Chapter

17. Approche économique

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
September 2009
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A. Introduction

A.1 Cadre général

17.1 La famille des IPP fournit des indices de prix utilisés pour déflater diverses parties du système des comptes nationaux. Comme chacun sait1, le PIB peut être mesuré selon trois méthodes:

  • la méthode de la production,

  • la méthode des dépenses ou de la demande finale,

  • la méthode du revenu.

Le calcul du PIB nominal par la méthode de la production2 suppose que l’on valorise les extrants produits par un secteur d’activité et que l’on soustraie la valeur des intrants intermédiaires (ou de la consommation intermédiaire, pour reprendre la terminologie de la comptabilité nationale) utilisés par ce secteur. Cette différence de valeur est appelée valeur ajoutée du secteur d’activité. La somme de ces estimations des valeurs ajoutées des secteurs d’activité donne une estimation du PIB du pays concerné. Les IPP sont utilisés pour déflater séparément les extrants d’un secteur d’activité et ses intrants intermédiaires3. L’IPP permet aussi de déflater la valeur ajoutée nominale d’un secteur en valeur ajoutée à prix constants.

17.2 L’approche économique de l’IPP ne commence pas au niveau des secteurs d’activité, mais à celui des établissements. Les établissements sont la contrepartie, pour l’IPP, des ménages visés dans la théorie de l’IPC. On appelle «établissement» l’unité économique qui est engagée dans une activité de production ou productive en un lieu géographique donné d’un pays et qui est capable de fournir des informations comptables de base sur les prix et les quantités des extrants qu’elle produit et des intrants qu’elle utilise durant une période donnée. Dans ce chapitre, l’accent est mis sur les établissements qui s’engagent dans la production pour dégager un profit. On a vu au chapitre 14 que, dans le compte de production défini par le SCN 1993, la production se décompose en production marchande (P.11), production pour usage final propre (P.12) et autre production non marchande (P.13), laquelle inclut la production des administrations publiques et des institutions sans but lucratif au service des ménages, qui est distribuée gratuitement ou vendue à des prix non significatifs sur le plan économique. L’IPP couvre tous les types de biens et services produits ou transformés dans le pays considéré et valorisés aux prix du marché, ce qui exclut de fait P.13.

17.3 La production est une activité qui transforme ou combine des intrants matériels en autres extrants matériels (ce que font les activités agricoles, extractives, de fabrication ou de construction, par exemple,) ou transporte des matériels d’un lieu à une autre. La production inclut aussi les activités d’entreposage, qui transportent en fait d’une période à une autre des biens restant en un même lieu. Enfin, la production inclut aussi la création et l’utilisation de services de tous types4.

17.4 La définition de l’établissement susmentionnée soulève un double problème. Premièrement, bon nombre d’unités de production opérant en des lieux géographiques spécifiques n’ont pas les moyens de fournir des informations comptables de base sur les prix et quantités des extrants qu’elles produisent. Il se peut que ces unités de production ne soient que de simples divisions ou usines d’une grande entreprise, et que ces informations comptables détaillées sur les prix ne soient disponibles qu’au siège (ou pas du tout). Si tel est le cas, la définition de l’établissement est modifiée de façon à inclure les unités de production situées en différents lieux géographiques du pays considéré, et non plus en un site unique. L’élément important de la définition de l’établissement est l’aptitude de celui-ci à fournir des informations comptables sur les prix et quantités5. Le second problème soulevé est que, si l’établissement peut être en mesure de fournir des informations précises sur les quantités, ses informations sur les prix risquent de reposer sur les prix de transfert fixés par la maison mère. Or, ces derniers sont des prix imputés et risquent donc de ne pas être très étroitement liés aux prix de marché correspondants6.

17.5 Les problèmes que pose l’obtention du prix correct des produits auprès des établissements sont en général plus complexes que les difficultés rencontrées pour obtenir les prix de marché auprès des ménages. Dans le présent chapitre, toutefois, ces problèmes seront ignorés et nous supposerons que l’on dispose de prix de marché représentatifs pour chacun des produits que l’établissement fabrique et des intrants intermédiaires qu’il utilise pour au moins deux périodes comptables7.

17.6 Selon l’approche économique des IPP, les prix à la production d’un établissement excluent les impôts indirects que l’État prélève aux divers niveaux de l’administration publique sur les extrants produits par l’établissement. Ces impôts indirects sont exclus parce que les entreprises ne conservent pas les recettes fiscales correspondantes, même si elles les recouvrent parfois pour le compte de l’État. Ces impôts ne font donc pas partie de leurs flux de recettes. En revanche, l’approche économique des IPP requiert que les prix des intrants intermédiaires de l’établissement incluent les impôts indirects que l’État peut prélever sur les intrants utilisés par l’établissement. L’inclusion de ces impôts tient au fait qu’il s’agit de coûts effectifs pour l’établissement. Ces conventions de traitement des impôts indirects sur la production cadrent avec celles spécifiées à la section B.1 du chapitre 2.

17.7 Pour les premières sections du chapitre, un indice des prix des extrants, un indice des prix des intrants intermédiaire setun déflateur de la valeur ajoutée8 seront définis pour un établissement unique, dans une perspective économique. Dans les sections suivantes, les établissements seront agrégés pour définir les contreparties nationales des indices de prix des établissements.

17.8 Il faut adopter une série de notations. Prenons le cas d’un établissement qui fabrique N produits durant deux périodes, 0 et 1. Soit pyt = [pyt,…,pyNt], vecteur des prix des extrants de la période t, et yt = [y1t,…,yNt], vecteur des quantités des extrants correspondant de la période t, pour t = 0,1. Supposons aussi que l’établissement utilise M produits comme intrants intermédiaires durant les périodes 0 et 1. On appelle intrant intermédiaire un intrant produit par un autre établissement dans le pays ou un bien (non durable) importé9. Le vecteur des prix des intrants intermédiaires de la période t est noté pxt = [px1t,…,pxMt], et le vecteur des quantités des intrants intermédiaires de la période t correspondant est noté xt = [x1t,…,xMt], pour t = 0,1. Enfin, on suppose que l’établissement utilise les services de K intrants primaires durant les périodes 0 et 1. Le vecteur des prix des intrants primaires de la période t utilisés par l’établissement est noté zt = [z1t,…,zKt] pour t = 0,1.

17.9 Notons aussi que l’on fait l’hypothèse que la liste de produits fabriqués par l’établissement et celle des intrants qu’il utilise restent les mêmes pour les deux périodes pour lesquelles la comparaison des prix est demandée. Dans la réalité, les listes des produits fabriqués et utilisés par un établissement ne restent pas inchangées dans le temps. De nouveaux produits apparaissent et d’autres, plus anciens, disparaissent. Ce brassage des produits a diverses explications:

  • i) Les producteurs substituent de nouveaux procédés aux anciens en réponse à l’évolution des prix relatifs, et certains de ces nouveaux processus utilisent de nouveaux intrants.

  • ii) Le progrès technique crée de nouveaux processus ou produits, et les nouveaux processus font appel à des intrants qui n’étaient pas utilisés dans les périodes précédentes.

  • iii) Les fluctuations saisonnières de la demande (ou de l’offre) de produits font que certains produits ne sont pas disponibles à telle ou telle période de l’année.

L’arrivée de nouveaux produits sur le marché est examinée au chapitre 21, les problèmes liés aux produits saisonniers sont présentés au chapitre 22. Ces complications ne sont pas prises en compte dans le présent chapitre, et l’on suppose que la liste des produits reste la même dans les deux périodes considérées. On suppose également que tous les établissements sont présents dans les deux périodes examinées, c’est-à-dire qu’il n’y a ni apparition de nouveaux établissements, ni disparition d’établissements10.

17.10 Pour plus de commodité, les notations susmentionnées pourront être simplifiées et alignées sur celles qui sont utilisées aux chapitres 15 et 16. Ainsi, dans l’étude de l’indice des prix des extrants, pyt = [py1t,…,pyNt] et yt = [y1t,…,yNt] seront remplacés par pt = [p1t,…,pNt] et qt = [q1t,…,qNt]; dans l’étude de l’indice des prix des intrants, pxt = [px1t,…,pxMt] et xt = [x1t,…,xMt] seront remplacés par pt = [p1t,…,pMt] et qt = [q1t,…,qMt] et, dans l’étude du déflateur de la valeur ajoutée, le vecteur composite des prix des extrants et des intrants [pyt,pxt] sera remplacé par pt = [p1t,…,pNt]; enfin, le vecteur des extrants nets [yt, – xt] sera remplacé par qt = [q1t,…,qNt] t = 0,1 dans chaque cas. La définition appropriée de pt et de qt dépend par conséquent du contexte.

17.11 Le cadre que nous venons d’esquisser, et qui suppose que l’on dispose de données détaillées sur les prix et quantités pour chacun des établissements de l’économie, lesquels peuvent se compter par millions, semblera tout à fait irréaliste à la majorité des praticiens. Il est néanmoins possible de répondre sur deux points à cette critique tout à fait recevable:

  • La banalisation des ordinateurs et la facilité avec laquelle les données sur les transactions peuvent être stockées rendent moins irréaliste l’hypothèse selon laquelle l’office de statistique dispose de données détaillées sur les prix et les quantités. Avec la coopération des entreprises, il est possible désormais de calculer des indices de prix et de quantités du type étudié aux chapitres 15 et 16 en s’appuyant sur des données très détaillées11.

  • Même s’il n’est pas réaliste de s’attendre à recevoir, sur une base mensuelle ou trimestrielle, des données détaillées sur les prix et quantités pour chaque transaction effectuée par chaque établissement d’une économie, il n’en reste pas moins nécessaire de spécifier avec précision l’univers des transactions dans l’économie. Une fois l’univers-cible connu, les techniques d’échantillonnage peuvent être appliquées de façon à réduire les besoins en données.

A.2 Présentation du chapitre

17.12 Cette sous-section propose un bref survol du présent chapitre. Celui-ci s’ouvre sur la théorie économique de l’indice des prix des extrants, attribuée principalement à Fisher et Shell (1972) et Archibald (1977) qui est présentée à la section B. Diverses limites à cet indice ont été développées en même temps que des approximations utiles de l’indice des prix des extrants théorique. La théorie des indices superlatifs de Diewert (1976) sera rappelée. On peut évaluer un indice superlatif à l’aide de données sur les prix et les quantités observables mais celui-ci peut, sous certaines conditions, donner exactement la même réponse que l’indice des prix des extrants théorique.

17.13 Les deux chapitres précédents ont fait apparaître que l’indice des prix idéal de Fisher (1922) et l’indice des prix de Törnqvist (1936) sont appuyés par l’approche de la théorie des indices selon la méthode des tests et selon la méthode stochastique, respectivement. Ces deux indices apparaîtront aussi comme de très bon choix dans la perspective économique. Sur le plan pratique, toutefois, leur emploi présente un inconvénient de reposer sur l’hypothèse que l’office de statistique dispose d’informations sur les quantités dans la période courante, ce qui n’est généralement pas le cas. C’est pourquoi, à la section E, les suggestions avancées récemment pour donner des valeurs approchées de ces indices sont examinées en utilisant uniquement les informations sur les prix dans la période courante; en d’autres termes, on suppose qu’il n’existe pas d’informations sur les quantités pour la période courante.

17.14 Enfin, la relation entre l’indice des prix de Divisia présenté au chapitre 15 et un indice économique des prix des extrants est analysée à l’appendice 17.1.

B. Indice des prix des extrants de Fisher–Shell: le cas d’un établissement unique

B.1 Indice des prix des extrants de Fisher–Shell et limites observables

17.15 Cette sous-section donne un aperçu de la théorie de l’indice des prix des extrants développée par Fisher et Shell (1972) ainsi que par Archibald (1977) dans le cas d’un établissement unique. Cette théorie est la contrepartie, pour le producteur, de la théorie de l’indice du coût de la vie pour un consommateur (ménage) unique développée initialement par l’économiste russe Konüs (1924). Ces approches économiques des indices de prix partent de l’hypothèse que les agents économiques (consommateurs ou producteurs) ont un comportement optimisateur (compétitif). Dans le cas de l’indice des prix des extrants, donc, et pour un vecteur pt des prix des extrants auquel l’agent est confronté pendant une période donnée t, on suppose que le vecteur de quantités hypothétique correspondant,qt, est la solution du problème de maximisation des recettes pour une fonction de production du producteur f ou un ensemble de possibilités de production. (Par la suite, les termes de valeur des extrants et de recettes sont utilisés de façon interchangeable, en faisant abstraction des variations de stocks.)

17.16 Contrairement à l’approche axiomatique de la théorie des indices, l’approche économique ne suppose pas que les deux vecteurs de quantités q0 = [q10,…,qN0] et q1 = [q11,…,qN1] soient indépendants des deux vecteurs de prix p0 = [p10,…,pN0] et p1 = [p11,…,pN1]. Dans l’approche économique, le vecteur de quantités q0 pour la période 0 est déterminé par la fonction de production f du producteur pour la période 0 et par le vecteur des prix p0 pour la période 0 auquel le producteur est confronté, et le vecteur de quantités q1 pour la période 1 est déterminé par la fonction de production f du producteur pour la période 1 et par le vecteur des prix p1 pour la période 1 auquel le producteur est confronté.

17.17 Avant de définir l’indice des prix des extrants pour un établissement, il est nécessaire de décrire la technologie que l’établissement utilise dans la période t. Dans les travaux économiques, la technologie d’une entreprise ou d’un secteur d’activité est décrite en général sous la forme d’une fonction de production qui montre quelle production maximale peut être obtenue à partir d’un vecteur d’intrants donné. Cependant, comme la plupart des établissements produisent plus d’un extrant, il est plus pratique de décrire la technologie de l’établissement à la période t au moyen d’un ensemble de possibilités de production,St. L’ensemble St indique quels vecteurs d’extrants q peuvent être produits dans la période t si l’établissement dispose du vecteur d’intrants v = [x,z], où x est un vecteur d’intrants intermédiaires et z un vecteur d’intrants primaires. En conséquence, si [q,v] appartient à l’ensemble St, l’établissement peut produire le vecteur d’extrants non négatif q dans la période t s’il utilise le vecteur d’intrants non négatif v.

17.18 Soit p = (p1,…pN), vecteur positif des prix des extrants auquel l’établissement pourrait être confronté dans la période t, et v = [x,z], vecteur non négatif des prix des intrants dont l’établissement pourrait disposer dans la période t. Alors, la fonction de recettes de l’établissement utilisant la technologie de la période t est définie comme la solution du problème de maximisation des recettes suivant:

Rt(p,v) est alors la valeur maximale de la production, Σn=1Npnqn, que l’établissement peut assurer, quand il est confronté au vecteur des prix des extrants p et qu’il dispose du vecteur des prix des intrants v, en utilisant la technologie de la période t12.

17.19 La fonction de recettes dans la période t,Rt, peut être utilisée de la façon suivante pour définir l’ indice des prix des extrants de l’établissement pour la technologie de la période t, Pt, entre deux périodes données (0 et 1, par exemple):

p0 et p1 sont les vecteurs des prix des extrants auxquels l’établissement est confronté dans les périodes 0 et 1, respectivement, et v un vecteur de référence des intrants intermédiaires et primaires13. Si N = 1, c’està-dire si l’établissement ne produit qu’un seul extrant, on peut montrer que l’indice des prix des extrants se réduit au rapport des prix d’un extrant unique entre les périodes 0 et 1, p11/p10. Notons que, dans le cas général, l’indice des prix des extrants défini par l’équation (17.2) correspond au rapport des recettes hypothétiques que l’établissement pourrait dégager, sachant qu’il dispose de la technologie de la période t et du vecteur des intrants v. Le numérateur de l’équation (17.2) correspond au maximum de recettes que l’établissement pourrait réaliser s’il était confronté aux prix des extrants de la période 1, p1, tandis que le dénominateur de l’équation (17.2) correspond à la recette maximale que l’établissement pourrait réaliser s’il était confronté aux prix des extrants de la période 0, p0. Notons que les variables des fonctions figurant au numérateur et au dénominateur sont exactement les mêmes, à la seule exception des vecteurs des prix des extrants. C’est là une caractéristique type des indices de prix économiques: toutes les variables environnementales restent constantes dans leur domaine de définition, à l’exception des prix.

17.20 On observera que, selon la technologie de référence t et le vecteur des intrants de référence v choisis, il existe un grand nombre d’indices des prix de la forme donnée dans l’équation (17.2). Il n’y a donc pas qu’un seul indice des prix économique du type défini par l’équation (17.2), mais une famille entière d’indices.

17.21 D’ordinaire, deux cas spécifiques de la définition générale de l’indice des prix des extrants, telle qu’elle est donnée dans l’équation (17.2), présentent un intérêt: i) P0(p0,p1,v0), qui repose sur l’ensemble de technologies de la période 0 et le vecteur des intrants v0 effectivement utilisé dans la période 0, et ii) P1(p0,p1,v1), qui repose sur l’ensemble de technologies de la période 1 et le vecteur des intrants v1 effectivement utilisé dans la période 1. Soit q0 et q1 les vecteurs des extrants observés pour l’établissement dans les périodes 0 et 1, respectivement. Si les établissements affichent un comportement de maximisation des recettes dans les périodes 0 et 1, les recettes observées dans ces deux périodes seront égales à R0(p0,v0) et R1(p1,v1), respectivement; en d’autres termes, on observera les égalités suivantes:

17.22 Fisher et Shell (1972, p. 57–8) et Archibald (1977, p. 66) ont montré que, sous ces hypothèses de maximisation des recettes, les deux indices théoriques P0(p0,p1,v0) et P1(p0,p1,v1) décrits en i) et ii) vérifient les équations (17.4) et (17.5):

en utilisant l’équation (17.2)

en utilisant l’équation (17.3)

puisque q0 est une solution possible du problème de maximisation, qui définit R0(p1,v0), et donc

PL est l’indice des prix de Laspeyres (1871). De même,

en utilisant l’équation (17.2)

en utilisant l’équation (17.3)

puisque q1 est une solution possible du problème de maximisation, qui définit R1(p0,v1) et donc

PP est l’indice des prix de Paasche (1874). Par conséquent, l’inégalité dans l’équation (17.4) indique que l’indice des prix des extrants observable de Laspeyres PL est la limite inférieure de l’indice des prix des extrants théorique P0(p0,p1,v0), et l’inégalité (17.5) indique que l’indice des prix des extrants observable de Paasche PP est la limite supérieure de l’indice des prix des extrants théorique P1(p0,p1,v1). Notons que ces inégalités vont dans un sens contraire à celui de leurs contreparties dans la théorie de l’indice du coût de la vie véritable14.

17.23 Il est possible d’illustrer les deux inégalités dans les équations (17.4) et (17.5) s’il n’y a que deux produits; voir le graphique 17.1, qui repose sur les diagrammes attribués à Hicks (1940, p. 120) ainsi qu’à Fisher et Shell (1972, p. 57).

Graphique 17.1.Les indices de Laspeyres et de Paasche, limites de l’indice des prix des extrants

17.24 Dans un premier temps, l’inégalité (17.4) est illustrée dans le cadre de deux extrants produits tous deux dans les deux périodes. La solution du problème de maximisation des recettes pour la période 0 est le vecteur q0, et la ligne droite passant par B représente la ligne de recettes qui est juste tangente à l’ensemble des possibilités de production d’extrants dans la période 0, à savoir S0(v0)= {(q1,q2,v0) appartient à S0}. La courbe passant par q0 et A est la frontière de l’ensemble des possibilités de production des extrants pour le producteur dans la période 0, à savoir S0(v0). La solution du problème de maximisation des recettes pour la période 1 est le vecteur q1, et la ligne droite passant par H représente la ligne de recettes qui est juste tangente à l’ensemble des possibilités de production d’extrants dans la période 1, à savoir S1(v1)={(q1,q2,v1) appartient à S1}. La courbe passant par q1 et F est la frontière de l’ensemble des possibilités de production des extrants pour le producteur dans la période 1, à savoir S1(v1). Le point q0* est la solution au problème hypothétique de maximisation des recettes pour un vecteur de prix de la période 1, p1 = (p11,p21), mais en utilisant le vecteur de la technologie et des intrants de la période 0. Il est donné par R0(p1,v0) = p11q10* + p21q20*, et la ligne en tirets passant par D est la droite d’isorecettes correspondante p11q1 + p21q2=R0(p1,v0). Notons que la ligne de recettes hypothétique passant par D est parallèle à la ligne de recettes effective de la période 1 passant par H. L’indice des prix des extrants hypothétique de Fisher–Shell,P0(p0,p1,v0), tiré de l’équation (17.4), est R0(p1,v0)/[p10q10 + p20q20], tandis que l’indice des prix des extrants de Laspeyres ordinaire est [p11q10 + p21q20]/[p10q10 + p20q20]. Comme les dénominateurs de ces deux indices sont les mêmes, la différence entre les indices est due aux différences de numérateurs. Dans le graphique 17.1, cette différence entre les numérateurs est exprimée par le fait que la ligne de recettes passant par C se situe en dessous de la ligne de recettes parallèle passant par D. Par contre, si les ensembles de possibilités de production des extrants offertes au producteur à la période 0, q0 se présentaient sous forme d’effets fixes avec sommet à q0, le producteur ne changerait pas ses schémas de production pour répondre à une variation des prix relatifs des deux produits tout en utilisant la technologie et les intrants de la période 0. Dans ce cas, le vecteur hypothétique q0* coïnciderait avec q0, la ligne en tirets passant par D avec celle qui passe par C, et l’indice des prix des extrants véritable,P0(p0,p1,v0), coïnciderait avec l’indice de prix de Laspeyres ordinaire. Cependant, les ensembles de possibilités de production des extrants sous forme d’effets fixes ne correspondent généralement pas au comportement du producteur; autrement dit, lorsque le prix d’un produit augmente, le producteur en offre souvent davantage. Par conséquent, il y aura en général un écart entre les points C et D. L’ampleur de cet écart mesure l’importance du biais de substitution entre l’indice véritable et l’indice de Laspeyres correspondant; en d’autres termes, l’indice de Laspeyres sera en général inférieur à l’indice des prix des extrants véritable correspondant, P0(p0,p1,v0).

17.25 Le graphique 17.1 peut en outre servir à illustrer l’inégalité (17.5) dans le cas des deux extrants. Notons tout d’abord que le progrès technique ou l’augmentation des intrants disponibles font que l’ensemble des possibilités de production d’extrants dans la période 1, S1(v1) = {(q1,q2): [q1,q2,v1] appartient à S1}, est beaucoup plus important que l’ensemble correspondant des possibilités de production d’extrants dans la période 0, S0(v0) = {(q1,q2):[q1,q2,v0] appartient à S0}15. Notons aussi que les lignes en tirets passant par E et G sont parallèles à la droite d’isorecettes de la période 0 passant par B. Le point q1* est la solution au problème hypothétique de maximisation des recettes en utilisant la technologie et les intrants de la période 1 pour un vecteur de prix de la période 0 tel que p0 = (p10/p20). Elle est donnée par R1(p0,v1)=p10q11* + p20q21*, et la ligne en tirets passant par G est la droite d’isorecettes correspondante p11q1 + p21q2 = R1(p0,v1). L’indice des prix des extrants théorique utilisant la technologie et les intrants de la période 1 tiré de l’équation (17.5) est [p11q11 + p21q21] /R1(p0,v1), tandis que l’indice des prix de Paasche ordinaire est [p11q11 + p21q21]/[p10q11 + p20q21]. Comme les numérateurs de ces deux indices sont les mêmes, l’écart entre les indices est dû à la différence qui existe entre leurs dénominateurs. Dans le graphique 17.1, cette différence entre les dénominateurs est exprimée par le fait que la ligne de recettes passant par E se situe au-dessous de la ligne de coût parallèle passant par G. Le niveau de cet écart représente l’ampleur du biais de substitution entre l’indice véritable et l’indice de Paasche correspondant; autrement dit, l’indice de Paasche sera généralement supérieur à l’indice des prix des extrants véritable correspondant utilisant la technologie et les intrants de la période courante, P1(p0,p1,v1). Notons que cette inégalité va dans un sens contraire à celui de l’inégalité précédente (17.4). Ce changement de sens de l’inégalité est dû au fait que la différence entre les deux indices se situe, dans le premier cas, au niveau des numérateurs (inégalités entre les indices de Laspeyres) et, dans le second, au niveau des dénominateurs (inégalités entre les indices de Paasche).

17.26 Les équations (17.4) et (17.5) présentent un double problème:

  • Deux indices de prix économiques également valides, P0(p0,p1,v0)et P1(p0,p1,v1), peuvent être utilisés pour décrire l’ampleur de la variation de prix survenue entre les périodes 0 et 1, alors que le public exigera une seule estimation de la variation de prix entre les deux périodes.

  • Seules les limites observables simples de ces deux indices de prix théoriques16 résultent de cette analyse et, dans la plupart des cas, on a besoin de limites doubles.

  • La sous-section suivante propose une solution à ces deux problèmes.

B.2 L’indice idéal de Fisher comme moyenne de limites observables

17.27 Il est possible de définir un indice des prix des extrants théorique qui se situe entre les indices des prix de Paasche et de Laspeyres observables. Pour ce faire, nous définissons dans un premier temps une fonction de recettes hypothétique, π(p,α), qui correspond à l’utilisation, comme technologie de référence, d’une moyenne pondérée α des ensembles de technologie S0(v0)et S1(v1) pour les périodes 0 et 1:

Le problème de maximisation des recettes dans l’équation (17.6) correspond à l’utilisation d’une moyenne pondérée α des ensembles de technologies aux périodes 0 et 1, dans laquelle le vecteur de la période 0 reçoit pour pondération 1–α, et le vecteur de la période 1 reçoit pour pondération α, où α est un nombre compris entre 0 et 117. Le graphique 17.1 peut aider à saisir la signification de la moyenne pondérée des ensembles de technologie dans l’équation (17.6). Comme α enregistre une variation continue entre 0 et 1, l’ensemble des possibilités de production d’extrants change lui aussi de façon continue, passant de l’ensemble S0(v0) (dont la frontière est la courbe qui s’achève au point A) à l’ensemble S1(v1) (dont la frontière est la courbe qui s’achève au point F). C’est pourquoi, pour tout α compris entre 0 et 1, on obtient un ensemble de possibilités de production d’extrants hypothétique d’un établissement qui se situe entre l’ensemble de la période de référence S0(v0) et celui de la période courante S1(v1). Pour chaque α, cet ensemble de possibilités de production d’extrants hypothétique peut être utilisé comme ensemble de contraintes pour un indice des prix des extrants théorique.

17.28 La nouvelle fonction de recettes présentée dans la définition (17.6) est utilisée maintenant pour définir la famille suivante (indexée par A) d’indices des prix des extrants nets théoriques:

Les indices des prix des extrants théoriques de la forme présentée dans les équations (17.2) ou (17.7) ont un grand avantage sur les indices des prix des extrants traditionnels de Laspeyres et de Paasche, PL et PP: ils prennent bien en compte les effets de substitution. En d’autres termes, lorsque le prix d’un extrant augmente, l’offre du producteur devrait augmenter, pour des intrants et une technologie constants18.

17.29 Diewert (1983a, p. 1060–61) montre que, sous certaines conditions19, il existe un α compris entre 0 et 1 tel que l’indice des prix des extrants théorique défini par l’équation (17.7) se situe entre les indices des prix des extrants de Paasche et de Laspeyres, PP et PL, observables (en principe); autrement dit, il existe un α tel que

17.30 Le fait que les indices des prix des extrants de Paasche et de Laspeyres constituent les limites supérieure et inférieure d’un indice des prix des extrants «véritable» P(p0,p1,α) dans la définition (17.8) est un résultat plus utile et plus important que les limites simples des indices «véritables» donnés par les équations (17.4) et (17.5). Si les indices de Paasche et de Laspeyres observables (en principe) ne font pas apparaître un trop grand écart, une moyenne symétrique de ces indices devrait donner une bonne valeur approchée d’un indice des prix des extrants économique, dans lequel la technologie de référence se situe quelque part entre les technologies de la période de référence et de la période courante. La moyenne symétrique précise des indices de Paasche et de Laspeyres, déterminée à la section C.1 du chapitre 15 sur une base axiomatique, conduit à la moyenne géométrique, l’indice des prix de Fisher, PF:

En conséquence, l’emploi de l’indice des prix idéal de Fisher est assez bien justifié, car il donne une bonne valeur approchée d’un indice des prix des extrants théorique non observable20.

17.31 Les limites données par les équations (17.4), (17.5) et (17.8) sont les meilleures que l’on puisse obtenir à partir d’indices des prix des extrants économiques sans devoir poser de nouvelles hypothèses. Dans la sous-section suivante, ces nouvelles hypothèses sont faites pour les deux ensembles de technologies S0 et S1 ou, ce qui revient au même, pour les deux fonctions de recettes R0(p,v)et R1(p,v). Avec ces hypothèses supplémentaires, il est possible de déterminer la moyenne géométrique des deux indices des prix des extrants théoriques les plus intéressants,P0(p0,p1,v0) et P1(p0,p1,v1).

B.3 L’indice de Törnqvist comme approximation d’un indice des prix des extrants économique

17.32 Il existe une alternative aux indices de Laspeyres et de Paasche définis dans les équations (17.4) et (17.5), ou à l’indice de Fisher défini par l’équation (17.9), qui consiste à utiliser l’indice des prix de Törnqvist (1936)Theil (1967), PT, dont le logarithme naturel est défini comme suit:

snt=pntqnt/Σn=1Npntqnt est la part de recettes du produit n dans la valeur totale des ventes pour la période t.

17.33 Reprenons la définition de la fonction de recettes de la période t,Rt (p,v), donnée plus haut par l’équation (17.1). Supposons maintenant que la fonction de recettes de la période t présente la forme fonctionnelle translog21 suivante pour t = 0,1:

où les coefficients αnjt satisfont aux restrictions suivantes:

et les coefficients αnjt satisfont aux restrictions suivantes22:

Les équations (17.12) et (17.13) sont nécessaires pour assurer que Rt (p,v) est linéaire et homogène dans les composantes du vecteur des prix des extrants p (propriété qu’une fonction de recettes doit posséder)23. On notera, à ce stade de notre démonstration, que les coefficients qui caractérisent la technologie dans chaque période (les α, β et γ) peuvent être totalement différents à chaque période. Notons aussi que la forme fonctionnelle translog est un exemple de forme fonctionnelle souple24, ce qui signifie qu’elle peut donner une approximation de deuxième ordre d’une technologie arbitraire.

17.34 Nous pouvons maintenant adapter un résultat de Caves, Christensen, and Diewert (1982, p. 1410) à notre contexte: si les coefficients de prix quadratiques dans l’équation (17.11) sont égaux pour les deux périodes de comparaison des indices (c’est-à-dire si αnj0 = αnj1pour tous les n,j), alors la moyenne géométrique de l’indice des prix des extrants économique—qui utilise la technologie de la période 0 et le vecteur v0 des intrants de la période 0:P0(p0,p1,v0)—et de l’indice des prix des extrants économique—qui utilise la technologie de la période 1 et le vecteur v1 de la période 1:P1(p0,p1,v1)—est exactement égale à l’indice des prix des extrants de Törnqvist PT défini par l’équation (17.10)—autrement dit:

Les hypothèses requises pour obtenir ce résultat semblent plutôt faibles; en particulier, il n’est pas exigé que les technologies affichent des rendements d’échelle constants dans l’une ou l’autre des périodes comparées et nos hypothèses cadrent avec l’existence d’un progrès technique entre ces deux périodes. Comme la formule d’indice PT est exactement égale à la moyenne géométrique de deux indices des prix des extrants économiques théoriques et correspond à une forme fonctionnelle souple, l’indice des prix des extrants de Törnqvist est dit superlatif, selon la terminologie employée par Diewert (1976).

17.35 Des formules d’indices des prix des extrants superlatifs additionnelles sont calculées à la section suivante. Avant cela, nous concluons la présente section par une invitation à la prudence en ce qui concerne l’applicabilité de l’approche économique aux IPP.

17.36 Les approches économiques de la théorie des indices des prix d’extrants qui viennent d’être présentées reposent sur l’hypothèse que les producteurs prennent les prix de leurs extrants comme des paramètres fixes donnés qu’ils ne peuvent pas modifier par les initiatives qu’ils prennent. Toutefois, le fournisseur monopolistique d’un produit donné est tout à fait conscient que le prix moyen qu’il peut obtenir pour son produit sur le marché dépend du nombre d’unités du produit fournies dans la période considérée. Par conséquent, dans des conditions non concurrentielles caractérisées par une offre monopolistique des extrants (ou lorsque le demandeur des intrants intermédiaires est en situation de monopsone), l’approche économique des IPP n’est pas applicable. Le problème de modélisation d’un comportement non concurrentiel ne se pose pas dans l’approche économique des IPC, car, en règle générale, un ménage unique n’a guère de contrôle sur les prix du marché.

17.37 L’approche économique des indices des prix des extrants peut être modifiée pour traiter certaines situations de monopole. L’idée de départ, attribuée à Frisch (1936, 14–15), consiste à linéariser les fonctions de demande auxquelles un producteur fait face à chaque période autour des points d’équilibre observés dans chacune d’elles et à calculer ensuite des prix fictifs qui remplacent les prix de marché. On peut aussi poser en hypothèse que le producteur bénéficie d’une rente de monopole et se contenter d’ajouter une marge bénéficiaire au coût marginal de production25. Cependant, il faut en général recourir aux méthodes économétriques pour appliquer ces techniques, ce qui fait qu’elles ne sont pas vraiment d’un emploi facile pour les offices de statistique, sauf circonstances très spéciales où l’on suspecte l’existence d’un vaste problème de comportement non concurrentiel et où l’office de statistique dispose des capacités économétriques nécessaires.

B.4 Retour sur l’indice idéal de Fisher

17.38 La justification de l’indice idéal de Fisher présentée dans la section B.2 repose sur le postulat que, dans l’optique de l’approche économique, un bon indice défini à partir de la théorie économique se situera entre les indices de Laspeyres et de Paasche. L’indice idéal de Fisher a alors été proposé, sur la base axiomatique, en tant que meilleure moyenne de ces deux formules. La justification avancée pour l’indice de Törnqvist à la section B.3 est très différente, puisque c’est la théorie des indices exacts et superlatifs qui a été évoquée pour justifier son utilisation. Dans la section précédente, l’équation (17.14) a montré que, si la fonction de recettes prend une forme fonctionnelle translog—l’équation (17.11)—, un indice des prix théorique fondé sur cette forme correspondra exactement à l’indice des prix des extrants de Törnqvist, qui est une formule d’indices de prix fondée sur les données observables sur les prix et les quantités. En outre, comme la fonction translog est une forme de forme fonctionnelle souple, l’indice des prix des extrants de Törnqvist a été qualifié de superlatif, pour reprendre la terminologie employée par Diewert (1976). Les formes fonctionnelles souples peuvent donner une approximation de deuxième ordre d’une forme fonctionnelle linéaire et homogène arbitraire deux fois continuellement dérivable, ce qui est une propriété intéressante pour un indice. On gardera à l’esprit que les indices de Laspeyres et de Paasche correspondent à des fonctions de recettes qui ont des formes de Leontief restrictives ne permettant aucune substitution, et que les indices de Laspeyres et de Paasche géométriques correspondent à des formes de Cobb–Douglas restreignant l’élasticité de substitution à l’unité. La technologie de production translog est une forme qui autorise de plus amples possibilités de substitution et qui peut donner, au deuxième ordre, des approximations d’une série de formes fonctionnelles. La théorie économique des indices offre ainsi un lien direct entre les formules utilisées dans la pratique et le comportement économique implicite qu’elles représentent. Diewert (1973) montre que, si la forme fonctionnelle supposée n’est pas souple, elle impose implicitement des restrictions en matière d’élasticité de substitution. Les indices qui ne correspondent pas à des formes fonctionnelles souples, autrement dit qui ne sont pas superlatifs, sont restrictifs en ce sens. Les conclusions pour l’indice idéal de Fisher sont présentées dans cette section. En d’autres termes, nous «revenons» sur l’indice de Fisher, déjà justifié par des principes économiques et axiomatiques à la section B.2, en utilisant cette fois l’approche des indices économiques exacts et superlatifs. On verra que ce calcul, bien qu’analogue à celui de l’indice de Törnqvist, suppose des hypothèses restrictives supplémentaires. Les conclusions relatives aux indices superlatifs sont généralisées à la section B.5.

17.39 L’approche adoptée à la section précédente est suivie pour l’indice idéal de Fisher. Toutefois, on suppose dans un premier temps qu’une fonction d’agrégation linéaire et homogène existe pour les extrants. Une hypothèse supplémentaire (et nettement plus restrictive) est invoquée ici, en plus de celle requise pour l’indice de Törnqvist: les extrants sont dits homogènement peu séparables des autres produits de la fonction de production. La signification intuitive de l’hypothèse de séparabilité définie par l’équation (17.15) est qu’un agrégat d’extrants q = f (q1,…,qN) existe ; en d’autres termes, le nombre q = f (q1,q2,…,qN) mesure la contribution globale à la production des volumes q1 du premier extrant,q2 du second extrant,…, et qN du Ne extrant. Notons qu’il est supposé que la fonction d’agrégation d’extrants linéaire et homogène f ne dépend pas de t. Ces hypothèses sont assez fortement restrictives du point de vue de l’économie empirique26, mais il faut des hypothèses fortes pour calculer formellement ces agrégats d’extrants.

17.40 On peut définir ainsi une fonction de recettes unitaires27, r:

p = [p1,…,pN] et q = [q1,…,qN]. Dans ces conditions, r(p) est la recette maximale que l’établissement peut faire, quand il est confronté au vecteur des prix des extrants p et doit produire une combinaison d’extrants [q1,…,qN] = q qui donnera un niveau unitaire d’extrant agrégé. Sous les hypothèses de séparabilité, l’indice des prix théorique r(p1) /r(p0) est un rapport des fonctions de recettes unitaires.

17.41 Au lieu de partir d’une fonction translog pour la fonction de recettes de l’indice de Törnqvist, l’hypothèse de l’indice idéal de Fisher est que la fonction de recettes unitaires prend une forme quadratique homogène donnée

par où les paramètres bik satisfont aux conditions de symétrie suivantes:

La différentiation de r(p) défini par l’équation (17.16) par rapport à pi donne les équations suivantes:

i = 1,…,N et en utilisant l’équation (17.16),

ri(p) = ∂r(pt)/∂pi. Pour obtenir la première équation de (17.18), il est nécessaire d’utiliser les conditions de symétrie données par l’équation (17.17). Calculons maintenant la seconde équation de (17.18) au vecteur de prix observé à la période t pt =(p1t,…,pNt) et divisons les deux membres de l’équation qui en résulte par r(pt). Nous obtenons

L’équation susmentionnée définit un indice des prix théorique. Il faut maintenant lier cet indice, qui vient d’une forme particulière de la fonction de recettes unitaires—quadratique homogène—, à une formule d’indice pouvant être utilisée dans la pratique. Pour ce faire, il est nécessaire de poser en hypothèse que l’établissement maximise ses recettes dans les deux périodes, sous contrainte technologique, et que la fonction de recettes unitaires est différentiable, et appliquer ensuite le lemme de Hotelling, selon lequel la dérivée partielle d’une fonction de recettes unitaires par rapport à un prix d’extrants est proportionnelle à la quantité d’extrants d’équilibre.

L’équation (17.20) indique que le vecteur des extrants de l’établissement dans la période t, qt, divisé par les recettes de l’établissement dans la période t, Σk=1Npktqkt, est égal au vecteur des dérivées partielles d’ordre un de la fonction de recettes unitaires de l’établissement ∇r(pt) ≡ [∂r(pt)/∂p1,…,∂r(pt)/pN], divisé par la fonction de recettes unitaires dans la période t,r (pt).

Reprenons maintenant l’indice des prix idéal de Fisher, PF, défini par les équations (15.12) ou (17.9):

en substituant qnt/Σk=1Npktqkt de l’équation (17.20) pour t = 0

et qnt/Σk=1Npktqkt de l’équation (17.20) pour t = 1

et en utilisant l’équation (17.19):

en utilisant l’équation (17.17), et après annulation terme à terme

En conséquence, si l’on suppose que le producteur se comporte de manière à maximiser ses recettes dans les périodes 0 et 1 et dispose d’une technologie qui satisfait à l’hypothèse de séparabilité, et que la fonction de recettes unitaires est quadratique homogène, l’indice des prix idéal de Fisher PF est exactement égal à l’indice de prix véritable, r(p1)/r(p0)28.

17.42 Comme la fonction de recettes unitaires quadratique homogène r(p) définie par l’équation (17.16) est aussi une forme fonctionnelle souple, le fait que l’indice des prix idéal de Fisher PF soit exactement égal à l’indice de prix véritable r(p1) /r(p0) signifie que PF est une formule d’indice superlatif29.

B.5 Indices des prix des extrants superlatifs

B.5.1 Catégorie générale des indices des prix des extrants superlatifs

17.43 II y a en fait beaucoup d’autres indices super-latifs; autrement dit, il existe un grand nombre d’indices de quantités Q(p0,p1,q0,q1) qui sont exactement égaux à f (q1)/f(q0) et d’indices de prix P(p0,p1,q0,q1) qui sont exactement égaux à r(p1)/r(p0), où la fonction d’agrégation f ou la fonction de recettes unitaires c est une forme fonctionnelle souple. Ci-après sont définies deux familles d’indices superlatifs—de quantités et de prix.

17.44 Supposons que la moyenne quadratique de la fonction d’agrégation du producteur soit comme la fonction d’agrégation quadratique moyenne d’ordre r suivante30:

où les paramètres aik satisfont aux conditions de symétrie aik = aki pour toute valeur de i et k et où le paramètre r satisfait à la contrainte r ≠ 0. Diewert (1976, p. 130) a montré que la fonction d’agrégation fr définie par l’équation (17.22) est une forme fonctionnelle souple; autrement dit, elle peut donner une approximation de second ordre d’une forme fonctionnelle linéairement homogène arbitraire deux fois continuellement différentiable.

17.45 Définissons la moyenne quadratique des indices de quantités d’ordre r Qr par

sit=pitqit/Σi=1Npitqit est la part de recettes dégagée d’ordinaire par un extrant i dans la période t. On peut vérifier que, lorsque r = 2, Qr se simplifie en QF, indice de quantité idéal de Fisher.

17.46 En utilisant exactement les mêmes techniques que celles employées à la section B.3, nous pouvons montrer que Qr est exact pour la fonction d’agrégation fr définie par l’équation (17.22), à savoir,

En conséquence, si l’on suppose que le producteur affiche un comportement de maximisation des recettes dans les périodes 0 et 1 et utilise des technologies qui satisfont à la fonction d’agrégation linéaire homogène pour les extrants31 où la fonction d’agrégation f(q) est définie par l’équation (17.22), la moyenne quadratique de l’indice de quantité d’ordre r, QF, est exactement égale à l’indice de quantité véritable, fr(q1)/fr(q0)32. Étant donné que Qr est exact pour fr et que fr est une forme fonctionnelle souple, la moyenne quadratique de l’indice de quantité d’ordre r, Qr, est un indice superlatif pour toute valeur de r ≠ 0. Il y a donc un nombre infini d’indices de quantité superlatifs.

17.47 Pour chaque indice de quantité Qr, on peut utiliser le test du produit dans l’équation (15.3) pour définir la moyenne quadratique implicite correspondante des indices de prix d’ordre r, Pr*:

rr* est la fonction de recettes unitaires correspondant à la fonction d’agrégation fr définie par l’équation (17.22). Pour toute valeur de r ≠ 0, la moyenne quadratique implicite des indices de prix d’ordre r, Pr*, est aussi un indice superlatif.

17.48 Lorsque r = 2, Qr défini par l’équation (17.23) se réduit à QF, l’indice de quantité idéal de Fisher, et Pr* défini par l’équation (17.25), se réduit à PF, l’indice des prix idéal de Fisher. Lorsque r = 1, Qr défini par l’équation (17.23) se ramène à:

PW est l’indice des prix de Walsh précédemment défini par l’équation (15.19) au chapitre 15. En conséquence, P1* est égal à PW, l’indice des prix de Walsh, et il est également un indice des prix superlatif.

17.49 Supposons que la fonction de recettes unitaires du producteur33 est la moyenne quadratique de la fonction de recettes unitaires d’ordre r suivante:

où les paramètres bik satisfont aux conditions de symétrie bik = bki pour toute valeur de i et k, et le paramètre r satisfait à la contrainte r ≠ 0. Diewert (1976, p. 130) a montré que la fonction de recettes unitaires rr définie par l’équation (17.27) est une forme fonctionnelle souple; autrement dit, elle donne une approximation de second ordre d’une forme fonctionnelle linéairement homogène arbitraire deux fois continuellement différentiable. Notons que, lorsque r = 2, rr est égal à la fonction quadratique homogène définie par l’équation (17.16).

17.50 Définissons la moyenne quadratique des indices de prix d’ordre r, Pr, par:

sit=pitqit/Σi=1Npitqit est la part de recettes dégagée d’ordinaire au titre de l’extrant i dans la période t. On peut vérifier que, lorsque r = 2, Pr se simplifie en PF, indice de prix idéal de Fisher.

17.51 En utilisant exactement les mêmes techniques que celles employées à la section C.3, nous pouvons montrer que Pr est exact pour la fonction de recettes unitaires rr définie par l’équation (17.27), à savoir,

En conséquence, si l’on suppose que le consommateur affiche un comportement de maximisation des recettes dans les périodes 0 et 1 et utilise des technologies homogènement peu séparables, où la fonction d’agrégation f(q) correspond à la fonction de recettes unitaires rr(p) définie par l’équation (17.27), la moyenne quadratique des indices de prix d’ordre r, Pr, est exactement égale à l’indice de prix des extrants véritable, rr(p1)/rr(p0)34. Étant donné que Pr est exact pour rr et que rr est une forme fonctionnelle souple, on peut voir que la moyenne quadratique des indices de prix d’ordre r, Pr, est un indice superlatif pour toute valeur de r ≠ 0. Il y a donc un nombre infini d’indices de prix superlatifs.

17.52 Pour chaque indice des prix Pr, on peut utiliser le test du produit (15.3) afin de définir la moyenne quadratique implicite des indices de quantité d’ordre r correspondante,Qr*:

fr* est la fonction d’agrégation correspondant à la fonction de recettes unitaires rr définie par l’équation (17.27)35. Pour toute valeur de r ≠ 0, la moyenne quadratique implicite des indices de quantité d’ordre r, Qr*, est aussi un indice superlatif.

17.53 Lorsque r = 2, Pr défini par (17.28) se réduit à PF, l’indice de prix idéal de Fisher, et Qr* défini par (17.30) se réduit à QF, l’indice de quantité idéal de Fisher. Lorsque r = 1, Pr défini par (17.28), se ramène à:

QW est l’indice de quantité de Walsh précédemment défini par l’équation (16.34) au chapitre 16. D’où Q1* est égal à QW, l’indice de quantité de Walsh (1901; 1921), et donc également un indice de quantité superlatif.

17.54 Pour l’essentiel, cette approche apporte une justification relativement solide à l’emploi de l’indice des prix de Fisher PF défini par l’équation (15.12) ou l’équation (17.9), de l’indice des prix de Törnqvist–Theil PT défini par l’équation (16.22) ou l’équation (17.10), et de la moyenne quadratique implicite des indices de prix d’ordre r, Pr* définie par l’équation (17.28) (lorsque r = 1, cet indice est l’indice des prix de Walsh défini par l’équation (15.19) au chapitre 15). Il convient de se demander maintenant si l’une de ces formules l’emporte sur les autres dans le choix de la «meilleure» solution.

B.5.2 Propriétés d’approximation des indices superlatifs

17.55 L’analyse développée dans ce chapitre a débouché sur trois formules d’indices superlatifs: l’indice des prix de Fisher, l’indice des prix de Törnqvist–Theil et l’indice des prix de Walsh, qui semblent tous afficher de bonnes propriétés dans l’optique économique de la théorie des indices.

17.56 Ces résultats soulèvent deux questions:

  • L’une de ces formules est-elle préférable aux autres?

  • Dans l’affirmative, laquelle?

En ce qui concerne la première question, les justifications présentées à la section B.3 pour l’indice de Törnqvist sont plus solides que celles qui sont avancées dans la section B pour les autres indices superlatifs, car le calcul économique ne s’appuie pas sur des hypothèses de séparabilité restrictives. Cependant, la justification de l’indice de Fisher a pris une forme différente. La théorie économique a établi que les indices de Laspeyres et de Paasche marquaient les limites d’un indice véritable et il est apparu que l’indice de Fisher pouvait être considéré, pour des raisons axiomatiques, comme la meilleure moyenne des deux. Diewert (1978, p. 888) a montré toutefois que les trois indices superlatifs énumérés donnent chacun une approximation de second ordre autour d’un point d’égalité des deux vecteurs de prix, p0 et p1, et d’un point d’égalité des quantités,q0 et q1 (Diewert, 1978, p. 884).

17.57 La conclusion susmentionnée appelle cependant une mise en garde. Le problème, c’est que la moyenne des indices de prix d’ordre r, Pr, est une fonction (continue) du paramètre r. En conséquence, plus r augmente, plus l’indice Pr peut s’écarter, disons, de P2 = PF, l’indice idéal de Fisher. En fait, s’appuyant sur l’équation (17.28) et les propriétés de limitation des moyennes d’ordre r36, R.J. Hill (2000, p. 7) a montré que Pr a la limite suivante lorsque r tend vers plus ou moins à l’infini:

En conséquence, lorsque r est de niveau élevé,Pr peut s’écarter sensiblement de l’indice des prix de Törnqvist–Theil, de l’indice des prix de Walsh et de l’indice idéal de Fisher37.

17.58 Bien que les résultats théoriques et empiriques de R.J. Hill démontrent de façon concluante que tous les indices superlatifs ne se rapprochent pas nécessairement beaucoup les uns des autres, il reste à savoir à quel point les indices superlatifs les plus courants le font. Tous les indices superlatifs d’usage répandu, Pr et Pr*, se situent dans l’intervalle 0 ≤ r ≤ 2. Diewert (1980, p. 451) a montré que l’indice de Törnqvist PT est un cas limite de Pr quand r tend vers 0. R.J. Hill (2000, p. 16) a résumé comme suit ses conclusions sur l’écart séparant les indices de Törnqvist et de Fisher, après avoir fait toutes les comparaisons possibles entre deux points pour l’ensemble de données chronologiques considéré:

L’écart entre les indices superlatifs S (0,2) présente lui aussi de l’intérêt puisque, dans la pratique, les indices de Törnqvist (r = 0) et de Fisher (r = 2) sont de loin les deux indices superlatifs les plus largement utilisés. Dans toutes les 153 comparaisons bilatérales,S (0,2) est inférieur à l’écart entre l’indice de Paasche et celui de Laspeyres et, en moyenne, l’écart entre les indices superlatifs n’est que de 0,1%. L’attention a été jusqu’à présent centrée presque exclusivement sur les indices superlatifs de l’intervalle 0 ≤ r ≤ 2, et c’est pourquoi la fausse impression générale que tous les indices superlatifs se rapprochent beaucoup les uns des autres a persisté dans les ouvrages spécialisés.

17.59 C’est pourquoi, pour les séries temporelles de R.J. Hill qui couvrent 64 composantes du PIB des ÉtatsUnis de 1977 à 1994 et proposent toutes les comparaisons bilatérales possibles entre deux années, les indices des prix de Fisher et de Törnqvist ne diffèrent que de 0,1% en moyenne. Cette correspondance étroite cadre avec les résultats d’autres études empiriques fondées sur des séries annuelles38. On trouvera d’autres éléments d’appréciation à ce sujet au chapitre 19.

17.60 L’approche économique a reçu une justification relativement solide pour un petit nombre: l’indice idéal de Fisher PF = P2 = P2* défini par l’équation (15.12) ou par l’équation (17.9), l’indice de Törnqvist–Theil PT défini par les équations (17.10) ou (15.81), et l’indice de Walsh PW défini par l’équation (15.19) (lequel est égal à la moyenne quadratique implicite des indices de prix d’ordre r Pr*, définie par l’équation (17. 25) quand r= 1). Ils ont en commun la propriété d’être superlatifs et de donner en tout point une approximation de deuxième ordre les uns des autres. C’est l’indication que, pour les données chronologiques normales, les valeurs obtenues pour ces trois indices seront quasiment les mêmes. L’approche économique appuie plus particulièrement les indices de Fisher et de Törnqvist–Theil, même si elle le fait pour des motifs différents: l’indice de Fisher est mis en avant en tant que seule moyenne pondérée symétrique des indices de Laspeyres et de Paasche qui satisfasse au test de réversibilité temporelle. La théorie économique soutient que les indices de Laspeyres et de Paasche constituent les limites d’un indice théorique véritable approprié. La théorie appuie l’indice de Törnqvist–Theil parce que les hypothèses nécessaires pour démontrer le caractère superlatif de ce dernier sont moins restrictives que celles requises pour les indices de Fisher et de Walsh. L’indice de Törnqvist–Theil semble le meilleur du point de vue stochastique, et l’indice idéal de Fisher bénéficie également, du point de vue axiomatique, du fait qu’il satisfasse le mieux aux tests raisonnables présentés. L’indice de Walsh apparaît quant à lui comme le meilleur du point de vue des indices de prix purs. Pour savoir exactement lequel de ces indices utiliser comme cible théorique ou indice effectif, l’office de statistique devra déterminer quelle approche de la théorie des indices cadre le mieux avec ses objectifs. Il est rassurant, comme le montre le chapitre 19 pour des séries temporelles normales, que ces trois indices donnent une réponse quasiment identique.

C. Approche économique d’un indice des prix des intrants intermédiaires pour un établissement

17.61 La théorie économique de l’indice des prix des intrants intermédiaires pour un établissement est analogue à celle de l’indice des prix extrants expliquée à la section B, mais elle utilise la fonction de coût conjointe ou fonction de coût conditionnelle C au lieu de la fonction de recettes r. La section E applique une analyse du même type au déflateur de la valeur ajoutée. L’approche de l’indice des prix des intrants intermédiaires retenue dans cette section est analogue à la théorie présentée par Konüs (1924), dans le cadre de la théorie du consommateur, pour l’indice du coût de la vie véritable.

17.62 Souvenons nous que l’ensemble St (vt) décrit quels vecteurs d’extrants y peuvent être produits dans la période t si l’établissement dispose du vecteur d’intrants v = [x,z], où x est un vecteur d’intrants intermédiaires et z un vecteur d’intrants primaires. Par conséquent, si [y,x,z] appartient à St, le vecteur d’extrants non négatif y peut être produit par l’établissement dans la période t si ce dernier peut utiliser le vecteur non négatif d’intrants intermédiaires x et le vecteur non négatif d’intrants primaires z.

17.63 Soit px = (px1,…pxM) un vecteur positif des prix des intrants intermédiaires auxquels l’établissement peut être confronté dans la période t. Posons également que y est un vecteur non négatif de cibles d’extrants, et z un vecteur non négatif des intrants primaires dont l’établissement peut disposer dans la période t. La fonction de coût conditionnelle de l’établissement utilisant la technologie de la période t se définit alors comme la solution du problème de minimisation du coût des intrants intermédiaires suivant:

Ct(px,y,z) est donc le coût minimum des intrants intermédiaires Σm=1Mpxmxm, que l’établissement doit payer pour produire le vecteur des extrants y, lorsqu’il est confronté au vecteur des prix des intrants intermédiaires px, qu’il peut disposer du vecteur des prix des intrants primaires z et qu’il utilise la technologie de la période t39.

17.64 Afin que la notation relative à l’indice des prix des intrants intermédiaires puisse être comparée à celle utilisée aux chapitres 15 et 16 pour les indices de prix et de quantités, nous remplacerons, dans le reste de cette sous-section, le vecteur des prix des intrants intermédiaires px par le vecteur p, et le vecteur des quantités des intrants intermédiaires x par le vecteur q. Ct(px,y,z) est donc réécrit sous la forme Ct(p,y,z).

17.65 La fonction de coût conditionnelle de la période t, Ct, peut être utilisée comme suit pour définir l’indice des prix des intrants intermédiaires pour la technologie de la période t, Pt,, de l’économie entre deux périodes données (0 et 1, par exemple):

p0 et p1 sont les vecteurs des prix des intrants intermédiaires auxquels l’établissement est confronté aux périodes 0 et 1, respectivement; y est un vecteur de référence des extrants que l’établissement doit produire, et z un vecteur de référence des intrants primaires40. Si M = 1, c’est-à-dire si l’établissement n’utilise qu’un intrant intermédiaire, on peut démontrer que l’indice des prix des intrants intermédiaires se réduit au rapport des prix d’un seul intrant intermédiaire entre les périodes 0 et 1, p11/p10. On notera que, dans le cas général, l’indice des prix des intrants intermédiaires défini par l’équation (17.34) est un rapport des coûts des intrants intermédiaires hypothétiques que l’établissement doit payer pour produire le vecteur des extrants y, lorsqu’il dispose de la technologie de la période t et du vecteur des intrants primaires v. Le numérateur de l’équation (17.34) est le coût minimum des intrants intermédiaires que l’établissement pourrait avoir à payer s’il était confronté aux prix des intrants intermédiaires de la période 1, p1, et le dénominateur de l’équation (17.37) est le coût minimum des intrants intermédiaires que l’établissement pourrait avoir à payer s’il était confronté aux prix des intrants intermédiaires de la période 0, p0. On notera que toutes les variables figurant au numérateur et au dénominateur de l’équation (17.34) sont maintenues constantes, à l’exception des vecteurs des prix des intrants intermédiaires.

17.66 Comme c’était le cas pour la théorie de l’indice des prix des extrants, il existe une grande variété d’indices de prix dans l’équation (17.34), selon le vecteur de référence (t,y,z) choisi (la technologie de référence est indexée par t, le vecteur de référence des extrants par y, et le vecteur de référence des intrants primaires par z). Comme pour la théorie de l’indice des prix des extrants, là aussi, deux cas spécifiques de la définition générale de l’indice des prix des intrants intermédiaires—l’équation (17.34)—retiendront notre attention: i) P0(p0,p1,y0,z0), qui utilise l’ensemble de technologies de la période 0, le vecteur y0 des extrants produits dans la période 0 et le vecteur z0 des intrants primaires utilisés dans la période 0; et ii) P1(p0,p1,y1,z1), qui utilise l’ensemble de technologies de la période 1, le vecteur y1 des extrants produits dans la période 1 et le vecteur z1 des intrants primaires utilisés dans la période 1. Soit I0 et q1 les vecteurs des intrants intermédiaires observés pour l’établissement dans les périodes 0 et 1, respectivement. Si les producteurs affichent un comportement de minimisation des coûts dans les périodes 0 et 1, les coûts des intrants intermédiaires observés dans les périodes 0 et 1 devraient être égaux à C0(p0,y0,z0) et C1(p1,y1,z1), respectivement; en d’autres termes, les égalités suivantes devraient être vérifiées:

17.67 Sous ces hypothèses de minimisation des coûts, adaptons les arguments avancés par Fisher et Shell (1972, p. 57–8) et par Archibald (1977, p. 66) pour montrer que les deux indices théoriques,P0(p0,p1,y0,z0) et P1(p0,p1,y1,z1) décrits en i) et ii) ci-dessus, vérifient les inégalités des équations (17.36) et (17.37):

en utilisant l’équation (17.34)

en utilisant l’équation (17.35)

puisque q0 est une solution possible du problème de minimisation que définit C0(p1,y0,z0), et donc

PL est l’indice des prix des intrants intermédiaires de Laspeyres. De même,

en utilisant l’équation (17.34)

en utilisant l’équation (17.35)

puisque q1 estunesolution possible du problème de minimisation que définit C1(p0,y1,z1), et donc

PP est l’indice des prix de Paasche. Par conséquent, l’équation (17.36) indique que l’indice de Laspeyres des prix des intrants intermédiaires observable, PL, est une limite supérieure de l’indice des prix des intrants intermédiaires théorique, P0(p0,p1,y0,z0), et l’équation (17.37) indique que l’indice de Paasche des prix des intrants intermédiaires observable, PP, est une limite inférieure de l’indice des prix des intrants intermédiaires théorique, P1(p0,p1,y1,z1). On notera que ces inégalités sont l’inverse des équations (17.4) et (17.5) pour l’indice des prix des extrants, mais que les nouvelles inégalités sont analogues à leurs contreparties dans la théorie de l’indice du coût de la vie véritable.

17.68 Comme c’était le cas à la section B.2, il est possible de définir un indice des prix des intrants intermédiaires théorique qui se situe entre les indices des prix des intrants intermédiaires de Paasche et de Laspeyres observables. Pour ce faire, nous définissons d’abord une fonction de coût des intrants intermédiaires hypothétique,C (p,α), qui correspond à l’utilisation d’une moyenne pondérée α des ensembles de technologies S0(y0,z0) et S1(y1,z1) pour les périodes 0 et 1 comme technologie de référence, et à l’utilisation d’une moyenne pondérée α des vecteurs des extrants de la période 0 et de la période 1, y0 et y1, et des vecteurs des intrants primaires z0 et z1, comme vecteurs de référence pour les extrants et les intrants primaires:

Le problème de minimisation des coûts des intrants intermédiaires posé dans l’équation (17.38) correspond donc à l’objectif d’extrants (1 – α)y0 + α y1 et à l’utilisation d’une moyenne des vecteurs des intrants primaires dans les périodes 0 et 1, z0 et z1, où le vecteur de la période 0 reçoit pour pondération 1–α, et le vecteur de la période 1 reçoit pour pondération α. On utilise une moyenne des ensembles de technologies de la période 0 et de la période 1, où l’ensemble afférent à la période 0 reçoit pour pondération 1–α, et l’ensemble afférent à la période 1 reçoit pour pondération α, ce dernier étant un nombre compris entre 0 et 1. La nouvelle fonction de coût des intrants intermédiaires définie par l’équation (17.38) peut être utilisée maintenant pour définir la famille des indices de prix des intrants intermédiaires théoriques suivante:

17.69 L’adaptation de la preuve de Diewert (1983a, p. 1060–61) fait apparaître qu’il existe un α compris entre 0 et 1 tel que l’indice des prix des intrants intermédiaires théorique défini par l’équation (17.39) se situe entre les indices des prix des intrants intermédiaires de Paasche et de Laspeyres observables (en principe), PP et PL; autrement dit, il existe un α tel que

17.70 Si les indices de Paasche et de Laspeyres sont numériquement proches l’un de l’autre, l’équation (17.40) indique alors qu’un indice des prix des intrants intermédiaires économique véritable est assez bien déterminé et que l’on peut obtenir une approximation raisonnable de l’indice véritable en prenant une moyenne symétrique de PL et PP telle que la moyenne géométrique, qui nous conduit à nouveau à l’indice des prix idéal d’Irving Fisher (1922), PF, défini dans l’équation (17.40).

17.71 On notera que la théorie des indices de prix des intrants intermédiaires économiques développée ci-dessus est très générale; en particulier, aucune hypothèse de forme fonctionnelle restrictive ou de séparabilité n’est posée en ce qui concerne la technologie.

17.72 Les hypothèses translog pour la technologie posées dans la section B.3 pour justifier l’emploi de l’indice des prix des extrants de Törnqvist–Theil comme approximation d’un indice des prix des extrants théorique peuvent être adaptées afin de fournir une justification à l’utilisation de l’indice des prix des intrants intermédiaires de Törnqvist–Theil comme approximation d’un indice des prix des intrants intermédiaires théorique. Reprenons la définition de la fonction de coût des intrants intermédiaires conditionnelle de la période t,Ct (px,y,z), définie par l’équation (17.33). Remplaçons le vecteur des prix des intrants intermédiaires px par le vecteur p, et définissons le vecteur u de dimension N + K comme u = [y,z]. Supposons maintenant que la fonction de coût conditionnelle de la période t ait la forme fonctionnelle translog suivante: pour t = 0,1:

In Ct(p,u)

où les coefficients αnt et γnt satisfont aux restrictions suivantes:

Les restrictions aux équations (17.44) et (17.45) sont nécessaires pour assurer que Ct (p,u) soit linéaire et homogène dans les composantes du vecteur des prix des intrants intermédiaires p (propriété que toute fonction de coût conditionnel doit satisfaire). On notera qu’à ce stade de notre démonstration, les coefficients qui caractérisent la technologie dans chaque période (les α, β et γ) sont autorisés à être totalement différents dans chaque période.

17.73 En adaptant à nouveau les résultats de Caves, Christensen, and Diewert (1982, p. 1410) à notre contexte41, nous faisons apparaître que, si les coefficients de prix quadratiques de l’équation (17.41) sont égaux dans les deux périodes où l’on procède à une comparaison d’indices (autrement dit, si αmj0 = αmj1 pour tous les m,j), alors la moyenne géométrique de l’indice des prix des intrants intermédiaires économique qui utilise la technologie de la période 0, le vecteur y0 des extrants de la période 0 et le vecteur z0 des intrants primaires de la période 0, à savoir P0(p0,p1,y0,z0) et de l’indice des prix des intrants intermédiaires économique qui utilise la technologie de la période 1, le vecteur y1 des extrants de la période 1 et le vecteur z1 des intrants primaires de la période 1, à savoir P1(p0,p1,y1,z1), est exactement égale à l’indice des prix des intrants intermédiaires de Törnqvist PT défini par l’équation (17.10)42; c’est-à-dire,

17.74 Comme dans le cas du résultat obtenu précédemment dans l’équation (17.40), les hypothèses requises pour obtenir le résultat de (17.46) semblent plutôt faibles; en particulier, il n’est pas exigé que les technologies affichent des rendements d’échelle constants dans l’une ou l’autre des périodes comparées, et nos hypothèses cadrent avec l’existence d’un progrès technique entre ces deux périodes. Comme la formule d’indice PT est exactement égale à la moyenne géométrique de deux indices des prix des intrants intermédiaires économiques théoriques, et correspond à une forme fonctionnelle souple, l’indice des prix des intrants intermédiaires de Törnqvist est dit superlatif.

17.75 L’analyse de l’indice des prix des extrants développée auxsections C.3 et C.4 peut être adaptée à l’indice des prix des intrants intermédiaires, pour faire apparaître que les deux familles d’indices des prix des extrants superlatifs,Pr* défini par l’équation (17.25) et Pr défini par l’équation (17.23), sont aussi des indices des prix des intrants intermédiaires superlatifs. Cependant, nous omettons ici les détails puisqu’il est nécessaire, pour obtenir ces résultats, d’imposer des conditions de séparabilité plutôt restrictives en qui concerne la technologie utilisée par l’établissement43.

17.76 Dans la section suivante, l’analyse présentée ici est modifiée pour permettre une approche économique du déflateur de la valeur ajoutée.

D. Approche économique du déflateur de la valeur ajoutée pour un établissement

17.77 La théorie économique du déflateur de la valeur ajoutée pour un établissement est analogue à la théorie économique de l’indice des prix des extrants expliquée à la section B, mais on utilise maintenant la fonction de profit π à la place de la fonction de recettes r de la section B.

17.78 Rappelons que l’ensemble St décrit quels vecteurs d’extrants y peuvent être produits dans la période t si l’établissement dispose du vecteur d’intrants [x,z], où x est un vecteur d’intrants intermédiaires et z un vecteur d’intrants primaires. Si [y,x,z] appartient à l’ensemble St, l’établissement peut donc produire le vecteur des extrants non négatif y dans la période t s’il peut utiliser le vecteur d’intrants intermédiaires non négatif x et le vecteur d’intrants primaires non négatif z.

17.79 Soit py = (py1,…pyN) et px = (px1,…pxM) des vecteurs positifs des prix des extrants et des intrants intermédiaires auxquels l’établissement peut être confronté dans la période t, et z un vecteur non négatif des intrants primaires dont l’établissement peut disposer durant la période t. La fonction de profit (brute) ou fonction de recettes nettes utilisant la technologie de la période t est définie comme la solution du problème de maximisation des recettes nettes suivant:

où, comme précédemment, y = [y1,…,yN] est un vecteur des extrants et x = [x1,…,xM] un vecteur des intrants intermédiaires. Dans ces conditions, πt(py,px,z) correspond aux recettes maximums des extrants, Σn=1Npynyn moins le coût des intrants intermédiaires, Σm=1Mpxmxm que l’établissement peut dégager sachant qu’il est confronté au vecteur des prix des extrants py et au vecteur des prix des intrants intermédiaires px, qu’il dispose de vecteur des intrants primaires z et qu’il utilise la technologie de la période t44.

17.80 Dans le reste de cette sous-section, pour que la notation relative au déflateur de la valeur ajoutée puisse être comparée à celle utilisée aux chapitres 15 et 16 pour les indices de prix et de quantités, le vecteur des prix des extrants nets p est défini comme p = [py,px], et le vecteur des quantités des extrants nets q est défini comme q = [y, – x]. Tous les prix des extrants et des intrants intermédiaires sont donc positifs, de même que les quantités des extrants, mais les intrants intermédiaires sont indexés avec le signe moins. Avec ces définitions, πt(py,px,z) peut se réécrire πt(p,z).

17.81 La fonction de profit πt de la période t peut être utilisée pour définir le déflateur de la valeur ajoutée pour la technologie de la période t, Pt, de l’économie entre deux périodes données (0 et 1, par exemple) de la façon suivante45:

p0 et p1 sont les vecteurs de dimension N + M des prix des extrants nets auxquels l’établissement est confronté aux périodes 0 et 1, et z est un vecteur de référence des intrants primaires. On notera que toutes les variables du numérateur et du dénominateur de l’équation (17.48) restent constantes, à l’exception des vecteurs des prix des extrants nets (extrants et intrants intermédiaires).

17.82 Comme dans la théorie de l’indice des prix des extrants, plusieurs indices de prix se présentent sous la forme donnée par l’équation (17.48), selon le vecteur de référence (t,z) choisi. L’analyse reprend celle de l’indice des prix des extrants développée à la section B. Comme dans la théorie de l’indice des prix des extrants, deux cas spécifiques de la définition générale de l’indice des prix des intrants intermédiaires de la forme donnée par l’équation (17.48) retiendront notre attention: un indice théorique qui utilise l’ensemble de technologies de la période 0 et le vecteur z0 des intrants primaires employés dans la période 0, et un indice théorique qui utilise l’ensemble de technologies de la période 1 et le vecteur z1 des intrants primaires employés dans la période 1. Il apparaît que l’indice des prix des extrants et des intrants intermédiaires de Laspeyres observable PL est une limite inférieure du déflateur de la valeur ajoutée théorique précédent et que l’indice des prix des extrants et des intrants intermédiaires de Paasche observable PP est une limite supérieure du déflateur de la valeur ajoutée théorique précédent46. Les inégalités vont dans le même sens que celles des équations (17.4) et (17.5) obtenues pour l’indice des prix des extrants.

17.83 Comme à la section B.2, il est possible de définir un déflateur de la valeur ajoutée qui se situe entre les déflateurs de la valeur ajoutée observables de Paasche et de Laspeyres. Pour ce faire, on définit une fonction de recettes nettes hypothétique π(p,α) correspondant à une moyenne pondérée par α des ensembles de technologies des périodes 0 et 1, et on utilise une moyenne pondérée par α des vecteurs des intrants primaires z0 et z1 comme vecteur des intrants primaires de référence.

17.84 Il découle des arguments avancés pour l’indice des prix des extrants que, si les indices de Paasche et de Laspeyres sont numériquement proches l’un de l’autre, le déflateur de la valeur ajoutée économique est assez bien déterminé. On obtient une approximation raisonnablement proche de l’indice véritable en prenant une moyenne symétrique de PL et PP, telle que la moyenne géométrique, ce qui nous ramène à nouveau à l’indice des prix idéal de Fisher47.

17.85 Les hypothèses translog pour la technologie utilisées dans la section B.3 afin de justifier l’emploi de l’indice des prix des extrants de Törnqvist–Theil comme approximation d’un indice des prix des extrants théorique peuvent être adaptées pour justifier l’utilisation de l’indice des prix de la valeur ajoutée de Törnqvist–Theil comme approximation d’un indice des prix de la valeur ajoutée théorique. Reprenons la définition de la fonction de recettes nettes de la période t, Pt(py,px,z), donnée par l’équation (17.47) pour remplacer le vecteur des prix des extrants py et le vecteur des prix des intrants intermédiaires px par le vecteur p = [py,px], et supposons que la fonction de recettes nettes de la période t ait la forme fonctionnelle translog. Il découle de l’argument avancé pour l’indice des prix des extrants que, si les coefficients de prix quadratiques sont égaux dans les deux périodes, le déflateur de la valeur ajoutée de Törnqvist est exactement égal à cette forme de l’indice théorique. Comme la formule d’indice est exactement égale à une forme fonctionnelle souple sous-jacente, le déflateur de la valeur ajoutée de Törnqvist est superlatif. Comme dans le cas de l’indice des prix des extrants, les hypothèses requises pour parvenir à cette conclusion semblent assez faibles; en particulier, il n’est pas exigé que les technologies affichent des rendements d’échelle constants dans l’une ou l’autre des périodes comparées et les hypothèses cadrent avec l’existence d’un progrès technique entre ces deux périodes.

17.86 L’analyse de l’indice des prix des extrants développée aux sections B.4 et B.5 peut être adaptée au déflateur de la valeur ajoutée pour montrer que la famille des indices de prix des extrants superlatifs,Pr, définie par l’équation (17.28), constitue aussi des déflateurs de la valeur ajoutée superlatifs48. Cependant, nous omettons ici les détails puisqu’il est nécessaire, pour obtenir ces résultats, d’imposer des conditions de séparabilité plutôt restrictives en ce qui concerne la technologie utilisée par l’établissement49.

17.87 Intéressons-nous maintenant aux problèmes posés par l’agrégation d’établissements opérée pour former des déflateurs de la production nationale, des intrants intermédiaires et de la valeur ajoutée.

E. Approximations d’indices superlatifs: les indices d’années intermédiaires

17.88 Les indices superlatifs posent un problème pratique, du fait qu’ils exigent toujours des informations sur les quantités pour la période en cours et sur les prix à appliquer. Dans la section suivante, nous examinons une suggestion faite récemment pour donner des valeurs approchées des indices superlatifs quand on ne dispose pas d’informations sur les quantités dans la période en cours.

17.89 Reprenons les équations (15.18) et (15.19) de la section C.2 du chapitre 15, qui définissent les indices des prix de Walsh (1901, p. 398; 1921a, p. 97) et de Marshall (1887)Edgeworth (1925) entre les périodes 0 et 1, soit PW(p0,p1,q0,q1) et PME(p0,p1,q0,q1), respectivement. À la section C.4, il est précisé que l’indice des prix de Walsh est un indice superlatif. D’autre part, bien que l’indice des prix de Marshall–Edgeworth ne soit pas superlatif, Diewert (1978, p. 897) montre qu’il donne une approximation de deuxième ordre de tout indice superlatif autour du point où les vecteurs de prix et de quantités de la période de référence et de la période courante sont égaux50, de sorte que PME donne en général une approximation relativement bonne d’un indice superlatif. Dans cette section, nous nous appuyons sur certains résultats récents attribués à Schultz (1999) et Okamoto (2001) pour montrer comment divers indices de prix d’année intermédiaire peuvent, sous certaines conditions, donner une approximation relativement bonne des indices de Walsh ou de Marshall–Edgeworth. Comme nous le verrons, les indices d’année intermédiaire ne reposent pas sur des pondérations en quantités pour la période en cours et la période de référence; ils utilisent plutôt les pondérations en quantités d’années situées entre la période de référence et la période courante, et peuvent donc être produits rapidement. On notera que nous prenons en compte ici les pondérations en quantités d’une période intermédiaire, bien que des indices équivalents pourraient aussi être définis à partir des parts de recettes d’une période intermédiaire, en utilisant les définitions appropriées des indices dans les termes donnés, par exemple, pour les indices de Laspeyres et de Paasche dans les équations (15.8) et (15.9), respectivement.

17.90 Soit t un nombre entier pair positif. Schultz (1999) définit l’indice des prix d’année intermédiaire, qui compare le vecteur de prix dans la période t, pt, au vecteur de prix correspondant dans la période 0, p0, de la façon suivante:

qt/2 est le vecteur de quantités se rapportant à la période intermédiaire,t/2. La définition d’un indice des prix d’année intermédiaire lorsque t est impair (et supérieur à 2) est un peu plus délicate. Okamoto (2001) définit des indices des prix d’année intermédiaire de type arithmétique et de type géométrique en comparant les prix dans la période 0 à ceux de la période t, où t est impair, par les équations (17.50) et (17.51), respectivement:

Chacun des indices de prix définis par l’équation (17.50) et l’équation (17.51) et du type des indices de panier type. Dans l’indice de type arithmétique défini par (17.50), le vecteur de quantités du panier type est la moyenne arithmétique simple des deux vecteurs de quantités se rapportant aux périodes intermédiaires, (t – 1) / 2 et (t + 1) / 2, et dans l’indice de type géométrique défini par l’équation (17.51), le vecteur de quantités de référence est la moyenne géométrique de ces deux vecteurs de quantités des périodes intermédiaires.

17.91Okamoto (2001) utilise les définitions susmentionnées pour définir la séquence suivante d’ indices des prix de période intermédiaire (de type arithmétique) à base fixe:

Dans la période 0, la valeur de l’indice est donc fixée à 1. On pose que, dans la période 1, il est égal à l’indice des prix de Marshall–Edgeworth entre les périodes 0 et 1, PME(p0,p1,q0,q1) (seul indice de la séquence susmentionnée qui nécessite des informations sur les quantités dans la période courante). Dans la période 2, l’indice est égal à l’indice d’année intermédiaire de Schultz, PS(p0,p2,q1), défini par l’équation (17.49), qui utilise les pondérations en quantités de la période antérieure 1, q1. Dans la période 3, l’indice est égal à l’indice d’année intermédiaire arithmétique d’Okamoto, POA(p0,p3,q1,q2), défini par l’équation (17.50), qui utilise quant à lui les pondérations en quantités des deux périodes précédentes,q1 et q2, et ainsi de suite.

17.92Okamoto (2001) utilise aussi les définitions susmentionnées pour présenter la séquence suivante d’ indices des prix de période intermédiaire (de type géométrique) à base fixe:

Dans la période 0, la valeur de l’indice est donc fixée à 1. Dans la période 1, il est égal à l’indice des prix de Walsh entre les périodes 0 et 1, PW(p0,p1,q0,q1) (seul indice de la séquence susmentionnée qui nécessite des informations sur les quantités dans la période courante). Dans la période 2, il est égal à l’indice d’année intermédiaire de Schultz, PS(p0,p2,q1) et, dans la période 3, il est égal à l’indice d’année intermédiaire (de type géométrique) d’Okamoto, POG(p0,p3,q1,q2), défini par l’équation (17.51), qui utilise les pondérations en quantités des deux périodes précédentes,q1 et q2, et ainsi de suite.

17.93 Il est possible aussi de définir des séquences chaînées51 d’indices d’année intermédiaire qui sont les contreparties des séquences d’indices à base fixe définis par les équations (17.52) et (17.53). On peut donc définir comme suit une contrepartie chaînée de l’équation (17.52):

et une contrepartie chaînée de l’équation (17.53) de la façon suivante:

Notons que les équations (17.54) et (17.55) ne diffèrent que dans la mesure où la première utilise l’indice de Marshall–Edgeworth, PME(p0,p1,q0,q1), pour comparer les prix de la période 1 à ceux de la période 0, alors que la seconde utilise l’indice de Walsh, PW(p0,p1,q0,q1). Autrement, seule la formule d’année intermédiaire de base, celle de Schultz, PS(pt,pt+2,qt+1), est utilisée dans les deux équations (17.54) et (17.55).

17.94Schultz (1999) et Okamoto (2001) montrent, à partir de données canadiennes et japonaises, que les séquences d’indices telles que celles définies par les équations (17.54) et (17.55) sont raisonnablement proches de leurs contreparties superlatives données par l’indice idéal de Fisher.

17.95 Outre les résultats empiriques susmentionnés, certains résultats théoriques peuvent être obtenus pour étayer l’utilisation des indices d’année intermédiaire comme approximation des indices superlatifs52. Les résultats théoriques présentés s’appuient sur des hypothèses spécifiques concernant les modalités de variations des vecteurs de quantités qt dans le temps. Deux de ces hypothèses spécifiques sont faites ici.

17.96 La première consiste à supposer que les quantités affichent des tendances linéaires sur la période considérée, c’est-à-dire que:

où α = [α1,…,αN] est un vecteur de constantes. Pour t pair donc, en utilisant l’équation (17.56), il s’ensuit que

De même, pour t impair (et supérieur à 2), il s’ensuit que:

Lorsque l’équation de quantités (17.56) affiche des tendances temporelles linéaires, on peut par conséquent démontrer, à l’aide des équations (17.57) et (17.58), que les indices d’année intermédiaire de Schultz et les indices d’année intermédiaire arithmétiques d’Okamoto sont tous égaux à leurs contreparties, les indices de Marshall–Edgeworth; autrement dit

Aussi, quand l’équation (17.56) affiche des tendances linéaires, les séquences d’indices d’année intermédiaire à base fixe et arithmétiques chaînés—les équations (17.52) et (17.54), respectivement—deviennent les séquences d’indices de Marshall–Edgeworth suivantes53:

17.97 La seconde hypothèse spécifique sur le comportement des quantités avec le temps est que les quantités varient à des taux géométriques durant la période considérée; en d’autres termes, on suppose que

où gn est le taux de croissance géométrique pour la quantité n. D’où, pour t pair et en utilisant l’équation (17.62)

Pour t impair (et supérieur à 2), en utilisant à nouveau l’équation (17.62):

En utilisant les équations (17.63) et (17.64), on peut montrer que, si les quantités connaissent une croissance géométrique, les indices d’année intermédiaire de Schultz et les indices d’année intermédiaire de type géométrique d’Okamoto sont tous égaux à leurs contreparties de Walsh, c’est-à-dire que

Dans l’hypothèse des taux de croissance géométrique de l’équation (17.62), les séquences d’indices d’année intermédiaire à base fixe et de type géométrique chaîné—les équations (17.53) et (17.55), respectivement—deviennent les séquences d’indices des prix de Walsh suivantes:

17.98 Étant donné que les indices des prix de Walsh sont superlatifs, les résultats présentés dans cette section font apparaître que, si les quantités évoluent de façon très régulière, il est vraisemblablement possible d’obtenir une assez bonne approximation des indices superlatifs sans connaître les quantités dans la période en cours (à condition toutefois que les vecteurs de quantités retardés puissent être estimés en continu).

17.99 Il semble tout à fait probable que les indices d’année intermédiaire donneront une approximation des indices superlatifs beaucoup plus précise que les indices de Laspeyres chaînés ou à base fixe54. Cependant, le véritable choix ne sera peut-être pas entre le calcul d’indices de Laspeyres ou d’indices d’année intermédiaire, mais entre la production rapide d’indices d’année intermédiaire ou la production d’indices superlatifs moyennant une attente d’un an ou deux. Cela dit, on peut toujours craindre qu’en cas de retournement soudain des tendances des prix ou des quantités, les indices d’année intermédiaire considérés puissent donner des estimations avancées plutôt trompeuses d’un indice superlatif. Mais, si cette limite des indices d’année intermédiaire doit rester présente à l’esprit, il semble que les offices de statistiques auraient en général intérêt à calculer ce type d’indices à titre expérimental55.

Appendice 17.1 Relations entre la méthode de Divisia et l’approche économique

17.100 L’approche de la théorie des indices par la méthode de Divisia s’appuie sur la théorie de la différentiation. Il ne semble donc pas qu’elle ait un lien quelconque avec la théorie économique. Cependant, un certain nombre d’économistes56, à commencer par Ville (1946), ont établi que les indices de prix et de quantités de Divisia ont effectivement un lien avec l’approche économique de la théorie des indices. Ce lien est défini ici dans le contexte des indices des prix des extrants.

17.101 L’indice des prix des extrants est abordé de la même manière qu’à la section C.1. Autrement dit, nous supposons qu’il existe une fonction d’agrégation d’extrants, homogène et linéaire f (q) = f (q1,…,qN), qui agrège les N intrants produits par établissement en un extrant global, Q = f(q)57. On suppose aussi que, dans la période t, le producteur maximise les recettes qu’il peut dégager lorsqu’il est confronté à la contrainte d’agrégation de la période t,f (q)= f(qt), où qt est le vecteur d’extrants observé dans la période t produit par l’établissement. On suppose par conséquent que le vecteur de production observé dans la période t,qt, résout le problème suivant de maximisation des recettes dans la période t:

où l’extrant global de la période t,Qt, est défini comme Qt = f(qt), et qt = [q1t,…,qNt] est le vecteur de production observé de l’établissement dans la période t. Le vecteur des prix dans la période t pour les N extrants que l’établissement produit est pt = [p1t,…,pNt]. On observera que la solution du problème de maximisation des recettes de la période t définit la fonction de recettes du producteur, R (Qt,pt).

17.102 Comme à la section C.1, il est posé que f est une fonction homogène et linéaire (positive) pour des vecteurs de quantités strictement positifs. Dans cette hypothèse, la fonction de recettes du producteur,R (Q,p), se décompose en Qr (p), où r (p) est la fonction de recettes unitaires du producteur ; voir équation (17.16) de la section C.1. Quand on s’appuie sur cette hypothèse, il apparaît que les recettes observées dans la période tΣi=1Npitqit, se décomposent de la manière suivante:

Les recettes totales dégagées dans la période t pour les N produits de l’agrégat Σi=1Npitqit, se décomposent en un produit de deux termes, r (pt)f(qt). Les recettes unitaires de la période t,r (pt), peuvent être identifiées comme le niveau des prix dans la période t, Pt, et l’extrant global dans la période t,f (qt), comme le niveau des quantités dans la période t, Qt.

17.103 Le niveau des prix économique pour la période t, Pt = c (pt), défini au paragraphe précédent est relié maintenant au niveau des prix pour la période t de Divisia, P(t), tel qu’il a été défini au chapitre 15 par l’équation différentielle (15.29). Comme dans la section D.1 du chapitre 15, les prix sont considérés maintenant comme des fonctions temporelles différenciables et continues, pi(t) pour i = 1,…,N, par exemple. La fonction de recettes unitaires peut donc être considérée elle aussi comme une fonction du temps t ; autrement dit, on définit la fonction de recettes unitaires comme une fonction de t du type:

En supposant que les dérivées partielles de premier ordre de la fonction de recettes unitaires r existent, la dérivée logarithmique de r*(t) peut être calculée comme suit:

est la dérivée partielle de la fonction de recettes unitaires pour le ie prix, pi, et pi (t) = dpi(t)/dt est la dérivée temporelle de la ie fonction de prix, pi(t). En utilisant le lemme d’Hotelling (1932, p. 594), l’offre du produit i qui maximise les recettes du producteur dans la période t est

où le niveau de l’extrant global à la période t est Q(t) = f [q1(t),q2(t),…,qN(t)]. La contrepartie temporelle continue de l’équation (A17.2) est que les recettes totales à la période t sont égales à l’extrant global,Q(t), multiplié par les recettes unitaires de la période t, r*(t); c’est-à-dire

La dérivée logarithmique du niveau des prix de Divisia P(t) peut maintenant être réécrite de la manière suivante (en reprenant l’équation 15.29 du chapitre 15):

en utilisant l’équation (A17.5)

en utilisant l’équation (A17.4)

= r*′(t)/r*(t).

Aussi, en utilisant les hypothèses susmentionnées de fonctions temporelles continues de maximisation des recettes, le niveau des prix de Divisia, P(t), est essentiellement égal à la fonction de recettes unitaires valorisée aux prix de la période t, r*(t) = r [p1(t),p2(t),…,pN(t)].

17.104 Si le niveau des prix de Divisia P (t) est fixé à niveau égal à la fonction de recettes unitaires r*(t) = r[p1(t),p2(t),…,pN(t)], il découle de l’équation (A17.2) que le niveau des quantités de Divisia Q(t) défini au chapitre 15 par l’équation (15.68) sera égal à la fonction d’agrégation des extrants du producteur considérée comme fonction temporelle,f*(t) = f [q1(t),…,qN(t)]. Aussi, dans l’hypothèse où le producteur maximise constamment les recettes qu’il peut obtenir pour une cible d’extrants donnée où la fonction d’agrégation des extrants est linéaire et homogène, il est démontré que les indices de prix et de quantités de Divisia,P (t) et Q(t), définis implicitement par les équations différentielles (15.67) et (15.68) du chapitre 15, sont essentiellement égaux, respectivement, aux fonctions de recettes unitaires r*(t) et d’agrégation des extrants f*(t) du producteur58. Et ce sont des égalités plutôt remarquables puisque, pour des fonctions temporelles pi(t) et qi(t) données, les équations différentielles peuvent en principe être résolues numériquement59 et P (t) et Q(t) sont en principe observables (à concurrence de certaines constantes de normalisation).

17.105 Pour plus de précisions sur l’approche de la théorie des indices par la méthode de Divisia, voir Vogt (1977; 1978) et Balk (2000).

Voir Eurostat et al. (1993) ou Bloem, Dippelsman, and Maehle (2001, p. 17).

Bowley (1922, p. 2), Rowe (1927, p. 173), Burns (1930, p. 247–50) et Copeland (1932, p. 3–5) ont été les premiers à contribuer à cette approche.

On trouvera des éléments d’information complémentaires sur les liens entre les agrégats de la comptabilité nationale et les IPP au chapitre 14.

Pour une taxinomie des services, voir Peter Hill (1999).

Dans cette définition modifiée, l’établissement est en général un ensemble d’unités de production plus petit qu’une société, puisque celle-ci peut être transnationale. Pour les besoins de notre étude, on peut donc adopter la définition suivante: un établissement est le plus petit agrégat d’unités de production d’un pays capables de fournir des informations comptables sur ses intrants et ses extrants pour la période considérée.

Pour de nombreux intrants intermédiaires très spécifiques d’un processus de production à stades multiples utilisant des techniques brevetées, il se peut très bien qu’il n’y ait pas de prix de marché. Au demeurant, plusieurs autres concepts pourraient être utilisés pour définir les prix de transfert; voir Diewert (1985) et Eden (1998). S’agissant des livraisons entre établissements appartenant à une même entreprise, le SCN 1993 (paragraphe 6.82) note que:

«Les biens et les services fournis par un établissement à un autre établissement appartenant à la même entreprise sont comptabilisés dans la production de l’établissement qui les produit. L’établissement qui reçoit ces biens et services peut les utiliser pour la consommation intermédiaire, mais aussi pour la formation brute de capital fixe. Les biens et services doivent être valorisés par l’établissement qui les produit aux prix de base courants; l’établissement qui les reçoit doit les valoriser aux mêmes prix, éventuellement majorés des frais de transport payés à des tiers. Il convient d’éviter, autant que possible, de recourir à des prix de transfert artificiels utilisés pour les besoins internes de comptabilité de l’entreprise.»

Les difficultés rencontrées pour connaître ces prix avec certitude sont cependant reconnues:

«D’un point de vue comptable, il peut être difficile de découper en établissements une entreprise intégrée verticalement, parce qu’il faut imputer des valeurs pour les produits des premiers stades de production qui ne sont pas effectivement vendus sur le marché et qui deviennent des consommations intermédiaires pour les stades ultérieurs. Certaines de ces entreprises enregistrent les livraisons internes à l’entreprise à des prix qui reflètent les valeurs de marché, mais d’autres ne font pas ainsi. Même si des données adéquates sont disponibles sur les coûts encourus à chaque stade de la production, il peut être difficile de décider de la méthode appropriée pour répartir l’excédent d’exploitation de l’entreprise entre les différents stades. Une des méthodes possibles consiste à appliquer un taux uniforme de profit aux coûts encourus à chaque stade» (SCN 1993, paragraphe 5.33).

Ces problèmes de détermination des prix sont examinés plus en détail au chapitre 6, où le concept de prix de marché de chaque produit fabriqué par un établissement durant la période considérée est la valeur de la production pour ce produit divisée par la quantité produite au cours de la période, c’est-à-dire le prix moyen de ce produit.

Alors que l’indice des prix de la valeur ajoutée ne se différencie en rien des autres indices de prix quant à sa définition, il est souvent qualifié de «déflateur de la valeur ajoutée», et cette terminologie commune est retenue dans le présent Manuel.

Cependant, les intrants en capital ou intrants durables sont exclus de la liste des intrants intermédiaires. Un intrant durable est un intrant dont la contribution se prolonge au-delà d’une période comptable donnée. Sa définition dépend par conséquent de la durée de la période retenue. Par convention, toutefois, les intrants sont classifiés comme durables s’ils durent plus de deux ou trois ans. Un intrant intermédiaire est donc un intrant non durable qui n’est pas non plus un intrant primaire. Les intrants durables sont classés en intrants primaires même s’ils sont produits par d’autres établissements. Les autres intrants primaires sont le travail, la terre et les ressources naturelles.

Rowe (1927, p. 174–75) est l’un des premiers économistes à avoir saisi les difficultés que les statisticiens rencontrent lorsqu’ils tentent de construire des indices des prix ou des quantités au niveau de la production: «La construction d’un indice de la production pose par définition trois difficultés qui, dans la mesure où elles sont presque insurmontables, imposent des limites à la précision de l’indice, lesquelles peuvent être relativement importantes dans certains cas. La première de ces difficultés tient à ce que, dans certains secteurs d’activité, de nombreux produits ne peuvent faire l’objet de mesures quantitatives. Le problème se pose avec une acuité toute particulière dans le cas de l’ingénierie… La seconde difficulté est que, même lorsqu’elle est mesurable quantitativement, la production d’un secteur d’activité peut, sur la durée, se modifier qualitativement aussi bien que quantitativement. En l’espace de vingt ans, par exemple, il y a eu presque certainement une amélioration tendancielle de la qualité moyenne du fil et du tissu produits par le secteur cotonnier… La troisième difficulté, enfin, concerne l’inclusion des nouveaux secteurs qui gagnent en importance avec le temps.» Ces trois problèmes sont encore d’actualité: il suffit de penser aux difficultés rencontrées lorsque l’on essaie de mesurer la production des secteurs de l’assurance ou des jeux de hasard. De plus en plus de secteurs d’activité produisent des extrants d’un type unique: dès lors, les comparaisons de prix et de quantités sont forcément difficiles, voire impossibles. Enfin, l’explosion des dépenses de recherche–développement des entreprises et des États se traduit par une augmentation incessante du nombre des produits et secteurs nouveaux. Le chapitre 8 examine les difficultés que l’apparition et la disparition de biens et services ou d’établissements peuvent poser lors de la construction d’un indice.

Dans une étude antérieure, Diewert et Smith (1994) calculent des indices de prix idéals de Fisher (au sujet d’une société de distribution canadienne) sur sept trimestres en agrégeant plus de 76.000 produits élémentaires.

Connue sous le nom de fonction du PIB ou fonction du produit national dans les travaux sur le commerce international (voir Kohli, 1978 et 1991, ou Woodland, 1982), la fonction Rt a été introduite dans l’analyse économique par Samuelson (1953). Elle apparaît aussi sous l’appellation de i)fonction de profit brut dans Gorman (1968), ii)fonction de profit restreint dans Lau (1976) et McFadden (1978), et iii)fonction de profit variable dans Diewert (1973 et 1974a). Les propriétés mathématiques de la fonction de recettes sont présentées dans ces travaux de référence.

Ce concept d’indice des prix des extrants (ou une variante connexe) a été défini dans Fisher and Shell (1972, p. 56–58), Samuelson and Swamy (1974, p. 588–92), Archibald (1977, p. 60–61), Diewert (1980, p. 460–61, 1983a, p. 1055) et Balk (1998a, p. 83–89). Les lecteurs familiers de la théorie de l’indice du coût de la vie véritable noteront que l’indice des prix des extrants défini par l’équation (17.2) est analogue à l’indice du coût de la vie véritable, qui est un rapport de fonctions de coût, disons C (u,p1)/C(u,p0), où u est un niveau d’utilité de référence:r remplace C, et le niveau d’utilité de référence u est remplacé par les variables du vecteur de référence (t,v). Pour ces renvois à la théorie de l’indice du coût de la vie véritable, voir Konüs (1924), Pollak (1983a), ou la contrepartie de cet ouvrage constituée par le Manuel de l’IPC, Eurostat, OIT et al.

Cela est dû au fait que, dans la théorie du coût de la vie, le problème d’optimisation est un problème de minimisation des coûts, et non pas de maximisation des recettes, comme c’est le cas ici. La méthode de preuve utilisée pour obtenir (17.4) et (17.5) date de Konüs (1924), Hicks (1940) et Samuelson (1950).

Cependant, la validité de l’équation (17.5) ne dépend pas de la position relative des deux ensembles de possibilités de production des extrants. Deux conditions sont nécessaires pour que l’équation (17.5) se présente dans la version d’inégalité stricte: i) la frontière de l’ensemble des possibilités de production des extrants dans la période 1 doit être «incurvée» et ii) les prix relatifs des intrants doivent varier entre les périodes 0 et 1, de façon à ce que les deux lignes de prix passant par G et H (voir graphique 1) soient tangentes à des points différents sur la frontière de l’ensemble des possibilités de production des extrants dans la période 1.

L’indice des prix des extrants de Laspeyres est la limite inférieure de l’indice théorique P0(p0,p1,v0), tandis que l’indice des prix des extrants de Paasche est la limite supérieure de l’indice théorique P1(p0,p1,v1).

Lorsque α = 0, R (p,0) = R0(p,v0), et lorsque α = 1, R (p,1) = R1(p,v1).

C’est un effet de substitution d’extrants normal. Empiriquement, toutefois, on observe souvent que les baisses de prix survenant d’une période sur l’autre ne s’accompagnent pas de baisses correspondantes de l’offre. Cependant, ces effets de «substitution» anormaux peuvent être attribués de façon rationnelle aux effets du progrès technique. Supposons, par exemple, que le prix d’une puce informatique baisse fortement de la période0àla période 1. Si la technologie reste constante sur cette période, on pourrait s’attendre à ce que les producteurs du pays visé diminuent leur offre de puces informatiques de la période 0 à la période 1. En fait, c’est l’inverse qui se produit, car le progrès technique entraîne une chute brutale du coût de production des puces informatiques, laquelle est répercutée sur les demandeurs. La théorie des indices des prix des extrants ne peut donc pas faire abstraction des effets du progrès technique. La contrepartie du progrès technologique dans la théorie de l’indice du coût de la vie est le changement des goûts, qui est souvent ignoré.

Diewert adapte une méthode de preuve attribuée initialement à Konüs (1924) dans le cadre de la théorie du consommateur. Les conditions suffisantes que les ensembles de technologies à la période 0 et à la période 1 doivent remplir pour que le résultat se vérifie sont données dans Diewert (1983a, p. 1105). Les développements exposés aux sections B.2, B.3 et C.1 s’inspirent également du chapitre 2 de Alterman, Diewert and Feenstra (1999).

On notera que Irving Fisher (1922) a établi des indices des prix des extrants de Laspeyres, Paasche et Fisher pour son ensemble de données sur les États-Unis. Fisher a aussi adopté le point de vue selon lequel le produit des indices de prix et de quantités devrait être égal au rapport des valeurs entre les deux périodes considérées, idée qu’il avait déjà formulée (1911, p. 403). Il n’a pas considéré explicitement le problème de la déflation de la valeur ajoutée, mais, dès 1930, son idée que déflation et mesure de la croissance quantitative sont foncièrement le même problème s’est étendue au problème de la déflation de la valeur ajoutée nominale; voir Burns (1930).

Cette forme fonctionnelle a été proposée et ainsi nommée par Christensen, Jorgenson et Lau (1971). Elle a été adaptée à la fonction de recettes ou de profit par Diewert (1974a).

On suppose aussi que les conditions de symétrie, à savoir αnjt = αjnt pour tous les n,j et pour t = 0,1 et γmkt = γkmt pour tous les m,k et pour t = 0,1, sont satisfaites.

Pour un rappel des conditions de régularité auxquelles une fonction de recettes ou de profit doit satisfaire, voir Diewert (1973 et 1974a).

Le concept de forme fonctionnelle souple a été présenté par Diewert (1974a, p. 113).

Pour une description plus précise de ces techniques de modélisation du comportement monopolistique accompagnée de réfé-rents supplémentaires sur les travaux dans ce domaine, voir Diewert (1993b, p. 584–90).

Supposons que, dans la période 0, le vecteur des intrants v0 produise le vecteur des extrants q0. Nos hypothèses de séparabilité impliquent que le même vecteur des intrants v0 pourrait produire n’importe quel vecteur des extrants q tel que f(q) = f(q0). Comme q varie dans la vie réelle, on s’attendrait à ce que les conditions correspondantes en matière d’intrants varient aussi, au lieu de rester fixes.

On arrive aux mêmes conclusions par une autre méthode, qui repose sur l’hypothèse que la fonction d’agrégation du producteur prend cette forme quadratique et qui consiste à appliquer l’identité de Wold en supposant que les extrants sont homogènement peu séparables des autres produits de la fonction de production. Il apparaît alors que l’indice de quantités idéal de Fisher correspond exactement à un agrégateur quadratique homogène. En utilisant la règle du produit, la fonction de recettes unitaires peut être calculée pour donner des résultats analogues à l’indice des prix idéal de Fisher.

C’est Diewert qui a obtenu ce résultat (1976, p. 133–34) dans le contexte de la théorie du consommateur.

Notons que l’indice de Fisher PF est exact pour la fonction de recettes unitaires définie par l’équation (17.16). Ces deux fonctions d’agrégation d’extrants ne coïncident pas en général. Cependant, si la matrice N x N symétrique A des aik a une matrice inverse, on peut aisément démontrer que la matrice N x NB des bik sera égale à A−1.

Terminologie proposée par Diewert (1976, p. 129); cette forme fonctionnelle a été définie pour la première fois par Denny (1974) comme fonction de coût unitaire.

Cette méthode de justification de l’agrégation de produits est due à Shephard (1953, p. 61–71). On suppose que f(q) est une fonction croissante, positive et convexe de q pour des valeurs positives de q. Samuelson et Swamy (1974) et Diewert (1980, p. 438–42) ont aussi développé cette approche de la théorie des indices.

Voir Diewert (1976, p. 130).

Une fois encore, l’approche retenue repose sur une fonction de recettes unitaires. On pourrait aussi passer par la moyenne quadratique de l’indice de quantité superlatif d’ordre r. En utilisant la règle du produit, cette approche définit une moyenne quadratique implicite de l’indice de prix d’ordre r qui est aussi un indice superlatif.

Voir Diewert (1976, p. 133–34).

La fonction fr* peut être définie à l’aide de rr telle que: fr*(q)=maxp{Σi=1npiqi:rr(p)=1}.

Voir Hardy, Littlewood, and Polyá (1934). De fait, Allen et Diewert (1981. p. 434) ont obtenu eux aussi ce résultat (17.32), mais sans en saisir l’importance.

R.J. Hill (2000) montre que c’est le cas pour deux ensembles de données. Ses séries chronologiques sont des données annuelles sur les dépenses et les quantités pour 64 composantes du PIB des ÉtatsUnis sur la période 1977 à 1994. Pour cet ensemble de données, Hill (2000, p. 16) a trouvé que «les indices superlatifs peuvent différer d’un facteur de plus de deux (c’est-à-dire de plus de 100%), même si les indices de Fisher et de Törnqvist ne diffèrent jamais de plus de 0,6%».

Voir, par exemple, Diewert (1978, p. 894) ou Fisher (1922), qui est repris dans Diewert (1976, p. 135).

Pour les propriétés mathématiques d’une fonction de coût conditionnelle, voir McFadden (1978). Notons aussi que −Ct(px,y,z) a les mêmes propriétés mathématiques que la fonction de recettes Rt définie plus haut dans ce chapitre.

Ce concept d’indice des prix des intrants intermédiaires est analogue à l’indice des prix à l’importation défini dans Alterman, Diewert, and Feenstra (1999). Si le vecteur des intrants primaires est omis de l’équation (17.34), l’indice des prix des intrants intermédiaires qui en résulte est ramené à l’indice du coût de la production physique défini par Court et Lewis (1942–43, p. 30).

Le résultat d’exactitude translog de Caves, Christensen et Diewert est un peu plus général que celui obtenu plus tôt par Diewert et Morrison (1986, p. 668); Diewert et Morrison supposent que tous les termes quadratiques de l’équation (17.41) sont égaux durant les deux périodes considérées, tandis que Caves, Christensen et Diewert posent seulement que αmj0 = αmj1 pour tous les m,j.

Dans ce contexte, les prix des extrants sont remplacés par les prix des intrants intermédiaires, et le nombre de termes compris dans la somme définie par l’équation (17.10) passe de N à M.

La contrepartie de notre hypothèse de séparabilité de l’équation (17.15) est maintenant: z1 = Ft (y,x,z2,…,zK) = Gt (y,f(x),z2,…,zK) pour t = 0, 1, où la fonction d’agrégation des intrants intermédiaires f est linéaire, homogène et indépendante de t.

La fonction de profit πt a les mêmes propriétés mathématiques que la fonction de recettes Rt.

S’il n’y a pas d’intrants intermédiaires, ce concept se ramène à l’indice des prix des extrants à quantité d’intrants fixe d’Archibald (1977). Dans le cas où il n’y a pas de progrès technique entre les deux périodes, ce concept se ramène au déflateur des prix des extrants (nets) de Diewert (1980, p. 455–61). Diewert (1983a) considère le concept général, qui permet l’existence de progrès technique entre les périodes.

Pour obtenir cette inégalité, la valeur ajoutée hypothétique Σn=1N+Mpn0qn1=Σn=1Npyn0yn1Σm=1Mpxm0xm1 doit être positive pour établir l’inégalité dans (17.4). Si les périodes 0 et 1 sont assez éloignées dans le temps, ou si les prix des extrants ou des intrants intermédiaires évoluent de façon spectaculaire entre les deux périodes, cette valeur ajoutée hypothétique peut être négative. Dans ce cas, on peut essayer d’utiliser le principe du chaînage pour ventiler les amples variations des prix et des quantités survenues entre les périodes 0 et 1 en une série de variations plus petites. Si les changements sont plus petits, en effet, il y aura plus de chances que la série de valeurs ajoutées demeure positive. Cela semble cadrer avec l’avis de Burns (1930, p. 256) sur ce sujet. Bowley (1922, p. 256) montre qu’il est possible, dans certaines circonstances, que la valeur ajoutée nominale soit négative. Burns (1930, p. 257) observe que cette anomalie disparaît en général lorsque les établissements ou les secteurs d’activité sont agrégés à un niveau plus élevé.

Burns (1930, p. 244–47) observe que les déflateurs de la valeur ajoutée de Laspeyres, Paasche et Fisher pourraient être utilisés pour déflater la production ou la valeur ajoutée nette nominale en mesures réelles. Burns (1930, p. 247) note également qu’un agrégat de production idéal de Fisher construit comme le produit des indices de quantités de Laspeyres et de Paasche (méthode «des indices») donnerait la même réponse que la déflation du rapport des valeurs ajoutées nominales par l’indice des prix de Fisher («méthode de la déflation»).

La fonction d’agrégation des valeurs ajoutées qui correspond à l’équation (17.55) est maintenant fr (y,x). Pour cette forme fonctionnelle, toutes les quantités doivent être positives, de sorte que les prix des extrants doivent être réputés positifs et les prix des intrants intermédiaires négatifs pour que le résultat d’exactitude de l’équation (17.56) se vérifie. Pour la fonction de recettes nettes unitaires qui correspond maintenant à l’équation (17.27), tous les prix doivent être positifs, les quantités d’extrants positives et les quantités d’intrants intermédiaires négatives pour que le résultat d’exactitude de l’équation (17.29) se vérifie

La contrepartie de l’hypothèse de séparabilité de l’équation (17.15) est maintenant z1 = Ft (y,x,z2,…,zK) = Gt (f(y,x),z2,…,zK) pour t = 0,1, où la fonction d’agrégation des extrants et des intrants intermédiaires f est linéaire, homogène et indépendante de t. Ce type d’hypothèse a été posé initialement par Sims (1969). Sous l’hypothèse de séparabilité, la famille des déflateurs de la valeur ajoutée définie par l’équation (17.48) se simplifie et devient r(p1)/r(p0), où la fonction de recettes—nettes unitaires est définie par On notera que ces déflateurs sont indépendants des quantités. Toujours sous l’hypothèse de séparabilité, l’indice de quantités qui correspond à cet indice des prix de la valeur ajoutée réel est f(y1,x1)/f(y0,x0), et dépend donc uniquement des quantités. Sims (1977, p. 129) souligne que, si les mesures de la production nette réelle ne doivent dépendre que des vecteurs de quantités des extrants produits et des intrants intermédiaires utilisés, il est nécessaire alors de poser l’hypothèse de séparabilité. Étant donné que ce type d’hypothèse est très restrictif du point de vue empirique, les approches économiques de l’IPP ont été développées de manière à ne pas reposer sur des hypothèses de séparabilité.

Comme d’habitude, ce résultat peut être généralisé aux points d’approximation où p1 = α p0 et q1 = β q0; c’est-à-dire aux points où le vecteur des prix de la période 1 est proportionnel à celui de la période 0 et où le vecteur des quantités de la période 1 est proportionnel à celui de la période 0.

Pour une présentation des indices chaînés, voir section F du chapitre 15.

Okamoto (2001) développe aussi des arguments théoriques reposant sur les indices de Divisia pour montrer que les indices d’année intermédiaire pourraient donner une valeur approchée des indices superlatifs.

Rappelons que les indices de Marshall–Edgeworth ne sont pas à proprement parler superlatifs, mais qu’ils donnent d’ordinaire une approximation assez bonne de leurs contreparties, les indices superlatifs de Fisher, en utilisant des séries temporelles «normales».

Les méthodes d’indice d’année intermédiaire peuvent à l’évidence être considérées comme un moyen très simple d’estimer le vecteur de quantités de la période courante à partir d’une série temporelle de vecteurs de quantités antérieurs. Vues sous cet angle, ces méthodes pourraient être largement généralisées en utilisant des méthodes de prévision fondées sur des séries temporelles.

Okamoto (2001) observe que, dans la révision de l’IPC japonais en 2000, les indices d’année intermédiaire et les indices de Laspeyres chaînés seront ajoutés en tant qu’ensemble d’indices complémentaires de l’habituel indice des prix de Laspeyres à base fixe.

Voir, par exemple, Malmquist (1953, p. 227), Wold (1953. p. 134–47), Solow (1957), Jorgenson and Griliches (1967), et Hulten (1973). Pour une analyse globale des travaux sur les indices de prix et de quantités de Divisia, voir Balk (2000).

En reprenant les hypothèses de séparabilité (17.15).

L’échelle des fonctions d’agrégation des extrants et de recettes unitaires n’est pas déterminée uniquement par les équations diffé rentielles (15.67) et (15.68); cela veut dire que les fonctions pour f(q) et r(p) données peuvent être remplacées par αf(q) et (1/α)r(p) respectivement, et continuent de satisfaire aux équations (15.67) et (15.68) du chapitre 15.

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