Chapter

18. Questions d’agrégation

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
September 2009
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A. Introduction

18.1 Nous avons identifié, au chapitre 15, un problème fondamental des indices: comment des informations microéconomiques susceptibles d’impliquer des millions de prix et de quantités peuvent-elles être agrégées en un petit nombre de variables de prix et de quantités? Le principal objectif des chapitres 15 à 17 était de choisir une formule d’indice qui permet de décomposer un rapport de valeurs ayant trait à deux périodes en un terme qui mesure la variation globale des prix entre les deux périodes (l’indice des prix) multiplié par un terme qui mesure la variation globale des quantités entre les deux périodes (l’indice des quantités). La sommation, pour ces indices, se faisait par produit élémentaire. Dans le cas de l’approche de panier fixe et de la méthode de Divisia présentées au chapitre 15, de même que pour les approches axiomatiques et stochastiques exposées au chapitre 16, aucune distinction n’était faite selon que l’on agrégeait les produits fabriqués par un établissement, par un secteur d’activité ou par l’ensemble d’une économie. La théorie microéconomique du comportement d’un établissement sur le marché a été présentée au chapitre 17, et l’on a calculé des formules d’indice qui correspondaient à des hypothèses théoriques spécifiques. Enfin, rien d’explicite ne suggérait, dans l’analyse, que l’on ne parviendrait pas aux mêmes conclusions si l’agrégation se faisait au niveau des extrants, des intrants ou de la valeur ajoutée de tous les établissements d’une économie. La section B de ce chapitre examine dans quelle mesure les diverses conclusions exposées au chapitre 17 restent valables au niveau agrégé de l’économie. L’agrégation des indices de prix de chaque établissement en un indice national des prix est examinée ensuite pour l’indice des prix des extrants, l’indice des prix des intrants et le déflateur de la valeur ajoutée1. Les détails de l’analyse faite pour l’indice des prix des extrants sont présentés à la section B.1. Étant donné que la même méthode est utilisée pour l’indice des prix des intrants et le déflateur de la valeur ajoutée, seules les conclusions auxquelles elle aboutit dans ces deux derniers cas sont présentées aux sections B.2 et B.3, respectivement.

18.2 Comme il est indiqué à la section C, la pratique veut que les IPP soient calculés en deux étapes: dans un premier temps, les calculs portent sur les indices des prix de chaque produit fabriqué au sein de chaque établissement et, dans un deuxième temps, les résultats obtenus sont agrégés de façon à obtenir des résultats par secteur d’activité, par groupe de produits et au niveau de l’IPP global. La section C répond à la question de savoir s’il y a associativité de l’agrégation pour les indices calculés de cette manière, c’est-à-dire s’ils ont les mêmes valeurs lorsqu’ils sont calculés en une seule fois ou en deux étapes.

18.3 La section D examine les liens entre les trois indices des prix à la production et en particulier les intrants déflatés par l’indice des prix des intrants et les extrants déflatés par l’indice des prix des extrants, qui donne les composantes de l’indice de la valeur ajoutée doublement déflaté. Dans cette section, on met en lumière aussi une série de méthodes équivalentes pouvant être utilisées en vue de calculer des estimations de valeur ajoutée doublement déflatée pour une unité de production donnée. Ces dernières reposent sur la division des valeurs des intrants et des extrants par des indices des prix, l’indexation des valeurs des intrants et des extrants dans la période de référence par des indices de quantités, et l’utilisation des indices des prix et des quantités de la valeur ajoutée. À la section E, l’utilisation des indices des prix et des quantités de la valeur ajoutée est réexaminée pour l’agrégation en deux étapes des secteurs d’activité (plutôt que l’agrégation des produits d’un seul secteur, comme à la section D) pour voir si elle cadre avec l’agrégation en une seule étape. À la section F, enfin, nous examinons dans quelles conditions les indices nationaux des prix et des quantités de la valeur ajoutée seront identiques aux indices des prix et des quantités de la demande finale correspondants. On notera que les indices de la demande finale sont calculés en n’utilisant que les composantes de la demande finale, alors que les indices nationaux de la valeur ajoutée sont construits en agrégeant des extrants et des intrants intermédiaires pour tous les secteurs d’activité.

B. Agrégation des établissements

B.1 Indices nationaux des prix des extrants

18.4 L’analyse effectuée à la section B du chapitre 17, dans le cadre de l’agrégation des produits pour l’indice des prix des extrants au niveau d’un établissement, est élargie maintenant à l’agrégation des établissements. Nous supposons qu’il existe E établissements dans l’économie (ou secteurs d’activité, s’il s’agit d’obtenir un agrégat à ce niveau). L’objectif est d’obtenir un indice national des prix des extrants qui compare les prix des extrants dans la période 1 à ceux de la période 0 et agrège les données de ces établissements.

18.5 Pour e = 1,2,…,E, soit pe = (p1e,…pNe) un vecteur positif des prix des extrants auxquels l’établissement e pourrait être confronté dans la période t, et ve = [xe,ze] un vecteur non négatif des intrants dont l’établissement e pourrait disposer dans la période t. Soit également Set l’ensemble de technologies dont l’établissement e dispose pour la période t. Comme à la section B.1 du chapitre 17, la fonction de recettes de l’établissement e peut être définie comme suit, en utilisant la technologie de la période t:

e = 1,…E et t = 0,1.

Définissons maintenant la fonction de recettes nationale, Rt(p1,…,pE,v1,…,vE), lorsque l’on utilise les technologies de la période t, comme la somme des fonctions de recettes des établissements dans la période t, Ret, définie par l’équation (18.2):

Simplifions la notation en définissant le vecteur des prix national p comme p = [p1,…,pE] et le vecteur des intrants national v comme v = [v1,…,vE]. Avec cette nouvelle notation, Rt(p1,…,pE, v1,…,vE) peut s’écrire Rt (p,v). Par conséquent, Rt(p,v) est la valeur maximale des extrants, Σe=1EΣn=1Npneqne, que tous les établissements de l’économie peuvent produire, sachant que l’établissement e est confronté au vecteur des prix des extrants pe, dispose du vecteur des prix des intrants ve et utilise les technologies de la période t.

18.6 La fonction de recettes nationale pour la période t, Rt, peut être utilisée pour définir l’indice national des prix des extrants, en utilisant les technologies de la période t, Pt, entre deux périodes données, disons la période 0 et la période 1, de la façon suivante:

p0 = [p10,p20,…,pE0] et p1 = [p11,p21,…,pE1] sont les vecteurs des prix des extrants nationaux auxquels les divers établissements sont confrontés aux périodes 0 et 1, respectivement, et v = [v1,v2,…,vE] est un vecteur de référence des intrants primaires et intermédiaires pour chaque établissement de l’économie2. Le numérateur de l’équation (18.3) est la recette maximale que l’économie pourrait dégager (en utilisant les intrants v) si les établissements étaient confrontés aux prix des extrants dans la période 1, p1, tandis que le dénominateur de l’équation (18.3) correspond à la recette maximale que les établissements pourraient dégager (en utilisant les intrants v) s’ils étaient confrontés aux prix des extrants dans la période 0, p0. On notera que toutes les variables des fonctions figurant au numérateur et au dénominateur sont exactement les mêmes, à ceci près que les vecteurs des prix des extrants diffèrent.

18.7 Comme dans le cas d’un établissement unique étudié à la section B.1 du chapitre 17, il existe un large éventail d’indices de prix se présentant sous la forme donnée dans l’équation (18.3), selon le vecteur des technologies de référence t et le vecteur des intrants de référence v choisis. Il n’y a donc pas un indice des prix économique unique du type défini par l’équation (18.3), mais une famille entière d’indices.

18.8 L’intérêt, là encore, réside dans les deux cas particuliers de la définition générale de l’indice des prix des extrants donnée dans l’équation (18.3): i) P0(p0,p1,v0), qui utilise les ensembles de technologies des établissements dans la période 0 et le vecteur des intrants v0 effectivement utilisé dans la période 0, et ii) P1(p0,p1,v1), qui utilise les ensembles de technologies des établissements dans la période 1 et le vecteur des intrants v1 effectivement utilisé dans la période 1. Soient qe0 et qe1 les vecteurs des extrants observés pour les établissements dans les périodes 0 et 1, respectivement, pour e = 1,…,E. Si chaque établissement se comporte de manière à maximiser ses recettes dans la période 0 et dans la période 1, alors la somme des recettes des établissements observées aux périodes 0 et 1 devrait être respectivement égale à R0(p0,v0) et R1(p1,v1); autrement dit, les égalités suivantes devraient être vérifiées:

Dans ces hypothèses de maximisation des recettes, Diewert (2001) montre, en adaptant les arguments de F.M. Fisher et Shell (1972, p. 57–58) et d’Archibald (1977, p. 66), que les deux indices théoriques, P0(p0,p1,v0) et P1(p0,p1,v1), décrits en i) et ii) ci-dessus, vérifient les inégalités suivantes des équations (18.5) et (18.6):

en utilisant l’équation (18.3)

en utilisant l’équation (18.4)

puisque qe0 est une solution possible du problème de maximisation que définit Re0(pe1,ve0), et donc

PL est l’indice des prix des extrants de Laspeyres, qui traite chaque produit fabriqué par chaque établissement comme un produit distinct. De la même manière,

en utilisant l’équation (18.3)

en utilisant l’équation (18.4)

puisque qe1 est une solution possible du problème de maximisation que définit Re1(pe0,ve1) et donc

PP est l’indice des prix des extrants de Paasche, qui traite chaque produit fabriqué par chaque établissement comme un produit distinct. L’équation (18.5) indique par conséquent que l’indice des prix des extrants de Laspeyres observable, PL, est la limite inférieure de l’indice des prix des extrants national théorique, P0(p0,p1,v0), tandis que l’équation (18.6) indique que l’indice des prix des extrants de Paasche observable, PP, est la limite supérieure de l’indice des prix des extrants national théorique, P1(p0,p1,v1).

18.9 Il est possible de lier l’indice national des prix des extrants de type Laspeyres, P0(p0,p1,v0) aux indices des prix des extrants par établissement de type Laspeyres, Pe0(pe0,pe1,ve0), définis comme suit:

pour e = 1,…,E,

où les fonctions de recettes des établissements pour la technologie de la période 0, Re0, ont été définies précédemment par l’équation (18.1), et où les hypothèses de l’équation (18.4) ont été utilisées pour établir la seconde série d’égalités, c’est-à-dire l’hypothèse selon laquelle les recettes observées de chaque établissement pour la période 0, Σn=1Npne0qne0 sont égales aux recettes optimales males, Re0(pe0,ve0). Définissons comme suit la part de l’établissement e dans les recettes nationales pour la période 0:

pour e = 1,…,E.

En utilisant la définition de l’indice national des prix des extrants de type Laspeyres, P0(p0,p1,v0), l’équation (18.3), pour (t,v) = (0,v0), ainsi que l’équation (18.2),

en utilisant l’équation (18.8)

en utilisant l’équation (18.7).

Par conséquent, l’indice national des prix des extrants de type Laspeyres, P0(p0,p1,v0), est égal à la moyenne, pondérée par les parts de recettes de chaque établissement dans la période de référence, des indices des prix des extrants de type Laspeyres pour chaque établissement, Pe0(pe0,pe1,ve0).

18.10 Il est possible également de lier l’indice national des prix des extrants de type Paasche, P1(p0,p1,v1) aux indices des prix des extrants par établissement de type Paasche, Pe1(pe0,pe1,ve1), définis comme suit:

pour e = 1,…,E,

où les fonctions de recettes des établissements pour la technologie de la période 1, Re1, ont été définies précédemment par l’équation (18.1), et où les hypothèses de l’équation (18.4) ont été utilisées pour établir la seconde série d’égalités, c’est-à-dire l’hypothèse selon laquelle les recettes observées de chaque établissement pour la période 1, Σn=1Npne1qne1, sont égales aux recettes optimales, Re1(pe1,ve1). Définissons comme suit la part de l’établissement e dans les recettes nationales pour la période 1:

pour e = 1,…,E.

En utilisant la définition de l’indice national des prix des extrants de type Paasche, P1(p0,p1,v1), l’équation (18.3), pour (t,v) = (1,v1), et l’équation (18.2),

en utilisant l’équation (18.10).

Par conséquent, l’indice national des prix des extrants de type Paasche, P1(p0,p1,v1), est égal à la moyenne harmonique, pondérée par les parts de recettes de chaque établissement dans la période 1, des indices des prix des extrants de type Paasche pour chaque établissement, Pe1(pe0,pe1,ve1).

18.11 Comme à la section B.2 du chapitre 17, il est possible de définir un indice national des prix des extrants qui se situe entre les indices des prix des extrants nationaux de Paasche et de Laspeyres observables. Pour ce faire, on définit d’abord une fonction de recettes hypothétique Re(pe,α) pour chaque établissement. Celle-ci correspond à l’utilisation, comme vecteurs de référence des technologies et des intrants, de moyennes pondérées par α des ensembles de technologie Se0(v0) et Se1(v1) (avec leurs vecteurs d’intrants associés) pour les périodes 0 et 1:

pour e = 1,…,E.

Une fois les fonctions de recettes hypothétiques de l’établissement définies par l’équation (18.13), la fonction de recettes nationale pour la technologie intermédiaire Rt(p1,…,pE,v1,…,vE) peut être définie comme la somme des fonctions de recettes des établissements pour la technologie intermédiaire de la période t, Re, définie par l’équation (18.13):

Simplifions à nouveau la notation en définissant le vecteur des prix national p comme p = [p1,…,pE]. Avec cette nouvelle notation, R(p1,…,pE,α) peut s’écrire R(p,α). Utilisons maintenant la fonction de recettes nationale donnée par l’équation (18.14) pour définir la famille suivante d’indices des prix des extrants théoriques nationaux:

18.12 Comme d’ordinaire, la preuve de Diewert (1983a, p. 1060–61) peut être adaptée pour montrer qu’il existe un α compris entre 0 et 1 tel que l’indice des prix des extrants théorique national défini par l’équation (18.15) se situe entre les indices des prix des extrants nationaux de Paasche et de Laspeyres observables (en principe) définis dans les équations (18.5) et (18.6), PP et PL, c’est-à-dire qu’il existe un α tel que

Si les indices de Paasche et de Laspeyres sont numériquement proches l’un de l’autre, l’équation (18.16) nous montre qu’un indice national des prix des extrants véritable est assez bien déterminé et qu’il est possible d’obtenir une approximation raisonnable de l’indice véritable en prenant une moyenne symétrique de PL et PP, telle que la moyenne géométrique, ce qui conduit à nouveau à l’indice des prix idéal d’Irving Fisher (1922), PF, défini par l’équation (17.9).

18.13 La théorie susmentionnée des indices des prix des extrants nationaux est très générale; ainsi, il n’est fait aucune hypothèse restrictive, s’agissant de la forme fonctionnelle ou de la séparabilité, au sujet des technologies dont l’établissement dispose.

18.14 Les hypothèses de technologie translog posées à la section B.3 du chapitre 17 pour justifier l’utilisation de l’indice des prix des extrants de Törnqvist–Theil pour un établissement unique comme approximation d’un indice des prix des extrants théorique pour un établissement unique doivent être adaptées afin de justifier l’usage d’un indice national des prix des extrants de Törnqvist–Theil comme approximation d’un indice des prix des extrants national théorique.

18.15 Reprenons la définition de la fonction de recettes nationale pour la période t, Rt(p,v)= Rt(p1,…,pE,v1,…,vE), définie par l’équation (18.2). Supposons que la fonction de recettes nationale pour la période t ait la forme fonctionnelle translog suivante pour t = 0,1:

où les coefficients αnt satisfont aux restrictions

et les coefficients αnjt satisfont aux restrictions suivantes3:

On notera que le vecteur des prix des extrants national p de l’équation (18.17) est de dimension égale à NE, soit au nombre d’extrants multiplié par le nombre d’établissements—autrement dit, p = [p1,…,pN; pN+1,…,p2N;…;p(E−1)N+1,…,pNE] = [p11,…,pN1;p12,…,pN2;…;p1E,…,pNE]. De même, le vecteur des intrants national v de l’équation (18.17) est de dimension égale à (M + K)E, soit au nombre d’intrants intermédiaires et primaires dans l’économie multiplié le nombre d’établissements4. Les restrictions prévues dans les équations (18.18) et (18.19) sont nécessaires pour assurer que Rt(p,v) est linéaire et homogène dans les composantes du vecteur des prix des extrants p(propriété qu’une fonction de recettes doit posséder). On notera qu’à ce stade de l’argumentation, on autorise les coefficients qui caractérisent la technologie à chaque période (les α, β et γ) à être complètement différents. On notera aussi que la forme fonctionnelle translog est un exemple de forme fonctionnelle souple5; c’est-à-dire qu’elle peut donner une approximation de second ordre d’une technologie choisie arbitrairement.

18.16 Définissons comme suit la part des recettes nationales de l’établissement e pour l’extrant n pendant la période t:

pour e = 1,…,E; t = 0,1.

En utilisant les part de recettes (déjà mentionnées) de l’établissement et les rapports de prix de ses extrants, pne1/pne0, définissons comme suit le logarithme de l’ indice national des prix des extrants de Törnqvist–Theil, PT (Törnqvist, 1936; Törnqvist and Törnqvist, 1937; et Theil, 1967):

18.17 Reprenons l’approche stochastique pondérée de la théorie des indices proposée par Theil (1967) et expliquée à la section D.2 du chapitre 16. En l’occurrence, la variable aléatoire discrète R prend les NE valeurs correspondant aux logarithmes des ratios des prix des extrants des établissements entre les périodes 0 et 1, (pne1/pne0), avec des probabilités de (12)(sne0+sne1).

Le membre de droite de l’équation (18.21) peut donc aussi être interprété comme la moyenne de cette distribution des logarithmes des rapports de prix des extrants pour l’ensemble de l’économie.

18.18 Un résultat de Caves, Christensen et Diewert (1982b, p. 1410) peut être adapté à notre contexte: si les coefficients de prix quadratiques de l’équation (18.17) sont égaux pour les deux périodes où l’on compare des indices (c’est-à-dire si αij0 = αij1 pour tous les i,j), la moyenne géométrique de l’indice national des prix des extrants utilisant la technologie de la période 0 et le vecteur des intrants de la période 0, v0,P0(p0,p1,v0), et de l’indice national des prix des extrants utilisant la technologie de la période 1 et le vecteur des intrants de la période 1, v1,P1(p0,p1,v1), est exactement égale à l’indice des prix des extrants de Törnqvist, PT, défini par l’équation (18.21); autrement dit,

Comme d’ordinaire, les hypothèses requises pour obtenir ce résultat sont plutôt faibles; il n’est pas exigé, en particulier, que la technologie affiche des rendements d’échelle constants dans l’une ou l’autre des périodes, et nos hypothèses cadrent avec les progrès technologiques survenus entre les deux périodes comparées. Étant donné que la formule d’indice PT est exactement égale à la moyenne géométrique des deux indices théoriques des prix des extrants économiques et que cela correspond à une forme fonctionnelle souple, la formule d’indice national des prix des extrants de Törnqvist est superlative, selon la terminologie utilisée par Diewert (1976).

18.19 Cette section regroupe quatre résultats importants, qui seront résumés ici. Définissons comme suit l’indice des prix national des extrants de Laspeyres:

Dans ces conditions, l’indice national des prix des extrants de Laspeyres est la limite inférieure de l’indice des prix des extrants fondé sur l’approche économique P0(p0,p1,v0) = R0(p1,v0) /R0(p0,v0), où la fonction de recettes nationale R0(p,v0) utilisant la technologie de la période 0 et le vecteur des intrants v0 est définie par les équations (18.1) et (18.2).

18.20 Définissons comme suit l’indice national des prix des extrants de Paasche:

Dans ces conditions, l’indice des prix national des extrants de Paasche est la limite supérieure de l’indice des prix des extrants fondé sur l’approche économique P1(p0,p1,v1) = R1(p1,v1) /R1(p0,v1), où la fonction de recettes nationale R1(p,v1) utilisant la technologie de la période 1 et le vecteur des intrants v1 est définie par les équations (18.1) et (18.2).

18.21 Définissons l’indice national des prix des extrants de Fisher PF comme la racine carrée du produit des indices nationaux de Laspeyres et de Paasche définis plus haut:

Alors, l’indice des prix national des extrants de Fisher sera en général une bonne approximation d’un indice des prix des extrants fondé sur l’approche économique et une fonction de recettes utilisant un ensemble de technologies et un vecteur des intrants qui seront intermédiaires entre les périodes 0 et 1.

18.22 Dans l’hypothèse où les fonctions de recettes nationales des périodes 0 et 1 ont des formes fonctionnelles translog, la moyenne géométrique de l’indice national des prix des extrants qui utilise la technologie de la période 0 et le vecteur des intrants de la période 0, v0,P0(p0,p1,v0), et de l’indice national des prix des extrants qui utilise la technologie de la période 1 et le vecteur des intrants de la période 1, v1,P1(p0,p1,v1), est exactement égale à l’indice des prix des extrants de Törnqvist, PT, défini par l’équation (18.21); autrement dit, l’équation (18.22) est vérifiée.

18.23 Cette section s’achève par une observation. Des justifications ont été avancées en faveur de l’utilisation de l’indice national des prix des extrants de Fisher, PF(p0,p1,q0,q1), défini par l’équation (18.25), et de l’utilisation de l’indice des prix national des extrants de Törnqvist, PT(p0,p1,q0,q1), défini par l’équation (18.21). Les résultats de la section B.5 du chapitre 17 indiquent que pour des données de séries temporelles normales, ces deux indices donnent une réponse à peu près identique.

B.2 Indice des prix des intrants intermédiaires national

18.24 La théorie de l’indice des prix des intrants intermédiaires pour un établissement unique développée à la section C du chapitre 17 peut être élargie au cas où il existe E établissements dans l’économie. Les techniques utilisées pour ce faire s’apparentent beaucoup à celles employées à la section B.1, et il n’y a donc pas lieu de répéter ce travail ici.

18.25 Il apparaît que l’indice national des prix des intrants intermédiaires de Laspeyres observable, PL, est la limite supérieure de l’indice théorique des prix des intrants intermédiaires utilisant la technologie et les intrants de la période 0, et que l’indice des prix national des intrants intermédiaires de Paasche observable, PP, est la limite inférieure de l’indice théorique des prix des intrants intermédiaires utilisant la technologie et les intrants de la période 1.

18.26 Comme à la section B.1, il est possible de définir un indice des prix des extrants intermédiaires national théorique qui se situe entre les indices des prix des intrants intermédiaires nationaux observables de Paasche et de Laspeyres. Les détails sont omis, mais ils correspondent dans leurs grandes lignes à ceux donnés à la section B.1. Le plus souvent, l’indice des prix des intrants intermédiaires national de Fisher PF, défini comme la racine carrée du produit des indices nationaux de Laspeyres et de Paasche, donnera une bonne approximation de cet indice des prix des intrants intermédiaires économique. Un tel indice repose sur une fonction de coût nationale qui utilise, pour les établissements, des ensembles de technologies, des vecteurs d’extrants cibles et des vecteurs d’intrants primaires qui se situent entre les ensembles de technologies, les vecteurs d’extrants observés et les vecteurs d’intrants primaires observés dans la période 0 et dans la période 1.

18.27 Les hypothèses de technologie translog utilisées à la section B.1 pour justifier l’emploi de l’indice des prix des intrants intermédiaires de Törnqvist–Theil pour un établissement unique comme approximation d’un indice des prix des intrants intermédiaires théorique pour un établissement unique peuvent être adaptées de manière à justifier l’emploi de l’indice des prix des intrants intermédiaires de Törnqvist–Theil comme approximation d’un indice national des prix des intrants intermédiaires.

B.3 Déflateur national de la valeur ajoutée

18.28 Dans cette section, la théorie du déflateur de la valeur ajoutée pour un établissement unique développée à la section D du chapitre 17 est utilisée et élargie au cas où l’économie comprend E établissements. Les techniques employées pour ce faire s’ap*parentent beaucoup, là encore, à celles utilisées dans la section B.1, à ceci près que l’on utilise la fonction de recettes nettes d’un établissement, πet, au lieu des fonctions de recettes Ret.

18.29 Il apparaît que l’indice des prix des extrants nets de Laspeyres observable est la limite inférieure du déflateur national de la valeur ajoutée théorique reposant sur la technologie et les intrants de la période 0, et que l’indice des prix des extrants nets de Paasche observable est la limite supérieure du déflateur national de la valeur ajoutée théorique reposant sur la technologie et les intrants de la période 1.

18.30 Pour construire des indices tels que ceux de Laspeyres et de Paasche par secteur d’activité à partir d’indices par établissement, ou des indices nationaux à partir d’indices par secteur, il faut établir des pondérations. On notera que les parts des établissements dans la valeur ajoutée nationale sont utilisées pour les déflateurs nationaux de la valeur ajoutée, tandis que les parts des établissements dans la valeur nationale des extrants (bruts) produits sont utilisées à la section B.1 pour les indices des prix nationaux des extrants. Des arguments identiques à ceux présentés pour l’indice national des prix des extrants donnent des résultats favorables à l’utilisation de l’indice idéal de Fisher et de l’indice de Törnqvist.

18.31 Reprenons l’approche stochastique pondérée de la théorie des indices proposée par Theil (1967) et expliquée à la section D.2 du chapitre 16. Si cette méthode est adaptée à notre contexte, la variable aléatoire discrète R prend les (N + M)E valeurs des logarithmes des rapports de prix des extrants nets entre les périodes 0 et 1, (pne1/pne0), avec des probabilités égales à (12)(sne0+sne1). Selon cette interprétation de l’approche stochastique, il semblerait donc que le membre de droite de l’indice de Törnqvist–Theil puisse être interprété comme la moyenne de cette distribution des logarithmes des rapports de prix des extrants et des intrants intermédiaires à l’échelle de l’économie. En l’occurrence, toutefois, cette interprétation stochastique de la formule d’indice des extrants nets de Törnqvist–Theil ne tient pas, car les parts (12)(sne0+sne1) sont négatives lorsque n correspond à un autre intrant intermédiaire.

C. Indices superlatifs de Laspeyres et de Paasche et agrégation en deux étapes

18.32 L’analyse susmentionnée a été conduite comme s’il s’agissait d’une agrégation en une étape. La plupart des offices de statistique utilisent la formule de Laspeyres pour agréger les prix en deux étapes. Dans un premier temps, la formule de Laspeyres sert à agréger les composantes de l’indice d’ensemble (prix des extrants agricoles, prix des extrants des autres secteurs d’activité primaire, prix des produits manufacturés et prix des extrants du secteur des services, par exemple). Dans un deuxième temps, ces sous-indices sont combinés pour former l’indice global. Une question se pose alors tout naturellement: l’indice calculé en deux étapes coïncide-t-il avec l’indice établi en une seule étape? On y répond d’abord dans le contexte de la formule de Laspeyres6.

18.33 Supposons maintenant que les données sur les prix et les quantités pour la période t, pt et qt, puissent s’écrire en termes de sous-vecteurs j de la manière suivante:

où les sous-vecteurs ptj et qtj sont de dimension Nj pour j = 1,2,…,J, la somme de ces dimensions étant égale à N. Ces sous-vecteurs correspondent aux données sur les prix et les quantités des sous-composantes de l’indice de prix à la production dans la période t. L’analyse est effectuée ici pour les indices des prix des extrants, mais ses conclusions demeurent valables pour les indices des prix des intrants. Construisons, pour chacune de ces composantes, des sous-indices allant de la période 0 à la période 1. Pour la période de référence, le prix de chacune de ces sous-composantes, disons Pj0 pour j = 1,2,…J, est fixé à un niveau égal à 1, et les quantités des sous-composantes correspondantes pour la période de référence, disons Qj0 pour j = 1,2,…,J, sont fixées à un niveau égal à la valeur de la production dans la période de référence pour cette sous-composante. Pour j = 1,2,…,J, nous avons donc

Utilisons maintenant la formule de Laspeyres pour construire un prix dans la période 1 pour chacune des sous-composantes, disons Pj1 pour j = 1,2,…,J, de l’indice des prix à la production. Comme les dimensions des sous-composantes (vecteurs ptj et qtj) diffèrent de celles des vecteurs complets des prix et des quantités pour la période t, pt et qt, nous utiliserons des symboles différents pour les indices de Laspeyres correspondant à ces sous-composantes, disons PLj pour j = 1,2,…J. Les prix des sous-composantes pour la période 1 sont donc définis comme suit:

pour j = 1,2,…,J.

Une fois les prix des j sous-indices pour la période 1 définis par l’équation (18.28), les quantités correspondantes des sous-composantes pour la période 1, Qj1 pour j = 1, 2,…J, peuvent être définies en déflatant les valeurs des sous-composantes pour la période 1, Σi=1Njpi1jqi1j, par les prix Pj1 définis par l’équation (18.28), à savoir:

Les vecteurs des prix et des quantités des sous-composantes pour chaque période t = 0, 1 peuvent maintenant être définis à l’aide des équations (18.27) à (18.29). Définissons par conséquent les vecteurs de prix pour les périodes 0 et 1, P0 et P1, de la façon suivante:

où 1J représente le vecteur unitaire de dimension j, et où les composantes de P1 sont définies dans l’équation (18.28). Les vecteurs de quantités des sous-composantes pour les périodes 0 et 1, Q0 et Q1, sont définis comme suit:

où les composantes de Q0 sont définies dans l’équation (18.27) et les composantes de Q1 dans l’équation (18.29). Les vecteurs de prix et de quantités des équations (18.30) et (18.31) représentent les résultats de la première étape de l’agrégation. Ils peuvent maintenant être utilisés comme données dans le problème correspondant à la seconde étape de l’agrégation; autrement dit, la formule d’indice des prix de Laspeyres peut être appliquée en utilisant les informations contenues dans les équations (18.30) et (18.31) comme données dans la formule d’indice. Sachant que les vecteurs des prix et des quantités utilisés comme données dans le problème correspondant à la seconde étape d’agrégation ont une dimension j alors que la formule d’agrégation en une étape utilise des vecteurs de dimension Nj, il faut un symbole différent pour notre nouvel indice de Laspeyres: ce sera PL*. L’indice des prix de Laspeyres calculé en deux étapes peut donc être noté PL*(P0,P1,Q0,Q1). Il y a lieu maintenant de se demander si l’indice de Laspeyres en deux étapes est égal à l’indice en une étape correspondant, PL, étudié aux sections précédentes de ce chapitre, c’est-à-dire si

Si la formule de Laspeyres est utilisée à chaque étape de chaque agrégation, la réponse à la question qui vient d’être posée est oui: des calculs simples montrent que l’indice de Laspeyres calculé en deux étapes est égal à l’indice de Laspeyres calculé en une étape. La réponse est également affirmative si la formule de Paasche est utilisée à chaque étape de l’agrégation; il y a par conséquent associativité de l’agrégation pour la formule de Paasche, tout comme pour la formule de Laspeyres.

18.34 Supposons maintenant que la formule de Fisher ou de Törnqvist soit utilisée à chaque étape de l’agrégation. Cela revient à dire que, dans l’équation (18.28), on suppose que la formule de Laspeyres PLj(p0j,p1j,q0j,q1j) est remplacée par celle de Fisher PFj(p0j,p1j,q0j,q1j) ou de Törnqvist PTj(p0j,p1j,q0j,q1j), et que dans l’équation (18.32), PL*(P0,P1,Q0,Q1) est remplacé par PF* (ou PT*) et PL(p0,p1,q0,q1) par PF (ou PT). Dans ce cas, obtient-on des contreparties de l’agrégation en deux étapes pour la formule de Laspeyres, l’équation (18.32)? La réponse est non; on peut montrer que, d’une manière générale,

De même, on peut montrer qu’il n’y a pas non plus associativité de l’agrégation de la formule d’indice pour la moyenne d’ordre r, Pr, définie par l’équation (17.28) ou pour la moyenne implicite d’ordre r, Pr*, définie par l’équation (17.25).

18.35 Cependant, même s’il n’y a pas associativité exacte de l’agrégation pour les formules de Fisher et de Törnqvist, on peut montrer que cette associativité est approximative pour ces formules. Plus précisément, il est possible de faire apparaître que la formule de Fisher en deux étapes PF* et la formule de Fisher en une étape PF dans l’équation (18.33), considérées toutes deux comme des fonctions de 4N variables dans les vecteurs p0,p1,q0,q1, donnent, l’une de l’autre, une approximation de deuxième ordre autour d’un point où les deux vecteurs de prix sont égaux (de sorte que p0 = p1) et les deux vecteurs de quantités sont égaux (de sorte que q0 = q1). On arrive au même résultat pour les indices de Törnqvist à deux étapes et à une étape dans l’équation (18.33)7. Comme on l’a vu à la section précédente, les indices de Fisher et de Törnqvist à une étape présentent la même propriété d’approximation, de sorte que les quatre indices de l’équation (18.33) donnent, les uns des autres, une approximation de deuxième ordre autour d’un point d’égalité (ou de proportionnalité) des prix, d’une part, et des quantités, d’autre part. Pour des séries temporelles normales, donc, les indices de Fisher et de Törnqvist à deux étapes et à une étape seront en général très proches numériquement8. Ce résultat est illustré au chapitre 19 pour un ensemble de données artificielles.

18.36 Une associativité approximative des résultats de l’agrégation (similaire à celle des formules de Fisher et de Törnqvist expliquée aux paragraphes précédents) peut être établie pour la moyenne d’ordre r des indices, Pr, et pour la moyenne implicite d’ordre r des indices, Pr*; voir Diewert (1978, p. 889). Toutefois, les résultats présentés par R.J. Hill (2000) impliquent à nouveau que la propriété d’approximation de deuxième ordre de la moyenne d’ordre r des indices calculés en une étape, Pr, à sa contrepartie en deux étapes ne se vérifie plus lorsque r s’approche de plus ou moins l’infini. Pour nous en assurer, prenons un exemple simple dans lequel il n’existe que quatre produits en tout. Posons que le premier rapport de prix p11 / p10 est égal au nombre positif a, que les deux rapports de prix suivants pi1 / pi0 sont égaux à b, et que le dernier rapport de prix p41 / p40 est égal à c, sachant que l’on pose en hypothèse que a < c et abc. Si l’on utilise le résultat de R.J. Hill dans l’équation (17.32), la valeur limite de l’indice en deux étapes est:

Si les produits 1 et 2 sont agrégés en un sous-agrégat et les produits 3 et 4 en un autre sous-agrégat, nous montrons à nouveau, en utilisant le résultat de R.J. Hill dans l’équation (17.32), que les valeurs limites de l’indice de prix sont [ab]1/2 pour le premier sous-agrégat, et [bc]1/2 pour le second. Passons maintenant à la deuxième étape de l’agrégation et utilisons à nouveau le résultat de R.J. Hill pour conclure que la valeur limite de l’indice d’agrégation en deux étapes utilisant Pr comme formule d’indice est [ab2c]1/4. La valeur limite du ratio de l’agrégat en une étape à l’agrégat en deux étapes lorsque r tend vers plus ou moins l’infini est [ac]1/2 / [ab2c]1/4 = [ac/b2]1/4. Maintenant, b peut prendre n’importe quelle valeur comprise entre a et c, et le ratio de l’indice en une étape limitant Pr à sa contrepartie en deux étapes peut prendre n’importe quelle valeur comprise entre [c/a]1/4 et [a/c]1/4. Étant donné que c/a est inférieurà1et a/c supérieur à 1, on voit que le ratio de l’indice en une étape à l’indice en deux étapes peut être arbitrairement éloigné de 1 à mesure que r prend de l’ampleur, pour un choix approprié de a, b et c.

18.37 Les résultats présentés aux paragraphes précédents montrent qu’il faut être prudent quand on suppose qu’il y a associativité de l’agrégation pour tous les indices superlatifs. Cependant, pour les trois indices superlatifs les plus utilisés (l’indice idéal de Fisher PF, l’indice de Törnqvist–Theil PT, et l’indice de Walsh PW), les preuves empiriques disponibles indiquent qu’ils possèdent la propriété d’associativité de l’agrégation à un degré d’approximation suffisamment élevé pour que les utilisateurs n’aient pas trop à craindre d’éventuelles incohérences9.

18.38 La même analyse pourrait être effectuée pour les indices des prix des intrants, et ses conclusions seraient similaires. La sous-section suivante est donc consacrée aux déflateurs de la valeur ajoutée.

D. Déflateurs de la valeur ajoutée—Relations entre les indices des prix du producteur

D.1 Prix des extrants, prix des intrants intermédiaires et déflateur de la valeur ajoutée

18.39 Soit pyt,yt, pxt, et xt, respectivement, pour t = 0, 1, les vecteurs des prix des extrants, des quantités des extrants, des prix des intrants intermédiaires et des quantités des intrants intermédiaires pour un établissement donné10 dans la période t. Supposons que l’on utilise une formule d’indice bilatéral P pour construire un indice des prix des extrants de l’établissement, P(py0,py1,y0,y1), un indice des prix des intrants intermédiaires de l’établissement, P(px0,px1,x0,x1), et un déflateur de la valeur ajoutée de l’établissement, P(p0,p1,q0,q1) où, comme d’habitude, pt = [pyt,pxt] et qt = [yt,−xt] pour t = 0, 1. Deux questions connexes se posent:

  • Comment le déflateur de la valeur ajoutée est-il lié à l’indice des prix des extrants et à l’indice des prix des intrants intermédiaires?

  • Comment l’indice des prix des extrants et l’indice des prix des intrants intermédiaires peuvent-ils être combinés pour donner un déflateur de la valeur ajoutée?

Il est possible de répondre à ces deux questions en utilisant la procédure d’agrégation en deux étapes expliquée à la section C.

18.40 Posons que j = 2 dans notre application de la procédure d’agrégation en deux étapes expliquée à la section C. Les vecteurs des prix et des quantités ptj et qtj qui apparaissaient à l’équation (18.26), sont maintenant définis comme suit:

Par conséquent, le premier groupe de produits agrégés dans la première étape de l’agrégation correspond aux extrants yt de l’établissement, et le second à ses intrants intermédiaires précédés du signe moins, –xt.

18.41 Les prix et les quantités pour la période de référence issus de la première étape de l’agrégation, Pj0 et Qj0, qui apparaissaient dans l’équation (18.27) sont définis maintenant comme suit:

Notons que Q10 est la valeur des extrants produits par l’établissement dans la période de référence, et Q20 est la valeur, précédée du signe moins, des intrants intermédiaires utilisés par l’établissement dans la période 0.

18.42 Choisissons maintenant une formule pour construire un indice des prix des extrants, P(py0,py1,y0,y1), et un indice des prix des intrants intermédiaires, P(px0,px1,x0,x1). Ces deux chiffres sont fixés à un niveau égal au prix agrégé des extrants de l’établissement P11 et au prix agrégé des intrants intermédiaires P21 dans la période 1; en d’autres termes, la formule d’indice bilatéral P est utilisée pour former les contreparties suivantes de l’équation (18.28) dans la section C:

18.43 Enfin, les contreparties suivantes de l’équation (18.29) donnent l’agrégat de quantités des extrants de la période 1Q11 et l’agrégat de quantités des intrants intermédiaires de la période 1Q21, précédé du signe moins:

L’agrégat des extrants pour la période 1, Q11, est donc égal à la valeur de la production pour la période 1, Σn=1Npyn1yn1, divisée par l’indice des prix des extrants, P(py0, py1,y0,y1). L’agrégat des intrants intermédiaires pour la période 1, Q21, est égal au coût des intrants intermédiaires (précédé du signe moins) pour la période 1, Σm=1Mpxm1ym1, divisé par l’indice des prix des intrants intermédiaires, P(px0,px1,x0,x1). Par conséquent, les agrégats de quantités des extrants et des intrants intermédiaires pour la période 1 sont construits en déflatant les agrégats en valeur de la période 1 par un indice de prix approprié, ce qui peut être considéré comme un type de double déflateur.

18.44 Suivant l’équation (18.30), les vecteurs des prix et des quantités de la sous-composante pour les périodes 0 et 1, à savoir P0,P1, et Q0,Q1, respectivement, sont définis comme suit:

Enfin, étant donné les vecteurs des prix et des quantités agrégés définis dans l’équation (18.39), nous utilisons à nouveau la formule d’indice bilatéral choisie, P, et calculons le déflateur de la valeur ajoutée en deux étapes pour l’établissement, P(P0, P1,Q0,Q1). La construction de ce déflateur de la valeur ajoutée en deux étapes apporte une réponse à la seconde question posée plus haut, à savoir: comment l’indice des prix des extrants et l’indice des prix des intrants intermédiaires peuvent-ils se combiner pour donner un déflateur de la valeur ajoutée?

18.45 Il convient maintenant de se demander pourquoi le déflateur de la valeur ajoutée que nous venons tout juste de construire en deux étapes, P(P0, P1,Q0,Q1), en utilisant la formule d’indice bilatéral P dans les deux étapes de l’agrégation, est égal au déflateur de la valeur ajoutée construit dans le cadre d’une agrégation en une étape, P(p0,p1,q0,q1), en utilisant la même formule d’indice P; autrement dit, il faut se demander si

La réponse est oui, si l’indice des prix de Laspeyres ou de Paasche est utilisé à chaque étape de l’agrégation, c’est-à-dire si P = PL ou P = PP. La réponse est non si un indice des prix superlatif est utilisé à chaque étape de l’agrégation, c’est-à-dire si P = PF ou P = PT. Cependant, en utilisant les résultats expliqués à la section C, la différence entre les membres de droite et de gauche de l’équation (18.40) sera très faible si les formules de Fisher ou de Törnqvist–Theil, PF ou PT, sont utilisées systématiquement à chaque étape de l’agrégation. C’est pourquoi l’utilisation d’une formule d’indice superlatif pour construire des indices des prix des extrants et des intrants intermédiaires ainsi que des déflateurs de la valeur ajoutée se fait moyennant de petites incohérences, car les prix sont agrégés en deux étapes ou plus, alors qu’il y aurait associativité exacte de l’agrégation pour les formules de Laspeyres et de Paasche. Toutefois, l’utilisation des formules de Laspeyres ou de Paasche aurait également un coût, puisque ces indices sont entachés d’un biais de substitution d’ampleur indéterminée (si on les compare à leurs contreparties théoriques11), alors que les indices superlatifs en seront très largement dépourvus.

D.2 Déflateurs de la valeur ajoutée de Laspeyres et de Paasche

18.46 Étant donné que les offices de statistique utilisent largement les indices de prix de Paasche et de Laspeyres, il est bon de présenter explicitement le déflateur de la valeur ajoutée qui utilise la procédure d’agrégation en deux étapes expliquée plus haut lorsque ces deux indices sont employés comme formule d’indice de base. Si la formule de Laspeyres est utilisée, les deux membres de l’équation (18.40) deviennent

où la part des extrants dans la période 0, sy0, et la part des intrants intermédiaires dans la période 0, sx0, sont définies comme suit:

Notons que sy0 sera supérieur à 1, et que sx0 sera négatif. Par conséquent, l’équation (18.41) indique que le déflateur de la valeur ajoutée de Laspeyres peut s’écrire comme une moyenne pondérée de l’indice des prix des extrants de Laspeyres, PL(py0,py1,y0,y1), et de l’indice des prix des intrants intermédiaires de Laspeyres, PL(px0,px1,x0,x1). La somme des pondérations est égale à 1, mais sx0 est négatif et sy0 est supérieur à 1, de sorte que ces pondérations sont plutôt inhabituelles.

18.47 Le déflateur de la valeur ajoutée de Paasche peut faire l’objet d’une décomposition en deux étapes analogue:

où la part des extrants dans la période 1, sy1, et la part des intrants intermédiaires dans la période 1, sx1, sont définies comme suit:

Notons que sy1 sera supérieur à 1, et que sx1 sera négatif. Par conséquent, l’équation (18.43) indique que le déflateur de la valeur ajoutée de Paasche peut s’écrire comme la moyenne harmonique pondérée de l’indice des prix des extrants de Paasche, PP(py0,py1,y0,y1), et de l’indice des prix des intrants intermédiaires de Paasche, PP(px0,px1,x0,x1).

18.48 L’analyse de la relation entre les prix des extrants, les prix des intrants intermédiaires et le déflateur de la valeur ajoutée présentée dans cette section pour un établissement peut être étendue aux secteurs d’activité ou à l’économie nationale.

D.3 Déflateurs de la valeur ajoutée et méthode du double déflateur pour la construction de la valeur ajoutée réelle

18.49 Nous avons vu, dans la section précédente, comment les déflateurs de la valeur ajoutée de Paasche et de Laspeyres pour un établissement sont liés aux indices des prix des extrants et des intrants intermédiaires de Paasche et de Laspeyres pour un établissement. Dans cette section, l’analyse est élargie de façon à examiner les problèmes que pose l’utilisation de ces indices pour déflater des valeurs nominales en valeurs réelles. Une fois défini un déflateur de la valeur ajoutée, P(p0,p1,q0,q1), à l’aide d’une formule d’indice, l’équation (15.4) du chapitre 15 peut être utilisée pour définir un indice des quantités correspondant, Q(p0,p1,q0,q1), qui peut être interprété comme le taux de croissance de la valeur ajoutée réelle entre les périodes 0 et 1; en d’autres termes, pour P donné, Q peut être défini de la façon suivante:

Vt est la valeur ajoutée nominale de l’établissement pour la période t = 0,1.

18.50 Lorsque le déflateur de la valeur ajoutée de Laspeyres, PL(p0,p1,q0,q1), est utilisé comme indice des prix dans l’équation (18.45), l’indice des quantités qui en résulte, Q, est l’indice des quantités de la valeur ajoutée de Paasche QP défini comme suit:

Lorsque le déflateur de la valeur ajoutée de Paasche, PP(p0,p1,q0,q1), est utilisé comme indice des prix dans l’équation (18.45), l’indice des quantités qui en résulte, Q, est l’indice des quantités de la valeur ajoutée de Laspeyres, QL, défini comme suit:

18.51 Pour un indice des quantités de la valeur ajoutée générique donné, Q(p0,p1,q0,q1), la valeur ajoutée réelle dans la période 1 aux prix de la période 0, rva1, peut être définie comme la valeur ajoutée nominale de l’établissement dans la période 0, indexée par l’indice des quantités de la valeur ajoutée Q ; autrement dit,

18.52 Si l’indice des quantités de la valeur ajoutée de Laspeyres, QL(p0,p1,q0,q1), défini par l’équation (18.47) est utilisé pour indexer la valeur ajoutée nominale dans l’équation (18.48), on obtient la décomposition suivante, plutôt intéressante, de la valeur ajoutée réelle pour la période 1 aux prix de la période 0:

en utilisant l’équation (18.47)

La valeur ajoutée réelle pour la période 1 aux prix de la période 0, rva1, est donc définie comme la valeur ajoutée nominale pour la période 0, Σn=1Npyn0yn0Σm=1Mpxm0xm0 indexée par l’indice des quantités de la valeur ajoutée de Laspeyres, QL(p0,p1,q0,q1), défini par l’équation (18.47). Mais la dernière ligne de l’équation (18.49) montre que rva1 est aussi égale à la valeur de la production dans la période 0, Σn=1Npyn0yn0, indexée par l’indice des quantités des extrants de Laspeyres12, QL(py0,py1,qy0,qy1), moins le coût des intrants intermédiaires pour la période 0, Σm=1Mpxm0xm0, indexé par l’indice des quantités des intrants intermédiaires de Laspeyres, QL(px0,px1,qx0,qx1).

18.53 En utilisant l’équation (18.45), nous obtenons la formule suivante de l’indice de Laspeyres des quantités de la valeur ajoutée, QL, en termes de déflateur de la valeur ajoutée de Paasche, PP:

Introduisons maintenant l’équation (18.50) dans la première ligne de l’équation (18.49) pour obtenir une autre décomposition pour la valeur ajoutée réelle de la période 1 aux prix de la période 0, rva1, à savoir:

en utilisant l’équation (18.43)

Par conséquent, la valeur ajoutée réelle pour la période 1 aux prix de la période 0, rva1, est égale à la valeur ajoutée nominale pour la période 1, Σn=1Npyn1yn1Σm=1Mpxm1xm1, déflatée par le déflateur de la valeur ajoutée de Paasche, PP(p0,p1,q0,q1), défini par l’équation (18.43). Mais la dernière ligne de l’équation (18.51) montre que rva1 est aussi égale à la valeur de la production pour la période 1, Σn=1Npyn1yn1, déflatée par l’indice des prix des extrants de Paasche, PP(p0,p1,q0,q1), moins le coût des intrants intermédiaires pour la période 1, Σm=1Mpxm1xm1, déflaté par l’indice des quantités des intrants intermédiaires de Paasche, PP(px0,px1,qx0,qx1). L’utilisation du déflateur de la valeur ajoutée de Paasche conduit donc à une mesure de valeur ajoutée réelle pour la période 1 aux prix de la période 0, rva1, qui est égale aux extrants déflatés pour la période 1 moins les intrants intermédiaires déflatés pour la période 1. Il s’ensuit que cette façon de construire une mesure de la valeur ajoutée réelle est appelée méthode du double déflateur13. La méthode est cependant critiquée. Peter Hill (1996) montre ainsi que les aléas ou les erreurs qui affectent la mesure des différentes composantes, et qui se traduisent par une plus forte variance des changements de prix, peuvent fausser encore davantage la mesure de la valeur ajoutée doublement déflatée, puisque la soustraction des deux variances amplifie l’erreur globale.

18.54 Il existe une méthode de double déflateur moins connue qui inverse les rôles susmentionnés des indices de Paasche et de Laspeyres. Au lieu d’exprimer la valeur ajoutée réelle dans la période 1 aux prix de la période 0, il est possible aussi de définir la valeur ajoutée réelle dans la période 0 aux prix de la période 1, rva0. En utilisant cette méthode, et pour un indice des quantités de la valeur ajoutée générique donné, la contrepartie de l’équation (18.48) est

Afin d’obtenir la valeur ajoutée réelle pour la période 0 aux prix de la période 1, rva0, prenons par conséquent la valeur ajoutée nominale pour la période 1, V1, et déflatons la par l’indice des quantités de la valeur ajoutée, Q(p0,p1,q0,q1).

18.55 Si l’indice des quantités de la valeur ajoutée de Paasche, QP(p0,p1,q0,q1), défini par l’équation (18.46) susmentionnée est utilisé comme déflateur de la valeur ajoutée nominale dans (18.52), on obtient une décomposition intéressante pour la valeur ajoutée réelle dans la période 0 aux prix de la période 1, à savoir:

en utilisant l’équation (18.46)

La valeur ajoutée réelle pour la période 0 aux prix de la période 1, rva0, est donc définie comme la valeur ajoutée nominale pour la période 1, Σn=1Npyn1yn1Σm=1Mpxm1xm1, déflatée par l’indice des quantités de la valeur ajoutée de Paasche, QP(p0,p1,q0,q1), défini par l’équation (18.46). Mais la dernière ligne de l’équation (18.53) montre que rva0 est aussi égale à la valeur de la production pour la période 1, Σn=1Npyn1yn1, déflatée par l’indice des quantités des extrants de Paasche, QP(py0,py1,y0,y1), moins le coût des intrants intermédiaires pour la période 1, Σm=1Mpxm1xm1, déflaté par l’indice des quantités des intrants intermédiaires de Paasche, QP(px0,px1,x0,x1).

18.56 En utilisant l’équation (18.45), nous obtenons la formule suivante pour l’indice des quantités de la valeur ajoutée de Paasche, QP, en termes de déflateur de la valeur ajoutée de Laspeyres, PL:

Introduisons maintenant l’équation (18.54) dans la première ligne de l’équation (18.53) pour obtenir une autre décomposition de la valeur ajoutée réelle pour la période 0 aux prix de la période 1, rva0,àsavoir:

en utilisant l’équation (18.41)

La valeur ajoutée réelle pour la période 0 aux prix de la période 1, rva0, est donc égale à la valeur ajoutée nominale pour la période 0, Σn=1Npyn0yn0Σm=1Mpxm0xm0, indexée par le déflateur de la valeur ajoutée de Laspeyres, PL(p0,p1,q0,q1), défini par l’équation (18.41). Mais la dernière ligne de l’équation (18.55) montre que rva0 est aussi égale à la valeur de production pour la période 0, Σn=1Npyn0yn0, indexée par l’indice des prix des extrants de Laspeyres, PL(py0,py1,y0,y1), moins le coût des intrants intermédiaires pour la période 0, Σm=1Mpxm0xm0, indexé par l’indice des prix des intrants intermédiaires de Laspeyres, PL(px0,px1,x0,x1)14.

E. Agrégation des déflateurs par établissement en un déflateur de la valeur ajoutée national

18.57 Une fois les déflateurs de la valeur ajoutée construits pour chaque établissement, il faut encore les agréger en un déflateur de la valeur ajoutée sectoriel, régional ou national. Seul le problème de l’agrégation au niveau national sera examiné dans cette section, mais la même logique s’applique aux problèmes d’agrégation par région ou par secteur d’activité15.

18.58 Soit pyet,yet, pxet et xet les vecteurs des prix des extrants, des quantités des extrants, des prix des intrants intermédiaires et des quantités des intrants intermédiaires, respectivement, pour un établissement e dans la période t, pour t = 0,1 et e = 1,…,E. Comme à l’ordinaire, les vecteurs des prix nets et des quantités nettes pour l’établissement e dans la période t sont définis par pet = [pyet,pxet] et qet = [yet,−xet] pour t = 0,1 et e = 1,…,E. Supposons qu’une formule d’indice bilatéral P soit utilisée pour construire un déflateur de la valeur ajoutée, P(pe0,pe1,qe0,qe1), pour un établissement ee = 1,…,E. Notre problème est d’agréger ces indices par établissement en un déflateur national de la valeur ajoutée.

18.59 Pour ce faire, nous utilisons la procédure d’agrégation en deux étapes expliquée à la section C. La première étape de l’agrégation des vecteurs des prix et des quantités concerne les vecteurs des prix des extrants nets par établissement, pet, et les vecteurs des quantités des extrants nettes par établissement, qet. Ces vecteurs des prix et des quantités par établissement sont combinés en vecteurs des prix et des quantités nationaux, pt et qt, de la façon suivante16:

Pour chaque établissement e, l’agrégat de prix de la valeur ajoutée Pe0 dans la période de référence est fixé à un niveau égal à 1, et la quantité de valeur ajoutée correspondante de l’établissement e dans la période de référence, Qe0, est définie comme la valeur ajoutée de l’établissement pour la période 0; autrement dit,

pour e = 1,2,…,E.

La formule d’indice des prix choisie P est ensuite utilisée pour construire un prix de la valeur ajoutée à la période 1 dans chaque établissement e, disons, Pe1 pour e = 1,2,…,E:

Une fois les prix à la période 1 pour les E établissements définis par l’équation (18.58), les quantités à la période 1 correspondantes pour les établissements e, Qe1, peuvent être définies en déflatant les valeurs par établissement pourlapériode 1 Σi=1N=Mpie1qie1 parlesprix Pe1définispar l’équation (18.58); autrement dit,

Les vecteurs des prix et des quantités par établissement, agrégés pour chaque période t = 0,1, peuvent être définis à l’aide des équations (18.57) à (18.59). Les vecteurs des prix de la valeur ajoutée par établissement pour les périodes 0 et 1, P0 et P1, sont définis comme suit:

où 1E indique le vecteur unitaire de dimension E, et où les composantes de P1 sont définies par l’équation (18.58). Les vecteurs des quantités de la valeur ajoutée par établissement pour les périodes 0 et 1, Q0 et Q1, sont définis comme suit:

où les composantes de Q0 sont définies par l’équation (18.57) et les composantes de Q1 par l’équation (18.59). Les vecteurs de prix et de quantités dans les équations (18.60) et (18.61) représentent les résultats de la première étape de l’agrégation (agrégation par produits au sein d’un même établissement). Ces vecteurs peuvent ensuite être introduits comme données dans le problème que pose la seconde étape d’agrégation (agrégation des établissements); en d’autres termes, la formule d’indice des prix choisie peut être appliquée en utilisant les informations des équations (18.60) à (18.61) comme données dans la formule d’indice. L’agrégation en deux étapes du déflateur national de la valeur ajoutée qui en résulte est P(P0, P1, Q0, Q1). Il faut se demander si cet indice en deux étapes est égal à l’indice en une étape correspondant, P(p0,p1,q0,q1), qui traite chaque extrant ou intrant intermédiaire produit ou utilisé par chaque établissement comme un produit distinct, en utilisant la même formule d’indice P, c’est-à-dire si:

18.60 Si la formule de Laspeyres ou de Paasche est utilisée à chaque étape de chaque agrégation, la réponse est oui. Alors, le déflateur national de la valeur ajoutée de Laspeyres construit par agrégation en une seule étape, PL(p0,p1,q0,q1), est égal au déflateur de la valeur ajoutée de Laspeyres construit en deux étapes, PL(P0, P1, Q0, Q1), dans lequel la formule de Laspeyres est utilisée dans l’équation (18.58) pour construire les déflateurs de la valeur ajoutée par établissement dans la première étape de l’agrégation. Si une formule superlative est utilisée à chaque étape de l’agrégation, la réponse à la question concernant l’associativité de l’agrégation est non: l’équation (18.62) qui utilise une formule d’indice superlative P ne se vérifiera que de façon approximative. Toutefois, si l’on utilise les formules d’indice des prix de Fisher, Walsh ou Törnqvist à chaque étape de l’agrégation, les différences entre les membres de droite et de gauche de l’équation (18.62) seront minimes lorsque les séries temporelles utilisées sont normales.

F. Déflateurs nationaux de la valeur ajoutée et de la demande finale

18.61 Dans cette section, nous nous demandons s’il existe des liens entre le déflateur national de la valeur ajoutée défini aux sections précédentes de ce chapitre et le déflateur national des dépenses relevant de la demande finale. Nous cherchons en particulier les conditions qui impliqueraient que les deux déflateurs soient exactement identiques.

18.62 Supposons que la classification des produits retenue pour les intrants intermédiaires soit exactement la même que celle utilisée pour les extrants, de sorte que N (nombre d’extrants) soit égal à M (nombre d’intrants intermédiaires). Cette hypothèse n’est pas restrictive, car, si l’on choisit un N assez grand, tous les intrants intermédiaires produits peuvent trouver leur place dans la classification des extrants élargie17. Avec ce changement d’hypothèses, il est possible d’utiliser la même notation qu’à la section précédente. Soit, par conséquent, pyet,yet, pxet et xet les vecteurs des prix des extrants, des quantités des extrants, des prix des intrants intermédiaires et des quantités des intrants intermédiaires, respectivement, pour un établissement e dans la période t, pour t = 0,1 et e = 1,…,E. Comme à l’ordinaire, les vecteurs des prix nets et des quantités nettes pour l’établissement e dans la période t sont définis par pet = [pyet, pxet] et qet = [yet,−xet], pour t = 0,1 et e = 1,…,E. Définissons à nouveau comme suit les vecteurs nationaux de prix et de quantités, pt et qt:

Comme à la section précédente, une formule d’indice P est choisie et le déflateur national de la valeur ajoutée est noté P(p0,p1,q0,q1).

18.63 En utilisant la notation susmentionnée, les produits de la matrice N x E des sorties pour l’économie dans la période t,Yt, et la matrice N x E des entrées dans la période t, Xt, sont définis comme suit:

Le vecteur de la demande finale dans la période t pour l’économie, ft, peut être défini en faisant la somme des vecteurs des extrants des établissements yet dans la matrice des sorties pour la période t et en soustrayant tous les vecteurs de la demande finale d’intrants intermédiaires de tous les établissements xet dans la maîtrise des entrées pour la période t ; autrement dit, définissons ft par18

18.64 Les prix de la demande finale doivent s’apparier aux composantes du vecteur des quantités de la demande finale pour la période t, ft = [f1t,…,fNt]. La valeur nette de la production du produit n de la période t, divisée par les livraisons nettes de ce produit à la demande finale, fnt, est égale à la valeur unitaire pour la demande finale du produit n, dans la période t, pfnt:

Si l’équation (18.64) doit se vérifier, de sorte que la production moins l’utilisation des intrants intermédiaires soit égale aux livraisons à la demande finale de chaque produit dans la période t, et si la valeur de la production moins la valeur des demandes intermédiaires doit être égale à la valeur de la demande finale pour chacun des produits dans la période t, alors les prix de la valeur ajoutée définis par l’équation (18.65) doivent être utilisés comme prix de la demande finale.

18.65 Définissons le vecteur des prix de la demande finale pour la période t de la façon suivante: pft = [pf1t,pf2t,…,pfNt] pour t = 0,1, où les composantes pfnt sont définies par l’équation (18.65). Le vecteur des quantités de la demande finale correspondant, ft, a déjà été défini par l’équation (18.64). Par conséquent, une formule d’indice des prix générique P peut être utilisée pour former le déflateur de la demande finale, P(pf0,pf1,f0,f1). La question est maintenant de savoir si le déflateur de la demande finale est égal au déflateur national de la valeur ajoutée P(p0,p1,q0,q1), défini à la section B.3, c’est-à-dire si

Notons que la dimension de chaque vecteur des prix et des quantités du membre de gauche de l’équation (18.66) est égale à N (c’est-à-dire au nombre de produits retenus dans notre nomenclature), alors que la dimension de chaque vecteur des prix et des quantités du membre de droite de l’équation (18.66) est de 2NE, où E correspond au nombre d’établissements (ou de secteurs/branches d’activité affichant des vecteurs de prix et de quantités distincts pour les extrants et pour les intrants intermédiaires) qui font l’objet de l’agrégation.

18.66 La réponse à la question posée au paragraphe précédent est non; il n’y aura pas, en général, égalité entre le déflateur de la demande finale et le déflateur de la valeur ajoutée national.

18.67 Sous certaines conditions, toutefois, l’équation (18.66) restera valable en temps qu’égalité. Élaborons ces conditions. La première hypothèse est que tous les établissements sont confrontés au même vecteur des prix pt dans la période t, tant pour les extrants qu’ils produisent que pour les intrants intermédiaires qu’ils utilisent. En d’autres termes, nous supposons que19

Si les hypothèses posées dans l’équation (18.67) restent valables, il est facile de vérifier que le vecteur des prix de la demande finale pour la période t, pft, défini par l’équation (18.65) est aussi égal au vecteur des prix de base pour la période t, pt.

18.68 Si les hypothèses de l’équation (18.67) restent valables, et si l’indice des prix utilisé dans les deux membres de l’équation (18.66) correspond à la formule de Laspeyres, on peut vérifier que l’équation (18.66) demeurera valable en tant qu’égalité; en d’autres termes, le déflateur de la demande finale de Laspeyres sera égal au déflateur national de la valeur ajoutée de Laspeyres. Pour comprendre pourquoi, utilisons la formule de Laspeyres dans l’équation (18.66) et, pour le membre de gauche de l’indice, recueillons tous les termes de quantités figurant au numérateur et au dénominateur de l’indice qui correspondent au prix du ne produit commun aux établissements, pnt = pynet = pxnet, pour e = 1,…,E. Quand nous utilisons l’équation (18.64) pour t = 0, la somme des termes de quantités recueillis qui en résulte sera égale à fn0. Puisque c’est vrai pour n = 1,…,N, on voit que le membre de gauche de l’indice de Laspeyres est égal au membre de droite du même indice.

18.69 Si les hypothèses posées dans l’équation (18.67) restent valables, et si l’indice des prix utilisé dans les deux membres de l’équation (18.66) correspond à la formule de Paasche, il est possible de vérifier que l’équation (18.66) restera elle aussi valable en tant qu’égalité; autrement dit, le déflateur de la demande finale de Paasche sera égal au déflateur national de la valeur ajoutée de Paasche. Pour comprendre pourquoi, utilisons la formule de Paasche dans l’équation (18.66) et, pour le membre de gauche de l’indice, recueillons tous les termes de quantités figurant au numérateur et au dénominateur de l’indice qui correspondent au prix du ne produit commun aux établissements, pnt = pynet = pxnet, pour e = 1,…,E. Si l’on utilise l’équation (18.64) pour t = 1, la somme des termes de quantités recueillis s’établira à fn1. Puisque cela est vrai pour n = 1,…,N, on voit que le membre de gauche de l’indice de Paasche est égal au membre de droite du même indice.

18.70 Les résultats des deux paragraphes précédents impliquent que le déflateur de la valeur ajoutée national sera égal au déflateur de la demande finale, à condition que l’on utilise un indice de Paasche ou de Laspeyres et que les hypothèses de l’équation (18.67) restent valables. Mais ces deux résultats impliquent immédiatement que si l’équation (18.67) reste valable et si l’on utilise l’indice des prix idéal de Fisher, alors on obtient une égalité importante—à savoir, le déflateur de la valeur ajoutée national de Fisher est égal au déflateur de la demande finale de Fisher.

18.71 Reprenons l’équation (18.21) de l’indice national des prix des extrants de Törnqvist–Theil, PT, dans la section B.1. Le déflateur national de la valeur ajoutée de Törnqvist–Theil correspondant, PT, a été défini à la section B.3. Posons des hypothèses dans l’équation (18.67), en commençant par le déflateur national de la valeur ajoutée de Törnqvist–Theil, et recueillons tous les exposants qui correspondent au rapport de prix ordinaire pour le produit n, pn1 / pn0. Si l’on utilise l’équation (18.65), la somme de ces exposants sera égale à l’exposant pour le ne terme de prix, pfn1 / pfn0 = pn1 / pn0, dans le déflateur de la demande finale de Törnqvist–Theil. Puisque cette égalité reste valable pour tous les n = 1,…,N, on obtient aussi l’égalité entre le déflateur national de la valeur ajoutée et le déflateur de la demande finale si l’on utilise la formule de Törnqvist, PT, pour les deux membres de l’équation (18.66).

18.72 En résumé, les calculs présentés ci-dessus ont montré que le déflateur national de la valeur ajoutée est égal au déflateur de la demande finale, à condition que tous les établissements soient confrontés, dans chaque période, aux mêmes vecteurs de prix pour les extrants qu’ils produisent et pour les intrants intermédiaires qu’ils utilisent, et que l’on emploie une formule d’indice des prix de Laspeyres, Paasche, Fisher ou Törnqvist pour les deux déflateurs20. Cela dit, ces résultats ont été établis en faisant abstraction des impôts indirects et des subventions qui peuvent s’appliquer aux extrants et intrants intermédiaires de chaque établissement. Il est nécessaire d’étendre les premiers résultats aux situations où les livraisons à la demande finale et l’utilisation des intrants intermédiaires sont soumises toutes deux à des impôts indirects.

18.73 Là encore, il est supposé que tous les établissements sont confrontés aux mêmes prix des intrants et des extrants, mais aussi que leurs livraisons au secteur de la demande finale sont imposées21. Soit τnt le taux ad valorem pour la période t appliqué aux livraisons du produit n à la demande finale, pour t = 0,1 et n = 1,…,N22. Le prix du produit n pour la demande finale dans la période t est donc désormais:

Ces prix, pour la demande finale, ajustés des impôts définis dans l’équation (18.68) peuvent être utilisés pour former de nouveaux vecteurs des prix pour la demande finale, pft = [pf1t,…,pfNt] pour t = 0,1. Les vecteurs de quantités pour la demande finale correspondants, f0 et f1, sont encore définis par solde en appliquant l’équation (18.64). Choisissons maintenant une formule d’indice P pour former le déflateur de la demande finale P(pf0,pf1,f0,f1) utilisant les nouveaux prix ajustés pour tenir compte de l’impôt, pf0,pf1.

Si les produits τnt sont lourdement imposés, le nouveau déflateur de la demande finale P(pf0,pf1,f0,f1) peut s’écarter très sensiblement du déflateur national de la valeur ajoutée, P(p0,p1,q0,q1), défini plus haut (car celui-ci n’inclut aucun des termes qui concernent l’imposition des produits).

18.74 Il est cependant possible d’ajuster notre déflateur national de la valeur ajoutée pour le rendre plus comparable au déflateur de la demande finale. Rappelons que les vecteurs de prix et de quantités,pt et qt, qui apparaissent dans le déflateur national de la valeur ajoutée, sont définis comme suit23:

pyet est le vecteur des prix des extrants auxquels l’établissement e est confronté dans la période t, pxet le vecteur des prix des intrants auxquels l’établissement e est confronté dans la période t, yet le vecteur de la production pour l’établissement e dans la période t et xet le vecteur des intrants intermédiaires utilisés par l’établissement e dans la période t. L’ajustement du déflateur national de la valeur ajoutée consiste à ajouter N produits supplémentaires artificiels à la liste des extrants et des intrants que le déflateur national de la valeur ajoutée agrège. Définissons comme suit le prix et la quantité du ne produit artificiel supplémentaire:

Le prix du ne produit artificiel dans la période t est donc le produit du ne prix de base, pnt, par le taux d’imposition du ne produit dans la période t, τnt. La quantité du ne produit artificiel dans la période t est simplement égale à la demande finale pour le produit n dans la période t, fnt. On notera que la valeur de tous les N produits artificiels dans la période t est égale aux recettes fiscales dégagées par le produit dans la période t. Reprenons la définition habituelle des vecteurs des prix et des quantités des produits artificiels dans la période t, à savoir pAt = [p1At,…,pNAt] et qAt = [q1At,…,qNAt] = ft, t = 0,1. Ajoutons ensuite le vecteur des prix supplémentaires pAt au vecteur de prix initial dans la période t, pt, qui a été utilisé comme déflateur national de la valeur ajoutée, et le vecteur des quantités supplémentaires qAt au vecteur des quantités initial de la période t, qt, qui a été utilisé dans le déflateur national de la valeur ajoutée. En d’autres termes, définissons comme suit les vecteurs nationaux augmentés des prix et les quantités, pt*et qt*:

À l’aide des vecteurs des prix et des quantités augmentés définis plus haut, calculons un nouveau déflateur national de la valeur ajoutée corrigé de l’impôt en utilisant la formule d’indice choisie P(p0*,p1*,q0*,q1*), et deman-dons-nous s’il est égal au déflateur de la demande finale, P(pf0,pf1,f0,f1) en utilisant des prix nets d’impôt, pf0,pf1, définis par l’équation (18.68); autrement dit, voyons si l’égalité suivante est vérifiée:

18.75 Posons que l’indice P choisi est PL, formule de Laspeyres, et évaluons le membre de gauche de l’équation (18.72). En utilisant les hypothèses de l’équation (18.67), recueillons tous les termes du numérateur du déflateur national de la valeur ajoutée de Laspeyres, PL(p0*,p1*,q0*,q1*), qui correspondent au prix du ne produit pn1. En utilisant l’équation (18.64) pour t = 0, nous trouvons que la somme des termes incluant pn1 est pn1(1 + τn1)fn0, expression qui est égale au ne terme du numérateur du déflateur de la demande finale, PL(pf0,pf1,f0,f1). De la même manière, recueillons tous les termes du dénominateur du déflateur national de la valeur ajoutée de Laspeyres, PL(p0*,p1*,q0*,q1*), qui correspondent au prix du ne produit pn0. En utilisant l’équation (18.64) pour t = 0, on montre que la somme des termes incluant pn0 est pn0(1 + Tn1)fn0, expression qui est égale au ne terme du dénominateur du déflateur de la demande finale, PL(pf0,pf1,f0,f1). l’équation (18.72) reste donc valable en tant qu’égalité exacte sous les hypothèses susmentionnées si l’indice des prix de Laspeyres est utilisé pour chacun des déflateurs.

18.76 Posons maintenant que l’indice P choisi est PP, formule de Paasche, et évaluons le membre de gauche de l’équation (18.72). À l’aide des hypothèses de l’équation (18.67), recueillons tous les termes du numérateur du déflateur national de la valeur ajoutée de Paasche, PP(p0*,p1*,q0*,q1*), qui correspondent au prix du ne produit pn1. En utilisant l’équation (18.64) pour t = 1, nous trouvons que la somme des termes incluant pn1 est pn1(1 + τn1)fn1, expression qui est égale au ne terme du numérateur du déflateur de la demande finale, PP(pf0,pf1, f0, f1). De la même manière, recueillons tous les termes du dénominateur du déflateur national de la valeur ajoutée de Paasche, PP(p0*,p1*,q0*,q1*), qui correspondent au prix du ne produit pn0. En utilisant l’équation (18.64) pour t = 1, on fait apparaître que la somme des termes incluant pn0 est pn0(1 + τn1)fn1, expression qui est égale au ne terme du dénominateur du déflateur de la demande finale, PP(pf0, pf1f0,f1). Par conséquent, l’équation (18.72) reste valable en tant qu’égalité exacte sous les hypothèses susmentionnées si l’on utilise l’indice des prix de Paasche pour chacun des déflateurs. Si nous rapprochons ce résultat de celui obtenu au paragraphe précédent, nous voyons que, sous les hypothèses susmentionnées, l’équation (18.72) reste aussi valable en tant qu’égalité exacte si l’on utilise l’indice de Fisher pour le déflateur de la demande finale et pour le déflateur national de la valeur ajoutée corrigé de l’impôt, qui est bâti en utilisant les informations sur le secteur d’activité.

18.77 Enfin, posons que l’indice P choisi est PT, formule d’indice des prix de Törnqvist–Theil, et évaluons les deux membres de l’équation (18.79). En général, on n’obtient pas, cette fois, une égalité exacte entre le déflateur national de la valeur ajoutée de Törnqvist–Theil corrigé de l’impôt PT(p0*,p1*,q0*,q1*) et le déflateur de la demande finale de Törnqvist–Theil PT(pf0,pf1,f0,f1).

18.78 Cependant, si l’on fait hypothèse supplémentaire—en plus de l’équation (18.67), qui postule l’égalité des prix de base dans un même secteur d’activité—que les taux d’imposition des produits sont égaux dans les périodes 0 et 1, de sorte que

on peut montrer alors que le déflateur national de la valeur ajoutée de Törnqvist–Theil corrigé de l’impôt, PT(p0*,p1*,q0*,q1*) et le déflateur de la demande finale de Törnqvist–Theil, PT(pf0,pf1,f0,f1 sont exactement égaux.

Les derniers résultats peuvent être modifiés pour permettre un travail en sens inverse, c’est-à-dire en partant du déflateur de la demande finale et en ajustant celui-ci par l’ajout de produits supplémentaires artificiels. Le déflateur de la demande finale corrigé de l’impôt qui en résulte peut alors être égal au déflateur national de la valeur ajoutée non ajusté tel qu’il était initialement. Pour engager cette procédure de calcul inverse, il est nécessaire d’ajouter N produits artificiels supplémentaires à la liste des extrants et intrants que le déflateur de la demande finale agrège. Définissons le prix et la quantité du ne produit artificiel supplémentaire:

Le prix du ne produit artificiel supplémentaire dans la période t est donc le ne prix de base, pnt, multiplié par le taux d’imposition du ne produit dans la période t, τnt. La quantité du ne produit artificiel supplémentaire pour la période t est égale à la demande finale du produit n dans la période t précédée du signe moins, soit −fnt. On notera que la valeur des N produits artificiels dans la période t est égale aux recettes fiscales dégagées par le produit (précédées du signe moins) dans la période t. Définissons les vecteurs des prix et des quantités des produits artificiels dans la période t, comme à l’ordinaire, par pAt = [p1At,…,pNAt] et qAt = [q1At,…,qNAt] = ft, pour t = 0,1. Ajoutons maintenant le vecteur des prix supplémentaires pAt au vecteur des prix initial pft qui a été utilisé dans le déflateur de la demande finale, et le vecteur des quantités supplémentaire qAt au vecteur de quantités de la période initiale ft qui a été utilisé dans le déflateur de la demande finale. En d’autres termes, les vecteurs de prix et de quantités pour la demande finale augmentés, pt*et ft*, sont définis comme suit:

En utilisant les vecteurs des prix et des quantités augmentés définis plus haut, nous calculons un nouveau déflateur de la demande finale corrigé de l’impôt en utilisant la formule d’indice choisie, P(pf0*,pf1*,f0*,f1*). La question est de savoir s’il sera égal à notre déflateur national initial de la valeur ajoutée, P(p0,p1,q0,q1) (qui ne fait aucun ajustement pour tenir compte de l’imposition des produits au stade de la demande finale), c’est-à-dire si l’égalité suivante reste valable:

18.79 Dans l’hypothèse où tous les établissements sont confrontés aux mêmes prix, on peut montrer que le déflateur de la demande finale corrigé de l’impôt sera exactement égal au déflateur national de la valeur ajoutée, à condition que l’indice choisi dans l’équation (18.76) soit la formule de Laspeyres, Paasche ou Fisher, PL, PP, ou PF. En général, l’équation (18.76) ne tiendra pas en tant qu’égalité exacte si l’on utilise la formule de Törnqvist–Theil, PT. Mais, si les taux d’imposition du produit sont égaux dans les périodes 0 et 1, de sorte que les hypothèses de l’équation (18.73) restent valables, en plus des hypothèses posées dans l’équation (18.67), on peut montrer alors que l’équation (18.76) reste valable en tant qu’égalité exacte quand P est égal à PT, formule de Törnqvist–Theil. Ces résultats ont une certaine importance sur le plan pratique, car la plupart des pays ne conduisent pas d’enquêtes permettant d’étayer un système complet d’indices des prix de la valeur ajoutée pour chaque secteur de l’économie24. L’office de statistique dispose en général d’informations suffisantes pour calculer le déflateur de la demande finale. Cependant, pour mesurer la productivité de l’économie à l’aide d’une approche économique de la théorie des indices, il est préférable d’utiliser le déflateur de la valeur ajoutée national25. Les résultats qui viennent d’être présentés montrent que le déflateur de la demande finale peut être modifié pour donner, sous certaines conditions, une approximation étroite du déflateur national de la valeur ajoutée.

18.80 Comment décomposer au mieux les paiements effectués au titre de l’impôt entre leurs composantes de prix et de quantités? La question s’est toujours entourée d’un certain mystère dans la théorie de la comptabilité nationale. Les résultats présentés dans cette section aideront peut-être à proposer des décompositions raisonnables sous certaines conditions.

Étant donné que l’indice des prix de la valeur ajoutée s’apparente à tout autre indice des prix dans sa définition, il est communément appelé «déflateur de la valeur ajoutée», et le Manuel respecte cette terminologie bien établie.

On trouve ce concept d’indice des prix des extrants à l’échelle de l’économie dans Diewert (2001).

On suppose aussi que les conditions de symétrie, αnjt = αjnt pour tous les n,j et pour t = 0,1 et γmkt = γkmt pour tous les m,k et pour t = 0, 1, sont satisfaites.

Il est aussi supposé implicitement que chaque établissement peut produire chacun des N extrants de l’économie et qu’il utilise tous les M + K intrants de l’économie. Ces hypothèses restrictives peuvent aisément être assouplies, mais seulement au prix d’une plus grande complexité dans la notation. Il est seulement demandé que chaque établissement produise le même ensemble d’extrants dans chaque période.

En fait, l’hypothèse selon laquelle la fonction de recettes nationale de la période t, Rt(p,v) a la forme fonctionnelle translog définie par l’équation (18.17) peut être considérée comme une approximation de la technologie véritablement utilisée, puisque l’équation (18.17) n’impose pas de restrictions sur la technologie nationale, comme l’implique le fait que la fonction de recettes nationale est égale à la somme des fonctions de recettes des établissements.

Cette section s’inspire largement des études de Diewert (1978) et d’Alterman, de Diewert et de Feenstra (1999). Voir aussi Vartia (1976a; 1976b) et Balk (1996b) pour une analyse des autres définitions possibles du concept d’agrégation en deux étapes et pour des références sur les travaux consacrés à cette question.

Voir Diewert (1978, p. 889), qui utilise certains résultats attribués à Vartia (1976a; 1976b).

Diewert procède à une comparaison empirique des quatre indices (1978, p. 894–95). Pour les données relatives au consommateur canadien analysées ici, l’indice en deux étapes de Fisher en 1971 était de 2,3228 et l’indice de Törnqvist correspondant (indice en deux étapes chaînées) était de 2,3230, deux valeurs identiques à celles des indices correspondants en une étape.

Pour d’autres éléments d’appréciation sur ce sujet, voir chapitre 19.

On pourrait substituer les expressions «secteur d’activité» ou «économie nationale» au terme «établissement».

On se reportera au graphique 17.1, qui illustre les biais de substitution pour les indices des prix des extrants de Laspeyres et de Paasche.

L’utilisation de l’indice des quantités des extrants de Laspeyres remonte à Bowley (1921, p. 203).

Voir Schreyer (2001, p. 32). Les statisticiens qui suivent les prix trouveront beaucoup d’informations utiles dans cet ouvrage.

Cette méthode de construction des mesures de la valeur ajoutée réelle est utilisée par Phillips (1961, p. 320).

Le calcul algébrique développé à la section E peut aussi s’appliquer au problème de l’agrégation des indices des prix des extrants ou des intrants intermédiaires par établissement ou par secteur en indices des prix des extrants ou des intrants intermédiaires nationaux.

L’équation (18.56) est la contrepartie de l’équation (18.26) de la section C, et les équations (18.57)(18.61) sont les contreparties des équations (18.27)(18.38) des sections C et D.

Il n’est pas nécessaire de supposer que chaque établissement ou secteur d’activité de l’économie produit tous les extrants et utilise tous les intrants intermédiaires dans chacune des deux périodes comparées. Il est seulement exigé que, si un extrant n’est pas produit dans une période par l’établissement e, il ne soit pas produit non plus dans l’autre période. De même, s’il est requis qu’un établissement n’utilise pas un intrant intermédiaire donné dans une période, alors il ne doit pas l’utiliser non plus dans l’autre période.

Les composantes de ft peuvent être négatives si le produit correspondant est importé dans l’économie au cours de la période t, ou si la composante correspond aux variations d’un élément de stocks.

Sous ces hypothèses, le vecteur des prix du producteur pt peut être interprété comme le vecteur des prix de base du producteur cité dans le SCN 1993.

Ce résultat ne se reproduit pas si nous utilisons l’indice des prix de Walsh.

Hicks (1940, p. 106) a été, semble-t-il, le premier à noter que le traitement des impôts indirects dans les comptes nationaux dépend de l’objectif auquel répond le calcul effectué. Par conséquent, pour mesurer la productivité, Hicks (1940, p. 124) est favorable à l’utilisation des prix qui représentent le mieux les coûts et bénéfices marginaux du point de vue des producteurs—autrement dit, les prix de base. S’il s’agit de mesurer le bien-être économique, en revanche, Hicks (1940, p. 123–24) préconise l’emploi des prix qui représentent le mieux l’utilité marginale des consommateurs—autrement dit, les prix de la demande finale. Bowley (1922, p. 8) préconise lui aussi l’utilisation de ces prix, mais dans l’optique implicite du bien-être économique: «Pour l’acheteur de whisky, de tabac ou de tickets pour un spectacle, le bien qu’il achète vaut le prix qu’il paie; il lui est égal de savoir si la somme qu’il verse va à l’État ou au producteur».

Si le produit n est subventionné durant la période t, on peut donner à τnt une valeur égale au taux de subvention (précédé du signe moins). Dans la plupart des pays, la fiscalité applicable au produit est beaucoup plus complexe que dans la modélisation retenue ici, car certains secteurs de la demande finale sont imposés différemment des autres; ainsi, les produits exportés ne sont généralement pas taxés, ou plus faiblement que ceux des autres secteurs de la demande finale. Pour intégrer ces complications, il faudrait décomposer le secteur unique de la demande finale (selon la décomposition habituelle C + I + G + XM, par exemple) en secteurs faisant l’objet d’un traitement fiscal uniforme. Dans ce cadre désagrégé, il serait facile de prendre en compte les tarifs applicables aux biens et services importés. Le fait que les intrants intermédiaires soient aussi imposés crée des complications supplémentaires qui, pour être traitées convenablement, nécessiteraient une longue démonstration. Notre objectif ici est d’indiquer au lecteur que le déflateur national de la valeur ajoutée est étroitement lié au déflateur de la demande finale.

La définition de pt est considérablement simplifiée sous les hypothèses de l’équation (18.67).

En particulier, on manque le plus souvent d’informations sur les prix et les quantités des intrants intermédiaires utilisés par chaque secteur. Fabricant (1938, p. 566–70) a souligné ces lacunes des données il y a de nombreuses années, et proposé d’y remédier par des méthodes dont l’utilité est encore reconnue de nos jours.

Pour de plus amples explications, voir Schreyer (2001).

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