Chapter

16. Approches axiomatiques et stochastiques de la théorie des indices

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
September 2009
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A. Introduction

16.1 Comme nous l’avons vu au chapitre 15, il est utile de pouvoir évaluer les diverses formules d’indice qui ont été proposées en fonction de leurs propriétés. S’il apparaissait que l’une de ces formules possède des propriétés non souhaitables, cela jetterait un doute sur l’utilité qu’elle pourrait présenter, en tant qu’indice cible, pour un office de statistique. L’analyse des propriétés mathématiques des formules d’indice débouche sur l’approche par les tests, ou approche axiomatique, de la théorie des indices, qui consiste à proposer des propriétés souhaitables d’une formule d’indice, puis à déterminer s’il existe des formules qui possèdent ces propriétés ou satisfont à ces tests. Dans l’idéal, les tests proposés doivent à la fois correspondre à des propriétés souhaitables et déterminer complètement la forme fonctionnelle de la formule.

16.2 L’approche axiomatique de la théorie des indices suppose des choix à deux niveaux. Il faut en effet

  • déterminer le cadre de l’indice;

  • et décider, une fois ce cadre arrêté, quels tests ou quelles propriétés doivent être imposés à l’indice.

Le second point va de soi: les statisticiens peuvent avoir des idées différentes sur l’importance relative des différents tests, et les diverses séries d’axiomes possibles peuvent conduire à diverses meilleures formes fonctionnelles d’indice. C’est un point qu’il faudra garder à l’esprit tout au long du présent chapitre, car il n’y a pas de consensus universel sur la meilleure série d’axiomes raisonnables. L’approche axiomatique peut donc déboucher sur plus d’une meilleure formule d’indice.

16.3 Le premier point appelle en revanche un examen plus approfondi. Au chapitre précédent, l’accent a été mis pour l’essentiel sur la théorie des indices bilatéraux; autrement dit, on a posé en hypothèse que les prix et quantités des mêmes n produits étaient donnés pour deux périodes et que la formule d’indice avait pour objet de comparer le niveau global des prix dans les deux périodes. Dans ce cadre, les deux séries de vecteurs des prix et des quantités étaient considérées comme des variables que l’on pouvait faire évoluer indépendamment de telle sorte que, par exemple, les variations des prix d’une période n’influencent pas les prix de l’autre période ou les quantités de l’une ou de l’autre période. L’accent était mis sur la comparaison du coût total d’un panier fixe de quantités dans les deux périodes, ou sur les moyennes de tels indices de panier type. C’est un exemple de cadre d’indice.

16.4 Mais d’autres cadres d’indice sont possibles. Ainsi, au lieu de décomposer un ratio de valeurs en un terme représentant la variation des prix entre les deux périodes multiplié par un autre terme représentant la variation des quantités, on peut essayer de décomposer un agrégat en valeur pour une période en un nombre unique représentant le niveau des prix dans la période multiplié par un autre nombre représentant le niveau des quantités dans la période. Dans la première variante de cette approche, l’indice des prix est supposé être une fonction des n prix des produits se rapportant à cet agrégat dans la période considérée, et l’indice des quantités est supposé être une fonction des n quantités des produits se rapportant à l’agrégat dans cette même période. La fonction d’indice de prix qui en résulte est qualifiée d’indice absolu par Frisch (1930, p. 397), de niveau des prix par Eichhorn (1978, p. 141) et d’indice des prix unilatéral par Anderson, Jones et Nesmith (1997, p. 75). Dans une seconde variante de cette approche, on laisse les fonctions de prix et de quantité dépendre à la fois des vecteurs des prix et des quantités se rapportant à la période considérée1. Ces deux variantes de la théorie des indices unilatéraux seront examinées à la section B2.

16.5 Les autres approches évoquées dans ce chapitre sont très largement des approches bilatérales, ce qui veut dire que les prix et quantités d’un agrégat sont comparées pour deux périodes. Aux sections C et E, l’approche adoptée est celle de la décomposition d’un rapport de valeurs3. À la section C, les indices des prix et des quantités bilatéraux, P(p0,p1,q0,q1) et Q(p0,p1,q0,q1), sont considérés comme des fonctions des vecteurs des prix se rapportant aux deux périodes, p0 et p1, et des deux vecteurs des quantités, q0 et q1. Non seulement les axiomes ou les tests auxquels est soumis l’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) font apparaître des propriétés d’indice raisonnable, mais certains tests ont été conçus, dès l’origine, comme des tests raisonnables pour l’indice des quantités Q(p0,p1,q0,q1). L’approche présentée à la section C détermine simultanément les meilleurs indices des prix et des quantités.

16.6 À la section D, l’attention se porte sur les rapports de prix des n produits entre les périodes 0 et 1, ri = pi1/pi0 pour i = 1,…,n. Dans l’approche stochastique non pondérée de la théorie des indices, l’indice de prix est considéré comme une moyenne symétrique des n rapports de prix, ri. Carli (1804, publié initialement en 1764) et Jevons (1863; 1865) ont été les pionniers de cette approche de la théorie des indices, Carli utilisant la moyenne arithmétique des rapports de prix et Jevons la moyenne géométrique (mais il a aussi pris en considération la moyenne harmonique). Cette approche de la théorie des indices sera examinée à la section D.1. Elle est compatible avec une approche statistique considérant chaque rapport de prix ri comme une variable aléatoire de moyenne égale à l’indice des prix sousjacent.

16.7 L’un des principaux problèmes liés à l’approche de la théorie des indices par la moyenne non pondérée des rapports de prix est que celle-ci ne prend pas en compte l’importance économique des différents produits composant l’agrégat. Arthur Young (1812) a effectivement préconisé une certaine forme de pondération approximative des rapports de prix en fonction de leur valeur relative sur la période considérée, mais sans donner de précisions sur la forme de pondération en valeurs requise4. Cependant, c’est Walsh (1901, p. 83–121; 1921a, p. 81–90), qui a souligné qu’il importe de pondérer les différents rapports de prix en fonction des valeurs associées des produits dans chaque période et de traiter chaque période de façon symétrique dans le cadre de la formule qui en résulte:

Nous cherchons ici à calculer la moyenne des variations de la valeur d’échange d’une somme monétaire totale donnée par rapport à plusieurs classes de biens, auxquelles plusieurs variations [les rapports de prix] doivent se voir assigner des pondérations proportionnelles aux tailles relatives des classes. Il faut donc prendre en considération les tailles relatives des classes aux deux périodes (Correa Moylan Walsh, 1901, p. 104).

Chaque produit doit être pondéré en fonction de son importance, ou de sa valeur totale. Mais le problème de l’axiométrie implique toujours deux périodes au moins: une première période, puis une seconde à laquelle la première est comparée. Entre les deux, des mouvements de prix ont lieu5 et il faut en faire la moyenne pour déterminer l’ampleur globale de la variation des prix. Mais les pondérations des produits dans la seconde période peuvent être différentes de celles utilisées dans la première période. Quelles sont alors les bonnes pondérations, celles de la première période ou celles de la seconde? Faut-il opter pour une combinaison des deux? Comme il n’y a aucune raison de préférer la première ou la seconde, une combinaison des deux semblerait être la bonne solution. Et cette combinaison elle-même implique que l’on fasse la moyenne des pondérations des deux périodes (Correa Moylan Walsh (1921a, p. 90).

16.8 Walsh a donc été le premier à examiner en profondeur les problèmes plutôt complexes6 qui se posent lorsque l’on doit décider comment pondérer les rapports de prix afférents à un agrégat en tenant compte de l’importance économique des produits dans les deux périodes considérées. Notons que le type de formule d’indice qu’il examine se présente sous la forme P(r,v0,v1), où r est le vecteur des rapports des prix ayant pour ie composante ri = pi1/pi0, et vt est le vecteur des valeurs de la période de t ayant pour ième composante vit = pit/qit pour t = 0,1. La solution qu’il propose à ce problème de pondération n’est pas complètement satisfaisante, mais a pour mérite au moins de suggérer un cadre utile d’indice des prix: la moyenne pondérée des valeurs des n rapports de prix. La première solution satisfaisante du problème des pondérations est celle donnée par Theil (1967, p. 136–37), qui est examinée à la section D.2.

16.9 On peut voir que l’une des approches de la théorie des indices retenues par Walsh7 était une tentative visant à déterminer la meilleure moyenne pondérée des rapports de prix, ri. Elle équivaut à utiliser une approche axiomatique pour essayer de déterminer le meilleur indice de forme P(r,v0,v1). Cette méthode sera examinée à la section E ci-après8.

16.10 Rappelons que les indices de Young et de Lowe ont été examinés au chapitre 15. Ces indices ne rentrent pas précisément dans le cadre bilatéral, car les pondérations en valeur ou en quantités utilisées dans ces indices ne correspondent pas forcément aux valeurs ou quantités qui se rapportent à l’une ou l’autre des périodes correspondant aux vecteurs des prix p0 et p1. Les propriétés axiomatiques de ces deux indices par rapport à leurs variables de prix sont étudiées à la section F.

B. L’approche de la théorie des indices par les niveaux

B.1 Approche axiomatique des indices de prix unilatéraux

16.11 Soit pit et qit les prix et quantités du produit n dans la période t, pour i = 1,2,…,n et t = 0,1,…,T. La variable qit est interprétée comme le montant total du produit i acheté ou vendu dans la période t. Pour conserver la valeur des transactions, il est nécessaire que pit soit défini sous forme de valeur unitaire, c’està-dire égal à la valeur des transactions relatives au produit i pour la période t divisée par la quantité totale achetée ou vendue, qit. En principe, la période devrait être choisie de façon à ce que les variations des prix du produit au cours d’une période soient très faibles comparées à leurs variations entre deux périodes9. Pour t = 0,1,…,T, et i = 1,…,n, définissons la valeur des transactions relatives au produit i de la façon suivante: vit = pitqit, et définissons la valeur totale des transactions dans la période t comme suit:

16.12 Si l’on utilise la notation susmentionnée, la version du problème des indices dans l’optique des niveaux se définit comme suit: pour t = 0,1,…,T, trouvons des nombres scalaires Pt et Qt tels que

16.13 Le nombre Pt est interprété comme un niveau global des prix pour la période t, et le nombre Qt comme un niveau global des quantités pour la période t. On pose que le niveau global de prix Pt est une fonction du vecteur des prix pour la période t: pt. On pose aussi que le niveau global des quantités Qt est une fonction du vecteur des quantités pour la période t, qt; il en résulte que:

16.14 Les fonctions c et f doivent être déterminées d’une manière ou d’une autre. Notons que l’équation (16.3) suppose que les formes fonctionnelles de la fonction d’agrégation des prix c et de la fonction d’agrégation des quantités f soient indépendantes du temps. C’est une condition raisonnable puisqu’il n’y a pas de raison de changer la méthode d’agrégation à mesure que le temps passe.

16.15 Si l’on introduit les équations (16.3) et (16.2) dans l’équation (16.1) et si l’on supprime les indices inférieurs t, cela signifie que c et f doivent vérifier l’équation fonctionnelle suivante pour tous les vecteurs de prix et de quantités strictement positifs:

pour tous les pi > 0 et tous les qi > 0.

16.16 Il est naturel de poser en hypothèse que les fonctions c(p) et f(q) sont positives si tous les prix et toutes les quantités le sont aussi:

pour tous les pi > 0 et tous les qi > 0.

16.17 Posons que 1n représente le vecteur unitaire de dimension n. Alors, l’équation (16.5) implique que lorsque p = 1n, c(1n) est un nombre positif, a par exemple, et que lorsque q = 1n,f (1n) est aussi un nombre positif, b par exemple; autrement dit, l’équation (16.5) implique que c et f satisfont aux conditions suivantes:

16.18 Posons que p = 1n et introduisons la première expression de l’équation (16.6) dans l’équation (16.4) pour obtenir l’équation suivante:

16.19 Posons maintenant q = 1n et introduisons la seconde partie de l’équation de (16.6) dans l’équation (16.4) pour obtenir l’équation suivante:

16.20 Introduisons enfin les équations (16.7) et (16.8) dans le membre de gauche de l’équation (16.4) pour obtenir l’équation suivante:

pour tous les pi > 0 et tous les qi > 0. Si n est supérieur à un, il est évident que l’équation (16.9) ne peut être vérifiée pour tous les vecteurs p et q strictement positifs. Si le nombre de produits n est supérieur à 1, il n’existe donc pas de fonctions c et f vérifiant les équations (16.4) et (16.5)10.

16.21 En conséquence, cette approche de la théorie des indices par le test des niveaux connaît une conclusion brutale: il est vain de chercher des fonctions de niveau des prix et des quantités, Pt = c(pt) et Qt = f(qt), vérifiant les équations (16.2) ou (16.4) et satisfaisant aussi aux conditions très raisonnables de positivité de l’équation (16.5).

16.22 Notons que la fonction d’indice des prix en niveau, c(pt), ne dépendait pas du vecteur des quantités correspondant qt et que la fonction d’indice des quantités en niveau, f(qt), ne dépendait pas du vecteur des prix pt. C’est peut-être l’explication du résultat plutôt négatif obtenu plus haut. Dans la section suivante, les fonctions des prix et les quantités seront par conséquent autorisées à être fonction à la fois de pt et de qt.

B.2 Seconde approche axiomatique des indices des prix unilatéraux

16.23 Notre objectif, dans cette section, est de trouver des fonctions de 2n variables, c(p,q) et f(p,q), telles que la contrepartie suivante de l’équation (16.4) se vérifie:

pour tous les pi > 0 et tous les qi > 0.

16.24 Là encore, il est naturel de poser en hypothèse que les fonctions c(p,q) et f(p,q) sont positives si tous les prix et toutes les quantités le sont aussi:

si tous les pi > 0 et tous les qi > 0.

16.25 Le cadre ainsi posé ne fait pas la distinction entre les fonctions c et f, de sorte qu’il est nécessaire de demander que ces fonctions possèdent certaines propriétés raisonnables. La première propriété exigée de c est que cette fonction soit homogène de degré 1 dans ses composantes de prix:

Si tous les prix sont multipliés par un nombre positif λ alors l’indice des prix qui en résulte est égal à λ fois l’indice des prix initial. On demande de même que l’indice des quantités f soit linéaire homogène, c’est-à-dire que f soit homogène de degré 1 dans ses composantes de quantité:

16.26 Notons que les propriétés des équations (16.10), (16.11) et (16.13) impliquent que l’indice des prix c(p,q) possède la propriété d’homogénéité suivante dans les composantes de q:

c(p,q) est donc homogène de degré 0 dans ses composantes de q.

16.27 La dernière propriété exigée de l’indice des prix en niveau c(p,q) est la suivante. Supposons que les di soient des nombres positifs donnés. On demande alors que l’indice des prix soit invariant à la modification des unités de mesure pour les n produits, de sorte que la fonction c(p,q) présente la propriété suivante:

16.28 On peut montrer maintenant que les propriétés des équations (16.10), (16.11), (16.12), (16.14) et (16.15) de la fonction de niveaux de prix c(p,q) sont incompatibles, c’est-à-dire qu’il n’existe aucune fonction de 2n variables c(p,q) possédant ces propriétés très raisonnables11.

16.29 Pour comprendre pourquoi il en est ainsi, appliquons l’équation (16.15), en posant di = qi pour chaque i, de façon à obtenir l’équation suivante:

Si c(p,q) possède la propriété d’homogénéité linéaire dans l’équation (16.12), de sorte que c(λ p,q) = λc(p,q), l’équation (16.16) implique alors que c(p,q) soit aussi linéaire homogène pour q, de sorte que c(p,L q) = λc(p,q). Toutefois, cette dernière équation contredit l’équation (16.14), ce qui établit le résultat d’impossibilité.

16.30 Les résultats plutôt négatifs obtenus à la section B.1 et dans la présente section montrent qu’il est vain de poursuivre l’approche axiomatique de la détermination des niveaux des prix et des quantités dans laquelle les vecteurs des prix et des quantités sont considérés tous deux comme des variables indépendantes12. Dans les sections suivantes de ce chapitre, nous poursuivrons donc une approche des indices de prix bilatéraux se présentant sous la forme P(p0,p1,q0,q1).

C. Première approche axiomatique des indices des prix bilatéraux

C.1 Les indices bilatéraux et certains tests initiaux

16.31 Dans cette section, nous poserons en hypothèse que la formule d’indice bilatéral des prix, P(p0,p1,q0,q1), satisfait à un nombre de tests ou de propriétés raisonnables suffisant pour que la forme fonctionnelle de P soit déterminée13. Le terme bilatéral14 fait référence à l’hypothèse que la fonction P dépend seulement des données se rapportant aux deux situations ou périodes comparées, ce qui veut dire que P est considéré comme une fonction des deux séries de vecteurs des prix et des quantités, (p0,p1,q0,q1), qui seront agrégés en un nombre unique résumant la variation globale des n rapports de prix, p11/p10,…, pn1/pn0.

16.32 Nous adopterons l’approche de la théorie des indices par la décomposition d’un rapport de valeurs. Cela veut dire que l’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) s’accompagnera d’un indice des quantités Q(p0,p1,q0,q1) tel que le produit des deux indices sera égal au rapport de valeurs entre les deux périodes15. Tout au long de cette section, il est donc supposé que P et Q satisfont au test de factorité suivant:

Les valeurs de la période t, Vt, pour t = 0,1 sont définies par l’équation (16.1). L’équation (16.17) signifie que, dès que la forme fonctionnelle de l’indice des prix P est déterminée, l’équation (16.17) peut être utilisée pour déterminer la forme fonctionnelle de l’indice des quantités Q. L’hypothèse selon laquelle le test de factorité est vérifié présente toutefois un autre avantage: si l’indice des quantités Q est soumis à un test raisonnable, l’équation (16.17) peut être utilisée pour transformer ce test sur l’indice des quantités en test sur l’indice des prix P16.

16.33 Si n = 1, de sorte qu’il n’y ait qu’un seul prix et qu’une seule quantité à agréger, le candidat naturel pour P est p11/p10, rapport unique de prix, et le candidat naturel pour Q est q11/q10, rapport unique de quantités. Lorsque le nombre de produits élémentaires à agréger est supérieur à 1, les théoriciens des indices proposent traditionnellement une série de propriétés que l’indice des prix P doit présenter, ou de tests auxquels il doit satisfaire. Ces propriétés correspondent en général à des équivalents pluridimensionnels de la formule d’indice des prix d’un produit unique, p11/p10. On trouvera aux sections C.2 à C.6 une liste de 20 tests qui caractérisent l’indice des prix idéal de Fisher.

16.34 On supposera que chaque composante de chaque vecteur des prix et des quantités est positive, c’est-à-dire que pt > > 0n et qt > > 0n17 pour t = 0,1. Si l’on souhaite que q0 = q1, le vecteur des quantités commun est q; si l’on souhaite que p0 = p1, le vecteur des prix commun est p.

16.35 Les deux premiers tests ne prêtent guère à controverse, et ne feront donc pas l’objet d’un examen approfondi.

T1: Positivité18: P(p0,p1,q0,q1) > 0.

T2: Continuité19: P(p0,p1,q0,q1) est une fonction continue de ses arguments.

16.36 Les deux tests suivants sont un peu plus controversés.

T3: Test d’identité ou des prix constants20: P(p,p,q0,q1) = 1.

16.37 Cela signifie que, si le prix de chaque produit est identique durant les deux périodes, l’indice des prix devrait être est égal à l’unité, quels que soient les vecteurs des quantités. La controverse tient au fait que, dans ce test, on accepte que les deux vecteurs des quantités puissent être différents21.

T4: Test de panier type ou des quantités constantes22:

P(p0,p1,q,q)=Σi=1npi1qin.

Cela signifie que si les quantités sont constantes durant les deux périodes, de sorte que q0 = q1 = q, l’indice des prix devrait être égal aux recettes tirées du panier type constant dans la période 1 Σi=1npi1qi, divisées par les recettes tirées du panier dans la période 0, Σi=1npi0qi.

16.38 Si l’indice des prix P satisfait au test T4 et si P et Q satisfont ensemble au test de factorité donné par l’équation (16.17) ci-dessus, il est facile de démontrer23 que Q doit satisfaire au test d’identité Q(p0,p1,q,q) = 1 pour tous les vecteurs p0,p1,q strictement positifs. Ce test des quantités constantes pour Q fait lui aussi l’objet de controverses, car on accepte que p0 et p1 puissent être différents.

C.2 Tests d’homogénéité

16.39 Les quatre tests suivants limitent le comportement de l’indice des prix P lorsque l’échelle d’un des quatre vecteurs p0,p1,q0,q1 est modifiée.

T5: Proportionnalité aux prix courants24:

P(p0, λ p1,q0,q1) = λ P(p0,p1,q0,q1) pour λ > 0.

16.40 Cela signifie que, si tous les prix de la période 1 sont multipliés par le nombre positif λ, le nouvel indice des prix est égal à λ fois l’ancien. Autrement dit, la fonction d’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) est (positivement) homogène de degré 1 pour les composantes du vecteur des prix de la période 1, p1. La plupart des théoriciens de l’indice des prix estiment qu’il s’agit là d’une propriété fondamentale que la formule d’indice doit satisfaire.

16.41Walsh (1901) et Fisher (1911, p. 418; 1922, p. 420) proposent un test connexe, le test de proportionnalité P(p, λ p,q0,q1) = λ, qui est une combinaison de T3 et T5; Walsh (1901, p. 385) observe en fait que ce test implique le test d’identité, T3.

16.42 Dans le test suivant, au lieu de multiplier tous les prix de la période 1 par le même nombre, on multiplie tous les prix de la période 0 par le nombre.

T6: Proportionnalité inverse aux prix de la période de référence25:

P(L p0,p1,q0,q1) = L−1P(p0,p1,q0,q1) pour λ > 0.

Cela signifie que, si tous les prix de la période 0 sont multipliés par le nombre positif λ, le nouvel indice des prix est égal à 1/λ fois l’ancien. Autrement dit, la fonction d’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) est (positivement) homogène de degré –1 dans les composantes du vecteur des prix de la période 0, p0.

16.43 Les deux tests d’homogénéité suivants peuvent aussi être considérés comme des tests d’invariance.

T7: Invariance à la modification proportionnelle des quantités de la période courante: P(p0,p1,q0, λ q1) = P(p0,p1,q0,q1) pour tous les λ > 0.

Cela signifie que, si toutes les quantités de la période courante sont multipliées par le nombre λ, l’indice des prix reste inchangé. Autrement dit, la fonction d’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) est (positivement) homogène de degré 0 pour les composantes du vecteur des quantités de la période 1, q1. Vogt (1980, p. 70) a été le premier à proposer ce test26, et la dérivation qu’il suggère n’est pas sans intérêt. Supposons que l’indice des quantités Q satisfasse à l’équivalent (pour les quantités) du test de prix T5, c’est-à-dire que Q soit tel que Q(p0,p1,q0, λ q1) = λ Q(p0,p1,q0,q1) pour λ > 0. On peut voir alors, en utilisant le test de factorité de l’équation (16.17), que P doit satisfaire au test T7.

T8:Invariance à la modification proportionnelle des quantités de la période de référence27:

P(p0,p1,L q0,q1) = P(p0,p1,q0,q1) pour tous les λ > 0.

Cela signifie que, si les quantités de la période de référence sont toutes multipliées par le nombre λ, l’indice des prix reste inchangé. Autrement dit, la fonction d’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) est (positivement) homogène de degré 0 pour les composantes du vecteur des quantités de la période 0, q0. Si l’indice des quantités Q satisfait à la contrepartie suivante du test T8: Q(p0,p1, λ q0,q1) = λ−1Q(p0,p1,q0,q1) pour tous les λ > 0, alors, en utilisant l’équation (16.17), l’indice des prix correspondant P doit satisfaire au test T8. Cet argument apporte une justification supplémentaire à l’hypothèse de la validité du test T8 pour la fonction d’un indice des prix P.

16.44 Les tests T7 et T8 imposent ensemble la propriété selon laquelle l’indice des prix p ne dépend pas de l’ampleur absolue des vecteurs des quantités q0 et q1.

C.3 Test d’invariance et de symétrie

16.45 Les cinq tests suivants sont des tests d’invariance ou de symétrie. Fisher (1922, pp. 62–63, 458–60) et Walsh (1901, p. 105; 1921b, p. 542) semblent avoir été les premiers chercheurs à se rendre compte de l’importance de ce type de tests. Fisher (1922, p. 62–63) a parlé d’équité, mais il est clair qu’il avait à l’esprit les propriétés de symétrie. Il est peut-être dommage qu’il n’ait pas pris conscience du fait qu’il existait davantage de propriétés de symétrie et d’invariance qu’il n’en proposait lui-même. S’il l’avait compris, il aurait probablement été en mesure de donner une caractérisation axiomatique pour son indice idéal des prix, comme nous le ferons à la section C.6. Le premier test d’invariance est que l’indice des prix devrait rester inchangé si l’on modifie l’ordre des produits:

T9:Test d’inversion des produits (invariance à la modification de l’ordre des produits):

P(p0*,p1*,q0*,q1*) = P(p0,p1,q0,q1)

pt* représente une permutation des composantes du vecteur pt et qt* la même permutation des composantes de qt pour t = 0,1. Ce test, qui est dû à Irving Fisher (1922, p. 63)28, est l’un de ses trois fameux tests de réversibilité. Les deux autres sont le test de réversibilité temporelle et le test de factorité, qui seront examinés ci-après.

16.46 Le test suivant exige que l’indice soit invariant à la modification des unités de mesure.

T10: Invariance à la modification des unités de mesure (test de commensurabilité):

P1p10,…, αnpn0; α1p11,…, αnp11; α1−1q10,…, αn−1qn0; α1−1q11,…, αn−1qn1) = P(p10,…,pn0; p11,…,pn1; q10,…,qn0; q11,…,qn1) pour tous les α1 > 0, …, αn > 0.

Cela signifie que l’indice ne change pas si les unités de mesure de chaque produit sont modifiées. Ce concept a été élaboré par Jevons (1863, p. 23) et par l’économiste néerlandais Pierson (1896, p. 131), qui reprochait à plusieurs formules d’indice de ne pas satisfaire à ce test fondamental. Fisher (1911, p. 411) a d’abord parlé de test de modification des unités, avant de le rebaptiser test de commensurabilité (Fisher (1922, p. 420).

16.47 Le test suivant exige que la formule soit invariante à la période choisie comme période de référence.

T11: Test de réversibilité temporelle:P(p0,p1,q0,q1) = 1/P(p1,p0,q1,q0).

Cela signifie que, si les données pour les périodes 0 et 1 sont interverties, l’indice des prix qui en résulte devrait être l’inverse de l’indice des prix initial. Dans le cas où il n’existe qu’un seul produit et où l’indice des prix est le simple rapport de prix, le test de réversibilité temporelle sera satisfait (ainsi que tous les autres tests énumérés dans cette section). Lorsque le nombre de produits considérés est supérieur à un, beaucoup d’indices des prix communément utilisés ne satisfont pas à ce test; c’est le cas, par exemple, de l’indice de prix de Laspeyres (1871), PL défini par l’équation (15.5) du chapitre 15, et de l’indice de prix de Paasche (1874), PP, défini par l’équation (15.6) du chapitre 15, qui ne satisfont ni l’un ni l’autre ce test fondamental. Le concept a été mis au point par Pierson (1896, p. 128), qui était si contrarié par le fait que de nombreuses formules d’indice communément utilisées ne satisfaisaient pas à ce test qu’il a proposé d’abandonner totalement ce concept. Le test a été établi de façon plus formelle par Walsh (1901, p. 368; 1921b, p. 541) et Fisher (1911, p. 534; 1922, p. 64).

16.48 Les deux tests suivants sont plus controversés, car ils ne sont pas nécessairement compatibles avec l’approche économique de la théorie des indices. Ils n’en sont pas moins compatibles avec l’approche stochastique pondérée de la théorie des indices qui sera examinée plus loin dans ce chapitre.

T12: Test d’inversion des quantités (test de symétrie des pondérations en quantités):

P(p0,p1,q0,q1) = P(p0,p1,q1,q0).

Cela veut dire que, si les vecteurs des quantités pour les deux périodes sont intervertis, l’indice des prix reste invariant. Cette propriété signifie que les quantités utilisées pour pondérer les prix d’une formule d’indice, q0 de la période 0 et q1 de la période 1, doivent être entrées dans la formule d’une manière symétrique ou égale. Funke et

Voeller (1978, p. 3) ont proposé ce test, qu’ils ont appelé propriété de pondération.

16.49 Le test suivant est l’analogue du test T12 appliqué aux indices des quantités:

T13: Test d’inversion des prix(test de symétrie des pondérations des prix)29:

Si nous utilisons l’équation (16.17) pour définir l’indice des quantités Q en fonction de l’indice des prix P, on peut voir que le test T13 est équivalent à la propriété suivante, pour l’indice des quantités associé Q:

Cela signifie que, si les vecteurs des prix pour les deux périodes sont intervertis, l’indice des quantités reste invariant. Par conséquent, si les prix du même produit dans les deux périodes sont utilisés pour pondérer les quantités dans le cadre de l’établissement de l’indice des quantités, la propriété T13 implique que ces prix soient entrés dans l’indice des quantités de manière symétrique.

C.4 Tests de la valeur moyenne

16.50 Les trois tests suivants sont des tests de la valeur moyenne.

T14:Test de la valeur moyenne pour les prix30:

Cela signifie que l’indice des prix se situe entre le rapport de prix minimum et le rapport de prix maximum. Étant donné que l’indice des prix est censé être interprété comme un type de moyenne des n rapports de prix, pi1/pi0, il semble essentiel que l’indice des prix P satisfasse à ce test.

16.51 Le test suivant est l’analogue du test T14 appliquée aux indices des quantités:

T15:Test de la valeur moyenne pour les quantités31:

Vt est la valeur à la période t de l’agrégat défini par l’équation (16.1) ci-dessus. Si l’on utilise le test de produit de l’équation (16.17) pour définir l’indice des quantités Q en fonction de l’indice des prix P, on peut voir que le test T15 est équivalent à la propriété suivante, pour l’indice des quantités associé Q:

Cela signifie que l’indice implicite des quantités Q défini par P se situe entre les taux de croissance minimum et maximum qi1/qi0 des différentes quantités.

16.52 À la section C du chapitre 15, on soutient qu’il est tout à fait raisonnable de prendre la moyenne des indices de prix de Laspeyres et de Paasche comme meilleure mesure unique de la variation globale des prix. Ce point de vue peut être transformé en test:

T16:Test de limitation par les indices de Paasche et de Laspeyres32:

L’indice des prix P se situe entre les indices de Laspeyres et de Paasche, PL et PP, définis par les équations (15.5) et (15.6) du chapitre 15.

Il serait possible de proposer un test dans lequel l’indice implicite des quantités Q qui correspond à P via l’équation (16.17) doit se situer entre les indices de quantités de Laspeyres et de Paasche, QP et QL, définis par les équations (15.10) et (15.11) au chapitre 15. Il apparaît cependant que le test qui en résulte est l’équivalent du test T16.

C.5 Tests de monotonie

16.53 Les quatre derniers tests sont des tests de monotonie, qui indiquent comment l’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) devrait évoluer en cas d’augmentation de l’une des composantes des deux vecteurs des prix p0 et p1 ou des deux vecteurs des quantités, q0 et q1.

T17: Monotonie aux prix courants:

P(p0,p1,q0,q1) < P(p0,p2,q0,q1) si p1 < p2.

Cela signifie que, si un prix de la période 1 augmente, l’indice des prix doit augmenter, de sorte que P(p0,p1,q0,q1) est croissant dans les composantes de p1. Cette propriété a été proposée par Eichhorn et Voeller (1976, p. 23), et il est tout à fait raisonnable qu’un indice des prix doive la posséder.

T18: Monotonie aux prix de la période de référence: P(p0,p1,q0,q1) > P(p2,p1,q0,q1) si p0 < p2.

Cela signifie que, si un prix de la période 0 augmente, l’indice des prix doit diminuer, de sorte que P(p0,p1,q0,q1) est décroissant dans les composantes de p0. Cette propriété très raisonnable a aussi été proposée par Eichhorn et Voeller (1976, p. 23).

T19: Monotonie aux quantités courantes: si q1 < q2, alors

T20: Monotonie aux quantités de la période de référence: si q0 < q2, alors

16.54 Soit Q l’indice implicite des quantités qui correspond à P quand on utilise l’équation (16.17). Il apparaît qu’alors, le test T19 se transforme en l’inégalité suivante, dans laquelle figure Q:

Cela signifie que, si une quantité de la période 1 augmente, l’indice implicite des quantités Q, qui correspond à l’indice des prix P, doit augmenter. De même, nous trouvons que le test T20 se transforme en:

Cela signifie que, si une quantité de la période 0 augmente, l’indice implicite des quantités Q doit diminuer. Les tests T19 et T20 sont dus à Vogt (1980, p. 70).

16.55 Ainsi s’achève la liste des tests. La section suivante pose la question de savoir s’il existe une formule d’indice P(p0,p1,q0,q1) satisfaisant aux 20 tests.

C.6 L’indice idéal de Fisher et la méthode des tests

16.56 Il est possible de démontrer que la seule formule d’indice P(p0,p1,q0,q1) qui satisfasse aux tests T1–T20 est l’indice de prix idéal de Fisher PF, défini comme la moyenne géométrique des indices de Laspeyres et de Paasche33:

Pour prouver cette assertion, il est relativement simple de montrer que l’indice de Fisher satisfait aux 20 tests.

16.57 La partie la plus délicate de la démonstration est de prouver que c’est la seule formule d’indice susceptible de le faire. Cette partie de la preuve découle du fait que, si P satisfait au test de positivité T1 et aux trois tests de réversibilité T11–T13, alors P doit être égal à PF. Pour le démontrer, réarrangeons les termes de l’énoncé du test T13 sous la forme de l’équation suivante:

en utilisant T12, test de réversibilité des quantités

= P(p0,p1,q0,q1)P(p0,p1,q0,q1),

en utilisant T11, test de réversibilité temporelle.

Prenons maintenant les racines carrées positives des deux membres de l’équation (16.28). On peut voir que le membre de gauche de l’équation est l’indice de Fisher PF(p0,p1,q0,q1) défini par l’équation (16.27), et que le membre de droite est P(p0,p1, q0, q1). C’est pourquoi, si P satisfait à T1, T11, T12 et T13, il doit être égal à l’indice idéal de Fisher, PF.

16.58 L’indice des quantités qui correspond à l’indice de prix de Fisher quand on utilise le test de factorité dans l’équation (16.17) est QF, indice de quantités de Fisher défini par l’équation (15.14) au chapitre 15.

16.59 Il apparaît que PF satisfait encore à un autre test, T21, troisième test de réversibilité d’Irving Fisher (1921, p. 534; 1922, p. 72–81) (les deux autres étant les tests T9 et T11):

T21: Test de factorité complet (test de symétrie des formes fonctionnelles):

Ce test peut se justifier de la façon suivante: supposons que P(p0,p1, q0, q1) est une bonne forme fonctionnelle pour l’indice des prix; si l’on intervertit les rôles des prix et des quantités,P (q0, q1,p0, p1) devrait être une bonne forme fonctionnelle d’indice des quantités (argument qui semble correct). Par conséquent, le produit de l’indice des prix P(q0, q1,p0, p1) et de l’indice des quantités Q(q0, q1, p0, p1) = P(q0, q1,p0, p1) devrait être égal au rapport des valeurs, V1 / V0. La seconde partie de cet argument ne semble pas valable; aussi, au fil des ans, de nombreux chercheurs ont-ils émis des critiques à l’encontre du test de factorité complet. Quoi qu’il en soit, Funke et Voeller (1978, p. 180) ont montré que si l’on accepte T21 comme test de base, alors la seule fonction d’indice P(q0,q1,p0,p1) qui satisfasse aux tests T1 (positivité), T11 (réversibilité temporelle), T12 (inversion des quantités) et T21 (factorité complet) est l’indice idéal de Fisher PF défini par l’équation (16.27). Le test d’inversion des prix T13 peut donc être remplacé par le test de factorité afin d’obtenir un ensemble minimum de quatre tests qui conduise à l’indice de prix de Fisher34.

C.7 Performances des autres indices face aux tests

16.60 L’indice de prix de Fisher PF satisfait à la totalité des 20 tests énumérés aux sections C.1 à C.5. À quels tests satisfont les autres indices de prix communément utilisés? Reprenons l’indice de Laspeyres PL défini par l’équation (15.5), l’indice de Paasche PP défini par l’équation (15.6), l’indice de Walsh PW défini par l’équation (15.19) et l’indice de Törnqvist PT défini par l’équation (15.81) au chapitre 15.

16.61 Des calculs simples montrent que les indices de prix de Paasche et de Laspeyres, PL et PP, échouent seulement aux trois tests de réversibilité, T11, T12 et T13. Étant donné que les tests d’inversion des quantités et des prix, T12 et T13, sont quelque peu controversés et que l’on peut donc ne pas en tenir compte, les performances de PL et PP face aux tests semblent à première vue satisfaisantes. Toutefois, le fait que ces indices ne satisfont pas au test de réversibilité temporelle, T11, en limite très sérieusement l’utilisation.

16.62 L’indice de prix de Walsh, PW, échoue à quatre tests: le test d’inversion des prix (T13), le test de limitation par les indices de Paasche et de Laspeyres (T16), le test de monotonie aux quantités de la période courante (T19) et le test de monotonie aux quantités de la période de référence (T20).

16.63 Enfin, l’indice de prix de Törnqvist PT échoue à neuf tests: le test T4 (panier type), les tests T12 et T13 (inversion des quantités et des prix), le test T15 (valeur moyenne pour les quantités), le test T16 (limitation par les indices de Paasche et de Laspeyres) et les quatre tests de monotonie T17 à T20. L’indice de Törnqvist accuse donc un taux d’échec plutôt supérieur du point de vue de l’approche axiomatique de la théorie des indices35.

16.64 Il est possible de tirer une conclusion provisoire de ces résultats: du point de vue de cette approche particulière des indices par les tests bilatéraux, l’indice idéal de prix de Fisher PF semble être le meilleur, puisqu’il satisfait aux 20 tests. Les indices de Paasche et de Laspeyres viennent ensuite si nous considérons que chaque test est d’égale importance. Ces deux indices échouent toutefois au test primordial de la réversibilité temporelle. Les deux autres indices, à savoir ceux de Walsh et de Törnqvist, satisfont tous deux au test de réversibilité temporelle, mais l’indice de Walsh apparaît comme le meilleur, puisqu’il satisfait à 16 des 20 tests, contre 11 seulement pour l’indice de Törnqvist36.

C.8 Le test d’additivité

16.65 Un autre test est considéré comme très important par de nombreux comptables nationaux: le test d’additivité. C’est un test ou une propriété applicable à l’indice implicite des quantités Q(q0,q1,p0,p1) qui correspond à l’indice des prix P(q0,q1,p0,p1) quand on utilise le test de factorité dans l’équation (16.17). Il énonce que l’indice implicite des quantités a la forme suivante:

où le prix commun d’un produit sur les diverses périodes, pi* pour i = 1,…,n, peut être une fonction de tous les 4n prix et quantités se rapportant aux deux périodes ou situations considérées, p0,p1,q0,q1. Dans les travaux consacrés aux comparaisons multilatérales (c’est-à-dire aux comparaisons entre plus de deux situations), il est assez fréquent de poser en hypothèse que la comparaison des quantités entre deux régions données peut être faite en utilisant les deux vecteurs des quantités régionaux,q0 et q1, et un vecteur des prix de référence commun,p* = (p1*,…,pn*)37.

16.66 On peut obtenir différentes versions du test d’additivité si d’autres restrictions sont imposées en ce qui concerne les variables dont dépend chaque prix de référence pi*. La plus simple de ces restrictions consiste à poser en hypothèse que chaque pi* ne dépend que des prix du produit i pour chacune des deux situations considérées, pi0 et pi1. Si l’on suppose en outre que la forme fonctionnelle de la fonction de pondération est la même pour chaque produit, de sorte que pi* = m(pi0,pi1) pour i = 1,…,n, on obtient l’indice des quantités univoque que postule Knibbs (1924, p. 44).

16.67 La théorie de l’indice des quantités univoque (ou indice des quantités pur)38 est le penchant de la théorie de l’indice des prix pur esquissée à la section C.2 du chapitre 15. Nous en donnerons ici les grandes lignes. Supposons que l’indice des quantités pur QK se présente sous la forme fonctionnelle suivante:

Par hypothèse, les vecteurs des prix p0 et p1 sont strictement positifs et les vecteurs des quantités q0 et q1 non négatifs, mais ont au moins une composante positive39. Le problème consiste à déterminer, si c’est possible, la forme fonctionnelle de la moyenne m. Pour ce faire, il faut soumettre l’indice des quantités pur QK à certains tests ou propriétés. Comme dans le cas de l’indice des prix pur, il est raisonnable de demander que l’indice des quantités satisfasse au test de réversibilité temporelle:

16.68 Comme c’était le cas dans la théorie de l’indice des prix univoque, on voit que: pour que l’indice des quantités univoques QK satisfasse au test de réversibilité temporelle de l’équation (16.32), la fonction de moyenne dans l’équation (16.31) doit être symétrique. Il est également demandé que QK satisfasse au test d’invariance à la modification proportionnelle des prix courants suivant:

16.69 Le test d’invariance repose sur l’idée suivante: l’indice des quantités QK(p0,p1,q0,q1) devrait dépendre uniquement des prix relatifs dans chaque période et pas de l’inflation entre les deux périodes. Une autre façon d’interpréter l’équation (16.33) consiste à en envisager les implications pour l’indice implicite des prix correspondant, PIK, définit en utilisant le test de factorité de l’équation (16.17). On peut démontrer que, si QK vérifie l’équation (16.33), l’indice implicite des prix correspondant PIK satisfera alors au test T5, c’est-à-dire au test de proportionnalité aux prix courants. Les deux tests des équations (16.32) et (16.33) déterminent la forme fonctionnelle précise de l’indice des quantités pur QK défini par l’équation (16.31): l’indice des quantités pur ou indice des quantités univoque de Knibbs, QK, doit être l’indice de quantités de Walsh QW40 défini par

16.70 Par conséquent, avec l’addition des deux tests, l’indice des prix pur PK doit être l’indice de prix de Walsh PW défini par l’équation (15.19) au chapitre 15. Avec l’addition des deux mêmes tests (mais appliqués cette fois aux indices des quantités et non pas aux indices des prix), l’indice des quantités pur QK doit être l’indice de quantités de Walsh QW défini par l’équation (16.34). On notera toutefois que le produit des indices de prix et de quantités de Walsh n’est pas égal au rapport des recettes, V1/V0. Les avocats des indices des prix et des quantités purs ou univoques doivent donc choisir l’un des deux concepts; ils ne peuvent pas les appliquer simultanément41.

16.71 Si l’indice des quantités Q(q0,q1,p0,p1) satisfait au test d’additivité de l’équation (16.30) pour certaines pondérations par les prix pi*, la variation en pourcentage de l’agrégat des quantités, Q(q0,q1,p0,p1) – 1, peut être réécrit de la façon suivante:

où la pondération du produit i, wi, est définie comme suit:

Notons que la variation de la quantité du produit i de la situation 0 à la situation 1 est qi1qi0. Le ie terme du membre de droite de l’équation (16.35) est par conséquent la contribution de la variation de la quantité du produit i à la variation globale en pourcentage de l’agrégat entre les périodes 0 et 1. Les analystes du secteur privé souhaitent souvent que les offices de statistique donnent des décompositions du type présenté dans l’équation (16.35), de façon à ce qu’ils puissent décomposer la variation globale d’un agrégat en composantes représentant les variations spécifiques à chaque secteur42. Il existe donc de la part des utilisateurs une demande d’indices de quantités additifs.

16.72 Pour l’indice de quantités de Walsh défini par l’équation (16.34), la ie pondération est

L’indice de quantités de Walsh QW présente donc une décomposition additive de ses variations en diverses composantes de la forme de l’équation (16.35), où les pondérations sont définies par l’équation (16.37).

16.73 Il apparaît que la décomposition de la variation en pourcentage de l’indice de quantités de Fisher QF, définie par l’équation (15.14) au chapitre 15, est elle aussi additive et se présente sous la forme donnée par l’équation (16.35)43. La ie pondération pour cette décomposition de Fisher est plutôt compliquée et dépend de l’indice de quantités de Fisher QF(p0,p1,q0,q1)44, selon la formule suivante:

QF est la valeur de l’indice de quantités de Fisher, QF(p0,p1,q0,q1), et où le prix normalisé du produit i à la période t, wit, défini comme le prix à la période i, pit, divisé par les recettes tirées de l’agrégat à la période t:

16.74 En utilisant les pondérations wFi définies par les équations (16.38) et (16.39), on obtient cette décomposition exacte pour l’indice de quantités idéal de Fisher45:

La décomposition de la variation en pourcentage de l’indice de quantités idéal de Fisher est donc additive.

16.75 Étant donné que les indices de prix et de quantités de Fisher sont symétriques, on peut voir que la décomposition suivante de la variation en pourcentage de l’indice de prix de Fisher PF défini par l’équation (16.27) est aussi additive:

où la pondération vFi du produit i est définie comme suit:

PF est la valeur de l’indice de prix de Fisher: PF(p0,p1,q0,q1) et où la quantité normalisée du produit i à la période t: vit, est définie comme la quantité à la période i: qit, divisée par les recettes tirées de l’agrégat à la période t:

16.76 Les résultats obtenus ci-dessus montrent que les indices de prix et de quantités de Fisher présentent des décompositions additives exactes en composantes qui donnent la contribution de la variation de chaque prix (ou quantité) à la variation globale de l’indice des prix (ou des quantités).

D. Approche stochastique des indices des prix

D.1 L’approche stochastique non pondérée initiale

16.77 L’approche stochastique de la détermination de l’indice des prix remonte aux travaux de Jevons (1863; 1865) et Edgeworth (1888), il y a plus de cent ans46. L’idée fondamentale qui sous-tend l’approche stochastique (non pondérée) est que chaque rapport de prix, pi1/pi0 pour i = 1,2,…,n peut être considéré comme l’estimation d’un taux d’inflation commun α entre les périodes 0 et 147, c’est-à-dire que l’on pose en hypothèse que

α est le taux d’inflation commun et les εi sont des variables aléatoires de moyenne 0 et de variance σ2. L’estimateur de α par la méthode des moindres carrés (dite aussi du maximum de vraisemblance) est l’indice de prix de Carli (1804) PC défini comme suit

L’indice de prix de Carli a un défaut: il ne satisfait pas au test de réversibilité temporelle, à savoir PC(p1,p0) ≠ 1/ PC(p0,p1)48.

16.78 Modifions maintenant la spécification stochastique et supposons que le logarithme de chaque rapport de prix, ln(pi1/pi0), est une estimation non biaisée du logarithme du taux d’inflation entre les périodes 0 et 1, disons β. La contrepartie de l’équation (16.44) est:

où β = ln α et les εi sont des variables aléatoires distribuées de façon indépendante de moyenne 0 et de variance σ2. L’estimateur de β par la méthode des moindres carrés ou par la méthode du maximum de vraisemblance est le logarithme de la moyenne géométrique des rapports de prix. L’estimation correspondante pour le taux d’inflation commun σ49 est donc l’indice de prix de Jevons (1865) PJ défini comme suit:

16.79 L’indice de prix de Jevons PJ satisfait le test de réversibilité temporelle, ce qui le rend par conséquent beaucoup plus intéressant que l’indice de Carli, PC. Les indices de Jevons et de Carli accusent cependant un défaut majeur: chaque rapport de prix pi1/pi0 est

considéré comme d’égale importance et reçoit une pondération égale dans les équations des formules d’indice (16.45) et (16.47). Keynes se montre particulièrement sévère à l’encontre de l’approche stochastique non pondérée de la théorie des indices50, vigoureusement appuyée par Edgeworth (1923), à laquelle il adresse les critiques suivantes:

Je me risque néanmoins à maintenir que de telles idées, que je me suis efforcé d’exposer ci-dessus d’une manière aussi objective et plausible que possible, sont complètement fausses. Les «erreurs d’observation», la conception de l’indice des prix comme «des tentatives manquées d’atteindre le centre d’une seule et même cible», la «variation moyenne objective des prix généraux» d’Edgeworth, tout cela résulte d’une confusion de pensées. Il n’y a pas de centre de la cible. Il n’y a pas de centre mouvant mais unique, qu’on l’appelle niveau général des prix ou variation moyenne objective des prix généraux, autour duquel sont dispersés les niveaux de prix mouvants des différentes choses. Il existe toutes les conceptions diverses, assez définies, des niveaux de prix de produits composites, adaptées à la diversité des objectifs et des enquêtes énoncées plus haut, et de beaucoup d’autres encore. Il n’y a rien d’autre. Jevons poursuivait un mirage.

Quelle est la faille de ce raisonnement? C’est d’abord de supposer que les fluctuations des différents prix autour de la «moyenne» sont «aléatoires», au sens requis par la théorie de la combinaison d’observations indépendantes. Selon cette théorie, la divergence d’une observation par rapport à la position vraie est censée n’avoir aucune influence sur les divergences d’autres «observations». Mais, dans le cas des prix, le mouvement du prix d’un produit influe forcément sur les mouvements des prix d’autres produits, et l’ampleur de ces mouvements compensatoires dépend de l’ampleur de la variation des recettes tirées du premier produit, comparée à celle des recettes tirées des produits touchés en second lieu. C’est pourquoi, plutôt qu’une «indépendance», il existe entre les «erreurs» commises dans des «observations» successives ce que certains spécialistes des probabilités ont appelé «corrélation», ou, pour reprendre l’expression de Lexis, une «dispersion subnormale».

Nous ne pouvons donc pas aller plus loin avant d’avoir énoncé la loi de corrélation requise. Mais celle-ci ne peut être énoncée sans faire référence à l’importance relative des produits touchés—ce qui nous ramène au problème que nous avons essayé d’éluder: la pondération des produits élémentaires formant un produit composé (John Maynard Keynes, 1930, p. 76–77).

Il semble que le principal argument de Keynes dans la citation susmentionnée soit que dans une économie les prix ne sont pas distribués indépendamment les uns des autres ou des quantités en cause. Pour reprendre la terminologie macroéconomique actuelle, on peut dire que Keynes indique qu’un choc macroéconomique sera distribué sur l’ensemble des prix et des quantités d’une économie via l’interaction normale entre l’offre et la demande, c’est-à-dire par le biais du système d’équilibre général. Keynes semble donc pencher en faveur de l’approche économique de la théorie des indices (avant même que celle-ci soit véritablement développée) dans laquelle les mouvements des quantités sont liés fonctionnellement aux mouvements des prix. Keynes avance un autre argument dans la citation susmentionnée: il n’existe pas de taux qui serait le taux d’inflation, mais seulement des variations de prix se rapportant à des ensembles bien spécifiés de produits ou de transactions; le domaine de définition de l’indice des prix doit donc être spécifié avec soin51. Keynes soutient enfin que les mouvements des prix doivent être pondérés par leur importance économique, c’est-à-dire par les quantités ou les recettes.

16.80 Outre les critiques théoriques susmentionnés, Keynes a aussi fait valoir des arguments empiriques forts à l’encontre de l’approche stochastique non pondérée d’Edgeworth:

Ceux qui n’étaient pas aussi au fait des subtilités de cette question qu’Edgeworth lui-même ont en général assimilé la «variation moyenne objective des prix généraux» de Jevons et Edgeworth, ou norme «indéfinie», au pouvoir d’achat de la monnaie—ne serait-ce que pour l’excellente raison qu’il était difficile de la visualiser sous une autre forme. Et comme tout indice respectable (de quelque manière qu’il soit pondéré) couvrant un nombre de produits relativement important pouvait, conformément à cet argument, être considéré comme une approximation acceptable de la norme indéfinie, il a paru naturel d’estimer que tout indice de ce type constituait aussi une approximation acceptable du pouvoir d’achat de la monnaie.

Enfin, la conclusion selon laquelle toutes les normes «reviennent finalement à peu près à la même chose» a été corroborée «de façon inductive» par le fait que des indices rivaux (mais cependant tous étant des indices de prix de gros) ont montré une très large convergence, en dépit de leurs différences de composition … Au contraire, les tableaux présentés ci-dessus (pages 53 et 55) apportent de fortes présomptions à l’appui de la thèse selon laquelle, sur de longues périodes aussi bien que sur de courtes périodes, les mouvements respectifs des indices de prix de gros et des indices de prix à la consommation peuvent afficher des divergences considérables (John Maynard Keynes, 1930, p. 80–81).

Dans cette citation, Keynes note que les partisans de la mesure des variations de prix par l’approche stochastique non pondérée ont été confortés par le fait que tous les indices (non pondérés) des prix de gros existant alors affichaient des mouvements dans l’ensemble similaires. Keynes montre toutefois, de façon empirique, que ces indices évoluent de façon fort différente des indices de prix à consommation.

16.81 Pour répondre aux critiques adressées à l’approche stochastique non pondérée des indices, il faut:

  • donner à l’indice un domaine de définition précis;

  • pondérer les rapports de prix par leur importance économique52.

16.82 D’autres méthodes de pondération seront examinées à la section suivante.

D.2 Approche stochastique pondérée

16.83 Walsh (1901, p. 88–89) a été, semble-t-il, le premier statisticien à faire valoir qu’une approche stochastique bien conçue de la mesure des variations de prix supposait que les différents rapports de prix soient pondérés en fonction de leur importance économique ou de leur valeur de transactions dans les deux périodes considérées:

Il pourrait sembler à première vue, si chaque cotation de prix correspondait simplement à un produit élémentaire, et puisque chaque produit (ou type de produit) se voit assigner un prix unique, que les variations de prix de chaque type de produit correspondent à ce produit élémentaire unique. C’est ainsi que la question est apparue à ceux qui ont enquêté les premiers sur les variations de prix, et c’est pour cette raison qu’ils ont utilisé une moyenne simple assortie de pondérations symétriques. Mais la cotation d’un prix est la cotation du prix d’un nom générique applicable à de nombreux articles; et ce nom générique peut couvrir aussi bien quelques articles qu’un grand nombre de ceux-ci. Par conséquent, une cotation de prix unique peut s’appliquer à des valeurs d’une centaine, d’un millier ou d’un million de dollars pour l’ensemble des articles constituant le produit nommé. Sa pondération dans la moyenne devrait par conséquent être fonction de cette valeur en unités monétaires (Correa Moylan Walsh (1921a, p. 82–83).

Toutefois, Walsh n’avance pas d’arguments convaincants quant à la façon de déterminer précisément ces pondérations économiques.

16.84 Theil (1967, p. 136–37) propose une solution à l’absence de pondérations dans l’indice de Jevons, PJ défini par l’équation (16.47). Son raisonnement est le suivant. Supposons que l’on tire de façon aléatoire les rapports de prix de telle façon que chaque euro de recettes gagné durant la période de référence ait la même chance d’être sélectionné. La probabilité de tirer le ie rapport de prix est alors égale à si0=pi0qi0/Σk=1npk0qk0, part de recettes tirée du produit i dans la période 0. La variation moyenne globale (en utilisant les pondérations de la période 0) du logarithme du prix est alors Σi=1nsi0In(pi1/pi0)53. Répétons maintenant l’expérience susmentionnée et procédons à un tirage aléatoire des rapports de prix de telle façon que chaque euro de recettes gagné dans la période 1 ait la même chance d’être sélectionné. Cela conduit à une variation moyenne globale (en utilisant les pondérations de la période 1) du logarithme du prix égale à Σi=1nsi1In(pi1/pi0)54. Chacune de ces mesures de la variation globale du logarithme du prix semble également valable, de sorte que nous pourrions préconiser l’utilisation d’une moyenne symétrique des deux pour obtenir une mesure finale unique de la variation globale du logarithme du prix. Theil55 soutient qu’il est possible d’obtenir une belle formule d’indice des prix symétrique si l’on pose que la probabilité de sélection du nie rapport de prix est égale à la moyenne arithmétique des parts de recettes tirées du produit n à la période 0 et à la période 1. La mesure finale de la variation globale du logarithme de prix obtenue par Theil en utilisant ces probabilités de sélection est

Notons que l’indice PT défini par l’équation (16.48) est égal à l’indice de Törnqvist défini par l’équation (15.81) au chapitre 15.

16.85 On peut donner une interprétation statistique du membre de droite de l’équation (16.48). Définissons le i e rapport des logarithmes de prix ri comme suit:

Définissons maintenant la variable aléatoire discrète—appelons-la R—comme une variable aléatoire pouvant prendre les valeurs ri avec des probabilités (1/2)[si0+si1] pour i = 1,…,n. Notons que, puisque la somme de chaque ensemble de parts de recettes, si0 et si1, est égale à l’unité sur l’ensemble des i, la somme des probabilités Ri sera aussi égale à l’unité. On voit que l’espérance mathématique de la variable aléatoire discrète R est

Le logarithme de l’indice PT peut donc être interprété comme l’espérance mathématique de la distribution des rapports des logarithmes de prix dans le domaine de définition considéré, où la pondération des n rapports de prix discrets dans ce domaine de définition se fait en utilisant les pondérations aléatoires de Theil, ρi = (1/2)[si0 + si1] pour i = 1,…,n.

16.86 Si l’on prend les exponentielles des deux membres de l’équation (16.48), on obtient l’indice de prix de Törnqvist (1936; 1937) et Theil, PT56. Cette formule d’indice affiche un certain nombre de bonnes propriétés. En particulier, PT satisfait aux tests de proportionnalité aux prix courants (T5) et au test de réversibilité temporelle (T11), qui ont été examinés à la section C. Ces deux tests peuvent être utilisés pour justifier la méthode (arithmétique) de Theil, qui fait la moyenne des deux ensembles de parts de recettes pour obtenir ses pondérations aléatoires, ρi = (1/2)[si0 + si1] pour i = 1,…,n. Considérons la classe symétrique de moyennes arithmétiques de formules d’indices logarithmiques suivante:

m(si0,si1) est une fonction positive des parts de recettes tirées du produit i dans les périodes de 0 et 1, si0 et si1 respectivement. Pour que PS satisfasse au test de réversibilité temporelle, il est nécessaire que la fonction m soit symétrique. On peut montrer alors57 que, pour que PS satisfasse au test T5, m doit être la moyenne arithmétique. Cela donne une justification raisonnablement solide au choix de moyenne fait par Theil.

16.87 L’approche stochastique de Theil présente une autre propriété de symétrie intéressante. Au lieu de considérer la distribution des logarithmes des rapports de prix ri = In (pi1/pi0), nous pourrions considérer la distribution des logarithmes des inverses des rapports de prix, à savoir:

La probabilité symétrique, ρi = (1/2)[si0 + si1], peut encore être associée au ie inverse des rapports de prix logarithmiques ti pour i = 1,…,n. Définissons maintenant la variable aléatoire discrète, disons t, comme une variable qui peut prendre les valeurs ti avec des probabilités ρi = (1/2)[si0 + si1] pour i = 1,…,n. On voit que l’espérance mathématique de la variable aléatoire discrète t est

On voit donc que la distribution de la variable aléatoire t est égale à distribution de la variable aléatoire R affectée du signe moins. Par conséquent, le choix de la distribution des rapports de prix logarithmiques initiaux: ri = In (pi1/pi0) ou de leurs inverses: ti = In (pi1/pi0), est sans importance; la théorie stochastique obtenue est fondamentalement la même.

16.88 Il est possible d’envisager des approches stochastiques pondérées de la théorie des indices où l’on considère la distribution des rapports de prix: pi1/pi0, plutôt que celle des rapports de prix logarithmiques, ln (pi1/pi0). Supposons donc en suivant à nouveau les traces de Theil, que les rapports de prix sont tirés de façon aléatoire de telle façon que chaque euro de recettes gagné durant la période de référence ait la même chance d’être sélectionné. La probabilité de tirer le ie rapport de prix est alors égale à si0, part des recettes tirée du produit i durant la période 0. La variation de prix moyenne globale (pondérée en fonction de la période 0) est:

c’est-à-dire l’indice de prix de Laspeyres, PL. Cette approche stochastique est la méthode naturelle pour étudier les problèmes d’échantillonnage soulevés par l’application de l’indice de prix de Laspeyres.

16.89 Reprenons maintenant la même situation hypothétique et procédons à un tirage aléatoire des rapports de prix de telle façon que chaque euro de recettes gagné durant la période 1 ait la même chance d’être sélectionné. Cela conduit à une variation moyenne globale (pondérée en fonction de la période 1) du logarithme du prix égale à:

Cette formule est connue sous l’appellation de formule d’indice de Palgrave (1886)58.

16.90 On peut vérifier que ni l’indice de prix de Laspeyres ni celui de Palgrave ne satisfait au test de réversibilité temporelle, T11. Nous pouvons donc essayer, toujours en suivant les traces de Theil, d’obtenir une formule qui satisfasse au test de réversibilité temporelle en prenant une moyenne symétrique des deux ensembles de pondérations. Considérons par conséquent la classe symétrique de moyennes arithmétiques de formules d’indice suivante:

m(si0, si1) est une fonction symétrique des parts de recettes tirées du produit i dans les périodes 0 et 1, et si1 respectivement. Pour interpréter le membre de droite de l’équation (16.56) comme l’espérance mathématique des rapports de prix pi1/pi0, il est nécessaire que

Toutefois, pour que l’équation (16.57) soit vérifiée, m doit être la moyenne arithmétique59. Si m est ainsi choisi, l’équation (16.56) devient la formule d’indice (sans appellation particulière) suivante, Pu:

Malheureusement, l’indice Pu ne satisfait pas lui non plus au test de réversibilité temporelle60.

16.91 Au lieu d’examiner la distribution des rapports de prix, pi1/pi0, on peut envisager d’examiner celle des inverses de ces rapports. Les contreparties des indices asymétriques définis par les équations (16.54) et (16.55) sont maintenant et respectivement. Il s’agit d’indices des prix (stochastiques) établis par calcul rétrospectif, c’està-dire de la période 1 à la période 0. Pour faire en sorte qu’ils puissent être comparés aux autres indices établis en sens normal présentés précédemment, nous prenons les inverses de ces indices (ce qui nous conduit aux moyennes harmoniques) et obtenons les deux indices suivants:

en utilisant l’équation (15.9) du chapitre 15. Il apparaît donc que l’inverse de l’indice de prix stochastique défini par l’équation (16.60) est l’indice de prix de Paasche fondé sur un panier type, PP. Cette approche stochastique est la méthode naturelle pour étudier les problèmes d’échantillonnage soulevés par l’application d’un indice de Paasche. L’autre indice des prix stochastique inverse à pondérations asymétriques défini par l’équation (16.59) n’est associé à aucun nom d’auteur, mais Irving Fisher (1922, p. 467) le mentionne sous sa formule d’indice numéro 13. Vartia (1978, p. 272) qualifie cette formule d’indice de Laspeyres harmonique et c’est cette terminologie que nous utiliserons.

16.92 Considérons maintenant la classe des indices de prix inverses à pondérations symétriques définie par:

où, comme à l’ordinaire, m(si0, si1) est une moyenne symétrique homogène des parts de recettes tirées du produit i dans les périodes 0 et 1. Cependant, aucun des indices définis par les équations (16.59) à (16.61) ne satisfait au test de réversibilité temporelle.

16.93 Le fait que la formule d’indice de Theil PT satisfasse au test de réversibilité temporelle conduit à retenir de préférence cet indice comme meilleure approche stochastique pondérée.

16.94 Les principales caractéristiques de l’approche stochastique pondérée de la théorie des indices peuvent être résumées comme suit. Il convient d’abord de choisir deux périodes et un domaine de définition des transactions. Comme d’habitude, chaque transaction en valeur correspondant à chacun des n produits relevant du domaine de définition est ventilée en composantes de prix et de quantités. Puis, en posant en hypothèse qu’il n’y ait ni apparition de nouveaux produits ni disparition de ceux qui existaient déjà, nous avons n rapports de prix pi1/pi0 afférents aux deux situations considérées et 2n parts de recettes correspondantes.

L’approche stochastique pondérée suppose seulement que ces n rapports de prix, ou une transformation de ces rapports de prix, f(pi1/pi0), obéissent à une distribution statistique discrète, où la ie probabilité ρi = m(si0, si1), soit une fonction des parts de recettes se rapportant au produit i dans les deux situations considérées, si0 et si1. Il en résulte différents indices des prix, selon la manière dont les fonctions f et m sont choisies. Dans la méthode de Theil, la fonction de transformation f est le logarithme naturel et la fonction de moyenne m est la moyenne arithmétique non pondérée simple.

16.95 L’approche stochastique pondérée de la théorie des indices présente une troisième facette: il faut aussi décider quel nombre unique résume le mieux la distribution des n rapports de prix (transformés, le cas échéant). Dans l’analyse développée plus haut, la moyenne de la distribution discrète a été choisie comme la meilleure mesure synthétique de la distribution des rapports de prix (transformés, le cas échéant). D’autres mesures sont cependant possibles. En particulier, la médiane pondérée et divers types de moyenne tronquée, sont souvent avancées comme meilleure mesure de la tendance centrale, car elles réduisent au minimum l’influence des valeurs aberrantes. Toutefois, l’examen approfondi de ces mesures possibles de la tendance centrale déborderait du cadre de ce chapitre. On trouvera des éléments de réflexion et des références supplémentaires sur les approches stochastiques de la théorie des indices dans Clements et Izan (1981; 1987), Selvanathan et Rao (1994), Diewert (1995b), Cecchetti (1997) et Wynne (1997; 1999).

16.96 Au lieu d’adopter l’approche stochastique de la théorie des indices, il est possible de reprendre les données brutes qui ont servi à cette approche et de les utiliser avec la méthode axiomatique. Dans la section suivante, l’indice des prix est donc considéré comme une fonction de n rapports de prix pondérés par des valeurs. Dans cette section l’approche de la théorie des indices par les tests est utilisée pour déterminer la forme fonctionnelle de l’indice des prix. En d’autres termes, l’approche axiomatique développée dans la section suivante s’intéresse aux propriétés des autres statistiques descriptives qui agrègent les différents rapports de prix (pondérés par leur importance économique) en mesure synthétique de la variation de prix, l’objectif étant de trouver la meilleure mesure synthétique de la variation de prix. L’approche axiomatique suivie à la section E peut donc être considérée comme une branche de la théorie des statistiques descriptives.

E. Seconde approche axiomatique des indices de prix bilatéraux

E.1 Cadre général et tests préliminaires

16.97 Comme nous l’avons vu à la section A, l’une des approches de la théorie des indices proposée par Walsh visait à déterminer la meilleure moyenne pondérée des rapports de prix, ri61. Cela équivaut à utiliser une méthode axiomatique pour essayer de déterminer le meilleur indice se présentant sous la forme P(r,v0,v1), où v0 et v1 sont les vecteurs des recettes tirées des n produits durant les périodes 0 et 162. Toutefois, plutôt que de commencer avec des indices de forme P(r,v0,v1), nous examinerons les indices qui se présentent sous la forme P(p0,p1,v0,v1), plus comparable au premier cadre axiomatique bilatéral utilisé à la section C. Si un indice de forme P(p0,p1,v0,v1) est soumis au test d’invariance à la modification des unités de mesure, P(p0,p1,v0,v1) peut alors être écrit sous la forme P(r,v0,v1).

16.98 Rappelons que le test de factorité—équation (16.17)—a été utilisé pour définir l’indice des quantités Q(p0,p1,q0,q1) = V1/[V0P(p0,p1,q0,q1)] qui correspond à l’indice des prix bilatéral P(p0,p1,q0,q1). Il apparaît que le même test de factorité est valable dans le cadre retenu à présent; cela signifie que, lorsque la forme fonctionnelle de l’indice des prix P(p0,p1,v0,v1) a été déterminée, l’indice implicite des quantités correspondant peut être défini en fonction de p de la façon suivante:

16.99 À la section C, les indices des prix et des quantités P(p0,p1,q0,q1) et Q(p0,p1,q0,q1) étaient déterminés conjointement, c’est-à-dire que non seulement P(p0,p1,q0,q1) était soumis à des axiomes, mais que c’était le cas aussi pour Q(p0,p1,q0,q1), tandis que le test de factorité de l’équation (16.17) était utilisé pour transformer ces tests sur Q en tests sur P. Cette méthode ne sera pas reprise dans la section E: seuls les tests sur P(p0,p1,v0,v1) seront utilisés pour déterminer le meilleur indice se présentant sous cette forme. Il y a donc une théorie parallèle des indices des quantités de forme Q(q0,q1,v0,v1), dans laquelle on tente de trouver la meilleure moyenne des rapports de quantités pondérée par les valeurs, qi1/qi00 63.

16.100 Pour l’essentiel, les tests auxquels l’indice des prix P(p0,p1,v0,v1) sera soumis dans cette section sont les contreparties des tests auxquels l’indice des prix P(p0,p1,v0,v1) a été soumis à la section C. On pose en hypothèse que chaque composante de chaque vecteur des prix et des valeurs est positive, c’est-à-dire que pt > > 0n et vt > > 0n pour t = 0 ou 1. Si l’on souhaite poser que v0 = v1, le vecteur des recettes commun est v; si l’on souhaite poser que p0 = p1, le vecteur des prix commun est p.

16.101 Les deux premiers tests sont la simple contrepartie des tests correspondants présentés à la section C.

T1: Positivité: P(p0,p1,v0,v1) > 0.

T2: Continuité: P(p0,p1,v0,v1) est une fonction continue de ses arguments.

T3: Identité ou prix constants: P (p,p,v0,v1) = 1.

Cela signifie que, si le prix de chaque produit est identique durant les deux périodes, l’indice des prix devrait être égal à l’unité, quels que soient les vecteurs des valeurs. Notons que, dans le test ci-dessus, on autorise les deux vecteurs des valeurs à être différents.

E.2 Tests d’homogénéité

16.102 Les quatre tests suivants limitent le comportement de l’indice des prix p lorsque l’échelle de l’un des quatre vecteurs p0,p1,v0,v1 est modifiée.

T4: Proportionnalité aux prix courants:P(p0,λ p1,v0,v1) = λ P(p0,p1,v0,v1) pour λ > 0.

Cela signifie que, si tous les prix de la période 1 sont multipliés par le nombre positif λ, le nouvel indice des prix est égal à λ fois l’ancien. Autrement dit, la fonction d’indice des prix P(p0,p1,v0,v1) est (positivement) homogène de degré 1 pour les composantes du vecteur des prix de la période 1, p1. Ce test est la contrepartie du test T5 présenté à la section C.

16.103 Dans le test suivant, au lieu de multiplier tous les prix de la période 1 par le même nombre, tous les prix de la période 0 sont multipliés par le nombre L.

T5: Proportionnalité inverse aux prix de la période de référence:

P(λ p0,p1,v0,v1) = λ–1P(p0,p1,v0,v1) pour λ > 0.

Cela signifie que, si tous les prix de la période 0 sont multipliés par le nombre positif λ, le nouvel indice des prix est égal à 1/λ fois l’ancien indice des prix. En d’autres termes, la fonction d’indice des prix P(p0,p1,v0,v1) est (positivement) homogène de degré –1 pour les composantes du vecteur des prix pour la période 0, p0. Ce test est la contrepartie du test T6 à la section C.

16.104 Les deux tests d’homogénéité suivants peuvent aussi être considérés comme des tests d’invariance.

T6: Invariance à la modification proportionnelle des valeurs de la période courante:

P(p0,p1,v0,L v1) = P(p0,p1,v0,v1) pour tous les λ > 0

Cela signifie que, si toutes les valeurs de la période en cours sont multipliées par le nombre λ, l’indice des prix reste inchangé. En d’autres termes, la fonction d’indice des prix P(p0,p1,v0,v1) est (positivement) homogène de degré 0 pour les composantes du vecteur des valeurs pour la période 1, v1.

T7: Invariance à la modification proportionnelle des valeurs de la période de référence:

P(p0,p1,L v0,v1) = P(p0,p1,v0,v1) pour tous les λ > 0

Cela signifie que, si toutes les valeurs de la période de référence sont multipliées par le nombre λ, l’indice des prix reste inchangé. En d’autres termes, la fonction d’indice des prix P(p0,p1,v0,v1) est (positivement) homogène de degré 0 pour les composantes du vecteur des valeurs pour la période 0, v0.

16.105 Ensemble, les tests T6 et T7 imposent la propriété selon laquelle l’indice des prix P ne dépend pas de l’ampleur absolue des vecteurs des valeurs v0 et v1. Si l’on utilise le test T6 avec λ=1/Σi=1nvi1 et le test T7 avec λ=1/Σi=1nvi0, on voit que P possède la propriété suivante:

s0 et s1 sont les vecteurs des parts de recettes pour les périodes 0 et 1, ce qui veut dire que la ie composante de st est sit=vit/Σk=1nvkt pour t = 0,1. Les tests T6 et T7 impliquent par conséquent que la fonction d’indice des prix P est une fonction des deux vecteurs des prix, p0 et p1, et des deux vecteurs des parts de recettes, s0 et s1.

16.106 Comme l’indique la citation suivante, Walsh a suggéré l’esprit des tests T6 et T7:

«Nous cherchons ici à calculer la moyenne des variations de la valeur d’échange d’une somme monétaire totale donnée par rapport à plusieurs classes de biens, auxquelles plusieurs variations [c’est-à-dire les rapports de prix] doivent se voir assigner des pondérations proportionnelles aux tailles relatives de ces classes. Il faut donc prendre en considération les tailles relatives des classes aux deux périodes» (Correa Moylan Walsh, 1901, p. 104).

16.107 Walsh a aussi pris conscience du fait que la pondération du i ème rapport de prix ri par la moyenne arithmétique des pondérations en valeur dans les deux périodes considérées, (1/2)[vi0 + vi1] donnerait trop de poids aux recettes de la période durant laquelle les prix étaient les plus élevés:

À première vue, on pourrait penser qu’il suffit d’ajouter les pondérations de chaque classe dans les deux périodes et de diviser l’ensemble par deux. Cela donnerait la taille moyenne (en moyenne arithmétique) de chaque classe sur les deux périodes. Mais une telle opération est à l’évidence erronée. Premièrement, les tailles des classes à chaque période sont calculées dans la monnaie de la période et, s’il arrive que la valeur de change de celle-ci ait baissé ou que les prix aient en général augmenté, la pondération de la seconde période aura une plus grande influence sur le résultat obtenu; inversement, si les prix ont en général diminué, une plus grande influence sera donnée à la pondération de la première période. Ou encore, si l’on compare deux pays, une plus grande influence sera donnée à la pondération de celui où le niveau des prix est le plus élevé. Mais il est clair que, dans notre comparaison entre deux périodes ou pays, l’un (l’une) est aussi important(e) que l’autre, et les pondérations utilisées pour établir leurs poids devraient vraiment être symétriques (Correa Moylan Walsh, 1901, p. 104–105).

16.108 Pour résoudre le problème de pondération susmentionné, Walsh (1901, p. 202; 1921a, p. 97) propose l’indice des prix géométrique suivant:

où la ie pondération dans la formule ci-dessus est définie comme suit

La seconde partie de l’équation (16.65) montre que l’indice des prix géométrique de Walsh PGW(p0,p1,v0,v1) peut s’écrire aussi sous forme de fonction des vecteurs des parts de recettes, s0 et s1, c’est-à-dire que PGW(p0,p1,v0,v1) est homogène de degré 0 dans les composantes des vecteurs des valeurs v0 et v1, et que par conséquent PGW(p0,p1,v0,v1) = PGW(p0,p1,s0,s1). Walsh a donc été très près d’obtenir l’indice de Törnqvist–Theil défini plus haut par l’équation (16.48)64.

E.3 Tests d’invariance et de symétrie

16.109 Les cinq tests suivants sont des tests d’invariance ou de symétrie, et quatre d’entre eux sont les contreparties directes de tests similaires présentés à la section C. Selon le premier test d’invariance, l’indice des prix doit rester inchangé si l’on modifie l’ordre des produits:

T8: Test d’inversion des produits (invariance à la modification de l’ordre des produits):

P(p0*,p1*,v0*,v1*) = P(p0,p1,v0,v1)

pt* représente une permutation des composantes du vecteur pt et vt* la même permutation des composantes de vt pour t = 0,1.

16.110 Le test suivant exige que l’indice soit invariant à la modification des unités de mesure.

T9: Invariance à la modification des unités de mesure (test de commensurabilité):

P1p10,…,αnpn0; α1p11,…,αnpn1; v11,…,vn0; vn1,…,vn1) = P(p10,…,pn0; p11,…,pn1; v10,…,vn0; v11,…,vn1) avec α1 > 0, …, αn > 0.

Cela signifie que l’indice ne change pas si les unités de mesure de chaque produit sont modifiées. Notons que les recettes tirées du produit i dans la période t, vit, ne changent pas si l’unité dans laquelle le produit i est mesuré change.

16.111 Le test T9 a une conséquence très importante. Posons α1 =1/p10, …, αn = 1/pn0 et substituons ces valeurs aux A1 dans la définition du test. Nous obtenons l’équation suivante:

où 1n est un vecteur de uns de dimension n, et r un vecteur des rapports de prix; cela veut dire que la ie composante de r est pi1/pi0. S’il satisfait au test de commensurabilité T9, l’indice des prix P(p0,p1,v0,v1), qui est une fonction de 4n variables, peut s’écrire sous la forme d’une fonction de 3n variables, P*(r, v0,v1), où r est le vecteur des rapports de prix et P*(r, v0,v1) est défini comme suit: P(1n,r,v0,v1).

16.112 Le test suivant exige que la formule soit invariante à la période choisie comme période de référence.

T10: Test de réversibilité temporelle: P(p0,p1,v0,v1) = 1/P(p1,p0,v1,v0).

Cela signifie que, si les données pour les périodes 0 et 1 sont interverties, l’indice des prix qui en résulte devrait être égal à l’inverse de l’indice des prix initial. De toute évidence, dans le cas où il n’existe qu’un seul produit et où l’indice des prix est simplement ce ratio de prix unique, ce test sera satisfait (ainsi qu’à tous les autres tests énumérés dans cette section).

16.113 Le test suivant est une variante du test de transitivité présenté à la section F du chapitre 1565.

T11: Transitivité des prix pour des pondérations en valeur fixes:

P(p0,p1,vr,vs)P(p1,p2,vr,vs) = P(p0,p2,vr,vs).

Dans ce test, les vecteurs de pondération par les recettes, vr et vs, demeurent constants alors que l’on procède à toutes les comparaisons de prix. Toutefois, comme ces pondérations sont maintenues constantes, le test demande que le produit de l’indice allant de la période 0 à la période 1, P(p0,p1,vr,vs), et de l’indice allant de la période 1 à la période 2, P(p1,p2,vr,vs), soit égal à l’indice direct comparant les prix de la période 2 à ceux de la période 0, P(p0,p2,vr,vs). Ce test est à l’évidence la contrepartie, dans le cas de produits multiples, d’une propriété valable pour un rapport de prix unique.

16.114 Le dernier test de cette section saisit l’idée selon laquelle les pondérations en valeur devraient être insérées dans la formule d’indice de manière symétrique.

T12: Test de symétrie des pondérations en quantités: P(p0,p1,v0,v1) = P(p0,p1,v1,v0).

Cela veut dire que, si les vecteurs des recettes pour les deux périodes sont intervertis, l’indice des prix reste invariant. Cette propriété signifie que, si l’on utilise les valeurs pour pondérer les prix dans la formule d’indice, les valeurs v0 de la période 0 et les valeurs v1 de la période 1 doivent être insérées dans la formule d’une manière symétrique ou égale.

E.4 Test de la valeur moyenne

16.115 Le test suivant est un test de la valeur moyenne.

T13: Test de la valeur moyenne pour les prix:

Cela signifie que l’indice des prix se situe entre le rapport des prix minimum et le rapport des prix maximum. Étant donné que l’indice de prix doit être interprété comme une moyenne des n rapports de prix, pi1/pi0, il semble essentiel que l’indice des prix P satisfasse à ce test.

E.5 Tests de monotonie

16.116 Les deux tests suivants sont des tests de monotonie: ils indiquent comment l’indice des prix P(p0,p1, v0,v1) devrait évoluer en cas d’augmentation d’une des composantes des deux vecteurs des prix p0 et p1.

T14: Monotonie aux prix courants:

P(p0,p1,v0,v1) < P(p0,p2,v0,v1) si p1 < p2

Cela signifie que, si un prix de la période 1 augmente, l’indice des prix doit augmenter (les vecteurs de valeurs restant fixes), de sorte que P(p0,p1,v0,v1) soit croissant dans les composantes de p1 pour p0,v0 et v1 constants.

T15: Monotonie aux prix de la période de référence:

P(p0,p1,v0,v1) > P(p2,p1,v0,v1) si p0 < p2

Cela signifie que, si un prix de la période 0 augmente, l’indice des prix doit diminuer, de sorte que P(p0,p1,v0,v1) soit décroissant dans les composantes de p0 pour p1,v0 et v1 constants.

E.6 Tests de pondérations

16.117 Les tests précédents ne suffisent pas pour déterminer la forme fonctionnelle de l’indice des prix; on peut voir, par exemple, que l’indice de prix géométrique de Walsh PGW(p0,p1,v0,v1) défini par l’équation (16.65) et l’indice de Törnqvist–Theil PT(p0,p1,v0,v1) défini par l’équation (16.48) satisfont tous deux aux axiomes susmentionnés. Il faut donc un autre test, au moins, pour déterminer la forme fonctionnelle de l’indice des prix P(p0,p1,v0,v1).

16.118 Les tests proposés jusqu’ici ne spécifient pas exactement comment les vecteurs des parts de recettes s0 et s1 doivent être utilisés pour pondérer, par exemple, le premier rapport de prix, pi1/pi0. Le test suivant indique que seules les parts de recettes s10 et s11 se rapportant au premier produit seront utilisées pour pondérer les prix qui correspondent au produit 1, p11 et p10.

T16: Pondération des prix par les mêmes parts de recettes:

Notons que v1t/Σk=1nvkt est égal à s1t, part de recettes tirées du produit 1 dans la période t. Ce test indique que si l’on pose que tous les prix sont égaux à 1 sauf ceux du produit 1 dans les deux périodes, mais que les recettes dans les deux périodes sont données de manière arbitraire, alors l’indice ne dépend que des deux prix du produit 1 et des deux parts de recettes tirées du produit 1. L’axiome énonce qu’une fonction de 2 + 2n variables n’est en fait qu’une fonction de quatre variables66.

16.119 Si le test T16 est combiné avec le test T8, ou test d’inversion des produits, on voit que P possède la propriété suivante:

L’équation (16.69) indique que, si l’on pose que tous les prix sont égaux à 1, à l’exception de ceux du produit i dans les deux périodes, mais que les recettes dans les deux périodes sont fixées de façon arbitraire, l’indice ne dépend alors que des deux prix du produit i et des deux parts de recettes tirées du produit i.

16.120 Le test final, qui implique aussi la pondération des prix, est le suivant:

T17: Non-importance des variations des prix assortis de très faibles pondérations:

Le test T17 indique que, si l’on pose que tous les prix sont égaux à 1, à l’exception de ceux du produit 1 dans les deux périodes, et que les recettes tirées du produit 1 sont nulles dans les deux périodes mais que celles qui sont tirées d’autres produits sont fixées de façon arbitraire, l’indice est alors égal à 167. Schématiquement, si les pondérations en valeur pour le produit 1 sont très faibles, le prix de celui-ci pour les deux périodes est négligeable.

16.121 Si le test T17 est conjugué au test T8, le test d’inversion des produits, on voit que p possède la propriété suivante: pour i = 1,…,n:

L’équation (16.71) indique que, si l’on pose que tous les prix sont égaux à 1, à l’exception de ceux du produit i dans les deux périodes, et que les recettes tirées du produit i sont égales à 0 dans les deux périodes, mais que les autres recettes dans les deux périodes sont fixées de façon arbitraire, l’indice est alors égal à 1.

16.122 Ainsi s’achève la liste des tests concernant l’approche de la théorie des indices bilatéraux fondés sur la moyenne pondérée des rapports de prix. Il apparaît que ces tests suffisent à déterminer une forme fonctionnelle spécifique pour l’indice des prix, ainsi que nous le verrons à la section suivante.

E.7 L’indice de prix de Törnqvist–Theil et la seconde approche des indices bilatéraux par les tests

16.123 À l’appendice 16.1, on montre que, si le nombre n des produits est supérieur à deux et si la fonction d’indice des prix bilatéral P(p0,p1,v0,v1) satisfait aux 17 axiomes énumérés ci-dessus, P doit être l’indice de prix de Törnqvist–Theil le PT(p0,p1,v0,v1) défini par l’équation (16.48)68. Les 17 propriétés ou tests dont la liste est dressée à la section E donnent donc une caractérisation axiomatique de l’indice de prix de Törnqvist–Theil, tout comme les 20 tests énumérés à la section C donnaient une caractérisation axiomatique de l’indice de prix idéal de Fisher.

16.124 Il existe une théorie axiomatique parallèle pour les indices des quantités de forme Q(p0,p1,v0,v1) qui dépendent des deux vecteurs des quantités pour les périodes 0 et 1, q0 et q1, ainsi que des deux vecteurs des recettes correspondants, v0 et v1. Par conséquent, si Q(p0,p1,v0,v1) satisfait aux contreparties des tests T1 à T17 pour les quantités, Q doit être égal à l’indice des quantités de Törnqvist–Theil QT(q0,q1,v0,v1) défini comme suit:

où, comme d’habitude, la part des recettes tirée du produit i dans la période t, sit, est définie comme suit:

v1t/Σk=1nvkt pour i = 1,…,n et t = 0,1.

16.125 Malheureusement, l’indice implicite des prix de Törnqvist–Theil, PIT(q0,q1,v0,v1) qui correspond à l’indice des quantités de Törnqvist–Theil QT, défini par l’équation (16.72) en utilisant le test de factorité, n’est pas égal à l’indice des prix direct de Törnqvist–Theil PT(p0,p1,v0,v1) défini par l’équation (16.48). L’équation du test de factorité qui définit PIT dans notre contexte est donnée par la formule suivante:

Le fait que l’indice des prix direct de Törnqvist–Theil PT ne soit généralement pas égal à l’indice implicite des prix de Törnqvist–Theil PIT défini par l’équation (16.73) est un inconvénient, comparé à l’approche axiomatique esquissée à la section C, qui a conduit à estimer que les indices de prix et de quantités idéaux de Fisher étaient les meilleurs. Étant donné que l’on utilisait la méthode de Fisher, il n’était pas nécessaire de décider si l’on voulait un meilleur indice des prix ou des quantités: la théorie présentée à la section C déterminait simultanément les deux. Quand on adopte l’approche de Törnqvist–Theil présentée dans cette section, cependant, il faut choisir si l’on veut un meilleur indice des prix ou un meilleur indice des quantités69.

16.126 D’autres tests sont bien sûr possibles. Le test de limitation par les indices de Paasche et de Laspeyres géométriques est une contrepartie du test T16 (limitation par les indices de Paasche et de Laspeyres) à la section C:

où les logarithmes des indices de prix de Laspeyres et de Paasche géométriques, PGL et PGP, sont définis comme suit:

Comme à l’ordinaire, la part des recettes tirée du produit i dans la période t, sit, est définie de la façon suivante: v1t/Σk=1nvkt pour i = 1,…,n et t = 0,1. On peut démontrer que l’indice de prix de Törnqvist–Theil PT(p0,p1,v0,v1) défini par l’équation (16.48) satisfait à ce test mais pas l’indice des prix géométrique de Walsh PGW(p0,p1,v0,v1) défini par l’équation (16.65). Le test de limitation par les indices géométriques de Paasche et de Laspeyres n’a pas été inclus parmi les tests essentiels dans la section E, faute de savoir a priori quelle forme de moyenne (géométrique, arithmétique ou harmonique) des rapports de prix se révélerait la plus adaptée à ce test. Le test de l’équation (16.74) convient si l’on décide que la moyenne géométrique des rapports de prix est le cadre approprié. Les indices de Paasche et de Laspeyres géométriques correspondent aux formes extrêmes de pondération en valeurs dans le cadre des moyennes géométriques, et il est naturel de demander que le meilleur indice des prix se situe entre ces deux indices extrêmes.

16.127 Walsh (1901, p. 408) met en évidence un problème posé par son indice des prix géométrique PGW défini par l’équation (16.65), qui vaut également pour l’indice de prix de Törnqvist–Theil, PT(p0,p1,v0,v1), défini par l’équation (16.48): ces indices géométriques ne donnent pas la bonne réponse quand les vecteurs des quantités sont constants (ou proportionnels) sur les deux périodes. Walsh estime que, dans ce cas, la bonne réponse doit être l’indice de Lowe, qui est le rapport des coûts liés à l’achat d’un panier constant au cours des deux périodes. En d’autres termes, les indices géométriques PGW et PT ne satisfont pas à T4, le test de panier type T4 de la section C ci-dessus. Dans ces conditions, pour quelle raison Walsh a-t-il fondé son indice sur la moyenne géométrique PGW Il apparaît qu’il a été conduit à retenir ce type d’indice par un autre test, qu’il convient d’expliquer maintenant.

16.128 Walsh (1901, p. 228–231) met au point ce test à partir d’un cadre très simple. Il suppose qu’il n’existe que deux produits dans l’indice, et que la part des recettes tirée de chacun d’eux est égale pour chacune des deux périodes considérées. Dans ces conditions, l’indice des prix est égal à P(p10,p20;p11,p21;v10,v20;v11,v21) = P*(r1,r2;1/2,1/2;1/2,1/2) = m(r1,r2), où m(r1,r2) est une moyenne symétrique des deux rapports de prix: r1 = p11/p10 et r2 = p21/p20.70. C’est dans ce cadre que Walsh propose le test suivant avec les inverses des rapports de prix:

Walsh (1901, p. 230) fait donc valoir que, si la pondération en valeurs pour les deux produits est égale au cours des deux périodes, et si le second rapport de prix est l’inverse du premier rapport de prix I1, l’indice de prix global devrait dans ces conditions être égal à 1, puisque la baisse relative d’un prix est contrebalancée exactement par la hausse de l’autre et que les recettes tirées des deux produits sont les mêmes dans chaque période. Walsh montre que la moyenne géométrique satisfait parfaitement à ce test, mais que la moyenne arithmétique donne des valeurs d’indice supérieures à 1 (à condition que r1 ne soit pas égal à 1) et que la moyenne harmonique donne des valeurs d’indice inférieures à 1, situation qui n’est pas du tout satisfaisante71. Walsh est donc conduit à se tourner, dans l’une de ses approches de la théorie des indices, vers une certaine forme de moyenne géométrique des rapports de prix.

16.129 Il est facile de généraliser le résultat obtenu par Walsh. Supposons que la fonction de moyenne, m(r1,r2), satisfasse au test de l’inverse de Walsh (équation (16.77)) et que m soit une moyenne homogène, de façon à présenter la propriété suivante pour tous les r1 > 0, r2 > 0 et λ > 0:

Posons que r1 > 0, r2 > 0. Alors,

où la fonction d’une variable (positive) f(z) est définie comme suit:

En utilisant l’équation (16.77):

En utilisant l’équation (16.78) avec λ=1r1.

En utilisant l’équation (16.80), l’équation (16.81) peut être réécrite sous la forme suivante:

Si l’on pose que z = r1−2, de sorte que z1/2 = r1−1, l’équation (16.82) devient:

Introduisons maintenant l’équation (16.83) dans l’équation (16.79), et la forme fonctionnelle de la fonction de moyenne m(r1,r2) est déterminée:

La moyenne géométrique des deux rapports de prix est donc la seule moyenne homogène satisfaisant au test des inverses des rapports de prix de Walsh.

16.130 Un autre test mérite d’être mentionné: celui que Fisher (1911; p. 401) a présenté dans son premier ouvrage sur l’approche de la théorie des indices par les tests. Il l’appelle test de détermination appliqué aux prix et en donne la description suivante:

Un indice des prix ne devrait pas être rendu nul, égal à l’infini ou indéterminé parce qu’un seul prix devient égal à zéro. C’est pourquoi, si un produit quelconque devait se trouver en surabondance sur le marché en 1910 au point de devenir un «produit gratuit», cela ne devrait pas rendre l’indice des prix pour 1910 égal à zéro. (Irving Fisher, 1911, p. 401).

Dans notre contexte, ce test pourrait être interprété de la façon suivante: si un seul prix pi0 ou pi1 tend vers zéro, l’indice des prix P(p0,p,v0,v1) ne devrait tendre ni vers zéro, ni vers l’infini. Cependant, si l’on retenait cette interprétation du test, où l’on considère que les valeurs vit restent constantes quand pi0 ou pi1 tend vers zéro, aucune des formules d’indice communément utilisées n’y satisferait. Il faut donc l’interpréter comme un test s’appliquant aux indices des prix P(p0,p1,q0,q1) du type étudié à la section C, ce qui correspond à l’usage envisagé par Fisher. Par conséquent, le test de détermination appliqué aux prix qu’a imaginé Fisher devrait être interprété comme suit: si un prix quelconque pi0 ou pi1 tend vers zéro, l’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) ne devrait tendre ni vers zéro, ni vers «plus l’infini». Lorsque l’on retient cette interprétation du test, on peut vérifier que les indices de Laspeyres, de Paasche et de Fisher y satisfont, mais que ce n’est pas le cas pour l’indice de Törnqvist–Theil. Quand on utilise l’indice de Törnqvist–Theil, il convient donc de veiller à «borner» les prix de façon à leur éviter de prendre la valeur zéro et, ce faisant, de faire perdre toute signification à l’indice.

16.131 Walsh n’ignorait pas que les indices fondés sur une moyenne géométrique, tels que l’indice de prix de Törnqvist––Theil PT ou l’indice de prix géométrique de Walsh PGW défini par l’équation (16.64), deviennent quelque peu instables72 quand les différents rapports de prix deviennent très importants ou très petits:

Dans la pratique, donc, la moyenne géométrique ne s’éloignera sans doute pas beaucoup de la vérité. Cela dit, nous avons vu que lorsque les classes [c’est-à-dire les recettes] sont très inégales et les variations des prix très importantes, cette moyenne peut dévier de façon très sensible (Correa Moylan Walsh, 1901, p. 373).

Dans les cas d’inégalité modérée entre les tailles des classes et de variation excessive d’un des prix, il semble que la méthode de la moyenne géométrique tende à dévier d’elle-même et à perdre sa fiabilité, tandis que les deux autres méthodes restent relativement proches l’une de l’autre (Correa Moylan Walsh, 1901, p. 404).

16.132 Si l’on met en balance l’ensemble des arguments développés et des tests présentés aux sections C et E du présent chapitre, on peut, semble-t-il, marquer une légère préférence pour l’indice de prix idéal de Fisher en tant que cible utilisable par les offices de statistique, mais les opinions peuvent différer en ce qui concerne les axiomes à utiliser de préférence dans la pratique.

F. Propriétés axiomatiques des indices de Lowe et de Young

16.133 Les indices de Young et de Lowe ont été définis au chapitre 15. La présente section est consacrée aux propriétés axiomatiques de ces indices par rapport à leurs arguments de prix73.

16.134 Soit qb = [q1b,…,qnb] et pb = [p1b,…,pnb] les vecteurs des quantités et des prix se rapportant à une année de référence. Les parts de recettes de la période de référence correspondantes peuvent être définies de la façon ordinaire, à savoir:

Soit sb = [s1b,…,snb] le vecteur des parts de recettes de la période de référence. L’indice de prix de Young (1812) entre les périodes 0 et t est défini comme suit:

L’indice de prix de Lowe (1823, p. 316)74 entre les périodes 0 et t est défini comme suit:

16.135 En s’appuyant sur les axiomes énumérés aux sections C et E, nous pouvons dresser une liste de 12 axiomes souhaitables pour les indices des prix de forme P(p0,p1). Les vecteurs des prix pour les périodes 0 et t: p0 et pt, sont censés avoir des composantes strictement positives.

T1: Test de positivité: P(p0,pt) > 0 si tous les prix sont positifs.

T2: Test de continuité: P(p0,pt) est une fonction continue des prix.

T3: Test d’identité: P(p0,p0) = 1.

T4: Test d’homogénéité pour les prix de la période t: P(p0,λpt) = λ P(p0,pt) pour tous les λ > 0.

T5: Test d’homogénéité pour les prix de la période0:

P(λp0,pt) = λ–1P(p0,pt) pour tous les λ > 0.

T6: Test d’inversion des produits:

P(p0,pt) = P(p0*,pt*) où p0* et pt* correspondent à la même permutation des composantes des vecteurs des prix p0 et pt75.

T7: Invariance à la modification des unités de mesure (test de commensurabilité):

P1p10,…,αnpn0; α1p1t,…,αnpnt) = P(p10,…,pn0;p1t,…,pnt) pour tous les α1 > 0, …, αn > 0.

T8: Test de réversibilité temporelle:

P(pt,p0) = 1/P(p0,pt).

T9: Test de circularité ou de transitivité:

P(p0,p2) = P(p0,p1)P(p1,p2).

T10: Test de la valeur moyenne: min{pi1/pi0: i = 1,…,n} ≤ P(p0,pt) ≤ max{pi1/pi0: i = 1,…,n}.

T11: Test de monotonie aux prix de la période t: P(p0,pt) < P(p0,pt*) si pt < pt*.

T12: Test de monotonie aux prix de la période0: P(p0,pt) > P(p0*,pt) si p0 < p0*.

16.136 Il est simple de démontrer que l’indice de Lowe défini par l’équation (16.87) satisfait à l’ensemble des 12 axiomes ou tests énumérés ci-dessus. Il a donc de très bonnes propriétés axiomatiques par rapport à ses variables de prix76.

16.137 Il est facile aussi de démontrer que l’indice de Young défini par l’équation (16.86) satisfait à 10 des 12 axiomes, n’échouant qu’au test de réversibilité temporelle T8 et au test de circularité T9. Les propriétés axiomatiques de l’indice de Young sont indéniablement inférieures à celles de l’indice de Lowe.

Appendice 16.1—Démonstration de l’optimalité de l’indice de prix de Törnqvist–Theil dans la seconde approche des tests bilatéraux

16.138 Définissons ri = pi1/pi0 pour i = 1,…,n. Si l’on utilise T1, T9, et l’équation (16.66): P(p0,p1,v0,v1) = P*(r,v0,v1). Si l’on utilise aussi T6, T7 et l’équation (16.63), on obtient:

st et le vecteur des parts de recettes de la période t pour t = 0,1.

16.139 Posons que x = (x1,…,xn) et y = (y1,…,yn) sont des vecteurs strictement positifs. Le test de transitivité T11 et l’équation (A16.1) impliquent que la fonction P* possède la propriété suivante:

16.140 Si l’on utilise le test T1, P*(r,s0,s1) > 0 et, si l’on utilise le test T14, P*(r, s0,s1) est strictement croissant pour les composantes de r. Le test d’identité T3 implique que

où 1n est le vecteur unitaire de dimension n. Si l’on utilise un résultat imputable à Eichhorn (1978, p. 66), on voit que ces propriétés de P* suffisent pour impliquer qu’il existe des fonctions positives αi(s0,s1) pour i = 1,…, ntelles que P* soit représenté de la façon suivante:

16.141 Le test de continuité T2 implique que les fonctions positives αi(s0,s1) sont continues. Pour λ > 0, le test d’homogénéité linéaire T4 implique que

L’égalité entre les membres de droite de la première et de la dernière ligne de l’équation (A16.5) montre que les fonctions αi(s0,s1) doivent satisfaire à la restriction suivante:

pour tous les vecteurs strictement positifs s0 et s1.

16.142 Si l’on utilise le test de pondération T16 et le test d’inversion des produits T8, l’équation (16.69) reste valable. L’équation (16.69), conjuguée au test de commensurabilité T9, implique que P* vérifie l’équation suivante:

pour tous les ri > 0 où f est la fonction définie dans le test T16.

16.143 Nous introduisons l’équation (A16.7) dans l’équation (A16.4), afin d’obtenir le système d’équations suivant:

Mais la première partie de l’équation (A16.8) implique que la fonction continue positive de 2n variables α1 (s0,s1) est constante par rapport à tous ses arguments, sauf si0 et si1, et que cette propriété est vérifiée pour chaque i. Chaque α1(s0,s1) peut donc être remplacé par la fonction continue positive de deux variables α1(si0,si1) pour i = 1,…,n77. Remplaçons maintenant les α1(s0,s1) dans l’équation (A16.4) par les α1(si0,si1) pour i = 1,…,n, et nous obtenons la représentation suivante pour P*:

16.144L’équation (A16.6) implique que les fonctions βi(si0,si1) satisfont aussi aux restrictions suivantes:

16.145 Supposons que le test de pondération T17 reste valable et introduisons l’équation (16.71) dans l’équation (A16.9) pour obtenir l’équation suivante:

Étant donné que les pi1 et pi0 peuvent être des nombres positifs arbitraires, on voit que l’équation (A16.11) implique que

16.146 Supposons que le nombre de produits n est égal ou supérieur à 3. Si l’on utilise les équations (A16.10) et (A16.12), le théorème 2 d’Aczél (1987, p. 8) peut être appliqué et permet d’obtenir la forme fonctionnelle suivante pour chacun des βi(si0,si1):

γ est un nombre positif satisfaisant à la condition suivante: 0 < γ < 1.

16.147 Enfin, le test de réversibilité temporelle T10 ou le test de symétrie des pondérations en quantités T12 peut être utilisé pour démontrer que G doit être égal à ½. Si l’on substitue cette valeur à G dans l’équation (A16.13) et si l’on introduit ensuite ces équations dans l’équation (A16.9), la forme fonctionnelle pour P*, et par conséquent p, est déterminée comme suit:

Eichhorn (1978, p. 144) et Diewert (1993d, p. 9) examinent cette approche.

Dans ces approches des indices unilatéraux, on laisse les vecteurs des prix et des quantités varier indépendamment; et dans un autre cadre d’indice, on permet aux prix d’évoluer librement, mais les quantités sont considérées comme des fonctions des prix. Cela conduit à l’approche économique de la théorie des indices qui sera évoquée de façon plus détaillée aux chapitres 17 et 18.

Pour une explication de cette approche, on se reportera à la section B du chapitre 15.

Walsh (1901, p. 84) évoque ainsi la contribution de Young: «Cependant, si les statisticiens ont été peu nombreux, dans la pratique, à utiliser en fait autre chose qu’une pondération symétrique, ils ont presque toujours reconnu la nécessité théorique de tenir compte de l’importance relative des différentes classes depuis que cette nécessité a été signalée pour la première fois par Arthur Young au début du siècle qui vient de s’achever… Arthur Young a simplement conseillé de pondérer les classes en fonction de leur importance.»

Une variation de prix est un rapport de prix dans la terminologie de Walsh.

Walsh (1901, p. 104–105) a compris qu’il ne suffirait pas de retenir la moyenne arithmétique des valeurs dans les deux périodes, [vi0 + vi1]/2, comme pondération correcte pour le ie rapport de prix ri car, en période d’inflation rapide, cela donnerait trop d’importance à la période où les prix étaient les plus élevés alors qu’il souhaitait traiter chaque période de façon symétrique: «Mais une telle opération est à l’évidence erronée. Premièrement, les tailles des classes à chaque période sont calculées dans la monnaie de la période et, s’il arrive que la valeur de change de celle-ci ait baissé ou que les prix aient en général augmenté, la pondération de la seconde période aura une plus grande influence sur le résultat obtenu; inversement, si les prix ont en général diminué, une plus grande influence sera donnée à la pondération de la seconde période. Ou encore, si l’on compare deux pays, une plus grande influence sera donnée à la pondération de celui où le niveau des prix est le plus élevé. Mais il est clair que, dans notre comparaison entre deux périodes ou pays, l’un (l’une) est aussi important(e) que l’autre, et les pondérations utilisées pour établir leurs poids devraient vraiment être symétriques». Toutefois, Walsh n’a pas trouvé la solution du problème des pondérations donnée par Theil (1967), qui consiste à retenir la part de recettes moyenne, [si0 + si1]/2, comme pondération correcte pour le ième rapport de prix quand on utilise la moyenne géométrique pondérée des rapports de prix.

Walsh examine aussi les approches de la théorie des indices fondées sur un panier, comme on l’a vu au chapitre 15.

À la section E, plutôt que de commencer avec des indices se présentant la forme P(r,v0,v1), on examine des indices de forme P(p0,p1,v0,v1). Cependant, si cet indice est soumis au test d’invariance à la modification des unités de mesure, cela revient à étudier les indices se présentant sous la forme P(r,v0,v1). Vartia (1976a) utilise aussi une variante de cette approche de la théorie des indices.

Ce traitement des prix en tant que valeurs unitaires dans le temps découle de Walsh (1901, p. 96; 1921a, p. 88) et de Fisher (1922, p. 318). Ainsi qu’en témoigne la citation suivante, Fisher et Hicks ont eu l’intuition que la période devait être suffisamment courte pour que les variations des prix au cours d’une période puissent être négligées: «Tout au long de cet ouvrage, «le prix» ou «la quantité» de tel ou tel produit pour telle ou telle année sont censés être donnés. Mais quels sont-ils? Il s’agit parfois d’une simple cotation au 1er janvier ou au 1er juillet, mais c’est en général une moyenne de plusieurs cotations étalées sur l’ensemble de l’année. Une question se pose: sur quels principes faut-il construire cette moyenne? La réponse pratique est la suivante: n’importe quel type de moyenne puisque, d’ordinaire, les variations sur une année—au moins en ce qui concerne les prix—ont été jusqu’à présent trop faibles pour faire une différence perceptible dans les résultats obtenus, quel que soit le type de moyenne utilisé. Autrement, nous aurions des raisons de subdiviser l’année en trimestres ou en mois jusqu’à ce que nous parvenions à une période assez courte pour être considérée pratiquement comme ponctuelle. Les quantités vendues varieront bien sûr beaucoup. Ce dont nous avons besoin, c’est de leur somme pour l’année (ce qui est bien évidemment la même chose que la moyenne arithmétique simple des taux par année pour les différents mois ou autres subdivisions). En bref, la moyenne arithmétique simple peut être utilisée tant pour les prix que pour les quantités. Ou, si cela vaut la peine d’être plus précis, nous pouvons prendre la moyenne arithmétique pondérée pour les prix, et retenir comme pondérations les quantités vendues» (Irving Fisher, 1922, p. 318). «Je définirai la semaine comme cette période durant laquelle les variations de prix peuvent être négligées. Du point de vue théorique, cela signifie que les prix seront censés varier non pas de façon continue, mais à brefs intervalles. La durée calendaire retenue est bien sûr tout à fait arbitraire; en choisissant qu’elle soit très courte, notre schéma théorique peut s’adapter d’aussi près que possible aux oscillations incessantes qui caractérisent les prix sur certains marchés» (John Hicks, 1946, p. 122).

Eichhorn (1978, p. 144) établit ce résultat.

Cette proposition a été faite par Diewert (1993d, p. 9), mais sa démonstration est une adaptation d’un résultat étroitement lié à elle qui est attribuable à Eichhorn (1978, p. 144–45).

Rappelons que, dans l’approche économique, on laisse le vecteur des prix p varier de façon indépendante, mais que l’on considère que le vecteur des quantités correspondant est déterminé par p.

Cette section s’inspire largement des sections 2 et 3 de Diewert (1992a). Pour de plus récentes analyses de l’approche axiomatique, voir Balk (1995) et Auer (2001).

La théorie des indices multilatéraux fait référence au cas où il y a lieu d’agréger des prix et des quantités correspondant à plus de deux situations.

Voir la section B du chapitre 15 pour plus d’informations sur cette méthode, qui a été esquissée pour la première fois par I. Fisher (1911, p. 403; 1922).

C’est Fisher (1911, p. 400–06) qui a fait le premier cette remarque; l’idée a aussi été développée par Vogt (1980) et Diewert (1992a).

La notation q >> 0n signifie que chaque composante du vecteur q est positive; q ≥ 0n signifie que chaque composante de q est non négative et q > 0n signifie que q ≥ 0n y q ≠ 0n.

Eichhorn et Voeller (1976, p. 23) suggèrent ce test.

Fisher (1922, p. 207–15) suggère de façon informelle les fondements de ce test.

Laspeyres (1871, p. 308), Walsh (1901, p. 308), ou Eichhorn et Voeller (1976, p. 24) suggèrent tous ce test. Laspeyres propose ce test ou cette propriété pour discréditer le rapport d’indices de valeurs unitaires de Drobisch (1871a), qui n’y satisfait pas. Ce test est aussi un cas spécial du test de proportionnalité des prix de Fisher (1911, p. 409–10).

Les économistes supposent d’ordinaire que, pour un vecteur des prix p donné, le vecteur des quantités correspondant q est déterminé de façon unique. Ici, le même vecteur des prix est utilisé, mais les vecteurs des quantités correspondants peuvent être différents.

C’est un test vieux de 200 ans au moins, puisque le Parlement du Massachusetts utilisait un panier constant de biens pour indexer la solde des soldats de l’État lors de la révolution américaine; voir Willard Fisher (1913). D’autres chercheurs ont suggéré ce test au fil des ans: Lowe (1823, appendice, p. 95), Scrope (1833, p. 406), Jevons (1865), Sidgwick (1883, p. 67–68), Edgeworth (1925, p. 215) publié pour la première fois en 1887, Marshall (1887, p. 363), Pierson (1895, p. 332), Walsh (1901, p. 540; 1921b, p. 543–44) et Bowley (1901, p. 227). Vogt et Barta (1997, p. 49) observent à juste titre que ce test est un cas particulier du test de proportionnalité de Fisher (1911, p. 411) pour les indices de quantités, que Fisher (1911, p. 405) a transformé en test pour l’indice des prix en utilisant le test de facto-rité (équation (15.3).

Voir Vogt (1980, p. 70).

Ce test a été proposé par Walsh (1901, p. 385), Eichhorn et Voeller (1976, p. 24) et Vogt (1980, p. 68).

Eichhorn et Voeller (1976, p. 28) suggèrent ce test.

Fisher (1911, p. 405) a proposé le test connexe P(p0,p1,q0,λq0)=P(p0,p1,q0,q0)=Σi=1npi1qi0/Σi=1npi0qi0.

Ce test a été proposé par Diewert (1992a, p. 216).

«Ce [test] est si simple que nul n’a songé à le formuler. On le tient simplement pour acquis et on l’observe instinctivement. Toute règle appliquée à l’établissement d’une moyenne de produits doit être si générale qu’elle s’applique, de façon interchangeable, à tous les termes dont la moyenne est calculée» (Irving Fisher, 1922, p. 63).

Ce test a été proposé par Diewert (1992a, p. 218).

Ce test a été, semble-t-il, proposé pour la première fois par Eichhorn et Voeller (1976, p. 10).

Ce test a été proposé par Diewert (1992a, p. 219).

Bowley (1901, p. 227) et Fisher (1922, p. 403) préconisent tous deux cette propriété pour les indices des prix.

Voir Diewert (1992a, p. 221).

On trouvera d’autres caractérisations de l’indice de prix de Fisher dans Funke et Voeller (1978) ou dans Balk (1985; 1995).

Cependant, on démontrera au chapitre 19 que l’indice de Törnqvist est très proche de l’indice de Fisher quand on utilise des données de série temporelle normale affichant des tendances relativement régulières. On peut considérer que, dans de telles conditions, l’indice de Törnqvist passe les 20 tests avec un degré d’approximation relativement satisfaisant.

Cette assertion doit être nuancée: il existe beaucoup d’autres tests que nous n’avons pas analysés, et les statisticiens peuvent avoir des opinions différentes sur l’importance qu’il y a à satisfaire les différentes batteries de tests. D’autres tests sont examinés par Auer (2001; 2002), Eichhorn et Voeller (1976), Balk (1995) ou Vogt et Barta (1997), entre autres. La section E montre que l’indice de Törnqvist est idéal lorsqu’il est examiné en fonction d’une autre série d’axiomes.

Hill (1993, p. 395–97) qualifie ces méthodes multilatérales de méthode des blocs, tandis que Diewert (1996a, p. 250–51) parle de méthode du prix moyen. Diewert (1999b, p. 19) utilise quant à lui l’expression système multilatéral additif. Pour une présentation des diverses approches de la théorie des indices multilatéraux, voir Balk (1996a; 2001) et Diewert (1999b).

Diewert (2001) emploie cette expression.

On suppose que m(a,b) présente les deux propriétés suivantes: m(a,b) est une fonction positive et continue, définie pour tous les nombres positifs a et b, et m(a,a) = a pour tous les a > 0.

C’est l’indice des quantités qui correspond à l’indice des prix 8 défini par Walsh (1921a, p. 101).

Knibbs (1924) n’a pas relevé ce point.

Il est aussi fréquent que les analystes du secteur privé et du secteur public demandent une décomposition similaire de la variation des prix entre les différentes composantes sectorielles qui l’expliquent.

L’indice de quantité de Fisher a lui aussi une décomposition additive du type défini par l’équation (16.30) due à Van Ijzeren (1987, p. 6). Le ie prix de référence pi* est défini sous la forme pi* = [(1/2)pi0 + (1/2)pi1]/PF(p0,p1,q0,q1) pour i = 1,…,n dans laquelle PF est l’indice de prix de Fisher. Cette décomposition a aussi été calculée indépendamment par Dikhanov (1997). La décomposition de l’indice de quantités de Fisher par Van Ijzeren est utilisée à l’heure actuelle par le Bureau of Economic Analysis; voir Moulton and Seskin (1999, p. 16) ainsi que Ehemann, Katz and Moulton (2002).

Cette décomposition a été obtenue par Diewert (2002a) et par Reinsdorf, Diewert et Ehemann (2002). Son interprétation économique est donnée par Diewert (2002a).

Pour vérifier l’exactitude de cette décomposition, il faut introduire l’équation (16.38) dans l’équation (16.40) et résoudre l’équation qui en résulte pour QF. Il apparaît que la solution est égale à QF défini par l’équation (15.14) au chapitre 15.

Pour des références aux travaux dans ce domaine, voir Diewert (1993a, p. 37–38; 1995a; 1995b).

«Lorsque nous établissons nos moyennes, les fluctuations indépendantes s’annulent plus ou moins les unes les autres; la variation requise de l’or ne sera pas diminuée» (W. Stanley Jevons, 1863, p. 26.

Fisher (1922, p. 66) observe en fait que PC(p0,p1)PC(p1,p0) ≥ 1 à moins que le vecteur des prix p1 de la période 1 soit proportionnel au vecteur des prix p0 de la période 0; autrement dit, Fisher montre que l’indice de Carli est entaché d’un biais positif défini. Il encourage vivement les offices de statistique à ne pas utiliser cette formule. Walsh (1901, p. 331 et 530) trouve aussi ce résultat pour le cas où n = 2.

Greenlees (1999) souligne que, bien que 1nΣi=1nIn(pi1pi0) soit un estimateur non biaisé pour β, l’exponentielle correspondante de cet estimateur, PJ définie par l’équation (16.47), ne sera pas en général un estimateur non biaisé pour α dans le cadre de nos hypothèses stochastiques. Pour voir cela, posons xi = pi1/pi0. Si nous prenons les anticipations, nous avons: Exi = β = ln α. Définissons la fonction positive convexe f d’une variable x par f(x) = ex. L’inégalité de Jensen (1906) donne Ef(x) ≥ f (Ex). Si l’on pose que x est égal à la variable aléatoire xi, cette inégalité devient: E(pi1/pi0) = Ef(xi) ≥ f(Exi) = f(β) = eβ = eIn α = α. Pour chaque n, donc, p E(pi1/pi0) ≥ α, et l’on voit que l’indice de prix de Jevons sera entaché en général d’un biais positif dans le cadre des hypothèses stochastiques retenues.

Walsh (1901, p. 83) souligne aussi qu’il importe de prévoir des pondérations tenant correctement compte de l’importance économique des produits visés dans les périodes comparées: «Cela dit, assigner des pondérations non symétriques adaptées approximativement aux tailles relatives, que ce soit pour des séries temporelles de longue durée ou pour chaque période prise séparément, ne poserait guère de difficultés supplémentaires; et même une procédure approximative de ce type donnerait des résultats bien supérieurs à ceux produits par une pondération symétrique. Il est particulièrement absurde de s’abstenir d’utiliser des pondérations non symétriques très approximatives au motif qu’elles manquent de précision, et d’utiliser à leur place des pondérations symétriques beaucoup plus imprécises.»

Pour de plus amples informations sur ce point, voir la section B du chapitre 15.

Walsh (1901, p. 82–90; 1921a, p. 82–83) critique aussi l’absence de pondérations dans l’approche stochastique non pondérée de la théorie des indices.

Au chapitre 19, cet indice est appelé l’indice géométrique de Laspeyres, PGL. Vartia (1978, p. 272) y fait référence sous l’appellation d’indice logarithmique de Laspeyres. Cet indice est encore nommé indice géométrique pondéré à la période de référence.

Au chapitre 19, cet indice est appelé l’indice géométrique de Paasche, PGP. Vartia (1978, p. 272) y fait référence en parlant de l’indice logarithmique de Paasche. Cet indice est encore nommé indice géométrique pondéré à la période courante.

«L’indice de prix des prix défini dans les équations (1.8) et (1.9) utilise les n différences des logarithmes de prix comme composantes de base. Elles sont combinées de façon linéaire par une procédure de sélection aléatoire en deux étapes: nous donnons d’abord à chaque région la même chance (½) d’être choisie, et nous donnons ensuite à chaque euro dépensé dans la région choisie la même chance (1/ma ou 1/mb) d’être tiré» (Henri Theil, 1967, p. 138).

Le problème du biais de sélection étudié par Greenlees (1999) ne se pose pas en l’occurrence, car il n’est pas question d’échantillonnage dans l’équation (16.50): la somme des pi1/pi0 sur l’ensemble des i pour chaque période t est supposée être égale à l’agrégat en valeur Vt pour la période t.

C’est la formule numéro 9 de la liste d’indices établie par Fisher (1922, p. 466).

La preuve de cette assertion est faite par Balk et Diewert (2001).

Cet indice est entaché en fait du même biais positif que l’indice de Carli, en ce sens que Pu(p0,p1,q0,q1)Pu(p1,p0,q1,q0) r 1. Pour le démontrer, observons que l’inégalité précédente est équivalente à [Pu(p1,p0,q1,q0)]–1Pu(p0,p1,q0,q1) et qu’elle découle du fait qu’une moyenne harmonique pondérée de n nombres positifs est inférieure ou égale à la moyenne arithmétique pondérée correspondante; voir Hardy, Littlewood, and Pólya (1934, p. 26).

Fisher adopte lui aussi ce point de vue lorsqu’il décrit son approche de la théorie des indices: «L’indice des prix d’une série de produits est une moyenne de leurs rapports de prix. Pour être plus concrète, cette définition est exprimée en termes de prix. Mais, de la même manière, un indice peut être calculé pour les salaires, les quantités de produits importés ou exportés et, en fait, pour tout objet incluant des variations divergentes d’un groupe de grandeurs. Là encore, cette définition est exprimée en termes de temps, mais l’indice peut être appliqué de façon tout aussi pertinente aux comparaisons entre deux lieux ou, en fait, aux comparaisons entre les grandeurs d’un groupe d’éléments placés dans des conditions données et leurs grandeurs dans d’autres conditions» (Irving Fisher, 1922, p.3). Toutefois, en mettant au point cette approche axiomatique, Fisher a soumis à des axiomes les indices des prix et des quantités écrits sous forme de fonction des deux vecteurs des prix, p0 et p1, et des deux vecteurs des quantités, q0 et q1; autrement dit, il n’a pas écrit son indice des prix sous la forme P(r,v0,v1), ni soumis les indices de ce type à des axiomes. À la fin, bien sûr, il est apparu que son indice des prix idéal était la moyenne géométrique des indices de prix de Laspeyres et de Paasche et que, comme nous l’avons vu au chapitre 15, chacun de ces indices peut être écrit sous la forme d’une moyenne pondérée des parts de recettes pour les n rapports de prix, ri = pi1/pi0.

Le chapitre 3 de Vartia (1976a) examine une variante de cette approche axiomatique.

Il apparaît que l’indice des prix qui correspond à ce meilleur indice des quantités, défini sous la forme P*(p0,p1,v0,vi)=Σi=1nlnvi1/[Σi=1nlnvi0Q(q0,q1,v0,vi)], ne sera pas égal au meilleur indice des prix, P(p0,p1,v0,v1). L’approche axiomatique utilisée à la section E engendre par conséquent de meilleurs indices des prix et des quantités distincts, dont le produit n’est pas égal au rapport des valeurs en général. C’est un inconvénient de la seconde approche axiomatique des indices bilatéraux, comparée à la première approche étudiée à la section C.

On peut calculer l’indice de Walsh en utilisant les mêmes arguments que Theil, si ce n’est que la moyenne géométrique des parts de recettes (si0si1) pourrait être prise comme pondération aléatoire préliminaire pour le ième rapport de prix logarithmique, ln ri. Ces pondérations préliminaires sont ensuite normalisées en les divisant par leur somme pour que leur addition soit égale à l’unité. Il est évident que l’indice de prix géométrique de Walsh approchera de près l’indice de Theil utilisant les données de séries temporelles normales. Plus formellement, si l’on considère les deux indices comme des fonctions de p0,p1,v0,v1, on voit que PW(p0,p1,v0,v1) donne une approximation du second ordre de PT(p0,p1,v0,v1) autour d’un point d’égalité des prix (p0 = p1) et d’égalité des quantités (q0 = q1).

Dans les travaux des économistes, les axiomes de ce type sont appelés axiomes de séparabilité.

À proprement parler, puisque tous les prix et toutes les valeurs doivent être positifs, le membre de gauche de l’équation (16.70) devrait être remplacé par la limite vers laquelle on tend lorsque les valeurs du produit 1, v10 et v11, se rapprochent de 0.

L’indice de prix de Törnqvist–Theil satisfait aux 17 tests, mais la démonstration présentée à l’appendice 16.1 ne les utilisent pas tous pour établir le résultat en sens inverse: les tests T5, T13, T15 et, au choix, le test T10 ou le test T12, n’ont pas été sollicités pour démontrer qu’un indice satisfaisant aux tests restants doit être l’indice de prix de Törnqvist–Theil. Pour d’autres caractérisations de l’indice des prix de Törnqvist–Theil, voir Balk and Diewert (2001) et Hillinger (2002).

Hillinger (2002) propose de prendre la moyenne géométrique des indices de prix direct et implicite de Törnqvist–Theil pour résoudre ce dilemme. Malheureusement, l’indice qui en résulte n’est pas le meilleur pour l’une et l’autre série d’axiomes proposées dans cette section.

Walsh examine uniquement les cas où m correspond aux moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de r1 et r2.

«Cette tendance des solutions arithmétique et harmonique à tomber d’un extrême à l’autre en raison de leurs exigences excessives est une preuve manifeste de leur caractère erroné» (Correa Moylan Walsh, 1901, p. 231).

Cela veut dire que l’indice peut approcher de zéro ou de «plus l’infini».

Baldwin (1990, p. 255) a mis au point quelques-unes des propriétés axiomatiques de l’indice de Lowe.

Cette formule d’indice est aussi, très exactement, la formule d’indice de type A établie par Bean et Stine (1924, p. 31). Walsh (1901, p. 539) a d’abord attribué à tort la formule de Lowe à G. Poulett Scrope (1833), qui a écrit Principles of Political Economy en 1833 et suggéré la formule de Lowe sans reconnaître que Lowe avait la priorité en la matière. Dans son analyse des travaux de Fisher (1921), toutefois, Walsh (1921b, p. 543–44) répare cette erreur concernant l’inventeur de la formule: «Quel indice faut-il utiliser alors? Celuici: Σq p1/ Σq p0. C’est la méthode employée par Lowe il y cent ans de cela, à une ou deux années près. Dans mon ouvrage [de 1901], je l’ai appelée indice de Scrope; mais il faudrait parler d’indice de Lowe. Notons que cet indice n’utilise ni les quantités de l’année de référence, ni celles d’une année ultérieure. Les quantités utilisées devraient être des estimations approximatives de ce qu’ont été les quantités tout au long de la période ou de l’époque considérée.»

En appliquant ce test aux indices de Lowe et de Young, on suppose que le vecteur des quantités de l’année de référence qb et le vecteur des parts de recettes de l’année de référence sb sont soumis à la même permutation.

On se souviendra qu’au chapitre 15, le principal problème soulevé par l’indice de Lowe se pose lorsque que le vecteur des pondérations en quantités qb n’est pas représentatif des quantités achetées dans l’intervalle entre les périodes 0 et 1.

Plus explicitement, β1(s10,s11) = α1(s10,1,…,1;s11,1,…,1), etc. Autrement dit, dans la définition de β1(s10,s11), nous utilisons la fonction α1(s10,1,…,1;s11,1,…,1) dans laquelle on pose que toutes les composantes des vecteurs s0 et s1 sauf la première sont égales à un nombre positif arbitraire, par exemple à 1.

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