Chapter

15. Teoría Básica de los Números Índice

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
November 2006
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Introducción

La respuesta a la pregunta ¿cuál es la media de un conjunto dado de magnitudes? no puede contestarse sin conocer para qué se requiere dicho valor. Hay tantos promedios como finalidades y casi podríamos decir, en materia de precios, tantas finalidades como autores. Ello explica tanta controversia estéril entre personas que están, literalmente, hablando de cosas distintas. (Edgeworth [1888, pág. 347]).

15.1 Los consumidores pueden comprar millones de bienes físicamente distintos y millones de tipos exclusivos de servicios. Las empresas, o el sector productivo comercian aún más productos. Ello se debe a que las empresas no solo producen bienes para consumo inal sino también para exportación y bienes intermedios que requieren otros productores. Las empresas en su conjunto también utilizan millones de bienes y servicios importados, miles de clases distintas de servicios laborales y centenares de miles de tipos específicos de bienes de capital. Si además distinguimos los productos físicos por su ubicación geográfica o por la temporada o la hora del día en que se producen o consumen, resulta que en cualquier economía avanzada se comercializan miles de millones de productos en el curso de cada año. Para numerosos fines es necesario resumir esta gran cantidad de información sobre precios y servicios en un conjunto mucho menor de cifras. En este capítulo se aborda la siguiente cuestión: ¿cómo agregar la información microeconómica de millones de precios y cantidades para obtener un número más reducido de variables de precio y cantidad? Este es el problema básico de los números índice.

15.2 Es posible plantear el problema de los números índice dentro del contexto de la teoría microeconómica: dado que deseamos implementar un modelo económico basado en la teoría de la producción o del consumo, ¿cuál es el “mejor” método para construir un conjunto de agregados para el modelo? Sin embargo, cuando se construyen agregados de precios o de cantidades también es posible considerar otros puntos de vista (que no se basan en la ciencia económica). En este capítulo y en el próximo se consideran algunos de estos puntos de vista alternativos. Los enfoques económicos se tratan en los capítulos 17 y 18.

15.3 El problema de los números índice puede encuadrarse como el problema de desglosar el valor de un conjunto de transacciones bien definido correspondiente a un período de tiempo en el producto de un término de precios agregados multiplicado por un término de cantidades agregadas. No obstante, ocurre que este enfoque de los números índice no conduce a una solución que sea de utilidad. Por ello, en los párrafos 15.7–15.17 se considera el problema de la descomposición de un cociente de valores correspondiente a dos períodos en un componente que mide la variación global de los precios entre esos dos períodos (el índice de precios) multiplicado por un término que mide la variación general de las cantidades entre los dos períodos (el índice de cantidades). El índice de precios más simple es el índice de precios de canasta fija: es decir, se eligen cantidades fijas de las n cantidades del agregado de valor y luego se calculan los valores de esta canasta fija de cantidades a los precios del período 0 y a los precios del período 1. El índice de precios de canasta fija no es más que el cociente de estos dos valores, en el cual los precios varían pero las cantidades se mantienen constantes. Dos elecciones naturales para la canasta fija son las cantidades transadas en el período base (el período 0) o las cantidades transadas en el período corriente (el período 1). Estas dos elecciones conducen a los índices de precios de Laspeyres (1871) y de Paasche (1874), respectivamente.

15.4 Desafortunadamente, las mediciones de Paasche y de Laspeyres de la variación agregada de los precios pueden diferir entre sí, a veces en forma sustancial. Así, en los párrafos 15.18–15.32 se considera calcular un promedio de estos dos índices para alcanzar una única medición del cambio de los precios. En los párrafos 15.18–15.23 se argumenta que el “mejor” promedio que puede elegirse es la media geométrica, que es el índice de precios ideal de Irving Fisher (1922). En los párrafos 15.24–15.32, en lugar de promediar las mediciones del cambio de precios de Paasche y de Laspeyres, se examina la opción de calcular el promedio de las dos canastas. Este enfoque de canasta fija de la teoría de los números índice conduce a un índice de precios propuesto por Correa Moylan Walsh (1901; 1921a). Sin embargo, también es posible optar por otros enfoques de canasta fija. En lugar de elegir una canasta del período 0 o 1 (o un promedio de estas dos canastas), puede elegirse una canasta que corresponda a un período totalmente distinto, por ejemplo el período b. De hecho, es una práctica común de las oficinas de estadística elegir una canasta de transacciones correspondiente a un año entero (o incluso a dos años) en algún año anterior al período 0, el que usualmente es un mes. Índices de este tipo, en los cuales el período de referencia de las ponderaciones difiere del período de referencia de los precios, fueron originalmente propuestos por Joseph Lowe (1823) y se examinan en los párrafos 15.64–15.84. Estos índices también se evalúan desde la perspectiva axiomática en el capítulo 16 y desde la perspectiva económica en el capítulo 171.

15.5 En los párrafos 15.65–15.75 se describe otro enfoque para determinar la forma funcional o fórmula del índice de precios. Este enfoque se atribuye al economista francés Divisia (1926) y se basa en el supuesto de que se dispone de datos de precios y cantidades como funciones continuas en el tiempo. La teoría de diferenciación se utiliza a efectos de desglosar la tasa de cambio de un agregado de valor continuo en el tiempo en dos componentes que reflejan el cambio agregado en los precios y las cantidades. Si bien el enfoque de Divisia ofrece algunas perspectivas2, no brinda suficiente orientación a las oficinas de estadística a la hora de seleccionar la fórmula definitiva del número índice.

15.6 En los párrafos 15.76–15.97 se examinan las ventajas y desventajas de utilizar un período de base fija en la comparación bilateral de números índice, frente al método de comparar siempre el período corriente con el anterior, que recibe la denominación de sistema en cadena. En el sistema en cadena, un eslabón es la comparación de un período con el anterior por medio de un número índice. Si la comparación cubre varios períodos, estos eslabones se multiplican entre sí.

Desglose de agregados de valor en sus componentes de precio y cantidad

Desglose de agregados de valor y criterio del producto

15.7 Un índice de precios es un indicador o función que resume el cambio en los precios de numerosos productos entre una situación 0 (determinado período o lugar) y otra situación 1. Más específicamente, para la mayoría de los fines prácticos, un índice de precios puede considerarse como una media ponderada del cambio en los precios relativos de los productos contemplados en las dos situaciones. A fin de determinar el índice de precios, es necesario saber:

  • Qué productos o artículos incluir en el índice.

  • Cómo determinar los precios de los artículos.

  • Cuáles de las transacciones en que participan estos artículos deben incluirse en el índice.

  • Cómo determinar las ponderaciones y de qué fuentes obtenerlas.

  • Qué fórmula o clase de media utilizar para promediar los precios relativos de los artículos seleccionados.

Las primeras cuatro preguntas se refieren a la definición de índice de precios y se responden recurriendo a la definición del agregado de valor al que se refiere el índice de precios. Un agregado de valor V para un conjunto dado de artículos y transacciones se calcula de la siguiente manera:

donde pi representa el precio del i-ésimo artículo en unidades de moneda nacional, qi representa la cantidad transada del mismo en el período que se considera y el subíndice i identifica el i-ésimo artículo elemental en el grupo de n artículos que componen el agregado de valor seleccionado V. En esta definición de agregado de valor están especificados el grupo de productos incluidos (qué artículos incluir) y los agentes económicos que intervienen en las transacciones de esos productos (qué transacciones incluir), además de los principios de la valoración y del momento de registro que motivan el comportamiento de los agentes económicos que llevan a cabo las transacciones (determinación de los precios). Los artículos elementales que se incluyen, su valoración (pi), la elegibilidad de las transacciones y las ponderaciones de los artículos (qi) quedan dentro del dominio de la definición del agregado de valor. La determinación exacta de pi y qi se analiza en mayor detalle en otras secciones de este manual, en particular en el capítulo 53.

15.8 El agregado de valor V definido en la ecuación (15.1) se refiere a un determinado conjunto de transacciones correspondientes a un único período de tiempo (sin especificar). Ahora se considera el mismo agregado de valor para dos lugares o períodos, los períodos 0 y 1. Por razones de conveniencia llamaremos período base al período 0 y período corriente al período 1, y supondremos que se recopilaron observaciones para los vectores de precio y de cantidad del período base, p0[p10,,pn0] y q0[q10,,qn0] respectivamente4. Los agregados de valor en los períodos base y corriente se definen naturalmente de la siguiente manera:

En el párrafo anterior se definió el índice de precios como una función o indicador que resume la variación de los precios de los n productos del agregado de valor entre la situación 0 y la situación 1. En este párrafo, un índice de precios P(p0, p1, q0, q1) y su correspondiente índice de cantidades (o índice de volumen) Q(p0, p1, q0, q1) se definen como dos funciones de las 4n variables p0, p1, q0, q1 (las variables describen los precios y cantidades que corresponden al agregado de valor de los períodos 0 y 1), donde estas dos funciones satisfacen la siguiente ecuación5:

Si solo hay un artículo en el agregado de valor, el índice de precios P se reducirá a un único cociente de precios, p11/p10, y el índice de cantidades Q a un único cociente de cantidades, q11/q10. En caso de que haya numerosos artículos, el índice de precios P se interpreta como una suerte de promedio ponderado de los cocientes de precios individuales, p11/p10,,pn1/pn0.

15.9 Así, el primer enfoque de la teoría de los números índice puede definirse como el problema de desglosar el cambio en el agregado de valor, V1/V0, en el producto de un componente que se puede atribuir a la variación de precios, P(p0, p1, q0, q1), y otro atribuible a la variación de cantidades, Q(p0, p1, q0, q1). Este método para determinar el índice de precios es el enfoque adoptado en las cuentas nacionales, donde un índice de precios se utiliza para deflactar un cociente de valores a efectos de obtener una estimación del cambio en las cantidades. Por ello, según este enfoque de la teoría de los números índice, la principal finalidad del índice de precios es servir como deflactor. Cabe observar que, una vez conocida la forma funcional del índice de precios P(p0, p1, q0, q1), el índice correspondiente de cantidades Q(p0, p1, q0, q1) queda completamente determinado por P; es decir, reordenando la ecuación (15.3) se obtiene:

Por el contrario, si se conoce la forma funcional del índice de cantidades Q(p0, p1, q0, q1), el índice correspondiente de precios P(p0, p1, q0, q1) queda completamente determinado por Q. Así, aplicando este enfoque de deflación a la teoría de los números índice, no se requieren teorías independientes para determinar los índices de precios y de cantidades: si se determina uno de los dos (P o Q), la otra función queda implícitamente determinada por la ecuación del criterio del producto (15.4).

15.10 En la próxima sección se examinan dos opciones concretas para el índice de precios P(p0, p1, q0, q1) y también se calculan los respectivos índices de cantidades Q(p0, p1, q0, q1) que resultan de utilizar la ecuación (15.4). Estas son las dos opciones utilizadas con mayor frecuencia por quienes llevan la contabilidad de las cuentas nacionales.

Índices de Laspeyres y de Paasche

15.11Lowe (1823) describió en forma muy detallada uno de los enfoques más sencillos para determinar la fórmula del índice de precios. Su enfoque para medir el cambio de precios entre los períodos 0 y 1 consistía en especificar una canasta representativa de productos aproximada6, que es el vector de cantidades q ≡ [q1, …, qn] representativo de las compras realizadas durante los dos períodos en cuestión, y luego calcular el nivel relativo de precios del período 1 respecto del período 0 como el cociente entre el costo de la canasta en el período 1, Σi=1npi1qi y el costo de la canasta en el período 0, Σi=1npi0qi. Este enfoque de canasta fija con respecto a la determinación del índice de precios plantea el interrogante de cómo elegir el vector de la canasta fija q.

15.12 Con el paso del tiempo, los economistas y los expertos en estadísticas de precios fueron exigiendo mayor precisión en la especificación del vector de la canasta q. Hay dos opciones naturales para la canasta de referencia: el vector de productos del período base, q0, y el vector de productos del período corriente, q1. Estas dos elecciones conducen al índice de precios de Laspeyres (1871)7, PL, definido mediante la ecuación (15.5) y al índice de precios de Paasche (1874)8, PP, definido mediante la ecuación (15.6)9:

15.13 Las fórmulas (15.5) y (15.6) pueden presentarse de otra manera que resulta de mayor utilidad para las oficinas de estadística. Definamos la participación del producto i en el gasto del período t de la siguiente manera:

Entonces el índice de Laspeyres (15.5) puede reformularse de la siguiente manera10:

utilizando las definiciones de (15.7). Por lo tanto, el índice de precios de Laspeyres, PL, puede expresarse como el promedio aritmético de los n cocientes de precios, pi1/pi0, ponderados por las participaciones en el gasto del período base. Hasta hace poco tiempo, la fórmula de Laspeyres se utilizó mucho como fundamento teórico para los índices de precios al consumidor (IPC) en todo el mundo. Para ponerla en práctica, una oficina de estadística solo necesita recopilar información de las participaciones en el gasto sn0 correspondientes al período base 0, para el dominio en el que está definido el índice y luego recopilar periódicamente información sólo sobre los precios de los artículos. Así el IPC de Laspeyres puede elaborarse en forma periódica sin necesidad de contar con información de las cantidades del período corriente.

15.14 El índice de Paasche también puede expresarse en términos de participaciones en el gasto y cocientes de precios, de la siguiente manera11:

utilizando las definiciones de (15.7). Por lo tanto, el índice de precios de Paasche, PP, puede expresarse como el promedio armónico de los n cocientes de precios, pi1/pi0, ponderados por las participaciones en el gasto del período 1 (el período corriente)12. La falta de infor-mación sobre las cantidades del período corriente impide que las oficinas de estadística elaboren índices de Paasche sin retrasos.

15.15 El índice de cantidades que corresponde al índice de precios de Laspeyres de acuerdo al criterio del producto en la ecuación (15.3) es el índice de cantidades de Paasche; es decir, si en la ecuación (15.4) P se reemplaza por PL según está definido en la ecuación (15.5), se obtiene el siguiente índice de cantidades:

Obsérvese que QP es el valor del vector de cantidades del período 1 valorizado a los precios del período 1, Σi=1npi1qi1, dividido por el valor (hipotético) del vector de cantidades del período 0 valorizado a los precios del período 1, Σi=1npi1qi0. Así los vectores de cantidades del período 0 y 1 se valorizan utilizando el mismo conjunto de precios, el del período corriente, p1.

15.16 El índice de cantidades que corresponde al índice de precios de Paasche utilizando el criterio del producto (15.3) es el índice de cantidades de Laspeyres; es decir, si en la ecuación (15.4) P se reemplaza por PP según se define en la ecuación (15.6), se obtiene el siguiente índice de cantidades:

Obsérvese que QL es el valor (hipotético) del vector de cantidades del período 1 valorizado a los precios del período 0, Σi=1npi0qi1, dividido por el valor del vector de cantidades del período 0 valorizado a los precios del período 0, Σi=1npi0qi0. Así los vectores de cantidades de los períodos 0 y 1 se valorizan utilizando el mismo conjunto de precios, el del período base, p0.

15.17 El problema de las fórmulas de los números índice de Laspeyres y de Paasche es que, si bien las dos pueden ser utilizadas, por lo general arrojan resultados distintos. Para la mayoría de los propósitos, no resulta satisfactorio que la oficina de estadística brinde dos respuestas diferentes a la pregunta13: ¿cuál es el “mejor” indicador global que resume el cambio de los precios del agregado de valor entre dos períodos? En la sección que sigue nos ocuparemos de la manera de construir los “mejores” promedios de estas dos estimaciones del cambio en los precios. Pero antes nos preguntaremos cuál es la relación “normal” entre los índices de Paasche y de Laspeyres. En condiciones económicas “normales”, cuando los cocientes de precios correspondientes a las dos situaciones bajo análisis se correlacionan negativamente con los correspondientes cocientes de cantidad, puede mostrarse que el índice de precios de Laspeyres será mayor que el correspondiente índice de Paasche14. Una demostración rigurosa de este resultado se presenta en el apéndice 15.115. La divergencia entre PL y PP indica que si se requiere una única estimación del cambio de precios entre los dos períodos, debería calcularse algún tipo de promedio equiponderado entre los índices de Laspeyres y de Paasche como estimación final del cambio en los precios entre los períodos 0 y 1. Como se mencionó previamente, esta estrategia se desarrollará en la sección siguiente. Sin embargo, cabe tener en cuenta que las oficinas de estadística por lo general carecerán de información sobre las ponderaciones de gasto corrientes. Por ello, en caso de que se elaboren los promedios de los índices de Paasche y de Laspeyres, será con cierto rezago (quizás a partir de información de las cuentas nacionales).

Promedios simétricos de índices de precios de canasta fija

Índice de Fisher como promedio de los índices de Paasche y de Laspeyres

15.18 Como ya se señaló, debido a que los índices de Paasche y de Laspeyres son igualmente convincentes pero a menudo arrojan distintas estimaciones de la magnitud del cambio agregado de los precios entre los períodos 0 y 1, resulta útil pensar en calcular un promedio equiponderado de estos índices de precios de canasta fija como único estimador del cambio en los precios entre ambos períodos. Ejemplos de dichos promedios simétricos16 son la media aritmética, que conduce al índice de Drobisch (1871b, pág. 425), Sidgwick (1883, pág. 68) y Bowley (1901, pág. 227)17, PD ≡ (1/2) PL + (1/2) PP, y la media geométrica que conduce al índice ideal de Fisher (1922)18, PF, que se define de la siguiente manera:

A esta altura, el enfoque de la canasta fija de la teoría de los números índice se transforma en el enfoque de los criterios de la teoría de los números índice, es decir que, a efectos de determinar cuál es el “mejor” de estos índices de canasta fija o qué promedio de ellos es preferible calcular, se necesitan establecer criterios o propiedades deseables o convenientes para el índice. Este tema se desarrollará con mayor profundidad en el próximo capítulo, pero aquí haremos una introducción al enfoque de los criterios porque para determinar el “mejor” promedio de los índices de Paasche y de Laspeyres se utiliza un criterio.

15.19 ¿Cuál es el “mejor” promedio simétrico de PL y PP que puede usarse como estimación puntual de un índice teórico del costo de la vida? Conviene que la fórmula de un índice de precios que depende de los vectores de precios y cantidades correspondientes a los dos períodos en análisis cumpla con el criterio de reversión temporal19. Una fórmula de número índice P(p0, p1, q0, q1) cumple este criterio si:

es decir, si se intercambian los datos de precios y cantidades del período 0 y 1 y luego se evalúa la fórmula de número índice, entonces este nuevo índice P(p1, p0, q1, q0) será igual al recíproco del índice original P(p0, p1, q0, q1). Un cociente de precios único cumple este criterio, y es conveniente que también lo haga la medición del cambio agregado de los precios de manera que no importe cuál de los períodos se elija como base. Dicho de otro modo, la comparación de números índice entre dos puntos de tiempo cualesquiera no debería depender del período elegido como base: si se eligiera el otro período, el nuevo número índice simplemente debería ser igual al recíproco del índice original. Cabe tener en cuenta que los índices de precios de Laspeyres y de Paasche no cumplen el criterio de reversión temporal.

15.20 Una vez que se tiene en claro qué significa que el índice de precios P cumpla el criterio de reversión temporal, es posible establecer el siguiente resultado20. El índice de precios ideal de Fisher definido por la ecuación (15.12) es el único índice que es un promedio simétrico homogéneo21 de los índices de precios de Laspeyres y de Paasche, PL y PP, y que cumple el criterio de reversión temporal (15.13). Así, el índice de precios ideal de Fisher surge posiblemente como el “mejor” promedio equiponderado de los índices de precios de Paasche y de Laspeyres.

15.21 Es interesante destacar que el enfoque de la canasta simétrica de la teoría de los números índice se remonta a uno de los pioneros de esta teoría, Arthur L. Bowley, como las siguientes citas lo demuestran:

No existen dificultades adicionales mientras [el índice de Paasche] y [el de Laspeyres] se hallen próximos entre sí; si difieren mucho pueden considerarse como los límites inferior y superior del número índice, que puede estimarse como su media aritmética … como primera aproximación (Bowley [1901, pág. 227]).

Cuando se estima el factor que se necesita para corregir un cambio en los salarios monetarios y obtener el cambio en el salario real, los expertos en estadística no se contentan con implementar solo el Método II [calcular el índice de precios de Laspeyres], sino que al mismo tiempo trabajan en sentido inverso [calcular el índice de precios de Paasche] … Después, calculan la media aritmética, geométrica y armónica de los dos números así obtenidos (Bowley [1919, 348])22.

15.22 El índice de cantidades que corresponde al índice de precios de Fisher utilizando el criterio del producto (15.3) es el índice de cantidades de Fisher; es decir que, si P en la ecuación (15.4) se reemplaza por PF definido por la ecuación (15.12), se obtiene el siguiente índice de cantidades:

Así, el índice de cantidades de Fisher es igual a la raíz cuadrada del producto de los índices de cantidades de Laspeyres y de Paasche. Cabe observar además que QF (p0, p1, q0, q1) = PF(q0, q1, p0, p1); es decir, si se intercambia el papel de los precios y las cantidades en la fórmula del índice de precios de Fisher se obtiene el índice de cantidades de Fisher23.

15.23 En vez de calcular el promedio simétrico de los dos índices de precios de canasta fija básicos correspondientes a dos situaciones, PL y PP, también es posible regresar a la fórmula básica de Lowe y elegir un vector canasta q que sea el promedio simétrico de los vectores canasta del período base y el corriente, q0 y q1. Este enfoque de la teoría de los números índice se desarrolla en la siguiente sección.

Índice de Walsh y la teoría del índice de precios “puro”

15.24 Los expertos en estadística de precios suelen sentirse cómodos con el concepto de un índice de precios que se base en registrar los precios de una canasta “representativa” constante de productos, q ≡ (q1, q2, …, qn), a los precios de los períodos 0 y 1, p0(p10,p20,,pn0) y p1(p10,p20,pn0) respectivamente. Los expertos en estadística de precios se refieren a este tipo de índice como índice de canasta fija o índice de precios puro24, que se corresponde con el índice de precios inequívoco de Sir George H. Knibbs (1924, pág. 43)25. Como Lowe (1823) fue el primero en describir de manera sistemática este tipo de índice, se loconoce como índice de Lowe. Así, la forma funcional general del índice de precios de Lowe es:

donde las participaciones híbridas (hipotéticas) en el gasto si26 correspondientes al vector de ponderaciones de cantidades q se definen de este modo:

15.25 La razón principal por la cual los expertos pueden preferir un integrante de la familia de los índices de precios de Lowe o índices de precios de canasta fija definidos por la ecuación (15.15) es que el concepto de canasta fija es fácil de explicar al público general. Los índices de Laspeyres y de Paasche son casos especiales del concepto de precio puro si elegimos q = q0 (que da como resultado un índice de Laspeyres) o q = q1 (que origina un índice de Paasche)27. El problema práctico de elegir q queda pendiente de resolución, y de ello nos ocuparemos en esta sección.

15.26 Cabe señalar que Walsh (1901, pág. 105; 1921a) también consideró el problema de los números índice de precios dentro del marco de referencia anterior:

Los productos deberán ponderarse según su importancia, o su valor completo. Pero el problema de la axiometría siempre involucra al menos dos períodos. Hay un primer período y un segundo período con el cual este se compara. Las variaciones de precios ocurren entre los dos y deben promediarse para obtener la magnitud total de la variación. Pero es probable que las ponderaciones de los productos en el segundo período sean distintas de sus ponderaciones en el primer período. Entonces, ¿cuáles son las ponderaciones correctas: las del primer período o las del segundo? ¿O deberían combinarse los dos conjuntos de ponderaciones? No hay razón para preferir el primero o el segundo. Luego, una combinación de ambos parecería ser la respuesta adecuada. Y esta combinación en sí misma consiste en promediar las ponderaciones de ambos períodos (Walsh [1921a, pág. 90]).

Si seguimos la sugerencia de Walsh, la ponderación de la cantidad i-ésima, qi, será un promedio o una media de la cantidad del período base qi0 y la cantidad del período corriente del producto i,qi1, llamémoslo m(qi0,qi1), para i = 1, 2, …, n28. Bajo este supuesto, el índice de precios de Lowe (15.15) se transforma en:

15.27 A efectos de determinar la forma funcional de la función media m, es necesario imponer algunos criterios o axiomas al índice de precios puro definido por la ecuación (15.17). Al igual que antes, necesitamos que PLo cumpla el criterio de reversión temporal (15.13). En virtud de esta hipótesis, resulta evidente que la función media m debería ser una media simétrica29; es decir, m debe satisfacer el siguiente criterio: m(a,b) = m(b,a) para todo a > 0 y b > 0. Este supuesto todavía no justifica la forma funcional del índice de precios puro definida por la ecuación (15.17). Por ejemplo, la función m(a,b) podría ser una media aritmética, (1/2)a + (1/2)b, en cuyo caso la ecuación (15.17) se reduce al índice de precios deMarshall (1887) y Edgeworth (1925)PME, que era el índice de precios puro que prefería Knibbs (1924, pág. 56):

15.28 Por otra parte, la función m(a,b) podría ser la media geométrica, (ab)1/2, en cuyo caso la ecuación (15.17) se reduce al índice de precios de Walsh (1901, pág. 398; 1921a, pág. 97), PW30:

15.29 Hay muchas otras posibilidades para la función media m, incluyendo la media de orden r, [(1/2)ar + (1/2)br ]1/r para r ≠ 0. Desde luego, a los efectos de determinar completamente la forma funcional del índice de precios puro PLo, es necesario imponerle al menos un criterio o axioma más a PLo (p0, p1, q0, q1).

15.30 La utilización del índice de precios de Edge-worth-Marshall (15.18) puede derivar en un problema que se observó al emplear la fórmula para hacer comparaciones internacionales de precios. Si los niveles de precios de un país muy grande se comparan mediante la fórmula (15.18) con los de un país pequeño, el vector de cantidades del país mayor puede opacar totalmente la influencia del vector de cantidades correspondiente al país pequeño31. En términos técnicos, la fórmula Edgeworth-Marshall no es homogénea de grado 0 en los componentes de q0 y q1. Para evitar este problema al utilizar el índice de precios puro PK(p0, p1, q0, q1) definido por la ecuación (15.17) es necesario que PLo cumpla con el siguiente criterio de invariancia ante cambios proporcionales en las cantidades corrientes32:

Los dos criterios, el de reversión temporal (15.13) y el de invariancia (15.20), permiten determinar la fórmula funcional exacta del índice de precios puro PLo definida por la fórmula (15.17): el índice de precios puro PK debe ser el índice de Walsh PW definido por la fórmula (15.19)33.

15.31 Para que una fórmula de número índice sea de utilidad práctica para las oficinas de estadística, debe poder expresarse como una función de las participaciones en el gasto del período base, si0, las participaciones en el gasto del período corriente, si1, y los n cocientes de precios, pi1/pi0. El índice de precios de Walsh definido como en la fórmula (15.19) puede reformularse de la siguiente manera:

15.32 El enfoque de la teoría de los números índice adoptado aquí consistió en considerar promedios de diversos tipos de índices de precios de canasta fija. El primer enfoque consistió en tomar un promedio simple de los dos índices de canasta fija principales: el índice de precios de Laspeyres y el de Paasche. Estos dos índices se conforman registrando los precios de las canastas correspondientes a los dos períodos (o lugares) que se consideran. Calcular el promedio de ambos dio como resultado el índice de precios ideal de Fisher PF definido por la ecuación (15.12). El segundo enfoque consistió en promediar las ponderaciones de las cantidades de la canasta y luego registrar los precios de esta canasta promedio a los precios correspondientes a las dos situaciones bajo estudio. El resultado fue el índice de precios de Walsh, PW, definido por la ecuación (15.19). Ambos índices pueden formularse como una función de las participaciones en el gasto en el período base, si0, las participaciones en el gasto durante el período corriente, si1, y los n cocientes de precios, pi1/pi0. Suponiendo que la oficina de estadística dispone de información sobre estos tres conjuntos de variables, ¿cuál de estos índices debería utilizarse? La experiencia con datos de series de tiempo normales indica que estos dos índices no difieren mucho entre sí, por lo que es indistinto cuál de ellos se usa en la práctica34. Ambos son ejemplos de índices superlativos, los cuales se definen en el capítulo 17. Cabe observar, sin embargo, que ambos índices tratan los datos correspondientes a las dos situaciones de manera simétrica. Hill35 reflexionó sobre los índices de precios superlativos y la importancia del tratamiento simétrico de los datos, en los siguientes términos:

Así la teoría económica indica que, en general, es prefe rible un índice simétrico que asigna la misma ponderación a ambas situaciones que cualquiera de los índices de Laspeyres o de Paasche. La elección precisa del índice superlativo—sea el de Fisher, el de Törnqvist o cualquier otro índice superlativo—reviste una importancia secundaria dado que es probable que todos los índices simétricos y el índice teórico subyacente se encuentren lo suficientemente próximos, al menos cuando la diferencia entre los números índice de Laspeyres y de Paasche no sea muy grande (Hill [1993, pág. 384]).

Ponderaciones anuales e índices de precios mensuales

Índice de Lowe con precios mensuales y cantidades anuales del año base

15.33 Ahora es necesario abordar un problema práctico de gran envergadura en la teoría de los índices de canasta fija que acabamos de explicar. Hasta ahora hemos supuesto que el vector de cantidades q ≡ (q1, q2,…, qn) que apareció en la definición del índice de Lowe, PLo(p0, p1, q) definido por la ecuación (15.15) era el vector de cantidades del período base q0 o el vector de cantidades del período corriente q1 o un promedio de estos dos vectores de cantidades. De hecho, en términos prácticos, las oficinas de estadística por lo general consideran el vector de cantidades q como un vector de cantidades anual que se refiere a un año base, b, que es anterior al período base de los precios, el período 0. Por lo general, la oficina de estadística elabora un índice de precios al consumidor con una frecuencia mensual o trimestral, pero a efectos de la exposición supondremos de aquí en más una frecuencia mensual. Así, un índice de precios típico tendrá la forma PLo(p0, pt, qb), donde p0 es el vector de precios que corresponde al mes del período base de los precios, el mes 0, pt es el vector de precios correspondiente al mes del período corriente de los precios, el mes t, y qb es el vector de cantidades de la canasta de referencia que se refiere al año base b, que es igual o anterior al mes 036. Nótese que este índice de Lowe PLo(p0, pt, qb) no es un verdadero índice de Laspeyres (porque, por lo general, el vector de cantidades anuales qb no es igual al vector de cantidades mensuales q0)37.

15.34 La pregunta es: ¿por qué no eligen las oficinas de estadística al vector de cantidades mensuales q0, que corresponde a las transacciones del mes 0, como el vector de cantidades de referencia q de la fórmula del índice de Lowe (de manera que el índice se reduzca a un índice de precios de Laspeyres común)? La respuesta es que no lo hacen por dos motivos principales:

  • La mayoría de las economías están sujetas a fluctuaciones estacionales, por lo cual elegir el vector de cantidades del mes 0 como vector de cantidades de referencia para todos los meses del año no resultaría representativo de las transacciones realizadas durante el año.

  • La oficina de estadística, por lo general, recopila las ponderaciones mensuales de cantidades o de gastos de los hogares a través de una encuesta del gasto de los hogares con una muestra relativamente pequeña. De ahí que las ponderaciones resultantes suelan estar sujetas a errores de muestreo de gran magnitud y que la práctica estándar sea calcular el promedio de estas ponderaciones de cantidades o gastos mensuales a lo largo de todo el año (y, en algunos casos, a lo largo de varios años), buscando reducir los errores de muestreo.

Los problemas de los números índice causados por las ponderaciones mensuales estacionales se analizan con mayor detalle en el capítulo 22. Por ahora, puede argumentarse que la utilización de ponderaciones anuales en una fórmula de número índice mensual no es más que un método para tratar el problema de la estacionalidad38.

15.35 A esta altura debe llamarse la atención sobre un problema que surge en el contexto del índice mensual de precios al consumidor cuando se utilizan ponderaciones anuales correspondientes a un año quizás alejado en el tiempo: si los precios de los productos manifiestan tendencias sistemáticas (pero divergentes) y los hogares compran más de los productos cuyos precios disminuyen (en términos relativos) y menos de aquellos cuyos precios aumentan (en términos relativos), la utilización de cantidades de un período distante como ponderaciones tenderá a sesgar al alza este índice de Lowe comparado con uno que utilice ponderaciones más actuales, como se demostrará a continuación. Por ello las oficinas de estadística deberían procurar obtener ponderaciones actualizadas en forma regular.

15.36 Es útil explicar cómo puede obtenerse el vector de cantidades anuales qb a partir de los gastos mensuales en cada producto durante el año base elegido, b. Sea vib,m el gasto de la población de referencia en el producto i durante el mes m del año base b, y sean pib,m y qib,m el precio y la cantidad correspondientes, respectivamente.

Desde luego, el valor, el precio y la cantidad de cada producto se relacionan entre sí mediante las siguientes ecuaciones:

Para cada producto i, el total anual, qib, se puede obtener deflactando mediante los precios los valores mensuales y sumándolos para contemplar todos los meses del año base b de la siguiente manera:

donde la ecuación (15.22) se utiliza para obtener la segunda ecuación en (15.23). En la práctica, las ecuaciones precedentes se evaluarán utilizando los gastos agregados para productos estrechamente relacionados y el precio pib,m será el índice de precios para este grupo i de productos elementales correspondiente al mes m del año b relativo al primer mes de ese año.

15.37 Para ciertos propósitos, también resulta útil contar con los precios anuales de los productos para equipararlos con las cantidades anuales definidas por la ecuación (15.23). Según convenciones contables de los sistemas de cuentas nacionales, un precio razonable39pib para equiparar con la cantidad anual qib surge de dividir el valor del consumo total del producto i durante el año b por qib. Así se obtiene:

donde la participación en el gasto anual del gasto en el producto i durante el mes m del año base es:

Así, el precio anual del año base del producto i, pib, resulta ser una media armónica ponderada por los gastos mensuales de los precios mensuales del producto i en el año base, pib,1,pib,2,,pib,12.

15.38 Utilizando los precios anuales de los productos en el año base definidos por la ecuación (15.24), se puede definir un vector pb[pib,,pnb] de estos precios. En virtud de esta definición, el índice de Lowe PLo(p0, pt, qb) se expresa como un cociente de dos índices de Laspeyres, donde el vector de precios pb desempeña el papel de los precios del período base en cada uno de los índices de Laspeyres:

donde la fórmula de Laspeyres PL se define como en la ecuación (15.5). Así, la ecuación precedente muestra que el índice de precios mensual de Lowe que compara los precios del mes 0 con los del mes t utilizando las cantidades del año base b como ponderaciones, PLo(p0, pt, qb), es igual al índice de Laspeyres que compara los precios del mes t con los del año b, PL(pb, pt, qb), dividido por el índice de Laspeyres que compara los precios del mes 0 con los del año b, PL(pb, p0, qb). El índice de Laspeyres que figura en el numerador puede calcularse si se conocen las participaciones en el gasto de los productos del año base, sib, juntamente con los cocientes de precios que comparan los precios del producto i en el mes t, pit, con los precios promedio anuales correspondientes en el año base b, pib. El índice de Laspeyres que se halla en el denominador se puede calcular si se conocen las participaciones en el gasto de los productos del año base, sib, juntamente con los cocientes de precios que comparan los precios del producto i en el mes 0, pi0, con los precios promedio anuales correspondientes en el año base b, pib.

15.39 Otra fórmula conveniente para evaluar el índice de Lowe, PLo(p0, pt, qb), es la fórmula de ponderaciones híbridas (15.15). En este contexto, la fórmula se expresa como:

donde la ponderaciones híbridas, si0,b, con los precios del mes 0 y las cantidades del año b, se definen de la siguiente manera:

La segunda ecuación en (15.28) muestra como se pueden multiplicar los gastos del año base, pibqib, por los índices de precios de los productos, pi0/pib, para calcular las participaciones híbridas.

15.40 Se mostrará una fórmula adicional de índice de Lowe, PLo(p0, pt, qb). La descomposición según Laspeyres del índice de Lowe definido por el tercer término de la ecuación (15.26) comprende los cocientes relativos de precios de largo plazo, pit/pib, que comparan los precios del mes t, pit, con los de un año base quizás alejado, pib; y la descomposición del índice de Lowe con las participaciones híbridas definida por el tercer término de la ecuación (15.27), comprende los cocientes relativos de precios mensuales de largo plazo, pit/pi0, que comparan los precios del mes t, pit, con los del mes base, pi0. En la práctica ninguna de estas fórmulas es operativa debido al desgaste de la muestra: todos los meses desaparece del mercado una porción sustancial de los productos. Por ello, es útil contar con una fórmula que actualice el índice de precios del mes anterior utilizando solo cocientes relativos de precios mes a mes. Es decir, los cocientes relativos de precios de largo plazo desaparecen con demasiada rapidez para permitir que se sustente en ellos una fórmula de número índice. El índice de Lowe del mes t + 1, PLo(p0, pt + 1, qb), puede expresarse en términos del índice de Lowe del mes t, PLo(p0, pt, qb) y un factor de actualización de la siguiente manera:

donde las ponderaciones híbridas sit,b están definidas de la siguiente manera:

Así, el factor de actualización requerido, que va del mes t al mes t + 1, es un índice en cadena Σi=1nsitb(pit+1/pit), que utiliza las ponderaciones de participación híbridas sitb correspondientes al mes t y al año base b.

15.41 El índice de Lowe PLo(p0, pt, qb) puede considerarse como una aproximación al índice de Laspeyres ordinario, PL(p0, pt, q0), que compara los precios del mes base 0, p0, con los del mes t, pt, utilizando como ponderaciones los vectores de cantidades del mes 0, q0. Ahora bien, existe una fórmula relativamente simple que relaciona estos dos índices. Para explicarla, primero es necesario estipular algunas definiciones. Definamos el cociente relativo del i-ésimo precio entre el mes 0 y t de la siguiente manera:

El índice de precios de Laspeyres ordinario, que abarca del mes 0 al mes t, puede definirse en términos de estos cocientes relativos de precios como sigue:

donde las participaciones en el gasto del mes 0, si0, se definen de la siguiente manera:

15.42 Definamos el i-ésimo cociente relativo de cantidad ti como el cociente entre la cantidad del producto i utilizado en el año base b, qib, y la cantidad utilizada en el mes 0, qi0, de la siguiente manera:

El índice de cantidades de Laspeyres, QL(q0, qb, p0), que compara las cantidades del año b, qb, con las cantidades correspondientes del mes 0, q0, utilizando los precios del mes 0, p0, como ponderaciones puede definirse como un promedio ponderado de los cocientes de cantidad ti de la siguiente manera:

15.43 De acuerdo con la fórmula (A15.2.4) que figura en el apéndice 15.2 de este capítulo, la relación entre el índice de Lowe PLo(p0, pt, qb) que utiliza las cantidades del año b como ponderaciones para comparar los precios del mes t con los del mes 0, y el correspondiente índice de Laspeyres ordinario PL(p0, pt, qb) que utiliza las cantidades del mes 0 como ponderaciones es la siguiente:

Así el índice de precios de Lowe que utiliza las cantidades del año b como ponderaciones, PLo(p0, pt, qb), es igual al índice de Laspeyres ordinario que utiliza las cantidades del mes 0 como ponderaciones, PL(p0, pt, q0), más un término de covarianza Σi=1n(rir*)(tit*)si0 entre los relativos de precios ripit/pi0 y los relativos de cantidad, tiqib/qi0, divididos por el índice de cantidades de Laspeyres QL(q0, qb, p0) entre el mes 0 y el año base b.

15.44 La fórmula (15.36) muestra que el índice de precios de Lowe coincidirá con el índice de precios de Laspeyres si es nula la covarianza o correlación entre los relativos de precios del mes 0 al t, ripit/pi0, y los relativos de cantidad del mes 0 al año b, tiqib/qi0. Esta covarianza será nula si se cumple cualquiera de las siguientes tres condiciones:

  • Si los precios del mes t son proporcionales a los del mes 0 de manera que todo ri = r*.

  • Si las cantidades del año base b son proporcionales a las cantidades del mes 0 de manera que todo ti = t*.

  • Si la distribución de los precios relativos r, es independiente de la distribución de las cantidades relativas ti.

Es poco probable que las primeras dos condiciones se verifiquen empíricamente, pero la tercera sí es posible, al menos de manera aproximada, si los consumidores no modifican en forma sistemática sus hábitos de compra en respuesta a cambios en los precios relativos.

15.45 Si la covarianza de la fórmula (15.36) es negativa, el índice de Lowe será menor que el índice de Laspeyres. Si la covarianza es positiva, el índice de Lowe será superior al índice de Laspeyres. Si bien en última instancia el signo y la magnitud del término de covarianza, Σi=1n(rir*)(tit*)si0, son cuestiones empíricas, pueden hacerse algunas conjeturas razonables en torno al signo probable de la misma. Si el año base b precede al mes de referencia de los precios 0 y los precios presentan tendencias de largo plazo, es probable que la covarianza sea positiva, con lo cual el índice de Lowe será mayor que el índice de precios de Laspeyres correspondiente40; es decir:

Para ver por qué es probable que la covarianza sea positiva, supongamos que existe una tendencia alcista de largo plazo en el precio del producto i de manera que rir*pit/pi0r* sea positivo. Con respuestas de sustitución normales41 por parte de los consumidores, es probable que qit/qi0 menos un promedio de los cambios de este tipo en las cantidades sea negativo, o bien, tomando los recíprocos, es probable que qi0/qit menos un promedio de los cambios de este tipo (recíproco) en las cantidades sea positivo. Pero si persiste la tendencia alcista de largo plazo en los precios desde el año base b, también es probable que tit*(qib/qi0)t* sea positivo. Por ello, en estas circunstancias la covarianza será positiva. Además, cuanto más alejado esté el año base b del mes base 0, mayores tenderán a ser los residuos tit* y mayor será la covarianza positiva. De manera similar, cuanto más alejado esté el mes t del período corriente del mes 0 del período base, mayores tenderán a ser los residuos rir* y mayor la covarianza positiva. Por lo tanto, suponiendo que existen tendencias de largo plazo en los precios y respuestas normales de sustitución de los consumidores, el índice de Lowe normalmente será mayor que el correspondiente índice de Laspeyres.

15.46 Definamos el índice de Paasche entre el mes 0 y el mes t de la siguiente manera:

Como se analizó en los párrafos 15.18–15.23, un índice objetivo razonable para medir el cambio en los precios entre el mes 0 y el mes t es una suerte de promedio simétrico del índice de Paasche PP(p0, pt, qt), definido por la fórmula (15.38), y el correspondiente índice de Laspeyres, PL(p0, pt, q0), definido en (15.32). Adaptando la ecuación (A15.1.5) del apéndice 15.1, la relación entre los índices de Paasche y de Laspeyres puede formularse de la siguiente manera:

donde los relativos de precios r(pit/pi0) se definen en (15.31) y su promedio ponderado por las participaciones r* en la ecuación (15.32); ui, u* y PL se definen de la siguiente manera:

y las participaciones en el gasto del mes 0, si0, se definen por la identidad (15.33). Así u* es igual al índice de cantidades de Laspeyres entre los meses 0 y t. Ello significa que el índice de precios de Paasche que utiliza como ponderaciones las cantidades del mes t, PP(p0, pt, qt), es igual al índice de Laspeyres ordinario que usa las cantidades del mes 0 como ponderaciones, PL(p0, pt, q0), más un término de covarianza Σi=1n(rir*)(uiu*)si0 entre los relativos de precios ripit/pi0 y los relativos de cantidades uiqit/qi0, divididos por el índice de cantidades de Laspeyres QL(q0, qt, p0) entre el mes 0 y el mes t.

15.47 Si bien nuevamente el signo y la magnitud del término de covarianza, Σi=1n(rir*)(tit*)si0, son cuestiones empíricas, es posible conjeturar con cierta certeza sobre cuál será el signo. Si existen tendencias de largo plazo en los precios y, a la hora de comprar, los consumidores responden de manera normal a los cambios de precios, es probable que esta covarianza sea negativa, con lo cual el índice de Paasche será menor al índice de Laspeyres correspondiente; es decir:

Para ver por qué es probable que esta covarianza sea negativa, supongamos que existe una tendencia de largo plazo al alza en el precio del producto i42 de manera que rir*(pit/pi0)r* sea positivo. Con respuestas normales de sustitución por parte de los consumidores, es probable que qit/qi0 menos un promedio de los cambios de este tipo en las cantidades sea negativo. Por ello es probable que uiu*(qit/qi0)u* sea negativo. En estas circunstancias la covarianza será negativa. Además, cuanto más alejado esté el mes base 0 del mes corriente t, mayores tenderán a ser la magnitud de los residuos uiu* y la magnitud de la covarianza negativa43. De manera similar, cuanto más se aleje el mes t (el período corriente) del mes del período base 0, mayores tenderán a ser los residuos rir* y la magnitud de la covarianza. Por lo tanto, suponiendo que existen tendencias de largo plazo en los precios y respuestas de sustitución normales por parte de los consumidores, el índice de Laspeyres será mayor que el correspondiente índice de Paasche, y es probable que la divergencia tienda a crecer a medida que el mes t se aleja del mes 0.

15.48 Considerando en forma conjunta lo expuesto en los tres párrafos precedentes, puede verse que dados los supuestos de que existen tendencias de largo plazo en los precios y respuestas de sustitución normales por parte de los consumidores, el índice de precios de Lowe entre los meses 0 y t será mayor que el correspondiente índice de precios de Laspeyres, el cual será a su vez mayor que el correspondiente índice de Paasche; es decir que, en virtud de estas hipótesis:

Por lo tanto, si la meta a largo plazo del índice de precios es un promedio de los índices de Laspeyres y de Paasche, puede verse que el índice de Laspeyres tendrá un sesgo al alza con relación a este índice objetivo mientras que el índice de Paasche tendrá un sesgo a la baja. Además, si el año base b es anterior al mes de referencia de los precios, el mes 0, el índice de Lowe también tendrá un sesgo al alza respecto del índice de Laspeyres y, por ende, también con relación al índice objetivo.

Índice de Lowe e índices del año intermedio

15.49 En el párrafo anterior suponíamos que el año base de las cantidades, b, era anterior al mes base de los precios, el mes 0. Sin embargo, si el mes del período corriente t está muy alejado del mes base 0, es dable pensar que el año base b se refiere a un año que se encuentra entre los meses 0 y t. Si el año b efectivamente cae entre los meses 0 y t, el índice de Lowe pasará a constituir un índice del año intermedio44. Así, el índice del año intermedio de Lowe deja de estar sesgado al alza como indicaban las desigualdades (15.43) para el caso en que los precios manifiestan tendencias de largo plazo y las respuestas de sustitución en términos de cantidades son normales.

15.50 Supongamos ahora que el vector de cantidades del año base qb corresponde a un año que cae entre los meses 0 y t. Suponiendo que los precios manifiestan tendencias de largo plazo y los efectos de sustitución son normales de manera que también se verifican tendencias de largo plazo en las cantidades (en sentido contrario a las tendencias en los precios, de modo que si el precio del i-ésimo producto muestra una tendencia al alza, la cantidad i-ésima correspondiente tiende a la baja), es probable que el vector de cantidades del año intermedio caiga entre los vectores de cantidades mensuales q0 y qt. El índice del año intermedio de Lowe, PLo(p0, pt, qb), y el índice de Laspeyres que va del mes 0 al mes t, PL(p0, pt, q0), aún cumplirán de manera estricta la relación establecida en la ecuación (15.36). Así, PLo(p0, pt, qb) será igual a PL(p0, pt, q0) más el término de covarianza [Σi=1n(rir*)(tit*)si0]/QL(q0,qb,p0), donde QL(q0, qb, p0) es el índice de cantidades de Laspeyres que abarca del mes 0 al mes t. Es probable que este término de covarianza sea negativo, con lo cual:

Para entender por qué es probable que esta covarianza sea negativa, supongamos que el precio del producto i manifiesta una tendencia alcista de largo plazo de manera que rir*(pit/pi0)r* es positivo. Con respuestas normales de sustitución por parte de los consumidores, qi tenderá a disminuir en términos relativos en el tiempo y, como se supone que qib se ubica entre qi0 y qit, es probable que la diferencia entre qib/qi0 y el promedio de variaciones de este tipo en las cantidades sea negativa. Por lo tanto, es probable que tit*(qib/qi0)t* sea negativo. Así, es probable que en estas circunstancias la covarianza sea negativa. Por lo tanto, suponiendo que el año base de las cantidades cae entre los meses 0 y t y que los precios manifiestan una tendencia de largo plazo y las respuestas de sustitución por parte de los consumidores son normales, el índice de Laspeyres normalmente será mayor que el correspondiente índice del año intermedio de Lowe, y la divergencia entre ambos probablemente crezca a medida que el mes t se aleja del mes 0.

15.51 Se observa también que, a partir de los supuestos anteriores, es probable que el índice del año intermedio de Lowe sea mayor que el índice de Paasche entre los meses 0 y t; es decir:

Para entender por qué es probable que se verifique la desigualdad anterior, pensemos que qb empieza en el vector de cantidades del mes 0, q0, y luego tiende suavemente hacia el vector de cantidades del mes t, qt. Cuando qb = q0, el índice de Lowe PLo(p0, pt, qb) se convierte en el índice de Laspeyres PLo(p0, pt, q0). Cuando qb = qt, el índice de Lowe PL(p0, pt, qb) se convierte en el índice de Paasche Pp(p0, pt, qt). Anteriormente se demostró que, suponiendo tendencias en los precios y respuestas normales de sustitución ante estas tendencias, el índice de Paasche es menor que el correspondiente índice de precios de Laspeyres; es decir que PP(p0, pt, qt) es menor que PL(p0, pt, q0), por la desigualdad (15.42). Así, suponiendo que los precios y las cantidades presentan tendencias suaves entre los meses 0 y t, y que qb se ubica entre q0 y qt obtendremos que:

Así, si se elige un año base para el índice de Lowe que caiga entre el mes base de los precios, 0, y el mes corriente de los precios, t, y los precios manifiestan tendencias que se corresponden con las tendencias en las cantidades coherentes con efectos normales de sustitución, entonces es probable que el índice de Lowe resultante se halle entre los índices de Paasche y de Laspeyres que van desde el mes 0 al t. Si los precios y las cantidades manifiestan tendencias suaves, al elegir el año base en la mitad del lapso entre 0 y t debería obtenerse un índice de Lowe que se encuentre aproximadamente a mitad de camino entre los índices de Paasche y de Laspeyres; por ello se acercará mucho a un índice ideal objetivo entre los meses 0 y t. Esta idea básica fue implementada por Okamoto (2001), quien utilizó datos sobre el consumo en Japón y halló que los índices del año intermedio resultantes se aproximaban mucho a los correspondientes índices ideales de Fisher.

15.52 Cabe observar que estos índices del año intermedio solo pueden computarse de manera retrospectiva, es decir, no pueden calcularse en forma inmediata como los índices de Lowe, que utilizan un año base anterior al mes 0. Por ello, los índices del año intermedio no sirven para reemplazar a los índices de Lowe. Sin embargo, lo expuesto precedentemente indica que es probable que esos índices regulares de Lowe que pueden calcularse sin demoras muestren un sesgo al alza aún mayor que el sesgo al alza usual del índice de Laspeyres en comparación con el índice ideal objetivo, constituido por un promedio de los índices de Paasche y de Laspeyres.

15.53 Todas las desigualdades calculadas en esta sección surgen del supuesto de que existen tendencias a largo plazo en los precios (y las correspondientes respuestas económicas de las cantidades). Si los precios no manifiestan tendencias sistemáticas de largo plazo sino solo fluctuaciones aleatorias en torno a una tendencia común a todos los precios, no resultan válidas las desigualdades descritas y es probable que el índice de Lowe que utiliza un año base anterior sea una aproximación perfectamente adecuada a los índices de Paasche y de Laspeyres. No obstante, existen razones para creer que los precios manifiestan tendencias de largo plazo, a saber:

  • La revolución de los chips de computación que ha tenido lugar en los últimos 40 años hizo que los precios de los productos que utilizan chips de manera intensiva manifiesten tendencias fuertes a la baja. A medida que se fueron desarrollando nuevos usos para los chips, aumentó la participación de los productos que los usan intensivamente, con lo cual lo que constituía un problema relativamente menor pasó a ser un problema mayor.

  • Otros adelantos científicos importantes tuvieron efectos similares. Por ejemplo, el invento del cable de fibra óptica (y el láser) provocó una tendencia a la baja en los precios de las telecomunicaciones a medida que se reemplazan gradualmente las tecnologías obsoletas basadas en el cable de cobre.

  • Desde la finalización de la Segunda Guerra Mundial, una serie de acuerdos comerciales internacionales redujeron drásticamente los aranceles en todo el mundo. Estas reducciones, combinadas con los adelantos en la tecnología del transporte, causaron un rápido aumento del comercio internacional y notables mejoras en la especialización internacional. Las actividades manufactureras en los países más desarrollados se han ido trasladando de manera gradual a los países de salarios más bajos, lo cual da como resultado una deflación de los precios de los productos en la mayoría de los países. Muchos de los servicios, en cambio, no pueden tercerizarse fácilmente45, por lo que, en promedio, el precio de los servicios tiende al alza mientras que el de los bienes tiende a la baja.

  • A nivel microeconómico, hay diferencias enormes en la tasa de crecimiento de las empresas. Las exitosas expanden la escala, bajan los costos y debilitan a los competidores que ofrecen precios más altos y manejan volúmenes más reducidos. Ello trae aparejada una sistemática correlación negativa entre los cambios en los precios de los artículos y las variaciones correspondientes en los volúmenes de los artículos que, por cierto, puede ser muy grande.

Por lo tanto, existe a priori cierto fundamento para suponer que los precios manifiestan tendencias de largo plazo divergentes. Por ello, hay razón para temer que, a diferencia de un índice objetivo más ideal, pueda haber un sesgo al alza en el índice de Lowe que utiliza un año base para las ponderaciones de cantidad que es anterior al mes base de los precios.

Índice de Young

15.54 Recordemos las definiciones de las cantidades del año base, qib, y los precios del año base, pib, dadas por las ecuaciones (15.23) y (15.24) precedentes. Las participaciones en el gasto del año base se pueden definir como siempre, de la siguiente manera:

Definamos del modo habitual el vector de las participaciones en el gasto del año base como sb[sib,,snb]. Estas participaciones en el gasto del año base se utilizaron para expresar una fórmula alternativa del índice de precios de Lowe con año base b entre los meses 0 y t, definido en la ecuación (15.26) como PLo(p0,pt,qb)=[Σi=1nsib(pit/pib)]/[Σi=1nsib(pi0/pib)] En vez de utilizar este índice como el índice objetivo de corto plazo, muchas oficinas de estadística utilizan el siguiente índice, estrechamente relacionado:

Este tipo de índice fue definido por primera vez por el economista inglés Arthur Young (1812)46. Cabe observar que cuando se utiliza el índice de Young se cambia de foco respecto de los demás índices propuestos anteriormente en este capítulo. Hasta aquí, los índices eran del tipo de canasta fija (o promedios de estos índices) en los cuales se elige una canasta de productos que resulte de alguna manera representativa de los dos períodos que se comparan y que “se compra” esta canasta a los precios de los dos períodos, y el índice es el cociente entre estos dos costos. Por el contrario, para el índice de Young se eligen participaciones en el gasto representativas que corresponden a los dos períodos bajo estudio y luego estas participaciones se utilizan para calcular el índice general como un promedio ponderado por las participaciones de los cocientes de precios individuales, pit/pi0. Esta perspectiva de la teoría de los números índice, que se basa en el promedio de los cocientes de precios ponderados por las participaciones, es un poco diferente de la adoptada al comienzo de este capítulo, que veía el problema de los números índice como la descomposición de un cociente de valor en el producto de dos términos, uno de los cuales expresa la magnitud del cambio en los precios entre los dos períodos y el otro la magnitud del cambio en las cantidades47.

15.55 Las oficinas de estadística a veces consideran el índice de Young, definido antes, como una aproximación al índice de precios de Laspeyres PLo(p0, pt, q0). De ahí que sea conveniente establecer una comparación entre ambos. Definamos los relativos de precios mensuales de largo plazo entre los meses 0 y t como ripit/pi0. Utilizando las definiciones (15.32) y (15.48):

ya que Σi=1nsib=Σi=1nsi0=1 y por la ecuación (15.32) r*Σi=1nsi0ri=PLo(p0,pt,q0). Así el índice de Young PY (p0, pt, qp) es igual al índice de Laspeyres PL(p0, pt, sb), más la covarianza entre la diferencia de las participaciones anuales correspondientes al año b y las participaciones del mes 0, sibsi0, y las desviaciones de los precios relativos respecto de su media, rir*.

15.56 Ya no es posible adivinar el signo que pueda adoptar el término de covarianza. La pregunta ya no es si la cantidad demandada baja a medida que el precio del producto i aumenta (por lo general, la respuesta a esta pregunta es “sí”) sino que ahora debemos preguntarnos: ¿baja la participación en el gasto a medida que el precio del producto i sube? La respuesta a esta segunda pregunta depende de la elasticidad de la demanda del producto. Sin embargo, supongamos provisoriamente que los precios de los productos manifiestan tendencias a largo plazo y que si la tendencia del precio del producto i está por encima de la media, la participación en el gasto de ese producto tiende a bajar (y viceversa). Con ello suponemos elasticidades altas o efectos sustitución muy fuertes. En estas circunstancias supongamos que el año base b es anterior al mes 0, y que el precio del producto i manifiesta una tendencia al alza de manera que rir*(pit/pi0)r* es positivo. Habiendo supuesto respuestas de sustitución muy elásticas por parte de los consumidores, si tenderá a disminuir relativamente con el tiempo y, como se supone que sib es anterior a si0, se espera que si0 sea inferior a sib o que sibsi0 sea positivo. Así, es probable que en tales circunstancias la covarianza sea positiva. Por ende, cuando los precios manifiestan tendencias de largo plazo y las respuestas de los consumidores a los precios son muy elásticas, es probable que el índice de Young sea mayor que el correspondiente índice de Laspeyres.

15.57 Supongamos que los precios de los productos manifiestan tendencias de largo plazo. Si la tendencia del precio del producto i está por encima de la media, supongamos que la participación en el gasto del producto i tiende a aumentar (y viceversa). Así, suponemos elasticidades bajas o efectos de sustitución muy débiles. Supongamos también que el año base b es anterior al mes 0 y que el precio del producto i manifiesta una tendencia alcista de largo plazo de manera que rir*(pit/pi0)r* es positivo. Ya que se supusieron respuestas de sustitución muy inelásticas por parte de los consumidores, si tenderá a aumentar relativamente en el tiempo y, como se supone que sib es anterior a si0, es mayor que sib o sea que sibsi0 es negativo. Así, es probable que en estas circunstancias la covarianza sea negativa. Por ende, cuando los precios manifiestan tendencias a largo plazo y las respuestas de los consumidores a las variaciones de los precios son muy inelásticas, es probable que el índice de Young sea menor al correspondiente índice de Laspeyres.

15.58 Los dos párrafos precedentes indican que no se conoce a priori cuál será la diferencia probable entre el índice de Young y el correspondiente índice de Laspeyres. Si las elasticidades de sustitución se acercan a uno, los dos conjuntos de participaciones en el gasto, sib y si0, se acercarán entre sí y la diferencia entre los dos índices se aproximará a cero. No obstante, si las participaciones mensuales en el gasto muestran una fuerte estacionalidad, las participaciones anuales sib podrían ser sustancialmente diferentes de las participaciones mensuales si0.

15.59 Resulta útil contar con una fórmula que actualice el índice de precios de Young del mes anterior utilizando solo relativos de precios mes a mes. El índice de Young del mes t + 1, PY(p0, pt+1, sb), puede expresarse en términos del índice de Young del mes t, PY(p0, pt, sb), y un factor de actualización, de la siguiente manera:

donde las ponderaciones híbridas sib0t se definen como:

Así, las ponderaciones híbridas sib0t se obtienen actualizando las ponderaciones del año base sib, es decir, multiplicándolas por los cocientes relativos de precios (o los índices de niveles de agregación superiores) pit/pi0, Así, el factor de actualización requerido entre el mes t y el mes t + 1, es el índice en cadena Σi=1nsib0t(pit+1/pit que utiliza las ponderaciones de participación híbridas sib0t definidas en (15.51).

15.60 Aun cuando el índice de Young se aproxime bastante al correspondiente índice de Laspeyres, es difícil recomendar la utilización del índice de Young como la estimación final del cambio en los precios entre los períodos 0 y t, de la misma manera que fue difícil recomendar el índice de Laspeyres como la estimación final de la inflación entre el período 0 y el período t. Recordemos que el problema del índice de Laspeyres era su falta de simetría en el tratamiento de los dos períodos; en otras palabras, si se justifica el índice de Laspeyres como un buen índice de canasta fija, un argumento idéntico justifica el índice de Paasche como un índice de canasta fija igualmente bueno para comparar los períodos 0 y t. El índice de Young adolece de una falta de simetría similar en cuanto al modo de tratar el período base. El problema se explica de la siguiente manera. El índice de Young PY(p0, pt, sb) definido en la ecuación (15.48) calcula el cambio de los precios entre los meses 0 y t considerando al mes 0 como mes base. Pero adoptar este mes como el mes base no es más que una convención. Por lo tanto, si consideramos al mes t como la base y utilizamos la misma fórmula para medir el cambio en los precios hacia atrás desde el mes t al mes 0, el índice PY(p0,pt,sb)=Σi=1nsib(pi0/pit) resultaría apropiado. Esta estimación del cambio en los precios puede luego compararse con el índice de Young original si se toma su recíproco, con lo cual se llegaría al siguiente índice de Young con la base cambiada48, PY*(p0,pt,sb),

El índice de Young con la base cambiada, PY*(p0,pt,sb), que utiliza el mes corriente como período base inicial, es una media armónica ponderada por las participaciones de los cocientes relativos de precios entre los meses 0 y t, mientras que el índice de Young original, PY(p0, pt, sb), es una media aritmética ponderada por las participaciones de los mismos cocientes relativos de precios.

15.61 Fisher argumentaba en los siguientes términos que una fórmula de número índice debía dar el mismo resultado cualquiera que fuera el período base elegido:

Cualquiera de los dos momentos puede tomarse como “base”. ¿Habrá alguna diferencia según cuál de los dos se elija? Sin duda, no debería haberla y nuestro Criterio 1 así lo exige. Para decirlo con mayor precisión, nuestro Criterio estipula que la fórmula para calcular un número índice debería ser tal que se obtenga al mismo cociente entre un punto de comparación y otro, independientemente de cuál de los dos se tome como base (Fisher [1922, pág. 64]).

15.62 El problema con el índice de Young es que no solamente no coincide con su contraparte de base cambiada, sino que además existe una desigualdad definida entre ambos índices, a saber:

con una desigualdad estricta si el vector de precios del período t, pt, no es proporcional al vector de precios p0 del período 049. Una oficina de estadística que utilice el índice de Young directo PY(p0, pt, sb) generalmente mostrará una tasa de inflación mayor que otra que utilice los mismos datos originales pero los aplique al índice de Young con la base cambiada, PY*(p0,pt,sb).

15.63 La desigualdad (15.53) no informa por cuánto superará el índice de Young a su antítesis temporal de base cambiada. Sin embargo, en el apéndice 15.3 se muestra que con la precisión de una aproximación de Taylor de segundo orden se verifica la siguiente relación entre el índice de Young directo y su antítesis temporal:

donde Var e se define como sigue:

Las desviaciones ei se definen mediante 1 + ei = ri/r* para i = 1,…, n donde los ri y sus medias ponderadas r* se definen mediante:

lo cual resulta igual al índice de Young directo, PY(p0, pt, sb) La media ponderada de los ei se define como sigue:

lo cual resulta igual a 0. Por ello, cuanto mayor sea la dispersión entre los cocientes relativos de precios pit/pi0, con una precisión de una aproximación de segundo orden, mayor será la diferencia entre el índice de Young directo y su contraparte que utiliza el mes t como período base inicial en lugar de utilizar el mes 0.

15.64 Ante dos fórmulas de números índice a priori igualmente convincentes que arrojan resultados distintos, como el índice de Young y su antítesis temporal, Fisher (1922, pág. 136) sugirió en general tomar la media geométrica de los dos índices50. Una ventaja de este cálculo es que la fórmula resultante cumplirá con el criterio de reversión temporal. Por ello, en vez de utilizar el índice de Young con base en el período 0, PY(p0, pt, sb), o bien el índice de Young con base en el período corriente t, PY*(p0,pt,sb), que siempre será menor que el índice de Young con período base 0 si hay alguna dispersión de precios relativos, parece preferible utilizar el siguiente índice, que es la media geométrica de los dos índices de Young con las bases mencionadas51:

Si las participaciones del año base sib llegaran a coincidir con las participaciones de los meses 0 y t, si0 y sit respectivamente, el índice de Young rectificado por el factor tiempo PY**(p0,pt,sb) definido en la ecuación (15.59) coincidirá con el índice de precios ideal de Fisher entre los meses 0 y t, PF(p0, pt, q0, qt) (que en estas condiciones también será igual a los índices de Laspeyres y de Paasche). Por otra parte, cabe señalar que las oficinas de estadística pueden elaborar el índice PY** definido por la ecuación (15.59) sin demoras.

Índice de Divisia y sus aproximaciones discretas

Índices de precios y cantidades de Divisia

15.65 El segundo enfoque general de la teoría de los números índice se basa en el supuesto de que los datos de precios y de cantidades varían de manera más o menos continua.

15.66 Supongamos que puede considerarse a los datos de precios y de cantidades de los n productos en el dominio de definición elegido como funciones continuas del tiempo (continuo), a las que llamaremos pi(t) y qi(t) para i = 1, …, n. El valor del gasto en consumo del período t es V(t), que se define de la siguiente manera:

15.67 Ahora supongamos que las funciones pi(t) y qi(t) son diferenciables. Entonces ambos miembros de la definición (15.60) pueden diferenciarse respecto del tiempo para obtener la siguiente expresión:

Dividamos ambos miembros de la ecuación (15.61) por V(t); si se usa la definición (15.60) se obtiene la siguiente ecuación:

donde la participación en el gasto en el período t del producto i, si(t), se define de la siguiente manera:

15.68 Divisia (1926, pág. 39) argumentaba lo siguiente: supongamos que el agregado de valores del período t, V(t), es el producto de una función del nivel de precios del período t, P(t), y una función del nivel de cantidades del período t, Q(t); es decir que tenemos:

Supongamos además que las funciones P(t) y Q(t) son diferenciables. Luego, diferenciando la ecuación (15.64) se obtiene:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación (15.65) por V(t) y utilizando la ecuación (15.64) se llega a la siguiente ecuación:

15.69 Divisia comparó las dos expresiones de la derivada logarítmica del valor (del agregado de valores) V’(t)/V(t), dadas por las ecuaciones (15.62) y (15.66), y simplemente definió la tasa de cambio logarítmica del nivel agregado de precios, P(t)/P(t), como el primer conjunto de términos del miembro derecho de (15.62). También definió simplemente la tasa de variación logarítmica del nivel agregado de cantidades, Q’(t)/Q(t), como el segundo conjunto de términos del miembro derecho de la ecuación (15.62). Es decir, estipuló las siguientes definiciones:

15.70 Las expresiones (15.67) y (15.68) definen razonablemente los cambios proporcionales en los niveles agregados de precios y cantidades (o únicamente en las cantidades), P(t) y Q(t)52. El problema de estas definiciones es que los datos económicos no se recolectan en forma continua en el tiempo, sino discreta. Dicho de otro modo, aunque puede pensarse que las transacciones ocurren a lo largo de un tiempo continuo, ningún consumidor contabiliza sus compras en términos de tiempo continuo, sino que acumula sus compras durante cierto tiempo finito y solo después las contabiliza. Lo mismo ocurre con los productores y vendedores de productos: las empresas acumulan ventas durante períodos de tiempo discretos con fines contables o analíticos. Si se intenta aproximar el tiempo continuo mediante intervalos discretos cada vez más breves, puede esperarse que los datos empíricos sobre precios y cantidades se vuelvan cada vez más erráticos por cuanto los consumidores solo realizan sus compras en momentos discretos de tiempo (y los productores y vendedores solo realizan las ventas en momentos discretos). No obstante, aun así resulta de interés aproximar los niveles de precios y de cantidades de tiempo continuo, P(t) y Q(t), definidos implícitamente por las ecuaciones (15.67) y (15.68), mediante aproximaciones de tiempo discreto. Ello puede llevarse a cabo de dos maneras. Pueden emplearse métodos de aproximación numérica o bien pueden formularse supuestos acerca de la trayectoria temporal de las funciones pi(t) y qi(t) i = 1,…, n. La primera estrategia se aplica en la próxima sección. Para distintos análisis de la segunda estrategia, véanse Vogt (1977; 1978), Van Ijzeren (1987, págs. 8–12), Vogt y Barta (1997) y Balk (2000a).

15.71 Existe una conexión entre los niveles de precios y de cantidades de Divisia, P(t) y Q(t), y el enfoque económico de la teoría de los números índice. Sin embargo, tal conexión se comprende mejor tras estudiar el enfoque económico de la teoría de los números índice. Como este tema es más bien técnico, lo dejaremos para el apéndice 15.4.

Aproximaciones discretas al índice de tiempo continuo de Divisia

15.72 A efectos de volver operativos los niveles de precios y de cantidades continuos de Divisia, P(t) y Q(t), definidos por las ecuaciones diferenciales (15.67) y (15.68), es necesario convertirlos en funciones de tiempo discreto. Divisia (1926, pág. 40) sugirió un método sencillo para esta conversión, que ahora pasaremos a explicar.

15.73 Definamos las siguientes diferencias (hacia adelante) de precio y de cantidad:

Utilizando las definiciones anteriores:

utilizando (15.67) cuando t = 0 y aproximando pit(0) por la diferencia Δpi

donde pt ≡ [p1(t), …, pn(t)] y qt ≡ ([q1(t), …, qn(t)] para t = 0,1. Así, puede verse que la aproximación discreta de Divisia a su propio índice de precios de tiempo continuo no es más que el índice de precios de Laspeyres, PL, definido previamente en (15.5).

15.74 Pero ahora surge el problema señalado por Frisch (1936, pág. 8): en lugar de aproximar las derivadas mediante las diferencias discretas (hacia adelante) definidas por las ecuaciones (15.69) y (15.70), podrían utilizarse otras aproximaciones y obtenerse una gran variedad de aproximaciones de tiempo discreto. Por ejemplo, en lugar de utilizar diferencias hacia adelante y evaluar el índice en el momento t = 0, sería posible utilizar diferencias hacia atrás y evaluar el índice en el momento t = 1. Estas diferencias hacia atrás se definen de la siguiente manera:

Utilizar diferencias de este tipo da como resultado la siguiente aproximación de P(0)/P(1):

utilizando (15.67) cuando t = 1 y aproximando pi(1) mediante la diferencia Δbpi:

donde Pp es el índice de Paasche definido anteriormente en la ecuación (15.6). Calculando los recíprocos de ambos miembros de la ecuación (15.73) se obtiene la siguiente aproximación discreta respecto de P(1)/P(0):

15.75 Así, como señaló Frisch53, los índices de Paasche y de Laspeyres pueden considerarse como aproximaciones (igualmente válidas) al índice de precios de tiempo continuo de Divisia54. Como los índices de Paasche y de Laspeyres a veces pueden diferir considerablemente en ciertas aplicaciones empíricas, la idea de Divisia no resulta útil para determinar una única fórmula de número índice discreta55. Por el contrario, en ciertas circunstancias, a medida que la unidad de tiempo discreta se acorta cada vez más, las aproximaciones discretas a los índices de Divisia pueden aproximarse a índices económicamente significativos. Además, si el concepto de Divisia se acepta como el “correcto” para la teoría de los números índice, su correspondiente contraparte “correcta” de tiempo discreto puede considerarse como un promedio ponderado de los cocientes relativos de precios encadenados correspondientes a los períodos adyacentes en cuestión, donde las ponderaciones son de alguna manera representativas de los dos períodos.

Índices de base fija e índices en cadena

15.76 En esta sección56 analizaremos los méritos de utilizar el sistema en cadena para elaborar índices de precios dentro de un contexto de series temporales, por oposición a utilizar el sistema de base fija57.

15.77 El sistema en cadena58 mide el cambio en los precios entre un período y el siguiente utilizando una fórmula bilateral de número índice que comprende los precios y las cantidades correspondientes a los dos períodos adyacentes. Estas tasas de variación de un único período (los eslabones de la cadena) luego se acumulan para generar los niveles de precios relativos que se refieren a todo el período bajo consideración. Así, si el índice de precios bilateral es P, el sistema en cadena genera el siguiente esquema de niveles de precios para los primeros tres períodos:

15.78 Por el contrario, el sistema de base fija de los niveles de precios, que utiliza la misma fórmula bilateral de número índice P, simplemente calcula el nivel de los precios del período t con relación al período base 0 como P(p0,pt, q0, qt). Así, el esquema de base fija de los niveles de precios de los períodos 0, 1 y 2 es el siguiente:

15.79 En los sistemas en cadena y de base fija de los niveles de precios definidos por las fórmulas (15.75) y (15.76), el nivel de precios del período base se fija igual a 1. La práctica habitual de las oficinas de estadística es fijar en 100 el nivel de precios del período base. Hecho esto, es necesario multiplicar cada uno de los números de las fórmulas (15.75) y (15.76) por 100.

15.80 Debido a las dificultades para obtener información sobre cantidades (así como sobre gastos) del período corriente, muchas oficinas de estadística calculan el índice de precios al consumidor basándose aproximadamente en la fórmula de Laspeyres (15.5) y su sistema de base fija. Por lo tanto, es de interés identificar algunos de los problemas que pueden surgir de utilizar índices de Laspeyres de base fija.

15.81 El principal problema de utilizar índices de Laspeyres de base fija es que a menudo la canasta fija de productos del período 0 de la que se toman los precios en el período t puede ser muy diferente de la canasta del período t. Así, si algunos de los precios y cantidades de la canasta del índice manifiestan tendencias sistemáticas59, el índice de precios de Laspeyres de base fija PL(p0, pt, q0, q2) puede ser muy diferente del índice de precios de Paasche de base fija, PP(p0, pt, q0, qt)60. Ello significa que es probable que ninguno de los índices represente adecuadamente las variaciones de los precios promedio durante el período que se considera.

15.82 El índice de cantidades de Laspeyres de base fija no puede utilizarse indefinidamente: en algún momento, las cantidades del período base q0 estarán tan alejadas de las cantidades del período corriente qt que la base deberá modificarse. El encadenamiento es tan solo el caso límite en el cual la base se cambia en cada período61.

15.83 La ventaja principal del sistema en cadena es que, en condiciones normales, encadenar reducirá la brecha entre los índices de Paasche y de Laspeyres62. Ambos índices brindan una perspectiva asimétrica de la magnitud del cambio en los precios ocurrido entre los períodos bajo estudio y podría esperarse que una estimación en un único punto de la variación agregada de los precios se ubique entre esas dos estimaciones. Así, la utilización de índices de Paasche o de Laspeyres en cadena llevará a una diferencia menor entre ambas y, por ende, a estimaciones más cercanas a la “verdad”63.

15.84 Hill (1993, pág. 388), sobre la base de estudios anteriores de Szulc (1983) y Hill (1988, págs. 136–37), observó que no es adecuado utilizar un sistema en cadena cuando los precios oscilan o rebotan. Este fenómeno puede ocurrir en un contexto de fluctuaciones estacionales periódicas o en medio de una guerra de precios. Sin embargo, en el caso de precios y cantidades que varíen aproximadamente de manera monotónica, Hill (1993, pág. 389) recomendó usar índices en cadena simétricamente ponderados (véanse los párrafos 15.18–15.32). Los índices de Fisher y de Walsh son ejemplos de índices simétricamente ponderados.

15.85 Es posible precisar un poco más las condiciones en las cuales conviene o no encadenar. Básicamente, encadenar es aconsejable si los precios y cantidades correspondientes a los períodos adyacentes son más similares que los precios y cantidades correspondientes a períodos más alejados, pues esta estrategia llevará a reducir la brecha en cada empalme entre los índices de Paasche y de Laspeyres64. Desde luego, se requiere una medida de cuán similares son los precios y las cantidades correspondientes a dos períodos. Las medidas de similitud podrían formularse en términos relativos o absolutos. En el caso de comparaciones absolutas, dos vectores de la misma dimensión son similares solo si son idénticos, y disímiles en caso contrario. En el caso de comparaciones relativas, dos vectores son similares si son proporcionales, y disímiles si no lo son65. Definida la medida de similitud, se comparan los precios y las cantidades de los dos períodos en función de ella, se elabora un “árbol” o trayectoria que relacione todas las observaciones, en el cual las observaciones más similares se comparan entre sí utilizando una fórmula bilateral de número índice66. Hill (1995) estipuló que las estructuras de precios de dos países eran tanto más disímiles cuanto mayor fuera la brecha entre PL y PP; es decir, cuanto mayor fuera {PL/PP, PL/PP}. El problema con esta medida de disimilitud de las estructuras de precios de dos países es que podría darse el caso de que PL = PP (de manera que la medición de Hill registraría un grado máximo de similitud), pudiendo ser p0 muy diferente de pt. Así, se requiere un estudio más sistemático sobre las medidas de similitud (y disimilitud) a efectos de elegir la “mejor” y utilizarla en el algoritmo del árbol extendido de Hill (1999a; 1999b; 2001) para el empalme de las observaciones.

15.86 Es posible que el método para encadenar las observaciones explicado en el párrafo anterior, que se basa en la similitud de las estructuras de precios y de cantidades entre dos observaciones cualesquiera, no resulte práctico dentro del contexto de una oficina de estadística debido a que la incorporación de un período adicional puede llevar a reordenar los eslabones anteriores. Pero es posible que este método “científico” de encadenar observaciones sea útil para decidir si es preferible encadenar o utilizar índices de base fija a la hora de efectuar comparaciones de mes a mes dentro del mismo año.

15.87 Algunos teóricos de los números índice han objetado el principio de encadenar sobre la base de que no posee contrapartida en un contexto espacial:

[Los índices en cadena] solo se refieren a comparaciones intertemporales y, a diferencia de los índices directos, no pueden aplicarse a casos en los cuales no hay un orden natural ni una secuencia. Así, la idea de un índice en cadena, por ejemplo, no tiene contrapartida en las comparaciones de precios interregionales ni internacionales, pues no es posible ordenar los países de manera “lógica” ni “natural” (no existe un país k + 1 ni k – 1 que pueda compararse con el país k) (von der Lippe [2001, pág. 12])67.

Esto es cierto, sin lugar a dudas, pero el enfoque de Hill conduce a un conjunto “natural” de eslabones espaciales. Aplicar el mismo enfoque al contexto de series temporales dará como resultado un conjunto de empalmes entre períodos que pueden no ser mes a mes, pero en numerosos casos justificará encadenar los datos correspondientes al mismo mes de un año a otro. Volveremos sobre este problema en el capítulo 22.

15.88 Reviste cierto interés investigar si existen fórmulas de números índice que lleguen al mismo resultado ya sea que se utilice la base fija o el sistema en cadena. Si se compara la secuencia de índices en cadena definidos por la expresión (15.75) con los correspondientes índices de base fija, se observa que obtenemos la misma respuesta en cada uno de los tres períodos si la fórmula de número índice P satisface la siguiente ecuación funcional para todos los vectores de precios y de cantidades:

Si una fórmula de número índice P satisface la ecuación (15.77), P cumple con el criterio de circularidad68.

15.89 Si se supone que la fórmula de número índice P cumple ciertos criterios además del criterio de circularidad69, Funke, Hacker y Voeller (1979) demostraron que P debe tener la siguiente forma funcional, originalmente estipulada por Konüs y Byushgens70 (1926, págs. 163–66)71:

donde las n constantes αi satisfacen las siguientes restricciones:

Así, en condiciones muy débiles de regularidad, el único índice de precios que cumple el criterio de circularidad es la media geométrica ponderada de todos los cocientes de precios individuales, siendo las ponderaciones constantes en el tiempo.

15.90 Un caso de interés especial de la familia de índices definido por la ecuación (15.78) se presenta cuando las ponderaciones αi son todas iguales. En este caso, PKB se reduce al índice de Jevons (1865):

15.91 El problema de los índices definidos por Konüs y Byushgens y por Jevons es que los cocientes de precios individuales, pi1/pi0, tienen ponderaciones (αi o 1/n) que son independientes de la importancia económica del producto i en los dos períodos bajo estudio. Planteado de otro modo, estas ponderaciones de precios son independientes de las cantidades del producto i consumidas o de los gastos en el producto i durante los dos períodos. Por lo tanto, estos índices no resultan verdaderamente convenientes para ser utilizados por las oficinas de estadística en los niveles superiores de agregación cuando se dispone de información sobre las participaciones en el gasto.

15.92 Los resultados anteriores indican que no es útil exigir que el índice de precios P cumpla el criterio de circularidad con exactitud. No obstante es conveniente hallar fórmulas de números índice que satisfagan el criterio de circularidad con algún grado de aproximación, pues el empleo de dicha fórmula llevará a mediciones de cambios en los precios agregados que sean más o menos iguales más allá de si aplicamos el sistema en cadena o el de base fija. Fisher (1922, pág. 284), utilizando su conjunto de datos y el índice de precios ideal de Fisher PF definido por la ecuación (15.12), descubrió que las desviaciones con respecto a la circularidad eran bastante reducidas. Este grado relativamente alto de correspondencia entre los índices de base fija y los índices en cadena también se encontró en otras fórmulas ponderadas simétricamente, como el índice de Walsh PW definido por la ecuación (15.19)72. En la mayoría de las aplicaciones a series temporales de la teoría de los números índice en las cuales el año base de los índices de base fija se cambia cada cinco años más o menos, no importa demasiado si la oficina de estadística utiliza un índice de base fija o un índice en cadena, siempre y cuando se use una fórmula simétricamente ponderada73. La elección entre un índice de precios de base fija y uno en cadena dependerá, por supuesto, de la longitud de la serie temporal estudiada y del grado de variación de los precios y de las cantidades a medida que avanzamos período por período. Cuanto más expuestos a grandes fluctuaciones estén los precios y las cantidades (en vez de manifestar tendencias suaves), menor será la correspondencia74.

15.93 Es posible explicar desde el punto de vista teórico el cumplimiento aproximado del criterio de circularidad por parte de fórmulas de números índice simétricamente ponderadas. Otra fórmula simétricamente ponderada es el índice de Törnqvist, PT75. El logaritmo natural de este índice se define de la siguiente manera:

donde las participaciones en el gasto del período t, sit, se definen según la ecuación (15.7). Alterman, Diewert y Feenstra (1999, pág. 61) demostraron que si los logaritmos de los cocientes de precios ln (pit/pit1) manifiestan tendencias lineales a lo largo del tiempo t y las participaciones en el gasto sit también manifiestan una tendencia lineal en el tiempo, entonces el índice de Törnqvist, PT, cumple el criterio de circularidad con exactitud76. Como numerosas series temporales económicas de precios y de cantidades cumplen estos supuestos en forma aproximada, el índice de Törnqvist, PT, cumple el criterio de circularidad también aproximadamente. Como veremos en el capítulo 19, el índice de Törnqvist suele acercarse bastante a los índices simétricamente ponderados de Fisher y de Walsh, de manera que, para muchas series económicas temporales (de tendencias suaves), los tres índices simétricamente ponderados cumplirán con el criterio de circularidad con un grado de aproximación lo suficientemente alto de manera que no importe si utilizamos el principio de base fija o el del empalme.

15.94 Walsh (1901, pág. 401; 1921a, pág. 98; 1921b, pág. 540) introdujo una útil variante del criterio de circularidad, a saber:

La motivación para este criterio es la siguiente. Utilicemos la fórmula de índice bilateral P(p0, p11, q0, q1) para calcular el cambio en los precios entre el período 0 y 1, utilicemos la misma fórmula evaluada con los datos correspondientes a los períodos 1 y 2, P(p1, p2, q1, q2), para calcular el cambio en los precios entre el período 1 y 2, … utilicemos P(pT–1, pT, qT–1, qT) para calcular el cambio en los precios entre el período T – 1 y T, introduzcamos un período artificial T+1 que tenga exactamente los precios y las cantidades del período inicial 0 y utilicemos P(pT, p0, qT, q0) para calcular el cambio en los precios entre los períodos T y 0. Por último, multipliquemos todos estos índices entre sí. Como finalizamos donde empezamos, el producto de todos estos índices debería ser idealmente igual a uno. Diewert (1993a, pág. 40) llamó a este criterio el criterio de identidad de períodos múltiples77. Nótese que si T = 2 (de manera que la cantidad total de períodos sea tres), el criterio de Walsh se reduce al criterio de reversión temporal de Fisher (1921, pág. 534; 1922, pág. 64)78.

15.95 Walsh (1901, págs. 423–33) demostró que el criterio de circularidad podía usarse para evaluar cuán “buena” era una fórmula cualquiera de número índice bilateral. Inventó datos artificiales de precios y cantidades para cinco períodos y agregó un sexto período con los datos del primero. Luego evaluó el miembro derecho de la ecuación (15.82) con diversas fórmulas, P(p0, p1, q0, q1), y determinó cuán alejados estaban los resultados de la unidad. Sus “mejores” fórmulas tenían productos cercanos a la unidad79.

15.96 Este mismo marco de referencia se utiliza a menudo para evaluar la eficacia de los índices en cadena comparados con sus contrapartes directas. Así, si el miembro derecho de la ecuación (15.82) resulta ser distinto de la unidad, se dice que los índices en cadena padecen de “deriva por encadenamiento”. Si una fórmula efectivamente padece deriva por encadenamiento, a veces se recomienda utilizar índices de base fija en lugar de los índices en cadena. Sin embargo, aceptar esta recomendación llevaría siempre a la adopción de índices de base fija, mientras la fórmula de índice bilateral cumpla el criterio de identidad, P(p0, p1, q0, q1) = 1. Por ende, no se recomienda utilizar el criterio de circularidad de Walsh para decidir si calcular índices de base fija o índices en cadena. Es adecuado utilizar el criterio de circularidad de Walsh de la manera en que él lo utilizó originalmente, es decir, como un método aproximado para decidir cuán “buena” es una fórmula de número índice. Para decidir si encadenar o utilizar índices de base fija, es necesario fijarse cuán similares son las observaciones entre sí y elegir el método que mejor encadene las observaciones más similares.

15.97 En este capítulo se presentaron varios criterios, propiedades o axiomas que puede satisfacer una fórmula de número índice. En el próximo examinaremos el enfoque de los criterios de la teoría de los números índice de manera más sistemática.

Apéndice 15.1 Relación entre los índices de Paasche y de Laspeyres

1. Recordemos la notación utilizada en los párrafos 15.11–15.17 anteriores. Definamos el i-ésimo precio relativo o cociente relativo de precios ri y el i-ésimo relativo de cantidades ti de la siguiente manera:

Utilizando la fórmula (15.8) del índice de precios de Laspeyres PL y las definiciones (A15.1.1), obtenemos:

es decir, definimos el cociente relativo de precios “promedio” r* como el promedio de los cocientes relativos de precios individuales, ri ponderado por las participaciones en el gasto del período base.

2. Aplicando la fórmula (15.6) para el índice deprecios de Paasche PP, obtenemos:

utilizando (A15.1.2) y Σi=1nsi0=1 y donde se define el cociente relativo de cantidades “promedio” t* de la siguiente manera:

donde la última igualdad surge de utilizar la ecuación (15.11), la definición del índice de cantidades de Laspeyres QL.

3. Calculando la diferencia entre PP y PL y utilizando las ecuaciones (A15.1.2)–(A15.1.4) se llega a:

Ahora, sean r y t variables aleatorias discretas que pueden tomar los n valores ri y ti respectivamente. Sea si0 la probabilidad conjunta de que r = ri y t = t para i = 1, …, n, y sea esta probabilidad conjunta igual a 0 si r = ri y t = ti donde ij. Se verifica que la sumatoria Σi=1n(rir*)(tit*)si0 del miembro derecho de la ecuación (A15.1.5) es la covarianza entre los cocientes relativos de precios ri y los correspondientes cocientes relativos de cantidades ti. Es posible convertir esta covarianza en un coeficiente de correlación80. Si la covarianza es negativa, como suele ser en el contexto del consumo, Pp será menor que PL.

Apéndice 15.2 Relación entre los índices de Lowe y de Laspeyres

1. Recordemos la notación utilizada en los párrafos 15.33–15.48 anteriores. Definamos el i-ésimo precio relativo, ri, que relaciona el precio del producto i del mes t al mes 0, y el i-ésimo cociente relativo de cantidades, ti, que relaciona la cantidad del producto i del año base b al mes 0 de la siguiente manera:

Como en el apéndice A15.1, el índice de precios de Laspeyres PL(p0, pt, q0) puede definirse como r*, el promedio, ponderado por las participaciones en el gasto del mes 0, de los cocientes relativos individuales de precios ri, definidos en (A15.2.1), con la diferencia de que el precio del mes t, pit, ahora reemplaza el precio del período 1, pi1, en la definición del i-ésimo cociente relativo de precios ri:

2. El cociente relativo de cantidades “promedio” t* que relaciona las cantidades del año base b con las del mes 0 se define como el promedio, ponderado por las participaciones en el gasto del período 0, de los cocientes relativos individuales de las cantidades ti, definidos en (A15.2.1):

donde QL = QL(q0, qb, p) es el índice de cantidades de Laspeyres que relaciona las cantidades del mes 0, q0, con las del año b, qb, utilizando como ponderaciones los precios del mes 0, p0.

3. Utilizando la definición (15.26), el índice de Lowe que compara los precios del mes t con los del mes 0 y usa las ponderaciones de cantidades del año base b es igual a:

dado que utilizando (A15.2.2), r* es igual al índice de precios de Laspeyres, PL(p0, pt, q0), y utilizando (A15.2.3), t* es igual al índice de cantidades de Laspeyres, QL(q0, qb, p0). Así, la ecuación (A15.2.4) da cuenta de que el índice de precios de Lowe que utiliza las cantidades del año b como ponderaciones, PLo(p0, pt, qb), es igual al índice de Laspeyres que usa las cantidades del mes 0 como ponderaciones, PL(p0, pt, qb), más un término de covarianza Σi=1n(rir*)(tit*)si0 entre los cocientes relativos de precios ripit/pi0 y los cocientes relativos de cantidades tiqib/qi0, divididos por el índice de cantidades de Laspeyres QL(q0, qb, p0) entre el mes 0 y el año base b.

Apéndice 15.3 Relación entre el índice de Young y su antítesis temporal

1. Recordemos que el índice directo de Young, PY (p0, pt, sb), se definió en la ecuación (15.48), y su antítesis temporal, PY*(p0,pt,sb) en la ecuación (15.52). Definamos el i-ésimo precio relativo entre los meses 0 y t de la siguiente manera:

y definamos el promedio ponderado (que utiliza las ponderaciones del año base sib) de las ri como:

lo cual resulta igual al índice directo de Young, PY(p0, pt, sb). Definamos la desviación ei de ri respecto de su media ponderada r* utilizando las siguientes ecuaciones:

Si la ecuación (A15.3.3) se sustituye en la ecuación (A15.3.2), se obtiene la siguiente:

Por lo tanto la media ponderada e* de las desviaciones ei es igual a 0.

2. El índice directo de Young, PY(p0, pt, sb), y su antítesis temporal, PY*(p0,pt,sb), pueden formularse como funciones de r*, de las ponderaciones sib y de las desviaciones de los cocientes relativos de precios ei de la siguiente manera:

3. Ahora consideremos PY*(p0,pt,sb) como una función del vector de desviaciones, e ≡ [e1, …, en], es decir, PY*(e). La aproximación de Taylor de segundo orden a PY*(e) en torno al punto e = 0n se expresa de la siguiente manera81:

donde la varianza ponderada de la muestra del vector e de desviaciones de precios se define de la siguiente manera:

4. Reordenando la ecuación (A15.3.8) se llega a la siguiente relación aproximada entre el índice directo de Young PY(p0, pt, sb) y su antítesis temporal PY*(p0, pt, sb), con la precisión de una aproximación de Taylor de segundo orden en torno a un punto de precios donde el vector de precios del mes t es proporcional al vector de precios del mes 0:

Así, con la precisión de una aproximación de segundo orden, el índice directo de Young será mayor a su antítesis temporal en una magnitud igual al índice directo de Young multiplicado por la varianza ponderada de las desviaciones de los cocientes relativos de precios respecto de sus medias ponderadas. Así, cuanto mayor sea la dispersión de los precios relativos, mayor será la diferencia entre el índice directo de Young y su antítesis temporal.

Apéndice 15.4 Relación entre el enfoque de Divisia y el enfoque económico

1. El enfoque de Divisia con respecto a la teoría de los números índice se basaba en la teoría de la diferenciación. Por ello, no parece tener ninguna relación con la teoría económica. Sin embargo, a partir de Ville (1946), varios economistas82 establecieron que los índices de precios y cantidades de Divisia por cierto guardan relación con el enfoque económico de la teoría de los números índice. Esta relación se expone en el presente apéndice.

2. Primero se explica el enfoque económico para determinar el nivel de precios y el nivel de cantidades. El enfoque económico particular que se utiliza aquí se atribuye a Shephard (1953; 1970), Samuelson (1953) y Samuelson y Swamy (1974).

3. Se supone que “el” consumidor tiene preferencias bien definidas acerca de las distintas combinaciones de los n productos o artículos de consumo. Cada combinación de artículos se representa mediante un vector positivo q ≡ [q1,…, qn]. Se supone además que es posible representar las preferencias del consumidor respecto de vectores de consumo alternativos q mediante una función de utilidad continua, no decreciente y cóncava f. Además, se supone que el consumidor minimiza el costo de alcanzar el nivel de utilidad del período t, utf(qt) para los períodos t = 0, 1, …, T. Así, se supone que el vector de consumo observado del período t, qt, resuelve el siguiente problema de minimización del costo del período t:

El vector de los precios de los n productos en cuestión que enfrenta el consumidor en el período t es pt. Nótese que la solución del problema de minimizar el costo o el gasto del período t define la función de costos del consumidor, C(ut, pt).

4. La función de utilidad del consumidor f está sujeta a una condición adicional de regularidad. Se supone que f es (positivamente) linealmente homogénea para vectores de cantidad estrictamente positivos. Bajo este supuesto, la función del costo o del gasto del consumidor, C(u,p), se descompone en uc(p), donde c(p) es la función de costo unitario del consumidor83. Se obtiene la siguiente ecuación:

Así, el gasto total del período t en los n productos del agregado, Σi=1npitqit, se descompone en el producto de dos términos, c(pt) y f(qt). El costo unitario del período t, c(pt), puede identificarse como el nivel de precios del período t, Pt, y el nivel de utilidad del período t, f(qt), puede identificarse como el nivel de cantidades del período t, Qt.

5. El nivel de precios económico del período t, Ptc(pt), definido en el párrafo anterior, ahora se relaciona con el nivel de precios de Divisia para el momento t, P(t), que estaba implícitamente definido en la ecuación diferencial (15.67). Como en los párrafos 15.65–15.71, considere los precios como funciones pi(t), continuas y diferenciables respecto del tiempo, para i ≡ 1, …, n. Así, la función de costo unitario también se considera función del tiempo; por ello, se expresa la función de costo unitario en función de t, del siguiente modo:

6. Suponiendo que existen las derivadas parciales de primer orden de la función de costo unitario c(p), calculamos la derivada logarítmica de c*(t) de la siguiente manera:

donde ci[p1(t), p2(t), …, pn(t)] ≡ ∂c[p1(t), p2(t), …, pn(t)]/∂pi, es la derivada parcial de la función de costo unitario con respecto al i-ésimo precio, pi, y pi(t)dpi(t)/dt es la derivada respecto del tiempo de la función del i-ésimo precio, pi(t). Utilizando el lema de Shephard (1953, pág. 11), la demanda del consumidor del producto i en el momento t que minimiza el costo es:

donde el nivel de utilidad en el momento t es u(t) = f[q1(t), q2(t), …, qn(t)]. La contrapartida en tiempo continuo de las ecuaciones (A15.4.2) es que el gasto total en el momento t es igual al costo total en el momento t, el que a su vez es igual al nivel de utilidad, u(t), multiplicado por el costo unitario del período t, c*(t):

7. La derivada logarítmica del nivel de precios de Divisia P(t) puede expresarse de la siguiente manera (recordemos la ecuación [15.67] anterior):

Así, bajo los mencionados supuestos de minimización de costos y tiempo continuo, el nivel de precios de Divisia, P(t), es esencialmente igual a la función de costo unitario evaluada en los precios del tiempo t, c*(t) ≡ c[p1(t), p2(t), …, pn(t)].

8. Si el nivel de precios de Divisia P(t) se establece como equivalente a la función de costo unitario c*(t) ≡ c[p1(t), p2(t), …, pn(t)], entonces de la ecuación (A15.4.2) se deduce que el nivel de cantidades de Divisia Q(t) definido por la ecuación (15.68) será igual a la función de utilidad del consumidor considerada como función del tiempo, f*(t) ≡ f [q1(t), …, qn(t)]. Así, suponiendo que el consumidor continuamente minimiza el costo de alcanzar un nivel dado de utilidad y si la función de utilidad o preferencia es linealmente homogénea, queda demostrado que los niveles de precios y de cantidades de Divisia P(t) y Q(t), definidos implícitamente por las ecuaciones diferenciales (15.67) y (15.68), son esencialmente iguales a la función de costo unitario del consumidor c*(t) y a la función de utilidad f*(t), respectivamente84. Estas son igualdades bastante notables por cuanto en principio, dadas las funciones de tiempo, pi(t) y qi(t), es posible resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales que definen los índices de precios y de cantidades de Divisia; entonces, en principio, P(t) y Q(t) resultan observables (excepto posiblemente por una constante normalizadora).

9. Para una explicación más detallada del enfoque de Divisia de la teoría de los números índice, véanse Vogt (1977; 1978) y Balk (2000a). Un enfoque alternativo que utiliza integrales lineales podrá hallarse en la publicación Producer Price Index Manual: Theory and Practice (Organización Internacional del Trabajo y otros [2004]).

Aunque no aparezcan índices de este tipo en el capítulo 19, donde—mediante un conjunto de datos artificiales—se ilustra la mayoría de las fórmulas de números índice presentadas en los capítulos 15–18, los índices en los cuales el período de referencia de las ponderaciones difiere del período de referencia de los precios se ilustran en forma numérica en el capítulo 22, al abordar el problema de los productos estacionales.

En particular, sirve para justificar el sistema en cadena de números índice (analizado en los párrafos 15.86–15.97).

Ralph Turvey observó que algunos valores son difíciles de desglosar sin ambigüedad en componentes de precio y cantidad, por ejemplo las comisiones bancarias, el gasto en juegos de azar y las primas de seguros de vida.

Se supone que en los agregados de valor no hay nuevos productos ni productos que hayan desaparecido. En los capítulos 7, 8 y 21 se examinan enfoques con respecto al “problema de los artículos nuevos” y al problema de dar cuenta de los cambios en la calidad.

Fue Fisher (1911, pág. 418) el primero en sugerir que los índices de precios y de cantidades deberían calcularse conjuntamente para satisfacer la ecuación (15.3). Frisch (1930, pág. 399) llamó a la ecuación (15.3) el criterio del producto.

Lowe (1823, apéndice, pág. 95) sugirió actualizar el vector q de la canasta de productos cada cinco años. Los índices de Lowe se analizan con mayor profundidad en los párrafos 15.45–15.85.

Drobisch (1871a, pág. 147) presentó y fundamentó este índice un poco antes que Laspeyres. Laspeyres (1871, pág. 305) de hecho reconoció explícitamente que fue Drobisch quien le indicó el camino. No obstante, los aportes de Drobisch fueron en gran medida olvidados por autores posteriores debido a que sostuvo insistentemente que el cociente de los dos valores unitarios era la “mejor” fórmula de número índice. Si bien esta fórmula tiene algunas propiedades excelentes cuando todos los n productos comparados tienen la misma unidad de medida, resulta inútil por ejemplo cuando la canasta del índice está compuesta por bienes y servicios.

Drobisch (1871b, pág. 424) también parece haber sido el primero en definir de manera explícita y justificar la fórmula del índice de precios de Paasche, pero rechazó esta fórmula a favor de la que él prefería, el cociente entre valores unitarios. Así, nuevamente, tampoco fue reconocido como descubridor de la fórmula de Paasche.

Nótese que en realidad PL(p0, p1, q0, q1) no depende de q1 y que Pp(p0, p1, q0, q1) no depende de q0. Incluir estos vectores no es erróneo, sin embargo, y la notación indica al lector que se encuentra en el ámbito de la teoría de los números índice bilaterales, es decir que se comparan precios y cantidades de un agregado de valor que corresponden a dos períodos.

Este método de reformular el índice de Laspeyres (o cualquier índice de canasta fija) como una media aritmética de cocientes de precios, ponderado por participaciones se atribuye a Fisher (1897, pág. 517; 1911, pág. 397; 1922, pág. 51) y Walsh (1901, pág. 506; 1921a, pág. 92).

Este método de reformular el índice de Paasche (o cualquier índice de canasta fija) como un promedio geométrico de cocientes de precios ponderado por participaciones se atribuye a Walsh (1901, pág. 511; 1921a, pág. 93) y Fisher (1911, págs. 397–98).

Cabe observar que el cálculo de la fórmula (15.9) demuestra que las medias armónicas surgen con total naturalidad en la teoría de los números índice.

En principio, en vez de promediar los índices de Paasche y de Laspeyres, la oficina de estadística podría pensar en difundir los dos índices (el de Paasche, por cierto, un poco más tarde). Ello resultaría en una matriz de comparaciones de precios entre cada par de períodos en lugar de una serie temporal de comparaciones. Walsh (1901, pág. 425) señaló esta posibilidad: “De hecho, si utilizamos estas comparaciones directas, deberíamos utilizar todas las comparaciones posibles”.

Peter Hill (1993, pág. 383) resumió esta desigualdad en los siguientes términos:

Puede mostrarse que la relación (13) [a saber, que PL es mayor que PP] se cumple siempre que los cocientes relativos de precios y cantidades (ponderados por los valores) se correlacionan negativamente. Esta correlación negativa debe esperarse para los agentes económicos sin influencia en el precio que reaccionan a los cambios en los precios relativos sustituyendo bienes y servicios que se tornaron relativamente más caros por aquellos que se tornaron más baratos. En la gran mayoría de las situaciones contempladas por los números índice, los cocientes relativos de precios y cantidades suelen estar negativamente correlacionados de manera que los índices de Laspeyres tienden en forma sistemática a registrar aumentos mayores a los de Paasche, con lo cual la brecha entre ambos tiende a acrecentarse con el transcurso del tiempo.

Existe otra forma de ver por qué PP es a menudo menor que PL. Si las participaciones en el gasto del período 0 si0 son exactamente iguales a las correspondientes del período 1 si1, entonces por la desigualdad de Schlömilch (1858) (véase Hardy, Littlewood y Polyá [1934, pág. 26]) puede demostrarse que una media armónica ponderada de n números es menor o igual que la media aritmética correspondiente de los n números y la desigualdad es estricta si los n números no son todos iguales. Si las participaciones en el gasto se mantienen aproximadamente constantes a lo largo de todo el período, en estas condiciones se observa que PP tenderá a ser siempre menor que PL (véanse los párrafos 15.70–15.84).

Para un análisis de las propiedades de los promedios simétricos, véase Diewert (1993c). Formalmente, un promedio m(a, b) de dos números a y b es simétrico si m(a, b) = m(b, a). En otras palabras, los números a y b se tratan del mismo modo en el promedio. Un ejemplo de un promedio no simétrico de a y b es (1/4)a + (3/4)b. En líneas generales, Walsh (1901, pág. 105) proponía un tratamiento simétrico cuando debía asignarse igual importancia a los dos períodos (o países) bajo análisis.

Walsh (1901, pág. 99) también sugirió el índice de media aritmética PD (véase Diewert [1993a, pág. 36] para obtener información adicional sobre los comienzos de la teoría de los números índice).

Bowley (1899, pág. 641) parece haber sido el primero en sugerir utilizar el índice de media geométrica PF. Walsh (1901, págs. 428–29) también propuso usar este índice al analizar las grandes diferencias entre los índices de Laspeyres y de Paasche en uno de sus ejemplos numéricos: “Las cifras de las columnas (2) [Laspeyres] y (3) [Paasche] son, tomadas individualmente, extravagantes y absurdas. Pero hay orden en su extravagancia, porque la cercanía de sus medias a los resultados más veraces muestra que van a horcajadas del verdadero sendero, variando una por un lado lo que la otra varía en el otro”.

Véase Diewert (1992a, pág. 218) para conocer las primeras referencias a este criterio. Si deseamos que el índice de precios tenga la misma propiedad que un único cociente de precios, es importante satisfacer el criterio de reversión temporal. Sin embargo, existen otros puntos de vista posibles. Por ejemplo, podríamos querer utilizar el índice de precios para remuneraciones, en cuyo caso no interesaría tanto si se cumple o no el criterio de reversión temporal.

Véase Diewert (1997, pág. 138).

El promedio o la media entre dos números a y b, m(a, b), es homogéneo si, cuando ambos números a y b se multiplican por un número positivo λ, la media también se multiplica por λ; es decir, m cumple el siguiente criterio: m(λa, λb) = λm(a, b).

Fisher (1911, págs. 417–18; 1922) también consideró las medias aritmética, geométrica y armónica de los índices de Paasche y de Laspeyres.

Fisher (1922, pág. 72) señaló que P y Q cumplían el criterio de reversión de los factores si Q(p0, p1, q0, q1) = P(q1, q1, p0, p1) y si P y Q también cumplían el criterio del producto (15.3).

Véase la sección 7 en Diewert (2001).

“Supongamos sin embargo que, para cada producto, Q’ = Q, entonces la fracción, Σ(P(Q)’ / Σ(PQ), es decir, el cociente entre el valor agregado del segundo período de la segunda unidad y el valor agregado del primer período ya no es solo un cociente entre totales, sino que también muestra inequívocamente el efecto del cambio en el precio. Así, es un índice de precios inequívoco para el complejo de cantidades constantes de productos, A, B, C, etc.

Es evidente que si las cantidades son distintas en ambas situaciones y que, si al mismo tiempo, los precios no cambiaron, la fórmula anterior se convertirá en Σ(PQ’) / Σ(PQ). Todavía sería el cociente entre el valor agregado del segundo período y el valor agregado del primer período. Pero también sería más que esto. Mostraría de forma generalizada el cociente de las cantidades en las dos situaciones. Por ello, es un índice de cantidades inequívoco para el complejo de productos, invariable en cuanto a precios y variando solo en cuanto a cantidades.

Cabe destacar que la mera fórmula algebraica de estas expresiones pone inmediatamente en evidencia que la lógica del problema de buscar cualquiera de estos dos índices es idéntica” (Knibbs [1924, págs. 43–44]).

Nótese que Fisher (1922, pág. 53) utilizó la expresión “ponderados por un valor híbrido”, mientras que Walsh (1932, pág. 657) empleó el término “ponderaciones híbridas”.

La participación i-ésima definida por la ecuación (15.16) en este caso es la participación híbrida sipi0qi1/Σj=1npj0qj1, que utiliza los precios del período 0 y las cantidades del período 1.

Obsérvese que elegimos una función media m(qi0,qi1) igual para todos los artículos i. Suponemos que m(a,b) tiene las siguientes propiedades: m(a,b) es una función positiva y continua, definida para todos los números positivos a y b y m(a,a) = a para todo a > 0.

Para mayor información sobre medias simétricas, véase Diewert (1993c, pág. 361).

Walsh (1921a, pág. 103) sostuvo que PW era la mejor fórmula de número índice: “Hallamos razones para creer que la fórmula 6 es mejor que la fórmula 7. Quizá la fórmula 9 sea la mejor entre las restantes, pero entre esta y las número 6 y 8 es difícil decidirse con certeza”. La fórmula 6 a la que se refiere es PW definida por la ecuación (15.19) y la 9 es la fórmula ideal de Fisher definida por la ecuación (15.12). El índice de cantidades de Walsh, Qw(p0, p1, q0, q1), se define como PW (q0, q1, P0p1); es decir, se intercambian los papeles de los precios y las cantidades en la definición (15.19). Si el índice de cantidades de Walsh se utiliza para deflactar el cociente de valores, se obtiene un índice implícito de precios que es la fórmula 8 de Walsh.

Sin embargo, es poco probable que se trate de un problema grave en el contexto de las series temporales, cuando los cambios que ocurren en los vectores de cantidades entre un período y el otro son leves.

Esta terminología es de Diewert (1992a, pág. 216); Vogt (1980) fue el primero en proponer este criterio.

Véase la sección 7 de Diewert (2001).

Diewert (1978, págs. 887–89) demostró que estos dos índices son una aproximación de segundo orden el uno del otro en torno a un punto de igual precio y cantidad. Así, para datos de series de tiempo normales donde los precios y las cantidades no varían mucho entre el período base y el período corriente, los índices se aproximan bastante.

Véase también Hill (1988).

El mes 0 se denomina período de referencia de los precios y el año b, período de referencia de las ponderaciones.

Triplett (1981, pág. 12) definió el índice de Lowe, llamándolo índice de Laspeyres, y denominando al índice cuyo período de referencia de las ponderaciones es igual al período de referencia de los precios “índice de Laspeyres puro”. Balk (1980c, pág. 69), en cambio, sostuvo que, aunque el índice de Lowe es de canasta fija, no es un índice de precios de Laspeyres. Triplett también señaló la representación de las participaciones híbridas del índice de Lowe definida por las ecuaciones (15.15) y (15.16). Además observó que el cociente de dos índices de Lowe que utilizan las mismas ponderaciones de cantidades también constituye un índice de Lowe. Baldwin (1990, pág. 255) llamó al índice de Lowe índice de canasta anual.

De hecho, la utilización del índice de Lowe PLo (p0, pt, qb) en un contexto de productos estacionales concuerda con la fórmula de número índice tipo A de Bean y Stine (1924, pág. 31). Bean y Stine realizaron otras tres propuestas con relación a los índices de precios para productos estacionales. Estos aportes se evalúan en el capítulo 22.

Estos precios anuales de los productos son esencialmente precios de valor unitario. En condiciones de alta inflación, los precios anuales definidos en la ecuación (15.24) pueden haber dejado de ser “razonables” o representativos de los precios de todo el año porque los gastos en los últimos meses de un año de alta inflación se verán “inflados” artificialmente por la inflación general. En estas circunstancias, los precios anuales y las participaciones de los productos en el gasto anual deben interpretarse con cuidado. Para más recomendaciones sobre el modo de proceder en situaciones de alta inflación anual, véase Hill (1996).

Para que se cumpla esta relación, también es necesario suponer que los hogares manifiestan conductas de sustitución normales en respuesta a las tendencias de largo plazo de los precios; es decir, si el precio de un producto aumenta (en términos relativos), su consumo bajará (en términos relativos), y si el precio de un producto baja en términos relativos, su consumo aumentará en términos relativos.

Walsh (1901, págs. 281–82) era muy consciente de los efectos de sustitución de los consumidores, como surge del siguiente comentario que señalaba el problema básico de los índices de canasta fija que utilizan las ponderaciones de cantidad de un único período: “El argumento planteado por quienes propugnan la media aritmética supone que compramos la misma cantidad de cada clase en ambos períodos a pesar de que varíen los precios, algo que no hacemos frecuentemente, si es que lo hacemos alguna vez. En sentido amplio, nosotros como comunidad generalmente gastamos más en aquellos artículos cuyo precio aumenta, de los cuales compramos una menor cantidad, y gastamos menos en los artículos cuyos precios bajan, de los cuales compramos más”.

El lector podrá desarrollar el argumento de una tendencia de largo plazo a la baja en el precio del i-ésimo producto. El argumento necesario para obtener una covarianza negativa requiere que haya algunas diferencias en las tendencias de largo plazo de los precios; es decir que, si todos los precios aumentan (o disminuyen) con la misma velocidad, habrá proporcionalidad de precios y la covarianza será nula.

Sin embargo, QL = u* también puede estar aumentando en magnitud, de manera que el efecto neto sobre la divergencia entre PL y PP es ambiguo.

El concepto de índice del año intermedio se remite a Hill (1998, pág. 46):

Cuando la inflación debe medirse a lo largo de una secuencia específica de años, como una década, una solución pragmática a los problemas planteados anteriormente sería tomar el año intermedio del período como año base. Ello podría justificarse argumentando que es probable que la canasta de bienes y servicios comprada en el año intermedio resulte mucho más representativa del patrón de consumo de toda la década que las canastas del primer año o del último. Además, elegir una canasta más representativa también contribuirá a reducir, y hasta eliminar, cualquier sesgo en la tasa de inflación de la década en su conjunto, en comparación con el aumento del índice del costo de la vida.

Así, además de introducir el concepto de índice del año intermedio, Hill introdujo el término sesgo de representatividad. Baldwin (1990, págs. 255–56), por su parte, introdujo el término representatividad: “Aquí representatividad [en una fórmula de número índice] requiere que las ponderaciones utilizadas en cualquier comparación de niveles de precios se relacionen con el volumen de compra en los períodos comparados”.

No obstante, esta idea básica se remonta a Walsh (1901, pág. 104; 1921a, pág. 90). Baldwin (1990, pág. 255), a su vez, señaló que su concepto de representatividad coincidía con el de caracteristicidad de Drechsler (1973, pág. 19). Para más detalles acerca de índices del año intermedio, véanse Schultz (1999) y Okamoto (2001). Cabe señalar que el concepto de índice del año intermedio puede considerarse como un sustituto cercano del índice de canasta fija plurianual de Walsh (1901, pág. 431), en el cual se elige como vector de cantidades a un vector de medidas aritméticas o geométricas de los vectores de las cantidades del lapso comprendido por todos los períodos en cuestión.

No obstante, algunos servicios pueden tercerizarse a otros países, por ejemplo, los centros de atención telefónica, la programación de los sistemas y el mantenimiento de las flotas aéreas.

Fue Walsh (1901, pág. 536; 1932, pág. 657) quien atribuyó esta fórmula a Young.

La obra de Fisher de 1922 es famosa por desarrollar el enfoque de la descomposición del cociente de valor en la teoría de los números índice, pero sus capítulos introductorios adoptan la perspectiva del promedio ponderado por las participaciones: “Un número índice de precios muestra el cambio porcentual promedio en los precios entre un momento y otro” (Fisher [1922, pág. 3]). Fisher continúa señalando la importancia de la ponderación económica: “El cálculo precedente trata todos los productos como igualmente importantes; consecuentemente el promedio se llamó ‘simple’. Si un producto es más importante que otro, podemos tratar al más importante como si fuera dos o tres productos, dándole así dos o tres veces tanta ‘ponderación’ como al otro producto” (Fisher [1922, pág. 6]). Walsh (1901, págs. 430–31) consideró ambos enfoques: “Podemos (1) extraer un promedio de los valores monetarios totales de las clases durante una secuencia de años y, con la ponderación así determinada, emplear una media geométrica de las variaciones [cocientes] de precios; o bien (2) extraer un promedio de las cantidades brutas de las clases durante el período y aplicarles el método de Scrope”. El método de Scrope es equivalente a utilizar el índice de Lowe. Todo el tiempo Walsh (1901, págs. 88–90) enfatizaba la importancia de ponderar los cocientes de precios por su importancia económica (en lugar de utilizar promedios equiponderados de cocientes relativos de precios). Los enfoques de la descomposición del cociente de valor y del promedio ponderado por participaciones de la teoría de los números índice se estudian desde una perspectiva axiomática en el capítulo 16.

Utilizando la terminología de Fisher (1922, pág. 118), PY*(p0,pt,sb)(1/[PY(p0,pt,sb)] es la antítesis temporal del índice de Young original, PY(p0, pt, sb).

Estas desigualdades surgen del hecho de que la media armónica de M números positivos siempre es mayor o igual que la correspondiente media aritmética; véase Walsh (1901, pág. 517) o Fisher (1922, págs. 383–84). Esta desigualdad es un caso especial de la desigualdad de Schlömilch (1858); véase Hardy, Littlewood y Pólya (1934, pág. 26). Walsh (1901, págs. 330–32) señaló explícitamente la desigualdad (15.53) y también observó que la correspondiente media geométrica se ubicaría entre la armónica y la aritmética. Walsh (1901, pág. 432) calculó algunos ejemplos numéricos del índice de Young y encontró grandes diferencias entre este y los índices que él consideraba “mejores”, aun utilizando ponderaciones representativas de los períodos en cuestión. Recordemos que el índice de Lowe se convierte en el de Walsh cuando se eligen las ponderaciones de la media geométrica que se relacionan con las cantidades, con lo cual el índice de Lowe arroja buenos resultados si se utilizan ponderaciones representativas. No necesariamente ocurre esto con el índice de Young, ni siquiera empleando ponderaciones representativas. Walsh (1901, pág. 433) resumió sus experimentos numéricos con el índice de Young de la siguiente manera: “De hecho, encontramos que el método de Young resulta malo en cualquiera de sus formas”.

Ahora estamos frente a un tercer uso de estos criterios, a saber, el de “rectificar” fórmulas, es decir, derivar de una fórmula que no cumple con el criterio otra fórmula que sí lo cumpla […]. Esto se hace fácilmente “cruzando”, es decir, promediando las antítesis. Si una fórmula dada no cumple con el Criterio 1 [el de reversión temporal], su antítesis temporal tampoco lo cumplirá; pero ambas fracasarán, por así decirlo, en sentidos opuestos, de manera que cruzar las dos (mediante una media geométrica) llevará al justo medio que sí lo cumplirá (Fisher [1922, pág. 136]).

En realidad, Walsh sugirió la idea básica que sustenta el procedimiento de rectificación de Fisher cuando comentó el trabajo de Fisher (1921), durante la presentación que Fisher realizó en anticipo de su libro de 1922: “Lo único que tenemos que hacer es tomar cualquier número índice, calcular su antítesis como lo indica el profesor Fisher, y luego calcular la media geométrica de ambos” (Walsh [1921b, pág. 542]).

Este índice es una contraparte ponderada por el año base de otro índice equiponderado que propusieron Carruthers, Sellwood y Ward (1980, pág. 25) y Dalén (1992, pág. 140) en un contexto de fórmulas de números índice elementales. Véase el capítulo 20 para un análisis más profundo de este índice no ponderado.

Si estas definiciones se aplican (en forma aproximada) al índice de Young estudiado en la sección anterior, se verá que para que el índice de precios de Young sea consistente con el índice de precios de Divisia, las participaciones del año base deben ser participaciones promedio correspondientes a todo el período comprendido entre los meses 0 y t.

“Como fórmula elemental de la cadena, podemos utilizar una fórmula de Laspeyres o de Paasche o de Edgeworth o casi cualquier otra, según el principio de aproximación que elijamos para los pasos de la integración numérica” (Frisch [1936, pág. 8]).

Diewert (1980, pág. 444) también obtuvo las aproximaciones de Paasche y Laspeyres para el índice de Divisia utilizando un argumento de aproximación algo diferente. También mostró cómo otras fórmulas conocidas de números índice de tiempo discreto podían considerarse como aproximaciones al índice de tiempo continuo de Divisia.

Trivedi (1981) examinó sistemáticamente los problemas que surgen al buscar la “mejor” aproximación de tiempo discreto a los índices de Divisia utilizando técnicas de análisis numérico. Estas dependen del supuesto de que las “verdaderas” funciones continuas de microprecios, pi(t), pueden representarse adecuadamente mediante una aproximación polinómica. Así llegamos a la conclusión de que la “mejor” aproximación de tiempo discreto al índice de Divisia depende de supuestos que son difíciles de verificar.

Esta sección se basa principalmente en el trabajo de Hill (1988; 1993, págs. 385–90).

Los resultados del apéndice 15.4 brindan cierto fundamento teórico a la utilización de índices en cadena porque muestran que, en ciertas circunstancias, el índice de Divisia será igual a un índice de enfoque económico. De ahí que cualquier aproximación discreta al índice de Divisia se acercará al índice de enfoque económico a medida que se acorte el período. Así, en ciertas circunstancias, los índices en cadena se acercarán al índice de enfoque económico subyacente.

El principio del encadenamiento apareció en los estudios de economía publicados por Lehr (1885, págs. 45–46) y Marshall (1887, pág. 373). Ambos autores observaron que el sistema en cadena mitigaría las dificultades que surgen del lanzamiento de nuevos productos al mercado, una cuestión también señalada por Hill (1993, pág. 388). Fisher (1911, pág. 203) introdujo el término “sistema en cadena”.

Ejemplos de precios con tendencias rápidamente decrecientes y cantidades con tendencias rápidamente crecientes son las computadoras, los equipos electrónicos de todo tipo, el acceso a Internet y las tarifas de telecomunicaciones.

Cabe señalar que PL(p0, pt, q0, qt) será igual a PP(p0, pt, q0, qt) si los dos vectores de cantidades q0 y qt son proporcionales o bien si los dos vectores de precios p0 y pt son proporcionales. Por lo tanto, a efectos de obtener una diferencia entre los índices de Paasche y de Laspeyres, se requiere que ni los precios ni las cantidades sean proporcionales.

Las fluctuaciones estacionales periódicas pueden provocar que “reboten” ciertos datos mensuales o trimestrales—para emplear el término acuñado por Szulc (1983, pág. 548)—y empalmar datos que rebotan puede originar una “deriva” considerable en el índice; es decir, si luego de 12 meses los precios y las cantidades vuelven a su nivel inicial de un año atrás, normalmente un índice mensual en cadena no regresa a la unidad. De ahí que no se recomiende la utilización de índices en cadena para datos mensuales o trimestrales con “ruido” sin tomar las debidas precauciones.

Véanse Diewert (1978, pág. 895) y Hill (1988; 1993, págs. 387–88).

Esta observación se ilustrará mediante un conjunto de datos artificiales en el capítulo 19.

Walsh, al analizar si se deben calcular números índice de base fija o en cadena, dio por sentado que la precisión de todas las fórmulas bilaterales de números índice aumentaría si los dos períodos o situaciones comparadas fueran más similares, por lo cual se inclinaba por los índices en cadena: “La verdadera pregunta es ¿por cuál de los dos caminos [números índice de base fija o en cadena] es probable que consigamos mayor precisión de las comparaciones que efectivamente realizamos? Aquí parece que la probabilidad se inclina a favor del segundo, pues es probable que las condiciones difieran menos entre dos períodos contiguos que entre períodos separados por unos cincuenta años, por ejemplo” (Walsh [1901, pág. 206]).

Walsh (1921a, págs. 84–85) reiteró luego su preferencia por los números índice en cadena. Fisher también utilizó la idea de que el sistema en cadena normalmente establecería comparaciones bilaterales entre datos de precios y cantidades que fueran más similares, con lo cual las comparaciones resultantes serían más precisas:

Los números índice de 1909 y 1910 (calculados ambos en términos de 1867–77) se comparan entre sí. Pero una comparación directa entre 1909 y 1910 daría un resultado diferente y más valioso. Utilizar una base común es como comparar la altura relativa de dos hombres midiendo la altura de cada uno respecto del piso en vez de ponerlos espalda con espalda y medir directamente la diferencia entre los niveles de sus coronillas (Fisher [1911, pág. 204]).

Por lo tanto, parece aconsejable comparar cada año con el siguiente, es decir, hacer de cada año la base del año siguiente. Marshall, Edgeworth y Flux recomendaron este procedimiento, que supera en gran medida la dificultad que presentan los cambios no uniformes en las cantidades, dado que las desigualdades de años sucesivos son relativamente pequeñas (Fisher [1911, págs. 423–24]).

Diewert (2002b) adopta un enfoque axiomático y define diversos índices de disimilitud absoluta y relativa.

Fisher (1922, págs. 271–76) insinuó la posibilidad de utilizar eslabones espaciales, es decir, encadenar países que tuvieran estructuras similares. Pero los estudios modernos se desarrollaron a partir de los esfuerzos pioneros de Robert Hill (1995; 1999a; 1999b; 2001). Hill (1995) utilizó la brecha entre los índices de precios de Paasche y de Laspeyres como un indicador de similitud y demostró que este criterio arroja los mismos resultados que el que consiste en comparar la brecha entre los índices de cantidades de Paasche y de Laspeyres.

Cabe tener en cuenta que von der Lippe (2001, págs. 56–58) critica enérgicamente todos los criterios de números índice basados en la simetría para contextos de series temporales, aunque está dispuesto a aceptar la simetría para un contexto de comparaciones internacionales. “Pero hay buenas razones para no insistir con estos criterios en el caso intertemporal. Cuando no hay simetría entre 0 y t, no tiene sentido intercambiar 0 y t” (von der Lippe [2001, pág. 58]).

La denominación del criterio se atribuye a Fisher (1922, pág. 413) y el concepto se originó en Westergaard (1890, págs. 218–19)

Los criterios adicionales a los cuales nos referimos son: (i) el de positividad y continuidad de P(p0, p1, q0, q1) para todos los vectores estrictamente positivos de precios y de cantidades p0, p1, q0, q1; (ii) el criterio de identidad; (iii) el criterio de conmensurabilidad; (iv) P(p0, p1, q0, q1) es positivamente homogéneo de grado uno en los componentes de p1 y (v) P(p0, p1, q0, q1) es positivamente homogéneo de grado cero en los componentes de q1.

Konüs y Byushgens demuestran que el índice definido por la ecuación (15.78) es exacto para preferencias Cobb-Douglas (1928); véase también Pollak (1983, págs. 119–20). El concepto de una fórmula de número índice exacta se explica en el capítulo 17.

El resultado de la ecuación (15.78) puede calcularse utilizando los resultados de Eichhorn (1978, págs. 167–68) y de Vogt y Barta (1997, pág. 47). Una demostración sencilla se encuentra en Balk (1995). Este resultado reivindica la intuición de Irving Fisher (1922, pág. 274) respecto de que “las únicas fórmulas que cumplen el criterio circular a la perfección son los números índice que tienen ponderaciones constantes…”. Fisher (1922, pág. 275) continúa: “Pero, claramente, no es correcto mantener constantes las ponderaciones. Si comparamos 1913 con 1914, necesitamos determinado conjunto de ponderaciones; si comparamos 1913 con 1915, necesitamos, por lo menos en teoría, un conjunto de ponderaciones diferente. […] De modo similar, pasando de lo temporal a lo espacial, un número índice que compare Estados Unidos con Inglaterra requiere un conjunto de ponderaciones, y uno que compare Estados Unidos con Francia requiere, al menos en teoría, un conjunto distinto”.

Véase, por ejemplo, Diewert (1978, pág. 894). Walsh (1901, págs. 424 y 429) advirtió que sus tres fórmulas preferidas se acercaban mucho entre sí, al igual que el ideal de Fisher para su conjunto hipotético de datos.

Más específicamente, la mayoría de los índices superlativos (que se ponderan simétricamente) cumplen el criterio de circularidad con un alto grado de aproximación en el contexto de series temporales. Véase el capítulo 17 para la definición de índice superlativo. Vale la pena enfatizar que es probable que los índices de base fija de Paasche y de Laspeyres difieran considerablemente pasados cinco años si las computadoras (o cualquier otro producto cuyos precios y cantidades manifiesten tendencias distintas de las de los demás productos) se incluyen en el agregado de valor bajo consideración (véase el capítulo 19 para evidencia “empíricas” sobre este tema).

Nuevamente, véanse Szulc (1983) y Hill (1988).

Esta fórmula se introdujo de manera implícita en Törnqvist (1936) y se definió explícitamente en Törnqvist y Törnqvist (1937).

Es posible extender este resultado de exactitud para que cubra el caso en que hay variaciones mensuales proporcionales en los precios y las participaciones en el gasto tienen efectos estacionales constantes además de tendencias lineales; véase Alterman, Diewert y Feenstra (1999, pág. 65).

Walsh (1921a, pág. 98) llamó a su criterio circular, pero como Fisher también utilizó este término para describir su criterio de transitividad definido anteriormente en la ecuación (15.77), parecería mejor ajustarse a la terminología de Fisher ya que está muy arraigada en los estudios publicados.

Walsh (1921b, págs. 540–41) señaló que el criterio de reversión temporal era un caso especial de su criterio de circularidad.

Esto es esencialmente una variante de la metodología que utilizó Fisher (1922, pág. 284) para verificar hasta qué punto se correspondían diversas fórmulas con su versión del criterio de circularidad.

Véase Bortkiewicz (1923, págs. 374–75) para la primera aplicación de esta técnica de descomposición del coeficiente de correlación.

Este tipo de aproximación de segundo orden se atribuye a Dalén (1992; pág. 143) para el caso r* = 1 y a Diewert (1995a, pág. 29) para el caso de un r* general.

Véase, por ejemplo, Malmquist (1953, pág. 227), Wold (1953, págs. 134–47), Solow (1957), Jorgenson y Griliches (1967) y Hulten 1973), y véase Balk (2000a) para un estudio reciente sobre los trabajos acerca de los índices de precios y de cantidades de Divisia.

Véase Diewert (1993b, págs.120–21) donde se desarrollan funciones de costo unitario. Estos temas también se tratarán en el capítulo 17.

Desde luego, la escala de las funciones de utilidad y costo no está determinada únicamente por las ecuaciones diferenciales (15.62) y (15.63).

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