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17. Enfoque Económico de la Teoría de los Números Índice: El Caso en Que Hay un Único Hogar

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
November 2006
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Introducción

17.1 En este capítulo y el siguiente nos ocuparemos del enfoque económico de la teoría de los números índice. El presente capítulo considera el caso en el cual hay un único hogar, mientras que en el capítulo siguiente se analiza el caso en que hay muchos hogares. A continuación se resume el contenido de este capítulo.

17.2 En los párrafos 17.9–17.17 se presenta la teoría del índice del costo de la vida para un único consumidor u hogar. El origen de esta teoría se atribuye al economista ruso A. A. Konüs (1924). Se explicará la relación entre el índice verdadero (no observable) del costo de la vida y los índices observables de Laspeyres y de Paasche. Cabe señalar que en el enfoque económico de la teoría de los números índice se supone que los hogares consideran dados los datos sobre precios observados, mientras que los datos de cantidad se contemplan como soluciones a varios problemas de optimización económica. Numerosos expertos en estadísticas de precios consideran que los supuestos que establece el enfoque económico son poco convincentes. Tal vez lo mejor sea considerar a los supuestos del enfoque económico como supuestos que simplemente formalizan el hecho de que los consumidores tienden a comprar una mayor cantidad de un producto dado si su precio cae en relación con el de otros.

17.3 En los párrafos 17.18–17.26 se restringen las preferencias del consumidor en comparación con el caso totalmente general que se examina en los párrafos 17.9–17.17. En los párrafos 17.18–17.26 se supone que la función que representa las preferencias de los consumidores en términos de diferentes combinaciones de productos es homogénea de grado uno. Este supuesto implica que cada superficie de indiferencia (el conjunto de combinaciones de productos que otorgan al consumidor la misma satisfacción o utilidad) es una expansión radial de una única superficie de indiferencia. Con este supuesto adicional, veremos que se simplifica la teoría del verdadero costo de la vida.

17.4 En las secciones que comienzan en los párrafos 17.27, 17.33 y 17.44, se demuestra que los índices de precios de Fisher, de Walsh y de Törnqvist (que surgen como los “mejores” en los diversos enfoques no económicos) también se encuentran entre los “mejores” en el enfoque económico de la teoría de los números índice. En estas secciones, la función de preferencia del hogar individual se verá más restringida en comparación con los supuestos acerca de las preferencias de las dos secciones anteriores. Se suponen formas funcionales específicas para la función de utilidad del consumidor y resulta que, con cada uno de estos supuestos específicos, es posible calcular con exactitud el índice verdadero del costo de la vida utilizando datos observables de precios y cantidades. Cada una de las tres formas funcionales específicas para la función de utilidad del consumidor tiene la propiedad de incluir aproximaciones de segundo orden a cualquier función linealmente homogénea arbitraria; es decir, en la terminología económica, cada una de estas tres formas funcionales es flexible. Por lo tanto, utilizando la terminología introducida por Diewert (1976), los índices de precios de Fisher, de Walsh y de Törnqvist son ejemplos de fórmulas de números índice superlativos.

17.5 En los párrafos 17.50–17.54 mostraremos que los índices de precios de Fisher, de Walsh y de Törnqvist se aproximan mucho entre sí utilizando datos de series de tiempo “normales”. Este resultado es muy conveniente, dado que las fórmulas de estos tres índices surgen reiteradamente como las “mejores” en todos los enfoques de la teoría de los números índice. Por lo tanto, este resultado de aproximación implica que, en condiciones normales, no importa cuál de estos tres índices se elija como índice objetivo preferido para elaborar el índice de precios al consumidor (IPC).

17.6 Los índices de precios de Paasche y de Laspeyres tienen una propiedad matemática muy conveniente: son consistentes en la agregación. Por ejemplo, si se utiliza la fórmula de Laspeyres para construir subíndices de comestibles o de indumentaria, los valores de los subíndices pueden considerarse como relativos de precios subagregados y, utilizando en estos las participaciones en el gasto, podemos apelar nuevamente a la fórmula de Laspeyres para formar índices de precios de Laspeyres de dos etapas. El hecho de que un índice sea consistente en la agregación significa que este índice de dos etapas es igual al correspondiente índice de una sola etapa. En los párrafos 17.55–17.60 se demuestra que los índices superlativos que se desarrollaron en secciones anteriores no son exactamente consistentes en la agregación, pero sí muestran una consistencia aproximada en la agregación.

17.7 En los párrafos 17.61–17.64 se calcula una fórmula de número índice muy interesante: el índice de precios de Lloyd (1975) y Moulton (1996a). Esta fórmula de número índice recurre a la misma información que se requiere para calcular un índice de Laspeyres (a saber, las participaciones en el gasto del período base, los precios del período base y los precios del período corriente), más otro parámetro adicional (la elasticidad de sustitución entre productos). Si puede obtenerse información acerca de este parámetro adicional, el índice resultante puede reducir considerablemente el sesgo por sustitución y puede calcularse utilizando básicamente la misma información que se necesita para calcular el índice de Laspeyres.

17.8 En la sección que comienza con el párrafo 17.65 se considera el problema de definir el índice verdadero del costo de vida cuando los consumidores tienen preferencias anuales por productos, pero se enfrentan a precios mensuales (o trimestrales). Esta sección busca proporcionar un fundamento económico para el índice de Lowe estudiado en el capítulo 15, así como una introducción a los problemas asociados a la existencia de productos estacionales, que se analizan con mayor profundidad en el capítulo 22. En la última sección se consideran situaciones en las que un producto puede tener un precio nulo en un período pero distinto de cero en otro período.

Índice del costo de vida de Konüs y cotas observables

17.9 En esta sección examinaremos la teoría del costo de vida para un único consumidor (u hogar) desarrollada originariamente por el economista ruso Konüs (1924). Dicha teoría se basa en el supuesto del comportamiento optimizador por parte de los agentes económicos (consumidores y productores). Así, dado un vector de precios de productos pt al cual se enfrentan los hogares en un período dado de tiempo t, se supone que el correspondiente vector de cantidades observable qt es la solución a un problema de minimización de costos que involucra la función de preferencia o utilidad del consumidor, f1. Por lo tanto, a diferencia del enfoque axiomático de la teoría de los números índice, el enfoque económico no supone que los dos vectores de cantidades q0 y q1 son independientes de los dos vectores de precios p0 y p1. En el enfoque económico, el vector de cantidades del período 0, q0, se ve determinado por la función de preferencia del consumidor f y por el vector de precios del período 0, p0, al que se enfrentan los consumidores. A su vez el vector de cantidades del período 1, q1, está determinado por la función de preferencia del consumidor f y el vector de precios correspondiente al período 1, p1.

17.10 El enfoque económico de la teoría de los números índice supone que “el” consumidor tiene preferencias bien definidas respecto de diferentes combinaciones de los n productos o artículos2. Cada combinación de artículos puede representarse mediante un vector positivo de cantidades q = (q1,…, qn). Se supone que las preferencias del consumidor respecto de posibles alternativas de vectores de consumo, q, se hallan representadas por una función de utilidad f que es continua, no decreciente y cóncava3. Así, si f(q1)>f(q0), el consumidor prefiere el vector de consumo q1 por sobre q0. Además, se supone que el consumidor minimiza el costo de alcanzar el nivel de utilidad del período t, utf(qt), para los períodos t = 0, 1. Así, suponemos que el vector de consumo del período t, qt, resuelve el siguiente problema de minimización del costo para el período t:

El vector de precios del período t para los n productos en consideración al que se enfrenta el consumidor es pt. Cabe señalar que la solución al problema de minimización del costo o gasto (17.1) para un nivel de utilidad general u y para un vector general de precios de productos p define la función de costo del consumidor, C(u, p). Más adelante se utiliza la función de costo con el objeto de determinar el índice de precios del costo de vida del consumidor.

17.11 La familia de los índices verdaderos del costo de vida de Konüs (1924) correspondientes a dos períodos en los que el consumidor enfrenta vectores de precios estrictamente positivos p0(p0,,pn0) y p1(p11,,pn1) en los períodos 0 y 1, respectivamente, se encuentra definida como el cociente entre los costos mínimos necesarios para obtener el mismo nivel de utilidad uf(q) donde q ≡ (q1,…, qn) es un vector de cantidades de referencia positivo:

Cabe señalar que la definición (17.2) define una familia de índices de precios, porque hay un índice de esta clase para cada vector de cantidades de referencia elegido, q.

17.12 Es natural elegir dos vectores de cantidades de referencia específicos q en la definición (17.2): el vector de cantidades observado del período base q0 y el vector de cantidades del período corriente q1. La primera de estas dos elecciones da como resultado el siguiente índice verdadero del costo de vida de Laspeyres-Konüs:

utilizando la definición del problema de minimización del costo que define C(f(q0), p1)

dado que q0(q0,,qn0) es viable para el problema de minimización:

donde PL es el índice de precios de Laspeyres. Por lo tanto, el índice verdadero del costo de vida de Laspeyres-Konüs (no observable) se encuentra acotado superiormente por el índice de precios observable de Laspeyres4.

17.13 La segunda de las dos elecciones naturales para un vector de cantidades de referencia q en la definición (17.2) da como resultado el siguiente índice verdadero del costo de vida de Paasche-Konüs:

utilizando (17.1) para t = 0

utilizando la definición del problema de minimización del costo que define C(f(q0), p0)

dado que q1(q11,,qn1) es viable para el problema:

de minimización, C(f(q1),p0)≤Σi=1npi0qi1 y por lo tanto 1C(f(q1),p0)1Σi=1npi0qi1

donde PP es el índice de precios de Paasche. Por lo tanto, el índice verdadero del costo de vida de Paasche-Konüs (no observable) se encuentra acotado inferiormente por el índice de precios observable de Paasche5.

17.14 Es posible ilustrar las dos desigualdades (17.3) y (17.4) si solo hay dos productos; véase el gráfico 17.1. La solución al problema de minimización de costos en el período 0 es el vector q0. La línea recta que pasa por el punto C representa la restricción presupuestaria del consumidor en el período 0, el conjunto de puntos de cantidades q1, q2 tal que p10q1+p20q2=p10q10+p20q20. La curva por q0 es la curva de indiferencia del consumidor en el período 0, que es el conjunto de puntos q1, q2 tal que f(q1,q2)=f(q10,q20); es decir, es el conjunto de vectores de consumo que brindan la misma utilidad que el vector de consumo observado en el período 0, q0. La solución al problema de minimización de costos en el período 1 es el vector q1. La línea recta por D representa la restricción presupuestaria del consumidor en el período 1, el conjunto de puntos de cantidades q1, q2 tal que p11q1+p21q2=p11q11+p21q21. La curva que pasa por q1 es la curva de indiferencia del consumidor en el período 1, que es el conjunto de puntos q1q2 tal que f(q1,q2)=f(q11,q21); es decir, es el conjunto de vectores de consumo que otorgan la misma utilidad que el vector de consumo observado en el período 1, q1. El punto q0* resuelve el problema hipotético de minimizar el costo de obtener el nivel de utilidad del período base u0f(q0) cuando se está enfrentando el vector de precios del período 1, p*1=(p11,p21). Así, tenemos que C(u0,p1)=p11q10+p21q20 y la línea punteada por A es la correspondiente línea de isocosto p11q1+p21q2=C(u0,p1). Cabe señalar que la línea de costo hipotética que pasa por A es paralela a la línea de costo efectiva que pasa por D, correspondiente al período 1. De la ecuación (17.3), el índice verdadero de Laspeyres-Konüs es C(u0,p1)/[p10q10+p20q20], mientras que el índice de Laspeyres ordinario es [p11q10+p21q20]/[p10q10+p20q20]. Como los denominadores de estos dos índices son los mismos, la diferencia entre los índices se encuentra en sus numeradores. En el gráfico 17.1, la diferencia en los numeradores se expresa en el hecho de que la línea de costo que pasa por el punto A se encuentra por debajo de la línea de costo paralela por B. Ahora bien, si la curva de indiferencia del consumidor, por q0 (el vector de consumo en el período 0), se representase en forma de L con vértice en q0, el consumidor no cambiaría su patrón de consumo frente a cambios en los precios relativos de los dos productos y mantendría, a pesar de eso, un nivel de vida constante. En este caso, el vector hipotético q0* coincidiría con q0, la línea punteada que pasa por el punto A coincidiría con la línea punteada por el punto B y el índice verdadero de Laspeyres-Konüs coincidiría con el índice de Laspeyres ordinario. Sin embargo, las curvas de indiferencia en forma de L no suelen condecirse con el comportamiento del consumidor; es decir, cuando baja el precio de un producto, los consumidores suelen demandar una mayor cantidad de ese producto. Por lo tanto, en el caso general, se crea una brecha entre los puntos A y B, cuya magnitud representa el tamaño del sesgo por sustitución entre el índice verdadero y el respectivo índice de Laspeyres; es decir, el índice de Laspeyres suele ser mayor que el correspondiente índice verdadero del costo de vida, PK(p0, p1, q0).

Gráfico 17.1Los costos de Layperes y de Paasche para el índice verdadero del costo de vida

17.15 También es posible ilustrar la desigualdad (17.4) mediante el gráfico 17.1. Primero debe señalarse que las líneas punteadas que pasan por los puntos E y F son paralelas a la línea de isocosto del período 0, que pasa por C. El punto q1* representa una solución al problema hipotético de minimización del costo de obtener el nivel de utilidad del período corriente u1f(q1) al enfrentar el vector de precios correspondiente al período 0, p0=(p10,p20). Así, tenemos que C(u1,p0)=p10q11*+p20q21*. De la ecuación (17.4), el índice verdadero de Paasche-Konüs es [p11q11+p21q21]/C(u1,p0), mientras que el índice de Paasche ordinario es [p11q11+p21q21]/[p10q11+p20q21]. Como los numeradores de estos dos índices son los mismos, la diferencia entre los dos índices debe buscarse en los denominadores. En el gráfico 17.1, esta diferencia en los denominadores se debe al hecho de que la línea de costo que pasa por el punto E se encuentra por debajo de la línea de costo paralela por el punto F. La magnitud de esta diferencia representa el tamaño del sesgo de sustitución entre el índice verdadero y el respectivo índice de Paasche; es decir, el índice de Paasche es, por lo general, menor que el índice verdadero del costo de vida correspondiente, PK(p0, p1, q1). Cabe señalar que esta desigualdad va en la dirección contraria a la desigualdad anterior entre los dos índices de Laspeyres. La razón de este cambio de dirección puede atribuirse al hecho de que un conjunto de diferencias entre los dos índices tiene lugar en los numeradores (las desigualdades de Laspeyres), mientras que el otro conjunto se produce en los denominadores (las desigualdades de Paasche).

17.16 La cota (17.3) del índice verdadero del costo de vida de Laspeyres-Konüs PK(p0, p1, q0), que utiliza el nivel de utilidad del período base como estándar de vida, es unilateral, al igual que la cota (17.4) del índice verdadero del costo de vida de Paasche-Konüs PK(p0, p1, q1), que utiliza el nivel de utilidad del período corriente como estándar de vida. En un resultado notable, Konüs (1924; 1939, pág. 20) demostró que existe un vector de consumo intermedio q* que se encuentra en la línea recta que une el vector de consumo del período base q0 y el vector de consumo del período corriente q1 de forma tal que el correspondiente índice verdadero del costo de vida (no observable) PK(p0, p1, q*) se encuentra entre los índices observables de Laspeyres y de Paasche, PL y PP6. Por lo tanto, existe un número λ* entre 0 y 1 tal que:

Las desigualdades (17.5) revisten importancia práctica. Si los índices observables (en principio) de Paasche y de Laspeyres no son muy distintos, el cálculo de un promedio simétrico de estos índices debería brindar una buena aproximación a un índice verdadero del costo de vida, en el cual el estándar de vida de referencia se encuentra en algún punto entre los estándares de vida del período base y del período corriente. Para determinar el promedio simétrico preciso de los índices de Paasche y de Laspeyres, puede recurrirse a los resultados de los párrafos 15.18–15.32 del capítulo 15, y la media geométrica de los índices de Paasche y de Laspeyres puede justificarse como el “mejor” promedio, que es el índice de precios de Fisher. Por lo tanto, el índice de precios ideal de Fisher puede justificarse muy bien como una adecuada aproximación a un índice teórico inobservable del costo de vida.

17.17 Las cotas (17.3)–(17.5) de los índices verdaderos del costo de vida son las mejores que pueden obtenerse sin tener que recurrir a supuestos adicionales. Más adelante se establecen otros supuestos sobre la clase de funciones de utilidad que describen los gustos del consumidor para los n productos que se consideran. Con estos supuestos adicionales es posible determinar con exactitud el índice verdadero del costo de vida del consumidor.

Índice verdadero del costo de vida cuando las preferencias son homotéticas

17.18 Hasta el momento, la función de preferencias del consumidor, f, no ha tenido que satisfacer ningún supuesto particular sobre homogeneidad. En lo que resta de esta sección, se supone que f es (positivamente) linealmente homogénea7. En la literatura económica, esto se conoce como el supuesto de las preferencias homotéticas8. Este no se justifica estrictamente desde el punto de vista del comportamiento económico real, pero permite obtener índices de precios económicos independientes del estándar de vida del consumidor9. Bajo este supuesto, la función de costo o gasto del consumidor, C(u, p), definida por la ecuación (17.1), se desglosa de la siguiente manera. Para precios de productos positivos p ≫ 0N y un nivel de utilidad positivo u, al utilizar la definición de C como el mínimo costo necesario para alcanzar el nivel de utilidad dado u, se obtienen las siguientes igualdades:

donde c(p) = C(1, p) es la función de costo unitario que corresponde a f10. Se puede demostrar que la función de costo unitario c (p) satisface las mismas condiciones de regularidad que f; es decir, c (p) es positiva, cóncava y (positivamente) linealmente homogénea para vectores de precios positivos11. Al sustituir la ecuación (17.6) en la ecuación (17.1) y utilizar ut = f(qt) obtenemos la siguiente ecuación:

Por lo tanto, bajo el supuesto de homogeneidad lineal de la función de utilidad f, el gasto en los n productos observado en el período t es igual al costo c(pt) unitario en el período t de alcanzar una unidad de utilidad multiplicado por el nivel de utilidad del período t, f(qt). Sin duda, el costo unitario del período t, c(pt), puede identificarse como el nivel de precios del período t, Pt, y el nivel de utilidad del período t, f(qt), como el nivel de cantidades del período t, Qt12.

17.19 El supuesto de la homogeneidad lineal de la función de preferencia del consumidor f conduce a una simplificación para la familia de índices verdaderos del costo de vida de Konüs, PK(p0, p1, q), definidos por la ecuación (17.2). Utilizando esta definición para un vector de cantidades de referencia arbitrario q:

Así, de acuerdo con el supuesto de preferencias homotéticas, la familia completa de índices verdaderos del costo de vida de Konüs se reduce a un solo índice, c(p1)/c(p0), el cociente entre los costos mínimos de alcanzar el nivel unitario de utilidad cuando el consumidor se enfrenta a los precios de los períodos 1 y 0, respectivamente. Dicho de otro modo, bajo el supuesto de preferencias homotéticas, PK(p0, p1, q) es independiente del vector de cantidades de referencia q.

17.20 Si el índice verdadero del costo de vida de Konüs definido en el miembro derecho de la ecuación (17.8) se utiliza como concepto de índice de precios, entonces el índice de cantidades implícito correspondiente definido mediante el criterio del producto (es decir, el índice de precios multiplicado por el índice de cantidades es igual al cociente de valor) asume la forma que sigue:

utilizando (17.7) dos veces

Por lo tanto, bajo el supuesto de preferencias homotéticas, el índice de cantidades implícito que corresponde al índice verdadero del costo de vida c(p1)/c(p0) es el cociente de utilidad f(q1)/f(q0). Dado que se supone que la función de utilidad es homogénea de grado uno, esta es la definición natural para un índice de cantidades.

17.21 En la exposición que sigue se necesitarán dos resultados adicionales: la identidad de Wold y el lema de Shephard. La identidad de Wold (1944, págs. 69–71; 1953, pág. 145) consiste en el siguiente resultado. Suponiendo que el consumidor satisface los supuestos de minimización del costo (17.1) para los períodos 0 y 1 y que la función de utilidad f es diferenciable en los vectores de cantidades observados q0 y q1, se puede demostrar que13 se cumple la siguiente ecuación:

donde ∂f(qt)/∂qi denota la derivada parcial de la función de utilidad f con respecto a la cantidad i-ésima qi, calculada en el vector de cantidades del período t, qt.

17.22 Si se establece el supuesto de preferencias homotéticas y se supone que la función de utilidad es linealmente homogénea, es posible simplificar la identidad de Wold para obtener una ecuación que resultará de gran utilidad14:

17.23 El lema de Shephard (1953, pág. 11) es el siguiente resultado. Consideremos el problema de minimización del costo para el período t definido en la ecuación (17.1). Si la función de costo C(u, p) es diferenciable con respecto a los componentes del vector de precios p, entonces el vector de cantidades del período t, qt, es igual al vector de las derivadas parciales de primer orden de la función de costo con respecto a los componentes de p:

17.24 Para poder explicar por qué se cumple la ecuación (17.12), consideremos el siguiente argumento. Como se supone que el vector observado de cantidades en el período t, qt, resuelve el problema de minimización del costo definido por C(ut, pt), qt cumple con la restricción de este problema, con lo cual f(qt) = ut. Por lo tanto, qt también cumple con la restricción del siguiente problema de minimización del costo donde el vector de precios genérico p reemplaza al vector de precios específico del período t, pt:

donde la desigualdad surge del hecho de que qt(q1t,,qnt) cumple con la restricción del problema de minimización del costo de la ecuación (17.13) aunque en general no es óptimo. Ahora definamos como se indica a continuación la función g(p) para cada vector de precios estrictamente positivo p:

donde p ≡ (p1…, pn), como es habitual. Usando las ecuaciones (17.13) y (17.1), puede verse que g(p) se minimiza (para todos los vectores de precios estrictamente positivos, p) en p = pt. Por lo tanto, se verifican las condiciones necesarias de primer orden para minimizar una función diferenciable de n variables, que se convierten en la ecuación (17.12).

17.25 Si se adopta el supuesto de preferencias homotéticas y se supone que la función de utilidad es linealmente homogénea, al utilizar la ecuación (17.6) el lema de Shephard (17.12) pasa a ser:

Si combinamos las ecuaciones (17.15) y (17.7), obtenemos la siguiente ecuación:

17.26 Cabe señalar la simetría entre las ecuaciones (17.16) y (17.11). Estas dos ecuaciones son las que se utilizarán en lo que resta de este capítulo.

Índices superlativos: Índice ideal de Fisher

17.27 Supongamos que el consumidor tiene la siguiente función de utilidad:

Diferenciando la función f(q) definida en la ecuación (17.17) con respecto a qi, se obtiene la siguiente ecuación:

donde fi (q) = ∂f(qt)/∂qi. Con el objeto de obtener la primera igualdad en (17.18), es necesario utilizar las condiciones de simetría, aik = aki. Ahora en la segunda ecuación de (17.18) reemplacemos q por el vector observado de cantidades del período t,qt(q1t,,qnt) y dividamos ambos miembros de la ecuación resultante por f(qt). De este modo, obtenemos las siguientes ecuaciones:

Supongamos un comportamiento de minimización del costo por parte del consumidor en los períodos 0 y 1.

Como la función f definida por la ecuación (17.17) es linealmente homogénea y diferenciable, se cumplirá la ecuación (17.11). Retomemos la definición del índice de cantidades ideal de Fisher, QF, definido en el capítulo 15:

utilizando la ecuación (17.11) para t = 0

utilizando la ecuación (17.11) para t = 1

utilizando la ecuación (17.19)

utilizando la ecuación (17.17) y cancelando los términos

Así, suponiendo que el comportamiento del consumidor es minimizador de costos en los períodos 0 y 1 y que sus preferencias respecto de los n productos corresponden a la función de utilidad definida por la ecuación (17.17), el índice de cantidades ideal de Fisher QF es exactamente igual al índice verdadero de cantidades, f(q1)/f(q0)15.

17.28 Como se señaló en los párrafos 15.18–15.23 del capítulo 15, el índice de precios que corresponde al índice de cantidades de Fisher QF que utiliza el criterio del producto (15.3) es el índice de precios de Fisher PF, definido por la ecuación (15.12). Definamos c(p) como la función de costo unitario que corresponde a la función de utilidad cuadrática homogénea f definida por la ecuación (17.17). Entonces, utilizando las ecuaciones (17.16) y (17.20), se observa que

Por lo tanto, suponiendo que el consumidor adopta un comportamiento minimizador del costo en los períodos 0 y 1 y que sus preferencias respecto de los n productos que corresponden a la función de utilidad definida por la ecuación (17.17), el índice de precios ideal de Fisher PF es exactamente igual al índice verdadero de precios, c(p1)/c(p0).

17.29 Una función dos veces continuamente diferenciable f(q) de n variables q ≡ (q1,…, qn) es una aproximación de segundo orden a otra función f *(q) en torno al punto q*, si el nivel y todas las derivadas parciales de primer y segundo orden de las dos funciones coinciden en q*. Puede demostrarse16 que dada una función arbitraria f* en la clase de funciones homogéneas y un punto f* (estrictamente positivo), hay una función cuadrática homogénea f del tipo (17.17) que constituye una aproximación de segundo orden a f * en un entrono de q*. Por lo tanto, la forma funcional cuadrática homogénea definida en la ecuación (17.17) es una forma funcional flexible17. Diewert (1976, pág. 117) llamó fórmula de número índice superlativo18 a una fórmula de número índice Q(p0, p1, q0, q1) que es exactamente igual al índice verdadero de cantidades f(q1)/f(q0) (donde f es una forma funcional flexible). La ecuación (17.20) y el hecho de que la función cuadrática homogénea f definida por la ecuación (17.17) sea una forma funcional flexible demuestran que el índice de cantidades ideal de Fisher QF definido por la ecuación (15.14) es una fórmula de número índice superlativo. Dado que el índice de precios ideal de Fisher PF satisface la ecuación (17.21), donde c(p) es la función de costo unitario generada por la función de utilidad cuadrática homogénea, PF también recibe la denominación de fórmula de número índice superlativo.

17.30 Podríamos demostrar de otra manera que el índice de precios ideal de Fisher es una fórmula de número índice superlativo. En lugar de comenzar por suponer que la utilidad del consumidor es la función cuadrática homogénea definida en la ecuación (17.17), es posible partir del supuesto de que la función de costo unitario es una función cuadrática homogénea19. Así, supongamos que la función de costo unitario del consumidor es la siguiente:

Si diferenciamos c(p) definida por la ecuación (17.22) con respecto a pi, obtenemos las siguientes ecuaciones:

donde ci∂c(pt)/∂pi. Es necesario recurrir a las condiciones de simetría con el objeto de obtener la primera ecuación de (17.23). Ahora, en la segunda ecuación de (17.23) reemplacemos p por el vector de precios observado en el período qt(q1t,,qnt) y dividamos ambos miembros de la ecuación resultante por c(pt). Se obtiene la siguiente ecuación:

Como se supone que el comportamiento del consumidor es minimizador de costos en los períodos 0 y 1 y como la función de costo unitario c definida por la ecuación (17.22) es diferenciable, se verifican las ecuaciones (17.16). Recordemos la definición de índice de precios ideal de Fisher, PF, presentada en la ecuación (15.12) en el capítulo 15:

utilizando la ecuación (17.16) para t = 0

utilizando la ecuación (17.16) para t = 1

utilizando la ecuación (17.22) y cancelando términos

Por lo tanto, suponiendo que el comportamiento del consumidor durante los períodos 0 y 1 es minimizador de costos y que sus preferencias respecto de los n productos corresponden a la función de costo unitario definida por la ecuación (17.22), el índice de precios ideal de Fisher PF es exactamente igual al índice verdadero de precios, c(p1)/c(p0)20.

17.31 Dado que la función de costo unitario cuadrática homogénea c(p) definida por la ecuación (17.22) también es una forma funcional flexible, el hecho de que el índice de precios ideal de Fisher PF es exactamente igual al índice verdadero de precios c(p1)/c(p0) significa que PF es una fórmula de número índice superlativo21.

17.32 Supongamos que los coeficientes bik de la ecuación (17.22) satisfacen las siguientes restricciones:

donde los n números bi son no negativos. En el caso especial de la ecuación (17.22), es posible demostrar que la función de costo unitario se simplifica de la siguiente manera:

Al sustituir la ecuación (17.27) en el lema de Shephard (17.15) obtenemos las siguientes expresiones para los vectores de cantidades del período t, qt:

Por lo tanto, si las preferencias del consumidor están dadas por la función de costo unitario definida por la ecuación (17.22) donde bik satisface las restricciones (17.26), entonces los vectores de cantidades de los períodos 0 y 1 son múltiplos del vector b ≡ (b1,…, bn); es decir, q0 = bu0 y q1 = bu1. Bajo estos supuestos, los índices de Fisher, de Paasche y de Laspeyres, PF, PP y PL, coinciden. Sin embargo, las preferencias que corresponden a la función de costo unitario definida por la ecuación (17.27) no se condicen con el comportamiento normal del consumidor, pues implican que el consumidor no sustituye productos caros por más baratos si los precios relativos cambian del período 0 al período 1.

Índices superlativos de media cuadrática de orden r

17.33 Hay muchas otras fórmulas de números índice superlativos, es decir, existen varios índices de cantidades Q(p0, p1, q0, q1) que son exactamente iguales a f(q1)/f(q0) y varios índices de precios P(p0, p1, q0, q1) que son exactamente iguales a c(p1)/c(p0), donde la función agregadora f o la función de costo unitario c es una forma funcional flexible. A continuación se definen dos familias de índices superlativos.

17.34 Supongamos que el consumidor tiene la función de utilidad de media cuadrática de orden r22:

donde los parámetros aik satisfacen las condiciones de simetría aik = aki para todo i y para todo k y el parámetro r satisface la restricción r ≠ 0. Diewert (1976, pág. 130) demostró que la función de utilidad fr definida por la ecuación (17.29) es una forma funcional flexible, es decir que puede usarse como una aproximación de segundo orden a una forma funcional arbitraria dos veces continuamente diferenciable y linealmente homogénea. Cabe señalar que cuando r = 2, fr equivale a la función cuadrática homogénea definida por la ecuación (17.17).

17.35 Definamos al índice de cantidades de media cuadrática de orden r, Qr, mediante:

donde sitpitqit/Σk=1npktqkt es la participación en el gasto del producto i para el período t, como es habitual.

17.36 Utilizando las mismas técnicas que en los párrafos 17.27–17.32, puede demostrarse que Qr es exacta para la función agregadora fr definida por la ecuación (17.29); es decir, se verifica la siguiente relación exacta entre el índice de cantidades Qr y la función de utilidad fr:

Así, suponiendo que el comportamiento del consumidor en los períodos 0 y 1 es minimizar costos y que sus preferencias respecto de los n productos corresponden a la función de utilidad definida por la ecuación (17.29), el índice de cantidades de media cuadrática de orden r, Qf, es exactamente igual al índice verdadero de cantidades, fr(q1)/fr(q0)23. Como Qr es exacto para fr y fr es una forma funcional flexible, puede observarse que para cada r ≠ 0 el índice de cantidades de media cuadrática de orden r, Qr, es un índice superlativo. Por lo tanto, hay una cantidad infinita de índices superlativos de cantidades.

17.37 Para cada índice de cantidades Qr, es posible aplicar el criterio del producto (15.3) del capítulo 15 para definir el correspondiente índice implícito de precios de media cuadrática de orden r, Pr*:

donde cr* es la función de costo unitario que corresponde a la función agregada fr definida por la ecuación (17.29). Para cada r ≠ 0, el índice implícito de precios de media cuadrática de orden r, Pr*, también es un índice superlativo.

17.38 Cuando r = 2, Qr definido por la ecuación (17.30) queda reducido a QF, el índice de cantidades ideal de Fisher, y Pr* definido por la ecuación (17.32) queda reducido a PF, el índice de precios ideal de Fisher. Cuando r = 1, Qr definido por la ecuación (17.30) queda reducido a:

donde PW es el índice de precios de Walsh definido previamente por la ecuación (15.19) del capítulo 15. Por lo tanto, P1* es igual al índice de precios de Walsh PW y, en consecuencia, también es un índice de precios superlativo.

17.39 Supongamos que la función de costo unitario del consumidor es la siguiente función de media cuadrática de orden r24:

donde los parámetros bik satisfacen las condiciones de simetría bik = bki para todo i y para todo k, y el parámetro r satisface la restricción r ≠ 0. Diewert (1976, pág. 130) demostró que la función de costo unitario cr definida por la ecuación (17.34) es una forma funcional flexible, es decir que puede usarse como una aproximación de segundo orden a una forma funcional arbitraria dos veces continuamente diferenciable y linealmente homogénea. Cabe señalar que cuando r = 2, cr es igual a la función cuadrática homogénea definida por la ecuación (17.22).

17.40 Definamos al índice de precios de media cuadrática de orden r, Pr, como:

donde sitpit/Σk=1npktqkt es la participación en el gasto del producto i en el período t, como es habitual.

17.41 Utilizando exactamente las mismas técnicas que en los párrafos 17.27–17.32, puede demostrarse que Pr es exacto para la función agregadora definida por la ecuación (17.34); es decir, se verifica la siguiente relación exacta entre la fórmula de número índice Pr y la función de costo unitario cr:

Por lo tanto, suponiendo que en los períodos 0 y 1 el consumidor procura minimizar el costo y sus preferencias respecto de los n productos corresponden a la función de costo unitario definida por la ecuación (17.34), el índice de precios de media cuadrática de orden r, PF, es exactamente igual al índice verdadero de precios cr(p1)/cr(p0)25. Como Pr es exacto para cr y cr es una forma funcional flexible, se advierte que para cada r ≠ 0 el índice de precios de media cuadrática de orden r, Pr, es un índice superlativo. Así, habrá una cantidad infinita de índices de precios superlativos.

17.42 Para cada índice de precios Pr, puede utilizarse el criterio de producto (15.3) del capítulo 15 con el objeto de definir el índice de cantidades implícito Qr* de media cuadrática de orden r:

donde fr* es la función agregadora que corresponde a la función de costo unitario cr definida por la ecuación (17.34)26. Para cada r ≠ 0, el índice implícito de cantidades de media cuadrática de orden r, Qr*, también es un índice superlativo.

17.43 Cuando r = 2, Pr, definido por la ecuación (17.35), queda reducido a PF, que es el índice de precios ideal de Fisher, y Qr*, definido por la ecuación (17.37), queda reducido a QF, que es el índice de cantidades ideal de Fisher. Cuando r = 1, Pr, definido por la ecuación (17.35), queda reducido a:

donde QW es el índice de cantidades de Walsh definido anteriormente en la nota 30 del capítulo 15. Por lo tanto, Q1* es igual a QW, que es el índice de cantidades de Walsh y, por lo tanto, también es un índice de cantidades superlativo.

Índices superlativos: Índice de Törnqvist

17.44 En esta sección recurriremos a los mismos supuestos acerca del consumidor que en los párrafos 17.9–17.17. En particular, no se supone que la función de utilidad del consumidor f sea necesariamente linealmente homogénea como en los párrafos 17.18–17.43.

17.45 Antes de obtener el resultado principal se necesita un resultado preliminar. Supongamos que la función de n variables, f(z1,…, zn) = f(z), es cuadrática; es decir,

donde ai y aik son constantes. Sea fi(z) la derivada parcial de primer orden de f calculada en el punto z con respecto al i-ésimo componente de z, zi. Sea fik(z) la derivada parcial de segundo orden de f con respecto a zi y zk. Es bien sabido que la aproximación de Taylor de segundo orden a una función cuadrática es exacta; es decir que, si f se define mediante la ecuación (17.39), entonces para dos puntos cualesquiera, z0 y z1, se verifica la siguiente ecuación:

No es tan conocido que el promedio de dos aproximaciones de Taylor de primer orden a una función cuadrática también es exacto, es decir que, si f se encuentra definida por la ecuación (17.39) precedente, entonces para dos puntos cualesquiera, z0 y z1, se verifica la siguiente ecuación27:

Diewert (1976, pág. 118) y Lau (1979) demostraron que la ecuación (17.41) caracterizaba a una función cuadrática y denominaron a esta ecuación como el lema de la aproximación cuadrática. En este capítulo nos referimos a la ecuación (17.41) como la identidad cuadrática.

17.46 Supongamos que la función de costo del consumidor28C(u, p) tiene la siguiente forma funcional translogarítmica29:

donde ln es la función logaritmo natural y los parámetros ai, aik y bi satisfacen las siguientes restricciones:

Las restricciones impuestas a estos parámetros tienen por finalidad asegurar que C(u, p), definida por la ecuación (17.42), es linealmente homogénea en p, propiedad que debe tener toda función de costo. Es posible demostrar que la forma funcional de costos translogarítmica definida por la ecuación (17.42) puede brindar una aproximación de Taylor de segundo orden a una función de costo arbitraria30.

17.47 Supongamos que el consumidor tiene preferencias que se corresponden con la función de costo translogarítmica y que en los períodos 0 y 1 el consumidor busca minimizar el costo. Sean p0 y p1 los vectores de precios observados y q0 y q1 los vectores de cantidades observados en los períodos 0 y 1. Estos supuestos implican que:

donde C es la función de costo translogarítmica definida anteriormente. Si aplicamos ahora el lema de Shephard, la ecuación (17.12), se obtiene la siguiente ecuación:

Utilicemos ahora la ecuación (17.44) para reemplazar C(ut, pt) en la ecuación (17.45). Después de realizar algunas multiplicaciones cruzadas, resulta:

o bien:

donde sit es la participación en el gasto del producto i en el período t.

17.48 Definamos el promedio geométrico de los niveles de utilidad de los períodos 0 y 1 como u*; es decir, definamos:

Observemos ahora que el miembro derecho de la ecuación que define el logaritmo natural de la función de costo translogarítmica, la ecuación (17.42), es una función cuadrática de las variables zi = ln pi si la utilidad se mantiene constante en el nivel u*. Por lo tanto, se puede aplicar la identidad cuadrática (17.41), con lo cual se obtiene la siguiente ecuación:

Puede reconocerse a la última ecuación en (17.49) como el logaritmo de la fórmula de número índice de Törnqvist-Theil, PT, definido previamente por la ecuación (15.81) del capítulo 15. Por lo tanto, al exponenciar ambos miembros de la ecuación (17.49), obtenemos la siguiente igualdad entre el índice verdadero del costo de vida entre los períodos 0 y 1, calculado en el nivel de utilidad intermedio u* y el índice observable de Törnqvist-Theil PT31:

Dado que la función de costo translogarítmica que aparece en el miembro izquierdo de la ecuación (17.49) es una forma funcional flexible, el índice de precios de Törnqvist-Theil, PT, también es un índice superlativo.

17.49 Resulta algo curioso que un cociente de funciones de costo no observables de la forma de las que aparecen en el lado izquierdo de la ecuación precedente pueda estimarse con exactitud mediante una fórmula de número índice observable. La clave de esto es el supuesto del comportamiento minimizador del costo y la identidad cuadrática (17.41) junto con el hecho de que las derivadas de las funciones de costo equivalen a cantidades, como se especifica en el lema de Shephard. De hecho, todos los resultados de los números índice exactos derivados en los párrafos 17.27–17.43 pueden obtenerse utilizando las transformaciones de la identidad cuadrática junto con el lema de Shephard (o la identidad de Wold)32. Afortunadamente, para la mayoría de las aplicaciones empíricas, suponer que el consumidor tiene preferencias cuadráticas (transformadas) constituye un supuesto adecuado, de modo que los resultados presentados en los párrafos 17.27–17.49 son de utilidad para los expertos que trabajan con números índice que estén dispuestos a adoptar el enfoque económico de la teoría de los números índice33. En esencia, el enfoque económico justifica ampliamente el uso del índice de precios de Fisher PF, definido por la ecuación (15.12), del índice de precios de Törnqvist-Theil PT, definido por la ecuación (15.81), de los índices implícitos de precios de media cuadrática de orden r, Pr*, definidos por la ecuación (17.32) (cuando r = 1, este es el índice de precios de Walsh definido por la ecuación [15.19] del capítulo 15) y del índice de precios de media cuadrática de orden r Pr definido por la ecuación (17.35). En la próxima sección nos ocuparemos de analizar si la elección de una de estas fórmulas como la “mejor” es relevante.

Propiedades de aproximación de los índices superlativos

17.50 Los resultados de los párrafos 17.27–17.49 brindan a los expertos en estadística de precios una gran cantidad de fórmulas de números índice que resultan ser igualmente adecuadas desde el punto de vista del enfoque económico de la teoría de los números índice. Como consecuencia de estos resultados surgen dos preguntas:

  • ¿Tiene relevancia cuál de estas fórmulas se elija?

  • En caso afirmativo, ¿cuál de ellas debería elegirse?

17.51 Con respecto a la primera pregunta, Diewert (1978, pág. 888) demostró que todas las fórmulas de números índice mencionadas en los párrafos 17.27–17.49 se aproximan entre sí en el segundo orden en torno a cualquier punto donde los dos vectores de precios, p0 y p1, sean iguales y los vectores de cantidades, q0 y q1, también sean iguales. En particular, ello significa que las siguientes igualdades resultan válidas para todo r y s distintos de 0, con la condición de que p0 = p1 y q0 = q134.

donde el índice de precios de Törnqvist-Theil PT está definido por la ecuación (15.81), el índice de precios implícito de media cuadrática de orden s, Ps*, está definido por la ecuación (17.32) y el índice de precios de media cuadrática de orden r, Pr, está definido por la ecuación (17.35). Aplicando los resultados de los párrafos anteriores, Diewert (1978, pág. 884) concluye que “todos los índices superlativos se aproximan entre sí”.

17.52 No obstante, si bien las ecuaciones (17.51)–(17.56) son verdaderas, la conclusión anterior no lo es. El problema es que el índice implícito de precios de media cuadrática de orden r, Pr, y el índice de precios de media cuadrática de orden s, Ps*, son funciones (continuas) de los parámetros r y s, respectivamente. Por lo tanto, cuando r y s se vuelven muy grandes en magnitud, los índices Pr y Ps* pueden diferir sustancialmente respecto de, por ejemplo, P2 = PF, que es el índice de precios ideal de Fisher. De hecho, al utilizar la definición (17.35) y las propiedades de los límites de las medias de orden r35, Robert Hill (2002, pág. 7) demostró que cuando r tiende a más o menos infinito, Pr tiene el siguiente límite:

Utilizando el método de análisis de Hill, puede demostrarse que el índice de precios implícito de media cuadrática de orden r tiene el siguiente límite cuando r tiende a más o menos infinito:

Por lo tanto, para un r de gran magnitud, Pr y Pr* pueden diferir sustancialmente respecto de PT, P1, P1* = PW (el índice de precios de Walsh) y P2 = P2* = PF (el índice ideal de Fisher)36.

17.53 Si bien los resultados teóricos y empíricos de Hill demuestran de manera concluyente que no necesariamente todos los índices superlativos se aproximan entre sí, todavía cabe preguntarse hasta qué punto se aproximan entre sí los índices superlativos más difundidos. Todos los índices superlativos más comunes, Pr y Pr*, se ubican dentro del intervalo 0 ≤ r ≤ 237. Hill (2002, pág. 16) resumió la distancia existente entre los índices de Törnqvist y Fisher realizando todas las comparaciones bilaterales posibles entre dos puntos de datos de sus series temporales, como se señala a continuación:

También es de interés la diferencia superlativa S(0,2) dado que, en la práctica, el índice de Törnqvist (r = 0) y el índice de Fisher (r = 2) son los índices superlativos más utilizados. En las 153 comparaciones bilaterales, S(0,2) es menor a la diferencia entre Paasche y Laspeyres y, en promedio, la diferencia superlativa es de solo el 0,1%. En la literatura sobre los números índice ha persistido la percepción errónea de que todos los índices superlativos se aproximan mucho entre sí debido a que hasta el momento se ha prestado atención en forma casi exclusiva a los índices superlativos en el rango 0 ≤ r ≤ 2.

Así, en el caso de los datos de series temporales de Hill, que abarcan 64 componentes del producto interno bruto de Estados Unidos desde 1977 hasta 1994, y realizando todas las comparaciones bilaterales posibles entre dos años cualesquiera, los índices de precios de Fisher y de Törnqvist difieren apenas en un 0,1% en promedio. Esta correspondencia estrecha se condice con los resultados de otros estudios empíricos que utilizan datos de series temporales anuales38. Puede encontrarse evidencia adicional a este respecto en el capítulo 19.

17.54 En los primeros capítulos de este manual, notamos que varias fórmulas de números índice parecen “mejores” cuando se las considera desde diversas perspectivas. Así, el índice de precios ideal de Fisher PF = P2 = P2* definido por la ecuación (15.12) parece ser mejor desde un punto de vista axiomático, el índice de precios de Törnqvist-Theil PT definido por la ecuación (15.81) parecer ser mejor desde otra perspectiva axiomática, así como también desde el punto de vista estocástico, y el índice de Walsh PW definido por la ecuación (15.19) (que equivale al índice de precios implícito de media cuadrática de orden r, Pr* definido por la ecuación [17.32] cuando r = 1) parece ser mejor desde el punto de vista del índice de precios “puro”. Los resultados presentados en esta sección indican que para datos de series temporales “normales”, estos tres índices arrojan prácticamente la misma respuesta. Para determinar cuáles de estos tres índices utilizar como índice objetivo teórico o como índice en la práctica, la oficina de estadística tendrá que decidir qué enfoque de la teoría bilateral de los números índice está más en consonancia con sus metas. Para fines prácticos, sin embargo, no interesa cuál de estos tres índices se elija como índice objetivo teórico para establecer comparaciones de precios entre dos períodos.

Índices superlativos y de agregación en dos etapas

17.55 La mayoría de las oficinas de estadística utilizan la fórmula de Laspeyres para agregar los precios en dos etapas. En la primera etapa de agregación, la fórmula de Laspeyres se utiliza para agregar los componentes del índice general (por ejemplo, alimentos, prendas de vestir, servicios); luego, en la segunda etapa de agregación, estos subíndices se combinan en un índice general. Naturalmente, surge la siguiente pregunta: ¿coincide el índice calculado en dos etapas de agregación con el índice calculado en una sola etapa? En primer lugar, esta pregunta se responde en el contexto de la fórmula de Laspeyres39.

17.56 Supongamos que los datos de precios y cantidades para el período t, pt y qt, pueden expresarse en términos de M subvectores, como se detalla a continuación:

donde la dimensión de los subvectores, ptm y qtm, es Nm para m = 1, 2, …, M, donde la suma de las dimensiones Nm equivale a n. Estos subvectores corresponden a los datos de precios y cantidades de los subcomponentes de los índices de precios al consumidor para el período t. Ahora construyamos subíndices para cada uno de estos componentes, yendo del período 0 al 1. Igualemos a 1 el precio Pm0(m=1,2,,M) de cada uno de estos subcomponentes en el período base y supongamos que las cantidades correspondientes Qm0(m=1,2,,M) de los subcomponentes en el período base son iguales al valor del consumo del período base para ese subcomponente para m = 1, 2,…, M:

Ahora utilicemos la fórmula de Laspeyres para construir un precio Pm1(m=1,2,,M) del período 1 para cada subcomponente del IPC. Dado que la dimensión de los vectores subcomponentes, ptm y qtm, difiere de la dimensión de los vectores de precios y cantidades del período completo t, pt y qt, es necesario usar símbolos distintos para los índices de Laspeyres de los subcomponentes, por ejemplo PLm para m=1,2,….,M. Por lo tanto, los precios de los subcomponentes del período 1 se definen de la siguiente manera:

Una vez que los precios del período 1 para los M subíndices han sido definidos por la ecuación (17.61), pueden definirse las correspondientes cantidades de los subcomponentes del período 1, Qm1 para m=1,2,….,M, deflactando los valores de los subcomponentes para el período 1 Σi=1Nmpi1mqi1m por los precios Pm1:

Ahora definamos los vectores de precios o cantidades de los subcomponentes para cada período t = 0,1 recurriendo a las ecuaciones (17.60)–(17.62). Definamos los vectores de precios P0 y P1 de los subcomponentes para los períodos 0 y 1 de la siguiente manera:

donde 1M denota un vector de dimensión M cuyos componentes son todos iguales a uno y los componentes de P1 están definidos por la ecuación (17.61). Los vectores de cantidades Q0 y Q1 de los subcomponentes de los períodos 0 y 1 se definen como sigue:

donde los componentes de Q0 están definidos por la ecuación (17.60) y los componentes de Q1 por la ecuación (17.62). Los vectores de precios y cantidades de la ecuaciones (17.63) y (17.64) representan los resultados de la primera etapa de agregación. Ahora utilicemos estos vectores en la segunda etapa del problema de agregación; es decir, apliquemos la fórmula de índice de precios de Laspeyres, usando la información de las ecuaciones (17.63) y (17.64) para la fórmula de número índice. Dado que los vectores de precios y cantidades que aparecen en la segunda etapa del problema son de dimensión M, a diferencia de la fórmula de una sola etapa de agregación que utiliza vectores de dimensión n, se requiere utilizar un símbolo diferente para el nuevo índice de Laspeyres, que denotaremos PL*. Así, el índice de precios de Laspeyres calculado en dos etapas puede denotarse como PL*.(P0,P1,Q0,Q1).. Ahora analicemos si este índice de Laspeyres en dos etapas es igual al correspondiente índice en una etapa, PL, que estudiamos en secciones anteriores de este capítulo; es decir, si:

Si se utiliza la fórmula de Laspeyres en cada etapa de agregación, la respuesta a la pregunta precedente es afirmativa: mediante cálculos sencillos se comprueba que el índice de Laspeyres calculado en dos etapas es igual al índice de Laspeyres calculado en una sola etapa.

17.57 Ahora supongamos que se utiliza la fórmula de Fisher o de Törnqvist en cada etapa de agregación. Así, en la ecuación (17.61) suponemos que la fórmula de Laspeyres PTm(p0m,p1m,q0m,q1m) se reemplaza por la fórmula de Fisher PFm(p0m,p1m,q0m,q1m) o por la fórmula de Törnqvist PTm(p0m,p1m,q0m,q1m); y en la ecuación (17.65) suponemos que PL*(P0,P1,Q0,Q1) se reemplaza por PF*(o por PT*) y PL(p0,p1,q0,q1) se reemplaza por PF (o por PT). Entonces, ¿obtenemos la contrapartida del resultado de la agregación en dos etapas de la fórmula de Laspeyres, a saber, la ecuación (17.65)? La respuesta es negativa. Es posible demostrar que, en general:

De manera similar, es posible demostrar que la fórmula de número índice de media cuadrática de orden r, Pr*, definida por la ecuación (17.35), y la fórmula implícita de número índice de media cuadrática de orden r, Pr*, definida por la ecuación (17.32), tampoco son consistentes en la agregación.

17.58 De todos modos, aun cuando las fórmulas de Fisher y de Törnqvist no son exactamente consistentes en la agregación, se puede demostrar que sí lo son en forma aproximada. En concreto, se puede demostrar que la fórmula de Fisher en dos etapas PF* y la fórmula de Fisher en una etapa PF en la desigualdad de (17.66), ambas consideradas funciones de las 4n variables en los vectores p0, p1, q0, q1, son aproximaciones de segundo orden la una de la otra en torno a un punto en el cual los dos vectores de precios son iguales (de manera tal que p0 = p1) y los dos vectores de cantidades también lo son (de manera tal que q0 = q1), y un resultado similar se verifica para la agregación en dos etapas y en una etapa de los índices de Törnqvist en la ecuación (17.66)40. Como vimos en la sección anterior, los índices de Fisher y de Törnqvist en una etapa manifiestan una propiedad de aproximación similar, con lo cual los cuatro índices de la desigualdad (17.66) son aproximaciones de segundo orden las unas de las otras en torno a un punto de precios y cantidades iguales (o proporcionales). Por lo tanto, en el caso de los datos de series temporales normales, los índices de Fisher y de Törnqvist en una y dos etapas suelen encontrarse numéricamente muy cercanos. Este resultado se ejemplifica en el capítulo 19 para un conjunto de datos artificiales41.

17.59 Pueden obtenerse resultados similares de aproximación en cuanto a la consistencia en la agregación (similares a los resultados para las fórmulas de Fisher y de Törnqvist explicados en los párrafos anteriores) para el índice de media cuadrática de orden r, Pr, y para el índice implícito de media cuadrática de orden r, Pr*; véase Diewert (1978, pág. 889). De todas formas, los resultados de Hill (2002) nuevamente implican que la propiedad de aproximación en el segundo orden del índice de media cuadrática de orden r, Pr, a su contrapartida de dos etapas queda sin efecto a medida que r tiende a más o menos infinito. Para comprobarlo, analicemos un sencillo ejemplo en el que hay solo cuatro productos. Supongamos que el primer cociente de precios p11/p10 es igual al número positivo a, los dos cocientes siguientes p11/p10 son iguales a b y el último cociente de precios p41/p40 es igual a c, donde se supone que a < c y abc. Si aplicamos el resultado de Hill (17.57), el valor límite del índice en una etapa es:

Ahora agreguemos los productos 1 y 2 en un subagregado y los productos 3 y 4 en otro subagregado. Usando el resultado de Hill (17.57) nuevamente, puede verse que el índice de precios límite para el primer subagregado es [ab]½ y el índice de precios límite para el segundo subagregado es [bc]½. Aplicando la segunda etapa de agregación y utilizando el resultado de Hill nuevamente, podemos concluir que el valor límite de la agregación en dos etapas con Pr como fórmula de número índice es [ab2c]¼. Así, el valor límite cuando r tiende a más o menos infinito del agregado en una etapa sobre el agregado en dos es [ac]½/[ab2c]¼. Ahora bien, b puede adoptar cualquier valor entre a y c, por lo cual el cociente entre el límite en una sola etapa, Pr, y su contrapartida en dos etapas puede adoptar cualquier valor entre [a/c]¼ y [c/a]¼. Dado que c/a es mayor que 1 y a/c es menor que 1, se observa que el cociente entre el índice de una etapa y el índice de dos etapas puede alejarse arbitrariamente de 1 a medida que r aumenta en magnitud con una elección apropiada de los números a, b y c.

17.60 Los resultados del párrafo anterior demuestran que es necesario tener cuidado al suponer que todos los índices superlativos resultan aproximadamente consistentes en la agregación. Sin embargo, en el caso de los tres índices superlativos más comunes (el índice ideal de Fisher PF, el índice de Törnqvist-Theil PT y el índice de Walsh PW), existe evidencia empírica de que satisfacen la propiedad de consistencia en la agregación en un grado suficientemente alto de aproximación, de modo tal que los usuarios no deben preocuparse a causa de inconsistencias42.

Fórmula de número índice de Lloyd-Moulton

17.61 La fórmula de número índice que examinaremos en esta sección referida al enfoque económico de la teoría de los números índice para el caso de un único hogar es una fórmula potencialmente muy útil para aquellas oficinas de estadística que se enfrentan al problema de elaborar el IPC puntualmente. La fórmula de Lloyd-Moulton que analizaremos aquí utiliza la misma información que se requiere para implementar el índice de Laspeyres, con el agregado de un dato adicional.

17.62 En esta sección se parte de los mismos supuestos sobre el consumidor que en los párrafos 17.18–17.26. En particular, se supone que la función de utilidad del consumidor f(q) es linealmente homogénea43 y que la función de costo unitario correspondiente es c(p). Se supone que la función de costo unitario tiene la siguiente forma funcional:

donde αi y σ son parámetros no negativos con Σi=1nαi=1. La función de costo unitario definida por la ecuación (17.68) corresponde a una función agregadora de elasticidad de sustitución constante (CES), que fue introducida en la literatura económica por Arrow, Chenery, Minhas y Solow (1961)44. El parámetro σ es la elasticidad de sustitución; cuando σ= 0, la función de costo unitario definida por la ecuación (17.68) pasa a ser lineal en los precios y, por lo tanto, corresponde a una función agregadora de coeficientes fijos que presenta 0 sustitución entre todos los productos. Cuando σ = 1, la correspondiente función agregadora o función de utilidad es una función Cobb-Douglas. Cuando σ tiende a +∞, la correspondiente función agregadora f se aproxima a una función agregadora lineal que presenta un nivel de sustitución infinito entre cada par de insumos. La función de costo unitario CES definida por la ecuación (17.68) no es una forma funcional totalmente flexible (a menos que la cantidad n de productos que se agrega sea 2), pero es considerablemente más flexible que la función agregadora de sustitución cero (este es el caso especial de la ecuación [17.68] donde σ se iguala a cero) que es exacta para los índices de precios de Laspeyres y de Paasche.

17.63 Si suponemos un comportamiento minimizador de costos en el período 0, el lema de Shephard (17.12) establece que el consumo del producto i observado en el primer período, qi0 es igual a u0∂c(p0)/∂pi donde ∂c(p0)/∂pi es la derivada parcial de primer orden de la función de costo unitario con respecto al precio del i-ésimo producto calculado en el vector de los precios del período 0 y u0 = f(q0) es el nivel agregado (no observable) de utilidad del período 0. Al utilizar la forma funcional CES definida por la ecuación (17.68) y suponiendo que σ ≠ 1, se obtienen las siguientes ecuaciones:

Estas ecuaciones pueden volver a expresarse como:

donde r ≡ 1 – σ. Ahora consideremos la siguiente fórmula de número índice de Lloyd (1975) y Moulton (1996a):

donde si0 es la participación en el gasto del período 0 para el producto i, como es habitual:

Si se usa el resultado de (17.72) para sustituir s10 en la ecuación (17.71), se obtiene:

17.64 La ecuación (17.73) muestra que la fórmula de número índice de Lloyd-Moulton PLM es exacta para preferencias del tipo CES. Lloyd (1975) y Moulton (1996a) obtuvieron este resultado en forma independiente, pero fue Moulton quien apreció la significancia de la fórmula (17.71) para los propósitos de las oficinas de estadística. Con la finalidad de aplicar la fórmula (17.71), es necesario obtener información acerca de:

  • Las participaciones en el gasto del período base si0.

  • Los relativos de precios entre el período base y el período corriente pi1/pi0.

  • Una estimación de la elasticidad de sustitución entre los productos del agregado, σ.

Los dos primeros puntos son los conjuntos de información estándar que utilizan las oficinas de estadística para calcular el índice de precios de Laspeyres PL (nótese PLM se reduce a PL si σ = 0). Por lo tanto, si la oficina de estadística es capaz de estimar la elasticidad de sustitución σ sobre la base de experiencias pasadas45, puede calcularse el índice de precios de Lloyd-Moulton utilizando, en esencia, la misma información que se utiliza para calcular el índice de Laspeyres tradicional. Además, el IPC resultante no tendrá sesgo de sustitución en un nivel razonable de aproximación46. Por supuesto, el problema práctico de implementar esta metodología es que las estimaciones del parámetro de la elasticidad de sustitución σ serán algo inciertas, lo cual llevará a cuestionar la objetividad y la reproducibilidad del índice de Lloyd Moulton resultante. La oficina de estadística tendrá que sopesar estos posibles costos en relación con los beneficios de reducir el sesgo de sustitución.

Preferencias anuales y precios mensuales

17.65 Recordemos la definición del índice de Lowe, PLo(p0, p1, q), presentada en la ecuación (15.15), en el capítulo 15. En los párrafos 15.33–15.64 de ese capítulo se menciona que esta fórmula es frecuentemente utilizada por las oficinas de estadística como un índice meta a los fines del IPC. También se señala que, mientras los vectores de precios p0 (el vector de precios del período base) y p1 (el vector de precios del período corriente) son vectores de precios mensuales o trimestrales, el vector de cantidades q = (q1, q2,…, qn) que aparece en esta fórmula de tipo canasta suele tomarse como un vector de cantidades anuales que hace referencia al año base, por ejemplo b, que es anterior al período base de los precios, el mes 0. Por lo tanto, las oficinas de estadística tenderán a elaborar un IPC con frecuencia mensual que tenga la forma PLo(p0, pt, qb), donde p0 es el vector de precios correspondiente al período base de los precios, el mes 0, pt es el vector de precios correspondiente al período corriente de los precios, el mes t, y qb es un vector canasta de cantidades de referencia que corresponde al año base b, que es igual o anterior al mes 047. La pregunta que debe responderse en esta sección es: ¿puede relacionarse este índice con uno basado en el enfoque económico de la teoría de los números índice?

Índice de Lowe como aproximación a un índice verdadero del costo de vida

17.66 Supongamos que las preferencia del consumidor definidas para vectores de consumo q = [q1,…,qn] están representadas por una función de utilidad continua y creciente, f(q). De esta manera, si f(q1) > f(q0), el consumidor prefiere el vector de consumo q1 al vector q0. Definamos qb como el vector de consumo anual para el consumidor en el año base b. Definamos el nivel de utilidad del año base ub como el nivel de utilidad que corresponde a f(q) calculado en qb:

17.67 Para cualquier vector de precios positivos de productos p = [p1,…, pn] y para cualquier nivel factible de utilidad u, la función de costo del consumidor, C(u, p), se define, como de costumbre, como el nivel mínimo de gasto necesario para alcanzar el nivel de utilidad u cuando se enfrentan los precios p:

Sea pb[p1b,,pnb] el vector de precios anuales al que se enfrentaba el consumidor en el año base b. Supongamos que el vector de consumo observado en el año base qb[q1b,,qnb] resuelve el siguiente problema de minimización del costo para el año base:

Utilizaremos la función de costo para definir el índice de precios del costo de vida.

17.68 Definamos p0 y pt como los vectores de precios a los que se enfrenta el consumidor en los meses 0 y t. Así, el índice verdadero del costo de vida de Konüs, PK(p0, pt, qb), entre los meses 0 y t, usando el nivel de utilidad del año base ub = f(qb) como el estándar de vida de referencia, se define como el siguiente cociente de los costos mensuales mínimos necesarios para alcanzar el nivel de utilidad ub:

17.69 Si recurrimos a la definición del problema de minimización del costo mensual que corresponde al costo C(f(qb), pt), vemos que se verifica la siguiente desigualdad:

dado que el vector de cantidades del año base qb cumple con la restricción del problema de minimización del costo. De manera similar, recurriendo a la definición del problema de minimización del costo mensual que corresponde al costo del mes 0, C(f(qb), p0), vemos que se verifica la siguiente desigualdad:

dado que el vector de cantidades del año base qb cumple con la restricción del problema de minimización del costo.

17.70 Resultará útil reescribir las dos desigualdades (17.78) y (17.79) como igualdades. Esto se puede realizar si los términos no negativos del sesgo de sustitución, et y e0, se sustraen del miembro derecho de estas dos desigualdades. Por lo tanto, la desigualdades (17.78) y (17.79) pueden volver a expresarse como:

17.71 Al utilizar las ecuaciones (17.80) y (17.81) y la definición (15.15) del índice de Lowe del capítulo 15, se obtiene la siguiente igualdad aproximada para el índice de Lowe:

Por lo tanto, si los términos no negativos del sesgo de sustitución e0 y et son pequeños, el índice de Lowe entre los meses 0 y t, PLo constituirá una aproximación adecuada al índice verdadero del costo de vida entre los meses 0 y t, PK(p0, ptqb).

17.72 Mediante una serie de cálculos algebraicos se demuestra que el índice de Lowe es exactamente igual a su contrapartida del costo de vida si los términos del sesgo de sustitución satisfacen la siguiente relación48:

Las ecuaciones (17.82) y (17.83) pueden ser interpretadas de la siguiente manera: si la tasa de crecimiento del tamaño del sesgo de sustitución entre los meses 0 y t es igual a la tasa de crecimiento del costo mínimo necesario para alcanzar el nivel de utilidad del año base ub entre los meses 0 y t, el índice observable de Lowe, PLo(p0, ptqb), será exactamente igual a su contrapartida, el índice verdadero del costo de vida, PK(p0, pt, qb)49.

17.73 Es difícil saber si se verificará la condición (17.83) o si los términos del sesgo de sustitución e0 y et serán pequeños. Por lo tanto, en los párrafos 17.74–17.83 se desarrollan aproximaciones de Taylor de primer y segundo orden a estos términos del sesgo de sustitución.

Aproximación de primer orden al sesgo del índice de Lowe

17.74 El índice verdadero del costo del vida entre los meses 0 y t, que utiliza el nivel de utilidad del año base ub como nivel de utilidad de referencia, es el cociente entre dos costos no observables, C(ub,pt)/C(ub, p0). Pero ambos costos hipotéticos pueden ser aproximados mediante series de Taylor de primer orden que pueden calcularse utilizando información observable sobre precios y cantidades del año base. La aproximación de Taylor de primer orden a C(ub, pt) en torno al vector de precios del año base pb está dada por la siguiente ecuación aproximada50:

utilizando el supuesto (17.76) y el lema de Shephard (17.12)

De manera similar, la aproximación de Taylor de primer orden a C(ub, p0) en torno al vector de precios del año base pb está dada por la siguiente ecuación aproximada:

17.75 Al comparar la ecuación aproximada (17.84) con la ecuación (17.80) y la ecuación aproximada (17.85) con la ecuación (17.81), es posible ver que, con la precisión de las aproximaciones de primer orden utilizadas en (17.84) y (17.85), los términos del sesgo de sustitución et y e0 serán iguales a cero. Utilizando estos resultados para volver a interpretar la ecuación aproximada (17.82), se observa que si los vectores de precios del mes 0 y del mes t, p0 y pt, no difieren demasiado del vector de precios del año base pb, el índice de Lowe PLo(p0, pt, qb) se aproximará al índice verdadero del costo de vida PK(p0, pt, qb) con la precisión de una aproximación de primer orden. Este resultado es muy útil, pues indica que si los vectores de precios mensuales p0 y pt, son solo fluctuaciones aleatorias en torno de los precios del año base pb (con varianzas modestas), el índice de Lowe servirá como aproximación adecuada al índice teórico del costo de la vida. No obstante, si hay tendencias sistemáticas de largo plazo en los precios y si el mes t se encuentra a una distancia considerable del mes 0 (o si el final del año b se encuentra a una distancia considerable del mes 0), las aproximaciones de primer orden dadas por las ecuaciones aproximadas (17.84) y (17.85) pueden dejar de ser adecuadas y el índice de Lowe puede tener un sesgo considerable en relación con su contrapartida del costo de vida. La hipótesis de las tendencias de largo plazo en los precios se analizará en los párrafos 17.76–17.83.

Aproximación de segundo orden al sesgo de sustitución del índice de Lowe

17.76 La siguiente ecuación aproximada brinda una aproximación de Taylor de segundo orden a C(ub, pt) en torno al vector de precios del año base pb:

donde la última igualdad se obtiene utilizando la ecuación aproximada (17.84)51. De modo similar, la siguiente ecuación aproximada brinda una aproximación de Taylor de segundo orden a C(ub, p0) en torno al vector de precios del año base pb:

donde la última igualdad se obtiene empleando la ecuación aproximada (17.85).

17.77 Al comparar la ecuación aproximada (17.86) con la ecuación (17.80) y la ecuación aproximada (17.87) con la ecuación (17.81), es posible ver que, con la precisión de una aproximación de segundo orden, los términos del sesgo de sustitución del mes 0 y el mes t, e0 y et, serán iguales a las siguientes expresiones que involucran derivadas parciales de segundo orden de la función de costo del consumidor 2C(ub, pb)/∂pi∂pj calculada en el estándar de vida del año base ub y utilizando los precios del año base pb:

Como la función de costo del consumidor C(u, p) es cóncava respecto de los componentes del vector de precios p52, se sabe53 que la matriz (simétrica) n por n de derivadas parciales de segundo orden [2C(ub, pb)/∂pi∂pj] es una matriz semidefinida negativa54. Por lo tanto, para vectores de precios arbitrarios pb, p0 y pt, los miembros del lado derecho de las aproximaciones (17.88) y (17.89) serán no negativos. Así, con la precisión de una aproximación de segundo orden, los términos del sesgo de sustitución e0 y et serán no negativos.

17.78 Ahora supongamos que hay tendencias sistemáticas a largo plazo en los precios. Supongamos que el último mes del año base de las cantidades se encuentra M meses antes que el mes 0 (el mes base de los precios), y que la tendencia de los precios es lineal en el tiempo, a partir del último mes del año base de las cantidades. Así, supongamos la existencia de constantes αj para j = 1,…, n tales que el precio del producto j en el mes t esté dado por:

Al sustituir la ecuación (17.90) en las aproximaciones (17.88) y (17.89) se obtiene la siguiente aproximación de segundo orden de los términos del sesgo de sustitución, e0 y et55:

donde γ se encuentra definido de la siguiente forma:

17.79 Cabe mencionar que el parámetro γ será igual a cero bajo dos conjuntos de condiciones56:

  • Todas las derivadas parciales de segundo orden de la función de costo del consumidor 2C(ub, pb)/C(ub, pb)/∂pi∂pj son iguales a cero.

  • El vector de los parámetros de variación de precios, α = [α1αn, es proporcional al vector pb de precios de los productos del año base57.

La primera condición resulta empíricamente poco probable, dado que implica que el consumidor no va a sustituir los productos cuyos precios relativos hayan aumentado. La segunda condición también es empíricamente poco probable, porque implica que la estructura de los precios relativos permanece inalterable a lo largo del tiempo. Por lo tanto, en lo sucesivo se supondrá que γ es un número positivo.

17.80 Con el objeto de simplificar la notación de aquí en adelante, definamos al denominador y al numerador del índice de Lowe del mes t, PLo(p0, pt, qb), como a y b respectivamente; es decir:

Utilizando la ecuación (17.90) para eliminar el precio del mes 0, t, pi0, de la ecuación (17.94) y el precio del mes t, pit, de la ecuación (17.95) se obtienen las siguientes expresiones para a y b:

Se supone que a y b58 son positivos y que

El supuesto (17.98) descarta una deflación general en los precios.

17.81 Definamos el sesgo en el índice de Lowe del mes t, Bt, como la diferencia entre el índice verdadero del costo de vida PK(p0, pt, qb) definido por la ecuación (17.77) y el correspondiente índice de Lowe PLo(p0, pt, qb):

Por lo tanto, para t ≥ 1, el índice de Lowe tendrá un sesgo al alza (con la precisión de una aproximación de Taylor de segundo orden) en comparación con el índice verdadero del costo de vida PK(p0, pt, qb), dado que el sesgo aproximado definido por la última expresión en la ecuación (17.99) es la suma de un término no positivo y dos términos negativos. Además, el sesgo aproximado crecerá de forma cuadrática en el período t59.

17.82 Con el objeto de dar al lector una idea de la magnitud de la aproximación del sesgo Bt definida por la última línea de la ecuación (17.99), en este punto se considerará un caso especial. Supongamos que solo hay dos productos y que, en el año base, todos los precios y cantidades son iguales a 1. Por lo tanto, pib=qib=1 para i = 1, 2 y Σi=1npibqib=2. Supongamos que M = 24, lo cual significa que se requieren dos años para procesar los datos sobre cantidades del año base antes de que pueda implementarse el índice de Lowe. Supongamos que la tasa de crecimiento mensual del precio del producto 1 es α1 = 0,002 de forma tal que, después de un año, el precio del producto 1 aumenta 0,024 o 2,4%. Supongamos que cada mes baja el precio del producto 2 con α2 = –0,002 de forma tal que el precio del producto 2 cae un 2,4% en el primer año posterior al año base para las cantidades. Por lo tanto, el precio relativo de los dos productos diverge en forma sostenida en aproximadamente un 5% anual. Por último, supongamos que 2C(ub, pb)/∂p1∂p1 = 2C(ub, pb)/∂p2∂p2 = –1 y 2C(ub, pb)/∂p1∂p2 = 2C(ub,pb/∂p2∂p1 = 1. Estos supuestos implican que la elasticidad de la demanda para cada producto es –1 en el equilibrio del consumidor del año base. Suponer todo esto implica que:

Al incorporar en la ecuación (17.99) los valores de los parámetros definidos en la ecuación (17.100) se obtiene la siguiente fórmula para la magnitud aproximada por la que el índice de Lowe superará al correspondiente índice verdadero del costo de vida en el mes t:

Al calcular –Bt en la ecuación (17.101) cuando t = 12, t = 24, t = 36, t = 48 y t = 60 se obtienen las siguientes estimaciones: 0,0029 (el sesgo aproximado en el índice de Lowe al final del primer año de implementación del índice); 0,0069 (el sesgo después de dos años); 0,0121 (el sesgo después de tres años); 0,0185 (el sesgo después de cuatro años); 0,0260 (el sesgo después de cinco años). Por lo tanto, al final del primer año de implementación, el índice de Lowe solo superará al correspondiente índice verdadero del costo de vida por un tercio de un punto porcentual pero, al final del quinto año, excederá al correspondiente índice del costo de vida por 2,6 puntos porcentuales, lo que ya no resulta insignificante60.

17.83 Los resultados numéricos de los párrafos anteriores son solo indicadores de la magnitud aproximada de la diferencia entre el índice del costo de vida y el correspondiente índice de Lowe. Lo que interesa señalar es que, con la precisión de una aproximación de segundo orden, el índice de Lowe por lo general supera a su contrapartida del costo de vida. Sin embargo, los resultados también indican que esta diferencia se puede reducir a un monto insignificante si se cumple lo siguiente:

  • Se minimiza el tiempo que se tarda en obtener las ponderaciones de cantidades del año base.

  • Se modifica el año base con la mayor frecuencia posible.

También cabe señalar que los resultados numéricos dependen del supuesto de que existen tendencias de largo plazo en los precios, lo cual puede no ser cierto61, y de los supuestos acerca de la elasticidad, que pueden no justificarse62. Las oficinas de estadística deberían preparar sus propias estimaciones sobre las diferencias entre un índice de Lowe y un índice del costo de vida con el debido cuidado en función de sus circunstancias particulares.

Problema de los productos estacionales

17.84 El supuesto de que el consumidor tiene preferencias anuales respecto de los productos comprados en el año base de las ponderaciones de cantidad, y de que dichas preferencias anuales pueden utilizarse en el contexto de compras mensuales de los mismos productos, resultó un supuesto clave para relacionar el enfoque económico respecto de la teoría de los números índice con el índice de Lowe. Sin embargo, suponer que las preferencias anuales pueden emplearse en un contexto mensual es de alguna manera cuestionable dada la naturaleza estacional de algunos de los productos adquiridos. El problema es que es probable que las funciones de preferencia de los consumidores se modifiquen sistemáticamente a medida que cambia la estación del año. Los cambios climáticos y las costumbres de cada país hacen que ciertos bienes y servicios se adquieran en determinados meses y no en otros. Por ejemplo, los árboles de Navidad solo se compran en diciembre mientras que los trajes de ski no suelen comprarse en los meses de verano. Así, el supuesto de que las preferencias anuales son aplicables en todos los meses del año es únicamente aceptable como aproximación bastante imperfecta a la realidad económica.

17.85 El enfoque económico respecto de la teoría de los números índice puede adaptarse a fin de contemplar las preferencias estacionales. El enfoque económico más sencillo consiste en suponer que el consumidor tiene preferencias anuales en cuanto a los productos que se clasifican no solo en razón de sus características sino también por el mes en que suelen comprarse63. Por lo tanto, en vez de suponer que la función de utilidad anual del consumidor es f(q), donde q es un vector de dimensión n, supongamos que la función de utilidad anual del consumidor es F[f1(q1), f2(q2),…, f12(q12)], donde q1 es un vector de dimensión n de los productos comprados en enero, q2 es un vector de dimensión n de los productos comprados en febrero,…, y q12 es un vector de dimensión n de los productos comprados en diciembre64. Las funciones de subutilidad f1, f2,…, f12 representan las preferencias del consumidor al hacer compras en enero, febrero, …, y diciembre, respectivamente. Estas subutilidades mensuales luego pueden ser agregadas utilizando la función de utilidad macro F con el objeto de definir la utilidad anual general. Se advierte que estos supuestos sobre las preferencias pueden servir para justificar dos tipos de índices del costo de vida:

  • Un índice del costo de vida anual que compare los precios en todos los meses del año en curso con los correspondientes precios mensuales en un año base65.

  • Doce índices mensuales del costo de vida donde el índice para el mes m compare los precios del mes m del año en curso con los precios del mes m en el año base para m = 1,2,…, 1266.

17.86 Los índices anuales de Mudgett-Stone comparan los costos del año calendario en curso con los costos correspondientes en un año base. Sin embargo, puede elegirse cualquier mes como último mes del año corriente, y los precios y cantidades de este nuevo año no calendario pueden compararse con los precios y cantidades del año base; así, los precios de enero del año no calendario se equiparan con los precios de enero del año base, los precios de febrero del año no calendario se equiparan con los precios de febrero del año base, y así sucesivamente. Si se adoptan supuestos adicionales sobre la función de utilidad macro F, este contexto puede servir para justificar un tercer tipo de índice del costo de vida: un índice anual móvil67. Este índice compara el costo en que se incurrió a lo largo de los últimos 12 meses para lograr la utilidad anual alcanzada en el año base con el costo del año base; los costos de enero en el año móvil corriente se equiparan con los costos de enero en el año base, los costos de febrero en el año móvil corriente se equiparan con los costos de febrero en el año base, y así sucesivamente. Estos índices anuales móviles pueden calcularse para cada mes del año corriente y las series resultantes pueden interpretarse como índices de precios (anuales) ajustados estacionalmente (no centrados)68.

17.87 Cabe mencionar que ninguno de los tres tipos de índices descritos en los dos párrafos anteriores resulta adecuado para describir los movimientos de los precios entre un mes y el mes siguiente; es decir que no son adecuados para describir los movimientos inflacionarios a corto plazo. Esto es obvio para los primeros dos tipos de índice. Para ver el problema que traen aparejado los índices anuales móviles, consideremos un caso especial en el que la canasta de productos comprados en cada mes resulta totalmente específica de ese mes. Sin lugar a dudas, aun cuando los tres tipos de índice estén bien definidos, ninguno de ellos proporciona una descripción útil con respecto a los cambios de precios mes a mes, dado que es imposible realizar comparaciones entre semejantes, entre un mes y el siguiente, en función de las hipótesis adoptadas en este caso especial. Es imposible comparar lo incomparable.

17.88 Afortunadamente, las compras de los hogares en cada mes no son totalmente específicas del mes de compra. Por lo tanto, pueden establecerse comparaciones de precios mes a mes si el espacio de productos está restringido a los productos que se compran todos los meses del año. Esta observación lleva a un cuarto tipo de índice del costo de vida, un índice mes a mes, definido para los productos que están disponibles en todos los meses del año69. Este modelo puede utilizarse para justificar el enfoque económico descrito en los párrafos 17.66–17.83. Sin embargo, los productos que se compran solo en determinados meses del año no deben incluirse en el índice. Desafortunadamente, es posible que los consumidores manifiesten preferencias mensuales variables respecto de los productos que están siempre disponibles, en cuyo caso el índice del costo de vida mes a mes (y el correspondiente índice de Lowe) que se define en función de productos permanentemente disponibles se encontrará sujeto a fluctuaciones estacionales.

Ello limita la utilidad del índice como indicador a corto plazo de la inflación general, pues resulta difícil distinguir un movimiento estacional del índice de un movimiento general sistemático de los precios70. Asimismo, cabe señalar que si el alcance del índice se ve restringido a los productos que están siempre disponibles, el índice mes a mes resultante no será exhaustivo, mientras que los índices anuales móviles sí lo serán, ya que utilizarán toda la información de precios disponible.

17.89 A partir de las consideraciones anteriores puede concluirse que sería útil que las oficinas de estadística produjeran por lo menos dos índices de precios al consumidor:

  • Un índice anual móvil que sea exhaustivo y se encuentre ajustado por estacionalidad, pero que no necesariamente sirva para indicar cambios mensuales en la inflación general.

  • Un índice mes a mes limitado a los productos no estacionales (y, por ende, no exhaustivo), pero que sirva para indicar los cambios a corto plazo de la inflación general.

Problema del incremento de un precio cero a un precio positivo

17.90 En un documento de trabajo reciente, Haschka (2003) plantea el problema de cómo proceder cuando un precio que anteriormente era igual a cero se incrementa a un nivel positivo. Brinda dos ejemplos aplicados a Austria, donde las tarifas de estacionamiento y los cargos de los hospitales se habían incrementado de cero a un nivel positivo. En esta situación, resulta que los índices de tipo canasta tienen una ventaja con respecto a los índices que son promedios geométricos ponderados de los relativos de precios, pues los primeros se encuentran bien definidos aun cuando alguno de los precios sea cero.

17.91 El problema puede analizarse en el contexto del cálculo de los índices de Laspeyres y de Paasche. Supongamos, como es habitual, que los precios pit y las cantidades qit de los primeros n productos son positivos en los períodos 0 y 1, pero que el precio del producto n + 1 en el período 0 es cero, pero es positivo en el período 1. En ambos períodos, el consumo del producto n + 1 es positivo. Por lo tanto, los supuestos sobre los precios y las cantidades del producto n + 1 en los dos períodos en análisis pueden resumirse de la siguiente manera:

Normalmente, el incremento en el precio del producto n + 1 desde su nivel inicial de cero causa una caída en el consumo tal que qn+11<qn+10, pero esta desigualdad no es necesaria para el análisis que sigue a continuación.

17.92 Definamos el índice de Laspeyres entre los períodos 0 y 1, restringido a los primeros n productos, como pLn y el índice de Laspeyres, definido para todos los n + 1 productos, como PLn+1. También definamos vi0pi0qi0 como el valor de los gastos en el producto i en el período 0. Luego, de acuerdo con la definición del índice de Laspeyres definido para todos los n + 1 productos:

donde pn+10=0 fue utilizado con el objeto de obtener la segunda de las ecuaciones precedentes. Así, el índice de Laspeyres completo PLn+1 definido para todos los n + 1 productos es igual al índice de Laspeyres incompleto PLn (que puede expresarse en la forma tradicional de relativos de precios y participaciones en el gasto del período base), más los gastos mixtos o híbridos pn+11qn+10, divididos por el gasto del período base para los primeros n productos, Σi=1nvi0. Por lo tanto, el índice de Laspeyres completo puede calcularse utilizando la información disponible para quien elabora estadísticas de precios más dos datos adicionales: el nuevo precio distinto de cero del producto n + 1 en el período 1, pn+11, y una estimación del consumo del producto n + 1 en el período 0 (cuando era gratis), qn+10. Suelen ser los gobiernos los que hacen que los precios cero pasen a ser precios positivos, y la decisión habitualmente se anuncia con antelación, por lo que el experto en estadística de precios tiene la oportunidad de formar una estimación para la demanda del período base, qn+10.

17.93 Definamos al índice de Paasche entre los períodos 0 y 1, limitado a los n primeros productos, como PPn, y al índice de Paasche, definido para los n + 1 productos, como PPn+1. También definamos vi1pi1qi1 como el valor de los gastos en el producto i durante el período 1. Luego, por la definición del índice de Paasche para todos los n + 1 productos:

donde pn+10=0 fue utilizado con el objeto de obtener la segunda de las ecuaciones anteriores. Por lo tanto, el índice completo de Paasche Ppn+1 definido para todos los n + 1 productos es igual al índice incompleto de Paasche PPn (que puede reexpresarse en la forma tradicional de relativos de precios y participaciones en el gasto del período corriente), más el gasto en el producto n + 1 del período corriente, vn+11, dividido por la suma de los gastos en los primeros n productos del período corriente, v1i, dividido por el i-ésimo relativo de precios para los primeros n productos, pi1/pi0. Así, el índice completo de Paasche puede calcularse utilizando la información habitualmente al alcance de los expertos en estadística de precios junto con información sobre los gastos del período corriente.

17.94 Una vez que se hayan calculado los índices completos de Laspeyres y de Paasche utilizando las ecuaciones (17.103) y (17.104), puede calcularse el índice completo de Fisher como la raíz cuadrada del producto de esos dos índices:

Cabe observar que el índice completo de Fisher definido en la ecuación (17.105) satisface los mismos resultados exactos de números índice demostrados en los párrafos 17.27–17.32; es decir, el índice de Fisher sigue siendo un índice superlativo aun cuando los precios sean iguales a cero en un período y sean positivos en otro. Por lo tanto, sigue siendo adecuado utilizar el índice de Fisher como índice meta, aun en el caso de precios iguales a cero.

Véase Balk (1998a) para obtener una descripción de la teoría económica de los índices de precios de insumos y de la producción. En la teoría económica del índice de precios de la producción, se supone que qt es la solución al problema de maximización del ingreso que involucra al vector de precios de producción pt.

En este capítulo se supone que las preferencias no varían a lo largo del tiempo, mientras que en el próximo capítulo este supuesto se deja de lado (una de las variables ambientales puede ser una variable temporal que modifica los gustos).

Cabe señalar que f es cóncava si y solo si fq1 + (1–λ)q2) ≥ λf(q1) + (1–λ)f(q2) para todo 0 ≤ λ ≤ 1 y para todo q1 ≫ 0n y q2 ≫ 0n. Cabe señalar además que q > 0N significa que cada componente del vector de dimensión N, q, es no negativo, q ≫ 0n significa que cada componente de q es positivo y q > 0n significa que q ≥ 0n pero q ≠ 0n es decir, q es no negativo pero al menos uno de sus componentes es positivo.

El primero en obtener esta desigualdad fue Konüs (1924; 1939, pág. 17). Véase también Pollak (1983).

Esta desigualdad se atribuye a Konüs (1924; 1939, pág. 19); véase también Pollak (1983).

Para aplicaciones más recientes del método de prueba de Konüs, véanse Diewert (1983a, pág. 191), para una aplicación en el contexto del consumidor, y Diewert (1983b, págs. 1059–61), para una aplicación en el contexto del productor.

La propiedad de homogeneidad lineal significa que f satisface la siguiente propiedad: fq) = λf (q) para todo λ > 0 y para todo q > >0n. Este supuesto es considerablemente restrictivo en el contexto del consumidor; implica que cada curva de indiferencia es una proyección radial de la curva de indiferencia de utilidad unitaria. También implica que todas las elasticidades ingreso de la demanda son unitarias, lo cual se contradice con la evidencia empírica.

Más precisamente, Shephard (1953) define una función homotética como la transformación monotónica de una función linealmente homogénea. Sin embargo, si la función de utilidad del consumidor es homotética, siempre es posible modificar su escala para que resulte linealmente homogénea sin necesidad de cambiar el comportamiento del consumidor. Por lo tanto, el supuesto de las preferencias homotéticas puede asociarse simplemente al supuesto de homogeneidad lineal.

Esta rama particular del enfoque económico de la teoría de los números índice puede atribuirse a Shephard (1953; 1970) y a Samuelson y Swamy (1974). En particular, Shephard comprendió la importancia del supuesto de preferencias homotéticas en conjunción con los supuestos de separabilidad al justificar la existencia de subíndices del índice general del costo de vida. Cabe señalar que, si el cambio en el ingreso real o en la utilidad del consumidor entre los dos períodos que se consideran no es demasiado grande, la suposición de que el consumidor tiene preferencias homotéticas resulta en un índice verdadero del costo de la vida muy cercano a los índices verdaderos del costo de vida de Laspeyres-Konüs y de Paasche-Konüs definidos por las ecuaciones (17.3) y (17.4). Otra forma de justificar el supuesto de las preferencias homotéticas es utilizar la ecuación (17.49), que justifica el uso del índice superlativo de Törnqvist-Theil PT en el contexto de las preferencias no homotéticas. Como PT suele resultar numéricamente cercano a otros índices superlativos que se derivan basados en el supuesto de las preferencias homotéticas, es posible observar que el supuesto de homoteticidad no suele generar resultados engañosos desde el punto de vista empírico en el contexto de los números índice.

Los economistas reconocerán la contrapartida de C(u, p) = uc(p) en la teoría del productor: si la función de producción f de un productor posee rendimientos constantes a escala, la función de costo total correspondiente C(u, p) es igual al producto entre el nivel de producción u y el costo unitario c(p).

Desde luego, la función de utilidad f determina la función de costo del consumidor C(u, p) como solución al problema de minimización del costo en la primera línea de la ecuación (17.6). Entonces, la función de costo unitario c(p) se define como C(1, p). Por lo tanto, f determina c. Pero también podemos utilizar c para determinar f en ciertas condiciones de regularidad apropiadas. En la literatura económica, esto se conoce como teoría de la dualidad. Puede obtenerse más información sobre la teoría de la dualidad y las propiedades de f y c en Samuelson (1953), Shephard (1953) y Diewert (1974a; 1993b, págs. 107–23).

También existe una interpretación de esta teoría desde la teoría del productor: sea f la función de producción del productor (con rendimientos constantes a escala), sea p el vector de precios de los insumos al cual se enfrenta el productor, sea q el vector de insumos y sea u = f (q) la producción máxima que puede obtenerse utilizando el vector de insumos q. C(u,p)minq{Σi=1npiqi:f(q)u} es la función de costo del productor en este caso y c (pi) puede identificarse como el nivel de precios de los insumos en el período t, mientras que f(qt) es el nivel de insumos agregado en el período t.

Para demostrar esto, consideremos las condiciones necesarias de primer orden para que el vector estrictamente positivo qt resuelva el problema de minimización del costo del período t. Las condiciones de Lagrange con respecto al vector q de variables son: pt = λtλtf(qt) donde λt es el multiplicador óptimo de Lagrange y ∇f(qt) es el vector de derivadas parciales de primer orden de f calculadas en qt. Cabe señalar que este sistema de ecuaciones es el precio igualado a una constante multiplicada por las ecuaciones de utilidad marginal con las que los economistas están familiarizados. Ahora, tomemos el producto interno en ambos miembros de la ecuación con el vector de cantidades del período t, qt, y resolvamos la ecuación resultante para λt. Si sustituimos esta solución en la ecuación vectorial pt = λtf(qt), obtendremos la ecuación (17.10).

Diferenciemos los dos miembros de la ecuación f(λq) = λf(q) con respecto a λ, y luego tomemos λ = 1 en la ecuación resultante. La ecuación que se obtiene es Σi=1nfi(q)qi=f(q),donde fi(q)f(q)/qi.

Véase en Diewert (1976, pág. 184) la historia de los orígenes de este resultado.

Véase Diewert (1976, pág. 130) y sea el parámetro r igual a 2.

Diewert (1974a, pág. 133) introduce este término en los estudios publicados sobre economía.

Fisher (1922, pág. 247) utiliza el término “superlativo” para describir al índice de precios ideal de Fisher. Por lo tanto, Diewert adopta la terminología de Fisher pero intenta brindar precisión a la definición hecha por Fisher del concepto de “superlativo”. Fisher define como superlativa a una fórmula de número índice que se aproxima a los correspondientes resultados ideales de Fisher utilizando su conjunto de datos.

Tomando como dada la función de costo unitario del consumidor c(p), Diewert (1974a, pág. 112) demostró que para un vector de cantidades estrictamente positivo q, la función de utilidad f (q) puede definirse de esta manera: f(q)1/maxp{Σi=1npiqi:c(p)=1}

Este resultado fue obtenido por Diewert (1976, págs. 133–34).

Cabe señalar que se ha demostrado que el índice de Fisher es exacto para las preferencias definidas por la ecuación (17.17), así como también para las preferencias que son duales respecto de la función de costo unitario definida por la ecuación (17.22). Estas dos clases de preferencias no suelen coincidir. No obstante, si la matriz simétrica An por n compuesta por los aik tiene inversa, puede demostrarse que la matriz Bn por n de componentes bik será igual a A–1.

Esta terminología proviene de Diewert (1976, pág. 129).

Véase Diewert (1976, pág. 130).

Esta terminología proviene de Diewert (1976, pág. 130), aunque esta función de costo unitaria fue originariamente definida por Denny (1974).

Véase Diewert (1976, págs. 133–34).

La función fr* puede definirse utilizando cr de la siguiente forma: fr*(q)1/maxp{Σi=1npiqi:cr(p)=1}.

Tanto esto como la relación mencionada se demuestran por verificación directa.

La función de costo del consumidor fue definida antes por la ecuación (17.6).

Christensen, Jorgenson y Lau (1971) introdujeron esta función en la literatura económica.

Asimismo es posible demostrar que, si todos los bi = 0 y b00 = 0, entonces C(u, p) = uC(1, p) ≡ uc(p); es decir, estas restricciones adicionales impuestas a los parámetros de la función de costo translogarítmica dan como resultado preferencias homotéticas. Además se supone que la utilidad u es siempre positiva.

Este resultado se atribuye a Diewert (1976, pág. 122).

Sin embargo, si las preferencias del consumidor son no homotéticas y el cambio en la utilidad entre las dos situaciones que se comparan es considerable, puede ser conveniente calcular por separado los índices verdaderos del costo de vida de Laspeyres-Konüs y de Paasche-Konüs definidos por las ecuaciones (17.3) y (17.4), C(u0, p1)/C(u0, p1) y C(u1, p1)/C(u1, p0), respectivamente. Para lograrlo, es necesario recurrir a la econometría y estimar en términos empíricos la función de costo o gasto del consumidor.

Para comprobar las igualdades de las ecuaciones (17.51)–(17.56), simplemente deben diferenciarse las distintas fórmulas de números índice y calcularse en las derivadas en p0 = p1 y q0 = q1. De hecho, las ecuaciones (17.51)–(17.56) se siguen cumpliendo, con la condición de que existan λ > 0 y μ > 0 tales que p1 = λ p0 y q1 = μq0, es decir, siempre y cuando el vector de precios del período 1 sea proporcional al vector de precios del período 0 y que el vector de cantidades del período 1 sea proporcional al vector de cantidades del período 0.

Hill (2002) documenta esto para dos conjuntos de datos. Sus datos de series temporales consisten en datos de gastos y cantidades anuales para 64 componentes del producto interno bruto de Estados Unidos desde 1977 hasta 1994. Para este conjunto de datos, Hill (2002, pág. 16) descubrió que “los índices superlativos pueden diferir en más que un factor de dos (es decir, en más del 100%), aun cuando los índices de Fisher y Törnqvist nunca difieran en más de un 0,6%”.

Diewert (1980, pág. 451) demostró que el índice de Törnqvist PT es el caso límite de Pr, cuando r tiende a 0.

Véanse, por ejemplo, Diewert (1978, pág. 894) o Fisher (1922), que es reproducido en Diewert (1976, pág. 135).

Gran parte de la presente exposición constituye una adaptación de Diewert (1978) y Alterman, Diewert y Feenstra (1999). Véase también Balk (1996b), donde se analizan otras definiciones del concepto de agregación en dos etapas y se incluyen referencias bibliográficas acerca de este tema.

Véase Diewert (1978, pág. 889). En otras palabras, se verifica una serie de igualdades similares a las ecuaciones (17.51)–(17.56) entre los índices en dos etapas y sus contrapartidas de una etapa. De hecho, estas igualdades continúan siendo verdaderas siempre y cuando existan λ > 0 y μ > 0 tales que p1 = λp0 y q1 = μq0.

En Diewert (1978, págs. 894–95) se presenta una comparación empírica de los cuatro índices. Con relación a los datos del consumo canadiense que se consideran allí, el índice de Fisher encadenado en dos etapas en 1971 era 2,3228 y el correspondiente índice de Törnqvist encadenado en dos etapas era 2,3230, los mismos valores que para los correspondientes índices en una etapa.

En el capítulo 19 se presenta más evidencia sobre este tema.

Por lo tanto, en esta sección se suponen preferencias homotéticas.

En la literatura matemática, la función agregadora o función de utilidad se conoce como media de orden r, con r = 1 – σ; véase Hardy, Littlewood y Pólya (1934, págs. 12–13).

Véase la primera aplicación de esta metodología (en el contexto del IPC), en Shapiro y Wilcox (1997a, págs. 121–23). Estos autores calcularon índices de Törnqvist superlativos para Estados Unidos para el período 1986–95 y luego calcularon el índice de Lloyd-Moulton con CES para el mismo período, utilizando distintos valores para σ. Luego eligieron el valor de σ, para el que el índice CES se aproximara más al índice de Törnqvist (este valor era 0,7). La misma metodología fue utilizada por Alterman, Diewert y Feenstra (1999) en su estudio sobre los índices de precios de importación y exportación de Estados Unidos. Pueden encontrarse otros métodos de estimación de σ en Balk (2000b).

El significado de nivel “razonable” de aproximación depende del contexto. Suponer que los consumidores tienen preferencias del tipo CES no es un supuesto razonable en el contexto de la estimación de la elasticidad de la demanda, pues aquí se requiere, al menos, una aproximación de segundo orden a las preferencias del consumidor. Sin embargo, a la hora de aproximar los cambios en los gastos del consumidor en los n productos que se analizan, resulta adecuado suponer una aproximación del tipo CES.

Como se menciona en el capítulo 15, al mes 0 se lo denomina “período de referencia de los precios” y al año b “período de referencia de las ponderaciones”.

Esto supone que e0 es mayor que cero. Si e0 es igual a cero, para obtener la igualdad de PK y PLo debe ocurrir que et también sea igual a cero.

Es posible observar que, cuando se define el mes t como igual al mes 0, et = e0 y C(ub, pt) = C(ub, p0), y, por lo tanto, se satisface la ecuación (17.83) y PLo = Pk. Esto no es sorprendente, dado que ambos índices son iguales a la unidad cuando t = 0.

Este tipo de aproximación mediante la serie de Taylor fue utilizada por Schultze y Mackie (2002, pág. 91) en el contexto del índice del costo de vida, pero básicamente se remonta a Hicks (1941–42, pág. 134) en el contexto del excedente del consumidor. Véanse también Diewert (1992b, pág. 568) y Hausman (2002, pág. 8).

Este tipo de aproximación de segundo orden puede atribuirse a Hicks (1941–42, págs. 133–34) (1946, pág. 331). Véanse también Diewert (1992b, pág. 568), Hausman (2002, pág. 18) y Schultze y Mackie (2002, pág. 91). En Diewert (1998a; 2002c, págs. 598–603) y Hausman (2002) pueden encontrarse otros enfoques a la modelación del sesgo de sustitución.

Véase Diewert (1993b, págs. 109–10).

Véase Diewert (1993b, pág. 149).

Una matriz simétrica A n por n con un ij-ésimo elemento igual a aij es semidefinida negativa si y sólo si para cada vector z ≡ [z1,…, zn] se cumple Σi=1nΣj=1n.aijzizj0.

Obsérvese que de acuerdo a la aproximación (17.91), el sesgo en el período 0 es aproximadamente constante, mientras que la aproximación (17.92) muestra que el sesgo aproximado en el período t crece cuadráticamente como función de t. Por lo tanto, en el caso en que las tendencias de los precios son funciones lineales del tiempo t, el sesgo aproximado en el período t alcanzará valores mucho mayores que los del sesgo aproximado en el período 0 si t es suficientemente grande.

Una condición más general que asegura la positividad de γ es que el vector [α1,…, αn] no sea un autovector de la matriz de derivadas parciales de segundo orden 2C(u, p)/•pi•pj p que corresponda a un autovalor igual a cero.

Se sabe que C(u, p) es linealmente homogénea en los componentes del vector de precios p; véase por ejemplo, Diewert (1993b, pág. 109). Por lo tanto, al utilizar el teorema de Euler sobre funciones homogéneas, es posible demostrar que pb es un autovector de la matriz de derivadas parciales de segundo orden 2C(up)/•pi•oj que corresponde a un autovalor igual a cero y que, por lo tanto, Σi=1nΣj=1n[2C(u,p)/pipj]pibpjb=0; en Diewert (1993b, pág. 149) se presenta una demostración detallada de este resultado.

También se supone que a – γ M2 es positivo.

Si M es grande en relación con t, entonces es posible ver que los dos primeros términos de la última ecuación de (17.99) pueden dominar al último término, que es el término cuadrático en t.

Nótese que la magnitud relativamente grande de M respecto a t origina un sesgo que aumenta en forma aproximadamente lineal en t, en lugar de hacerlo en forma cuadrática.

Por practicidad matemática, se supuso que las tendencias en los precios eran lineales en lugar de geométricas (que es lo más habitual).

Otro supuesto clave que se utilizó para obtener los resultados numéricos es la magnitud de las tendencias divergentes en los precios. Si el vector de divergencias de precios se duplica a α = 0,004 y α2 = –0,004, el parámetro γ se cuadruplica y el sesgo aproximado también lo hace.

Este supuesto y los índices anuales resultantes fueron propuestos originalmente por Mudgett (1955, pág. 97) y Stone (1956, págs. 74–75).

Si algunos de los productos no están disponibles en determinados meses m, pueden eliminarse esos meses de los correspondientes vectores mensuales de cantidades qm.

Pueden encontrarse más detalles acerca de cómo implementar este marco conceptual en Mudgett (1955, pág. 97), Stone (1956), págs. 74–75) y Diewert (1998b, págs. 459–60).

En Diewert (1999a, págs. 50–51) se presentan más detalles acerca de cómo implementar este marco conceptual.

Pueden encontrarse más detalles sobre este enfoque económico en Diewert (1999a, págs. 56–61).

En Diewert (1999a, págs. 67–68) se presenta un ejemplo empírico de este enfoque aplicado a los índices de cantidades. En el capítulo 22 se brinda un ejemplo empírico de este enfoque del año móvil con respecto a los índices de precios.

En Diewert (1999a, págs. 51–56) se presentan los supuestos respecto de las preferencias necesarios para justificar este enfoque económico.

Un problema que surge cuando se utilizan ponderaciones anuales en un contexto de cambios estacionales en los precios y las cantidades es que las ponderaciones pueden magnificar ampliamente un cambio en el precio de un producto fuera de temporada. Baldwin (1990, pág. 251) advierte este problema del índice de precios con ponderaciones anuales: “Sin embargo, un índice de precios se ve afectado de manera negativa si algún artículo estacional tiene la misma participación en la canasta durante todo el año; el artículo tendrá una participación demasiado pequeña durante su temporada y una demasiado grande fuera de esta”. Volveremos sobre los problemas relacionados con la estacionalidad, desde una perspectiva más pragmática, en el capítulo 22.

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