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18. Approche Économique de la Théorie Des Indices: Le cas des Ménages Multiples

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
November 2006
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Introduction

18.1 Dans le chapitre précédent consacré à l’approche économique des indices, nous avons implicitement émis l’hypothèse que l’économie se comportait comme s’il n’existait qu’un seul consommateur. Le présent chapitre élargit cette approche à une économie regroupant un grand nombre de ménages ou de régions. Dans les équations qui suivent, nous supposons qu’il existe un nombre de ménages arbitraire, par exemple H. En principe, chacun d’eux pourrait avoir son propre indice des prix à la consommation. Dans la pratique, toutefois, il est nécessaire de regrouper les ménages en différentes catégories. Pour pouvoir appliquer l’approche économique de la théorie des indices, il faut supposer que, dans chaque catégorie, le groupe de ménages visé se comporte comme un seul et unique ménage. On peut aussi donner une interprétation régionale à la division de l’économie en H catégories de ménages: chaque catégorie de ménages correspond alors à un groupe de ménages d’une région du pays étudié.

18.2 Les concepts d’indice ploutocratique et d’indice conditionnel sont présentés aux paragraphes 18.3 à 18.13. Si l’on applique le concept ploutocratique, chaque ménage de l’économie reçoit, dans l’indice national, une pondération proportionnelle aux dépenses qu’il consacre aux différents produits au cours des deux périodes considérées. Si l’on applique le concept conditionnel, l’indice dépend de variables d’environnement susceptibles d’influencer les dépenses des ménages consacrées à ces produits. Le climat est un exemple de variable d’environnement: s’il fait froid, les ménages dépenseront davantage en fuel domestique. Nous montrons ensuite, aux paragraphes 18.14 à 18.22, comment un indice de prix de Fisher national peut donner une valeur approximative de l’indice du coût de la vie ploutocratique. Enfin, aux paragraphes 18.23 à 18.35, nous présentons un autre cadre conceptuel applicable aux indices nationaux: l’indice démocratique. Celui-ci donne à chaque ménage de l’économie considérée une pondération égale dans l’indice national (contrairement à l’indice ploutocratique, dans lequel les ménages qui dépensent davantage reçoivent une pondération plus élevée dans l’indice national).

Indices du coût de la vie plouto-cratiques et limites observables

18.3 Dans la présente section, on considère une approche économique de l’indice des prix à la consommation (IPC) reposant sur l’indice du coût de la vie ploutocratique défini pour la première fois par Prais (1959). Ce concept a été affiné par Pollak (1980, p. 276; 1981, p. 328), qui définit son indice du coût de la vie de Scitovsky–Laspeyres comme le rapport des dépenses totales requises pour permettre à chaque ménage de l’économie considérée d’atteindre sa surface d’indifférence dans la période de référence (aux prix de la période 1) aux dépenses correspondantes requises pour atteindre le même niveau de vie en utilisant les prix de la période 0. Ce concept sera expliqué de manière plus détaillée au paragraphe suivant.

18.4 Supposons qu’il y ait dans l’économie H ménages (ou régions), ainsi que n produits que les ménages consomment aux périodes 0 et 1 et que nous souhaitons inclure dans notre définition du coût de la vie. Soit q = (q1,q2,…,qn), vecteur de dimension n de la consommation des produits dans une période donnée, et pht=(ph1t,ph2t,,phnt), pour t = 0,1, vecteur des prix du marché auxquels le ménage h est confronté dans la période t. Notons que l’on ne suppose pas que le même vecteur de prix des produits s’applique à chaque ménage. On pose en hypothèse que, outre les produits du marché qui figurent dans le vecteur q, chaque ménage est confronté à un vecteur de dimension M de variables d’environnement1 ou démographiques2 ou de biens publics, e = (e1,e2,…,eM). On suppose que, pendant les périodes 0 et 1, l’économie comprend H ménages (ou régions) et que les préférences d’un ménage h pour différentes combinaisons de produits du marché q et de variables d’environnement e peuvent être représentées par une fonction d’utilité continue fh(q, e) pour h = 1,2, …,H3. On suppose aussi que, pour les périodes t = 0,1 et pour les ménages h = 1,2,…,H, le vecteur de consommation du ménage h qui est observé, à savoir qht=(qh1t,,phnt), est une solution au problème suivant de minimisation des dépenses du ménage h:

eht est le vecteur d’environnement auquel le ménage h est confronté au cours de la période t, uht=fh(qht,eht) le niveau d’utilité atteint par le ménage h pendant la période t, et Ch la fonction de coût ou de dépenses duale de la fonction d’utilité fh4. Fondamentalement, ces hypothèses signifient que chaque ménage affiche des préférences stables en ce qui concerne la même liste de produits pendant les deux périodes considérées, que les mêmes ménages apparaissent dans chaque période et que chacun d’eux choisit sa structure de consommation de la manière la plus économique possible compte tenu du vecteur d’environnement auquel il est confronté durant chaque période. Notons à nouveau que les prix qui s’appliquent aux ménages (ou régions) sont en général différents selon ces ménages (ou régions).

18.5 Ces hypothèses étant posées, nous suivons l’exemple de Pollack (1980; 1981) et Diewert (1983a, p. 190)5. La catégorie des indices du coût de la vie ploutocratiques conditionnels, P*(p0,p1,u,e1,e2,…,eH) se rapportant aux périodes 0 et 1 pour le vecteur arbitraire des utilités des ménages u = (u1,u2,…,uH) et les vecteurs arbitraires des variables d’environnement des ménages eh pour h = 1,2,…,H, est définie comme suit:

Le numérateur du membre de droite de l’équation (18.2) est la somme, pour l’ensemble des ménages, des coûts minimums Ch(uh,eh,ph1)) permettant à chaque ménage h d’atteindre le niveau d’utilité arbitraire uh, sachant que tous les ménages sont confrontés au vecteur arbitraire des variables d’environnement eh du ménage h mais aussi au vecteur de prix de la période 1, ph1. Le dénominateur du membre de droite de l’équation (18.2) est la somme, pour l’ensemble des ménages, des coûts minimums Ch(uh,eh,Ph0) permettant à chaque ménage h d’atteindre le même niveau d’utilité arbitraire uh, sachant que tous les ménages sont confrontés au même vecteur arbitraire des variables d’environnement du ménage h, eh, mais aussi au vecteur des prix de la période 0 ph0. Seules les variables de prix sont donc différentes au numérateur et au dénominateur de l’équation (18.2), ce qui est précisément le but recherché dans une définition théorique de l’indice des prix à la consommation.

18.6 Nous spécifions maintenant la définition générale (18.2) en remplaçant le vecteur d’utilité général, u, par le vecteur des utilités des ménages de la période 0, u0=(u10,u20,,uH0) ou par celui de la période 1, u1=(u11,u21,,uH1). La définition générale est aussi spécifiée en remplaçant les vecteurs généraux d’environnement des ménages, (e1,e2,…,eH) = e, par le vecteur des variables d’environnement des ménages de la période 0, e0=(e10,e20,,eH0) ou par celui de la période 1, e1=(e11,e21,,eH1). Si l’on choisit le vecteur des niveaux d’utilité et les variables d’environnement de la période de référence, on obtient l’indice du coût de la vie de Laspeyres ploutocratique conditionnel, P*(p10,,pH0,p11,,pH1,u0,e0)6. Si l’on opte pour le vecteur des niveaux d’utilité et les variables d’environnement de la période 1, on obtient l’indice du coût de la vie de Paasche ploutocratique conditionnel, P*(p10,,pH0,p11,,pH1,u1,e1). Il apparaît que ces deux indices satisfont à quelques inégalités intéressantes, qui sont établies ci-après.

18.7 Si l’on utilise la définition (18.2), l’indice du coût de la vie de Laspeyres ploutocratique conditionnel, P*(p10,,pH0,p11,,pH1,u0,e0), peut être formulé comme suit:

puisque Ch(uh0,eh0,ph1)=min{ph1q tel que fh(q,eh0)uh0}p1qh0 et qh0 et qh0 est une solution possible du problème de minimisation du coût pour h = 1, 2, …,H

PPL est défini comme l’indice de prix de Laspeyres ploutocratique observable (en principe), Σh=1Hph1qh0/Σh=1Hph0qh0 qui utilise comme pondérations en quantités les différents vecteurs de quantités des ménages ou des régions pour la période 0, (q10,,qH0)7.

18.8 Si les prix sont égaux pour l’ensemble des ménages (ou régions), de sorte que

l’indice de prix de Laspeyres ploutocratique (ou désagrégé), PPL, est ramené à l’indice de Laspeyres agrégé ordinaire, PL; autrement dit, PPL devient:

où le vecteur de quantités total pour la période t est défini comme suit:

18.9 L’inégalité (18.3) établit que l’indice de prix de Laspeyres ploutocratique ou désagrégé observable (en principe), PPL, marque la limite supérieure de l’indice du coût de la vie de Laspeyres conditionnel plouto-cratique théorique, *(p10,,pH0,p11,,pH1,u0,e0). Le cas particulier de l’inégalité (18.3) correspondant à l’hypothèse d’égalité des prix (18.4)8 a d’abord été établi par Pollak (1989, p. 182) dans le cas d’un ménage unique confronté à des variables d’environnement, et par Pollak (1980, p. 276) dans le cas de ménages multiples dont les fonctions d’utilité et de coût ne prennent pas en compte les variables d’environnement.

18.10 De la même manière, si l’on spécifie la définition (18.2), l’indice du coût de la vie de Paasche ploutocratique conditionnel, P*(p10,,pH0,p11,,pH1,u1,e1) peut être formulé comme suit:

PPP est l’indice de prix de Paasche ploutocratique ou désagrégé (au niveau des ménages), qui utilise Σh=1Hph1qh1/Σh=1Hph0qh1 comme pondérations en quantités les différents vecteurs de quantités des ménages pour la période 1,(q11,,qH1).

18.11 Si les prix sont égaux pour l’ensemble des ménages (ou régions), de sorte que les hypothèses (18.4) demeurent valables, l’indice de prix de Paasche désagrégé, PPP, est ramené à l’indice de Paasche agrégé ordinaire, Pp; autrement dit, PPP devient:

18.12 Revenons à l’inégalité (18.7): on constate que l’indice de prix de Paasche ploutocratique (ou désagrégé) observable, PPP, marque la limite inférieure de l’indice du coût de la vie de Paasche conditionnel ploutocratique théorique, P*(p10,,pH0,p11,,pH1,u1,e1). Diewert (1983a, p. 191) a d’abord établi l’inégalité (18.7) dans le cas où les fonctions d’utilité et de coût des ménages ne prennent pas en compte les variables d’environnement et où les prix sont égaux pour tous les ménages. Diewert a établi ensuite le cas général (2001, p. 223).

18.13 On verra à la section suivante comment obtenir un indice du coût de la vie ploutocratique théorique assorti de limites inférieure et supérieure, plutôt que les indices théoriques figurant dans les inégalités (18.3) et (18.7), qui ne sont limités que d’un côté.

L’indice de prix de Fisher ploutocratique

18.14 Il est possible, en utilisant les inégalités (18.3) et (18.7) ainsi que les propriétés de continuité des indices du coût de la vie conditionnel ploutocratique P*(p10,,pH0,p11,,pH1,u,e) définis par l’équation (18.2), de modifier la méthode de preuve employée par Konüs (1924) et Diewert (1983a, p. 191) et d’établir le résultat suivant9:

Il existe un vecteur d’utilité de référence u*=(u1*,u2*,,uH*) tel que le niveau d’utilité de référence d’un ménage h, uh* se situe entre les niveaux d’utilité du ménage h pour les périodes 0 et uh0 et uh1 respectivement pour h = 1,…,H, et des vecteurs d’environnement des ménages eh*=(eh1*,eh2*,,ehM*) tels que la mième variable d’environnement ehm* de référence du ménage h se situe entre les niveaux où elle se situait aux périodes 0 et 1, soit ehm0 et ehm1 respectivement, pour m = 1,2,…,M et h = 1,…,H, et que l’indice du coût de la vie conditionnel ploutocratique P*(p10,pH0,p11,,pH1,u*,e*) évalué à ce vecteur d’utilité de référence intermédiaire u* et au vecteur de référence intermédiaire des variables d’environnement des ménages e*=(e1*,e2*,eH*) se situe entre les indices de prix de Laspeyres et de Paasche ploutocratiques observables (en principe), PPL et PPP, définis ci-dessus par les dernières égalités de (18.3) et (18.7).

18.15 Le résultat ci-dessus établit que l’indice des prix à la consommation conditionnel ploutocratique national théoriqueP*(p10,pH0,p11,,pH1,u*,e*) se situe entre l’indice de Laspeyres ploutocratique ou désagrégé, PPL, et l’indice de Paasche ploutocratique ou désagrégé, Ppp. Par conséquent, si PPL et PPP ne sont pas trop différents, il sera possible d’obtenir une bonne valeur approchée de l’indice des prix à la consommation ploutocratique national théorique en utilisant l’indice de Fisher ploutocratique ou désagrégé, PPF, défini comme suit:

L’indice de prix de Fisher ploutocratique PPF se calcule comme l’indice de prix de Fisher ordinaire, si ce n’est que dans chaque région (ou pour chaque ménage), chaque produit est considéré comme un produit distinct. Bien entendu, cet indice satisfera à la condition de réversibilité temporelle.

18.16 Les offices de statistique ne calculent pas les indices de Laspeyres, Paasche et Fisher en faisant le produit scalaire des vecteurs des prix et des quantités, comme c’était le cas dans l’équation (18.9) et dans les définitions précédentes. Il sera donc utile d’obtenir, pour les indices de Laspeyres et de Paasche, des formules ne dépendant que des rapports de prix et des parts de dépenses. Pour cela, il nous faut établir quelques notations. Définissons la part des dépenses du ménage h consacrée au produit i dans la période t de la façon suivante:

Définissons ensuite la part des dépenses du ménage h dans la consommation totale pour la période t:

Et définissons enfin la part des dépenses nationales consacrée au produit i au cours de la période t:

L’indice des prix de Laspeyres pour la région (ou le ménage) h est défini comme suit:

18.17 Si l’on reprend l’équation (18.3), l’indice de prix de Laspeyres national ploutocratique, PPL, peut être reformulé de la façon suivante:

L’équation (18.15) montre que l’indice de prix de Laspeyres national ploutocratique est égal à la moyenne (pour la période 0), pondérée par les parts de dépenses régionales des indices de prix de Laspeyres régionaux. L’équation (18.16) montre que l’indice de prix de Laspeyres national est égal à la moyenne (pour la période 0), pondérée par les parts de dépenses, des rapports de prix régionaux, (phi1/phi0), où la pondération correspondante, Sh0shi0, est la part des dépenses nationales consacrée au produit i dans la région h au cours de la période 0.

18.18 L’indice de prix de Paasche pour la région (ou le ménage) h est défini comme suit:

18.19 Si l’on reprend l’équation (18.7), l’indice de prix de Paasche national ploutocratique, PPP, peut être reformulé comme suit:

L’équation (18.19) indique que l’indice de prix de Paasche ploutocratique national est égal à la moyenne harmonique (pour la période 1), pondérée par les parts de dépenses régionales, des indices de prix de Paasche régionaux. L’équation (18.20) montre que l’indice de prix de Paasche national est égal à la moyenne harmonique (pour la période 1), pondérée par les dépenses, des rapports de prix régionaux, (phi1/phi0) où la pondération attribuée à ce rapport de prix, Shi1shi1, est la part des dépenses nationales consacrée au produit i dans la région h au cours de la période 1.

18.20 Les formules des indices de Paasche et de Laspeyres ploutocratiques, PPP et PPL, données par les équations (18.20) et (18.16) peuvent être utilisées maintenant pour calculer l’indice de Fisher ploutocratique, PPF = [PPP PPL]1/2.

18.21 Si les prix sont égaux dans toutes les régions, les formules (18.16) et (18.20) se simplifient. La formule de l’indice de Laspeyres ploutocratique devient alors:

PL est l’indice de prix de Laspeyres agrégé ordinaire reposant sur l’hypothèse selon laquelle chaque ménage est confronté au même vecteur des prix des produits; pour la définition de PL, voir l’équation (18.5). Dans l’hypothèse où les prix sont égaux pour tous les ménages, la formule de l’indice de Paasche plouto-cratique devient:

PP est l’indice de prix de Paasche agrégé ordinaire reposant sur l’hypothèse selon laquelle chaque ménage est confronté au même vecteur des prix des produits; pour la définition de PP, voir l’équation (18.8).

18.22 Par conséquent, dans l’hypothèse où les prix des produits sont identiques dans toutes les régions, seuls les rapports de prix «nationaux» et les parts des dépenses nationales consacrées aux produits se rapportant aux deux périodes considérées sont nécessaires pour calculer les indices de Laspeyres et de Paasche nationaux. En revanche, si les prix varient selon les régions, les formules simplifiées (18.21) et (18.22) ne sont pas valables; il convient alors d’appliquer les formules précédentes, (18.16) et (18.20), qui requièrent l’utilisation des rapports de prix régionaux et des parts des dépenses régionales.

Indices du coût de la vie démocratiques ou ploutocratiques?

18.23 Les indices ploutocratiques présentés plus haut pondèrent chaque ménage de l’économie considérée en fonction de ses dépenses au cours des deux périodes étudiées. Plutôt que de procéder à ce type de pondération, il est possible de définir des indices théoriques (et des approximations «pratiques» de ces indices) donnant une pondération égale à chaque ménage ou groupe de ménages d’une économie. Pour reprendre la terminologie de Prais (1959), nous appellerons cet indice démocratique. Dans la présente section, nous nous réexaminer la théorie de l’indice ploutocratique élaborée aux paragraphes 18.3 à 18.22 sous l’angle des indices démocratiques.

18.24 En reprenant les hypothèses énoncées au paragraphe 18.4, définissons comme suit la classe des indices du coût de la vie démocratiques conditionnels, PD*(p0,p1,u,e1,e2,,eH) se rapportant aux périodes 0 et 1 pour le vecteur arbitraire des utilités des ménages u = (u,u2,…,uH) [, ou vecteur d’utilité,] et pour les vecteurs arbitraires des variables d’environnement des ménages eh pour h = 1, 2,…,H:

PD* est donc une moyenne arithmétique non pondérée simple des indices du coût de la vie conditionnels des différents ménages, Ch(uh,eh,ph1)/Ch(uh,eh,ph0). Au numérateur et au dénominateur de ces indices conditionnels, seules les variables de prix diffèrent: c’est précisément ce que l’on recherche dans une définition théorique de l’indice des prix à la consommation. S’il n’y a pas de vecteur des variables d’environnement eh dans la fonction de coût du ménage h, l’indice conditionnel Ch(uh,eh,ph1)/Ch(uh,eh,ph0) devient un indice de Konüs ordinaire du coût de la vie véritable, du type défini au chapitre 17.

18.25 Spécifions maintenant la définition générale (18.23) en remplaçant le vecteur d’utilité général u par le vecteur des utilités des ménages de la période 0, u0=(u10,u20,,uH0), ou par celui de la période 1, u1=(u11,u21,,uH1). Poursuivons cette spécification de la définition générale en remplaçant les vecteurs d’environnement généraux des ménages, (e1, e2,…,eh) = e, par le vecteur des variables d’environnement des ménages de la période 0, e0=(e10,e20,,eH0) ou par celui de la période 1, e1=(e11,e21,,eH1). Si l’on choisit le vecteur des niveaux d’utilité et les variables d’environnement de la période de référence, on obtient l’indice du coût de la vie de Laspeyres démocratique conditionnel, PD*(p10,,pH0,p11,,pH1,u0,e0); si l’on opte pour ceux de la période 1, on obtient l’indice du coût de la vie de Paasche démocratique conditionnel, PD*(p10,,pH0,p11,,pH1,u1,e1). Il apparaît que ces deux indices démocratiques vérifient quelques inégalités intéressantes, qui sont établies ci-après.

18.26 Si l’on spécifie la définition (18.23), l’indice du coût de la vie de Laspeyres démocratique conditionnel, PD*(p10,,pH0,p11,,pH1,u0,e0), peut s’exprimer comme suit:

puisque Ch(uh0,eh0,ph1)=min{ph1q:fh(q,eh0)p1qh0 et qh0 et qh0 est une solution possible du problème de minimisation des coûts pour h = 1,2,…,H

PDL est défini comme l’indice de prix de Laspeyres démocratique observable (en principe), Σh-1H(1H)ph1qh0/ph0qh0 qui utilise comme pondérations en quantités les différents vecteurs de quantité des ménages ou des régions pour la période 0, (q10,qH0).

18.27 De la même manière, si l’on spécifie la définition (18.23), l’indice du coût de la vie de Paasche démocratique conditionnel, PD*(p10,,pH0,p11,u1,e1), peut s’écrire comme suit:

PDP est défini comme l’indice de prix de Paaschedémocratique, Σh=1H(1H)ph1qh1/ph0qh1, qui utilise chaque vecteur de quantités des ménages h pour la période 1, qh1, comme pondération quantitative du terme h dans la somme des indices de Paasche des différents ménages. On peut donc voir que l’indice du coût de la vie de Paasche démocratique conditionnel théorique, PD*=(P10,PH0,P11,PH1,u1,e1), a pour limite inférieure l’indice de prix de Paasche démocratique observable (en principe) PDP. Diewert (1983a, p. 191) a été le premier à formuler l’inégalité (18.25) dans le cas où il n’existe pas de variables d’environnement dans les fonctions d’utilité et de coût des ménages et où les prix sont égaux pour tous les ménages.

18.28 Voyons maintenant comment obtenir un indice du coût de la vie démocratique théorique qui ait pour limites supérieure et inférieure des indices observables. En utilisant les inégalités (18.24) et (18.25) et les propriétés de continuité des indices du coût de la vie démocratique conditionnel PD*(p10,,pH0,p11,,pH1,u,e) définis par l’équation (18.23), on peut modifier la méthode de preuve employée par Konüs (1924) et Diewert (1983a, p. 191) et arriver à la conclusion suivante:

Il existe un vecteur d’utilité de référence u*=(u1*,u2*,uH*) tel que le niveau d’utilité de référence d’un ménage h, uh* se situe entre les niveaux d’utilité du ménage h pour les périodes 0 et 1, uh0 et uh1 respectivement, pour h = 1,…,H. Il existe aussi des vecteurs d’environnement des ménages, eh*=(eh1*,eh2*,,ehM*), tels que la mième variable d’environnement de référence du ménage h, eh*, se situe entre les niveaux où elle se situait aux périodes 0 et 1, soit ehm0 et ehm1, respectivement, pour m = 1,2,…, M et h = 1,…,H. L’indice du coût de la vie démocratique conditionnel PD*=(P10,PH0,P11,PH1,u*,e*), évalué à ce vecteur d’utilité de référence intermédiaire u* et au vecteur de référence intermédiaire des variables d’environnement des ménages eh*=(eh1*,eh2*,,ehM*), se situe entre les indices de prix de Laspeyres et de Paasche démocratiques observables (en principe), PDL et PDP, définis plus haut par les dernières égalités des équations (18.24) et (18.25).

18.29 Le résultat ci-dessus établit que l’indice des prix à la consommation conditionnel démocratique national théoriquePD*(p10,,pH0,p11,,pH1,u*,e*) se situe entre l’indice de Laspeyres démocratique PDL et l’indice de Paasche démocratique PDP. Par conséquent, si PDL et PDP ne sont pas trop différents, on pourra obtenir une bonne valeur approximative de l’indice des prix à la consommation démocratique national théorique en utilisant l’indice de Fisher démocratique PDF, défini comme suit:

L’indice de prix de Fisher démocratique, PDF, satisfera à la condition de réversibilité temporelle.

18.30 Il sera là aussi utile d’établir des formules d’indices de Laspeyres et de Paasche démocratiques reposant uniquement sur les rapports de prix et les parts des dépenses. Si l’on utilise la définition (18.10) pour la part des dépenses du ménage h consacrée au produit i pendant la période t, shit, les indices de prix de Laspeyres et de Paasche pour le ménage h peuvent s’exprimer sous forme de parts de la façon suivante:

En intégrant l’équation (18.27) dans la définition de l’indice de Laspeyres démocratique, PDL, on obtient la formule suivante10:

De même, en intégrant l’équation (18.28) dans la définition de l’indice de Paasche démocratique, PDP, on obtient:

18.31 La formule de l’indice de Laspeyres démocratique énoncée au paragraphe précédent se simplifie si l’on peut supposer que chaque ménage est confronté au même vecteur de prix à chacune des deux périodes considérées. À cette condition, l’équation (18.28) peut être reformulée de la façon suivante:

où la part de dépenses démocratique consacrée au produit i dans la période 0, sdi0, est définie comme suit:

Ainsi, 0,sdi0 est simplement la moyenne arithmétique (sur l’ensemble des ménages) des parts de dépenses que chaque ménage consacre au produit i durant la période 0. La formule de l’indice démocratique de Paasche ne se simplifie pas de la même manière dans l’hypothèse où tous les ménages sont confrontés aux mêmes prix à chaque période, car l’équation (18.30) repose sur une moyenne harmonique.

18.32 Nous conclurons à ce stade qu’un office de statistique peut construire des indices de Laspeyres, Paasche et Fisher démocratiques et ploutocratiques à condition de disposer d’informations sur les rapports de prix propres à chaque ménage, phi1/phi0,, et sur les dépenses pour les deux périodes considérées. Si l’on ne dispose que des données concernant les dépenses pour la période de référence, seuls les indices de Laspeyres démocratique et ploutocratique peuvent être établis.

18.33 Il convient maintenant d’aborder un problème pratique auquel se heurtent les offices de statistique: les enquêtes sur les dépenses de consommation des ménages utilisées à l’heure actuelle pour estimer les parts de dépenses de ces derniers ne sont pas très précises. De ce fait, la ventilation par région des parts de dépenses consacrées aux différents produits, Shi1shi0 et Shi1shi1, qui apparaît dans les formules des indices de Laspeyres et de Paasche ploutocratiques, est en général entachée d’erreurs très importantes. De même, les parts des dépenses des différents ménages pour les deux périodes considérées, Shi0 et Shi1 qui sont nécessaires pour calculer les indices de Laspeyres et de Paasche démocratiques définis respectivement par les équations (18.29) et (18.30), sont elles aussi mesurées le plus souvent avec une marge d’erreur considérable. Il devrait donc être possible de réduire l’erreur globale en remplaçant les parts régionales des dépenses consacrées aux différents produits, Shit, par les parts nationales de ces dépenses, σit, définies par l’équation (18.12). Une analyse approfondie de la situation à laquelle l’office de statistique est confronté permettra de déterminer si cette approximation est justifiée ou non. En général, l’office de statistique ne disposera pas d’informations complètes et précises sur les parts des dépenses des ménages et devra donc s’appuyer sur des estimations statistiques et des techniques de lissage pour obtenir les coefficients de dépenses nécessaires qui lui serviront à pondérer les rapports de prix recueillis.

18.34 On notera que le cadre de l’indice conditionnel utilisé ci-dessus peut être utilisé pour modéliser les situations où les préférences des ménages évoluent (continuellement) entre la période de référence et la période en cours: il suffit de choisir pour variable d’environnement le moment t. Les résultats théoriques présentés aux paragraphes 18.14 et 18.28 impliquent l’existence d’indices du coût de la vie se situant entre les limites d’indices de Laspeyres et de Paasche observables, où les fonctions de préférence des ménages retenues sont des préférences intermédiaires entre celles qui se rapportent aux deux périodes considérées. Comme d’ordinaire, si les limites observables ne sont pas trop éloignées, leur moyenne géométrique donne une approximation adéquate de ces indices du coût de la vie théoriques11.

18.35Turvey (2000) et Diewert (2001) font une analyse critique et soulignent certaines limites de l’approche économique de la théorie des indices12.

C’est la terminologie utilisée par Pollak (1982a, p. 181) dans son modèle du concept conditionnel du coût de la vie.

Caves, Christensen et Diewert (1982, p. 1409) utilisent les termes de variables démographiques ou de biens publics pour décrire le vecteur des variables de conditionnement e dans leur modèle général de l’indice des prix ou du coût de la vie de Konüs, alors que Diewert (2001) parle de variables d’environnement.

On pose en hypothèse que chaque fonction fh(q, e) est continue et croissante dans les composantes de q et e, et concave dans les composantes de q.

Pour plus de simplicité, nous utilisons dans cette section la notation pq=Σi=1npiqi, qui correspond au produit scalaire des vecteurs p et q, plutôt que la notation habituelle (sommation).

Ces auteurs proposent des généralisations de l’indice du coût de la vie ploutocratique formulé par Prais en 1959. Pollak et Diewert n’incluent pas les variables d’environnement dans leurs définitions de l’indice de coût de la vie applicable à un groupe

C’est le concept d’indice du coût de la vie que Triplett (2001) juge le plus utile pour mesurer l’inflation: «On souhaitera peut-être produire un indice du coût de la vie conditionnel lié aux conditions météorologiques en vigueur dans la période de référence… Dans ce cas, l’hiver exceptionnellement froid n’influence pas le sous-indice conditionnel du coût de la vie qui maintient l’environnement constant… Cet indice partiel est probablement le concept de coût de la vie le plus utile pour une politique anti-inflationniste». Hill (1999, p. 4) souscrit à ce point de vue.

On peut donc considérer que l’indice de Laspeyres ploutocratique est un indice de Laspeyres ordinaire, si ce n’est que chaque produit consommé par chaque ménage (ou dans chaque région) est considéré comme un produit distinct.

Le cas général a été établi par Diewert (2001, p. 222).

Voir Diewert (2001, p. 223). On notera que les fonctions de coût des ménages doivent être continues dans les variables d’environnement, ce qui limite effectivement les sortes de variables d’environnement que le résultat peut prendre en compte.

La comparaison entre la formule de l’indice de Laspeyres démocratique, PDL, et la formule antérieure (18.16) de l’indice de Laspeyres ploutocratique, PPL, montre que la pondération plou-tocratique du ième rapport de prix pour le ménage h est Sh0Sh10, alors que la pondération démocratique correspondante est (1/H)Shi0 Les ménages dont les dépenses sont plus importantes au cours de la période de référence, et dont les parts de dépenses Sh0 sont par conséquent plus élevées, reçoivent une pondération plus forte dans l’indice ploutocratique que dans l’indice démocratique.

Pour une analyse plus poussée de la théorie du coût de la vie dans le cadre de l’évolution des goûts, voir Balk (1989a).

On trouvera un plaidoyer vigoureux en faveur de l’approche économique dans Triplett (2001).

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