du type défini à la section B ci-dessus. Ces résultats justifient aussi l’utilisation de pondérations fondées sur les valeurs ou les quantités dans les régressions hédoniques.

I. Conclusion

20.83 Les principaux résultats de ce chapitre peuvent être résumés comme suit:

  • i) Pour définir la «meilleure» formule d’indice d’agrégat élémentaire, il faut cibler un concept d’indice donné. À la section B, nous faisons valoir que la théorie des indices bilatéraux normale s’applique aussi bien aux niveaux élémentaires qu’aux niveaux supérieurs; la cible retenue devrait donc être l’une des formules de Fisher, Törnqvist ou Walsh.

  • ii) Lorsque l’on agrège les prix du même produit étroitement défini dans une période, la valeur unitaire étroitement définie constitue un concept de cible de prix raisonnable.

  • iii) L’approche axiomatique des indices d’agrégat élémentaire traditionnels (autrement dit sans pondération de quantités ou de valeurs) justifie l’utilisation de la formule de Jevons en toutes circonstances. Si les produits de l’agrégat élémentaire sont très homogènes (autrement dit, s’ils ont la même unité de mesure), la formule de Dutot peut être utilisée. Dans le cas (plus fréquent) d’un agrégat élémentaire hétérogène, on peut utiliser la formule de Carruthers, Sellwood et Ward à la place de la formule de Jevons, mais les résultats numériques obtenus dans les deux cas seront à peu près identiques.

  • iv) L’indice de Carli est entaché d’un biais positif, l’indice harmonique d’un biais négatif.

  • v) Aucun des cinq indices d’agrégat élémentaire non pondérés n’est véritablement satisfaisant. Une autre approche, plus satisfaisante, consiste à recueillir des données sur les quantités et les valeurs en même temps que sur les prix et à établir des indices superlatifs pour l’échantillon pour en faire des indices d’agrégat élémentaire préférés.

  • vi) L’approche des indices d’agrégat élémentaire par une régression hédonique simple justifie l’utilisation de la formule de Jevons. Toutefois, la régression hédonique pondérée est plus satisfaisante. L’indice qui en résulte sera proche des indices idéaux définis à la section B.

Le présent chapitre s’inspire dans une large mesure des travaux récents de Dalén (1992a), Balk (1994; 1998b; 2002) et Diewert (1995a, 2002a, 2002b).

Voir Balk (1994) pour une démarche analogue.

Walsh explique son raisonnement de la façon suivante: «La moyenne à dégager de l’ensemble des prix déclarés pour le même type d’article est la moyenne arithmétique, et il convient de pondérer les prix par les quantités relatives vendues à ces prix» (1901, p. 96). «Des questions intéressantes se posent alors: faut-il comptabiliser uniquement ce que le pays consomme ou ce qu’il produit, ou les deux? Par ailleurs, l’attribution d’un prix unique à chaque produit durant chaque période soulève des difficultés, puisque ce prix doit lui aussi être une moyenne. Les produits ne sont pas vendus à un prix unique dans l’ensemble du pays pendant une période donnée, ni même à un prix de gros unique sur leur principal marché. Des quantités variables de produits sont vendues à des prix différents et l’on obtient la valeur intégrale en additionnant tous les montants dépensés (au même stade de progression du produit vers le consommateur) et le prix moyen en divisant la somme totale (ou la valeur intégrale) par les quantités totales» (1921a, p. 88).

Voir, par exemple, Szulc (1987, p. 13), Dalén (1992a, p. 135), Reinsdorf (1994b), Diewert (1995a, p. 20–21), Reinsdorf and Moulton (1997) ou Balk (2002).

Le théorème 5 de Diewert (1978, p. 888) montre que PF, PT et PW donneront une approximation de second ordre les uns des autres autour d’un point d’égalité des prix et d’égalité des quantités; pour des résultats empiriques, voir Diewert (1978, p. 894), R.J. Hill (2000) et la section B du chapitre 19.

Ces inégalités résultent du fait que la moyenne harmonique de M nombres positifs est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique correspondante; voir Walsh (1901, p. 517) ou Fisher (1922, p. 383–84). Il s’agit là d’un cas particulier de l’inégalité de Schlömilch; voir Hardy, Littlewood, and Polyá (1934, p. 26).

Voir aussi Pigou (1924, p. 59 et 70), Szulc (1987, p. 12) et Dalén (1992a, p. 139). Dalén (1994, p. 150–51) propose des explications intuitives intéressantes du biais positif de l’indice de Carli.

Chacun des trois indices PH, PJ et PC est une moyenne d’ordre r dans laquelle r est égal respectivement à −1, 0 et 1: les inégalités découlent donc de celle de Schlömilch; voir Hardy, Littlewood, and Polyá (1934, p. 26).

Cette relation approximative a été établie pour la première fois par Carruthers, Sellwood et Ward (1980, p. 25).

Certaines études indiquent que, si le taux d’inflation global enregistre d’amples variations, la variance des écarts des prix par rapport à leurs moyennes peut varier elle aussi. Par ailleurs, si la valeur de M est faible, il y aura des fluctuations d’échantillonnage dans les variances des prix d’une période à l’autre.

Ces approximations de second ordre ont été formulées par Dalén (1992a, p. 143) pour le cas où r* = 1 et Diewert (1995a, p. 29) dans le cas d’un r* général.

Cette approche est utilisée par Diewert (1995a, p. 5–17), qui s’inspire des travaux antérieurs d’Eichhorn (1978, p. 152–60) et de Dalén (1992a).

La fonction de recette unitaire est définie comme suit: R(p) = maxq{p·q: f(q) = 1}.

Les préférences qui correspondent à cette fonction f sont qualifiées de «préférences de Leontief» (1936) ou «préférences de substitution nulle».

Les probabilités d’inclusion n’ont aucune signification si les produits ne sont pas homogènes.

Il existe un biais technique, puisque l’on utilise E(x)/E(y) comme approximation de E(x/y), mais ce biais tend vers zéro à mesure que m grandit.

Naturellement, l’indice de Dutot en tant qu’estimation d’un indice de Paasche pour la population différera de l’indice de Dutot en tant qu’estimation d’un indice de Laspeyres pour la population compte tenu du biais de représentativité ou de substitution.

Balk (2002) donne les détails de cette base de sondage.

Toutefois, les études consacrées aux données obtenues par lecture optique ne font pas toujours apparaître que les IPC officiels peuvent être entachés de biais considérables. Masato Okamoto, du Centre national des statistiques du Japon, nous a informé qu’une étude de grande envergure était en cours dans son pays. L’examen des données recueillies par lecture optique entre 1997 et 2000 pour environ 250 catégories de produits alimentaires transformés et de produits de première nécessité a permis de constater que les indices reposant sur des données obtenues par lecture optique étaient inférieurs d’environ 0,2 point seulement, en moyenne, aux indices officiels annuels correspondants. Le Japon utilise la formule de Dutot au niveau élémentaire pour son IPC officiel.

Reprenons la relation approximative de la formule (20.16) entre les indices de Dutot et de Jevons énoncée à la section C. Dans le présent exemple, var(e0) = 0, tandis que var(I1) > 0. Cela explique pourquoi l’indice de Dutot n’est pas approximativement égal à celui de Jevons dans notre exemple.

Autrement dit, les indices d’agrégat élémentaire sont entachés de biais de substitution ou de représentativité.

Les modèles de régression hédonique sont analysés aux chapitres 7, 8 et 21.

Voir Summers (1973). Dans notre cas, les observations concernant les prix de l’agrégat élémentaire ne portent que sur deux «pays» et deux périodes.

En utilisant les techniques examinées dans Diewert (1978).

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