Chapter

20. Les Indices D’agrégat Élémentaire

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
November 2006
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Introduction

20.1 Dans tous les pays, l’indice des prix à la consommation (IPC) est calculé en deux étapes (ou plus). Dans un premier temps, les indices des agrégats élémentaires sont estimés pour les agrégats de dépenses élémentaires d’un IPC. Dans une deuxième phase d’agrégation—suivie d’autres étapes, le cas échéant—, ces indices d’agrégat élémentaire sont combinés pour obtenir des indices de niveau supérieur utilisant comme pondérations les informations disponibles sur les dépenses relatives à chacun des agrégats élémentaires. Un agrégat élémentaire regroupe les dépenses consacrées à une série limitée et relativement homogène de produits définis dans la nomenclature des produits de consommation utilisée pour l’IPC. Des échantillons de prix sont recueillis au sein de chaque agrégat élémentaire, de sorte que les agrégats élémentaires servent de strates pour l’échantillonnage.

20.2 Les données sur les dépenses ou les quantités des différents biens et services ne sont en général pas disponibles au sein d’un agrégat élémentaire. Comme il n’existe pas de pondérations en quantités, ni de pondérations de dépenses, la théorie des indices esquissée du chapitre 15 au chapitre 19 n’est pas, pour l’essentiel, directement applicable. Ainsi que nous l’avons observé au chapitre 1, l’indice d’agrégat élémentaire est un concept plus primitif établi uniquement à partir de données de prix.

20.3 Quelle formule est la plus indiquée pour construire un indice d’agrégat élémentaire? C’est la question qui sera examinée dans le présent chapitre. La qualité d’un IPC dépend en grande partie de celle des indices d’agrégat élémentaire, car c’est sur la base de ces éléments qu’il est construit.

20.4 Comme il est expliqué au chapitre 6, les statisticiens doivent choisir des produits représentatifs au sein de chaque agrégat élémentaire, et relever ensuite des échantillons de prix pour chaque produit représentatif, le plus souvent à partir d’un échantillon de points de vente. Les produits dont les prix sont effectivement recueillis sont appelés produits de l’échantillon. Leurs prix sont relevés pendant une série de périodes successives. En règle générale, donc, un indice d’agrégat élémentaire est calculé à partir de deux séries d’observations appariées de prix. Dans la majeure partie du présent chapitre1, nous supposons qu’il n’y a pas d’observations manquantes ni de modification de la qualité des produits de l’échantillon, de sorte que l’on dispose de deux séries de prix parfaitement appariées. Le traitement des nouveaux produits qui apparaissent (ou des produits qui disparaissent) et des changements de qualité pose une question distincte et complexe, qui est examinée en détail aux chapitres 7, 8 et 21 du manuel.

20.5 Même si les pondérations en quantités ou les pondérations de dépenses ne sont en général pas disponibles pour les prix élémentaires relevés, il est utile d’envisager un cadre idéal dans lequel les informations sur les dépenses seraient disponibles. La question est examinée à la section suivante, où sont abordés aussi les problèmes que soulève l’agrégation dans le temps de prix étroitement définis. Cette réflexion permet de proposer une cible théorique pour les indices d’agrégat élémentaire «pratiques» établis uniquement à partir des données sur les prix.

20.6 Les difficultés liées au choix du niveau de désagrégation des agrégats élémentaires sont analysées aux paragraphes 20.23 à 20.37. Ces agrégats doivent-ils avoir une dimension régionale en plus de leur dimension de produit? Faut-il relever les prix auprès des magasins de détail ou des ménages? Tel est le genre de questions examinées dans cette section.

20.7 Les principales formules d’indices d’agrégat élémentaire utilisées dans la pratique sont présentées aux paragraphes 20.38 à 20.45, et certaines relations numériques entre les divers indices sont développées aux paragraphes 20.46 à 20.57.

20.8 Les chapitres 15 à 17 examinent les diverses approches de la théorie des indices dans le cas où l’on disposerait à la fois de données sur les prix et sur les quantités. Il est possible aussi de développer des approches axiomatique, économique et stochastique (échantillonnage) des indices d’agrégat élémentaire: ces trois méthodes sont examinées respectivement aux paragraphes 20.58 à 20.70, 20.71 à 20.86 et 20.87.

20.9 Les paragraphes 20.88 à 20.99 passent en revue certains travaux récents consacrés au relèvement des données par lecture optique, qui permet d’établir des agrégats élémentaires à partir d’informations portant à la fois sur les prix et les quantités.

20.10 Les paragraphes 20.100 à 20.111 développent une approche statistique simple des indices d’agrégat élémentaire, qui s’apparente à un modèle de régression hédonique très simplifié. La section finale, enfin, récapitule les divers résultats2.

Indices d’agrégat élémentaire idéaux

20.11 Les agrégats couverts par l’IPC ou par l’indice des prix à la production (IPP) sont en général structurés selon une hiérarchie de type arborescent, telle que la Classification des fonctions de la consommation individuelle (COICOP)3 ou la Nomenclature générale des activités économiques dans les Communautés européennes (NACE). Un agrégat est un ensemble de transactions économiques portant sur un ensemble de produits durant une période déterminée. Chaque transaction économique a trait au transfert de propriété d’un produit (bien ou service) spécifique et bien défini à un endroit précis et à une date donnée, et se rapporte à une quantité et à un prix donnés. On calcule l’indice de prix d’un agrégat en faisant la moyenne pondérée des indices établis pour les sous-agrégats, les pondérations (des dépenses ou des ventes) et le type de moyenne étant déterminés par la formule d’indice. Il est possible de descendre les échelons de cette hiérarchie aussi loin que les informations disponibles permettent de décomposer les pondérations. Au niveau d’agrégation le plus bas, on obtient des agrégats élémentaires, qui sont pour l’essentiel de deux types:

  • les agrégats pour lesquels on dispose de toutes les informations détaillées sur les prix et les quantités;

  • les agrégats pour lesquels le statisticien décide d’utiliser un échantillon représentatif de produits ou de répondants, en raison du coût opérationnel ou de la charge de travail (dépouillement des réponses) qu’entraînerait la collecte de données détaillées sur les prix et quantités pour l’ensemble des transactions.

20.12 L’examen de cette question présente un intérêt pratique manifeste. Comme les agrégats élémentaires sont les éléments de base de l’IPC et de l’IPP, le choix d’une formule inadaptée à ce niveau peut être lourde de conséquences pour l’indice global.

20.13 Dans la présente section, nous supposerons que des informations détaillées sont disponibles sur les prix et les quantités pour l’ensemble des transactions relatives à l’agrégat élémentaire pendant les deux périodes considérées, hypothèse qui nous permet de définir un agrégat élémentaire idéal. Nous assouplirons dans les sections suivantes cette hypothèse forte d’accès à des données détaillées sur les prix et quantités afférents aux transactions, mais il est nécessaire que notre indice d’agrégat élémentaire «pratique» repose sur une cible théorique idéale.

20.14 En principe, des données détaillées sur les prix et les quantités existent dans le monde extérieur même si le statisticien n’y a pas accès. Il est fréquent que les données sur les transactions individuelles fassent l’objet d’une certaine agrégation au niveau des répondants (c’est-à-dire des points de vente ou entreprises), sous une forme inspirée en général du système d’information financière ou administrative de ces derniers. Ce niveau d’information déterminé par le répondant peut être qualifié de niveau d’information de base. Cependant, ce n’est pas forcément le meilleur niveau d’information auquel les statisticiens pourraient avoir accès. Il est toujours possible de demander au répondant de fournir des informations plus désagrégées. On peut l’inviter par exemple à communiquer des données hebdomadaires plutôt que mensuelles ou, le cas échéant, des informations régionales plutôt que mondiales; le répondant peut être invité aussi à communiquer des données selon une nomenclature des produits plus détaillée. Le niveau des transactions individuelles est le seul obstacle naturel qui s’oppose à une désagrégation plus poussée4.

20.15 Il convient maintenant d’aborder le problème qui se pose lorsqu’il existe des données détaillées sur les transactions individuelles au niveau de chaque ménage ou de chaque point de vente. Reprenons les indices de prix et de quantités, P(p0,p1,q0,q1) et Q(p0,p1,q0,q1) examinés au chapitre 15. Ces indices (bilatéraux) des prix et des quantités décomposent le ratio de valeurs V1/V0 en une variation des prix, P(p0,p1,q0,q1), et une variation des quantités, Q(p0,p1,q0,q1). Dans ce contexte, on considère comme acquis que le prix et la quantité du produit i durant la période pit et qit respectivement, sont correctement définis. Cependant, ces définitions ne sont pas parfaitement claires puisque les consommateurs peuvent acheter individuellement le même produit à des prix différents durant la période t. De même, si l’on examine les ventes d’un magasin ou d’un point de vente précis, on constate que le même produit peut être vendu aux consommateurs à des prix très différents pendant la période concernée. Pour pouvoir appliquer un indice de prix bilatéral traditionnel se présentant sous la forme P(p0,p1,q0,q1) examinée aux précédents chapitres de ce manuel, il faut donc résoudre d’abord un problème d’agrégation temporelle non trivial, afin d’obtenir les prix et quantités de base, pit et qit, qui composent les vecteurs de prix p0 et p1 et les vecteurs de quantité q0 et q1.

20.16 Walsh5 et Davies (1924; 1932) proposent une solution à ce problème d’agrégation temporelle: ils estiment que la quantité appropriée à ce tout premier stade d’agrégation est la quantité totale achetée du produit élémentaire étroitement défini, et que le prix correspondant est égal à la valeur des achats de ce produit divisée par le montant total acheté, ce qui correspond à une valeur unitaire étroitement définie.

Plus récemment, d’autres chercheurs ont adapté la solution de Walsh et Davies au problème de l’agrégation temporelle6. On notera que cette solution présente les avantages suivants:

  • L’agrégat des quantités est intuitivement plausible: il est égal à la quantité totale du produit élémentaire étroitement défini achetée par le ménage (ou vendue par le magasin) durant la période considérée.

  • Le produit du prix par la quantité donne la valeur totale des achats du ménage (ou des ventes du magasin) durant la période considérée.

20.17 La solution du problème d’agrégation temporelle présentée ci-dessus sera retenue comme représentative des concepts de prix et de quantité à ce tout premier stade d’agrégation. Reste à savoir quelle doit être la durée de la période durant laquelle la valeur unitaire est calculée. Cette question sera abordée à la section suivante.

20.18 Une fois choisie la définition théorique appropriée du prix et de la quantité d’un produit élémentaire au niveau d’agrégation le plus bas (c’est-à-dire la valeur unitaire étroitement définie et la quantité totale de ce produit vendue au point de vente ou la quantité totale achetée par un ménage unique ou un groupe de ménages), l’étape suivante consiste à examiner comment agréger ces prix et ces quantités élémentaires étroitement définis en un agrégat élémentaire global. Supposons qu’il existe M produits du niveau d’agrégation le plus bas, ou produits spécifiques, dans cette catégorie élémentaire choisie. Soit qmt la quantité de produit élémentaire m vendue pendant la période t, et pmt la valeur unitaire agrégée dans le temps correspondante pour t = 0,1 et pour les produits élémentaires m = 1,2,…,M. Soit qt=[q1t,q2t,,qMt] et pt=[p1t,p2t,,pMt] les vecteurs des quantités et des prix de la période t pour t = 0,1. Il faut maintenant choisir une formule d’indice théoriquement idéale, P(p0,p1,q0,q1), qui permettra d’agréger les prix d’un produit élémentaire dans un rapport de prix agrégé global pour les M produits de l’agrégat élémentaire choisi. Le problème du choix d’une forme fonctionnelle pour P(p0,p1,q0,q1) est identique au problème d’indice global examiné aux chapitres 15 à 17. Dans ces chapitres, quatre différentes approches de la théorie des indices sont analysées en vue de déterminer les «meilleures» formules d’indice pour chacune d’elles. Si l’on adopte l’approche des paniers-type, les indices de prix de Fisher (1922) et Walsh (1901), PF et PW, semblent être les «meilleures» formules. Si l’on adopte l’approche des tests, c’est l’indice de Fisher qui est ainsi distingué, alors que l’approche stochastique de la théorie des indices met en avant la formule d’indice de Törnqvist–Theil (1967)PT. Enfin, l’approche économique de la théorie des indices conclut que l’indice des prix de Walsh PW, l’indice idéal de Fisher PF et la formule d’indice de Törnqvist–Theil PT sont aussi pertinents les uns que les autres. Il apparaît, en outre, que ces trois formules d’indice sont numériquement très proches. Peu importe donc quel indice est choisi7. Nous considérons donc que la formule d’indice d’agrégat élémentaire théoriquement idéale est l’une des trois formules suivantes: PF(p0,p1,q0,q1), PW(p0,p1,q0,q1) et PT(p0,p1,q0,q1), où la quantité du produit élémentaire m achetée durant la période t, à savoir qmt, est la quantité totale de ce produit étroitement défini achetée par le ménage durant la période t (ou vendue durant cette période par le point de vente) et le prix correspondant du produit m est pmt, valeur unitaire agrégée dans le temps, pour t = 0,1 et pour les produits élémentaires m = 1,2,…,M8.

20.19 Divers indices d’agrégat élémentaire «pratiques» sont définis aux paragraphes 20.38 à 20.45. Ces indices n’ayant pas de pondérations en quantités, ils sont uniquement fonction des vecteurs des prix p0 et p1, qui contiennent les valeurs unitaires agrégées dans le temps pour les M produits élémentaires de l’agrégat élémentaire dans les périodes 0 et 1. En conséquence, si l’on compare une formule d’indice d’agrégat élémentaire pratique, telle que PE(p0, p1), à un indice d’agrégat élémentaire idéal, tel que l’indice des prix de Fisher (p0,p1,q0,q1), PE sera de toute évidence différent de PF, puisque les prix ne sont pas pondérés selon leur importance économique dans la formule élémentaire pratique9.

Nous appellerons erreur d’approximation des formules cette différence entre les deux formules d’indice.

20.20 Les indices d’agrégat élémentaire pratiques peuvent aussi être entachés d’autres types d’erreurs:

  • L’office de statistique n’est pas toujours en mesure de recueillir des données sur la totalité des M prix de l’agrégat élémentaire, et la collecte se limite alors à un échantillon de ceux-ci. Nous appellerons biais de sélection ou de tirage la différence qui en résulte entre l’agrégat élémentaire incomplet et la formule d’indice d’agrégat élémentaire théoriquement idéale.

  • Même lorsque l’office de statistique relève le prix d’un produit élémentaire étroitement défini, il se peut que ce prix ne soit pas égal à la valeur unitaire agrégée dans le temps théoriquement appropriée. Cette utilisation d’un prix inapproprié au niveau d’agrégation le plus bas donne lieu à un biais d’agrégation temporelle10.

  • Il se peut aussi que l’office de statistique classe certains produits distincts comme étant fondamentalement équivalents, ce qui peut causer un biais d’agrégation de produits élémentaires. Il est ainsi possible que, lorsque le même produit est vendu sous des emballages de dimension différente, seul le prix unitaire soit relevé pour les divers emballages. De même, il est possible que de petites différences de qualité entre produits ne soient pas prises en compte.

  • On peut établir la valeur unitaire d’un produit élémentaire donné par une agrégation portant sur l’ensemble des ménages d’une région ou d’une catégorie démographique précise, ou sur l’ensemble des magasins et autres points de vente qui commercialisent ce produit dans une région donnée. Cette méthode peut donner lieu à un biais d’agrégation portant sur les agents ou les entités.

20.21 Les problèmes d’agrégation et de classification sont analysés plus en détail aux paragraphes 20.23 à 20.37.

20.22 Les cinq principales formules d’indices d’agrégat élémentaire sont présentées aux paragraphes 20.30 à 20.45, et les relations numériques qui existent entre elles sont analysées aux paragraphes 20.46 à 20.57. Les paragraphes 20.58 à 20.86 sont consacrés aux approches axiomatique et économique de ces indices, sous l’angle desquelles sont ensuite évaluées les cinq formules d’indices d’agrégat élémentaire utilisées dans la pratique.

Problèmes d’agrégation et de classification des agrégats élémentaires

20.23Hawkes et Piotrowski (2003) font remarquer que la définition d’un agrégat élémentaire suppose une agrégation sur quatre dimensions possibles11:

  • une dimension temporelle: la valeur unitaire d’un produit élémentaire peut être calculée pour toutes les transactions concernant ce produit sur un an, un mois, une semaine ou une journée;

  • une dimension spatiale: la valeur unitaire d’un produit élémentaire peut être calculée pour toutes les transactions concernant ce produit dans un pays, une province (ou un État fédéré), une ville, un quartier, etc.;

  • une dimension de produit: la valeur unitaire d’un produit élémentaire peut être calculée pour toutes les transactions concernant ce produit dans une catégorie générale (les denrées alimentaires, par exemple) ou plus précise (la margarine, par exemple), une marque particulière (sans tenir compte de la dimension de l’emballage) ou un produit élémentaire étroitement défini (un code-produit universel AC Nielsen donné, par exemple);

  • une dimension sectorielle (ou dimension relative aux entités ou agents économiques), la valeur unitaire d’un produit élémentaire étant alors calculée pour une classe donnée de ménages ou de points de vente.

20.24 Nous examinerons successivement chacune de ces dimensions utilisables pour choisir le domaine de définition des agrégats élémentaires.

20.25 Lorsque la période temporelle se réduit, plusieurs problèmes apparaissent:

  • Les achats (par les ménages) et les ventes (par les magasins) prennent un caractère erratique et sporadique. La fréquence des achats et des ventes non appariés augmente d’une période à une autre et, à la limite (si la période considérée n’est plus que d’une minute, par exemple), il n’y a plus d’appariement possible et la théorie des indices bilatéraux ne s’applique plus12.

  • Plus la période se raccourcit, plus les indices-chaînes affichent un biais de chaînage: en d’autres termes, lorsque la valeur obtenue au terme d’une chaîne de périodes revient à la valeur de la période initiale, l’indicechaîne ne revient pas, à l’unité. Comme on l’a vu aux paragraphes 15.76 à 15.97 du chapitre 15, les indiceschaînes ne doivent être utilisés que si les données sur les prix et les quantités enregistrent une évolution relativement régulière. Lorsque la période est courte, les fluctuations saisonnières13, soldes périodiques et campagnes de publicité14 peuvent entraîner d’amples fluctuations des prix et des quantités (c’est l’effet de bouncing décrit par Szulc, 1983, p. 548): il n’est pas recommandé d’utiliser des indices-chaînes dans ce cas. Si l’on utilise des indices à base fixe sur cette courte période, les résultats dépendront en général très largement du choix de la période de référence. Dans un cadre saisonnier, il est possible que tous les produits ne se trouvent pas sur le marché durant la période de référence choisie15. Tous ces problèmes seront atténués si l’on choisit une période de référence plus longue de façon à ce que les variations à long terme des données dominent les fluctuations à court terme.

  • Lorsque la période de référence se raccourcit, la quasi-totalité des biens deviennent durables en ce sens qu’ils sont utilisables non seulement pendant la période d’achat, mais aussi pendant les périodes ultérieures. La période d’achat ou d’acquisition se différencie par conséquent des périodes d’utilisation, ce qui crée de nombreuses complications16.

  • Par ailleurs, lorsque la période de référence se raccourcit, les utilisateurs ne sont pas spécialement intéressés par les fluctuations à court terme de l’indice ainsi obtenu et demandent un lissage de ces résultats erratiques. Autrement dit, ils souhaitent que les nombreuses fluctuations (disons hebdomadaires ou quotidiennes) de l’indice soient résumées en variations de prix mensuelles ou trimestrielles. On ne doit donc pas s’attendre à ce que les utilisateurs soient très demandeurs d’indices à haute fréquence.

Compte tenu de ce qui précède, il est recommandé de calculer l’indice sur une période d’au moins quatre semaines ou d’un mois17.

20.26 Il faut aussi donner une dimension spatiale à l’agrégat élémentaire. Doit-on considérer les prix des produits élémentaires de chaque ville ou région comme des agrégats distincts ou convient-il de construire un agrégat de produits élémentaires à l’échelle nationale? De toute évidence, si l’on souhaite disposer d’IPC régionaux qui s’agrégeront en un IPC national, il faut relever les prix des produits élémentaires région par région. Mais quelle doit être la taille d’une «région»? Elle peut se limiter, par exemple, à un groupe de ménages vivant dans une zone définie par le code postal ou à un ensemble de points de vente à travers le pays18. Il n’existe pas, semble-t-il, de consensus sur le degré optimal de désagrégation spatiale19. Chaque office de statistique doit donc se forger sa propre opinion sur la question en tenant compte du coût de la collecte des données et des exigences des utilisateurs quant à la dimension spatiale de l’IPC.

20.27 Quel doit être le niveau de détail de la dimension de produit? L’éventail des méthodes possibles est large: on peut considérer tous les produits d’une catégorie générale comme équivalents, mais on peut aussi ne considérer comme équivalents que les produits conditionnés dans un emballage d’une dimension donnée et mis au point par un fabricant ou un prestataire de services donné. Toutes choses égales par ailleurs, Triplett (2002) insiste sur les avantages de l’appariement des produits au niveau le plus détaillé possible, car cette méthode empêche les différences de qualité d’obscurcir les comparaisons de prix d’une période sur l’autre. L’argument est plausible, mais quels sont alors les inconvénients de l’utilisation de la nomenclature de produits la plus détaillée possible? Le principal inconvénient est que plus la classification est détaillée, plus il est difficile d’apparier le produit élémentaire acheté ou vendu durant la période de référence avec le même produit acheté ou vendu durant la période en cours. En conséquence, plus la classification des produits est détaillée, plus le nombre de comparaisons possibles de prix appariés est réduit. Cela ne poserait pas de problème si les prix non appariés suivaient la même tendance que les prix appariés dans un agrégat élémentaire donné; mais ce n’est pas toujours le cas, au moins dans certaines situations20. Plus le système de classification est détaillé, plus l’office statistique devra consacrer du temps (en principe) aux ajustements de la qualité ou à l’imputation de prix non appariés. L’utilisation d’un système de classification relativement primitif engendre un système d’ajustement de la qualité très économique (fondamentalement, on ne procède à aucun ajustement de la qualité ni à aucune imputation explicite pour les prix qui ne sont pas parfaitement appariés), mais ce système n’est pas forcément très exact. Tout bien considéré, il semble préférable d’utiliser la classification la plus détaillée possible.

20.28 La dernière question posée par le choix d’un système de classification concerne la dimension sectorielle: faut-il calculer la valeur unitaire d’un produit élémentaire donné au niveau du ménage, du point de vente ou d’une classe de ménages ou de points de vente?

20.29 Avant de répondre à cette question, il convient de se demander si c’est le ménage ou le point de vente qui constitue le niveau de détail le plus approprié pour la classification des entités. Si l’on adopte l’approche économique de l’IPC, le ménage est effectivement le niveau de détail le plus indiqué21. De toute évidence, un ménage unique ne constitue pas une très bonne unité de base pour l’observation des entités dans la mesure où une grande partie de ses achats présente un caractère sporadique; il serait donc extrêmement difficile d’apparier les prix sur plusieurs périodes au niveau de ce ménage. En revanche, si les ménages sont regroupés sur une base suffisamment large, il devient théoriquement possible d’utiliser le ménage pour la classification des entités, plutôt que le point de vente comme c’est en général le cas. Il n’est pas fréquent d’utiliser les ménages à cet effet en raison des coûts et des difficultés que présente la collecte de données sur les prix et les dépenses à ce niveau22. Les données sur les prix sont relevées d’ordinaire dans les magasins de détail et autres points de vente qui proposent leurs produits principalement aux ménages. Cette méthode permet d’atténuer les problèmes d’appariement (mais non de les supprimer), car le magasin de détail vend généralement les mêmes produits de façon continue.

20.30 Si l’on agrège les dépenses de tous les ménages d’une région, la somme obtenue sera-t-elle égale aux ventes des magasins de détail de la région? La réponse est oui, sous certaines conditions. Celles-ci sont les suivantes: d’une part, les magasins ne vendent aucun produit élémentaire aux acheteurs qui ne font pas partie des ménages de la région (sont donc exclues les exportations régionales et les ventes aux entreprises et administrations publiques locales); d’autre part, les ménages de la région n’achètent pas d’autres produits de consommation que ceux proposés aux points de vente locaux (ce qui exclut par conséquent les importations des ménages et les transferts de produits aux ménages locaux par les administrations publiques). Ces conditions ne sont bien évidemment pas remplies dans la pratique, mais elles peuvent servir d’approximation initiale.

20.31 Une étude récente de Koskimäki et Ylä-Jarkko (2003) permet d’analyser les effets des agrégations régionales et des agrégations de produits. Ces travaux reposent sur des données obtenues par lecture optique durant la dernière semaine de septembre en 1998 et en 2000 pour un ensemble de produits (beurre, margarine et autres graisses végétales, huiles végétales, boissons gazeuses, jus de fruits et détergents), et fournies par la société AC Nielsen pour la Finlande. Au niveau le plus détaillé de la classification des produits élémentaires (le code universel des produits AC Nielsen), 1.028 produits élémentaires figurent dans l’échantillon, qui inclut au total 338 points de vente. Koskimäki et Ylä-Jarkko retiennent quatre niveaux de désagrégation spatiale:

– l’ensemble du pays (1 niveau);

– les provinces (4 niveaux);

– les régions AC Nielsen (15 niveaux);

– les points de vente (338 niveaux).

Ils prennent aussi en considération quatre niveaux de désagrégation des produits:

– la classification de la COICOP à 5 chiffres (6 niveaux);

– la classification de la COICOP à 7 chiffres (26 niveaux);

– la classification par marques de AC Nielsen (266 niveaux);

– le Code universel des produits de AC Nielsen (1.028 produits).

20.32 Pour illustrer la possibilité d’apparier des produits sur une période de deux ans en fonction du degré de détail de la classification, Koskimäki et Ylä-Jarkko (2003, p. 10) dressent un tableau qui montre que la proportion de transactions susceptibles d’être appariées sur les deux années diminue progressivement à mesure que la nomenclature utilisée devient plus détaillée. Au niveau d’agrégation le plus élevé (niveau national et COICOP à 5 chiffres), la totalité des transactions peuvent être appariées sur la période de deux ans. Mais au niveau d’agrégation le plus détaillé (338 magasins multipliés par 1.028 produits, soit 347.464 cellules de classification), 61,7 % seulement de la valeur des transactions effectuées en 2000 peut être appariée aux transactions correspondantes de 1998. Le tableau 7 de Koskimäki et Ylä-Jarkko est reproduit au tableau 20.1.

Tableau 20.1Proportion des transactions de 2000 ayant pu être appariées à celles de 1998
COICOP

5 chiffres
COICOP

7 chiffres
AC

Nielsen

marques
AC Nielsen

Code

universel

des produits
Pays1,0001,0000,9820,801
Provinces1,0001,0000,9750,774
Régions AC Nielsen1,0001,0000,9690,755
Points de vente0,9040,9040,8460,617

20.33 Pour chacun des 16 niveaux de produits et de désagrégation régionale susmentionnés, Koskimäki et Ylä-Jarkko (2003, p. 9) établissent les indices de Las-peyres et de Fisher pour les produits disponibles en septembre 1998 et 2000. Leurs résultats sont récapitulés aux tableaux 20.2 et 20.3.

Tableau 20.2Indices des prix de Laspeyres par type de classification, septembre 1998–2000
COICOP

5 chiffres
COICOP

7 chiffres
AC

Nielsen

marques
AC Nielsen

Code

universel

des produits
Pays1,0791,0311,0461,023
Provinces1,0781,0311,0481,023
Régions AC Nielsen1,0781,0311,0481,025
Points de vente1,0861,0401,0601,028
Tableau 20.3Indices des prix de Fisher par type de classification, septembre 1998–2000
COICOP

5 chiffres
COICOP

7 chiffres
AC

Nielsen

marques
AC Nielsen

Code

universel

des produits
Pays1,0801,0321,0481,015
Provinces1,0791,0311,0481,014
Régions AC Nielsen1,0791,0301,0471,014
Points de vente1,0891,0341,0491,011

20.34 Certaines des tendances observées aux tableaux 20.2 et 20.3 peuvent être expliquées. Ainsi, le fait que les indices tendent à baisser à mesure que le niveau de détail de la nomenclature des produits augmente23 signifie que les nouveaux produits inclus dans l’échantillon tendent à être plus coûteux que les produits existants. On observe des différences très marquées entre les résultats de la COICOP à 5 chiffres et ceux du Code universel des produits de AC Nielsen: il est sans doute préférable de travailler au niveau de désagrégation des produits le plus détaillé, même si cela crée un risque de biais puisque les nouveaux produits ne sont pas pris en compte. Il faudrait cependant que ce biais soit très prononcé pour que l’on ne recommande pas de travailler au niveau de désagrégation des produits le plus détaillé.

20.35 Les indices de Laspeyres tendent à augmenter à mesure que la classification régionale est affinée. Les acheteurs se reportant en effet sur les points de vente les moins chers, les valeurs unitaires des produits élémentaires seront d’autant plus faibles que le degré d’agrégation sera plus élevé. En d’autres termes, les indices de Laspeyres calculés au niveau des points de vente sont entachés d’un certain biais de substitution des points de vente (si l’on considère ce phénomène comme un biais).

20.36 L’aspect le plus frappant des tableaux 20.1 à 20.3 concerne les différences entre les indices de Las-peyres et de Fisher au niveau de désagrégation le plus détaillé. À ce stade, en effet, l’indice de Fisher (1,011) est inférieur de 1,7 point de pourcentage à l’indice correspondant de Laspeyres (1,028). Autrement dit, au niveau de désagrégation le plus détaillé, l’indice de Laspeyres appliqué à l’ensemble des données finlandaises présente un biais de représentativité ou biais de substitution élémentaire d’environ 0,85 point de pourcentage par an.

20.37 Notons que les comparaisons d’indices ci-dessus sont exemptes de tout problème de biais de chaînage, puisqu’il s’agit de comparaisons directes sur les deux années considérées. Elles ne devraient pas non plus être entachées d’un problème saisonnier, car la dernière semaine de septembre 1998 est comparée à la dernière semaine de septembre 2000.

Indices d’agrégat élémentaire utilisés en pratique

20.38 Supposons qu’il existe M produits élémentaires au niveau d’agrégation le plus bas (dits aussi produits spécifiques) dans la catégorie élémentaire choisie. Soit pmt le prix du produit élémentaire m pendant la période t pour t = 0,1 et pour les produits élémentaires m = 1,2,…,M. Soit également pt=[p1t,p2t,,pMt] pour t = 0,1 le vecteur de prix de la période t.

20.39 La première formule d’indice d’agrégat élémentaire largement utilisée, attribuée à l’économiste français Dutot (1738), se présente comme suit:

L’indice d’agrégat élémentaire de Dutot est donc égal à la moyenne arithmétique des prix des M produits élémentaires durant la période 1 divisée par la moyenne arithmétique des prix des M produits élémentaires durant la période 0.

20.40 La deuxième de ces formules d’indice d’agrégat élémentaire, attribuée à l’économiste italien Carli (1764), se présente comme suit:

L’indice d’agrégat élémentaire de Carli est donc égal à la moyenne arithmétique des ratios ou rapports de prix, pm1/pm0, des M produits élémentaires.

20.41 La troisième de ces formules d’indice d’agrégat élémentaire, attribuée à l’économiste anglais Jevons (1863), se présente comme suit:

L’indice d’agrégat élémentaire de Jevons est donc égal à la moyenne géométrique des ratios ou rapports de prix, pm1/pm0, des M produits élémentaires.

20.42 La quatrième formule d’indice d’agrégat élémentaire PH est la moyenne harmonique des rapports de prix des M produits. Elle a été citée pour la première fois comme formule d’indice d’agrégat élémentaire, de façon incidente, par Jevons (1865, p. 121) et Coggeshall (1887):

20.43 Enfin, la cinquième formule d’indice d’agrégat élémentaire est la moyenne géométrique de la formule de Carli et de la formule harmonique: autrement dit, c’est la moyenne géométrique des moyennes arithmétique et harmonique des rapports de prix des M produits élémentaires:

Cette formule d’indice a été suggérée pour la première fois par Fisher (1922, p. 472) sous la forme de sa formule 101. Fisher a observé en outre de façon empirique, à partir de son ensemble de données, que PCSWD était très proche de l’indice de Jevons, PJ, et que ces deux indices étaient ses «meilleures» formules d’indice non pondérées. Plus récemment, Carruthers, Sellwood et Ward (1980, p. 25) et Dalén (1992, p. 140) ont proposé à leur tour PCSWD comme formule d’indice d’agrégat élémentaire.

20.44 Les formules élémentaires les plus fréquemment utilisées étant ainsi définies, reste à déterminer quelle est la «meilleure». De toute évidence, il ne peut être répondu à cette question tant que l’on n’a pas défini les propriétés souhaitables des indices d’agrégat élémentaire. Celles-ci seront définies de façon systématique aux paragraphes 20.46 à 20.57, mais nous en signalerons une dès maintenant ici: le test de réversibilité temporelle, déjà mentionné au chapitre 15. En l’occurrence, ce test pour l’indice d’agrégat élémentaire P(p0,p1) devient:

Ce test indique que, si les prix de la période 2 reviennent à leur niveau initial de la période 0, le produit de la variation des prix entre les périodes 0 et 1, P(p0,p1), et de la variation des prix entre les périodes 1 et 2, P(p1,p0), devrait être égal à l’unité: selon les conditions énoncées, nous devrions donc terminer là où nous avons commencé. On peut vérifier que les indices de Dutot, Jevons et Carruthers–Sellwood–Ward–Dalén, PD, PJ et PCSWD, satisfont tous au test de réversibilité temporelle, mais qu’il n’en va pas de même pour l’indice de Carli et les indices harmoniques, respectivement Pc et PH. En fait, ces deux derniers indices échouent de la façon biaisée suivante:

les inégalités strictes des équations (20.7) et (20.8) étant valables sous réserve que le vecteur des prix de la période 1, p1, ne soit pas proportionnel à celui de la période 0, p024. En règle générale, donc, l’indice de Carli affichera un biais positif, et l’indice harmonique un biais négatif. Fisher (1922, p.s 66 et 383), qui a été semble-t-il le premier à démontrer le biais positif de l’indice de Carli25, fait la remarque suivante quant à son utilisation par les offices de statistique: «Dans d’autres domaines que celui des indices, il constitue souvent le meilleur type de moyenne. Mais nous verrons que la moyenne arithmétique simple donne l’un des plus mauvais indices. Et même si cet ouvrage n’a pas d’autre effet que de conduire à l’abandon total de l’indice arithmétique simple, il n’aura pas été inutile» (Fisher (1922, p. 29–30).

20.45 Dans les sections suivantes, nous précisons certaines relations numériques entre les cinq indices d’agrégat élémentaire qui viennent d’être définis, avant de dresser une liste plus complète des propriétés souhaitables pour les indices d’agrégat élémentaire et puis d’évaluer les cinq formules élémentaires par rapport à ces propriétés ou tests.

Relations numériques entre les indices d’agrégat élémentaire les plus utilisés

20.46 Il est possible de démontrer26 que les indices d’agrégat élémentaire de Carli et de Jevons, ainsi que les indices d’agrégat élémentaire harmoniques, satisfont aux inégalités suivantes:

Autrement dit, l’indice harmonique est toujours inférieur ou égal à l’indice de Jevons, lequel est toujours inférieur ou égal à l’indice de Carli. En fait, les inégalités strictes de l’équation (20.9) sont valables à condition que le vecteur de prix de la période 0, p0, ne soit pas proportionnel au vecteur de prix de la période 1, p1.

20.47 Les inégalités de l’équation (20.9) ne nous disent pas dans quelle mesure l’indice de Carli dépassera celui de Jevons, ni de combien ce dernier dépassera l’indice harmonique. Nous établirons donc, dans le reste de cette section, des relations approximatives entre les cinq indices définis dans la section précédente, afin de fournir des indications pratiques sur l’ampleur relative de chaque indice.

20.48 La première de ces relations approximatives est celle qui lie l’indice de Carli PC à l’indice de Dutot PD27. Pour chaque période t, définissons comme suit la moyenne arithmétique des M prix de cette période:

Définissons maintenant comme suit l’écart multiplicatif du mième prix durant la période t par rapport au prix moyen de cette période, emt:

On observera également que les équations (20.10) et (20.11) impliquent que la somme des écarts emt est égale à 0 durant chaque période:

20.49 Notons que l’indice de Dutot peut s’exprimer comme le rapport des prix moyens, p1*/p0:

20.50 Insérons maintenant l’équation (20.11) dans la définition de l’indice de Jevons (20.3):

et=[e1t,,eMt] pour t = 0 et 1, et où la fonction f est définie comme suit:

20.51 Procédons au développement limité au second ordre de f(e0,e1) par une série de Taylor autour de e0 = 0M et e1 = 0M. À l’aide de l’équation (20.12), on peut vérifier28 que l’on obtient la relation approximative de second ordre suivante entre PJ et PD:

où var(et) est la variance des écarts multiplicatifs durant la période t. Donc, pour t = 0,1:

20.52 Dans des circonstances normales29, il est probable que la variance des écarts des prix par rapport à leurs moyennes dans chaque période serait approximativement constante et que, dans ce cas, l’indice des prix de Jevons donnerait une approximation de second ordre de l’indice des prix de Dutot.

20.53 Notons que, si l’on excepte la formule de Dutot, les quatre autres indices d’agrégat élémentaire définis aux paragraphes 20.23 à 20.37 sont des fonctions des prix relatifs des M produits élémentaires sur lesquels porte l’agrégation. Ce constat est utilisé pour calculer les relations approximatives entre ces quatre indices d’agrégat élémentaire. Définissons donc le mième rapport de prix comme suit:

20.54 Définissons la moyenne arithmétique des M rapports de prix comme suit:

où la dernière égalité découle de la définition (20.2) de l’indice de Carli. Enfin, définissons comme suit l’écart em du mième rapport de prix, rm, à partir de la moyenne arithmétique des M rapports de prix, r*30:

20.55 On notera que les équations (20.19) et (20.20) impliquent que la somme des écarts em est nulle:

20.56 Insérons maintenant l’équation (20.20) dans les définitions (20.2)–(20.5) de Pc, PJ, PH et PCSWD, afin d’obtenir les représentations suivantes de ces indices, établies en fonction du vecteur des écarts, e = [e1…,eM]:

où la dernière identité de chacune des équations (20.22)–(20.25) sert à définir les fonctions d’écart, fc(e), fJ(e), fH(e) et fCSWD(e). Les approximations de second ordre par une série de Taylor effectuées pour chacune de ces fonctions31 autour du point e = 0M sont les suivantes:

où l’équation (20.21) est utilisée de façon répétée pour calculer les approximations ci-dessus32. Au second ordre, l’indice de Carli Pc sera supérieur aux indices de Jevons et de Carruthers–Sellwood–Ward–Dalén, PJ et PCSWD, de (1/2) r* var(fois lae), soit r* fois la moitié de la variance des M rapports de prix, pm1/pm0. De même, au second ordre, l’indice harmonique PH sera inférieur aux indices de Jevons et de Carruthers–Sellwood–Ward–Dalén, PJ et PCSWD, de r* fois la moitié de la variance des M rapports de prix pm1/pm0.

20.57 On peut s’attendre empiriquement, à ce que les indices de Jevons et de Carruthers–Sell–wood–Ward–Dalén soient très proches l’un de l’autre. Si l’on utilise le résultat de l’approximation précédente (20.16), l’indice de Dutot, PD, devrait lui aussi être relativement proche de PJ et PCSWD, avec quelques fluctuations au cours du temps dues à l’évolution des variances des vecteurs d’écart pour les périodes 0 et 1, e0 et e1. On doit donc s’attendre à ce que ces trois indices d’agrégat élémentaire donnent à peu près les mêmes réponses numériques dans le cadre d’applications empiriques. En revanche, l’indice de Carli devrait être nettement supérieur à ces trois indices, la divergence s’accentuant à mesure que la variance des M rapports de prix augmente. On peut s’attendre de même à ce que l’indice harmonique soit nettement inférieur à ces trois indices, la divergence s’accentuant là aussi à mesure que la variance des M rapports de prix augmente.

Approche axiomatique des indices d’agrégat élémentaire

20.58 Reprenons l’approche axiomatique des indices de prix bilatéraux P(p0,p1,q0,q1) présentée au chapitre 16. Dans le présent chapitre, l’indice d’agrégat élémentaire P(p0,p1) ne dépend que des vecteurs de prix des périodes 0 et 1, p0 et p1 respectivement, de sorte que l’indice d’agrégat élémentaire est indépendant des vecteurs de quantités des périodes 0 et 1, q0 et q1. Si l’on souhaite de nouveaux tests ou axiomes pour un indice d’agrégat élémentaire, une solution consiste à examiner la vingtaine d’axiomes mentionnés dans l’approche axiomatique de Fisher au chapitre 16 pour les indices de prix bilatéraux P(p0,p1,q0,q1) et à les adapter à notre contexte. Autrement dit, on peut utiliser les anciens tests bilatéraux pour P(p0,p1,q0,q1), qui ne dépendent pas des vecteurs de quantités q0 et q1, comme tests d’un indice d’agrégat élémentaire P(p0,p1)33. C’est l’approche que nous avons adoptée dans la présente section.

20.59 Les huit premiers tests ou axiomes, d’une relative simplicité, ne sont pas controversés.

T1: continuité: P(p0,p1) est une fonction continue des M prix positifs de la période 0,p0=[p10,,pM0],, et des M prix positifs de la période 1,p1=[p11,,pM1]

T2: identité: P(p,p) = 1; autrement dit, si le vecteur des prix de la période 0 est égal au vecteur des prix de la période 1, l’indice est égal à l’unité.

T3: monotonie aux prix de la période en cours: P(p0,p1) < P(p0,p) si p1 < p; si un prix de la période 1 augmente, l’indice des prix augmente.

T4: monotonie aux prix de la période de référence: P(p0,p1) > P(p,p1) si p0 < p; si un prix de la période 0 augmente, l’indice des prix baisse.

T5: proportionnalité pour les prix courants: P(p0p1) = λP(p0,p1) si λ > 0; si tous les prix de la période 1 sont multipliés par le nombre positif λ, l’indice des prix initial est aussi multiplié par λ.

T6: proportionnalité inverse des prix de la période de référence: Pp0,p1) = λ−1 P(p0,p1) si λ > 0; si tous les prix de la période 0 sont multipliés par le nombre positif λ, l’indice des prix initial est multiplié par 1/λ.

T7: test de la valeur moyenne: minm{pm1/pm0:m=1,,M}P(p0,p1)maxm{pm1/pm0:m=1,,M}; l’indice des prix se situe entre les plus petits et les plus grands rapports de prix.

T8: traitement symétrique des points de vente: P(p0,p1) = P(p0*,p1*), où p0* et p1* expriment la même permutation des composantes de p0 et p1; si nous modifions l’ordre des points de vente (ou des ménages) auprès desquels les prix ont été relevés au cours des deux périodes, l’indice d’agrégat élémentaire reste inchangé.

Eichhorn (1978, p. 155) a montré que les tests T1, T2, T3 et T5 impliquent le test T7, de sorte que les tests ci-dessus ne sont pas tous indépendants d’un point de vue logique.

20.60 Les tests suivants, plus controversés, ne sont pas nécessairement acceptés par tous les statisticiens.

T9: le test de bouncing des prix: P(p0,p1) = P(p0*,p1**) où p0* et p1** expriment des permutations différentes, le cas échéant, des composantes de p0 et p1. Si nous apportons des modifications (qui peuvent être différentes) à l’ordre des prix relevés durant les deux périodes, l’indice d’agrégat élémentaire demeure inchangé.

20.61 Le test T8 est à l’évidence un cas particulier du test T9 où les deux permutations de l’ordre initial des prix doivent être identiques. Le test T9 implique donc le test T8. Le test T9 a été formulé par Dalén (1992, p. 138), qui l’a justifié en suggérant que l’indice des prix devrait rester inchangé dans le cas où l’oscillation (bouncing) des prix aux points de vente serait telle que les points de vente ne feraient qu’échanger des prix entre eux durant les deux périodes. En dépit de l’attrait que présente son côté intuitif, ce test n’est pas conforme à l’idée selon laquelle les prix dans un point de vente doivent être appariés individuellement, d’une période à l’autre. Quand il existe des différences de qualité au sein d’un point de vente, il est préférable d’apparier les prix d’une période à l’autre plutôt que de ne pas les apparier.

20.62 Le test suivant a été proposé aussi par Dalén (1992) dans le contexte des indices d’agrégat élémentaire:

T10: test de réversibilité temporelle: P(p1,p0) = 1/P(p0,p1 autrement dit, si les données des périodes 0 et 1 sont interverties, l’indice des prix qui en résulte devrait être égal à l’inverse de l’indice des prix initial. Étant donné que de nombreux statisticiens approuvent le choix de l’indice des prix de Laspeyres dans le cadre des indices bilatéraux et que celui-ci ne satisfait pas au test de réversibilité temporelle, il est évident que tous ne considèrent pas que son application aux indices d’agrégat élémentaire est fondamentale et qu’il faut impérativement satisfaire à ce test. Ils n’en sont pas moins nombreux à juger ce test fondamental, car il est difficile d’accepter un indice qui donne une réponse différente lorsque l’ordre temporel est inversé.

20.63 Le test suivant est une forme renforcée du test de réversibilité temporelle:

T11: transitivité: P(p0,p1)P(p1,p2) = P(p0,p2); le produit de l’indice des prix allant de la période 0 à la période 1 par l’indice des prix allant de la période 1 à la période 2 est égal à l’indice des prix allant directement de la période 0 à la période 2.

Les tests de transitivité et d’identité impliquent le test de réversibilité temporelle (soit p2 = p0). Le test de transitivité est donc essentiel au renforcement du test de réversibilité temporelle et il est peu probable que les statisticiens qui n’acceptent pas le test de réversibilité temporelle acceptent le test de transitivité. En général, cependant, le test de transitivité présente une propriété très souhaitable: il correspond à la généralisation d’une propriété valable pour un seul rapport de prix.

20.64 Le test suivant est très important:

T12: Commensurabilité: P(λ1p01,,λMpM0;λ1p11,,λMpM1)=P(p10,,pM0;p11,pM1)=P(p0,p1) pour tous les λ1 > 0,…, λM > 0; l’indice d’agrégat élémentaire ne change pas si l’on modifie les unités de mesure utilisées pour chaque produit.

La quasi-totalité des statisticiens accepte la validité de ce test dans le contexte des indices bilatéraux. Il est plus controversé, en revanche, dans le cadre des indices d’agrégat élémentaire. Si les M produits élémentaires de l’agrégat élémentaire sont tous homogènes, il est logique de mesurer tous les produits dans les mêmes unités. Si l’on change l’unité de mesure du produit homogène, la version modifiée du test T12 doit donc restreindre tous les λm au même nombre (disons λ), et le test T12 modifié devient alors:

On notera que le test T12 modifié sera satisfait si les tests T5 et T6 le sont aussi. Dans le cas où les produits élémentaires de l’agrégat élémentaire sont homogènes, il n’est donc pas nécessaire de procéder au test T12 initial (non modifié).

20.65 Dans la pratique, chaque agrégat élémentaire se compose en général de milliers de produits élémentaires et l’hypothèse de l’homogénéité du produit élémentaire n’est pas justifiée. Il est important alors que l’indice d’agrégat élémentaire satisfasse au test de commensurabilité, puisque les unités de mesure des produits hétérogènes de l’agrégat élémentaire sont arbitraires, et les statisticiens peuvent modifier l’indice en changeant simplement d’unité de mesure pour certains produits élémentaires.

20.66 Nous avons ainsi terminé de dresser la liste des tests de l’indice d’agrégat élémentaire. Il reste maintenant à déterminer le nombre de tests auxquels satisfait chacun des cinq indices d’agrégat élémentaire définis aux paragraphes 20.38 à 20.45.

20.67 Des calculs simples montrent que l’indice d’agrégat élémentaire de Jevons, PJ, satisfait à tous les tests et apparaît donc comme le «meilleur» du point de vue de cette approche axiomatique particulière des indices d’agrégat élémentaire.

20.68 L’indice de Dutot, PD, satisfait à tous les tests, à l’exception notable du test de commensurabi-lité, T12. Cela représente un grave inconvénient si l’agrégat élémentaire comprend des produits hétérogènes, et les statisticiens doivent donc utiliser cet indice avec prudence.

20.69 Le test de bouncing des prix, T9, et le test de transitivité, T11, sont les seuls auxquels ne satisfait pas 1a moyenne géométrique de l’indice d’agrégat élémentaire de Carli et de l’indice d’agrégat élémentaire harmonique, PCSWD. L’échec à ces deux tests n’est sans doute pas rédhibitoire, de sorte que les statisticiens peuvent recourir à cet indice s’ils décident, pour telle ou telle raison, de ne pas utiliser la formule de Jevons. Comme on l’a vu aux paragraphes 20.38 à 20.45, PCSWD sera numériquement très proche de PJ.

20.70 L’indice d’agrégat élémentaire de Carli et l’indice d’agrégat élémentaire harmonique, PC et PH, ne satisfont pas aux tests de bouncing des prix T9, de réversibilité temporelle T10 et de transitivité T11, mais passent avec succès tous les autres. Là encore, l’échec aux tests T9 et T11 n’est pas rédhibitoire, mais le fait de ne pas satisfaire au test de réversibilité temporelle T10 pose un sérieux problème: les statisticiens doivent également utiliser ces indices avec prudence.

Approche économique des indices d’agrégat élémentaire

20.71 Reprenons les notations retenues et les analyses développées aux paragraphes 20.38 à 20.45 et supposons que chaque acheteur des produits inclus dans l’agrégat élémentaire affiche, pour le vecteur d’achat q = [q1,…,qM] des préférences pouvant être représentées par la fonction d’agrégation (ou d’utilité) linéaire homogène f(q). Supposons aussi que chaque acheteur s’efforce de minimiser ses coûts durant chaque période. Alors, comme nous l’avons vu au chapitre 17, on peut démontrer que certaines formes fonctionnelles spécifiques de la fonction d’agrégation ou d’utilité f(q) ou de sa fonction de coût unitaire duale c(p)34 conduisent à des formes fonctionnelles spécifiques pour l’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) avec:

20.72 Supposons que les fonctions d’agrégation f des acheteurs soient définies comme suit35:

où les am sont des constantes positives. Sous ces hypothèses, on peut démontrer que l’équation (20.31) devient36:

et les vecteurs de quantités des achats effectués durant les deux périodes doivent être proportionnels:

20.73 La première équation (20.33) montre que l’indice du coût de la vie véritable, c(p1)/c(p0), sous les hypothèses retenues pour la fonction d’agrégation f dans l’équation (20.32), est égal à l’indice des prix de Laspeyres, PL(p0,p1,q0,q1) = p1q0,p0q0. Voyons comment diverses formules élémentaires permettent d’estimer cette formule de Laspeyres sous les différentes hypothèses d’échantillonnage des prix.

20.74 Afin de justifier l’emploi de la formule élémentaire de Dutot, écrivons la formule d’indice de Laspeyres comme suit:

où les probabilités des produits élémentaires pour la période de référence ρm0 sont définies comme suit:

Ainsi, la probabilité du produit élémentaire m, ρm0, pour la période de référence est égale au rapport des achats du produit m effectués durant la période de référence par le total des achats consacrés à tous les produits de la catégorie de produits élémentaires concernée durant la période de référence. Notons que ces définitions exigent que les mêmes unités s’appliquent à tous les produits élémentaires de la catégorie considérée37.

20.75 Il est facile maintenant de voir comment la formule (20.35) peut être transformée en une base de sondage rigoureuse pour échantillonner les prix de la catégorie de produits considérée38. Si les prix des produits élémentaires de cette catégorie sont échantillonnés proportionnellement à leurs probabilités durant la période de référence, ρm0, l’indice de Laspeyres défini par la première égalité de (20.35) peut être estimé par l’indice de Dutot défini dans la deuxième égalité de l’équation (20.35). En général, avec un dispositif d’échantillonnage approprié, l’utilisation de la formule de Dutot au niveau d’agrégation élémentaire pour des produits homogènes peut être parfaitement cohérente avec un concept d’indice de Laspeyres.

20.76 La formule de Dutot peut être aussi cohérente avec un concept d’indice de Paasche. Si l’on utilise la formule de Paasche au niveau d’agrégation élémentaire, on obtient la formule suivante:

où les probabilités associées aux produits durant la période 1, 1,ρm1, sont définies comme suit:

En conséquence, la probabilité associée au produit élémentaire m durant la période 1, 1,ρm1, est égale au rapport entre la quantité du produit m achetée durant la période 1 et le total des achats consacrés à tous les produits élémentaires de la catégorie de produits considérée durant cette période.

20.77 À nouveau, il est facile de voir comment la formule (20.37) peut être transformée en une base de sondage rigoureuse pour l’échantillonnage des prix de la catégorie de produits considérée. Si les prix des produits élémentaires de cette catégorie sont échantillonnés proportionnellement à leurs probabilités durant la période 1, 1,ρm1, l’indice de Paasche défini par la première égalité de l’équation (20.37) peut être estimé par l’indice de Dutot défini dans la deuxième égalité de cette même équation. En règle générale, et moyennant un dispositif d’échantillonnage approprié, l’utilisation de la formule de Dutot au niveau d’agrégation élémentaire (pour un agrégat élémentaire homogène) peut être parfaitement cohérente avec le concept d’indice de Paasche.

20.78 Plutôt que d’utiliser les représentations de panier-type pour les indices de Laspeyres et de Paasche, il est possible de se servir des représentations de la part des dépenses pour ces deux indices. On utilise alors les parts de dépenses sm0 ousm1 comme pondérations des probabilités pour les rapports de prix. Si les prix relatifs des produits primaires de la catégorie considérée sont échantillonnés avec des pondérations proportionnelles à leur part des dépenses dans cette catégorie durant la période de référence, l’indice de Carli ci-dessous

aura une espérance mathématique égale à l’indice de Laspeyres39. Contrairement aux équations (20.35) et (20.37), la formule (20.39) n’exige pas, bien sûr, que les produits soient homogènes.

20.79 Si les prix relatifs des produits élémentaires de la catégorie considérée sont échantillonnés avec des pondérations proportionnelles à leur part des dépenses dans cette catégorie durant la période 1, l’indice harmonique suivant

aura une espérance mathématique égale à l’indice de Paasche.

20.80 Les résultats ci-dessus montrent que l’indice d’agrégat élémentaire de Dutot peut se justifier comme une approximation d’un indice de prix de Laspeyres ou de Paasche pour un agrégat élémentaire homogène si les méthodes d’échantillonnage des prix sont appropriées. Ils montrent aussi que l’indice d’agrégat élémentaire de Carli et l’indice d’agrégat élémentaire harmonique peuvent se justifier en tant qu’approximation d’un indice des prix de Laspeyres ou de Paasche si les méthodes d’échantillonnage des prix sont appropriées.

20.81 Souvenons-nous que l’hypothèse faite dans l’équation (20.32) au sujet de la fonction f faisait des indices de Laspeyres et de Paasche les «véritables» agrégats élémentaires du point de vue de l’approche économique des indices d’agrégat élémentaire. Supposons maintenant que l’on remplace l’hypothèse (20.32) par l’hypothèse suivante de préférences de type Cobb–Dou–glas (1928) ci-dessous40:

20.82 Si l’on retient l’hypothèse (20.41), le véritable indice d’agrégat élémentaire économique est41:

20.83 Il apparaît que, si les acheteurs affichent les préférences de Cobb–Douglas ci-dessus, les dépenses consacrées aux produits élémentaires seront proportionnelles durant les deux périodes, de sorte que:

Dans ces conditions, les parts de dépenses de la période de référence, sm0, seront égales aux parts de dépenses correspondantes de la période 1, sm1, ainsi qu’aux βm correspondants; autrement dit, l’hypothèse (20.41) implique que:

En conséquence, si les prix relatifs des produits élémentaires de la catégorie considérée sont échantillonnés avec des pondérations proportionnelles à leurs parts de dépenses dans la catégorie considérée durant la période de référence, l’indice de Jevons suivant

convergera vers le logarithme de l’agrégat élémentaire de prix véritable défini par l’équation (20.42)42.

20.84 Ces résultats montrent que l’indice d’agrégat élémentaire de Jevons peut se justifier comme approximation d’un indice des prix de type Cobb–Douglas pour un agrégat élémentaire hétérogène si la méthode d’échantillonnage des prix est appropriée.

20.85 L’hypothèse des préférences de Leontief implique que les vecteurs des quantités se rapportant aux deux périodes considérées seront proportionnels—voir l’équation (20.34). En revanche, l’hypothèse des préférences de Cobb–Douglas implique que ce sont les vecteurs des dépenses qui seront proportionnels sur les deux périodes—voir l’équation (20.43). Les théoriciens des indices débattent depuis longtemps des avantages comparés des hypothèses de quantités proportionnelles et de dépenses proportionnelles. Jevons (1865, p. 295) et Ferger (1931, p. 39; 1936, p. 271) sont au nombre des auteurs qui pensaient que l’hypothèse des dépenses proportionnelles était la plus probable au niveau empirique. Ces auteurs ne pouvaient pas s’appuyer sur l’approche économique de la théorie des indices, mais ils ont compris intuitivement, de même que Pierson (1895, p. 332), que des effets de substitution se produisaient et que l’hypothèse des dépenses proportionnelles était donc plus plausible que celle des quantités proportionnelles.

20.86 Les résultats de la section précédente justifient, dans une certaine mesure, que l’on utilise l’indice d’agrégat élémentaire de Jevons non pondéré de préférence aux indices de Dutot et de Carli non pondérés ou de l’indice harmonique non pondéré, à condition toutefois que l’hypothèse des dépenses proportionnelles soit plus probable que celle des quantités proportionnelles. Cette justification n’en est pas moins très faible, car il faut que la méthode d’échantillonnage des prix des produits élémentaires soit adéquate pour que les résultats soient justifiés. L’utilisation des indices de Dutot et de Carli non pondérés ou de l’indice harmonique non pondéré (sans une méthode d’échantillonnage appropriée) ne peut donc pas être vraiment justifiée du point de vue de l’approche économique. Néanmoins, les résultats obtenus dans la présente section justifient fortement l’utilisation d’un indice de Jevons convenablement pondéré de préférence à d’autres indices pondérés puisque, d’un point de vue économique, il est beaucoup plus probable que les élasticités de substitution croisées soient proches de l’unité (ce qui correspond aux préférences de Cobb–Dou-glas) que de zéro (préférences de Leontief). Si l’on pose que, dans l’indice de Jevons pondéré, les pondérations des probabilités sont la moyenne arithmétique des parts de dépenses consacrées au produit élémentaire dans les périodes 0 et 1, et si l’on utilise les valeurs unitaires étroitement définies comme concept de prix, l’indice de Jevons pondéré devient un type d’indice d’agrégat élémentaire idéal (voir paragraphes 20.11 à 20.22).

Approche des indices d’agrégat élémentaire par l’échantillonnage

20.87 Dans la section précédente, nous avons vu que des indices d’agrégat élémentaire pondérés de façon appropriée peuvent donner une approximation de divers indices d’agrégat élémentaire de la population économique, et que cette approximation est d’autant plus exacte que la couverture de l’échantillon se rapproche de l’ensemble des produits. À l’inverse, on constate que l’indice d’agrégat élémentaire non pondéré du type défini aux paragraphes 20.38 à 20.45 ne peut pas, en général, s’approcher de l’indice d’agrégat élémentaire théoriquement idéal défini aux paragraphes 20.11 à 20.22, même si tous les prix des produits de l’agrégat élémentaire sont échantillonnés43. En conséquence, plutôt que de s’en tenir au seul échantillonnage des prix, les statisticiens devront recueillir des informations sur les valeurs (ou quantités) des transactions correspondant aux prix échantillonnés, de façon à constituer, sur la base de l’échantillon, des agrégats élémentaires qui se rapprocheront de l’agrégat élémentaire idéal ciblé à mesure que la taille de cet échantillon augmentera. Plutôt que de se borner à recueillir un échantillon de prix, il faudra recueillir des quantités (ou valeurs) associées à l’échantillon de manière à construire un indice de Fisher, de Törnqvist ou de Walsh pour l’échantillon. Cet indice d’agrégat élémentaire superlatif reposant sur des échantillons se rapprochera de l’indice d’agrégat élémentaire idéal pour la population visée à mesure que la taille de l’échantillon augmentera. Cette approche de la construction d’indices d’agrégat élémentaire à partir d’échantillonnages est recommandée par Pigou (1920, p. 66–67), Fisher (1922, p. 380), Diewert (1995a, p. 25) et Balk (2002)44. En particulier, Pigou (1920, p. 67) propose d’utiliser l’indice des prix idéal de Fisher reposant sur un échantillon pour déflater la variation de la valeur pour l’agrégat considéré, afin d’obtenir une estimation de la variation du volume pour cet agrégat.

Utilisation de données obtenues par lecture optique dans la construction d’agrégats élémentaires

20.88 Jusqu’à une période relativement récente, il n’était pas possible de déterminer dans quelle mesure un indice d’agrégat élémentaire non pondéré du type défini aux paragraphes 20.38 à 20.45 s’approchait d’un agrégat élémentaire idéal. Les données obtenues par lecture optique (informations détaillées sur les prix et les quantités de produits vendus dans les points de vente au détail), permettent maintenant de calculer des agrégats élémentaires idéaux pour certaines strates de produits élémentaires et de comparer les résultats avec les estimations des offices de statistique concernant les variations de prix dans la même catégorie de produits élémentaires. Naturellement, ces estimations de prix reposent en général sur l’utilisation des formules de Dutot, Jevons ou Carli. Les citations ci-dessous reflètent les conclusions d’un grand nombre d’études consacrées aux données obtenues par lecture optique.

Un deuxième développement notable est survenu au cours de la période récente: les offices de statistique sont disposés désormais à travailler à partir de données obtenues par lecture optique, à savoir des données électroniques produites par le magasin sur le lieu de vente et regroupant diverses informations sur les achats (prix, quantités, localisation, date, heure) accompagnées d’une description du produit par marque ou modèle. Ces données détaillées peuvent contribuer notamment à l’amélioration de la qualité des indices au niveau élémentaire. Parmi les études récentes consacrées à cette question, on citera Silver (1995), Reinsdorf (1996), Bradley, Cook, Leaver, and Moulton (1997), Dalén (1997), de Haan and Opperdoes (1997) et Hawkes (1997). Ces travaux ont débouché sur les estimations suivantes du biais des indices d’agrégat élémentaire (sur une base annuelle): 1,1 point de pourcentage pour les téléviseurs au Royaume Uni; 4,5 points pour le café aux États-Unis; 1,5 point pour le ketchup, le papier hygiénique, le lait et le thon aux États-Unis; 1 point pour les graisses, les détergents, les céréales du petit déjeuner et le poisson congelé en Suède; 1 point pour le café aux Pays-Bas et 3 points pour le café aux États-Unis. Ces estimations de biais intègrent aussi bien les biais d’agrégat élémentaire que les biais de substitution des points de vente et sont sensiblement plus élevées que les estimations approximatives que nous avons faites, à savoir 0,255 et 0,41 point de pourcentage. Par ailleurs, on ne sait pas exactement dans quelle mesure il est possible de généraliser ces estimations de biais de grande ampleur aux autres produits (Diewert (1998a, p. 54–55)).

Avant d’étudier les résultats, il convient de se pencher sur certaines conclusions générales sur les données obtenues par lecture optique. Soulignons que les résultats utilisés ici ont trait à une expérience dans laquelle les mêmes données ont été utilisées pour comparer des méthodes différentes. Les résultats concernant l’indice des prix de détail du Royaume-Uni ne peuvent leur être comparés, puisqu’ils reposent sur des pratiques et des données très différentes: les données sont recueillies par des enquêteurs et présentent aussi bien des avantages que des inconvénients (Fenwick, Ball, Silver, and Morgan (2003)). Pour autant, il est bon de reprendre les observations de Diewert (2002c) sur le poste «appareils électriques» de l’indice des prix de détail du Royaume-Uni, composée d’un large éventail d’appareils (fers à repasser, grille-pain, réfrigérateurs, etc.), qui est passé de 98,6 à 98,0 entre janvier et décembre 1998, soit une baisse de 0,6 point de pourcentage. Diewert compare ces résultats à ceux des machines à laver le linge et note qu’«il se peut que les prix des composantes de l’indice des appareils électriques (autres que les machines à laver) aient suffisamment augmenté durant cette période pour annuler la forte baisse apparente du prix des machines à laver le linge, mais cela me semble plutôt improbable». Diverses études ont été réalisées sur des produits similaires à l’aide de données obtenues par lecture optique durant la période considérée. Les indices-chaînes de Fisher ont été calculés de cette manière (les indices de prix de détail—dans l’année—sont des indices de Laspeyres à base fixe) et on a constaté qu’ils avaient baissé d’environ 12 % pour les téléviseurs (Silver and Heravi, 2001a), 10 % pour les machines à laver le linge (voir tableau 7), 7,5 % pour les machines à laver la vaisselle, 15 % pour les appareils photo et 5 % pour les aspirateurs (Silver and Heravi, 2001b). Ces résultats sont très différents des résultats obtenus pour la section de l’indice des prix de détail et laissent penser que la disparité relevée au sujet des machines à laver le linge n’est peut-être pas une anomalie, comme le note Diewert. Les méthodes et sources de données traditionnelles semblent produire des taux d’IPC beaucoup plus élevés que les données obtenues par lecture optique, mais les raisons de cette discordance sortent du champ de cette étude (Silver and Heravi (2002, p. 25)).

20.89 Les citations susmentionnées résument les conclusions de nombreuses études consacrées aux indices d’agrégat élémentaire reposant sur des données obtenues par lecture optique. Ces études montrent que, quand on utilise des informations détaillées sur les prix et les quantités pour calculer les indices superlatifs ou hédoniques d’une catégorie de dépenses donnée, les mesures des variations de prix qui en résultent sont souvent inférieures aux estimations des variations de prix faites par les offices de statistique officiels pour cette catégorie45. Parfois, les mesures des variations de prix reposant sur des données obtenues par lecture optique sont nettement inférieures aux mesures officielles correspondantes46. Cela montre que l’on peut améliorer très sensiblement la précision des indices d’agrégat élémentaire en utilisant une base de sondage pondérée.

20.90 Existe-t-il une explication intuitive simple aux résultats empiriques ci-dessus? L’examen de la dynamique de la demande de produits élémentaires peut apporter une réponse partielle à cette question. Dans toute économie de marché, les entreprises et les points de vente commercialisent des produits élémentaires dont le prix baisse ou monte. Les produits dont le prix baisse enregistrent d’ordinaire une augmentation du volume de leurs ventes. On note alors, en général, une progression des parts des dépenses consacrées aux produits dont le prix baisse et un phénomène inverse pour les produits dont le prix augmente. Malheureusement, les indices d’agrégat élémentaire ne peuvent saisir les effets de cette corrélation négative entre les variations de prix et les variations des parts de dépenses qu’elles induisent, puisqu’ils dépendent uniquement des prix et non pas des parts des dépenses.

20.91 Illustrons ce point par un exemple. Supposons que l’agrégat élémentaire ne comprenne que trois produits élémentaires, que le prix de chaque produit soit pm0=1 durant la période 0 et que les parts de dépenses consacrées à chacun d’eux soient identiques, de sorte que sm0=1/3 pour M = 1,2,3. Posons aussi que, durant la période 1, le prix du produit élémentaire 1 augmente pour atteindre p11=1+i,, celui du produit élémentaire 2 reste constant à p21=1 et celui du produit élémentaire 3 baisse à p31=(1+i)1, où la hausse du prix du produit 1 est donnée par i > 0. Supposons enfin que la part des dépenses consacrée au produit 1 baisse pour s’établir à s11=(1/3)σ, où σ est un petit nombre compris entre 0 et 1/3, et que la part des dépenses consacrées au produit 3 augmente pour atteindre s31=(1/3)+σ47.

La part des dépenses consacrées au produit 2 reste constante à s21=1/3. Les cinq indices d’agrégat élémentaire définis aux paragraphes 20.23 à 20.37 peuvent être exprimés comme des fonctions du taux de hausse du prix i du produit élémentaire 1 (qui est aussi le taux de baisse du prix du produit 3) de la façon suivante:

20.92 On notera que, dans cet exemple particulier, l’indice de Dutot fD(i) est égal à l’indice de Carli fC(i). Les approximations de second ordre des cinq indices d’agrégat élémentaire (20.46)–(20.50) par une série de Taylor sont exprimées par les formules (20.51)–(20.55):

Pour des valeurs de i peu élevées, les indices de Carli et de Dutot sont donc légèrement supérieurs à 148, les indices de Jevons et de Carruthers–Sellwood–Ward–sont approximativement égaux à 1 et l’indice harmonique est légèrement inférieur à 1. L’approximation de premier ordre par une série de Taylor des cinq indices est égale à 1. En conséquence, dans les limites d’exactitude d’une approximation de premier ordre, les cinq indices sont tous égaux à l’unité.

20.93 Calculons maintenant les indices de Las-peyres, Paasche et Fisher pour l’agrégat élémentaire:

20.94 Les approximations de premier ordre par une série de Taylor des indices ci-dessus (20.56)–(20.58) autour de i = 0 sont exprimées par les approximations (20.59)–(20.61):

20.95 L’indice d’agrégat élémentaire idéal de Fisher fF(i) est un indice d’agrégat élémentaire idéal pour les trois produits élémentaires. Les approximations (20.51)–(20.55) et (20.61) montrent qu’il sera inférieur de σi aux cinq indices d’agrégat élémentaire si l’on utilise des approximations de premier ordre pour les six indices. Les cinq indices d’agrégat élémentaire présenteront donc un biais positif approximatif égal à σi, par comparaison à un agrégat élémentaire idéal.

20.96 Supposons que le taux annuel de hausse du prix du produit élémentaire qui enchérit est de 10 %, de sorte que i = 0,10 (le taux de baisse du prix du produit dont le prix baisse est donc aussi d’environ 10 %). Si l’on observe une diminution de 5 points de la part des dépenses consacrée au produit dont le prix augmente, alors σ = 0,05 et le biais positif annuel approximatif des cinq indices d’agrégat élémentaire est σi = 0,05 × 0,10 = 0,005, soit un demi-point de pourcentage. Si i et σ augmentent pour atteindre respectivement 20 % et 10 %, le biais approximatif est porté à σi = 0,10 × 0,20 = 0,02 ou 2 %. On notera cependant que, si les prix de la période 2 reviennent à leur niveau de la période 0, le biais s’inverse. Le biais d’agrégat élémentaire du type modélisé ci-dessus ne peut être cumulé sur des périodes successives que si les prix et les parts de marché affichent des tendances de long terme49.

20.97 L’exemple ci-dessus est très simplifié. Des modèles plus sophistiqués peuvent expliquer une partie au moins des discordances entre les indices d’agrégat élémentaire officiels et les indices superlatifs établis à partir de données obtenues par lecture optique pour une catégorie de dépenses spécifique. Foncièrement, les indices d’agrégat élémentaire définis sans utiliser les pondérations de quantités ou de valeurs correspondantes ne permettent pas de déceler les variations des parts de dépenses induites par les fluctuations des prix des produits élémentaires50. Pour pallier ce problème, il faut échantillonner les valeurs et les prix dans la période de référence et dans la période de comparaison.

20.98 Une certaine prudence est cependant de mise à ce stade. L’utilisation d’indices superlatifs chaînés peut en effet donner des résultats fortement biaisés si les prix et quantités enregistrent, d’une période à l’autre, d’amples fluctuations par rapport aux tendances des prix sur le long terme. Les fortes fluctuations affichées sur le long terme peuvent être dues à des facteurs sai-sonniers51 ou à des soldes temporaires52.

20.99 Une simple analyse de la construction des indices d’agrégat élémentaire à l’aide de régression est présentée à la section suivante. L’analyse confirme qu’il est important de pondérer les prix relevés.

Approche stochastique simple des indices d’agrégat élémentaire

20.100 Reprenons la notation utilisée aux paragraphes 20.38 à 20.45, et supposons que les prix des M produits élémentaires pour les périodes 0 et 1 sont approximativement égaux aux termes de droite des équations (20.62) et (20.63):

α et βm sont des paramètres positifs. Notons qu’il y a 2M prix dans les termes de gauche des équations (20.62) et (20.63), mais seulement M + 1 paramètres dans ceux de droite. Le modèle de comportement des prix défini par les équations (20.62) et (20.63) repose sur l’hypothèse que les deux vecteurs de prix p0 et p1 sont proportionnels (avec p1 = α p0, de sorte que α est le facteur de proportionnalité), aux erreurs multiplicatives aléatoires près. En conséquence, α représente la valeur de l’agrégat élémentaire sous-jacent. Si l’on prend les logarithmes des deux côtés des équations (20.62) et (20.63) et si l’on ajoute les erreurs aléatoires em0 et em1 aux termes de droite des équations qui en résultent, on obtient le modèle de régression linéaire suivant:

20.101 Notons que les équations (20.64) et (20.65) peuvent être interprétées comme un modèle de régression hédonique très simplifié53. La seule caractéristique de chaque produit est le produit lui-même. Ce modèle est aussi un cas particulier de la méthode des produits de pays fictifs utilisée pour les comparaisons de prix entre divers pays54. L’utilisation de cette méthode de régression dans la construction d’indices d’agrégat élémentaire a pour avantage majeur de permettre d’obtenir les écartstypes de l’indice α. Cet atout de l’approche stochastique de la théorie des indices a été souligné par Selvanathan et Rao (1994).

20.102 Il est possible de vérifier que l’estimateur des moindres carrés pour γ est:

20.103 Si l’on prend l’exponentielle de γ*, on obtient l’estimateur suivant pour l’agrégat élémentaire α:

PJ(p0,p1) est l’indice d’agrégat élémentaire de Jevons défini aux paragraphes 20.38 à 20.45. Le modèle de régression simple défini par les équations (20.64) et (20.65) conduit par conséquent à justifier l’utilisation de l’indice d’agrégat élémentaire de Jevons.

20.104 Considérons le modèle des moindres carrés non pondérés suivant:

On peut vérifier que la solution γ au problème de minimisation sans contrainte (20.69) est le γ* défini par l’équation (20.67).

20.105 Le modèle des moindres carrés non pondérés défini par l’équation (20.69) pose un problème: le logarithme de chaque prix relevé reçoit exactement la même pondération dans le modèle quelles que soient les dépenses consacrées au produit concerné durant chaque période. Ce n’est pas satisfaisant, à l’évidence, car un prix de faible importance économique (en ce sens qu’il porte sur un produit auquel n’est consacrée qu’une faible part des dépenses dans chaque période) reçoit la même pondération qu’un produit élémentaire très important dans le modèle de régression. Il est donc utile d’envisager le modèle de régression suivant, qui repose sur la méthode des moindres carrés pondérés 55:

où la part des dépenses consacrée au produit m dans la période t est définie de la manière habituelle suivante:

Dans le modèle (20.70), le logarithme de chaque prix de produit élémentaire relevé durant chaque période est pondéré par la part des dépenses consacrée à ce produit dans cette période. On notera que la pondération des prix selon leur importance économique est conforme à l’approche stochastique de la théorie des indices proposée par Theil (1967, p. 136–138)56.

20.106 La solution γ au problème de minimisation (20.70) se présente comme suit:

et h(a,b) la moyenne harmonique des nombres a et b. En conséquence, γ** est la moyenne, pondérée par les parts de dépenses, des logarithmes des rapports de prix pm1/pm0. Si l’on prend l’exponentielle de γ**, on obtient l’estimateur α** pour l’agrégat élémentaire α.

20.107 Comment α** se compare-t-il aux trois indices d’agrégat élémentaire idéaux définis aux paragraphes 20.11 à 20.22? On peut démontrer57 qu’il existe entre α** et ces trois indices une approximation de second ordre autour d’un point d’égalité des prix et d’égalité des quantités: dans la plupart des ensembles de données, α** est très proche des indices d’agrégat élémentaire de Fisher, Törnqvist et Walsh.

20.108 En fait, un problème un peu différent et similaire au problème de minimisation présenté dans (20.70) produira exactement l’indice d’agrégat élémentaire de Törnqvist. Examinons en effet le modèle de régression par les moindres carrés pondérés suivant:

Dans le modèle (20.74), le logarithme de chaque prix de produit élémentaire relevé durant chaque période est donc pondéré par la moyenne arithmétique des parts des dépenses consacrées à ce produit au cours des deux périodes considérées.

20.109 La solution γ au problème de minimisation (20.74) est

qui est le logarithme de l’indice d’agrégat élémentaire de Törnqvist. L’exponentielle de γ*** est précisément l’indice des prix de Törnqvist.

20.110 Les résultats de cette section ne justifient que faiblement l’utilisation de l’indice d’agrégat élémentaire de Jevons, mais appuient beaucoup plus, en revanche, le recours aux indices d’agrégat élémentaire pondérés du type défini aux paragraphes 20.11 à 20.22.

20.111 Ces résultats justifient aussi l’utilisation de pondérations fondées sur les valeurs dans les régressions hédoniques.

Conclusion

20.112 Les principaux résultats de ce chapitre peuvent être résumés comme suit:

  • Pour définir la «meilleure» formule d’indice d’agrégat élémentaire, il faut cibler un concept d’indice donné. Aux paragraphes 20.11 à 20.22, nous faisons valoir que la théorie des indices bilatéraux normale s’applique aussi bien aux niveaux élémentaires qu’aux niveaux supérieurs; la cible retenue devrait donc être l’une des formules de Fisher, Törnqvist ou Walsh.

  • Lorsque l’on agrège les prix du même produit élémentaire étroitement défini dans une période, la valeur unitaire étroitement définie constitue un concept de cible de prix raisonnable.

  • L’approche axiomatique des indices d’agrégat élémentaire traditionnels (sans pondération de quantités ou de valeurs) justifie l’utilisation de la formule de Jevons en toutes circonstances58. Si les produits de l’agrégat élémentaire sont homogènes (autrement dit, s’ils ont la même unité de mesure), la formule de Dutot peut être utilisée. Dans le cas (plus fréquent) d’un agrégat élémentaire hétérogène, on peut utiliser la formule de Carruthers–Sellwood–Ward comme alternative à la formule de Jevons, mais les résultats numériques obtenus dans les deux cas seront à peu près identiques.

  • L’indice de Carli est entaché d’un biais positif, l’indice harmonique d’un biais négatif.

  • L’approche économique des indices d’agrégat élémentaire ne justifie que faiblement l’utilisation de la formule de Jevons.

  • Aucun des cinq indices d’agrégat élémentaire non pondérés n’est véritablement satisfaisant. Une autre approche plus safisfaisante, consiste à recueillir des données sur les quantités et les valeurs en même temps que sur les prix et à établir des indices superlatifs pour l’échantillon pour en faire des indices d’agrégat élémentaire préférés. Lorsque l’on calcule un indice superlatif chaîné, toutefois, il importe de déterminer si celui-ci est entaché d’un biais de chaînage: on ne peut utiliser un indice-chaîne que si les données sont relativement lissées et sont influencées par des tendances de long terme plutôt que par des fluctuations à court terme.

  • L’approche des indices d’agrégat élémentaire par une régression hédonique simple justifie l’utilisation de la formule de Jevons, mais l’approche par la régression hédonique pondérée est plus satisfaisante. L’indice qui en résulte sera proche des indices idéaux définis aux paragraphes 20.11 à 20.22.

Le problème de la déperdition d’échantillon et du désappariement progressif avec le temps est évoqué brièvement dans le contexte des questions de classification aux paragraphes 20.23 à 20.37.

Le présent chapitre s’inspire dans une large mesure des travaux récents de Dalén (1992), Balk (1994; 1998b; 2002) et Diewert (1995a; 2002c).

Triplett (2003, p. 160) se montre très critique envers le type de classification adopté dans la COICOP. Selon lui, il serait bon d’élaborer, pour l’IPC, une nomenclature mieux adaptée reposant à la fois sur la théorie économique et sur l’analyse empirique. Cela dit, il est très difficile de coordonner un système de classification pouvant être utilisé par l’ensemble des pays.

Walsh explique son raisonnement de la façon suivante: La moyenne à dégager de l’ensemble des prix déclarés pour le même type d’article est la moyenne arithmétique, et il convient de pondérer les prix par les quantités relatives vendues à ces prix (Walsh (1901, p. 96)). Des questions intéressantes se posent alors: faut-il comptabiliser uniquement ce que le pays consomme ou ce qu’il produit, ou les deux? Par ailleurs, l’attribution d’un prix unique à chaque produit durant chaque période soulève des difficultés, puisque ce prix doit lui aussi être une moyenne. Les produits ne sont pas vendus à un prix unique dans (suite de la note 5) l’ensemble du pays pendant une période donnée, ni même à un prix de gros unique sur leur principal marché. Des quantités variables de produits sont vendues à des prix différents, et l’on obtient la valeur intégrale en additionnant tous les montants dépensés (au même stade de progression du produit vers le consommateur) et le prix moyen en divisant la somme totale (ou la valeur intégrale) par les quantités totales (Walsh (1921a, p. 88)).

Voir, par exemple, Szulc (1987, p. 13), Dalén (1992, p. 135), Reinsdorf (1994), Diewert (1995a, p. 20–21), Reinsdorf and Moulton (1997), Balk (2002) et Richardson (2003).

Le théorème 5 de Diewert (1978, p. 888) montre que PF, PT et PW donnent une approximation de second ordre les uns des autres autour d’un point d’égalité des prix et d’égalité des quantités; pour des résultats empiriques, voir Diewert (1978, p. 894), Hill (2000) et le chapitre 19.

Toutes ces formules d’indice d’agrégat élémentaire idéal nécessitent bien sûr des pondérations en quantités (ou de dépenses) sur la période en cours et ne sont donc pas considérées, en général, comme des formules «pratiques» utilisables pour établir un IPC ordinaire (en glissement mensuel). Toutefois, à mesure que les offices de statistique introduisent des indices superlatifs sur une base rétrospective, il peut être possible d’obtenir des informations plus actuelles sur les pondérations, du moins aux niveaux d’agrégation élevés; voir Greenlees (2003). Gudnason (2003, p. 16) cite aussi des exemples où les informations recueillies pour l’IPC islandais suffisent pour calculer des indices d’agrégat élémentaire à l’aide d’une formule superlative. Quoi qu’il en soit, un indice cible est aussi nécessaire au niveau élémentaire qu’aux niveaux d’agrégations plus élevés.

Hausman (2002, p. 14) note aussi qu’il est important de recueillir des données sur les quantités en plus des données sur les prix au niveau élémentaire, afin de permettre aux offices de statistique de procéder à des ajustements de la qualité plus précis.

De nombreux offices de statistique envoient leurs enquêteurs dans les points de vente à des dates fixes pour relever des listes de prix de produits élémentaires. Les enquêteurs ne travaillant en général pas le week-end (période durant laquelle beaucoup de ventes ont lieu), les prix relevés ne sont peut-être pas parfaitement représentatifs de l’ensemble des transactions. Les prix relevés peuvent être considérés comme une approximation de la valeur unitaire agrégée dans le temps de ces produits, mais ils ne sont qu’une approximation.

Hawkes et Piotrowski (2003, p. 31) combinent les dimensions spatiale et sectorielle dans la dimension spatiale. Ils prennent en compte les travaux de Theil (1954) qui, le premier, a identifié trois dimensions d’agrégation: individus, produits et temps.

Ce point est mentionné aux paragraphes 15.65 à 15.71 du chapitre 15, au sujet de l’indice de Divisia. David Richardson (2003, p. 51) soulève aussi cette question: «En définissant les produits élémentaires à l’aide d’une granularité plus fine (comme c’est le cas lorsque les prix relevés au cours de semaines différentes sont traités comme des produits élémentaires distincts), on accroît les données manquantes et les imputations».

On trouvera au chapitre 22 un exemple de phénomène saisonnier mensuel dans lequel les indices-chaînes mensuels ne sont d’aucune utilité.

On trouvera dans l’ouvrage de Feenstra et Shapiro (2003) un exemple d’indice superlatif hebdomadaire accusant un biais de chaînage très prononcé. Richardson (2003, p. 50–51) examine les problèmes posés par le choix de valeurs unitaires hebdomadaires ou mensuelles.

On trouvera au chapitre 22 des propositions de solutions à ces problèmes de saisonnalité.

On trouvera au chapitre 23 d’autres informations sur le traitement possible des biens durables dans l’IPC.

En période d’inflation très élevée (voire d’hyperinflation), il peut être nécessaire d’utiliser des indices hebdomadaires ou même quotidiens. On notera par ailleurs que certains théoriciens des indices jugent nécessaire d’élaborer de nouvelles théories du comportement des consommateurs intégrant des données hebdomadaires ou quotidiennes: «certaines études ont avalisé l’utilisation de valeurs unitaires pour réduire les variations de prix à haute fréquence, mais cela revient à supposer implicitement que ces variations ne sont qu’une forme de «bruit» des données et ne sont pas significatives dans le contexte de l’indice du coût de la vie, ce qui est discutable. Nous devons élaborer une théorie qui puisse se confronter aux données telles qu’elles sont, plutôt que tronquer celles-ci pour les faire cadrer avec la théorie» (Triplett (2003, p. 153)). Tant que l’on n’aura pas créé de théories de ce type, l’approche pragmatique consistera à définir les valeurs unitaires des produits élémentaires sur une base mensuelle ou trimestrielle plutôt que quotidienne ou hebdomadaire.

L’Islande n’utilise plus de pondérations régionales, mais se sert des points de vente comme unité géographique primaire; voir Gudnason (2003, p. 18).

William J. Hawkes et Frank W. Piotrowski observent qu’il est tout à fait acceptable d’utiliser des agrégats élémentaires nationaux pour procéder à des comparaisons internationales: Quand on essaye de comparer les prix des œufs sur le plan géographique, cependant, on constate que la mise en relation des points de vente ne fonctionne pas, car les œillets qui se trouvent d’un côté de la chaussure (ou les points de vente situés d’un côté de la rivière) ne correspondent pas à ceux qui se trouvent de l’autre coté. Lorsque nous procédons à des comparaisons interspatiales, nous n’avons donc pas d’autre choix que d’agréger les points de vente jusqu’au niveau régional (ou, dans le cas des parités de pouvoir d’achat, jusqu’au niveau national). Nous n’hésitons pas à y recourir pour les comparaisons interspatiales, mais nous sommes réticents à faire de même dans le cas des comparaisons intertemporelles. Pourquoi? (Hawkes and Piotrowski (2003, p. 31–32)). On peut répondre à cette question en faisant valoir qu’il est préférable que des produits similaires soient appariés aussi étroitement que possible. C’est pourquoi les statisticiens préfèrent utiliser le niveau d’agrégation le plus détaillé, qui est le niveau des ménages et des points de vente dans le cas des comparaisons intertemporelles. Pour les comparaisons interrégionales, cependant, les appariements ne sont possibles que si des agrégats de produit ont été construits au niveau régional, comme Hawkes et Piotrowski l’indiquent ci-dessus.

Silver et Heravi (2001a; 2001b; 2002; 2003, p. 286) et Koskimäki et Vartia (2001) insistent sur ce point et étayent leur opinion par diverses preuves empiriques. Feenstra (1994) et Balk (2000b) élaborent des méthodes fondées sur la théorie économique pour traiter de l’adoption de nouveaux produits élémentaires.

Deux auteurs insistent sur ce point dans un livre récent sur les indices de prix et les données obtenues par lecture optique: Quoi qu’il en soit, les valeurs unitaires relevées dans les magasins sont différentes des prix proposés aux ménages et ne représentent pas le prix retenu dans l’indice du coût de la vie pour la période concernée, même si les valeurs unitaires sont regroupées par catégories de points de vente (Triplett (2003, p. 153–154)). On notera en outre que la relation estimée n’est pas à proprement parler une fonction de la demande des consommateurs, mais plutôt une «fonction des ventes des établissements». Il n’est possible de passer aux fonctions de demande qu’après avoir fait des hypothèses supplémentaires précisant, par exemple, la répartition des consommateurs entre les établissements (Ley (2003, p. 380)).

Dans certaines circonstances, toutefois, il est possible de recueillir des données exactes au niveau des ménages; voir à ce sujet Gudnason (2003), qui a élaboré une méthodologie visant à recueillir des données sur les prix et les dépenses des ménages islandais à partir des tickets de caisse.

Les résultats au niveau des marques de AC Nielsen sont un contreexemple de cette assertion d’ordre général.

Ces inégalités résultent du fait que la moyenne harmonique de M nombres positifs est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique correspondante; voir Walsh (1901, p. 517) ou Fisher (1922, p. 383–384). Il s’agit là d’un cas particulier de l’inégalité de Schlömilch; voir Hardy, Littlewood, and Pólya (1934, p. 26).

Voir aussi Pigou (1920, p. 59 et 70), Szulc (1987, p 12) et Dalén (1992, p. 139). Dalén (1994, p. 150–151) propose des explications intuitives intéressantes du biais positif de l’indice de Carli.

Chacun des trois indices PH, PJ et PC est une moyenne d’ordre r dans laquelle r est égal respectivement à −1, 0 et 1: les inégalités découlent donc de celle de Schlömilch; voir Hardy, Littlewood, and Pólya (1934, p. 26).

On notera que l’indice de Dutot peut aussi s’exprimer sous la forme d’une moyenne pondérée des rapports de prix: PD(p0,p1)=Σi=1npi1/Σj=1npj0=Σi=1n(pi1/pi0)pi0/Σi=1n(pi1/pi0)wi0, où la ième pondération est définie comme suit: wi=pi0/Σj=1npj0. En conséquence, si les produits de l’agrégat élémentaire sont hétérogènes, les produits les plus chers dans les unités de mesure choisies recevront une forte pondération que ne justifient pas forcément les dépenses consacrées à ces produits.

Cette relation approximative a été établie pour la première fois par Carruthers, Sellwood et Ward (1980, p. 25).

Certaines études indiquent que, si le taux d’inflation global enregistre d’amples variations, la variance des écarts des prix par rapport à leurs moyennes peut varier elle aussi. Par ailleurs, si la valeur de M est faible, il y aura des fluctuations d’échantillonnage dans les variances des prix d’une période à l’autre.

Notons que les écarts présentés sous forme de ratio em, définis par l’équation (20.20), sont différents des écarts présentés en niveau emt, définis par l’équation (20.11).

L’équation (20.22) montre que fC(e) est identiquement égal à 1, de sorte que l’expression (20.26) sera une égalité exacte plutôt qu’une approximation.

Ces approximations de second ordre ont été formulées par Dalén (1992, p. 143) pour le cas où r* = 1 et Diewert (1995a, p. 29) dans le cas d’un r* général.

Cette approche est utilisée par Diewert (1995a, p. 5–17), qui s’inspire des travaux antérieurs de Eichhorn (1978, p. 152–160) et Dalén (1992).

La fonction de coût unitaire est définie comme suit: c(p) = minq{Σm=1Mpmqm:f(q)=1}.

Les préférences qui correspondent à cette fonction f sont qualifiées de «préférences de Leontief» (1936) ou «préférences de substitution nulle».

Voir Pollak (1983). Notation: p1q0 est défini comme la somme, Σi=1mpi1qi0, etc.

Les probabilités définies par l’équation (20.36) n’ont aucune signification si les produits ne sont pas homogènes.

Pour plus de détails, voir Balk (2002, p. 8–10).

Pour un calcul rigoureux de la base de sondage, voir Balk (2002, p. 13–14).

Ces préférences ont été introduites un peu plus tôt par Konüs et Byushgens (1926).

Pour un calcul rigoureux, voir Balk (2002, p. 11–12).

L’exemple numérique mentionné aux paragraphes 20.91 à 20.99 illustre ce point.

Balk (2002) donne les détails de cette base de sondage. Hausman (2002) est un autre auteur moderne pour qui il importe de recueillir des informations sur les quantités en même temps que sur les prix au niveau élémentaire.

Souvenons-nous aussi que les résultats de Koskimäki et Ylä-Jarkko (2003) montrent que l’indice de Laspeyres se situe bien au-dessus de l’indice de Fisher correspondant établi à partir des données finlandaises obtenues par lecture optique.

Toutefois, les études consacrées aux données obtenues par lecture optique ne font pas toujours apparaître que les IPC officiels peuvent être entachés de biais considérables. Masato Okamoto nous a informé qu’une étude de grande envergure était en cours au Japon. L’examen des données recueillies par lecture optique entre 1997 et 2000 pour environ 250 catégories de produits alimentaires transformés et de produits de première nécessité a permis de constater que les indices reposant sur des données obtenues par lecture optique étaient inférieurs d’environ 0,2 point seulement, en moyenne, aux indices officiels annuels correspondants. Le Japon utilise la formule de Dutot au niveau élémentaire pour son IPC officiel.

Le paramètre σ mesure le degré de substituabilité entre les divers produits de l’agrégat élémentaire. Il n’est pas parfaitement égal au paramètre d’élasticité de substitution utilisé dans la formule de Lloyd–Moulton décrite aux paragraphes 17.61 à 17.64 du chapitre 17. Cependant, plus l’élasticité de substitution est grande, plus le paramètre mentionné dans cette section est élevé. Les travaux effectués par David E. Lebow et Jeremy B. Rudd dans le domaine du marketing indiquent que l’élasticité de substitution entre marques dans un agrégat élémentaire étroitement défini est d’environ 2,5 (chiffre beaucoup plus élevé que dans le cas de préférences de type Cobb–Douglas, où l’élasticité de substitution est de 1): «Gerard Tellis (1988) a analysé les résultats d’un grand nombre d’études de marketing évaluant les élasticités entre marques et a trouvé une élasticité moyenne de 2,5 (après les ajustements nécessaires pour corriger certains biais des résultats) » (Lebow and Rudd (2003, p. 167–168).

Reprenons la relation approximative (20.16) entre les indices de Dutot et de Jevons énoncée au paragraphe 20.51. Dans le présent exemple numérique, var(e0) = 0 tandis que var(e1) > 0. Cela explique pourquoi l’indice de Dutot n’est pas approximativement égal à celui de Jevons dans cet exemple numérique.

Les recherches de White (2000) sur le biais de substitution des points de vente au Canada indiquent que les magasins de vente au rabais affichent non seulement des prix plus bas que les autres points de vente, mais aussi des taux de hausse des prix plus faibles au fil du temps.

Autrement dit, les indices d’agrégat élémentaire sont entachés de biais de substitution ou de représentativité. Dans le cas des préférences de type Cobb–Douglas, toutefois, le paramètre σ suivi dans cette section serait égal à zéro et l’agrégat élémentaire de Jevons ne serait pas biaisé. Cependant, les conclusions des travaux effectués dans le domaine du marketing (voir Tellis (1988)) font apparaître que σ sera supérieur à 0 et que l’indice d’agrégat élémentaire de Jevons affichera donc un biais positif. L’estimation de Lebow et Rudd (2003, p. 167), selon laquelle le biais de substitution de l’agrégat élémentaire est seulement de 0,05 point environ par an si l’on utilise la formule de Jevons, semble donc un peu basse.

Le chapitre 22 donne un exemple d’utilisation d’indices superlatifs chaînés conduisant à un énorme biais négatif imputable aux fluctuations saisonnières.

On trouve dans l’ouvrage de Robert C. Feenstra et Matthew D. Shapiro (2003) un exemple dans lequel l’utilisation d’indices superlatifs chaînés conduit à un énorme biais positif dû aux périodes de soldes: La raison en est que les périodes de bas prix (périodes de soldes) ne coïncident avec des achats élevés seulement quand elles s’accompagnent de campagnes de publicité; ces achats, au demeurant, ont généralement lieu dans les dernières semaines de soldes. En conséquence, la baisse initiale des prix (au début des soldes) reçoit une pondération moins forte dans l’indice cumulatif que la hausse de prix finale qui survient à la fin des soldes. Le comportement de la demande—hausse des achats à la fin des soldes—qui provoque ce biais positif de l’indice-chaîne de Törnqvist signifie que les consommateurs achètent sans doute les articles soldés pour constituer des stocks. Le seul indice correct sur le plan théorique pouvant être utilisé dans ce type de situation est un indice à base fixe, comme il est précisé à la section 5.3 (Feenstra and Shapiro (2003, p. 125)). (suite de la note 52) Les résultats obtenus en utilisant un indice à base fixe dans ce type de cas risquent toutefois d’être très tributaires du choix de la période de référence. Les autres solutions possibles dans ces circonstances consistent à allonger la période (comme indiqué aux paragraphes 20.23 à 20.37) ou à recourir au principe de l’année mobile expliqué au chapitre 22.

Les modèles de régression hédonique sont analysés aux chapitres 7, 8 et 21.

Voir Summers (1973). Dans notre cas, les observations concernant les prix de l’agrégat élémentaire ne portent que sur deux «pays» et deux périodes.

Balk (1980c) examine un modèle de régression par les moindres carrés pondérés similaire pour de nombreuses périodes, mais assorti de pondérations différentes.

L’approche de Theil est utilisée aussi par Rao (2002), qui examine la possibilité de généraliser l’équation (20.70) pour couvrir le cas de périodes multiples.

En utilisant les techniques de Diewert (1978).

À une exception près toutefois, qui concerne le cas où un prix peut être nul pendant une période et positif pendant une autre période comparée. Dans ce cas, l’indice de Jevons ne conviendra pas et il ne faudra pas tenir compte du produit élémentaire correspondant dans l’indice d’agrégat élémentaire ou utiliser la technique décrite aux paragraphes 17.90 à 17.94 du chapitre 17.

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