Chapter

19. Indices des prix fondés sur un ensemble de données artificielles

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
September 2009
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A. Introduction

A.1 Activités économiques couvertes

19.1 Afin que le lecteur puisse se faire une idée des écarts qui pourraient apparaître entre les divers indices si l’on utilisait un ensemble de données «réelles», tous les grands indices définis aux chapitres précédents sont calculés à partir d’un ensemble de données artificielles composé des prix et des quantités de huit produits suivis sur cinq périodes (voir section B)1, lesquelles peuvent être d’une durée comprise entre un et cinq ans. Les tendances des données sont en général plus prononcées que celles que l’on pourrait observer dans le cours d’une année. Les huit produits en question peuvent être considérés comme des livraisons nettes de tous les secteurs d’activité de l’économie au secteur de la demande finale. Les six premiers produits sont des extrants et correspondent à la somme habituelle de la consommation privée, de la consommation des administrations publiques, de l’investissement et des exportations «livrés» au secteur de la demande finale. Les deux derniers correspondent à des importations (et sont donc indexés avec un signe négatif).

19.2 À la section C, le même ensemble de données relatives à la demande finale est utilisé pour calculer les indices d’année intermédiaire décrits au chapitre 17. Rappelons que ces derniers ont un avantage pratique important sur les indices superlatifs, puisqu’ils peuvent être calculés en utilisant les données sur les prix de la période courante et des données retardées sur les quantités (ou, ce qui revient au même, sur les dépenses).

19.3 À la section D, les décompositions additives de la variation en pourcentage de l’indice de prix idéal de Fisher déjà examinées à la section C. 8 du chapitre 16 sont illustrées à l’aide de l’ensemble de données sur les huit produits «livrés» au secteur de la demande finale.

19.4 À la section E.1, les données sur les prix et quantités présentées pour trois secteurs d’activité forment un ensemble de données sectorielles qui cadre avec l’ensemble de données sur la demande finale présenté à la section B.1. Aux sections E.2 à E.4, des déflateurs de la valeur ajoutée sont construits en agrégeant ces trois secteurs. Seuls les indices de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist sont pris en compte dans la section E et les sous-sections suivantes, car ce sont ces formules qui ont le plus de chances d’être utilisées dans la pratique.

19.5 À la section F, enfin, les données sectorielles sont utilisées pour construire des indices de prix des extrants, des intrants intermédiaires nationaux et déflateurs nationaux de la valeur ajoutée. À la section F.4, un déflateur national de la valeur ajoutée est construit en agrégeant les indices de prix des extrants et des intrants intermédiaires. Ce déflateur de la valeur ajoutée établi en deux étapes est ensuite comparé à sa contrepartie en une étape, puis au déflateur de la demande finale construit à la section B.

B. Indices des prix pour les composantes de la demande finale

B.1 Ensemble de données sur la demande finale

19.6 Les données sur les prix et les quantités correspondant aux livraisons nettes au secteur de la demande finale sont récapitulées aux tableaux 19.1 et 19.2. Pour plus de commodité, les dépenses nominales pour la période t, pt·qt=Σi=18pitqit, sont présentées en même temps que les parts de dépenses correspondantes pour la période t, sit=pitqit/pt·qt, au tableau 19.3. En général, l’office de statistique ne dispose pas de données sur les quantités; seules les données sur les prix et les dépenses seront donc recueillies. Toutefois, les informations fournies par le tableau 19.3 peuvent permettre de multiplier les parts de dépenses nettes de la période t, stn, par les dépenses totales nettes de la période t, pt·qt, afin d’obtenir les dépenses par produit qui relèvent de la demande finale. Il est possible alors de diviser ces dépenses par les prix correspondants du tableau 19.1 pour obtenir les quantités implicites énumérées au tableau 19.22.

Tableau 19.1.Prix des huit produits
Demande finale de biensServicesImportations
Exportations agricolesÉnergieProduits manufacturés traditionnelsProduits manufacturés de haute technologieServices traditionnelsServices de haute technologieImportations d’énergieImportations de haute technologie
Période tp1tp2tp3tp4tp5tp6tp7tp8t
11,01,01,01,01,01,01,01,0
21,32,01,30,71,40,82,10,7
31,01,01,50,51,70,61,00,5
40,70,51,60,31,90,40,60,3
51,01,01,70,22,00,21,00,2
Tableau 19.2.Quantités des huit produits
Demande finale de biensServicesImportations
Exportations agricolesÉnergieProduits manufacturés traditionnelsProduits manufacturés de haute technologieServices traditionnelsServices de haute technologieImportations d’énergieImportations de haute technologie
Période tq1tq2tq3tq4tq5tq6tq7tq8t
130104010455–28–7
22883913476–20–9
330113830508–29–21
4321439605613–35–42
52912401006525–30–70
Tableau 19.3.Dépenses nettes et parts de dépenses nettes pour les huit produits
Demande finale de biensServicesImportations
Exportations agricolesÉnergieProduits manufacturés traditionnelsProduits manufacturés de haute technologieServices traditionnelsServices de haute technologieImportations d’énergieImportations de haute technologie
Période tpt·qts1ts2ts3ts4ts5ts6ts7ts8t
1105,00,28570,09520,38100,09520,42860,0476–0,2667–0,0667
2134,50,27060,11900,37700,06770,48920,0357–0,3123–0,0468
3134,50,18370,06740,34910,09190,52050,0294–0,1776–0,0643
4105,00,11930,03730,33230,09580,56660,0277–0,1118–0,0671
5134,50,13180,05450,30910,09090,59090,0227–0,1364–0,0636

19.7 Afin d’expliquer les tendances établies aux tableaux ci-dessus, posons que les quatre premiers produits représentent la consommation des diverses classes de biens qui relève de la demande finale dans certaines économies, tandis que les deux autres correspondent à la consommation de deux classes de services. Posons que la première classe correspond à la consommation et à l’exportation de produits agricoles. En quantités, la demande finale de ce bien fluctue modérément autour de 30 unités d’extrants, tandis que son prix fluctue plus fortement autour de 1. Cependant, comme le reste de l’économie croît, la part de la production agricole diminue pour ne plus représenter que la moitié environ de sa part initiale. La seconde classe correspond à la consommation de produits énergétiques relevant de la demande finale; en quantités, elle affiche durant les cinq périodes une légère tendance à la hausse accompagnée de quelques fluctuations; on observera toutefois que son prix enregistre d’amples fluctuations d’une période à l’autre3. La troisième classe correspond aux produits manufacturés traditionnels. Le taux d’inflation plutôt élevé affiché par ce type de produit au cours des périodes 2 et 3 ralentit ensuite pour devenir très faible à la fin de la période considérée4. La consommation de produits manufacturés traditionnels relevant de la demande finale apparaît relativement stable dans notre ensemble de données. La quatrième classe correspond aux produits manufacturés de haute technologie, tels que les ordinateurs, caméras vidéo ou disques compacts. La demande de ces produits de haute technologie est multipliée par 10 sur la période étudiée, alors que leur prix dans la période finale représente un cinquième à peine de celui affiché dans la première période. La cinquième classe correspond aux services traditionnels. Leur prix affiche une tendance similaire à celle des produits manufacturés, si ce n’est que les taux d’inflation d’une période sur l’autre sont un peu plus élevés. Toutefois, la demande de services traditionnels augmente à un rythme beaucoup plus soutenu que celle des produits manufacturés. La sixième classe, enfin, correspond aux services à forte teneur technologique, tels que les télécommunications, téléphones portables, services Internet ou services de transactions boursières. Le prix de ce dernier produit enregistre une tendance très nette à la baisse, pour s’établir finalement à 20% de son niveau initial, alors que la demande a quintuplé. Les deux dernières classes de produits correspondent aux importations d’énergie et de biens manufacturés de haute technologie. Étant donné que les importations sont des intrants intermédiaires pour l’économie dans son ensemble, les quantités relatives à ces deux dernières classes sont indexées avec le signe moins. Les prix et quantités des deux produits importés sont plus ou moins proportionnels aux prix et quantités correspondants à la demande de consommation finale dont ils font l’objet. Les fluctuations des prix et quantités de cet ensemble de données artificielles sont plus prononcées que les variations enregistrées d’une année sur l’autre dans un pays type. Cependant, elles illustrent le problème rencontré par les statisticiens qui établissent un indice des prix à la consommation, à savoir que les variations des prix et quantités d’une année sur l’autre sont loin d’être proportionnelles pour l’ensemble des produits. Le choix de la formule d’indice est donc important.

19.8 Tous les statisticiens connaissent l’indice de Laspeyres PL défini par l’équation (15.5) présentée dans le corps du chapitre 15 et l’indice de Paasche PP, défini par l’équation (15.6). Ces indices sont présentés au tableau 19.4, en même temps que deux indices non pondérés qui ont été examinés aux chapitres 15 et 16: l’indice de Carli défini par l’équation (16.45) et l’indice de Jevons défini par l’équation (16.47). Les indices du tableau 19.4 comparent les prix de la période t à ceux de la période 1: ce sont donc des indices à base fixe. Par conséquent, l’indice de Carli pour la période t, PC, est simplement la moyenne arithmétique des huit rapports de prix, Σi=18(18)(pit/,pi1), et l’indice de Jevon pour la période t, PJ, est la moyenne géométrique des huit rapports de prix, Πi=18(pit/pi1)1/8.

Tableau 19.4.Indices à base fixe de Laspeyres, Paasche, Carli et Jevons
Période tPLPPPCPJ
11,00001,00001,00001,0000
21,15521,20091,28751,1853
31,45711,39570,97500,8868
41,53901,37080,78750,6240
51,63431,28650,91250,6373

19.9 Notons qu’une fois atteinte la période 5, l’écart entre les indices de prix de Laspeyres et de Paasche à base fixe est assez important: PL est égal à 1,6343 alors que PP s’établit à 1,2865, soit un écart d’environ 27%. Ces deux indices reposant exactement sur la même justification théorique, on voit combien le choix de la formule d’indice est important. Les deux indices non pondérés affichent également un écart substantiel à la période 5: l’indice de Carli à base fixe est égal à 0,9125, tandis que l’indice à base fixe de Jevons s’établit à 0,6373, soit un écart d’environ 43%. Toutefois, il est plus ennuyeux encore de constater que les indices non pondérés sont très inférieurs aux indices de Paasche et de Laspeyres à la période 55. Par conséquent, lorsque les prix et les quantités affichent des tendances divergentes, on observe en général que les indices de prix non pondérés donnent des réponses très différentes de celles de leurs contreparties pondérées. Comme aucune des théories des indices examinées aux chapitres précédents n’étaye le recours aux indices non pondérés, l’emploi de ces formules n’est pas recommandé pour l’agrégation au niveau supérieur, lorsque des données sur les pondérations sont disponibles. Au chapitre 20, toutefois, l’agrégation au niveau inférieur sera envisagée pour les pondérations disponibles, et nous reviendrons sur cette question de l’emploi d’indices non pondérés. Notons enfin que l’indice de Jevons est toujours nettement inférieur à l’indice de Carli correspondant. Il en ira toujours ainsi (à moins que les prix ne soient proportionnels dans les deux périodes considérées), car une moyenne géométrique est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique correspondante6.

19.10 Il est intéressant de recalculer les quatre indices présentés au tableau 19.4 en utilisant le principe du chaînage plutôt que celui de la base fixe. On s’attend à ce que l’écart entre les indices de Paasche et de Laspeyres se réduise quand on a recours au chaînage. La liste de ces indices-chaînes est donnée au tableau 19.5.

Tableau 19.5.Indices-chaînes de Laspeyres, Paasche, Carli et Jevons
Période tPLPPPCPJ
11,00001,00001,00001,0000
21,15521,20091,28751,1853
31,37431,48341,01260,8868
41,43741,53490,74060,6240
51,49631,57200,83720,6373

19.11 La comparaison des tableaux 19.4 et 19.5 montre que le chaînage supprime près des trois-quarts de l’écart entre les indices de Paasche et de Laspeyres à base fixe dans la période 5. Cela dit, même les indices-chaînes de Paasche et de Laspeyres diffèrent d’environ 8% dans la période 3, de sorte que le choix de la formule d’indice reste important. Au tableau 19.4, l’indice de Laspeyres à base fixe est supérieur à l’indice de Paasche à base fixe, alors qu’au tableau 19.5, les positions sont inversées pour les indices chaînés. L’appendice 15.1 du chapitre 15 montre que, dans le cas des indices de Laspeyres et de Paasche à base fixe, ces différences dépendent du signe de la corrélation entre les variations des prix relatifs et les variations des quantités moyennes7. Notons que le chaînage n’influe pas sur l’indice de Jevons. C’est un avantage de cet indice, mais l’absence de pondération qui le caractérise est rédhibitoire. On pourrait s’attendre à ce que la «vérité» se situe entre les indices de Paasche et de Laspeyres, et dans le tableau 19.5. Cependant, l’indice de Jevons non pondéré se situe très en dessous de la fourchette acceptable. On notera aussi que le chaînage n’influe pas de façon systématique sur l’indice de Carli pour notre ensemble de données spécifique: à la période 3, l’indice-chaîne de Carli est supérieur à l’indice de Carli à base fixe correspondant; mais aux périodes 4 et 5, l’indice-chaîne de Carli est inférieur à l’indice de Carli à base fixe.

19.12 Comparons maintenant de façon systématique tous les indices de prix à pondérations asymétriques. Les indices à base fixe sont présentés au tableau 19.6. Les indices à base fixe de Laspeyres et de Paasche, PL et PP, sont les mêmes que les indices présentés au tableau 19.4. L’indice de Palgrave, PPAL, est défini par l’équation (16.55). Les indices PGL et PGP sont les indices de Laspeyres et de Paasche géométriques8, qui sont des cas particuliers des indices géométriques à pondération fixe définis par Konüs et Byushgens (1926); voir les équations (16.75) et (16.76). Pour l’indice de Laspeyres géométrique, PGL, posons que les pondérations αi représentent les parts de dépenses dans la période de référence, si1. Cet indice devrait être considéré comme une alternative à l’indice à base fixe de Laspeyres, car ils utilisent tous deux le même ensemble d’informations. Pour l’indice de Paasche géométrique, PGP, posons que les pondérations αi représentent les parts de dépenses dans la période en cours, sit. Enfin, l’indice PHL est l’indice de Laspeyres harmonique défini par l’équation (16.59).

Tableau 19.6.Indices à base fixe et pondérations asymétriques
Période tPPALPGPPLPGLPPPHL
11,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,15201,18521,15521,18111,20091,1906
31,51331,46761,45711,40181,39571,3212
41,66281,56611,53901,41111,37081,2017
51,76731,63741,63431,45731,28651,0711

19.13 L’examen des données du tableau 19.6 pour la période 5 montre que l’écart entre tous ces indices à base fixe et pondérations asymétriques s’est creusé au point de dépasser même l’écart de 27% enregistré précédemment entre les indices à base fixe de Paasche et de Laspeyres. Au tableau 19.6, l’indice de Palgrave pour la période 5 est 1,65 fois plus élevé que l’indice de Laspeyres harmonique pour la période 5, PHL. Là encore, cela corrobore la thèse selon laquelle le choix de la formule d’indice est très important, car la croissance des prix et des quantités n’est pas proportionnelle dans la plupart des économies contemporaines.

19.14 S’il n’y a pas de quantités négatives dans les différents vecteurs de la demande finale, il est possible d’expliquer pourquoi certaines composantes des indices présentés au tableau 19.6 affichent une valeur plus élevée que d’autres. Si toutes les pondérations sont positives, il est possible de démontrer qu’une moyenne arithmétique pondérée de N nombres est supérieure ou égale à la moyenne géométrique pondérée correspondante de ces N nombres, qui est à quant elle supérieure ou égale à la moyenne harmonique pondérée correspondante de ces N nombres<?>. On voit que les trois indices PPAL, PGP et PP utilisent tous les parts de dépenses de la période en cours sit pour pondérer les rapports de prix (pit/pi1), mais que PPAL est la moyenne arithmétique pondérée de ces rapports de prix, tandis que PGP est leur moyenne géométrique pondérée et PP leur moyenne harmonique pondérée. Par conséquent, s’il n’y a pas de composantes négatives dans la demande finale, nous devons observer, conformément à l’inégalité de Schlömilch<?>, que:

Cependant, compte tenu de l’existence d’importations dans chaque période (donc de quantités négatives pour les composantes correspondantes du vecteur de la demande finale), les inégalités de l’équation (19.1) ne sont pas nécessairement vraies. Le tableau 19.6 montre que ces inégalités sont vérifiées pour les périodes 3, 4 et 5, mais pas pour la période 2. On peut aussi vérifier que les trois indices PL, PGL et PHL utilisent tous les parts de dépenses de la période de référence si1 pour pondérer les rapports de prix(pit/pi1), mais que PL est la moyenne arithmétique pondérée de ces rapports de prix, PGL leur moyenne géométrique pondérée et PHL leur moyenne harmonique pondérée. Si toutes ces parts sont non négatives, nous devons donc observer, conformément à l’inégalité de Schlömilch11 que:

Cependant, compte tenu de l’existence d’importations dans chaque période, les inégalités de l’équation (19.2) ne sont pas nécessairement vraies. Le tableau 19.6 montre que ces inégalités sont vérifiées pour les périodes 3, 4 et 5, mais pas pour la période 2.

19.15 Poursuivons avec la comparaison systématique de tous les indices de prix à pondérations asymétriques, qui utilisent le principe du chaînage et qui sont présentés au tableau 19.7. Ce dernier fait apparaître que le recours aux principes du chaînage réduit de façon spectaculaire l’écart entre tous les indices à pondérations asymétriques, par comparaison à ce que l’on observe pour leurs contreparties à base fixe du tableau 19.6. Pour la période 5, l’écart entre les indices à pondérations asymétriques le plus bas et le plus élevé est de 65%, mais, pour les indices chaînés de la période 5, il est ramené à 11%.

Tableau 19.7.Indices-chaînes à pondérations asymétriques
Période tPPALPGPPLPGLPPPHL
11,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,15201,18521,15521,18111,20091,1906
31,34441,40501,37431,45691,48341,6083
41,42291,47301,43741,50571,53491,6342
51,49421,52921,49631,55101,57201,6599

19.16 Les indices à pondérations symétriques peuvent se décomposer en deux classes: les indices superlatifs et les autres indices à pondérations symétriques. Les indices superlatifs ont un lien étroit avec la théorie économique en ce sens que, comme nous l’avons vu chapitre 17, ils sont exacts quand ils proviennent d’une fonction de production du producteur, ou de la fonction de recettes unitaires correspondante, fournissant une approximation de second ordre des technologies arbitraires qui remplissent certaines conditions de régularité. Quatre indices superlatifs importants sont analysés aux chapitres 15 à 17:

Ces quatre indices de prix superlatifs à pondérations symétriques sont présentés au tableau 19.8 sous forme d’indice à base fixe. Deux indices des prix à pondérations symétriques (qui ne sont pas superlatifs)13 figurent aussi dans ce tableau:

  • l’indice de prix de Marshall Edgeworth, PME, défini par l’équation (15.18);

  • l’indice de prix de Drobisch, PD, défini au paragraphe 15.19.

Tableau 19.8.Indices à base fixe et pondérations symétriques
Période tPTPIWPWPFPPPME
11,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,18311,18271,18141,17781,17811,1788
31,43431,43391,43271,42611,42641,4248
41,48661,48401,48201,45251,45491,4438
51,54471,53201,51931,45001,46041,4188

19.17 Notons que l’indice de Drobisch, PDR, est toujours supérieur ou égal à l’indice de Fisher correspondant, PF. Cela tient au fait que l’indice de Fisher est la moyenne géométrique des indices de Paasche et de Laspeyres, alors que l’indice de Drobisch correspond à leur moyenne arithmétique, et qu’une moyenne arithmétique est toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique correspondante. Si l’on compare les indices à base fixe et pondérations asymétriques du tableau 19.6 aux indices à pondérations symétriques du tableau 19.8, il apparaît que l’écart entre l’indice le plus faible et l’indice le plus élevé dans la période 5 est bien moins important dans le cas des indices à pondérations symétriques. En effet, il est de 1,7673/1,0711 = 1,65 pour les indices à pondérations asymétriques, mais de 1,5447/1,4188 = 1,09 seulement pour les indices à pondérations symétriques. Si l’analyse est limitée aux indices superlatifs retenus pour la période 5 au tableau 19.8, l’écart se réduit encore pour s’établir à 1,5447/1,4500 = 1,065; autrement dit, l’écart entre les indices superlatifs à base fixe n’est que de 6,5%, contre 27% (1,6343/1,2865 = 1,27) entre les indices à base fixe de Paasche et de Laspeyres. L’écart entre les indices superlatifs devrait se réduire encore quand on utilise le principe du chaînage.

19.18 Recalculons maintenant les indices à pondérations symétriques en utilisant le principe du chaînage. Les résultats obtenus sont présentés au tableau 19.9. Un rapide coup d’œil à ce tableau montre que l’utilisation conjuguée du chaînage et des pondérations symétriques entraîne une réduction spectaculaire de l’écart entre tous les indices bâtis en utilisant ces deux principes. L’écart entre tous les indices à pondérations symétriques dans la période 5 n’est que de 1,5400/1,5337 = 1,004 ou 0,4%, soit à peu près le même qu’entre les quatre indices superlatifs dans la période 514.

Tableau 19.9.Indices-chaînes à pondérations symétriques
Période tPTPIWPWPFPPPME
11,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,18311,18271,18141,17781,17811,1788
31,43071,42571,42981,42781,42881,4290
41,48931,48441,48891,48531,48611,4862
51,54001,53441,53871,53371,53421,5338

19.19 Les résultats récapitulés au tableau 19.9 corroborent les résultats numériques présentés par R. J. Hill (2000) et Diewert (1978, p. 894); les indices superlatifs les plus communément utilisés donneront en général des résultats numériques à peu près identiques15, malgré les fluctuations erratiques des données des tableaux 19.1 à 19.3. En particulier, les indices-chaînes de Fisher, Törnqvist et Walsh donneront en général des résultats très proches les uns des autres.

19.20 Venons en maintenant aux différences entre les indices superlatifs et leurs contreparties construites par agrégation en deux étapes; pour une analyse des questions soulevées et une liste des formules employées, voir section C du chapitre 17. Nous agrégeons les quatre premières classes de produits de notre ensemble de données artificielles en un agrégat de biens, les deux suivantes en un agrégat de services et les deux dernières en un agrégat d’importations. Dans la seconde étape de l’agrégation, ces trois composantes en prix et quantités sont agrégés en un indice de la demande finale nette.

19.21 Les résultats de l’agrégation en deux étapes utilisant la période 1 comme base fixe pour l’indice de Fisher, PF, pour l’indice de Törnqvist, PT, ainsi que pour l’indice de Walsh et l’indice implicite de Walsh, PW et PIW, sont récapitulés au tableau 19.10. Celui-ci montre que les indices superlatifs à base fixe établis en une seule étape donnent en général des résultats assez proches de ceux de leurs contreparties à base fixe établies en deux étapes. La divergence entre l’indice de Fisher établi en une étape, PF, et sa contrepartie établie en deux étapes, PF2S, dans la période 5 est de 1,4500/1,4366 = 1,008 ou 0,8%. Les autres divergences sont encore inférieures.

Tableau 19.10.Indices superlatifs à base fixe établis en une ou deux étapes
Période tPFPF2SPTPT2SPWPW2SPIWPIW2S
11,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,11781,18301,18311,18371,18141,18351,18271,1829
31,42611,42591,43431,43511,43271,43411,43391,4325
41,45251,47131,48661,49741,48201,49901,48401,4798
51,45001,43661,54471,54401,51931,52081,53201,5191

19.22 Les résultats de l’agrégation en deux étapes obtenus en utilisant les indices-chaînes sont présentés au tableau 19.11. Là encore, nous présentons les indices établis en une étape et leurs contreparties établies en deux étapes pour l’indice de Fisher, PF, pour l’indice de Törnqvist, PT, ainsi que pour l’indice de Walsh et l’indice implicite de Walsh, PW et PIW. Le tableau 19.11 montre que les indices-chaînes superlatifs établis en une seule étape donnent en général des résultats très proches de ceux de leurs contreparties à base fixe établies en deux étapes. L’écart entre l’indice-chaîne de Fisher établi en une seule étape, PF, et sa contrepartie en deux étapes, PF2S, dans la période 5 est de 1,5556/1,5337 = 1,014 ou 1,4%. Les autres écarts sont tous inférieurs à celui-ci. Étant donné la forte dispersion des variations d’une période sur l’autre, ces erreurs associées à l’agrégation en deux étapes ne sont pas considérables. Cependant, le tableau 19.11 met en lumière un point important: l’utilisation du principe du chaînage a réduit l’écart entre les huit indices superlatifs établis en une ou deux étapes, par comparaison à ce que l’on observe pour leurs contreparties à base fixe du tableau 19.10. L’écart maximum pour les valeurs des indices chaînés dans la période 5 est de 1,4%, alors qu’il est de 7,5% pour les valeurs des indices à base fixe dans la même période.

Tableau 19.11.Indices-chaînes superlatifs établis en une ou deux étapes
Période tPFPF2SPTPT2SPWPW2SPiWPIW2S
11,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,17781,18301,18311,18371,18141,18351,18271,1829
31,42781,44481,43071,43091,42981,43781,42571,4282
41,48531,50591,48931,49071,48891,49911,48441,4871
51,53371,55561,54001,54191,53871,54991,53441,5372

C. Indices d’année intermédiaire

19.23 Appliquons maintenant notre ensemble de données artificielles aux indices d’année intermédiaire de type arithmétique et géométrique définis à la section E du chapitre 17. Ces derniers, on le rappelle, sont dus à Schultz (1998) et Okamoto (2001) et se présentent, fondamentalement, sous forme d’indices de panier-type dans lesquels le panier des quantités dont les prix sont établis se situe à mi-chemin entre la période de référence et la période en cours. Si la période courante t moins la période en cours 1 donne un nombre pair, le vecteur de quantités q(t-1)/2 est utilisé comme panier d’année intermédiaire. Si la période courante t moins la période en cours 1 donne un nombre impair, on choisit pour panier d’année intermédiaire une moyenne des deux vecteurs de quantités d’année intermédiaire, qt/2 et q(t/2)+1. Si l’on prend la moyenne arithmétique de ces deux paniers d’année intermédiaire, on obtient la séquence des indices d’année intermédiaire de type arithmétique à base fixe, POSAt, correspondant à la définition donnée par l’équation (17.50) du chapitre 17. Si l’on prend la moyenne géométrique de ces deux paniers d’année intermédiaire, on obtient la séquence d’indices d’année intermédiaire de type géométrique à base fixe, POSGt, définie par (17.51) au chapitre 1716. Rappelons aussi que, de la période 1 à la période 2, l’indice d’année intermédiaire de type arithmétique de la période 2, POSAt, est égal à PME(p1,p2,q1,q2), indice des prix de Marshall (1887)Edgeworth (1925) pour la période 2. En outre, l’indice d’année intermédiaire de type géométrique pour la période 2, POSG2, est égal à PW(p1,p2,q1,q2), indice des prix de Walsh (1901) pour la période 217.

19.24 Les deux séquences d’indices des prix de l’année intermédiaire à base fixe, POSAt, et POSGt, ainsi que les indices de prix à base fixe de Fisher, Törnqvist et Walsh correspondants, soit PFt, PTt et PWt, respectivement, sont présentés au tableau 19.12. On notera que, pour t impair, les indices d’année intermédiaire de type arithmétique et géométrique, POSAt, et POSGt, coïncident. C’est tout à fait normal car, lorsque t est impair, les deux indices sont égaux à l’indice d’année intermédiaire de Schultz puisqu’il y a dans ce cas un seul panier d’année intermédiaire. Les deux séquences d’indices d’année intermédiaire diffèrent seulement pour les valeurs paires de t, car il existe alors deux paniers d’année intermédiaire et il faut choisir entre leur moyenne arithmétique et leur moyenne géométrique. On observera aussi que, par construction, l’indice de Walsh pour la période 2 est égal à l’indice d’année intermédiaire de type géométrique. Enfin, il faut noter que, à l’exception de l’indice à base fixe de Fisher, PF, tous les indices à base fixe du tableau 19.12 donnent, les uns des autres, une approximation d’une qualité surprenante quand on pense à la très forte variabilité de l’ensemble des données sur lesquelles ils reposent. Les résultats relativement faibles de l’indice à base fixe de Fisher peuvent s’expliquer par les résultats, relativement faibles eux aussi, de l’indice à base fixe de Paasche dans le tableau 19.4 et son écart important. Lorsque les indices chaînés de Laspeyres et de Paasche sont calculés au tableau 19.5, l’écart est beaucoup plus réduit, et l’indice de Paasche est porté à un niveau supérieur à celui de l’indice de Laspeyres, pour atteindre un chiffre assez proche des indices de Törnqvist et Walsh. Cela semblerait indiquer que le résultat relativement faible de l’indice de Paasche à base fixe, observé au tableau 19.4, donc aussi l’indice à base fixe de Fisher du tableau 19.12, est entaché d’un biais négatif.

Tableau 19.12.Indices d’année intermédiaire à base fixe de type arithmétique ou géométrique
Période tPOSAPOSGPFPTPW
21,17881,18141,17781,18311,1814
31,42861,42861,42611,43431,4327
41,47471,47831,45251,48661,4820
51,53851,53851,45001,54471,5193

19.25 Examinons maintenant les contreparties chaînées des indices du tableau 19.12, en rappelant que les séquences chaînées des indices d’année intermédiaire de type arithmétique et géométrique sont définies par les équations (17.54) et (17.55), respectivement, du chapitre 17. Les deux séquences d’indices des prix d’année intermédiaire chaînés, POSAt, et POSGt, de même que les indices des prix chaînés de Fisher, Törnqvist et Walsh, PFt, PTt et PFt, PWt, respectivement, sont présentés au tableau 19.13. On notera que, pour t impair, les indices d’année intermédiaire de type arithmétique et géométrique, POSAt, et POSGt, coïncident. C’est là aussi tout à fait normal, car, lorsque t est impair, les deux indices sont égaux à l’indice d’année intermédiaire de Schultz. Ce qui est frappant dans le tableau 19.13, c’est à quel point les indices d’année intermédiaire chaînés sont proches de leurs contreparties superlatives chaînées pour les périodes impaires. Pour l’année 5, l’écart maximum entre les cinq indices est observé entre les indices chaînés de Fisher et de Törnqvist, et n’est que de 1,5400/1,5337 = 1,004 ou 0,4%. Ce résultat plutôt remarquable tient au fait que, pour les périodes impaires, les données sur les prix et quantités sous-jacentes affichent des tendances plutôt régulières: dans ces conditions, en effet, on peut s’attendre à ce que les indices d’année intermédiaire donnent une approximation plutôt bonne de l’indice superlatif de Walsh, comme il a été indiqué au chapitre 17. Pour les périodes 2 et 4, cependant, les données sous-jacentes fluctuent considérablement, de sorte que leurs tendances s’inversent brutalement. On s’attend donc, dans ces conditions, à ce que les indices d’année intermédiaire s’écartent de leurs contreparties superlatives. C’est ce que conforme l’examen des données du tableau 19.12 pour la période 4, puisque les deux indices d’année intermédiaire sont supérieurs d’environ 2 à 3% à leurs contreparties superlatives chaînées.

Tableau 19.13.Indices d’année intermédiaire chaînés de type arithmétique ou géométrique
Période tPOSAPOSGPFPTPW
11,00001,00001,00001,00001,0000
21,17881,18141,17781,18311,1814
31,42861,42861,42781,43071,4298
41,52301,52631,48531,48931,4889
51,53881,53881,53371,54001,5387

19.26 La conclusion qui se dégage des tableaux 19.12 et 19.13 est que les indices d’année intermédiaire donnent une approximation d’une qualité surprenante, mais non parfaite, de leurs contreparties superlatives. Étant donné la forte variabilité des données sous-jacentes sur les prix et les quantités, il apparaît que les indices d’année intermédiaire pourraient être utilisés pour obtenir de très bonnes estimations avancées des indices superlatifs, qui par la force des choses ne peuvent être évalués dans les meilleurs délais.

D. Décomposition additive de la variation en pourcentage de l’indice de Fisher

19.27 Les dernières formules que nous allons illustrer maintenant à l’aide de l’ensemble de données artificielles sur les dépenses finales se rapportent aux décompositions additives de la variation en pourcentage de l’indice idéal de Fisher, examinées à la section C.8 du chapitre 16. Les chaînons de l’indice de prix de Fisher sont dans un premier temps décomposés en utilisant les formules de décomposition de Fisher données par les équations (16.41) à (16.43), et les résultats sont présentés au tableau 19.14. Nous obtenons donc PF – 1, variation en pourcentage du chaînon de l’indice idéal de Fisher allant de la période t – 1 à la période t, et le facteur de décomposition vFiΔpi = vFi(pitpit–1) est la contribution à la variation totale en pourcentage de la variation du ième prix de pit–1 à pit pour i = 1,2,…, 8. Le tableau 19.14 montre que l’indice des prix allant de la période 1 à la période 2 a augmenté de 17,78% et que les principales contributions à cette variation sont venues de la hausse des prix des produits 1, 2 et 3, correspondant respectivement à la demande finale de produits agricoles (7,91 points), de produits énergétiques (8,16 points) et de produits manufacturés traditionnels (10,79 points), du produit 5, correspondant aux services traditionnels (16,78 points) et du produit 7, correspondant aux importations d’énergie (–23.89 points). La somme des huit dernières données pour la période 2 inscrites au tableau 19.14 est égale à 0,1778, pourcentage d’augmentation de l’indice des prix de Fisher allant de la période 1 à la période 2. On notera que, bien que le prix des importations d’énergie ait augmenté d’une façon spectaculaire dans la période 2, sa contribution à la variation de prix totale est négative, car la quantité des importations d’énergie est indexée avec un signe négatif. De même, bien que le prix des importations de produits de haute technologie ait diminué de façon spectaculaire dans la période 2, sa contribution à la variation de prix totale est positive, car la quantité des importations de haute technologie est indexée avec un signe négatif18. Les deux dernières colonnes du tableau 19.14 demandent donc à être interprétées avec prudence, compte tenu des quantités négatives de certaines composantes de l’agrégat19. Il est manifeste qu’une forte variation du prix d’un poste donné i, conjuguée à une part de dépenses importante dans les deux périodes considérées, se traduira par un facteur de décomposition vFi élevé.

Tableau 19.14.Décomposition additive de la variation en pourcentage de l’indice de Fisher
Période tPF–1vF1Δp1vF2Δp2vF3Δp3vF4Δp4vF5Δp5vF6Δp6vF7Δp7vF8*Δp8
20,17780,07910,08160,1079–0,03160,1678–0,0101–0,23890,0220
30,2122–0,0648–0,07160,0571–0,03310,1084–0,01050,20370,0231
40,0403–0,0541–0,03630,0224–0,05190,0616–0,01210,07440,0363
50,03260,04590,03260,0198–0,03960,0302–0,0187–0,06530,0277

19.28 La dernière série de calculs effectuée à l’aide de l’ensemble de données artificielles illustre la décomposition additive de la variation en pourcentage de l’indice idéal de Fisher par Van Ijzeren (1987, p. 6), déjà citée à la section C.8 du chapitre 1620. La contrepartie, pour les prix, de la décomposition additive d’un indice des quantités est, selon l’équation (16.5):

où les quantités de référence doivent dans tous les cas être définies. Van Ijzeren (1987, p. 6) montre que les pondérations de référence suivantes donnent une représentation additive exacte pour l’indice de prix idéal de Fisher:

QF est l’indice de quantités de Fisher global. En utilisant les pondérations en quantités de Van Ijzeren, qFi*, on obtient donc la décomposition additive de la variation en pourcentage de l’indice de prix de Fisher proposée par Van Ijzeren:

où la pondération du produit i selon Van Ijzeren, vFi*, est définie comme suit

Les chaînons de l’indice de prix de Fisher sont décomposés à nouveau à l’aide des équations (19.2) à (19.4), et les résultats de cette décomposition sont présentés au tableau 19.15. Nous obtenons donc PF – 1, variation en pourcentage du chaînon de l’indice idéal de Fisher allant de la période t – 1 à la période t, et le facteur de décomposition selon Van Ijzeren, vFi*Δpi est la contribution que la variation du ième prix entre pit–1 et pit pour i = 1, 2,…, 8.

Tableau 19.15.Décomposition de l’indice des prix de Fisher par Van Ijzeren
Période tpF–1vF1*Δp1vF2*Δp2vF3*Δp3vF4*Δp4vF5*Δp5vF6*Δp6vF7*Δp7vF8*Δp8
20,17780,08040,08340,1094–0,03170,1697–0,0101–0,24540,0220
30,2122–0,0652–0,07120,0577–0,03220,1091–0,01050,20210,0225
40,0403–0,0540–0,03610,0224–0,05150,0615–0,01210,07410,0360
50,03260,04580,03260,0197–0,03930,0300–0,0186–0,06520,0275

19.29 La comparaison des données présentées dans les tableaux 19.14 et 19.15 montre que les différences entre les décompositions de l’indice de prix de Fisher par Diewert et Van Ijzeren sont très faibles. Cela peut surprendre, vu la nature très différente des deux décompositions21. Comme nous l’avons indiqué à la section C.8 du chapitre 16, le Bureau of Economic Analysis des États-Unis utilise la décomposition de l’indice-chaîne de quantités de Fisher proposée par Van Ijzeren22.

E. Indices des prix sectoriels

E.1 Ensemble des données sectorielles

19.30 Prenons le cas très simplifié d’une économie composée de trois secteurs: un secteur agricole (dit aussi primaire), un secteur manufacturier (dit aussi secondaire) et un secteur des services (dit aussi tertiaire). On suppose que toutes les transactions passent par le secteur des services. Cela peut sembler de prime abord inhabituel, mais on rappelle que les services de transport font partie du secteur des services. Par conséquent, les biens importés sont livrés, en tant qu’intrants intermédiaires, au secteur agricole et au secteur manufacturier en utilisant les intrants du service des transports, ou livrés directement au secteur de la demande finale—en utilisant là aussi les services de transports, d’entreposage et de ventes en gros ou au détail du secteur des services. De même, le secteur agricole produit des denrées élémentaires non transformées qui sont livrées par le secteur des services au secteur manufacturier pour être transformées et conditionnées. Cette production alimentaire transformée est à son tour livrée par le secteur des services au secteur de la demande finale23.

19.31 Trois extrants et intrants intermédiaires sont retenus pour le secteur agricole. Le premier produit correspond aux extrants agricoles livrés au secteur des services, et constitue le seul extrant de ce secteur. Deux intrants intermédiaires sont utilisés dans le secteur agricole: le produit 2 correspond aux livraisons de matières premières non énergétiques (engrais, etc.) à l’agriculture par le secteur des services, et le produit 3 aux livraisons d’énergie à l’agriculture par le secteur des services. Ces prix et quantités sont notés pnAt et qnAt pour n = 1, 2, 3 et t = 1,…,5. On observera que q1At est positive (puisque le produit 1 est un extrant), tandis que q2At et q3At sont négatives (puisque les produits 2 et 3 sont des intrants intermédiaires du secteur agricole). Les données pour le secteur agricole sur les cinq périodes considérées sont présentées au tableau 19.16.

Tableau 19.16.Données sur les prix et les quantités pour le secteur agricole
Période tp1Ap2Ap3Aq1Aq2Aq3A
11,01,01,020,0–3,0–6,0
21,51,42,216,0–2,0–4,0
31,11,61,120,0–3,0–5,0
40,61,40,723,0–3,0–6,0
51,01,71,119,0–3,0–5,0

19.32 Deux extrants et trois intrants intermédiaires, soit cinq produits au total, sont retenus pour le secteur manufacturier.

  • Le produit 1 correspond aux extrants agricoles transformés livrés au secteur des services;

  • le produit 2 correspond aux produits manufacturés traditionnels livrés au secteur des services;

  • le produit 3 correspond aux livraisons d’intrants intermédiaires agricoles dont le transport est assuré par le secteur des services;

  • le produit 4 correspond aux livraisons d’énergie du secteur des services au secteur manufacturier;

  • le produit 5 correspond aux intrants des services aux entreprises.

Ces prix et quantités sont notés pnMt et qnMt pour n = 1,…, 5 et t = 1,…, 5. On observera que q1Mt et q2Mt sont positives (puisque les produits 1 et 2 sont des extrants) tandis que q3Mt, q4Mt et q5Mt sont négatives (puisque les produits 3, 4 et 5 du secteur manufacturier sont des intrants intermédiaires). Les données pour le secteur manufacturier sur les 5 périodes considérées sont présentées au tableau 19.17.

Tableau 19.17.Données sur les prix et les quantités pour le secteur manufacturier
PériodeP1MP2MP3MP4MP5MQ1Mq2Mq3Mq4Mq5M
11,01,01,01,01,026,036,0–22,0–6,0–8,0
21,31,21,42,01,223,035,0–19,0–5,0–9,0
31,11,41,11,11,626,034,0–22,0–5,0–10,0
40,81,50,70,81,827,035,0–23,0–5,0–11,0
51,01,61,01,11,925,036,0–21,0–5,0–11,0

19.33 Onze extrants et 5 intrants intermédiaires, soit au total de 16 produits, sont retenus pour le secteur des services. Les 11 extrants retenus sont les suivants:

  • le produit 1 correspond aux livraisons de produits élémentaires au secteur de la demande finale;

  • le produit 2 correspond aux livraisons d’énergie au secteur de la demande finale;

  • le produit 3 correspond aux livraisons de produits manufacturés traditionnels au secteur de la demande finale;

  • le produit 4 correspond aux livraisons de produits manufacturés de haute technologie au secteur de la demande finale;

  • le produit 5 correspond aux livraisons de services aux personnes au secteur de la demande finale;

  • le produit 6 correspond aux livraisons de services de haute technologie au secteur de la demande finale;

  • le produit 7 correspond aux livraisons de matériels à l’agriculture;

  • le produit 8 correspond aux livraisons d’énergie à l’agriculture;

  • le produit 9 correspond aux livraisons de matériels au secteur manufacturier;

  • le produit 10 correspond aux livraisons d’énergie au secteur manufacturier;

  • le produit 11 correspond aux livraisons de services aux entreprises au secteur manufacturier.

Les cinq intrants intermédiaires du secteur des services sont les suivants:

  • Le produit 12 correspond aux importations d’énergie dans l’économie;

  • le produit 13 correspond aux importations de produits manufacturés de haute technologie dans l’économie;

  • le produit 14 correspond aux livraisons d’extrants agricoles aux services;

  • le produit 15 correspond aux livraisons de produits alimentaires transformés du secteur manufacturier au secteur des services;

  • le produit 16 correspond aux livraisons de produits manufacturés traditionnels au secteur des services.

Ces prix et quantités sont notés pnSt et qnSt pour n = 1,…,16 et t = 1,…,5. On observera que les quantités q1St à q11St sont positives (puisque les produits correspondants sont des extrants) et les quantités q12St à q16St négatives (puisque les produits correspondants sont des intrants intermédiaires du secteur des services). Les données sur les prix et les quantités de ces 16 produits dans le secteur des services sont présentées aux tableaux 19.18 et 19.19, respectivement.

Tableau 19.18.Données sur les prix pour le secteur des services
tp1Sp2Sp3Sp4Sp5Sp6Sp7Sp8Sp9Sp10Sp11Sp12Sp13Sp14Sp15Sp16S
11,01,01,01,01,01,01,01,01,01,01,01,01,01,01,01,0
21,32,01,30,71,40,81,42,21,42,01,22,10,71,51,31,2
31,01,01,50,51,70,61,61,11,11,11,61,00,51,11,11,4
40,70,51,60,31,90,41,40,70,70,81,80,60,30,60,81,5
51,01,01,70,22,00,21,71,11,01,11,91,00,21,01,01,6
Tableau 19.19.Données sur les quantités pour le secteur des services
tq1Sq2Sq3Sq4Sq5Sq6Sq7Sq8Sq9Sq10Sq11Sq12Sq13Sq14Sq15Sq16S
130104010455362268–28–7–20–26–36
22883913476241959–20–9–16–23–35
3301138305083522510–29–21–20–26–34
43214396056133623511–35–42–23–27–35
529124010065253521511–30–70–19–25–36

19.34 Les données sectorielles susmentionnées satisfont aux conventions de la comptabilité nationale en ce sens que, pour chaque transaction en valeur (de la forme pnetqnet, où e est un secteur et n un produit) dans chaque secteur, il existe une transaction correspondante dans un autre secteur, pour chaque période et pour chaque secteur. Notons qu’aucune tentative n’est faite pour équilibrer l’offre et la demande de chaque produit dans les différents secteurs; en d’autres termes, on n’essaie pas de produire des tableaux d’entrées-sorties équilibrés en termes réels, produit par produit, dans les différents secteurs. Pour produire de tels tableaux d’entrées-sorties en euros constants, il est nécessaire de faire des hypothèses sur les marges pratiquées dans chaque secteur. À titre d’exemple, un produit primaire est transformé à mesure qu’il progresse du secteur agricole vers les divers secteurs en aval. Ces marges ne sont toutefois pas constantes d’une période à l’autre, ce qui complique l’interprétation des tableaux d’entrées-sorties en euros constants. En outre, à mesure que les biens sont transformés par le secteur manufacturier, ils perdent souvent leur identité initiale, et cela complique aussi l’interprétation des tableaux d’entrées-sorties en euros constants. L’approche utilisée dans ce chapitre permet d’éviter ces problèmes en se concentrant sur les transactions entre chaque paire de secteurs dans la classification industrielle. Pour chaque paire de secteur, il est possible d’affiner la classification de ces transactions intersectorielles en utilisant une nomenclature des produits, comme nous l’avons fait dans l’ensemble de données susmentionnées, mais sans tenter d’uniformiser la classification de produits pour l’ensemble des secteurs.

19.35 Dans les trois sous-sections suivantes, nous calculons les déflateurs de la valeur ajoutée pour chacun des trois secteurs d’activité. Seuls les indices à base fixe et chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist sont établis, puisque ce sont eux qui ont le plus de chances d’être utilisés dans la pratique.

E.2 Déflateurs de la valeur ajoutée pour le secteur agricole

19.36 Les données du tableau 19.16 pour le secteur agricole sont utilisées afin de calculer les indices des prix à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour les périodes t allant de 1 à 5, soit PLt, PPt, PFt, et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.20.

Tableau 19.20.Déflateurs de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour le secteur de l’agriculture
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,14551,24001,19181,2000
30,96360,97500,96930,9679
40,32730,38570,35530,3472
50,75450,76360,75910,7478

19.37 Le tableau 19.20 montre que les quatre déflateurs de la valeur ajoutée sont proches les uns des autres pour les périodes impaires, mais que les indices de Paasche et de Laspeyres diffèrent considérablement pour les périodes paires (lorsque les prix agricoles et énergétiques fluctuent fortement ou s’écartent sensiblement de leurs valeurs normales à long terme). Pour toutes les périodes, cependant, les deux indices superlatifs sont assez proches l’un de l’autre.

19.38 Les données du tableau 19.16 pour le secteur agricole sont utilisées afin de calculer des déflateurs de la valeur ajoutée chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour les périodes t allant de 1 à 5, soit PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.21.

Tableau 19.21.Déflateurs de la valeur ajoutée chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour le secteur de l’agriculture
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,14551,24001,19181,2000
30,92380,98030,95160,9579
40,33950,38080,35960,3584
50,71040,86460,78370,7758

19.39 La comparaison des tableaux 19.20 et 19.21 fait apparaître que les indices chaînés affichent nettement plus de variations que leurs contreparties à base fixe. Nous avons là l’exemple d’un secteur où le chaînage ne réduit pas l’écart entre les déflateurs de la valeur ajoutée de Paasche et de Laspeyres, ce qui tient au fait que l’agriculture est un secteur où les fluctuations des prix l’emportent très largement sur tendances divergentes des prix relatifs. Les produits dont les prix divergent sont les biens et services de haute technologie, lesquels ne sont ni fabriqués ni utilisés par le secteur agricole. Même si le chaînage ne réduit pas l’écart entre les indices de Paasche et de Laspeyres dans ce secteur, on peut voir que les indices des prix chaînés de Fisher et de Törnqvist restent proches l’un de l’autre, bien qu’ils soient un peu plus élevés que leurs contreparties à base fixe pour les dernières périodes.

E.3 Déflateurs de la valeur ajoutée pour le secteur manufacturier

19.40 Les données du tableau 19.17 pour le secteur manufacturier sont utilisées afin de calculer les déflateurs de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour les périodes t allant de 1 à 5, soit PLt, PPt, PFt, et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.22.

Tableau 19.22.Déflateurs de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour le secteur manufacturier
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
20,94620,98000,96290,9599
31,36151,32611,34371,3425
41,54621,48701,51631,5265
51,53081,46671,49841,4951

19.41 Le tableau 19.22 montre que la divergence entre les déflateurs de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres et de Paasche pour le secteur manufacturier se creuse progressivement, passant de 3,6% à la période 3 à 4,4% à la période 5. Cependant, la divergence entre les deux déflateurs de la valeur ajoutée superlatifs est assez faible pour toutes les périodes.

19.42 Les données du tableau 19.17 pour le secteur manufacturier sont utilisées afin de calculer les déflateurs de la valeur ajoutée chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour les périodes t allant de 1 à 5, soit PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.23.

Tableau 19.23.Déflateurs de la valeur ajoutée chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour le secteur manufacturier
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
20,94620,98000,96290,9599
31,29371,37111,33181,3430
41,45911,54761,50271,5217
51,43351,53451,48321,5013

19.43 La comparaison des tableaux 19.22 et 19.23 fait apparaître que le chaînage n’a pas réduit l’écart entre les déflateurs de la valeur ajoutée de Paasche et de Laspeyres pour le secteur manufacturier, puisque la différence observée est de 7,0% dans la période 5, contre 4,4% seulement pour les indices à base fixe correspondants. L’explication de ce résultat est la même que pour l’agriculture: les activités manufacturières (traditionnelles) sont un exemple de secteur où les fortes fluctuations des prix de l’énergie l’emportent très largement sur les tendances divergentes des prix relatifs. Les produits qui affichent des divergences de prix sont les biens et services de haute technologie, lesquels ne sont ni utilisés ni produits par le secteur manufacturier traditionnel. La comparaison des tableaux 19.22 et 19.23 montre aussi que le chaînage n’a pas réduit l’écart entre les déflateurs de la valeur ajoutée de Fisher et de Törnqvist pour le secteur manufacturier. Là encore, les fortes fluctuations des prix de l’énergie expliquent ce résultat. Cependant, les indices de prix chaînés de Fisher et de Törnqvist restent assez proches l’un de l’autre.

E.4 Déflateurs de la valeur ajoutée pour le secteur des services

19.44 Les données des tableaux 19.18 et 19.19 pour le secteur des services sont utilisées afin de calculer les déflateurs de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour les périodes t allant de 1 à 5, soit PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.24.

Tableau 19.24.Déflateurs de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour le secteur des services
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,23681,26751,25211,2561
31,57351,47681,52441,5344
41,73241,48201,60231,6555
51,81621,29711,53481,6547

19.45 Le tableau 19.24 fait apparaître que la divergence entre les déflateurs de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres et de Paasche pour le secteur des services s’accentue progressivement, passant de 2,5% dans la période 2 à 40,0% dans la période 5. Toutefois, la divergence entre les deux déflateurs superlatifs de la valeur ajoutée est beaucoup moins accentuée, même si elle se creuse avec le temps pour s’établir à 7,8% dans la période 5.

19.46 Les données des tableaux 19.18 et 19.19 pour le secteur des services sont utilisées afin de calculer les déflateurs de la valeur ajoutée chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour les périodes t allant de 1 à 5, soit PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.25.

Tableau 19.25.Déflateurs de la valeur ajoutée chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist pour le secteur des services
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,23681,26751,25211,2561
31,47631,60561,53961,5324
41,61041,73311,67061,6662
51,63641,74101,68791,6870

19.47 La comparaison des tableaux 19.24 et 19.25 fait apparaître que le chaînage a très sensiblement réduit l’écart entre les déflateurs de la valeur ajoutée de Paasche et de Laspeyres pour le secteur des services. Dans la période 5, la divergence entre les indices chaînés de Paasche et de Laspeyres n’est que de 6,4%, alors qu’elle atteint 40% entre leurs contreparties à base fixe. De même, le chaînage réduit l’écart entre les deux indices superlatifs; dans la période 5, les déflateurs de la valeur ajoutée chaînés de Fisher et de Törnqvist ne diffèrent que de 0,05%, contre 7,8% pour leurs contreparties à base fixe. Le chaînage réduit les divergences entre les quatre indices pour le secteur des services parce que plusieurs extrants et intrants intermédiaires de ce secteur affichent des tendances de prix fortement divergentes. L’effet de cette divergence des prix l’emporte largement sur celui des fluctuations des prix agricoles et énergétiques.

F. Indices nationaux des prix à la production

F.1 L’indice national des prix des extrants

19.48 Pour construire un indice national des prix des extrants, il suffit de recueillir les extrants de chacun des trois secteurs d’activité et d’appliquer la théorie normale des indices à ces flux de valeur. On compte 1 extrant dans le secteur agricole, 2 dans le secteur manufacturier et 11 dans le secteur des services, soit 14 extrants au total. Les données sur les prix et quantités afférentes à ces 14 produits sont utilisées afin de calculer les indices des prix des extrants à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist, soit PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.26.

Tableau 19.26.Indices nationaux des prix pour le producteur des extrants à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,35511,32951,34221,3424
31,27531,22261,24871,2575
41,16221,03051,09441,1203
51,34871,06971,20111,2880

19.49 Compte tenu des tendances divergentes des prix relatifs des extrants dans l’économie, il ne faut pas s’étonner que les indices des prix des extrants de Paasche et de Laspeyres aient tendance à s’écarter l’un de l’autre avec le temps, pour afficher une différence de 25,7% dans la période 5. Les deux indices superlatifs montrent la même tendance divergente, et s’écartent de 7,2% à la période 5. On s’attend à ce que le chaînage réduise ces divergences.

19.50 Les données sur les prix et quantités des 14 extrants sectoriels dans l’économie sont utilisées à nouveau pour calculer les indices des prix des extrants chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist, soit PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.27.

Tableau 19.27.Indices nationaux chaînés des prix pour le producteur des extrants de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,35511,32951,34221,3424
31,30331,24761,27521,2751
41,18061,11191,14571,1456
51,34041,22211,27991,2813

19.51 La comparaison des tableaux 19.26 et 19.27 fait apparaître que le chaînage réduit effectivement l’écart entre les divers indices des prix des extrants nationaux. La différence entre les indices des prix chaînés de Paasche et de Laspeyres dans la période 5 n’est que de 9,7%, contre 25,7% pour leurs contreparties à base fixe. De même, la différence entre les indices des prix chaînés de Fisher et de Törnqvist dans la période 5 n’est que de 0,1%, contre 7,2% pour leurs contreparties à base fixe.

F.2 lndice national des prix des intrants intermédiaires

19.52 Pour construire un indice national des prix des intrants intermédiaires, il suffit de recueillir les intrants intermédiaires de chacun des trois secteurs d’activité et d’appliquer la théorie normale des indices à ces flux de valeur24. On compte 2 intrants intermédiaires dans le secteur agricole, 3 dans le secteur manufacturier et 5 dans le secteur des services, soit 10 intrants intermédiaires au total. Les données sur les prix et quantités afférentes à ces 10 produits sont utilisées pour calculer les indices des prix des intrants intermédiaires à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist, soit PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.28.

Tableau 19.28.Indices nationaux à base fixe des prix pour le producteur des intrants intermédiaires de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,48461,43101,45751,4582
31,15741,10691,13191,1397
40,91790,80860,86150,8817
51,16360,90491,02611,0997

19.53 Compte tenu des tendances divergentes des prix relatifs des intrants intermédiaires dans l’économie, il ne faut pas s’étonner que les indices des prix des intrants intermédiaires de Paasche et de Laspeyres s’écartent de plus en plus l’un de l’autre au fil du temps, pour afficher une différence de 28,6% dans la période 5. Les deux indices superlatifs montrent la même tendance divergente et s’écartent de 6,7% à la période 5. On s’attend là aussi à ce que le chaînage réduise ces divergences.

19.54 Les données sur les prix et quantités se rapportant aux 10 intrants intermédiaires sectoriels dans l’économie sont utilisées à nouveau pour calculer les indices des prix des intrants intermédiaires chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist, soit PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.29.

Tableau 19.29.Indices nationaux chaînés des prix pour le producteur des intrants de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,48461,43101,45751,4582
31,20401,11681,15961,1597
40,94850,86270,90460,9052
51,17591,02961,10031,1030

19.55 La comparaison des tableaux 19.28 et 19.29 fait apparaître que le chaînage réduit effectivement l’écart entre les indices des intrants intermédiaires de Paasche et de Laspeyres. La différence entre les indices des prix chaînés de Paasche et de Laspeyres dans la période 5 n’est que de 12,4%, contre 28,6% pour leurs contreparties à base fixe. De même, la différence entre les indices des prix chaînés de Fisher et de Törnqvist dans la période 5 n’est que de 0,2%, contre 6,7% pour leurs contreparties à base fixe.

F.3 Déflateur national de la valeur ajoutée

19.56 Pour construire un déflateur national de la valeur ajoutée, il suffit de recueillir l’ensemble des extrants et les intrants intermédiaires de chacun des trois secteurs d’activité et d’appliquer la théorie normale des indices à ces flux de valeur. On compte 2 intrants intermédiaires et 1 extrant pour le secteur agricole, 2 extrants et 3 intrants intermédiaires pour le secteur manufacturier, et 11 extrants et 5 intrants intermédiaires pour le secteur des services, soit au total 24 produits. Les données sur les prix et les quantités afférentes à ces 24 produits sont utilisées pour calculer les déflateurs de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist, soit PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.30.

Tableau 19.30.Déflateurs nationaux de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,15521,20091,17781,1831
31,45711,39571,42611,4343
41,53901,37081,45251,4866
51,63431,28651,45001,5447

19.57 Compte tenu des tendances divergentes des prix relatifs des extrants et des intrants intermédiaires dans l’économie, il ne faut pas s’étonner que les déflateurs de la valeur ajoutée à base fixe de Paasche et de Laspeyres s’écartent de plus en plus l’un de l’autre au fil du temps, pour afficher une différence de 27,0% dans la période 5. Les deux indices superlatifs montrent la même tendance divergente et s’écartent de 6,5% à la période 5. Là encore, on s’attend à ce que le chaînage réduise ces divergences.

19.58 Les données sur les prix et quantités des 24 extrants et intrants intermédiaires sectoriels dans l’économie sont utilisées à nouveau pour calculer des déflateurs de la valeur ajoutée chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist, soit PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les résultats sont présentés au tableau 19.31.

Tableau 19.31.Déflateurs nationaux de la valeur ajoutée chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,15521,20091,17781,1831
31,37431,48341,42781,4307
41,43741,53491,48531,4893
51,49631,57201,53371,5400

19.59 La comparaison des tableaux 19.30 et 19.31 fait apparaître que le chaînage réduit effectivement les déflateurs de Paasche et de Laspeyres. La différence entre les déflateurs chaînés de Paasche et de Laspeyres dans la période 5 n’est que de 5,1%, contre 27,0% pour leurs contreparties à base fixe. De même, la différence entre les déflateurs chaînés de Fisher et de Törnqvist dans la période 5 n’est que de 0,4%, contre 6,5% pour leurs contreparties à base fixe.

19.60 Au début de ce chapitre, les déflateurs de la demande finale de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist ont été calculés en utilisant une base fixe dans les tableaux 19.4 et 19.8, et en utilisant le principe du chaînage dans les tableaux 19.5 et 19.9. Si le lecteur compare ces déflateurs de la demande finale à leurs contreparties, les déflateurs de la valeur ajoutée nationaux présentés aux tableaux 19.30 et 19.31, il pourra constater que ces deux types de déflateurs donnent exactement la même réponse. On suppose que toutes les transactions sont classées sur une base sectorielle bilatérale; autrement dit, toutes les transactions entre chaque paire de secteurs dans l’économie sont suivies. Dans ces conditions, que l’on ait recours à l’un ou l’autre des indices les plus souvent utilisés, il apparaît que le déflateur de la demande finale sera exactement égal au déflateur national de la valeur ajoutée25.

F.4 Agrégation à l’échelle nationale en deux étapes

19.61 Nous venons de construire l’indice national des prix des extrants et l’indice national des prix des intrants intermédiaires. Il est naturel d’utiliser la procédure d’agrégation en deux étapes expliquée à la section D du chapitre 17 pour les agréger en un déflateur national de la valeur ajoutée. Le résultat obtenu peut ensuite être comparé au déflateur national de la valeur ajoutée obtenu à la section précédente (en suivant une procédure d’agrégation en une seule étape). C’est l’objet de la présente section.

19.62 Les calculs effectués à la section précédente et la théorie exposée à la section D du chapitre 17 sont utilisés pour construire des déflateurs de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist établis en deux étapes: PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les déflateurs nationaux de la valeur ajoutée établis en deux étapes qui en résultent sont présentés au tableau 19.32.

Tableau 19.32.Déflateurs nationaux de la valeur ajoutée à base fixe de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist établis en deux étapes
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,15521,20091,18151,1830
31,45711,39571,42591,4379
41,53901,37081,45101,5018
51,63431,28651,44851,5653

19.63 La comparaison des déflateurs de la valeur ajoutée établis en deux étapes du tableau 19.32 avec les déflateurs correspondants, établis en une étape, du tableau 19.30 fait apparaître que les estimations faites selon les formules de Paasche et de Laspeyres sont exactement les mêmes, mais qu’il existe de petites différences entre les déflateurs de la valeur ajoutée de Fisher et de Törnqvist établis en une étape et en deux étapes. Pour la période 5, l’écart n’est que de 0,1% entre les deux déflateurs à base fixe de Fisher, et de 1,3% entre les deux déflateurs à base fixe de Törnqvist.

19.64 Les calculs effectués à la section précédente et la théorie exposée à la section C du chapitre 17 sont utilisés pour construire des déflateurs de la valeur ajoutée chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist établis en deux étapes: PLt, PPt, PFt et PTt, respectivement. Les déflateurs nationaux de la valeur ajoutée établis en deux étapes qui en résultent sont présentés au tableau 19.33.

Tableau 19.33.Déflateurs nationaux de la valeur ajoutée chaînés de Laspeyres, Paasche, Fisher et Törnqvist établis en deux étapes
Période tPLtPPtPFtPTt
11,00001,00001,00001,0000
21,15521,20091,18151,1830
31,37431,48341,42811,4277
41,43741,53491,48531,4861
51,49631,57201,53421,5368

19.65 La comparaison des déflateurs chaînés de la valeur ajoutée, établis en deux étapes du tableau 19.33, avec les déflateurs en une seule étape correspondants du tableau 19.31 fait apparaître que les estimations faites selon les formules de Paasche et de Laspeyres sont exactement les mêmes, mais qu’il existe de petites différences entre les déflateurs de la valeur ajoutée de Fisher et de Törnqvist établis en une étape et en deux étapes. Pour la période 5, la différence n’est que de 0,03% entre les deux déflateurs chaînés de Fisher, et de 0,2% entre les deux déflateurs chaînés de Törnqvist. Le chaînage a donc entraîné une correspondance plus étroite entre les déflateurs nationaux de la valeur ajoutée établis en une seule étape et ceux établis en deux étapes.

Les indices de Lowe et de Young ne sont pas calculés pour cet ensemble de données, mais sont présentés au chapitre 19 du Manuel de l’indice des prix à la consommation (Organisation internationale du travail et al., 2004) pour permettre des comparaisons avec les autres grands indices.

En règle générale, les prix seront des rapports de prix ou des moyennes de rapports de prix, mais, si la période de référence est égale à la période 1, ces rapports de prix seront tous égaux à l’unité dans la période 1.

C’est un exemple du phénomène observé par Szulc (1983). Notons que les fluctuations des prix de l’énergie retenues dans notre ensemble de données ne sont pas si irréalistes: dans un passé récent, le prix du baril de pétrole brut a oscillé en effet entre 10 et 37 dollars. On notera que les prix agricoles fluctuent eux aussi, mais de façon moins brutale.

Cela correspond à peu près à l’expérience enregistrée par la plupart des pays industrialisés entre 1973 et le milieu des années 90. Au total, donc, près de cinq années de fluctuations des prix sont ainsi comprimées dans une des périodes.

En effet, lorsque l’on utilise des indices pondérés, les importations de biens de haute technologie sont compensées dans une large mesure par les dépenses relevant de la demande finale consacrées à ce type de biens; en d’autres termes, les produits 6 et 8 affichent la même tendance spectaculaire à la baisse des prix, mais leurs quantités présentent une tendance de signe contraire, et ces deux tendances s’annulent très largement. Cependant, quand on calcule les indices non pondérés, cette annulation ne se produit pas et les tendances à la baisse des prix des produits 6 et 8 reçoivent une pondération beaucoup plus élevée dans les indices non pondérés.

Selon le théorème des moyennes arithmétiques et géométriques; voir Hardy, Littlewood, and Polyá (1934) et le chapitre 20 du présent Manuel.

Forsyth et Fowler (1981, p. 234) montrent comment les positions relatives des indices à base fixe et chaînés de Laspeyres dépendent du signe de leurs coefficients de corrélation respectifs. Il s’agit de la corrélation entre les variations des prix et les quantités pour les périodes 0 et t dans le cas des premiers, et de cette corrélation pour les périodes t – 1 et t dans le cas des seconds, lesquels tiendront sans doute davantage compte des effets de substitution qui sont à l’origine des différences observées entre les deux.

Vartia (1978, p. 272) utilise les expressions de Laspeyres logarithmique et Paasche logarithmique.

9

Cela découle de l’inégalité de Schlömilch (1858); voir Hardy, Littlewood, and Polyá (1934, chapitre 11).

10

Ces inégalités ont été observées par Fisher (1922, p. 92) et Vartia (1978, p. 278).

Ces inégalités ont aussi été observées par Fisher (1922, p 92) et Vartia (1978, p. 278).

Étant donné qu’il n’est pas possible d’extraire les racines carrées de quantités négatives, les conventions de signes sont modifiées pour le calcul de cet indice: les quantités négatives sont changées en quantités positives, et les prix positifs correspondants en prix négatifs.

Diewert (1978, p. 897) montre que l’indice de prix de Drobisch-Sidgwick-Bowley donne une approximation de second ordre de tout indice superlatif autour du point d’égalité des prix et d’égalité des quantités; autrement dit, PSB est un indice pseudo-superlatif. Des calculs simples montrent que l’indice de Marshall Edgeworth, PME, est aussi pseudo-superlatif.

En moyenne sur les quatre dernières périodes, les indices chaînés de Fisher et de Törnqvist diffèrent de 0,0046 point.

Plus précisément, la moyenne quadratique superlative d’ordre r des indices de prix Pr définis par l’équation (17.28) et la moyenne quadratique implicite d’ordre r des indices de prix Pr* définis par l’équation (17.25) donneront en général une approximation étroite l’une de l’autre, à condition que r se situe dans l’intervalle 0 ≤ r ≤ 2. Notons que, lorsqu’une ou plusieurs des quantités agrégées est (sont) positive(s), comme c’est le cas ici, les conventions de signes sont modifiées pour le calcul de Qr ou Pr*; on change le signe négatif des quantités importées en un signe positif, et l’on rend les prix des importations négatifs.

Étant donné que les vecteurs de quantités ont deux composantes négatives (dont on ne peut donc pas extraire la racine carrée), les conventions de signes doivent être changées quand on évalue ces indices d’année intermédiaire de type géométrique; couvrant toutes les quantités positives, mais on fait passer les prix des importations de valeurs positives à des valeurs négatives. Aussi, si l’on calcule un indice d’un intermédiaire de type géométrique et qu’il est nécessaire de prendre la moyenne géométrique de vecteurs de quantités d’année intermédiaire, les mêmes conventions de signes sont utilisées que pour le calcul de l’indice des prix de Walsh pour lesquels se posent des problèmes identiques.

Comme à chaque fois que l’on calcule cet indice des prix de Walsh, il faut intervertir les signes négatifs des quantités importées en signes positifs, et rendre les prix des importations correspondants négatifs.

Étant donné que la part des dépenses affectée aux importations de produits de haute technologie est faible, la forte baisse des prix n’entraîne pas une ample variation de l’indice des prix de Fisher global pour les dépenses relevant de la demande finale.

Les chiffres (contraires à ce quoi on s’attendrait intuitivement) des deux dernières colonnes du tableau 19.14 aident à comprendre pourquoi le déflateur des dépenses relevant de la demande finale (ou le déflateur du PIB, comme on l’appelle d’ordinaire) n’est pas un indicateur satisfaisant des pressions inflationnistes dans une économie; en effet, une forte hausse des prix relatifs des biens importés entraîne ici une baisse de l’indice.

Elle est aussi calculée de façon indépendante par Dikhanov (1977) et utilisée par Ehemann, Katz et Moulton (2002).

Il est possible de donner une interprétation économique des termes de la décomposition de Diewert, ce qui est plus difficile à faire pour les termes des autres décompositions. Reinsdorf, Diewert et Ehemann (2002) démontrent que les termes des deux décompositions donnent une approximation de second ordre l’un de l’autre, autour de tout point où les deux vecteurs des prix sont égaux, de même que les deux vecteurs des quantités.

Notre traitement des transactions sectorielles est une extension de l’approche développée par Kohli (1978), qui modélise le traitement des importations sous la forme de flux passant d’abord par le secteur productif de l’économie au lieu d’être livrés directement à la demande finale ou aux autres secteurs d’activité.

Dans cette section, les quantités négatives sont transformées en quantités positives.

L’indice utilisé doit être compatible avec les théorèmes d’agrégation de Hicks (1946, pp. 312–13) ou de Leontief (1936). En d’autres termes, si tous les prix varient de façon strictement proportionnelle sur les deux périodes considérées, l’indice des prix est égal à ce facteur de proportionnalité commun (Hicks); ou, si toutes les quantités varient de façon strictement proportionnelle sur les deux périodes examinées, l’indice des quantités qui correspond à l’indice des prix est égal à ce facteur de proportionnalité commun (Leontief). Pour de plus amples informations sur ces théorèmes d’agrégation, voir Allen and Diewert (1981, p. 433).

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