Chapter

19. Indices Des Prix Fondés Sur Un Ensemble De Données Artificielles

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
November 2006
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Introduction

19.1 Afin que le lecteur puisse se faire une idée des écarts qui pourraient apparaître entre les divers indices si l’on utilisait un ensemble de données «réelles», la quasi-totalité des grands indices définis aux chapitres précédents sont calculés dans le présent chapitre à partir d’un ensemble de données artificielles composé des prix et quantités de six produits suivis sur cinq périodes. Ces données sont décrites aux paragraphes 19.3 et 19.4.

19.2 Ce chapitre s’articule comme suit. Dans la section commençant au paragraphe 19.5, nous calculons deux des premiers indices non pondérés, ceux de Carli et Jevons, ainsi que deux des premiers indices pondérés, ceux de Laspeyres et Paasche. Ces indices sont calculés à la fois sous forme d’indices à base fixe et d’indiceschaînes. Nous calculons ensuite divers indices à pondérations asymétriques1 dans la section commençant au paragraphe 19.9, puis divers indices à pondérations symétriques2 dans la section commençant au paragraphe 19.17. Certains de ces indices sont superlatifs, d’autres non. Dans la section commençant au paragraphe 19.23, nous calculons des indices superlatifs en passant par une double étape d’agrégation et comparons les indices agrégés en deux étapes qui en résultent à leurs contreparties établies en une seule étape. Dans la section suivante, nous calculons une série d’indices de Lloyd–Moulton3, que nous comparons aux indices superlatifs. Dans la section commençant au paragraphe 19.32, nous calculons deux décompositions additives de la variation en pourcentage de l’indice idéal de Fisher et comparons les décompositions qui en résultent, lesquelles font apparaître une grande similitude. Jusqu’à ce point, tous les indices calculés sont des indices de prix bilatéraux pondérés ou non pondérés, ce qui veut dire que la formule d’indice ne dépend que des données sur les prix et quantités se rapportant aux deux périodes dont les prix sont calculés. Dans les trois dernières sections du chapitre, nous calculons des indices fondés sur des données se rapportant à trois périodes ou plus. Dans la section commençant au paragraphe 19.37, il s’agit d’indices de Lowe et de Young dans lesquels les données de la période 1 sont utilisées comme pondérations en quantités ou en parts de dépenses, en même temps que les données sur les prix pour les périodes 3 à 5, de sorte que la période de référence des pondérations est la période 1 tandis que la période de référence des prix est la période 3. Dans les deux dernières sections, enfin, ce sont des indices d’année intermédiaire reposant sur les formules de Lowe et de Young qui sont calculés. On se souviendra que, pour ces deux formules d’indice, la période de référence des prix ne coïncide pas avec la période de référence des pondérations. Il ne s’agit donc pas de formules d’indices bilatéraux.

L’ensemble de données artificielles

19.3 On peut postuler que la période considérée est comprise entre un et cinq ans. Les tendances des données sont en général plus prononcées qu’elles ne le laissent paraître en l’espace d’une seule année. Les données sur les prix et quantités sont récapitulées aux tableaux 19.1 et 19.2. Pour plus de commodité, les dépenses nominales pour la période t, t,pt,qt=Σi=1npitqit, sont présentées en même temps que les parts de dépenses correspondantes pour la période t, t,stt=pttqtt/ptqt, au tableau 19.3.

Tableau 19.1Prix des six produits
Période tp1tp2tp3tp4tp5tp6t
11,01,01,01,01,01,0
21,23,01,30,71,40,8
31,01,01,50,51,70,6
40,80,51,60,31,90,4
51,01,01,60,12,00,2
Tableau 19.2Quantités des six produits
Période tq1tq2tq3tq4tq5tq6t
11,01,02,01,04,50,5
20,80,91,91,34,70,6
31,01,11,83,05,00,8
41,21,21,96,05,61,3
50,91,22,012,06,52,5
Tableau 19.3Dépenses et parts des dépenses aux six produits
Période tPtqts1ts2ts3ts4ts5ts6t
110,000,10000,10000,20000,10000,45000,0500
214,100,06810,19150,17520,06450,46670,0340
315,280,06540,07200,17670,09820,55630,0314
417,560,05470,03420,17310,10250,60590,0296
520,000,04500,06000,16000,06000,65000,0250

19.4 Afin d’expliquer les tendances établies aux tableaux 19.1 à 19.3, posons que les quatre premiers produits représentent la consommation des diverses classes de biens dans certaines économies, tandis que les deux autres correspondent à la consommation de deux classes de services. Supposons que la première classe de produits correspond aux produits de consommation agricole; leur quantité fluctue autour de 1, et il en va de même pour son prix4. La seconde classe correspond aux produits de consommation énergétiques; leur quantité affiche, durant les cinq périodes, une légère tendance à la hausse accompagnée de fluctuations mineures. On observera toutefois que son prix enregistre d’amples fluctuations d’une période à l’autre5. La troisième classe correspond aux produits manufacturés traditionnels. On suppose que le taux d’inflation plutôt élevé affiché par ce type de produit au cours des périodes 2 et 3 ralentit ensuite pour devenir très faible à la fin de la période considérée6. La consommation des produits manufacturés traditionnels apparaît relativement stable dans notre ensemble de données. La quatrième classe correspond aux produits manufacturés de haute technologie, tels que les ordinateurs, caméras vidéo ou disques compacts. La demande de ces produits de haute technologie est multipliée par 12 sur la période étudiée, alors que leur prix t dans la période finale représente un dixième à peine de celui affiché dans la première période. La cinquième classe correspond aux services traditionnels. Leur prix affiche une tendance similaire à celle des produits manufacturés, si ce n’est que les taux d’inflation d’une période sur l’autre sont un peu plus élevés. Toutefois, la demande de services traditionnels augmente à un rythme beaucoup plus soutenu que celle des produits manufacturés. La dernière classe, enfin, correspond aux services à forte teneur technologique, tels que les télécommunications, téléphones portables, services Internet ou services de transactions boursières. Le prix de ce dernier produit fait enregistre une tendance très nette à la baisse, pour s’établir finalement à 20 % de son niveau initial, alors que la demande a quintuplé. Les fluctuations des prix et quantités de cet ensemble de données artificielles sont plus prononcées que les variations enregistrées d’une année sur l’autre dans un pays type, mais illustrent le problème rencontré par les statisticiens qui établissent un indice des prix à la consommation (IPC), à savoir que les variations des prix et quantités d’une année sur l’autre sont loin d’être proportionnelles pour l’ensemble des produits. Le choix de la formule d’indice est donc important.

Premiers indices des prix: les indices de Carli, Jevons, Laspeyres et Paasche

19.5 Tous les statisticiens connaissent l’indice de Laspeyres PL défini par l’équation (15.5) et l’indice de Paasche PP défini par l’équation (15.6) au chapitre 15. Ces indices sont présentés au tableau 19.4, en même temps que deux indices non pondérés qui ont été examinés aux chapitres précédents: l’indice de Carli défini par l’équation (16.45) et l’indice de Jevons défini par l’équation (16.47) au chapitre 16. Les indices du tableau 19.4 comparent les prix de la période t à ceux de la période 1: ce sont donc des indices à base fixe. Par conséquent, l’indice de Carli pour la période t, PC, est simplement la moyenne arithmétique des six rapports de prix, Σi=16(1/6)(ptt/pt1), et l’indice de Jevons pour la période t, PJ, est la moyenne géométrique des six rapports de prix, Πi=16(pit/pi1)1/6.

Tableau 19.4Indices à base fixe de Laspeyres, Paasche, Carli et Jevons
Periode tPLPPPCPJ
11,00001,00001,00001,0000
21,42001,38231,40001,2419
31,34501,20311,05000,9563
41,35501,02090,91670,7256
51,44000,79680,98330,6324

19.6 Notons qu’une fois atteinte la période 5, l’écart entre les indices de prix à base fixe de Laspeyres et de Paasche est énorme: PL est égal à 1,4400 alors que PP s’établit à 0,7968, soit un écart de 81%. Ces deux indices reposant exactement sur la même justification théorique, on voit combien le choix de la formule d’indice est important. L’indice de Carli pour la période 5 égal à 0,98333, se situe entre les indices correspondants de Paasche et de Laspeyres, ce qui n’est pas le cas de l’indice de Jevons pour la période 5, qui s’établit à 0,63246. On observera que l’indice de Jevons est toujours nettement inférieur à l’indice de Carli correspondant. Il en ira toujours ainsi (à moins que les prix ne soient proportionnels dans les deux périodes considérées), car une moyenne géométrique est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique correspondante7

19.7 Il est intéressant de recalculer les quatre indices présentés au tableau 19.4 en utilisant le principe du chaînage plutôt que celui de la base fixe. On s’attend à ce que l’écart entre les indices de Paasche et de Laspeyres se réduise quand on a recours au chaînage. La liste de ces indices-chaînes est donnée au tableau 19.5.

Tableau 19.5Indices-chaînes de Laspeyres, Paasche, Carli et Jevons
Periode tPLPPPCPJ
11,00001,00001,00001,0000
21,42001,38231,40001,2419
31,36461,27401,16640,9563
41,33511,20600,92360,7256
51,33061,12340,94460,6325

19.8 La comparaison des tableaux 19.4 et 19.5 montre que le chaînage supprime près des deux tiers de l’écart entre les indices de Paasche et de Laspeyres. Cela dit, même les indices-chaînes de Paasche et de Laspeyres diffèrent d’environ 18 % dans la période 5, de sorte que le choix de la formule d’indice reste important. Notons que le chaînage n’influe pas sur l’indice de Jevons. C’est un avantage de cet indice, mais l’absence de pondération qui le caractérise est rédhibitoire8. Si l’on utilise l’approche économique de la théorie des indices, on s’attend à ce que la «vérité» se situe entre les indices de Paasche et de Laspeyres. Le tableau 19.5 montre que l’indice de Jevons non pondéré se situe très en dessous de la fourchette acceptable. On notera aussi que le chaînage n’influe pas de façon systématique sur l’indice de Carli pour l’ensemble de données artificielles: aux périodes 3 et 4, l’indice-chaîne de Carli est supérieur à l’indice de Carli à base fixe correspondant; mais à la période 5, l’indice-chaîne de Carli est inférieur à l’indice de Carli à base fixe9.

Indices de prix à pondérations asymétriques

19.9 Dans cette section, nous comparons de façon systématique tous les indices de prix à pondérations asymétriques (à l’exception de celui de Lloyd–Moulton, qui sera examiné plus loin). Les indices à base fixe sont présentés au tableau 19.6. Les indices de Laspeyres et de Paasche à base fixe, PL et PP, sont les mêmes que les indices présentés au tableau 19.4. L’indice de Palgrave, PPAL, est défini par l’équation (16.55). Les indices PGL et PGP sont les indices de Laspeyres et de Paasche géométriques10, qui sont des cas particuliers de la classe des indices géométriques définis par Konüs et Byushgens (1926); voir l’équation (15.78). Pour l’indice de Laspeyres géométrique, PGL, la pondération en exposant αi applicable au ième rapport de prix est si1, où si1 représente la part de dépenses consacrée au produit i dans la période de référence. L’indice qui en résulte devrait être considéré comme une alternative à l’indice de Laspeyres à base fixe, car ils utilisent tous deux le même ensemble d’informations. Pour l’indice de Paasche géométrique, PGP, la pondération en exposant applicable au ième rapport de prix est sit, où sit représente les parts de dépenses dans la période en cours. Enfin, l’indice PHL est l’indice de Laspeyres harmonique défini par l’équation (16.59).

Tableau 19.6Indices à base fixe et pondérations asymétriques
Periode tPPALPLPGPPGLPPPHL
11,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,60961,42001,48461,33001,38241,2542
31,41611,34501,32681,25231,20311,1346
41,53171,35501,32821,13311,02090,8732
51,67201,44001,41531,09990,79680,5556

19.10 L’examen des données du tableau 19.6 pour la période 5 montre que l’écart entre tous ces indices à base fixe et pondérations asymétriques s’est creusé au point de dépasser même l’écart de 81 % enregistré précédemment entre les indices de Paasche et de Laspeyres à base fixe. Au tableau 19.6, l’indice de Palgrave pour la période 5 est environ trois fois plus élevé que l’indice de Laspeyres harmonique pour la période 5, PHL. Là encore, cela corrobore la thèse selon laquelle le choix de la formule d’indice est très important car la croissance des prix et des quantités n’est pas proportionnelle dans la plupart des économies contemporaines.

19.11 On peut expliquer pourquoi certains des indices présentés au tableau 19.6 sont plus élevés que d’autres. Il est possible de démontrer qu’une moyenne arithmétique pondérée de n nombres est supérieure ou égale à la moyenne géométrique pondérée correspondante de ces n nombres, qui est, quant à elle, supérieure ou égale à la moyenne harmonique pondérée correspondante de ces n nombres11. On voit que les trois indices PPAL, PGP et PP utilisent tous les parts de dépenses de la période en cours sit pour pondérer les rapports de prix (pit/pi1), mais que PPAL est la moyenne arithmétique pondérée de ces rapports de prix, tandis que PGP est leur moyenne géométrique pondérée et PP leur moyenne harmonique pondérée. Si l’on applique l’inégalité de Schlömilch, on doit donc observer que12:

19.12 Le tableau 19.6 montre que les inégalités de (19.1) se vérifient pour chaque période. On peut aussi vérifier que les trois indices PL, PGL et PHL utilisent tous les parts de dépenses de la période de référence si1 pour pondérer les rapports de prix (pit/pi1), mais que PL est la moyenne arithmétique pondérée de ces rapports de prix, PGL leur moyenne géométrique pondérée et PHL leur moyenne harmonique pondérée. Si l’on applique l’inégalité de Schlömilch, on doit donc observer que13:

Le tableau 19.6 montre que les inégalités de (19.2) restent valables pour chaque période.

19.13 Tous les indices de prix à pondérations asymétriques sont comparés en utilisant le principe du chaînage et présentés au tableau 19.7.

Tableau 19.7Indices à pondérations asymétriques utilisant le principe du chaînage
Période tPPALPLPGPPGLPPPHL
11,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,60961,42001,48461,33001,38241,2542
31,69271,36461,48491,15781,27400,9444
41,69931,33511,45311,09681,20600,8586
51,78931,33061,45561,02661,12340,7299

19.14 Le tableau 19.7 montre que, même si le recours au chaînage réduit de façon spectaculaire l’écart entre les indices de Paasche et de Laspeyres, PP et PL, par comparaison à ce que l’on observe pour les indices à base fixe correspondants du tableau 19.6, l’écart entre l’indice à pondérations asymétriques le plus élevé et l’indice à pondérations asymétriques le moins élevé dans la période 5 (à savoir, l’indice de Palgrave, PPAL, et l’indice de Laspeyres harmonique, PHL) ne diminue pas autant: l’écart est de 1,6720/0,5556 = 3,01 pour les indices à base fixe, contre 1,7893/0,7299 = 2,45 pour les indices-chaînes. Dans ce cas particulier, donc, le recours au principe du chaînage et l’utilisation concomitante d’une formule d’indice qui utilise les pondérations d’une seule des deux périodes comparées n’entraînent pas un resserrement significatif des énormes différences que ces formules engendrent quand on utilise le principe de la base fixe. Dans le cas des formules de Paasche et de Laspeyres, toutefois, le chaînage réduit très sensiblement l’écart entre ces deux indices.

19.15 Y a-t-il une explication aux résultats recensés au paragraphe précédent? Il est possible de montrer que les six indices que l’on retrouve dans les inégalités (19.1) et (19.2) ont au premier ordre la même approximation, autour du point d’égalité des prix et d’égalité des quantités. Si les données affichent une tendance régulière, on peut donc s’attendre à ce que les indices-chaînes affichent des valeurs plus proches les unes des autres que ne le font les indices à base fixe, car les variations des prix et des quantités des différents produits sont plus faibles quand on utilise le chaînage. C’est bien ce que l’on observe avec les indices de Paasche et de Laspeyres, mais pas dans les autres cas. Pour certains des produits compris dans l’ensemble de données, cependant, les prix et des quantités n’affichent pas de tendances régulières. Les prix des deux premières classes (produits agricoles et pétroliers), en particulier, accusent d’amples fluctuations dans les deux sens. Comme l’observe Szulc (1983), cela tend à expliquer que les indices-chaînes affichent une plus forte dispersion que leurs contreparties à base fixe. Afin de déterminer si c’est ce problème de volatilité des prix qui conduit certains des indices-chaînes du tableau 19.7 à diverger de leurs contreparties à base fixe, tous les indices des tableaux 19.6 et 19.7 ont été calculés à nouveau, mais en excluant cette fois les produits 1 et 2. Les résultats obtenus en faisant abstraction de ces deux produits sont récapitulés aux tableaux 19.8 et 19.9.

Tableau 19.8Indices à base fixe et pondérations asymétriques pour les produits 3–6
Période tPPALPLPGPPGLPPPHL
11,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,28771,25001,26211,21691,22821,1754
31,48241,43131,38791,32481,24341,1741
41,61431,53121,42041,31101,08110,9754
51,75081,55001,47421,12640,77830,5000
Tableau 19.9Indices-chaînes à pondérations asymétriques pour les produits 3–6
Période tPPALPLPGPPGLPPPHL
11,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,28771,25001,26211,21691,22821,1754
31,45271,41881,40291,36341,34011,2953
41,50361,46401,42491,37991,32761,2782
51,47291,38171,34771,23371,17941,0440

19.16 Il apparaît que l’exclusion des produits dont les prix fluctuent fortement n’a pas pour effet de resserrer l’écart entre les indices-chaînes et leurs contreparties à base fixe. Nous en concluons que, si les données sur les prix et les quantités affichent une tendance assez bien établie dans le temps, le choix des indices-chaînes réduira très sensiblement la dispersion des indices à pondérations asymétriques. Dans la section suivante, nous calculons des formules d’indice qui utilisent les pondérations des deux périodes de manière symétrique ou égale.

Indices à pondérations symétriques: indices superlatifs et autres

19.17 Les indices à pondérations symétriques peuvent se décomposer en deux classes: les indices superlatifs et les autres indices à pondérations symétriques. Les indices superlatifs ont un lien étroit avec la théorie économique. Comme nous l’avons vu aux paragraphes 17.27 à 17.49 du chapitre 17, l’indice superlatif est exact quand il provient d’une fonction de préférence des consommateurs, ou de la fonction de coût duale, fournissant une approximation de second ordre des préférences (homothétiques) arbitraires. Quatre indices superlatifs importants ont été analysés aux chapitres précédents:

  • l’indice de prix idéal de Fisher, PF, défini par l’équation (15.12);

  • l’indice de prix de Walsh, PW, défini par l’équation (15.19) (cet indice des prix correspond aussi à l’indice des quantités Q1, défini par l’équation (17.33) du chapitre 17);

  • l’indice de prix de Törnqvist–Theil, PT, défini par l’équation (15.81);

  • l’indice de prix implicite de Walsh, PIW, qui correspond à l’indice de quantités de Walsh, QW, défini au chapitre (c’est aussi l’indice P1 défini par l’équation (17.38)).

19.18 Ces quatre indices de prix superlatifs à pondérations symétriques sont présentés au tableau 19.10 sous forme d’indice à base fixe. Deux indices des prix à pondérations symétriques (qui ne sont pas superlatifs)14 figurent également dans ce tableau 19.10, à savoir:

Tableau 19.10Indices à base fixe et pondérations symétriques
Période tPTPIWPWPFPDPME
11,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,40521,40151,40171,40111,40121,4010
31,28901,28541,28501,27211,27411,2656
41,22681,21741,21931,17621,18801,1438
51,24771,22061,18501,07121,11840,9801
  • l’indice de prix de Marshall Edgeworth, PME, défini par l’équation (15.18);

  • l’indice de prix de Drobisch, PD, défini par l’équation (15.12).

19.19 Notons que l’indice de Drobisch, PD, est toujours supérieur ou égal à l’indice de Fisher correspondant, PF. Cela tient au fait que l’indice de Fisher est la moyenne géométrique des indices de Paasche et de Laspeyres, alors que l’indice de Drobisch correspond à leur moyenne arithmétique, et qu’une moyenne arithmétique est toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique correspondante. Si l’on compare les indices à base fixe et pondérations asymétriques du tableau 19.6 aux indices à pondérations symétriques du tableau 19.10, il apparaît que l’écart entre l’indice le plus faible et l’indice le plus élevé dans la période 5 est bien moins important dans le cas des indices à pondérations symétriques. En effet, il est de 1,6720/0,5556 = 3,01 pour les indices à pondérations asymétriques, mais de 1,2477/0,9801 = 1,27 seulement pour les indices à pondérations symétriques. Si les comparaisons sont limitées aux indices superlatifs retenus pour la période 5 au tableau 19.10, l’écart se réduit encore pour s’établir à 1,2477/1,0712 = 1,16; autrement dit, l’écart entre les indices superlatifs à base fixe n’est «que» de 16 %, contre 81 % (1,4400/0,7968 = 1,81) entre les indices de Paasche et de Laspeyres à base fixe. L’écart entre les indices superlatifs devrait se réduire encore quand on utilise le principe du chaînage.

19.20 Calculons maintenant les indices à pondérations symétriques en utilisant le principe du chaînage. Les résultats obtenus sont présentés au tableau 19.11.

Tableau 19.11Indices à pondérations symétriques calculés en utilisant le chaînage
Période tPTPIWPWPFPDPME
11,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,40521,40151,40171,40111,40121,4010
31,31121,32031,32071,31851,31931,3165
41,26241,27231,27311,26891,27061,2651
51,22241,23331,23041,22261,22701,2155

19.21 Un rapide coup d’œil au tableau 19.11 montre que l’utilisation conjuguée du chaînage et des pondérations symétriques entraîne une réduction spectaculaire de l’écart entre tous les indices bâtis en utilisant ces deux principes. L’écart entre tous les indices à pondérations symétriques dans la période 5 n’est que de 1,2333/1,2155 = 1,015 ou 1,5 %, et l’écart entre les quatre indices superlatifs dans la période 5 est encore plus faible, puisqu’il s’établit à 1,2333/1,2224 = 1,009, soit environ 0,1 %. L’écart observé dans la période 5 entre les deux indices superlatifs les plus communément utilisés—l’indice de Fisher, PF, et celui de Törnqvist, PT—est véritablement minuscule: 1,2226/1,2224 = 0,00021515.

19.22 Les résultats récapitulés au tableau 19.11 corroborent les résultats numériques présentés par Hill (2000) et Diewert (1978, p. 894); les indices superlatifs les plus communément utilisés donneront en général des résultats numériques à peu près identiques16. En particulier, les indices-chaînes de Fisher, Törnqvist et Walsh donneront en général des résultats très proches les uns des autres.

Indices superlatifs construits par agrégation en deux étapes

19.23 Notre attention se porte maintenant à faire les différences entre les indices superlatifs et leurs contreparties construites par agrégation en deux étapes; pour une analyse des questions soulevées et une liste des formules employées, voir paragraphes 17.55 à 17.60 du chapitre 17. En utilisant l’ensemble de données artificielles, nous combinons les quatre premières classes de produits en un agrégat de biens et les deux dernières en un agrégat de services. Dans la seconde étape de l’agrégation, les composantes de biens et de services sont agrégées en un indice d’ensemble.

19.24 Les résultats de l’agrégation en deux étapes utilisant la période 1 comme base fixe pour l’indice de Fisher, PF, pour l’indice de Törnqvist, PT, ainsi que pour l’indice de Walsh et l’indice implicite de Walsh, PW et PIW, sont récapitulés au tableau 19.12.

Tableau 19.12Indices superlatifs à base fixe établis en une et deux étapes
Période tPFPF2SPTPT2SPWPW2SPIWPIW2S
11,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,40111,40041,40521,40521,40171,40151,40151,4022
31,27211,27891,28901,28721,28501,28681,28541,2862
41,17621,20191,22681,22431,21931,22531,21741,2209
51,07121,12861,24771,24411,18501,20751,22061,2240

19.25 Le tableau 19.12 montre que les indices superlatifs à base fixe établis en une seule étape donnent en général des résultats assez proches de ceux de leurs contreparties à base fixe établis en deux étapes, sauf avec la formule de Fisher. La divergence entre l’indice de Fisher établi en une étape, PF, et sa contrepartie établie en deux étapes, PF2S, dans la période 5 est de 1,1286/1,0712 = 1,05 ou 5 %. Les autres divergences sont inférieures ou égales à 2 %.

19.26 Les résultats de l’agrégation en deux étapes obtenus en utilisant les indices-chaînes sont présentés au tableau 19.13. Là encore, nous présentons les indices établis en une étape et leurs contreparties établies en deux étapes pour l’indice de Fisher, PF, pour l’indice de Törnqvist, PT, ainsi que pour l’indice de Walsh et l’indice implicite de Walsh, PW et PIW.

Tableau 19.13Indices-chaînes superlatifs établis en une et deux étapes
Période tPFPF2SPTPT2SPWPW2SPIWPIW2S
11,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,40111,40041,40521,40521,40171,40151,40151,4022
31,31851,32001,31121,31681,32071,32021,32031,3201
41,26891,27161,26241,26831,27311,27281,27231,2720
51,22261,22671,22241,23001,23041,23131,23331,2330

19.27 Le tableau 19.13 montre que les indices-chaînes superlatifs établis en une seule étape donnent en général des résultats très proches de ceux de leurs contreparties à base fixe établies en deux étapes. L’écart entre l’indice-chaîne de Törnqvist établi en une seule étape, PT, et sa contrepartie en deux étapes, PT2S, dans la période 5 est de 1,2300/1,2224 = 1,006 ou 0,6 %. Les autres écarts sont tous inférieurs à celui-ci. Étant donné la forte dispersion des variations d’une période sur l’autre, ces erreurs associées à l’agrégation en deux étapes ne sont pas considérables.

Indices de prix de Lloyd–Moulton

19.28 La formule que nous illustrerons maintenant à l’aide de l’ensemble de données artificielles est l’indice de Lloyd (1975) et Moulton (1996), PLM, défini par l’équation (17.71). Rappelons que cette formule suppose que l’on estime le paramètre σ, c’est-à-dire l’élasticité de substitution entre tous les produits agrégés. Rappelons aussi que, si σ est égal à 0, l’indice de Lloyd–Moulton se réduit à l’indice de Laspeyres ordinaire, PL. Lorsque σ est égal à 1, l’indice de Lloyd–Moulton n’est pas défini, mais on peut démontrer que, lorsque σ approche de 1, la limite de PLMσ est PGL, indice de Laspeyres géométrique ou indice de Laspeyres logarithmique ayant pour pondérations les parts de dépenses dans la période de référence. Cet indice utilise les mêmes informations de base que l’indice de Laspeyres à base fixe, PL, dont il constitue une alternative possible pour les statisticiens chargés d’établir l’IPC. Ainsi que l’ont démontré Shapiro et Wilcox (1997a)17, l’indice de Lloyd–Moulton peut être utilisé pour donner une approximation de l’indice superlatif utilisant les mêmes informations que celles qui servent à construire un indice de Laspeyres à base fixe, à condition de disposer d’une estimation du paramètre π. Cette méthodologie sera testée à l’aide de l’ensemble de données artificielles. L’indice superlatif dont on cherche à donner une approximation est l’indice-chaîne de Fisher18 (qui donne lui-même une approximation très précise des autres indices-chaînes superlatifs présentés au tableau 19.11). L’indice-chaîne de Fisher, PF figure à la colonne 2 du tableau 19.14, avec les indices de Lloyd–Moulton à base fixe, PLMσ pour σ égal à 0 (ce qui le ramène à l’indice de Laspeyres à base fixe, PL), 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 et 1 (qui est l’indice géométrique à base fixe, PGL). On notera que les indices de Lloyd–Moulton diminuent régulièrement à mesure que l’élasticité de substitution σ s’accroît19.

Tableau 19.14Indices-chaînes de Fisher et indices à base fixe de Lloyd–Moulton
Période tPFPLMOPLMO,2PLMO,3PLMO,4PLMO,2PLM0,6PLM0,7PLM0,8PLM1
11,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,40111,42001,40051,39101,38181,37271,36381,35511,34661,3300
31,31851,34501,32871,32011,31131,30211,29271,28311,27311,2523
41,26891,35501,31721,29701,27591,25401,23121,20771,18351,1331
51,22261,44001,39401,36781,33891,30731,27261,23461,19321,0999

19.29 Le tableau 19.14 montre qu’il n’est pas possible de choisir une élasticité de substitution σ unique, telle que l’indice de prix de Lloyd–Moulton PLMσ soit très proche de l’indice-chaîne de Fisher PF pour les périodes 2, 3, 4 et 5. Pour obtenir une approximation de PF dans la période 2, il faut choisir une valeur de σ proche de 0,1; pour obtenir une approximation de PF dans la période 3, il faut choisir une valeur de σ proche de 0,3; pour obtenir une approximation de PF dans la période 4, il faut choisir une valeur de σ comprise entre 0,4 et 0,5; et pour obtenir une approximation de PF dans la période 5, il faut choisir une valeur de σ comprise entre 0,7 et 0,820.

19.30 Nous refaisons le calcul des indices de Lloyd–Moulton présentés au tableau 19.14, en utilisant cette fois le principe de chaînage pour leur construction; voir tableau 19.15. Une fois encore, l’objectif est d’obtenir une approximation de l’indice-chaîne de prix de Fisher, PF, qui figure à la seconde colonne du tableau 19.15. Dans ce tableau, PLM0 est l’indice-chaîne de Laspeyres et PLM1 est l’indice-chaîne Laspeyres géométrique ou l’indice géométrique utilisant comme pondérations les parts de dépenses de la période précédente.

Tableau 19.15Indices-chaînes de Fisher et de Lloyd–Moulton
Période tPFPLM0PLM0.2PLM0.3PLM0.4PLM0.5PLM0.6PLM0.7PLM0.8PLM1
11,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,40111,42001,40051,39101,38181,37271,36381,35511,34661,3300
31,31851,36461,32421,30391,28341,26281,24211,22121,20021,1578
41,26891,33511,28821,26461,24091,21711,19321,16921,14521,0968
51,22261,33061,27021,24001,20971,17931,14881,11831,08781,0266

19.31 Le tableau 19.15 montre à nouveau qu’il n’est pas possible de choisir une élasticité de substitution σ unique, telle que l’indice de prix de Lloyd–Moulton PLMσ soit très proche de l’indice-chaîne de Fisher PF pour toutes les périodes. Pour obtenir une approximation de PF dans la période 2, il faut choisir une valeur de σ proche de 0,1; pour obtenir une approximation de PF dans la période 3, il faut choisir une valeur de σ proche de 0,2; pour obtenir une approximation de PF dans la période 4, il faut choisir une valeur de σ comprise entre 0,2 et 0,3; et pour obtenir une approximation de PF dans la période 5, il faut choisir une valeur de σ comprise entre 0,3 et 0,4. On notera cependant que, si l’on choisit une valeur de σ égale à 0,3 et si l’on utilise l’indice-chaîne de Lloyd–Moulton qui en résulte, PLM.3 comme approximation de l’indice-chaîne de Fisher, PF, on obtiendra alors une approximation de PF bien meilleure que celle fournie par l’indice-chaîne de Laspeyres (voir PLM0 à la troisième colonne du tableau 19.15) ou l’indice de Laspeyres à base fixe (voir PLM0 à la troisième colonne du tableau 19.14)21. Les tableaux ci-dessus permettent de tirer provisoirement les conclusions suivantes quant à l’utilisation de l’indice de Lloyd–Moulton comme approximation des indices superlatifs:

  • le paramètre d’élasticité de substitution σ utilisé dans la formule de Lloyd–Moulton ne restera sans doute pas constant dans le temps, et les offices de statistique devront par conséquent mettre à jour leurs estimations de σ à intervalles réguliers;

  • l’utilisation de l’indice de Lloyd–Moulton comme estimateur préliminaire en temps réel d’un indicechaîne superlatif semble justifiée, à condition que l’office de statistique soit en mesure de donner, moyennant un certain délai, des estimations des indices-chaînes superlatifs. L’indice de Lloyd–Moulton serait un complément utile à l’indice de prix de Laspeyres à base fixe traditionnel.

Décompositions additives de la variation en pourcentage de l’indice idéal de Fisher

19.32 Les formules que nous illustrerons maintenant à l’aide de l’ensemble de données artificielles se rapportent aux décompositions additives de la variation en pourcentage de l’indice idéal de Fisher, examinées aux paragraphes 16.62 à 16.73 du chapitre 1622. Les différents chaînons de l’indice de prix de Fisher seront dans un premier temps décomposés en éléments additifs en utilisant les formules (16.38) à (16.40). Les résultats de la décomposition seront présentés au tableau 19.16. Nous obtenons donc PF – 1, variation en pourcentage du chaînon de l’indice idéal de Fisher allant de la période t–1 à la période t, et le facteur de décomposition vFiΔpi=vFi(pitpit1)) est la contribution à la variation totale en pourcentage de la variation du ième prix de pit1 à pit pour i = 1,2,…,6.

Tableau 19.16Décomposition additive de la variation en pourcentage de l’indice de Fisher par Diewert
Période tPF–1VF1Δp1VF2Δp2VF3Δp3VF4Δp4VF5Δp5VF6Δp6
20,40110,01760,18770,0580−0,03510,1840−0,0111
3−0,0589−0,0118−0,13150,0246−0,02740,0963−0,0092
4−0,0376−0,0131−0,03450,0111−0,05230,0635−0,0123
5−0,03650,01120,03160,0000−0,09150,0316−0,0194

19.33 Le tableau 19.16 montre que l’indice des prix allant de la période 1 à la période 2 a augmenté d’environ 40 %, et que les principales contributions à cette variation sont venues de la hausse des prix des classes de produits 2, c’est-à-dire des produits énergétiques (18,77 %), et 5, c’est-à-dire des services traditionnels (18,4 %). La hausse du prix des produits manufacturés traditionnels (classe de produits 3) a contribué pour 5,8 % à la hausse globale de 40,11 %. Les baisses des prix des produits de haute technologie (classe de produits 4) et des services de haute technologie (classe de produits 6) ont compensé les autres hausses de –3,51 % et –1,11 % entre les périodes 1 et 2. De la période 2 à la période 3, la variation globale des prix a été négative: –5,89 %. Le lecteur peut se reporter à la ligne 3 du tableau 19.16 pour voir quelle a été la contribution de chacun des six prix à la variation globale observée. Il est manifeste qu’une forte variation du prix d’un poste donné i, conjuguée à une part de dépenses importante dans les deux périodes considérées, se traduira par un facteur de décomposition vFi élevé.

19.34 La série de calculs que nous illustrerons maintenant à l’aide de l’ensemble de données artificielles correspond à la décomposition additive de la variation en pourcentage de l’indice idéal de Fisher par Van Ijzeren (1987, p. 6), déjà citée dans la note 43 du chapitre 1623. La contrepartie, pour les prix, de la décomposition additive d’un indice des quantités est:

où les quantités de référence doivent dans tous les cas être définies. Van Ijzeren (1987, p. 6) montre que les pondérations de référence suivantes donnent une représentation additive exacte pour l’indice de prix idéal de Fisher:

QF et l’indice de quantités de Fisher global. En utilisant les pondérations en quantités de Van Ijzeren, qFi*, on obtient donc la décomposition additive de la variation en pourcentage de l’indice de prix de Fisher proposée par Van Ijzeren:

où la pondération du produit i selon Van Ijzeren, qFi*,, est définie comme suit:

19.35 Les chaînons de l’indice de prix de Fisher sont décomposés entre les différentes variations de prix y afférentes à l’aide des formules (19.4) à (19.6) énumérées ci-dessus. Les résultats de cette décomposition sont présentés au tableau 19.17. Nous obtenons donc PF – 1, variation en pourcentage du chaînon de l’indice idéal de Fisher allant de la période t – 1 à la période t, et le facteur de décomposition selon Van Ijzeren, vFi*Δpi est la contribution que la variation du ième prix entre pit1 et pit, pour i = 1,2,…,6, apporte à la variation totale en pourcentage.

Tableau 19.17Décomposition de l’indice de Fisher par Van Ijzeren
Période tPF –1V*F1Δp1V*F2Δp2V*F3Δp3V*F4Δp4V*F5Δp5V*F6Δp6
20,40110,01780,18820,0579−0,03410,1822−0,0109
3−0,0589−0,0117−0,13020,0243−0,02740,0952−0,0091
4−0,0376−0,0130−0,03420,0110−0,05210,0629−0,0123
5−0,03650,01100,03100,0000−0,09040,0311−0,0191

19.36 La comparaison des données présentées dans les tableaux 19.16 et 19.17 montre que les différences entre les décompositions de l’indice de prix de Fisher par Diewert et Van Ijzeren sont très faibles. L’écart absolu maximal entre les vFiΔpi et les v*FiΔpi est de 0,0018 (environ 0,2 point de pourcentage) seulement et l’écart absolu moyen est de 0,0003. Cela peut surprendre, vu la nature très différente des deux décompositions24. Comme nous l’avons indiqué dans la note 43 du paragraphe 16.70 du chapitre 16, le Bureau of Economic Analysis des États-Unis utilise la décomposition de l’indice-chaîne de quantités de Fisher proposée par Van Ijzeren25.

Indices de Lowe et de Young

19.37 Souvenons-nous que l’indice de Lowe a été défini par l’équation (15.15) au chapitre 15. Si nous souhaitons comparer les prix de la période t à ceux de la période 0, la formule de l’indice de Lowe est donnée par l’équation suivante:

qb=[q1b,q2b,,q6b] est le vecteur des quantités se rapportant à une période de référence b qui est antérieure à la période 0, période de référence pour les prix. Cet indice sera calculé pour les périodes t prenant les valeurs 3 à 5 pour l’ensemble de données artificielles, en posant que la période de référence des quantités b est la période 1 et la période de référence des prix 0 est la période 3; voir la colonne PLo du tableau 19.18.

Tableau 19.18Indices de Lowe et de Young, indices de Laspeyres, Paasche et Fisher à base fixe et indices-chaînes de Laspeyres, Paasche et Fisher
Période tPLOPYPLPPPFPLCHPPCHPFCH
31,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
41,00740,93960,97840,94660,96240,97840,94660,9624
51,07060,97941,01050,84570,92440,97510,88180,9273

19.38 Pour permettre les comparaisons, les indices de Laspeyres, Paasche et Fisher à base fixe sont aussi calculés pour les périodes 3, 4 et 5, la période 3 étant considérée comme la période de référence; voir les colonnes PL, PP et PF respectivement. Les indiceschaînes de Laspeyres, Paasche et Fisher sont aussi calculés pour les périodes 3, 4 et 5, et reportés au tableau 19.18; voir les colonnes PLCH, PPCH et PFCH, respectivement. Le tableau 19.18 montre que l’indice de Lowe est supérieur aux six autres indices retenus pour ces comparaisons aux périodes 4 et 5. En particulier, l’indice de Lowe PLo est supérieur à l’indice de Laspeyres à base fixe PL pour les périodes 4 et 5, ce qui est conforme à l’inégalité (15.37) énoncée au chapitre 15, où l’on soutient que l’indice de Lowe dépasserait l’indice de Laspeyres si les prix affichaient des tendances à long terme. Comparé aux indices cibles préférés que sont les indices idéaux de Fisher en chaîne ou à base fixe, PF ou PFCH, l’indice de Lowe est entaché d’un biais positif considérable pour cet ensemble de données artificielles présentant des tendances établies.

19.39 Rappelons, par commodité, la définition de l’indice de Young selon l’équation (15.48) du chapitre 15:

Les parts de dépenses consacrées aux différents produits dans la période de référence correspondent aux sib de l’équation (19.8), et la période de référence des prix est la période 0. Cet indice de Young sera calculé pour les périodes t allant de 3 à 5 pour l’ensemble des données artificielles en posant que la période de référence des quantités b est la période 1 et que la période de référence des prix 0 est la période 3; voir la colonne PY du tableau 19.18.

19.40 Pour les périodes 4 et 5, l’indice de Young se situe au-dessous des valeurs correspondantes de l’indice de Laspeyres à base fixe26. Pour la période 4, l’indice de Young est égal à 0,9396, ce qui est inférieur à la valeur correspondante de l’indice de Fisher, qui s’établit à 0,9624. Pour la période 5, cependant, l’indice de Young est de 0,9794, ce qui est supérieur aux valeurs correspondantes des deux indices cibles de Fisher, qui s’établissent à 0,9244 pour l’indice à base fixe et 0,9273 pour l’indice-chaîne. On peut donc dire que, comparé aux indices cibles préférés, l’indice de Young est entaché d’un biais important pour l’ensemble de données artificielles, même si ce biais ne joue pas toujours dans un sens donné.

Indices d’année intermédiaire fondés sur la formule de Lowe

19.41 Reprenons la formule de l’indice de Lowe (19.7). Dans la plupart des cas où les offices de statistique appliquent cette formule, le vecteur des quantités q se rapporte à une période antérieure à la période de référence des prix, qui est la période 1 dans l’ensemble de données artificielles. Toutefois, on peut aussi utiliser cette formule en prenant une période du vecteur des quantités intermédiaire, au milieu de celles des prix. Ainsi, le vecteur de référence des quantités q pourrait être une moyenne des vecteurs des quantités se rapportant aux périodes 1 à 5. C’est cette utilisation possible de la formule que nous examinerons dans la présente section. Dans la formule (19.7), le premier indice de Lowe, PLo1, donne donc à q une valeur égale à q1, vecteur des quantités pour la période 1 dans l’ensemble de données artificielles. Il apparaît que cet indice est identique à l’indice de Laspeyres à base fixe, PL, déjà présenté au tableau 19.4. De même, le second indice de Lowe, PLo2, donne à q une valeur égale à la moyenne des vecteurs des quantités pour les périodes 1 et 2, (1/2)(q1 + q2)27. Le troisième indice de Lowe, PLo3, donne à q une valeur égale à la moyenne des vecteurs des quantités pour les périodes 1 à 3, (1/3) (q1 + q2 + q3). Le quatrième indice de Lowe, PLo4, donne à q une valeur égale à la moyenne des vecteurs des quantités pour les périodes 1 à 4, (1/4)(q1 + q2 + q3 + q4). Enfin, le cinquième indice de Lowe, PLo5, donne à q une valeur égale à la moyenne des vecteurs des quantités pour les périodes 1 à 5, (1/5)(q1 + q2 + q3 + q4 + q5)28. Les cinq indices de Lowe qui en résultent sont présentés au tableau 19.19.

Tableau 19.19Les cinq indices de Lowe, l’indice d’année intermédiaire et les indices-chaînes de Törnqvist et de Fisher
Période tPLo1PLo2PLO3PLO4PLo5PMYPTPM
11,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,42001,40101,36411,30681,22671,30551,40521,4011
31,34501,33661,28511,21421,12341,20311,31121,3185
41,35501,34851,28241,19261,08011,17721,26241,2689
51,44001,42521,34441,23211,08681,21571,22241,2226

19.42 L’indice d’année intermédiaire PMY = PLo(p1, pt, q3) a été défini du paragraphe 15.49 au paragraphe 15.53 du chapitre 15. C’est un indice de type Lowe dont le vecteur des quantités q choisi comme vecteur «représentatif» est q3, vecteur des quantités se rapportant à la période médiane de la série considérée (à savoir, les périodes 1 à 5 dans notre exemple numérique). Il est présenté à la septième colonne du tableau 19.1929. L’indice d’année intermédiaire et les cinq indices de Lowe sont comparés aux deux «meilleurs» indices cibles, les indices-chaînes de Törnqvist et de Fisher, PT et PF, présentés dans les deux dernières colonnes du tableau 19.19.

19.43 Le tableau 19.19 montre qu’aucun des indices de type Lowe (pas plus que l’indice de période intermédiaire) n’est très proche des deux indices cibles (les indices-chaînes de Törnqvist et de Fisher) pour toutes les périodes30. Si l’on choisissait des ensembles de données moins extrêmes, toutefois, il serait tout à fait possible que le cinquième indice de Lowe et l’indice de période intermédiaire donnent des approximations satisfaisantes des indices cibles.

19.44 Si les données sur les prix affichent des tendances marquées auxquelles les consommateurs répondent par des effets de substitution normaux, il est peu probable que les indices de type Lowe—établis à partir des moyennes des données sur les quantités se rapportant aux deux premières périodes d’une longue série temporelle—pourront fournir une approximation satisfaisante d’un indice-chaîne superlatif. En général, ce type d’indice de type Lowe sera entaché d’un biais positif (comparé à un indice cible), comme le montre le tableau 19.19.

Indices de type Young

19.45 Reprenons l’indice de Young défini par l’équation (15.48) au chapitre 15 ou l’équation (19.8) ci-dessous. Si l’on souhaite comparer les prix de la période t à ceux de la période 1, la formule de l’indice de Young est donnée par l’équation (19.9):

où le vecteur des parts de dépenses sb=[s1b,,s6b] est «représentatif» sur l’ensemble de la série de périodes considérée. Dans la plupart des applications de la formule par les offices de statistique, le vecteur des parts de dépenses dans la période de référence sb est issu d’une période antérieure à la période de référence des prix, qui est la période 1 dans l’ensemble des données artificielles. Pour cet exemple, plutôt que d’ajouter de nouvelles données à l’ensemble des données artificielles que nous utilisons déjà, nous posons que le vecteur des parts de dépenses de référence sb est égal à la moyenne des vecteurs des parts de dépenses se rapportant aux périodes 1 à 5. Dans la formule (19.9), le premier indice de type Young, PY1, donne donc à sb une valeur égale à s1, vecteur des parts de dépenses pour la période 1 dans l’ensemble de données artificielles. Il apparaît que cet indice est identique à l’indice de Laspeyres à base fixe PL, présenté au tableau 19.4. De même, le second indice de type Young, PY2, donne à sb une valeur égale à la moyenne des vecteurs des parts de dépenses pour les périodes 1 et 2, (1/2)(s1 + s2). Le troisième indice de type Young, PY3, donne à sb une valeur égale à la moyenne des vecteurs des parts de dépenses pour les périodes 1 à 3, (1/3)(s1 + s2 + s3). Le quatrième indice de type Young, PY4, donne à sb une valeur égale à la moyenne des vecteurs des parts de dépenses pour les périodes 1 à 4, (1/4)(s1 + s2 + s3 + s4). Enfin, le cinquième indice de type Young, PY5, donne à sb une valeur égale à la moyenne des vecteurs des parts de dépenses pour les périodes 1 à 5, (1/5)(s1 + s2 + s3 + s4 + s5). Les cinq indices de type Young qui en résultent sont présentés au tableau 19.20. Ils sont comparés aux deux «meilleurs» indices cibles, les indices-chaînes de Törnqvist et de Fisher, PT et PF, présentés dans les deux dernières colonnes du tableau 19.20.

Tableau 19.20Les cinq indices de Young et les indices-chaînes de Törnqvist et de Fisher
Période tPY1PY2PY3PY4PY5PTPF
11,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
21,42001,51481,47551,44091,43551,40521,4011
31,34501,35671,37651,39431,41441,31121,3185
41,35501,35261,39171,42671,45841,26241,2689
51,44001,46321,49181,51731,54821,22241,2226

19.46 Le tableau 19.20 montre que tous les indices de type Young affichent un biais positif très important par rapport à ceux des indices-chaînes cibles de Törn-qvist et de Fisher, PT et PF. Si l’on compare le tableau 19.19 au tableau 19.20, il apparaît que le biais des indices de type Young s’aggrave à mesure que les parts de dépenses deviennent plus représentatives des cinq périodes, alors que le biais positif des indices de Lowe tend à diminuer à mesure que le vecteur des quantités de référence devient plus représentatif de toutes les périodes.

19.47 On notera que les indices de type Young PY2 à PY5 sont tous supérieurs à PY1, qui est l’indice de Laspeyres à base fixe ordinaire. Il convient toutefois de reconnaître qu’ils ne sont pas du même type que les indices établis par les offices de statistique, dans lesquels la période de référence des pondérations précède la période de référence des prix. Comme il est expliqué aux paragraphes 19.39 à 19.42, ce type d’indice de Young peut être, selon le cas, supérieur ou inférieur à l’indice de Laspeyres à base fixe correspondant.

19.48 Les résultats présentés dans cette section et dans celle qui la précède peuvent être résumés comme suit: s’il paraît utile d’essayer de déterminer, pour la formule de Lowe, les pondérations en quantités représentatives de l’ensemble de la période couverte par l’indice, cela ne semble pas être le cas pour la formule de Young.

L’expression «pondérations asymétriques» signifie que les pondérations en quantités ou en valeurs associées aux prix ne proviennent que d’une seule des deux périodes comparées.

L’expression de «pondérations symétriques» signifie que les pondérations en quantités ou en valeur associées aux prix sont intégrées dans la formule d’indice de façon symétrique ou égale.

On se souviendra qu’au chapitre 17, il est indiqué qu’il existe un indice de Lloyd–Moulton distinct pour chaque paramètre d’élasticité de substitution estimée σ inséré dans la formule.

Notons cependant que la part des dépenses consacrée aux produits agricoles affiche une tendance à la baisse dans le temps à mesure que l’économie se développe et que la tertiarisation progresse.

C’est un exemple du phénomène observé par Szulc (1983). Notons que les fluctuations des prix de l’énergie retenues dans cet ensemble de données ne sont pas si irréalistes: au cours des quatre dernières années, le prix du baril de pétrole brut a oscillé en effet entre 12 et 40 dollars.

Cela correspond à peu près à l’expérience enregistrée par la plupart des pays industrialisés de 1973 au milieu des années 90. Au total, donc, près de cinq années de fluctuations des prix sont ainsi comprimées dans une de nos périodes.

Selon le théorème des moyennes arithmétique et géométrique, voir Hardy, Littlewood, and Pólya (1934, p. 17).

Le problème, avec la moyenne géométrique à pondérations symétriques, c’est que les baisses des prix des biens et services de haute technologie reçoivent la même pondération que les variations de prix des quatre autres produits (qui affichent une tendance à la hausse ou stationnaire), alors que les parts de dépenses consacrées aux produits de haute technologie restent plutôt faibles tout au long des cinq périodes. Par conséquent, les indices des prix pondérés ne montrent pas la baisse globale des prix dont rend compte l’indice non pondéré de Jevons. Ces observations quelque peu négatives sur l’emploi de la moyenne géométrique non pondérée comme formule d’indice à des niveaux d’agrégation plus élevés n’empêchent pas son utilisation aux niveaux d’agrégation les plus bas, pour lesquels on peut avancer une justification axiomatique très solide en faveur de l’emploi de cette formule. Si l’on utilise l’échantillonnage aléatoire au niveau d’agrégation le plus bas, la moyenne géométrique non pondérée devient, fondamentalement, l’indice de Laspeyres logarithmique.

On peut s’attendre à ce que l’indice-chaîne de Carli soit supérieur à l’indice de Carli à base fixe pour de nombreux ensembles de données; voir Szulc (1983).

Vartia (1978, p. 272) utilise les expressions de Laspeyres logarithmique et Paasche logarithmique.

Cela découle de l’inégalité de Schlömilch (1858); voir Hardy, Littlewood, and Pólya (1934, p. 26).

Ces inégalités ont été observées par Fisher (1922, p. 92) et Vartia (1978, p. 278).

Ces inégalités ont aussi été observées par Fisher (1922, p. 92) et Vartia (1978, p. 278).

Diewert (1978, p. 897) montre que l’indice de prix de Drobisch Sidgwick Bowley donne une approximation de second ordre de tout indice superlatif autour du point d’égalité des prix et d’égalité des quantités; autrement dit, PSB est un indice pseudo-superlatif. Des calculs simples montrent que l’indice de Marshall Edgeworth, PME, est aussi pseudo-superlatif.

Dans les autres périodes, les différences étaient néanmoins considérables. En moyenne sur les quatre dernières périodes, les indices-chaînes de Fisher et de Törnqvist différaient de 0,0025 point de pourcentage.

Plus précisément, la moyenne quadratique superlative d’ordre r des indices de prix Pr définis par l’équation (17.35) et la moyenne quadratique implicite d’ordre r des indices de prix Pr* définis par l’équation (17.32) donneront en général une approximation étroite l’une de l’autre, à condition que r se situe dans l’intervalle 0 ≤ r ≤ 2.

Alterman, Diewert et Feenstra (1999) utilisent aussi cette méthodologie pour estimer des indices des prix superlatifs dans le contexte du commerce international.

Comme il existe encore une forte dispersion entre les indices superlatifs à base fixe et pour ainsi dire aucune dispersion entre les indices-chaînes superlatifs, c’est l’indice-chaîne de Fisher qui est pris comme indice cible, de préférence à tout autre indice superlatif à base fixe.

Cela découle là encore de l’inégalité de Schlömilch (1858).

Il apparaît malheureusement que, pour cet ensemble de données, ni l’indice de Laspeyres à base fixe, PL = PLM0, ni l’indice géométrique pondéré à base fixe, PGL = PLM1, ne sont très proches de l’indice-chaîne de Fisher pour toutes les périodes. Pour des ensembles de données moins extrêmes, l’indice de Laspeyres à base fixe et l’indice géométrique à base fixe seront plus proches de l’indice-chaîne de Fisher.

Pour cet ensemble de données particulier, les indices géométriques à base fixe ou en chaîne utilisant les pondérations en dépenses de la période 1 (voir la dernière colonne du tableau 19.14) ou les pondérations de la période précédente (voir la dernière colonne du tableau 19.15) ne donne pas une approximation très précise de l’indice-chaîne de Fisher. Pour des ensembles de données moins extrêmes, cependant, l’indice-chaîne de Laspeyres ou l’indice de Laspeyres géométrique pourraient donner une approximation satisfaisante d’un indice-chaîne superlatif.

Voir Diewert (2002a, p. 73).

Pour de plus amples informations sur cette décomposition, voir Reinsdorf, Diewert, and Ehemann (2002).

Reinsdorf, Diewert et Ehemann (2002) démontrent néanmoins que les termes des deux décompositions donnent une approximation de second ordre l’un de l’autre, autour de tout point où les deux vecteurs des prix sont égaux, de même que les deux vecteurs des quantités.

Il est indiqué, au chapitre 15, que l’indice de Young peut être supérieur ou inférieur à l’indice de Laspeyres à base fixe correspondant, selon la sensibilité des parts de dépenses aux variations des prix.

Il s’agit de l’indice de Lowe pour l’ensemble de données artificielles, qui sera probablement le plus comparable à l’indice de type Lowe établi à l’heure actuelle par les offices de statistique.

Il s’agit de l’indice de panier-type pluriannuel de Walsh (1901, p. 431), dans lequel le vecteur des quantités choisi est la moyenne arithmétique des vecteurs des quantités dans la période considérée.

On peut vérifier que, si les données sur les quantités affichent des tendances temporelles exactement linéaires, l’indice de période intermédiaire PMY sera exactement égal au cinquième indice de Lowe, PLo5.

Le quatrième indice de Lowe PLo4 et l’indice de période intermédiaire PMY semblent être les plus proches des indices cibles.

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