Chapter

17. Approche Économique de la Théorie des Indices: Le Cas des Ménages Uniques

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
November 2006
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Introduction

17.1 Le présent chapitre, ainsi que le chapitre suivant, portent sur l’approche économique de la théorie des indices. Ce chapitre traite du cas des ménages uniques, tandis que le suivant est consacré à celui des ménages multiples. Voici une brève description du contenu du présent chapitre.

17.2 Les paragraphes 17.9 à 17.17 présentent la théorie de l’indice du coût de la vie pour un consommateur ou un ménage unique, dont l’auteur est l’économiste russe A.A. Konüs (1924). La relation entre un indice du coût de la vie véritable (inobservable) et les indices observables de Laspeyres et de Paasche y sera expliquée. Il convient de noter que, dans l’approche économique de la théorie des indices, on suppose que les ménages considèrent que les prix observés sont des variables données et que les quantités sont des solutions à divers problèmes d’optimisation économique. Nombre de statisticiens de prix jugent peu plausibles les hypothèses émises dans l’approche économique. Peut-être la meilleure solution est-elle de considérer que ces hypothèses expriment tout simplement le fait que les consommateurs ont tendance à acheter une plus grande quantité d’un produit si son prix baisse par rapport à celui des autres produits.

17.3 Aux paragraphes 17.18 à 17.26, les préférences du consommateur sont limitées par rapport au cas tout à fait général traité aux paragraphes 17.9 à 17.17. En effet, on suppose aux paragraphes 17.8 à 17.26 que la fonction représentative des préférences du consommateur qui choisit entre diverses combinaisons de produits est homogène de degré un. Cela signifie que chaque surface d’indifférence (la série de combinaisons de produits qui donnent au consommateur la même satisfaction ou utilité) est une extension radiale d’une surface d’indifférence unique. Avec cette hypothèse supplémentaire, la théorie du coût de la vie véritable se simplifie, comme on le verra.

17.4 Les sections commençant par les paragraphes 17.27, 17.33 et 17.44 montrent que les indices de prix de Fisher, Walsh et Törnqvist (qui s’avèrent être les «meilleurs» dans les diverses approches non économiques) sont également parmi les «meilleurs» dans l’approche économique de la théorie des indices. Dans ces sections, la fonction de préférence du ménage unique sera plus limitée que celle fondée sur les hypothèses émises dans les deux sections précédentes. Des formes fonctionnelles spécifiques sont retenues pour la fonction d’utilité du consommateur et il s’avère que, pour chacune de ces formes spécifiques supposées, un indice du coût de la vie véritable peut être calculé avec précision à l’aide des données de prix et de quantité observables. Chacune des trois formes fonctionnelles spécifiques retenues pour la fonction d’utilité du consommateur a pour propriété de donner une approximation d’une fonction linéairement homogène arbitraire au second ordre; autrement dit, selon la terminologie économique, chacune de ces trois formes fonctionnelles est souple. Par conséquent, suivant la terminologie adoptée par Diewert (1976), les indices de prix de Fisher, Walsh et Törnqvist sont des exemples d’indices superlatifs.

17.5 Les paragraphes 17.50 à 17.54 montrent que les indices de prix de Fisher, Walsh et Törnqvist se rapprochent beaucoup les uns des autres lorsque des séries chronologiques «normales» sont utilisées. C’est là un résultat très commode, étant donné que ces trois indices se révèlent à plusieurs reprises les «meilleurs» dans toutes les approches de la théorie des indices. Ce résultat implique donc que n’importe lequel de ces trois indices peut normalement être choisi à titre de préférence pour le calcul d’un indice des prix à la consommation (IPC).

17.6 Les indices de prix de Paasche et de Laspeyres ont une propriété mathématique très commode: il y a associativité de l’agrégation. Par exemple, si la formule de Laspeyres sert au calcul de sous-indices des prix, disons, des produits alimentaires et des vêtements, ces sous-indices peuvent être considérés comme des rapports de prix agrégés à ce niveau et, en utilisant la part des dépenses affectées à ces sous-agrégats, on peut de nouveau appliquer la formule de Laspeyres pour calculer un indice de prix en deux étapes. L’associativité de l’agrégation signifie que cet indice calculé en deux étapes est égal à l’indice correspondant obtenu directement. Les paragraphes 17.55 à 17.60 montrent que, pour les indices superlatifs calculés dans les sections précédentes, il n’y a pas associativité parfaite mais approximative de l’agrégation.

17.7 Les paragraphes 17.61 à 17.64 traitent du calcul d’un indice très intéressant: l’indice des prix de Lloyd (1975)Moulton (1996a). Cette formule fait intervenir les informations nécessaires au calcul d’un indice de Laspeyres (à savoir les parts de dépenses de la période de référence, les prix de la période de référence et ceux de la période en cours) et un autre paramètre (l’élasticité de substitution entre les produits). Si l’on peut obtenir des données sur ce paramètre supplémentaire, le biais de substitution peut alors être en grande partie éliminé et l’indice peut être calculé à l’aide d’informations essentiellement identiques à celles requises pour l’établissement de l’indice de Laspeyres.

17.8 La section commençant par le paragraphe 17.65 traite de la difficulté de définir un indice du coût de la vie véritable lorsque les préférences du consommateur sont annuelles et que les prix sont mensuels (ou trimestriels). Cette section tente de donner une assise économique à l’indice de Lowe étudié au chapitre 15. Elle présente en outre une introduction aux problèmes associés à l’existence de produits saisonniers, qui sont examinés plus en détail au chapitre 22. La dernière section passe en revue les cas où le prix d’un produit est égal à zéro dans une période et différent de zéro dans la période suivante.

L’indice du coût de la vie de Konüs et les limites observables

17.9 La présente section traite de la théorie de l’indice du coût de la vie pour un consommateur (ou ménage) unique, qui a été conçue par l’économiste russe Konüs (1924). Cette théorie part de l’hypothèse que les agents économiques (consommateurs ou producteurs) ont un comportement optimisateur. En conséquence, pour un vecteur de prix pt dans une période de temps donnée t, on suppose que le vecteur de quantité observé correspondant qt est la solution au problème de minimisation des coûts pour une fonction de préférence ou d’utilité f du consommateur1. Ainsi, contrairement à l’approche axiomatique de la théorie des indices, l’approche économique ne suppose pas que les deux vecteurs de quantité q0 et q1 sont indépendants des deux vecteurs de prix p0 et p1. Dans l’approche économique, le vecteur de quantité q0 pour la période 0 est déterminé par la fonction de préférence f du consommateur et par le vecteur de prix p0 pour la période 0 auquel le consommateur est confronté, et le vecteur de quantité q1 pour la période 1 est déterminé par la fonction de préférence f du consommateur et par le vecteur de prix p1 pour la période 1.

17.10 L’approche économique de la théorie des indices suppose que «le» consommateur a des préférences bien déterminées face à divers assortiments de n produits ou articles de consommation2. Chaque assortiment peut être représenté par un vecteur de quantité positif q = [q1,…,qn]. On suppose que les préférences du consommateur face à divers vecteurs de consommation possibles q peuvent être représentées par une fonction d’utilité continue, non décroissante et concave3f. En conséquence, si f(q1) > f(q0), le consommateur préfère le vecteur de consommation q1 à q0. On suppose en outre que le consommateur minimise les coûts à supporter pour atteindre le niveau d’utilité u1 = f(qt) de la période t pour t = 0, 1. Nous partons donc de l’hypothèse que le vecteur de consommation observé qt pour la période t est la solution au problème suivant de minimisation des coûts pour la période t:

Le vecteur de prix de la période t pour les n produits considérés auquel est confronté le consommateur est pt. Il est à noter que la solution au problème de minimisation des coûts ou des dépenses (17.1) pour un niveau d’utilité général u et un vecteur général de prix des produits p définit la fonction de coût du consommateur, C(u,p). La fonction de coût sera utilisée ci-après pour définir l’indice du coût de la vie du consommateur.

17.11 La famille des indices du coût de la vie véritable de Konüs (1924) pour les deux périodes où le consommateur est confronté aux vecteurs de prix strictement positifs p0 = (p10,,pn0) et p1 = (p11,,pn1) dans les périodes 0 et 1, respectivement, se définit par le ratio des coûts minimaux associés au même niveau d’utilité u = f(q), où q = (q,…,qn) est un vecteur de quantité de référence positif:

Notons que la définition (17.2) s’applique à une famille d’indices de prix, parce qu’il y a un indice de ce type pour chaque vecteur de quantité de référence q choisi.

17.12 Le choix de deux vecteurs de quantité de référence spécifiques q dans la définition (17.2) est chose naturelle: le vecteur de qualité observé pour la période de référence q0 et le vecteur de quantité pour la période en cours q1. Le premier de ces deux choix mène à l’indice du coût de la vie véritable de Laspeyres–Konüs ci-après:

sur la base de la définition du problème de minimisation des coûts qui définit C(f(q0),p1)

puisque q0 = (q10,,qn0) est la solution possible au problème de minimisation:

= PL(p0, p1, p0, p1)

PL est l’indice des prix de Laspeyres. En conséquence, l’indice du coût de la vie véritable (inobservable) de Laspeyres–Konüs a pour limite supérieure l’indice des prix de Laspeyres (observable)4.

17.13 Le second des deux choix naturel de vecteur de quantité de référence q dans la définition (17.2) mène à l’indice du coût de la vie véritable de Paasche–Konüs ci-après:

sur la base de la définition du problème de minimisation des coûts qui définit C(f(q0), p0)

puisque q1 = (q11,,qn1)

est une solution possible au problème de minimisation, d’où

Pp est l’indice des prix de Paasche. En conséquence, l’indice du coût de la vie véritable de Paasche–Konüs (inobservable) a pour limite inférieure l’indice des prix de Paasche (observable)5.

17.14 Il est possible d’illustrer les deux inégalités (17.3) et (17.4) s’il n’y a que deux produits; voir graphique 17.1. La solution au problème de minimisation des coûts de la période 0 est le vecteur q0. La ligne droite passant par C représente la contrainte budgétaire du consommateur pour la période 0, l’ensemble des points q1, q2 tel que

pi0q1+p20q2=p10q10+p20q20. La courbe passant par q0 est la courbe d’indifférence du consommateur pour la période 0, l’ensemble des points q1, q2 tels que f(q1,q2)=f(q10,q20); autrement dit, c’est l’ensemble des vecteurs de consommation qui procurent la même utilité que le vecteur de consommation observé pour la période 0, q0. La solution au problème de minimisation des coûts de la période 1 est le vecteur q1. La ligne droite passant par D représente la contrainte budgétaire du consommateur pour la période 1, l’ensemble des points (q1, q2) tel que p11q1+p21q2=p11q11+p21q21. La courbe passant par q1 est la courbe d’indifférence du consommateur pour la période 1, l’ensemble des points (q1, q2) tel que f(q1,q2)=f(q11,q21); autrement dit, c’est l’ensemble des vecteurs de consommation qui procurent la même utilité que le vecteur de consommation observé pour la période 1, q1. Le point q0* est la solution au problème hypothétique de minimisation des coûts associés au niveau d’utilité de la période de référence u0 = f(q0) pour un vecteur de prix de la période 1, p1=(p11,p21). En conséquence, nous avons C[u0,p1]=p11q10*+p21q20* et la ligne en tirets passant par A est la droite d’isocoût correspondante p11q1+p21q2=C[u0,p1]. Notons que la ligne de coût hypothétique passant par A est parallèle à la ligne de coût effective pour la période 1 qui passe par D. L’indice du coût de la vie véritable de Laspeyres–Konüs, tiré de l’équation (17.3), est C[u0,p1]/[p10qi0+p20q20], tandis que l’indice de Laspeyres ordinaire est [p11q10+p21q20]/[p10q10+p20q20]. Comme les dénominateurs de ces deux indices sont les mêmes, la différence entre eux est attribuable à celle qui existe entre leurs numérateurs. Dans le graphique 17.1, cette différence entre les numérateurs est exprimée par le fait que la ligne de coût passant par A se situe au-dessous de la ligne de coût passant par B. Par contre, si la courbe d’indifférence du consommateur sous la forme du vecteur de consommation observé pour la période 0, q0, était en forme de L avec sommet à q0, le consommateur ne changerait alors pas ses habitudes de consommation face à une variation des prix relatifs des deux produits tout en maintenant inchangé son niveau de vie. Dans ce cas, le vecteur hypothétique q0* coïnciderait avec q0, la ligne en tirets passant par A avec celle qui passe par B, et l’indice du coût de la vie véritable de Laspeyres-Konüs avec l’indice de Laspeyres ordinaire. Cependant, les courbes d’indifférence en forme de L ne correspondent généralement pas au comportement du consommateur; autrement dit, lorsque le prix d’un produit baisse, le consommateur en demande généralement davantage. Par conséquent, il y aura en général un écart entre les points A et B. Le niveau de cet écart mesure l’ampleur du biais de substitution entre l’indice du coût de la vie véritable et l’indice de Laspeyres correspondant; en d’autres termes, l’indice de Laspeyres sera généralement supérieur à l’indice du coût de la vie véritable correspondant, PK(p0, p1, q0).

Graphique 17.1Les indices de Laspeyres et de Paasche, limites de l’indice véritable du coût de la vie

17.15 Le graphique 17.1 peut en outre servir à illustrer l’inégalité (17.4). Notons tout d’abord que les lignes en tirets passant par E et F sont parallèles à la droite d’isocoût de la période 0 passant par C. Le point q1* est la solution au problème hypothétique de minimisation du coût associé au niveau d’utilité de la période en cours u1 = f(q1) pour un vecteur de prix de la période 0 p0=(p10,p20). En conséquence, nous avons C[u1,p0]=p10q11*+p20q21*. L’indice du coût de la vie véritable de Paasche–Konüs tiré de l’équation (17.4) est [p11q11+p21q21]/C[u1,p0], tandis que l’indice de Paasche ordinaire est [p11q11+p21q21]/[p10q11+p20q21].. Comme les numérateurs de ces deux indices sont les mêmes, la différence entre les indices est attribuable à celle qui existe entre leurs dénominateurs. Dans le graphique 17.1, cette différence entre les dénominateurs est exprimée par le fait que la ligne de coût passant par E se situe au-dessous de la ligne de coût parallèle passant par F. Le niveau de cet écart représente l’ampleur du biais de substitution entre l’indice du coût de la vie véritable et l’indice de Paasche correspondant; autrement dit, l’indice de Paasche sera généralement inférieur au véritable indice du coût de la vie correspondant, PK(p0, p1, q1). Notons que cette inégalité va dans le sens contraire à celui de l’inégalité précédente entre les deux indices de Laspeyres. Ce changement de sens de l’inégalité est attribuable au fait que la différence entre les deux indices se situe, dans le premier cas, au niveau des numérateurs (inégalités entre les indices de Laspeyres) et, dans le second, au niveau des dénominateurs (inégalités entre les indices de Paasche).

17.16 La limite (17.3) de l’indice du coût de la vie véritable de Laspeyres-Konüs PK(p0, p1, q0), où le niveau d’utilité de la période de référence est pris comme niveau de vie, est unilatérale, de même que la limite (17.4) de l’indice du coût de la vie véritable de Paasche–Konüs PK(p0, p1, q1), où c’est le niveau d’utilité de la période en cours qui est pris comme niveau de vie. Konüs (1924; 1939, p. 20) a montré, par un résultat remarquable, qu’il existe un vecteur de consommation intermédiaire q* qui est sur la ligne droite joignant le vecteur de consommation de la période de référence q0 au vecteur de consommation de la période en cours q1 de telle sorte que l’indice du coût de la vie véritable (inobservable) PK(p0, p1, q*) se situe entre les indices observables de Laspeyres et de Paasche, PL y PP6. En conséquence, nous avons un nombre λ* entre 0 de telle sorte que:

Les inégalités (17.5) sont d’une importance pratique. Si les indices de Paasche et de Laspeyres observables (en principe) ne font pas apparaître un trop grand écart, une moyenne symétrique de ces indices devrait donner une bonne valeur approchée de l’indice du coût de la vie véritable lorsque le niveau de vie de référence se situe entre le niveau de vie de la période de référence et celui de la période en cours. Pour calculer la moyenne symétrique précise des indices de Paasche et de Laspeyres, on peut faire appel aux résultats des paragraphes 15.18 à 15.32 du chapitre 15; par ailleurs, la moyenne géométrique des indices de Paasche et de Laspeyres peut être justifiée en tant que «meilleure» moyenne, qui est l’indice des prix de Fisher. En conséquence, l’emploi de l’indice des prix idéal de Fisher est assez bien justifié car il donne une bonne valeur approchée d’un indice du coût de la vie théorique inobservable.

17.17 Les limites (17.3)–(17.5) sont les meilleures que l’on puisse obtenir pour un indice du coût de la vie véritable sans émettre d’autres hypothèses. Ci-après sont formulées des hypothèses supplémentaires sur la catégorie des fonctions d’utilité représentatives des préférences du consommateur pour les n produits en question. Avec ces hypothèses additionnelles, le coût de la vie véritable du consommateur peut être déterminé avec exactitude.

L’indice du coût de la vie véritable lorsque les préférences sont homothétiques

17.18 Jusqu’à présent, la fonction de préférence du consommateur, f, n’avait pas à satisfaire à une hypothèse d’homogénéité donnée. Dans le reste de cette section, nous supposons que f fait apparaître une homogénéité linéaire (positive)7. Dans les ouvrages économiques, c’est l’hypothèse dite de préférences homothétiques8. Cette hypothèse n’est pas strictement justifiée du point de vue du comportement économique effectif, mais elle aboutit à l’établissement d’indices de prix économiques qui sont indépendants du niveau de vie du consommateur9. Selon cette hypothèse, la fonction de dépense ou de coût du consommateur C(u,p), définie par l’équation (17.1), se décompose comme suit. Pour p >> 0N (prix positifs) et un niveau d’utilité positif u, C étant le coût minimum associé au niveau d’utilité donné u, on a les égalités suivantes:

c(p) = C(1, p) est la fonction de coût unitaire qui correspond à f10. On peut voir que la fonction de coût unitaire c(p) satisfait aux mêmes conditions de régularité que f; autrement dit, c(p) est positive, concave et fait apparaître une homogénéité linéaire (positive) pour des vecteurs de prix positifs11. Si nous intégrons l’équation (17.6) dans l’équation (17.1) et prenons ut = f(qt), nous obtenons l’équation suivante:

En conséquence, dans l’hypothèse d’homogénéité linéaire de la fonction d’utilité f, les dépenses sur les n produits observées dans la période t sont égales au coût d’une unité d’utilité pour la période tc(pt) multiplié par le niveau d’utilité de la période t, f(qt). À l’évidence, le coût unitaire de la période t, c(pt), peut être pris comme niveau de prix de la période t, Pt, et le niveau d’utilité de la période t, f(qt), comme niveau de quantité de la période t, Qt12.

17.19 L’hypothèse d’homogénéité linéaire de la fonction de préférence du consommateur f mène à une simplification de la famille d’indices de coût de la vie véritable de Konüs, PK(p0, p1, q) définie par l’équation (17.2). À partir de cette définition, on obtient un vecteur de quantité de référence arbitraire q:

En conséquence, dans l’hypothèse de préférences homo-thétiques, la famille entière d’indices de coût de la vie véritable de Konüs se réduit à un indice unique, c(p1)/c(p0), ratio des coûts minimums associés au niveau d’utilité unitaire lorsque le consommateur est confronté aux prix de la période 1 et à ceux de la période 0, respectivement. En d’autres termes, dans l’hypothèse de préférences homo-thétiques, PK(p0, p1, q) est indépendant du vecteur de quantité de référence q.

17.20 Si l’indice du coût de la vie véritable de Konüs défini par le membre de droite de l’équation (17.8) est utilisé comme concept d’indice de prix, l’indice de quantité implicite correspondant défini à l’aide du test du produit (c’est-à-dire le produit de l’indice de prix par l’indice de quantité donne le ratio de la valeur) prend la forme suivante:

en utilisant (17.7) deux fois

En conséquence, dans l’hypothèse de préférences ho-mothétiques, l’indice de quantité implicite qui correspond à l’indice du coût de la vie véritable c(p1)/c(p0) est le ratio d’utilité f(q1)/f(q0). Comme la fonction d’utilité est supposée homogène de degré un, ce ratio est la définition naturelle d’un indice de quantité.

17.21 Dans ce qui suit, deux résultats additionnels de la théorie économique seront nécessaires: l’identité de Wold et le lemme de Shephard. L’identité de Wold (1944, p. 69–71; 1953, p. 145) est le résultat ci-après. À supposer que le consommateur satisfait aux hypothèses de minimisation des coûts (17.1) pour les périodes 0 et 1 et que la fonction d’utilité f est différentiable aux vecteurs de quantité observés q0 y q1, on peut montrer13 que l’équation suivante se vérifie:

∂f(qt)/∂q représente la dérivée partielle de la fonction d’utilité f par rapport à l’ième quantité qi, évaluée au vecteur de quantité de la période t, qt.

17.22 Si l’hypothèse de préférences homothétiques est retenue et si l’on suppose que la fonction d’utilité est linéairement homogène, l’identité de Wold peut alors être simplifiée sous la forme d’une équation qui se révélera très utile14:

17.23 Le lemme de Shephard (1953, p. 11) est le résultat suivant. Considérons le problème de minimisation des coûts de la période t défini par l’équation (17.1). Si la fonction de coût C(u, p) est différentiable par rapport aux composantes du vecteur de prix p, le vecteur de quantité pour la période t, qt, est alors égal au vecteur des dérivées partielles du premier ordre de la fonction de coût par rapport aux composantes de p:

17.24 Pour expliquer la validité de l’équation (17.12), considérons l’argument suivant. Parce que l’on suppose que le vecteur de quantité observé pour la période t, qt, est la solution au problème de minimisation des coûts défini par C(ut, pt), qt, est alors nécessairement une solution possible à ce problème, d’où f(qt) = ut. Par conséquent, qt est une solution possible au problème de minimisation des coûts suivants, dans lequel le vecteur de prix général p a remplacé le vecteur de prix spécifique pour la période t, pt:

où l’inégalité tient au fait que qt = (q1t,,qnt) est une solution possible (mais généralement pas optimale) au problème de minimisation des coûts dans l’équation (17.13). Définissons maintenant pour chaque vecteur de prix strictement positif p la fonction g(p) comme suit:

où, comme d’ordinaire, p = (p1…,pn). Nous fondant sur les équations (17.13) et (17.1), nous pouvons voir que g(p) est minimisé (par rapport à tous les vecteurs de prix strictement positifs p) avec p = pt. En conséquence, les conditions nécessaires du premier ordre pour la mi-ni-misation d’une fonction différentiable de n variables se vérifient, ce qui nous ramène à l’équation (17.12).

17.25 Si l’hypothèse de préférences homothétiques est retenue et que la fonction d’utilité fait apparaître une homogénéité linéaire, le lemme de Shephard (17.12) devient, compte tenu de l’équation (17.6):

À partir des équations (17.15) et (17.7), nous obtenons l’équation suivante:

17.26 Notons la symétrie de l’équation (17.16) par rapport à l’équation (17.11). Ce sont ces deux équations qui seront ultérieurement utilisées dans ce chapitre.

Indices superlatifs: l’indice idéal de Fisher

17.27 Supposons que le consommateur a la fonction d’utilité suivante:

La différentiation de la fonction f(q) définie par l’équation (17.17) par rapport à qi donne l’équation suivante:

fi(q) = ∂f(qt)/∂qi. Pour obtenir la première équation de (17.18), il est nécessaire d’utiliser les conditions de symétrie, aik = aki. Évaluons maintenant la seconde équation de (17.18) au vecteur de quantité observé à la période t, qt = (q1t,,qnt) et divisons les deux membres de l’équation en résultant par f(qt). Nous obtenons les équations suivantes:

Supposons que la minimisation des coûts est le comportement affiché par le consommateur dans les périodes 0 et 1. Comme la fonction d’utilité f définie par l’équation (17.17) est linéairement homogène et différentiable, l’équation (17.11) se vérifiera. Reportons-nous maintenant à la définition de l’indice de quantité idéal de Fisher, QF, donnée au chapitre 15:

à partir de l’équation (17.11) pour t = 0

à partir de l’équation (17.11) pour t = 1

à partir de l’équation (17.19)

à partir de l’équation (17.17) et après annulation des termes

En conséquence, si l’on suppose que le consommateur affiche un comportement de minimisation des coûts dans les périodes 0 et 1 et manifeste, face aux n produits, des préférences correspondant à la fonction d’utilité définie par l’équation (17.17), l’indice de quantité idéal de Fisher QF est exactement égal à l’indice de quantité véritable, f(q1)/f(q0)15.

17.28 Comme indiqué aux paragraphes 15.18 à 15.23 du chapitre 15, l’indice des prix qui correspond à l’indice de quantité de Fisher QF lorsqu’on utilise le test du produit (15.3) est l’indice des prix de Fisher PF, défini par l’équation (15.12). Soit c(p) la fonction de coût unitaire qui correspond à la fonction d’utilité quadratique homogène f définie par l’équation (17.17). À partir des équations (17.16) et (17.20), on a

En conséquence, si le consommateur a un comportement de minimisation des coûts dans les périodes 0 et 1 et manifeste, face aux n produits, des préférences correspondant à la fonction d’utilité définie par l’équation (17.17), l’indice des prix idéal de Fisher PF est exactement égal à l’indice de prix véritable, c(p1)/c(p0).

17.29 Une fonction deux fois continuellement différentiable f(q) de n variables q = (q1,…,qn) peut donner une approximation de second ordre d’une autre fonction du même type f*(q) autour du point q*, si le niveau et toutes les dérivées partielles de premier ordre et de second ordre des deux fonctions coïncident pour q*. On peut montrer16 que la fonction quadratique homogène f définie par l’équation (17.17) peut donner une approximation de second ordre d’une fonction arbitraire f* autour de tout point (strictement positif) q* dans la catégorie de fonctions linéairement homogènes. En conséquence, la forme fonctionnelle quadratique homogène définie par l’équation (17.17) est une forme fonctionnelle souple17. Diewert (1976, p. 117) a donné à l’indice Q(p0, p1, q0, q1) qui est exactement égal à l’indice de quantité véritable f(q1)/f(q0) (où f est une forme fonctionnelle souple) le nom d’indice superlatif18. L’équation (17.20) et le fait que la fonction quadratique homogène f définie par l’équation (17.17) est une fonction fonctionnelle souple montrent que l’indice de quantité idéal de Fisher QF défini par l’équation (15.14) est un indice superlatif. Comme l’indice des prix idéal de Fisher PF satisfait à l’équation (17.21), où c(p) est la fonction de coût unitaire qui découle de la fonction d’utilité quadratique homogène, PF est lui aussi un indice superlatif.

17.30 Il est possible de montrer que l’indice des prix idéal de Fisher est un indice superlatif par un autre moyen. Au lieu de partir de l’hypothèse que la fonction d’utilité du consommateur est la fonction quadratique homogène définie par l’équation (17.17), on peut émettre l’hypothèse que la fonction de coût unitaire du consommateur est une fonction quadratique homogène19. En conséquence, supposons que le consommateur a la fonction de coût unitaire suivante:

La différentiation de c(p) définie par l’équation (17.22) par rapport à pi donne les équations suivantes:

ci(p) = ∂c(pt)/∂pi. Pour obtenir la première équation de (17.23), il est nécessaire d’utiliser les conditions de symétrie. Calculons maintenant la seconde équation de (17.23) au vecteur de prix observé à la période t, pt=(p1t,,pnt) et divisons les deux membres de l’équation en résultant par c(pt). Nous obtenons l’équation suivante:

Dans l’hypothèse d’un comportement de minimisation des coûts de la part du consommateur dans les périodes 0 et 1 et étant donné que la fonction de coût unitaire c définie par l’équation (17.22) est différentiable, les équations (17.16) se vérifieront. Reportons-nous maintenant à la définition de l’indice des prix idéal de Fisher, PF, donnée par l’équation (15.12) au chapitre 15:

à partir de l’équation (17.16) pour t = 0

à partir de l’équation (17.16) pour t = 1

à partir de l’équation (17.22) et après annulation des termes

En conséquence, si l’on suppose que le consommateur affiche un comportement de minimisation des coûts dans les périodes 0 et 1 et manifeste, face aux n produits, des préférences correspondant à la fonction de coût unitaire définie par l’équation (17.22), l’indice des prix idéal de Fisher PF est exactement égal à l’indice de prix véritable, c(p1)/c(p0)20.

17.31 Comme la fonction de coût unitaire quadratique homogène c(p) définie par l’équation (17.22) est aussi une forme fonctionnelle souple, le fait que l’indice des prix idéal de Fisher PF soit exactement égal à l’indice de prix véritable c(p1)/c(p0) signifie que PF est un indice superlatif21.

17.32 Supposons que les coefficients bik de l’équation (17.22) satisfassent aux contraintes suivantes:

où les n nombres de bi sont non négatifs. Dans ce cas spécial de l’équation (17.22), on peut voir que la fonction de coût unitaire se simplifie de la manière suivante:

En intégrant l’équation (17.27) dans le lemme de Shephard (17.15), on obtient l’identité ci-après pour les vecteurs de quantité de la période t, qt:

En conséquence, si le consommateur a des préférences qui correspondent à la fonction de coût unitaire définie par l’équation (17.22), où les coefficients bik satisfont aux contraintes (17.26), les vecteurs de quantité pour les périodes 0 et 1 sont alors égaux à un multiple du vecteur b = (b1,…,bn); autrement dit, q0 = bu0 et q1 = bu1. Dans ces hypothèses, les indices de Fisher, de Paasche et de Laspeyres, PF, PP et PL, coïncident tous. Les préférences qui correspondent à la fonction de coût unitaire définie par l’équation (17.27) ne sont toutefois pas compatibles avec un comportement normal du consommateur, car elles impliquent que celui-ci ne préférera pas les produits à meilleur marché si les prix relatifs varient de la période 0 à la période 1.

Moyenne quadratique des indices superlatifs d’ordre r

17.33 II y a en fait beaucoup d’autres indices superlatifs; autrement dit, il existe un grand nombre d’indices de quantité Q(p0, p1,q0,q1) qui sont exactement égaux à f(q1)/f(q0) et d’indices de prix P(p0, p1, q0, q1) qui sont exactement égaux à c(p1)/c(p0), où la fonction d’agrégation f ou la fonction de coût unitaire c est une forme fonctionnelle souple. Ci-après sont définies deux familles d’indices superlatifs.

17.34 Supposons que la moyenne quadratique de la fonction d’utilité d’ordre r du consommateur soit comme suit22:

où les paramètres aik satisfont aux conditions de symétrie aik = aki pour toute valeur de i et k et le paramètre r satisfait à la contrainte r ≠ 0. Diewert (1976, p. 130) a montré que la fonction d’utilité fr définie par l’équation (17.29) est une forme fonctionnelle souple; autrement dit, elle peut donner une approximation de second ordre d’une forme fonctionnelle linéairement homogène arbitraire deux fois continuellement différentiable. Notons que, lorsque r = 2, fr est égal à la fonction quadratique homogène définie par l’équation (17.17).

17.35 Définissons la moyenne quadratique des indices de quantité d’ordre r, Qr, par:

Sit=pitqit/Σk=1npktqkt est la part des dépenses d’ordinaire affectée au produit i dans la période t.

17.36 En utilisant exactement les mêmes techniques que celles employées aux paragraphes 17.27 à 17.32, nous pouvons montrer que Qr est exact pour la fonction d’agrégation fr définie par l’équation (17.29); autrement dit, la relation exacte ci-après entre l’indice de quantité Qr et la fonction d’utilité/r se vérifie:

En conséquence, si l’on suppose que le consommateur affiche un comportement de minimisation des coûts dans les périodes 0 et 1 et manifeste face aux n produits des préférences correspondant à la fonction d’utilité définie par l’équation (17.29), la moyenne quadratique de l’indice de quantité d’ordre rQF est exactement égale à l’indice de quantité véritable, fr(q1)/fr(q0)23. Étant donné que Qr est exact pour fr et que fr est une forme fonctionnelle souple, on peut voir que la moyenne quadratiqué de l’indice de quantité d’ordre r, Qr, est un indice superlatif pour toute valeur de r ≠ 0. Il y a donc un nombre infini d’indices de quantité superlatifs.

17.37 Pour chaque indice de quantité Qr, on peut utiliser le test du produit (15.3) du chapitre 15 pour définir la moyenne quadratique implicite correspondante des indices de prix d’ordre r, Pr*:

cr* est la fonction de coût unitaire correspondant à la fonction d’agrégation fr définie par l’équation (17.29). Pour toute valeur de r≠ 0, la moyenne quadratique implicite des indices de prix d’ordre r, Pr*, est aussi un indice superlatif.

17.38 Lorsque r = 2, Qr défini par l’équation (17.30) se réduit à Qf, l’indice de quantité idéal de Fisher, et Pr défini par l’équation (17.32), se réduit à PF, l’indice des prix idéal de Fisher. Lorsque r = 1, Qr défini par l’équation (17.30) se ramène à:

PW est l’indice des prix de Walsh précédemment défini par l’équation (15.19) au chapitre 15. En conséquence, P1* est égal à PW, l’indice des prix de Walsh, et il est également un indice des prix superlatif.

17.39 Supposons que la moyenne quadratique de la fonction de coût unitaire d’ordre r du consommateur soit comme suit24:

où les paramètres bik satisfont aux conditions de symétrie bik = bki pour toute valeur de i et k, et le paramètre r satisfait à la contrainte r ≠ 0. Diewert (1976, p. 130) a montré que la fonction de coût unitaire cr définie par l’équation (17.34) est une forme fonctionnelle souple; autrement dit, elle donne une approximation de second ordre d’une forme fonctionnelle linéairement homogène arbitraire deux fois continuellement différentiable. Notons que, lorsque r = 2, cr est égale à la fonction quadratique homogène définie par l’équation (17.22).

17.40 Définissons la moyenne quadratique des indices de prix d’ordre r, Pr, par:

Sit=pitqit/Σk=1npktqkt est la part des dépenses consacrée d’ordinaire au produit i dans la période t.

17.41 En utilisant exactement les mêmes techniques que celles employées aux paragraphes 17.27 à 17.32, nous pouvons montrer que Pr est exact pour la fonction d’agrégation définie par l’équation (17.34); en d’autres termes, la relation exacte ci-après entre l’indice Pr et la fonction de coût unitaire cr se vérifie:

En conséquence, si l’on suppose que le consommateur affiche un comportement de minimisation des coûts dans les périodes 0 et 1 et manifeste, face aux n produits, des préférences correspondant à la fonction de coût unitaire définie par l’équation (17.34), la moyenne quadratique des indices de prix d’ordre r, PF, est exactement égale à l’indice de prix véritable, cr(p1)/cr(p0)25. Étant donné que Pr est exact pour cr et que cr est une forme fonctionnelle souple, on peut voir que la moyenne quadratique des indices de prix d’ordre r, Pr, est un indice superlatif pour toute valeur de r≠ 0. Il y a donc un nombre infini d’indices de prix superlatifs.

17.42 Pour chaque indice des prix Pr, on peut utiliser le test du produit (15.3) du chapitre 15 afin de définir la moyenne quadratique implicite correspondante des indices de quantité d’ordre r, Qr*:

fr* est la fonction d’agrégation correspondant à la fonction de coût unitaire cr définie par l’équation (17.34)26. Pour toute valeur de r ≠ 0, la moyenne quadratique implicite des indices de quantité d’ordre r, Qr*, est aussi un indice superlatif.

17.43 Lorsque r = 2, Pr, défini par l’équation (17.35) se réduit à PF, l’indice de prix idéal de Fisher, et Qr* défini par l’équation (17.37) se réduit à QF, l’indice de quantité idéal de Fisher. Lorsque r = 1, Pr défini par l’équation (17.35), se ramène à:

QW est l’indice de quantité de Walsh précédemment défini à la note 30 du chapitre 15. D’où Q1* est égal à QW, l’indice de quantité de Walsh, et donc également un indice de quantité superlatif.

Indices superlatifs: l’indice de Törnqvist

17.44 Les hypothèses émises aux paragraphes 17.9 à 17.17 au sujet du consommateur sont reprises ici. En particulier, on ne suppose pas, contrairement aux paragraphes 17.18 à 17.43, que la fonction d’utilité du consommateur fait nécessairement apparaître une homogénéité linéaire.

17.45 Avant d’arriver au résultat principal, il faut dégager un résultat préliminaire. Supposons que la fonction de n variables, f(z1,…,zn) = f(z), est quadratique, c’est-à-dire

où les paramètres ai et aik sont constants. Soit fi(z) la dérivée partielle de premier ordre de f évaluée à z par rapport à la ième composante de z, zi. Soit fik(z) la dérivée partielle de second ordre de f par rapport à zi et zk. Il est alors bien connu que l’approximation de second ordre par une série de Taylor d’une fonction quadratique est exacte; autrement dit, si f est définie par l’équation (17.39), pour deux points donnés, z0 et z1, l’équation suivante se vérifie:

Il est moins bien connu que la moyenne de deux approximations de premier ordre par la série de Taylor d’une fonction quadratique est elle aussi exacte; en d’autres termes, si f est définie par l’équation (17.39) ci-dessus, pour deux points donnés, z0 et z1, l’équation suivante se vérifie27:

Diewert (1976, p. 118) et Lau (1979) ont montré que l’équation (17.41) caractérise une fonction quadratique et ont appelé cette équation le lemme d’approximation quadratique. Dans le présent chapitre, l’équation (17.41) sera dénommée identité quadratique.

17.46 Supposons que la fonction de coût du consommateur28, C(u,p), ait la forme fonctionnelle translog suivante29:

où ln est la fonction logarithmique naturelle et où les paramètres ai, aik et bi satisfont aux contraintes suivantes:

Ces contraintes paramétriques assurent que C(u, p) définie par l’équation (17.42) est linéairement homogène par rapport à p, propriété qu’une fonction de coût doit avoir. On peut montrer que la fonction de coût translog définie par l’équation (17.42) peut donner une approximation de second ordre par une série de Taylor d’une fonction de coût arbitraire30.

17.47 Supposons que le consommateur ait des préférences qui correspondent à la fonction de coût translog et qu’il affiche un comportement de minimisation des coûts dans les périodes 0 et 1. Soient p0 et p1 les vecteurs de prix observés dans les périodes 0 et 1, et q0 et q1 les vecteurs de quantité observés dans les périodes 0 et 1. Ces hypothèses impliquent que:

C est la fonction de coût translog définie ci-dessus. Appliquons maintenant le lemme de Shephard (équation (17.12)) et nous obtenons l’équation suivante:

À partir de l’équation (17.44), remplaçons C(ut, pt) dans l’équation (17.45). Après multiplication croisée, nous obtenons ce qui suit:

ou

Sit est la part des dépenses consacrée au produit i dans la période t.

17.48 Soit u* la moyenne géométrique des niveaux d’utilité des périodes 0 et 1, c’est-à-dire

Nous observons maintenant que le membre de droite de l’équation qui définit le logarithme naturel de la fonction de coût translog, soit l’équation (17.42), est une fonction quadratique des variables zi = ln pi si l’utilité est maintenue constante au niveau u*. En conséquence l’identité quadratique (17.41) peut s’appliquer et nous obtenons l’équation suivante:

On peut reconnaître en la dernière équation de (17.49) le logarithme de l’indice de Törnqvist–Theil PT, défini par l’équation (15.81) au chapitre 15. En conséquence, par calcul exponentiel des deux membres de l’équation (17.49), nous obtenons l’égalité ci-après entre le coût de la vie véritable de la période 0 à la période 1, évalué au niveau d’utilité intermédiaire u*, et l’indice de Törnqvist-Theil observable PT31:

Comme la fonction de coût translog qui apparaît dans le membre de gauche de l’équation (17.49) est une forme fonctionnelle souple, l’indice de Törnqvist–Theil PT est aussi un indice superlatif.

17.49 On se demande comment un ratio de fonctions de coût inobservables sous la forme qui apparaît dans le membre de gauche de l’équation ci-dessus peut être exactement estimé à l’aide d’un indice observable. La clé du mystère est l’hypothèse de comportement de minimisation des coûts et l’identité quadratique (17.41), ainsi que le fait que les dérivées des fonctions de coût sont égales aux quantités, comme spécifié par le lemme de Shephard. En réalité, tous les indices exacts obtenus aux paragraphes 17.27 à 17.43 peuvent être calculés par transformation de l’identité quadratique et à l’aide du lemme de Shephard (ou de l’identité de Wold)32. Heureusement, pour la plupart des applications empiriques, l’hypothèse de préférences quadratiques (transformées) du consommateur est adéquate, de sorte que les résultats présentés aux paragraphes 17.27 à 17.49 sont fort utiles aux utilisateurs d’indices qui sont prêts à adopter l’approche économique de la théorie des indices33. Pour l’essentiel, cette approche justifie fortement l’emploi de l’indice des prix de Fisher PF défini par l’équation (15.12), de l’indice des prix de Törnqvist–Theil PT défini par l’équation (15.81), de la moyenne quadratique implicite des indices de prix d’ordre rPr* définie par l’équation (17.32) (quand r = 1, cet indice est l’indice des prix de Walsh défini par l’équation (15.19) au chapitre 15) et de la moyenne quadratique des indices de prix d’ordre rPr définie par l’équation (17.35). Dans la section suivante, nous nous demandons si l’une de ces formules l’emporte sur les autres dans le choix de la «meilleure» solution.

Les propriétés d’approximation des indices superlatifs

17.50 Les résultats des paragraphes 17.27 à 17.49 offrent aux statisticiens de prix un grand nombre de formules indicielles qui semblent aussi bonnes les unes que les autres dans l’approche économique de la théorie des indices. Ces résultats soulèvent deux questions:

  • L’une de ces formules est-elle préférable aux autres?

  • Dans l’affirmative, laquelle?

17.51 En ce qui concerne la première question, Diewert (1978, p. 888) a montré que tous les indices superlatifs évoqués aux paragraphes 17.27 à 17.49 donnent les uns des autres une approximation de second ordre autour d’un point d’égalité des deux vecteurs de prix, p0 et p1, et d’un point d’égalité des quantités, q0 et q1. Cela signifie en particulier que les égalités suivantes sont valides pour toutes les valeurs de r et de s différentes de 0, sous réserve que p0 = p1 et q0 = q1.34

où l’indice des prix de Törnqvist–Theil PT est défini par l’équation (15.81), la moyenne quadratique implicite des indices de prix d’ordre s, Ps*, est définie par l’équation (17.32) et la moyenne quadratique des indices de prix d’ordre r, Pr, par l’équation (17.35). Sur la base des résultats du précédent paragraphe, Diewert (1978, p. 884) a conclu que «tous les indices superlatifs se rapprochent beaucoup les uns des autres».

17.52 La conclusion susmentionnée n’est toutefois pas valide, même si les équations (17.51) à (17.56) le sont. Le problème, c’est que la moyenne des indices de prix d’ordre r, Pr et la moyenne quadratique implicite des indices de prix d’ordre s, Ps* sont des fonctions (continues) des paramètres r et s respectivement. En conséquence, plus r et s augmentent, plus les indices Pr et Ps* peuvent s’écarter, disons, de P2 = PF, l’indice idéal de Fisher. En fait, s’appuyant sur la définition (17.35) et les propriétés de limitation des moyennes d’ordre r35, Robert Hill (2000, p. 7) a montré que Pr a la limite suivante lorsque r tend vers plus ou moins l’infini:

On peut montrer, à l’aide de la méthode d’analyse de Hill, que la moyenne quadratique implicite des indices de prix d’ordre r a la limite suivante lorsque r tend vers plus ou moins l’infini:

En conséquence, lorsque r est de niveau élevé, Pr et Pr* peuvent s’écarter sensiblement de PT, P1, P1* = PW(l’indice des prix de Walsh) et de P2 = P2* = PF (l’indice idéal de Fisher)36.

17.53 Bien que les résultats théoriques et empiriques de Hill démontrent de façon concluante que tous les indices superlatifs ne se rapprochent pas nécessairement beaucoup les uns des autres, il reste à savoir à quel point les indices superlatifs les plus courants le font. Tous les indices superlatifs d’usage répandu, Pr et Pr*, se situent dans l’intervalle 0 ≤ r≤ 237. Hill (2002, p. 16) a résumé comme suit ses conclusions sur l’écart séparant les indices de Törnqvist et de Fisher, après avoir fait toutes les comparaisons possibles entre deux points pour l’ensemble de données chronologiques considéré:

L’écart entre les indices superlatifs S(0,2) présente lui aussi de l’intérêt puisque, dans la pratique, les indices de Törnqvist (r = 0) et de Fisher (r = 2) sont de loin les deux indices superlatifs les plus largement utilisés. Dans toutes les 153 comparaisons bilatérales, S(0,2) est inférieur à l’écart entre l’indice de Paasche et celui de Laspeyres et, en moyenne, l’écart entre les indices superlatifs n’est que de 0,1 %. L’attention a été jusqu’à présent centrée presque exclusivement sur les indices superlatifs de l’intervalle 0 ≤ r≤ 2, et c’est pourquoi la fausse impression générale que tous les indices superlatifs se rapprochent beaucoup les uns des autres a persisté dans les ouvrages spécialisés.

En conséquence, pour l’ensemble de données chronologiques de Hill sur 64 composantes du produit intérieur brut des États-Unis pour la période 1977–94, après toutes sortes de comparaisons bilatérales possibles entre deux années quelconques, les indices de prix de Fisher et de Törnqvist ne s’écartent l’un de l’autre que de 0,1 % en moyenne. Cette correspondance étroite est compatible avec les résultats d’autres études empiriques fondées sur des données chronologiques annuelles38. D’autres preuves en sont données au chapitre 19.

17.54 Les premiers chapitres du présent manuel indiquent que plusieurs indices ont l’air d’être les «meilleurs» selon le point de vue considéré. C’est ainsi que l’indice idéal de Fisher PF = P2 = P2*, défini par l’équation (15.12), est celui qui paraît le meilleur d’un point de vue axiomatique, que l’indice des prix de Törn-qvist-Theil PT défini par l’équation (15.81), semble le meilleur dans une autre perspective axiomatique, ainsi que du point de vue stochastique, et l’indice de Walsh PW, défini par l’équation (15.19) (lequel est égal à la moyenne quadratique implicite des indices de prix d’ordre r, Pr*, définie par l’équation (17.32) quand r = 1) a l’air d’être le meilleur dans le cas de l’indice des prix «pur». Il ressort des résultats présentés dans cette section que, pour les données chronologiques «normales», les valeurs obtenues pour ces trois indices seront quasiment les mêmes. Pour savoir exactement lequel de ces indices utiliser comme cible théorique ou indice effectif, l’office de statistique devra déterminer quelle approche de la théorie des indices cadre le mieux avec ses objectifs. À des fins pratiques, toutefois, il importe peu de savoir lequel de ces indices est choisi comme cible théorique pour comparer les prix d’une période à l’autre.

Indices superlatifs et agrégation en deux étapes

17.55 La plupart des offices de statistique utilisent la formule de Laspeyres pour agréger les prix en deux étapes. Dans la première, on prend la formule de Laspeyres pour agréger les composantes de l’indice global (par exemple, produits alimentaires, vêtements et services); dans la seconde étape, ces sous-indices sont regroupés pour former l’indice global. On se pose naturellement la question suivante: l’indice calculé en deux temps coïncide-t-il avec celui qui est obtenu en une seule fois? Cette question est abordée, pour commencer, dans le contexte de la formule de Laspeyres39.

17.56 Supposons que les données de prix et de quantité pour la période t, pt y qt, peuvent être exprimées sous forme de sous-vecteurs M comme suit:

où la dimension des sous-vecteurs ptm et qtm est Nm pour m = 1,2,…,M, la somme des dimensions Nm étant égale à n. Ces sous-vecteurs correspondent aux données de prix et de quantité pour les sous-composantes de l’indice des prix à la consommation pour la période t. Calculons maintenant les sous-indices pour chacune de ces composantes, allant de la période 0 à la période 1. Pour la période de référence, fixons le prix de chacune de ces sous-composantes, à, disons, Pm0(m = 1,2,…,M), égal à 1 et fixons les quantités correspondantes pour la période de référence à, disons, Qm0(m = 1,2,…,M), égal à la valeur dans la période de référence de la consommation de la sous-composante en question pour m = 1,2,…,M:

Utilisons maintenant la formule de Laspeyres pour établir un indice de prix de chaque sous-composante pour la période 1, disons Pm1 pour m = 1, 2,…,M, de l’IPC. Comme la dimension des vecteurs des sous-composantes, ptm et qtm, diffère de celle des vecteurs de prix et de quantité complets pour la période t, pt et qt, il est nécessaire d’utiliser différents symboles pour ces sous-indices de Laspeyres, soit PLm pour m = 1, 2,…, M. Les prix des sous-composantes de la période 1 sont définis comme suit:

Une fois que les prix de la période 1 pour les sous-indices M ont été définis par l’équation (17.61), on peut définir les quantités correspondantes pour la période 1 Qm1 pour m = 1, 2, …,M, en corrigeant les valeurs des sous-composantes de la période 1 Qm1 pour m = 1, 2,…,M, en corrigeant les valeurs des sous-composantes de la période 1 Σi=1Nmpi1mqi1m des prix Pm1

Exprimons maintenant les vecteurs de prix et de quantité des sous-composantes pour chaque période t = 0,1 à l’aide des équations (17.60) à (17.62). Les vecteurs correspondants pour les périodes 0 et 1, p0 et p1, sont définis en conséquence comme suit:

où 1M représente un vecteur de dimension M, et les composantes de P1 sont définies par l’équation (17.61). Les vecteurs de quantité des sous-composantes pour les périodes 0 et 1, Q0 et Q1, sont définis comme suit:

où les composantes de Q0 sont définies par l’équation (17.60) et celles de Q1 par l’équation (17.62). Les vecteurs de prix et de quantité dans les équations (17.63) et (17.64) représentent les résultats de la première étape de l’agrégation. Utilisons maintenant ces vecteurs comme base de départ dans le problème d’agrégation de la seconde étape; autrement dit, appliquons la formule de Laspeyres en utilisant les informations tirées des équations (17.63) et (17.64) comme données d’entrée. Comme les vecteurs de prix et de quantité qui sont pris comme base de départ dans la deuxième étape ont une dimension M alors que les vecteurs utilisés dans l’agrégation en une seule étape sont de dimension n, il est nécessaire de prendre un symbole différent pour le nouvel indice de Laspeyres, qui est PL*. Ainsi, l’indice de prix de Laspeyres calculé en deux étapes peut être représenté par PL*(P0,P1,Q0,Q1). Il y a maintenant lieu de se demander si cet indice de Laspeyres obtenu en deux temps est égal à l’indice correspondant calculé en une seule étape PL, qui a été étudié dans les sections précédentes du présent chapitre, c’est-à-dire si

Si la formule de Laspeyres a été utilisée à chaque étape de l’agrégation, alors la réponse est oui: des calculs simples montrent que l’indice de Laspeyres calculé en deux étapes est égal à l’indice de Laspeyres calculé en une seule fois.

17.57 Supposons maintenant que c’est la formule de Fisher ou de Törnqvist qui est utilisée à chaque étape de l’agrégation. Supposons ainsi que, dans l’équation (17.61), la formule de Laspeyres PLm(p0m,p1m,q0m,q1m) est remplacée par celle de Fisher PFm(p0m,p1m,q0m,q1m) ou de Törnqvist PTm(p0m,p1m,q0m,q1m); et que, dans l’équation (17.65), PL*(P0,P1,Q0,Q1) est remplacé par PF*(ouPT*), et PL(p0, p1, q0, q1) par PF (ou PT). Peut-on alors obtenir la contrepartie du résultat de l’agrégation en deux étapes issu de la formule de Laspeyres, équation (17.65)? La réponse est non; on peut montrer que, en général,

De même, il n’y a pas associativité de l’agrégation pour la moyenne quadratique des indices d’ordre r, Pr, définie par l’équation (17.35) et la moyenne quadratique implicite des indices d’ordre r, Pr*, définie par l’équation (17.32).

17.58 On peut néanmoins montrer que, si l’associativité de l’agrégation dans l’application des formules de Fisher et de Törnqvist n’est pas parfaite, elle est quand même approximative. Plus précisément, on peut montrer que l’indice de Fisher calculé en deux temps PF* et l’indice de Fisher obtenu directement PF dans l’inégalité (17.66), tous deux considérés comme des fonctions des variables 4n dans les vecteurs p0, p1, q0, q1, donnent l’un de l’autre une approximation de second ordre autour d’un point d’égalité des deux vecteurs de prix (d’où p0 = p1) et d’un point d’égalité des deux vecteurs de quantité (d’où q0 = q1), résultat qui se vérifie également pour l’indice de Törnqvist calculé en deux temps et l’indice de Törnqvist obtenu en une seule étape dans l’équation (17.66)40. Comme on l’a vu dans la section précédente, les indices de Fisher et de Törnqvist qui sont calculés en une seule étape ont la même propriété d’approximation, de sorte que les quatre indices dans l’inégalité (17.66) donnent les uns des autres une approximation de second ordre autour d’un point d’égalité (ou de proportionnalité) des prix et d’un point d’égalité (ou de proportionnalité) des quantités. En conséquence, pour les données chronologiques normales, les indices de Fisher et de Törnqvist calculés directement et ceux qui sont obtenus en deux étapes sont numériquement très proches les uns des autres. Ce résultat est illustré au chapitre 19 pour un ensemble de données artificielles41.

17.59 Une associativité de l’agrégation analogue (à celle obtenue avec les formules de Fisher et de Törnqvist, expliquée dans le paragraphe précédent) peut être observée pour la moyenne quadratique des indices d’ordre r, Pr, et pour la moyenne quadratique implicite des indices d’ordre r, Pr*; voir Diewert (1978, p. 889). Néanmoins, les résultats de Hill (2000) impliquent ici encore que la propriété d’approximation au second ordre de la moyenne quadratique directement calculée des indices d’ordre r, Pr, par rapport à la moyenne correspondante obtenue en deux temps disparaît lorsque r tend vers plus ou moins l’infini. À titre d’illustration, prenons un exemple simple, dans lequel ne sont considérés que quatre produits au total. Supposons que le premier rapport de prix p11/p10 soit égal au nombre positif a, que le deuxième rapport de prix p11/p10 soit égal à b et que le dernier rapport de prix p41/p40 soit égal à c, avec a < c et abc. Sur la base de l’équation de Hill (17.57), la valeur limite de l’indice obtenu directement est:

Formons maintenant un sous-agrégat avec les produits 1 et 2 et un autre sous-agrégat avec les produits 3 et 4. En utilisant de nouveau l’équation de Hill (17.57), nous trouvons que la valeur limite de l’indice des prix pour le premier sous-agrégat est égale à [ab]1/2 et que celle de l’indice des prix pour le second sous-agrégat est égale à [bc]1/2. Procédons maintenant à la seconde étape de l’agrégation; après application de l’équation de Hill, nous concluons que la valeur limite de l’indice en deux temps, lorsque la formule utilisée est Pr, est égale à [ab2c]1/4. En conséquence, lorsque r tend vers plus ou moins l’infini, la valeur limite de l’indice obtenu directement par rapport à celle de l’indice calculé en deux temps est [ac]1/2/[ab2c]1/4 = [ac/b2]1/4. Comme b peut avoir n’importe quelle valeur entre a et c, le ratio de la valeur limite de l’indice obtenu directement Pr à celle de l’indice en deux temps correspondant peut être égal à n’importe quelle valeur comprise entre [a/c]1/4 et [c/a]1/4. Comme c/a est supérieur à 1 et a/c est inférieur à 1, on peut voir que le ratio de l’indice en une étape à celui en deux temps peut être arbitrairement éloigné de 1 lorsque r augmente, avec attribution d’une valeur appropriée pour a, b et c.

17.60 Les résultats du paragraphe précédent montre qu’il faut se garder de supposer que tous les indices superlatifs feront apparaître une associativité approximative de l’agrégation. Cependant, pour les trois indices superlatifs les plus couramment utilisés (l’indice idéal de Fisher PF, l’indice de Törnqvist–Theil PT et celui de Walsh PW), les données empiriques disponibles indiquent que ces indices donnent lieu à une associativité suffisamment approximative de l’agrégation pour que les utilisateurs ne soient pas trop gênés par leur manque de correspondance éventuel42.

L’indice de Lloyd–Moulton

17.61 L’indice qui sera examiné dans cette section consacrée à l’approche économique de la théorie des indices pour les ménages uniques peut être très utile aux organismes statistiques qui ont des difficultés à établir un IPC en temps voulu. La formule de Lloyd–Moulton qui sera traitée dans la présente section fera usage des mêmes informations que l’indice de Laspeyres, auxquelles vient toutefois s’ajouter un autre élément d’information.

17.62 Dans cette section sont reprises les hypothèses émises au sujet du consommateur aux paragraphes 17.18 à 17.26 ci-dessus. En particulier, on suppose que la fonction d’utilité du consommateur f(q) fait apparaître une homogénéité linéaire43 et que la fonction de coût unitaire correspondante est c(p). On suppose également que la fonction de coût unitaire a la forme fonctionnelle suivante:

αi et σ sont des paramètres non négatifs, avec Σi=1nαi=1. La fonction de coût unitaire définie par l’équation (17.68) correspond à une fonction d’agrégation à élasticité de substitution constante (CES), qui a été introduite dans la littérature économique par Arrow, Chenery, Minhas et Solow (1961)44. Le paramètre σ est l’élasticité de substitution; quand σ = 0, la fonction de coût unitaire définie par l’équation (17.68) devient linéaire par rapport aux prix et, partant, correspond à une fonction d’agrégation à coefficients fixes qui affiche une substituabilité nulle entre tous les produits. Quand σ = 1, la fonction d’agrégation ou fonction d’utilité correspondante est une fonction de Cobb-Douglas. Quand σ tend vers a + ∞, la fonction d’agrégation correspondante f se rapproche d’une fonction d’agrégation linéaire qui fait apparaître une substituabilité infinie entre deux intrants. La fonction de coût unitaire CES définie par l’équation (17.68) n’est pas une forme fonctionnelle tout à fait souple (à moins que le nombre de produits n faisant l’objet de l’agrégation ne soit 2), mais elle est considérablement plus souple que la fonction d’agrégation à substituabilité nulle (c’est le cas particulier de l’équation (17.68), où σ est fixé à zéro) qui est exacte pour les indices de prix de Laspeyres et de Paasche.

17.63 Dans l’hypothèse d’un comportement de minimisation des coûts dans la période 0, le lemme de Shephard (17.12) nous dit que la consommation observée pendant la première période du produit i, qi0 sera égale à u0c(p0)/∂pi, où ∂c(p0)/∂pi est la dérivée partielle de premier ordre de la fonction de coût unitaire par rapport au prix de l’ i ème produit évalué aux prix de la période 0, et u0 = f(q0) est le niveau agrégé (inobservable) de l’utilité dans la période 0. En utilisant la forme fonctionnelle CES définie par l’équation (17.68) et en supposant que σ ≠ 1, nous obtenons les équations suivantes:

Ces équations peuvent être reformulées comme suit:

r = 1 – σ. Considérons maintenant l’indice de Lloyd (1975) et Moulton (1996a) suivant:

si0 est la part des dépenses consacrée d’ordinaire au produit i dans la période 0:

Si l’équation (17.72) est intégrée à l’équation (17.71), on a:

17.64 L’équation (17.73) montre que l’indice de Lloyd–Moulton PLM est exact pour les préférences CES. Lloyd (1975) et Moulton (1996a) ont obtenu séparément ce résultat, mais c’est Moulton qui a évalué la significativité de la formule (17.71) pour les besoins des offices de statistique. Notons que, pour une évaluation chiffrée de la formule (17.71), il est nécessaire de disposer de renseignements sur:

  • la part des dépenses dans la période de référence si0;

  • les rapports de prix pi1/pi0 entre la période de référence et la période en cours;

  • l’élasticité de substitution estimée entre les produits de l’agrégat, σ.

Les deux premiers éléments sont les types d’information que les organismes statistiques utilisent normalement pour calculer l’indice des prix de Laspeyres PL (à noter que PLM se réduit à PL si σ = 0). En conséquence, si l’office de statistique est en mesure d’estimer l’élasticité de substitution σ sur la base de l’expérience passée45, il peut alors calculer l’indice des prix de Lloyd–Moulton en s’appuyant essentiellement sur les mêmes informations qui servent à établir l’indice de Laspeyres classique. De plus, l’IPC obtenu ne comportera pas de biais de substitution à un degré d’approximation raisonnable46. Bien entendu, la difficulté pratique à appliquer cette méthodologie tient au fait que les estimations de l’élasticité de substitution σ sont appelées à être quelque peu incertaines, et il se peut donc que l’indice de Lloyd-Moulton se voie reprocher de ne pas être objectif ou reproductible. L’office de statistique devra peser les avantages de la réduction du biais de substitution contre ces risques.

Préférences annuelles et prix mensuels

17.65 Revenons à l’indice de Lowe, PLo(p0,p1,q), défini par l’équation (15.15) au chapitre 15. Aux paragraphes 15.33 à 15.64 de ce chapitre, il est indiqué que cette formule est souvent prise par les offices de statistique comme indice cible pour un IPC. Il y est également indiqué que, si les vecteurs de prix p0 (vecteur de prix de la période de référence) et p1 (vecteur de prix de la période en cours) sont mensuels ou trimestriels, le vecteur de quantité q = (q1, q2,…,qn) qui apparaît dans cet indice de panier-type est généralement considéré comme un vecteur annuel se rapportant à une année de référence, par exemple b, qui est antérieure à la période de référence prise pour les prix, mois 0. Par conséquent, en général, un organisme statistique établira tous les mois un IPC qui a la forme PLo(p0, pt, qb), où p0 est le vecteur de prix se rapportant à la période de référence des prix, le mois 0; pt le vecteur de prix se rapportant à la période en cours des prix, disons le mois t; et qb un vecteur de quantité (indice de panier-type) pour la période de référence b, qui est antérieure au mois 047. La question qui se pose ici est la suivante: cet indice peut-il être relié à un indice fondé sur l’approche économique de la théorie des indices?

L’indice de Lowe en tant qu’approximation d’un indice du coût de la vie véritable

17.66 Supposons que le consommateur ait les préférences définies par les vecteurs de consommation q = [q1,…,qn] qui peuvent être représentés par la fonction continue d’utilité croissante f(q). En conséquence, si f(q1) > f(q0), le consommateur préfère le vecteur de consommation q1 à q0. Soit qb le vecteur de consommation annuel pour l’année de référence b et ub le niveau d’utilité correspondant à f(q) évaluée à qb:

17.67 Pour tout vecteur de prix positifs p = [p1,…,pn] et pour tout niveau d’utilité réalisable u, la fonction de coût du consommateur, C(u,p), peut être normalement définie par le minimum de dépenses requis pour que le niveau d’utilité u soit atteint lorsque le consommateur est confronté aux prix p:

Soit pb=[p1b,,pnb] le vecteur de prix annuels auxquels le consommateur est confronté dans l’année de référence b. Supposons que le vecteur de consommation observé pour l’année de référence qb=[q1b,,qnb] apporte une solution au problème ci-après de minimisation des coûts pour l’année de référence:

La fonction de coût sera utilisée ci-dessous pour définir l’indice du coût de la vie du consommateur.

17.68 Soit p0 et pt les vecteurs des prix mensuels auxquels le consommateur est confronté aux mois 0 et t. L’indice du coût de la vie véritable, PK(p0, pt, qb), entre les mois 0 et t, lorsque le niveau d’utilité de l’année de référence ub = f(qb) est pris comme niveau de vie de référence, est défini par le ratio des coûts mensuels minimums liés au niveau d’utilité ub:

17.69 Sur la base de la définition du problème de minimisation des coûts mensuels correspondant au coût C(f(qb), pt), on peut voir que l’inégalité suivante se vérifie:

puisque le vecteur de quantité pour l’année de référence qb est la solution au problème de minimisation des coûts. De même, sur la base de la définition du problème de minimisation des coûts mensuels correspondant aux coûts pour le mois 0, C(f(qb), p0), on peut voir que l’inégalité suivante se vérifie:

puisque le vecteur de quantité pour l’année de référence qb est la solution au problème de minimisation des coûts.

17.70 Il se révélera utile d’exprimer les deux inégalités (17.78) et (17.79) sous la forme d’égalités. Cela peut se faire si les termes représentatifs du biais de substitution non négatifs, et et e0, sont soustraits des membres de droite de ces deux inégalités. En conséquence, les inégalités (17.78) et (17.79) peuvent être reformulées comme suit:

17.71 À partir des équations (17.80) et (17.81), et de la définition (5.15) donnée au chapitre 15 de l’indice de Lowe, on obtient l’égalité approximative ci-après pour l’indice de Lowe:

Par conséquent, si les termes représentatifs du biais de substitution non négatifs e0 et et sont faibles, l’indice de Lowe qui compare les prix du mois 0 à ceux du mois t, PLo(p0, pt, qb), sera une bonne approximation de l’indice du coût de la vie véritable comparant les prix du mois 0 à ceux du mois t, PK(p0, pt, qb).

17.72 Un peu de manipulation algébrique fait apparaître que l’indice de Lowe sera exactement égal à l’indice correspondant du coût de la vie si les termes représentatifs du biais de substitution satisfont à l’égalité suivante48:

Les équations (17.82) et (17.83) peuvent être interprétées comme suit: si l’augmentation du niveau du biais de substitution du mois 0 au mois t est égale à la croissance entre le mois 0 et le mois t du coût minimum à supporter pour atteindre le niveau d’utilité de l’année de référence ub, l’indice de Lowe observable, PLo(p0,pt,qb), sera exactement égal à l’indice correspond du coût de la vie véritable, PK(p0, pt, qb)49.

17.73 Il est difficile de savoir si la condition (17.83) sera satisfaite ou si les termes représentatifs du biais de substitution e0 et et seront faibles. Aussi procède-t-on respectivement dans les paragraphes 17.74 à 17.83 à un développement limité au premier et au deuxième degré en utilisant la formule de Taylor.

Approximation de premier ordre du biais de l’indice de Lowe

17.74 L’indice du coût de la vie véritable comparant les prix du mois 0 à celui du mois t, lorsque le niveau d’utilité de l’année de référence ub est pris comme niveau d’utilité de référence est le rapport de deux coûts inobservables, C(ub,pt)/C(ub,p0). Cependant, ces coûts hypothétiques peuvent tous deux faire l’objet d’approximations par la série de Taylor à l’aide d’informations observables sur les prix et les quantités de l’année de référence. L’approximation du premier ordre de C(ub,pt) par la série de Taylor autour du vecteur de prix annuel pour l’année de référence pb est donnée par l’équation approximative suivante50:

à partir de l’hypothèse (17.76) et du lemme de Shephard (17.12)

De même, l’approximation au premier ordre par la série de Taylor de C(ub,p0) autour d’un vecteur de prix annuels pour l’année de référence pb est donnée par l’équation approximative suivante:

17.75 Comparons l’équation approximative (17.84) à l’équation (17.80) et comparons ensuite l’équation (17.85) à l’équation (17.81); nous pouvons voir qu’avec le degré de précision de l’approximation de premier ordre utilisée dans les équations (17.84) et (17.85), les termes représentatifs du biais de substitution et et e0 seront égaux à zéro. Nous appuyant sur ces résultats pour réinterpréter l’équation approximative (17.82), nous constatons que, si les vecteurs de prix pour le mois 0 et pour le mois t, p0 et pt, ne s’écartent pas trop du vecteur de prix pour l’année de référence pb, l’indice de Lowe PLo(p0,pt,qb) donnera une approximation de l’indice du coût de la vie véritable PK(p0,pt,qb) avec le degré de précision d’une approximation de premier ordre. Ce résultat est fort utile car il indique que, si les vecteurs de prix mensuels p0 et pt fluctuent seulement de façon aléatoire autour des prix de l’année de référence pb (avec faibles variances), l’indice de Lowe donnera une bonne approximation d’un indice du coût de la vie théorique. Cependant, si l’on observe une tendance à long terme systématique des prix et que le mois t est assez éloigné du mois 0 (ou si la fin de l’année b est assez éloignée du mois 0), les approximations de premier ordre données par les équations approximatives (17.84) et (17.85) risquent de ne plus être valides et l’indice de Lowe peut comporter un biais considérable par rapport à l’indice du coût de la vie correspondant. L’hypothèse d’une tendance à long terme des prix sera explorée aux paragraphes 17.76 à 17.83.

Approximation de second ordre du biais de substitution de l’indice de Lowe

17.76 Une approximation de second ordre par la série de Taylor de C(ub,pt) autour du vecteur de prix pour l’année de référence pb est donnée par l’équation approximative suivante:

où la dernière égalité est le résultat obtenu à partir de l’équation approximative (17.84)51. De même, une approximation de second ordre par la série de Taylor de C(ub,p0) autour du vecteur de prix pour l’année de référence pb est donnée par l’équation approximative suivante:

où la dernière égalité est le résultat obtenu à partir de l’équation approximative (17.85).

17.77 Comparons l’équation approximative (17.86) à l’équation (17.80), et comparons ensuite l’équation approximative (17.87) à l’équation (17.81); nous pouvons voir que, avec le degré de précision d’une approximation de second ordre, les termes représentatifs du biais de substitution pour le mois 0 et le mois t, e0 et et, seront égaux aux expressions suivantes, qui incluent les dérivées partielles de second ordre de la fonction de coût du consommateur ∂2C(ub,pb)/∂pi∂pj évaluée au niveau de vie de l’année de référence ub et aux prix de l’année de référence pb:

Comme la fonction de coût du consommateur C(u,p) est une fonction concave au niveau des composantes du vecteur de prix p52, on sait53 que la matrice n x n (symétrique) des dérivées partielles de second ordre [∂2C(ub, pb)/∂pi∂pj] est semi-définie négative54. En conséquence, pour les vecteurs de prix arbitraires pb, p0 et pt, les membres de droite des approximations (17.88) et (17.89) seront non négatifs. En conséquence, avec le degré de précision d’une approximation de second ordre, les termes représentatifs du biais de substitution e0 et et seront non négatifs.

17.78 Supposons maintenant que l’on observe une tendance systématique à long terme des prix. Posons en hypothèse que le dernier mois de l’année de référence des quantités précède de M mois le mois 0, mois de référence des prix, et que les prix suivent une tendance temporelle linéaire, à partir du dernier mois de l’année de référence des quantités. Nous supposons donc l’existence de constantes αj pour j = 1, …,n telles que le prix du produit j au mois t est donné par:

Par intégration de l’équation (17.90) dans les approximations (17.88) et (17.89), nous obtenons les approximations de second ordre suivantes des deux termes représentatifs du biais de substitution, e0 et et55:

γ est défini comme suit:

17.79 Il convient de noter que le paramètre γ sera égal à zéro à deux conditions56:

  • Toutes les dérivées partielles de second ordre de la fonction de coût du consommateur ∂2C(ub, pb)/∂pi∂pj soient égales à zéro.

  • Chaque paramètre de la variation du prix du produit j, αj soit proportionnel au prix correspondant de ce produit pour l’année de base pjb57.

D’un point de vue empirique, la première condition est peu plausible, car elle impliquerait que le consommateur ne remplace pas les produits dont le prix relatif augmenterait par d’autres produits. Il en est de même de la seconde condition, qui impliquerait que la structure des prix relatifs reste inchangée d’une période à l’autre. On supposera donc, dans ce qui suit, que γ est un nombre positif.

17.80 Pour simplifier, soit a le dénominateur de l’indice de Lowe pour le mois t, PLo(p0,pt,qb), et b son dénominateur, nous avons:

En utilisant l’équation (17.90) pour éliminer les prix pi0 du mois 0 de l’équation (17.94) et les prix du mois t, pit de l’équation (17.95), nous obtenons les expressions ciaprès pour a et b:

Nous supposons que a et b58 soient positifs et que

L’hypothèse (17.98) implique qu’il n’y ait pas une déflation générale des prix.

17.81 Par définition, le biais de l’indice de Lowe pour le mois t, Bt, est égal à la différence entre l’indice du coût de la vie véritable PK(p0, pt, qb) défini par l’équation (17.77) et l’indice de Lowe correspondant PLo(p0,pt,qb):

à partir des équations (17.94) et (17.95)

à partir des équations (17.80) et (17.81)

à partir des équations (17.91) et (17.92)

à partir des équations (17.96) et (17.97)

En conséquence, pour t ≥ 1, l’indice de Lowe comportera un biais positif (avec le degré de précision d’une approximation de second ordre par la série de Taylor) par rapport à l’indice du coût de la vie véritable correspondant PK(p0,pt, qb), puisque le biais approximatif défini par la dernière expression de l’équation (17.99) est la somme d’un terme non positif et de deux termes négatifs. En outre, ce biais approximatif augmentera quadratiquement avec le temps t59.

17.82 Pour donner au lecteur une idée de l’ordre de grandeur du biais approximatif Bt défini par la dernière ligne de l’équation (17.99), considérons un cas spécial simple. Supposons qu’il y ait deux produits et que, dans l’année de référence, tous les prix et quantités soient égaux à 1. Par conséquent, pib=qib=1 pour i = 1,2 et Σi=1npibqib=2. Par hypothèse, M = 24, c’est-à-dire qu’il faut deux ans pour procéder au traitement des données de quantité pour l’année de référence avant d’utiliser l’indice de Lowe. Supposons que le taux de hausse mensuel du prix du produit 1 soit α1 = 0,002 de sorte que, après un an, le prix du produit 1 augmente de 0,024 ou 2,4 %. Supposons également que le prix du produit 2 baisse chaque mois, soit α2 = –0,002, de sorte que le prix du produit 2 baisse de 2,4 % pendant la première année suivant l’année de référence des quantités. Par conséquent, le prix relatif des deux produits s’écarterait d’environ 5 % par an. Enfin, supposons que ∂2C(ub, pb)/∂p1∂p1 = ∂2C(ub, pb)/∂p2∂p2 = –1 et ∂2C(ub, pb)/∂p1∂p2 = ∂2C(ub, pb)/∂p2∂p1. Ces hypothèses impliquent que l’élasticité propre de la demande de chaque produit soit de –1 au point d’équilibre de la consommation pour l’année de référence. Autrement dit:

Après intégration des valeurs paramétriques définies par l’équation (17.100) dans l’équation (17.99), nous obtenons la formule suivante pour l’approximation du chiffre par lequel l’indice de Lowe dépassera l’indice du coût de la vie véritable correspondant au mois t:

La résolution de l’équation (17.101) pour t = 12, t = 24, t = 36, t = 48 et t = 60 aboutit à l’estimation suivante pour -Bt: 0,0029 (le biais approximatif de l’indice de Lowe à la fin de la première année d’utilisation de l’indice); 0,0069 (le biais après deux ans); 0,0121 (le biais après trois ans); 0,0185 (le biais après quatre ans); 0, 0260 (le biais après cinq ans). En conséquence, à la fin de la première année, l’indice de Lowe ne dépassera l’indice du coût de la vie correspondant que d’environ un tiers de point de pourcentage, mais, à la fin de la cinquième année, il le dépassera d’environ 2,6 points, niveau qui n’est plus négligeable60.

17.83 Les résultats chiffrés du précédent paragraphe donnent seulement une idée du niveau approximatif de l’écart entre un indice du coût de la vie et l’indice de Lowe correspondant. Le point important à souligner est que, au degré de précision d’une approximation de second ordre, l’indice de Lowe dépassera généralement l’indice du coût de la vie correspondant. Les résultats indiquent en outre, toutefois, que cet écart peut être ramené à un niveau négligeable si:

  • le délai d’obtention des pondérations de quantité de l’année de référence est réduit au minimum;

  • l’année de référence est changée aussi souvent que possible.

Par ailleurs, il y a lieu de noter que les résultats chiffrés dépendent de l’hypothèse qu’une tendance à long terme des prix est observée, ce qui n’est peut-être pas le cas61, et d’hypothèses quant à l’élasticité de la demande qui ne sont pas nécessairement justifiées62. Les offices de statistique doivent établir avec soin leurs propres estimations de l’écart entre un indice de Lowe et un indice du coût de la vie en tenant compte de la situation qui leur est propre.

Le problème des produits saisonniers

17.84 L’hypothèse que le consommateur a des préférences annuelles pour certains produits achetés dans l’année de référence des pondérations de quantité, et que ces préférences annuelles peuvent servir à déterminer les achats mensuels des mêmes produits est une hypothèse essentielle pour relier l’approche économique de la théorie des indices à l’indice de Lowe. Cette hypothèse est toutefois contestable en raison de la nature saisonnière de certains produits achetés. Le problème, c’est qu’il est fort probable que les fonctions de préférence des consommateurs changent systématiquement d’une saison à l’autre. Les coutumes nationales et les changements climatiques poussent les ménages à acheter certains biens et services pendant certains mois et pas du tout dans d’autres mois. Par exemple, ils n’achètent des arbres de Noël qu’en décembre et généralement pas de vestes de ski pendant les mois d’été. Par conséquent, l’hypothèse que les préférences annuelles s’appliquent à chaque mois de l’année n’est acceptable qu’en tant qu’approximation très grossière de la réalité économique.

17.85 L’approche économique de la théorie des indices peut être adaptée en fonction des préférences saisonnières. L’approche économique la plus simple est celle qui consiste à supposer que le consommateur ait des préférences annuelles pour des produits classés non seulement selon leurs caractéristiques, mais aussi selon le mois d’achat63. Par conséquent, au lieu de supposer que la fonction d’utilité annuelle du consommateur soit f(q), où q est un vecteur dimensionnel n, on part de l’hypothèse que la fonction d’utilité annuelle du consommateur soit F[f1(q1), f2(q2),…,f12(q12)], où q1 est un vecteur dimensionnel n des achats de produits faits en janvier, q2 est un vecteur dimensionnel n des achats de produits faits en février,…, et q12 est un vecteur dimensionnel des achats de produits faits en décembre64. Les sous-fonctions d’utilité f1, f2,…,f12 représentent respectivement les préférences du consommateur lorsqu’il fait les achats en janvier, février,…., et décembre. Ces sous-fonctions d’utilité mensuelle peuvent alors être agrégées à l’aide de la macrofonction d’utilité F pour définir l’utilité annuelle globale. On peut voir que ces hypothèses de préférences peuvent servir à justifier deux types d’indices du coût de la vie:

  • Un indice annuel du coût de la vie qui compare les prix de tous les mois de l’année en cours avec les prix mensuels correspondants de l’année de référence65.

  • 12 indices mensuels du coût de la vie, auquel cas l’indice du mois m compare les prix du mois m de l’année en cours avec les prix du mois m de l’année de référence pour m = 1, 2,…,1266.

17.86 Les indices annuels de Mudgett–Stone comparent les coûts de l’année civile en cours avec les coûts correspondants de l’année de référence. Cependant, tout mois pourrait être choisi comme dernier mois de l’année en cours, et les prix et quantités de cette nouvelle année non civile pourraient être comparés aux prix et quantités de l’année de référence, c’est-à-dire que les prix de janvier de l’année non civile seraient comparés aux prix de janvier de l’année de référence, les prix de février de l’année non civile seraient comparés aux prix de février de l’année de référence, et ainsi de suite. Si de nouvelles hypothèses sont formulées quant à la macrofonction d’utilité F, ce cadre peut servir à justifier un troisième type d’indice du coût de la vie: un indice annuel mobile67. Cet indice compare les coûts supportés pendant les 12 mois passés pour atteindre le niveau d’utilité de l’année de référence avec les coûts correspondants de l’année de référence: les coûts de janvier de l’année mobile en cours sont comparés aux coûts de janvier de l’année de référence, les coûts de février de l’année mobile en cours sont comparés aux coûts de février de l’année de référence, et ainsi de suite. Ces indices mobiles peuvent être calculés pour chaque mois de l’année en cours et les séries obtenues peuvent être considérées comme des indices de prix (annuels) désaisonnalisés (non centrés)68.

17.87 Il convient de noter qu’aucun des trois types d’indices décrits dans les deux paragraphes précédents ne permet de suivre les mouvements de prix d’un mois à l’autre; en d’autres termes, ils ne retracent pas les mouvements à court terme de l’inflation. Ce fait est évident pour les deux premiers types d’indice. Pour mettre en lumière ce problème dans le cas des indices annuels mobiles, considérons le cas spécial dans lequel le panier de produits achetés tous les mois est tout à fait particulier à chaque mois. Il est alors manifeste que, même si les trois types d’indices ci-dessus sont bien définis, aucun d’entre eux ne peut en aucune façon retracer les fluctuations mensuelles des prix, car il est impossible, vu les hypothèses adoptées dans le cas spécial, de comparer, dans leur évolution d’un mois à l’autre, des éléments qui ne sont pas comparables.

17.88 Heureusement, les achats des ménages pendant un mois ne sont pas, dans la pratique, tout à fait particuliers au mois en question. En conséquence, il est possible de comparer les prix d’un mois à ceux de l’autre si l’on se limite aux produits qui sont achetés tous les mois de l’année. Cette observation conduit à un quatrième type d’indice du coût de la vie, un indice mensuel mobile, qui recouvre des produits disponibles tous les mois de l’année69. Ce modèle peut servir à justifier l’approche économique décrite aux paragraphes 17.66 à 17.83. Cependant, les produits qui sont achetés seulement pendant certains mois de l’année doivent être retirés du champ de l’indice. Malheureusement, il est probable que les préférences mensuelles pour des produits qui sont toujours disponibles varient selon le consommateur et, si c’est le cas, l’indice mensuel mobile du coût de la vie (et l’indice de Lowe correspondant) défini en fonction de produits toujours disponibles fera généralement apparaître des fluctuations saisonnières. Cela limitera l’utilité de l’indice en tant qu’indicateur à court terme de l’inflation générale car il sera difficile de distinguer une fluctuation saisonnière d’un mouvement général systématique des prix70. Notons par ailleurs que, si le champ de l’indice est limité aux produits toujours disponibles, l’indice mensuel mobile mois le mois qui en résulte ne sera pas complet, contrairement aux indices annuels mobiles, qui utilisent toutes les informations disponibles sur les prix.

17.89 Les considérations ci-dessus nous amènent à conclure que les offices de statistique auraient peut-être intérêt à établir au moins deux indices des prix à la consommation:

  • Un indice annuel mobile qui serait complet et désaisonnalisé, mais qui ne permettrait pas nécessairement de retracer les fluctuations au mois le mois de l’inflation générale.

  • Un indice mensuel mobile qui se limiterait aux produits non saisonniers (et, partant, ne serait pas complet), mais qui permettrait de retracer les mouvements à court terme de l’inflation générale.

Le problème du passage d’un prix zéro à un prix positif

17.90 Que faire lorsqu’un prix qui était égal à zéro devient positif? C’est la question que soulève Haschka (2003) dans sa récente étude. Il y donne deux exemples pour l’Autriche, où le tarif de parking et les frais hospitaliers ont été portés de zéro à un niveau positif. Dans pareil cas, il se trouve que les indices de panier-type ont un avantage sur les indices qui sont des moyennes géométriques pondérées de rapports de prix, car ils sont bien définis même si certains prix sont égaux à zéro.

17.91 Le problème peut être considéré dans le cadre du calcul des indices de Laspeyres et de Paasche. Supposons comme d’ordinaire que les prix pit et les quantités qit des n premiers produits soient positifs pour les périodes 0 et 1, que le prix du produit n + 1 soit zéro dans la période 0 et soit positif dans la période 1. Dans les deux périodes, la consommation du produit n + 1 est positive. Les hypothèses sur les prix et quantités du produit n + 1 dans les deux périodes considérées peuvent se résumer comme suit:

En général, la hausse du prix du produit n + 1 par rapport à un niveau initial égal à zéro fera baisser sa consommation de telle sorte que qn+11<qn+10,, mais cette inégalité n’est pas requise pour l’analyse ci-dessous.

17.92 Soit pLn l’indice de Laspeyres qui compare les prix des périodes 0 et 1, limité aux n premiers produits, et soit PLn+1 l’indice de Laspeyres, qui tient compte de tous les produits n + 1. Soit vi0=pi0qi0 la valeur des dépenses sur le produit i dans la période 0. De par la définition de l’indice de Laspeyres qui recouvre tous les produits n + 1:

pn+10=0 a servi à calculer la deuxième équation cidessus. En conséquence, l’indice de Laspeyres complet PLn+1 qui recouvre tous les produits n + 1 est égal à l’indice de Laspeyres incomplet PLn (qui peut être exprimé sous la forme traditionnelle des rapports de prix et des parts de dépenses pour la période de référence), plus les dépenses mixtes ou hybrides pn+11qn+10 divisés par les dépenses de la période de référence sur les n premiers produits, Σi=1nvi0.. Le statisticien de prix peut donc calculer l’indice de Laspeyres complet en s’appuyant sur les informations dont il dispose et sur deux autres éléments d’information: le nouveau prix différent de zéro du produit n+ 1 dans la période 1, pn+11, et une estimation de la consommation du produit n + 1 dans la période 0 (où il était gratuit), qn+10. Comme c’est souvent le gouvernement qui porte le prix zéro à un niveau positif, sa décision en la matière est généralement annoncée à l’avance, ce qui donne au statisticien de prix la possibilité d’établir une estimation de la demande de la période de référence, qn+10.

17.93 Soit PPn l’indice de Paasche comparant les prix de la période 0 et ceux de la période 1, limité aux n premiers produits, et soit PPn+1 l’indice de Paasche recouvrant tous les produits n + 1. Par ailleurs, soit vi1=pi1qi1 la valeur des dépenses sur le produit i dans la période 1; d’après la définition de l’indice de Paasche recouvrant tous les produits n + 1, on a:

pn+10=0 a servi à calculer la deuxième équation ci-dessus. En conséquence, l’indice de Paasche complet PPn+1 recouvrant tous les produits n + 1 est égal à l’indice de Paasche incomplet PPn (qui peut être exprimé sous la forme traditionnelle des rapports de prix et des parts de dépense pour la période en cours), plus les dépenses de la période en cours sur le produit n + 1, vn+11,, divisées par la somme des dépenses de la période en cours sur les n premiers produits, vi1, divisée par le rapport de prix de l’ ième rapport de prix pour les n premiers produits, pi1/pi0. Le statisticien de prix peut donc calculer l’indice de Paasche complet en utilisant non seulement les informations dont il dispose, mais aussi les données sur les dépenses de la période en cours.

17.94 Une fois les indices complets de Laspeyres et de Paasche obtenus à l’aide des équations (17.103) et (17.104), on peut calculer l’indice complet de Fisher en prenant la racine carrée du produit de ces deux indices:

Il convient de noter que l’indice complet de Fisher défini par l’équation (17.105) satisfait aux résultats d’exactitude démontrés aux paragraphes 17.27 à 17.32 ci-dessus; c’est-à-dire qu’il reste un indice superlatif même si les prix sont égaux à zéro dans une période et sont positifs dans l’autre. En conséquence, l’indice des prix de Fisher demeure une cible valable même si les prix sont égaux à zéro.

Pour une description de la théorie économique des indices de prix des intrants et des extrants, voir Balk (1998a). Dans la théorie économique des indices de prix des extrants, qt est, par hypothèse, la solution à un problème de maximisation des recettes pour un vecteur de prix des extrants pt.

Dans le présent chapitre, on part de l’hypothèse que ces préférences ne varient pas avec le temps, alors que dans le chapitre suivant, cette hypothèse est abandonnée (l’une des variables d’environnement pourrait être une variable temporelle qui entraînerait un changement dans les préférences).

Notons que f est concave si et seulement si f(λq1 + (1−λ)q2)≤ λf(q1) + (1–λ)f(q2) pour tous les cas où 0 ≤ λ ≤ 1 et où q1 >> 0n et q2 >> 0n. Notons aussi que q≥ 0N signifie que chaque composante du vecteur q de dimension N est non négative, q >> 0n signifie que chaque composante de q est positive et q > 0n signifie que q≥ 0n et q ≠ 0n; autrement dit, q n’est pas négatif et au moins une de ses composantes est strictement positive.

Cette inégalité a été obtenue pour la première fois par Konüs (1924; 1939, p. 17). Voir aussi Pollak (1983).

Cette inégalité est à attribuer à Konüs (1924; 1939, p. 19); voir aussi Pollak (1983).

Pour des applications plus récentes de la méthode de preuve de Konüs, voir Diewert (1983a, p. 191) (point de vue du consommateur) et Diewert (1983b, p. 1059–1061) (point de vue du producteur).

La propriété d’homogénéité linéaire signifie que f satisfait à la propriété suivante: f(λq) = λf (q) dans tous les cas où λ > 0 et où q >> 0n. Cette hypothèse est assez restrictive du point de vue du consommateur. Elle implique que chaque courbe d’indifférence est une projection radiale de la courbe d’indifférence d’une fonction d’utilité unitaire. Elle implique également que toutes les élasticités–revenu de la demande sont unitaires, ce qui est contredit par les données empiriques.

Plus précisément, Shephard (1953) définit une fonction homothétique comme étant une transformation monotonique d’une fonction d’homogénéité linéaire. Cependant, si la fonction d’utilité d’un consommateur est homothétique, elle peut toujours être reformulée pour être linéairement homogène sans changer le comportement du consommateur. En conséquence, l’hypothèse de préférences homothétiques peut simplement prendre la forme d’une hypothèse d’homogénéité linéaire.

Ce volet particulier de l’approche économique de la théorie des indices est attribuable à Shephard (1953; 1970) et à Samuelson et Swamy (1974). Shephard, en particulier, a pris conscience de l’importance de l’hypothèse d’homothéticité en conjonction avec les hypothèses de séparabilité servant à justifier l’existence de sous-indices de l’indice global du coût de la vie. Il convient de noter que, si la variation du revenu réel ou de la fonction d’utilité du consommateur entre les deux périodes considérées n’est pas trop grande, l’hypothèse de préférences homothétiques aboutira à l’établissement d’un indice du coût de la vie véritable qui est très proche des indices du coût de la vie véritable de Laspeyres–Konüs et de Paasche–Konüs définis par les équations (17.3) et (17.4). Un autre moyen de justifier l’hypothèse de préférences homothétiques est celui consistant à utiliser l’équation (17.49), qui justifie l’emploi de l’indice superlatif de Törnqvist–Theil, PT, lorsque les préférences ne sont pas homothétiques. Comme PT a d’ordinaire une valeur proche de celle d’autres indices superlatifs qui sont calculés sur la base de l’hypothèse de préférences homothéti-ques, on peut constater que l’hypothèse d’homothéticité n’ira généralement pas à l’encontre des données empiriques lorsqu’elle est utilisée dans la théorie des indices.

Les économistes reconnaîtront que le résultat C(u,p) = uc(p) peut être interprété du point de vue du producteur: si une fonction de production f d’un producteur a des rendements d’échelle constants, la fonction de coût total correspondante C(u,p) est alors égale au produit du niveau de production u par le coût unitaire c(p).

À l’évidence, la fonction d’utilité f détermine la fonction de coût du consommateur C(u,p) en tant que solution au problème de minimisation des coûts dans la première ligne de l’équation (17.6). La fonction de coût unitaire c(p) est alors C(1,p). En conséquence, f détermine c. Mais nous pouvons également utiliser c pour déterminer f dans des conditions de régularité appropriées. C’est ce qui est connu en économie sous le nom de théorie de la dualité. Pour de plus amples informations sur la théorie de la dualité et les propriétés de f et c, voir Samuelson (1953), Shephard (1953) et Diewert (1974a; 1993b, p. 107–123).

La théorie ci-dessus peut, elle aussi, être interprétée du point de vue du producteur; autrement dit, soit f la fonction de production du producteur (rendements d’échelle constants), p le vecteur de prix des intrants auquel le producteur est confronté, q le vecteur de quantité d’intrants et u = f(q) la production maximale qu’il est possible d’obtenir avec le vecteur q. C(u,p) = minq{Σi=1npiqi:f(q)u} est la fonction de coût du producteur dans ce cas et c(pt) peut être pris comme niveau du prix des intrants pour la période t, tandis que f(qt) est le niveau global de la quantité d’intrants pour la période t.

Pour le prouver, considérons les conditions nécessaires du premier ordre pour que le vecteur strictement positif qt soit la solution au problème de minimisation des coûts de la période t. Les conditions de Lagrange concernant le vecteur des variables q sont: pt = λtf(q1), où λt est le multiplicateur de Lagrange optimal et ∇f(qt), le vecteur des dérivées partielles du premier ordre de f évalué à q1. Notons que ce système d’équations exprime que le prix est égal au produit d’une constante par des équations d’utilité marginale qui sont familières aux économistes. Prenons maintenant le produit scalaire des deux membres de l’équation pour le vecteur de quantité de la période t, qt, et résolvons l’équation en résultant pour X. Intégrons cette solution à l’équation du vecteur pt = λtf(qt) et nous obtenons l’équation (17.10).

Différencions les deux membres de l’équation f(λq) = λf(q) par rapport à λ, et évaluons ensuite l’équation en résultant pour λ = 1. Nous obtenons l’équation Σi=1nfi(q)qi=f(q), oùfi(q)=f(q)/qi.

Pour le premier récit de ce résultat, voir Diewert (1976, p. 184).

Voir Diewert (1976, p. 130), et soit 2 la valeur du paramètre r.

C’est Diewert (1974a, p. 133) qui a introduit ce terme dans la littérature économique.

Fisher (1922, p. 247) a utilisé le terme de superlatif pour désigner l’indice des prix idéal de Fisher. Diewert a par conséquent adopté la terminologie de Fisher mais a essayé de donner des précisions sur ce que Fisher entend par superlatif. Pour ce dernier, un indice est superlatif s’il se rapproche de l’indice idéal correspondant de Fisher lorsque l’ensemble de données utilisé est le sien.

Soit c(p) la fonction de coût unitaire du consommateur. Diewert (1974a, p. 112) a montré que la fonction d’utilité correspondante f(q) peut être définie comme suit: pour un vecteur de quantité strictement positif f(q)=1/maxp{Σi=1npiqi:c(p)=1}.

C’est Diewert qui a obtenu ce résultat (1976, p. 133–134).

On a vu que l’indice de Fisher PF est exact pour les préférences définies par l’équation (17.17), ainsi que pour les préférences qui sont duales de la fonction de coût unitaire définie par l’équation (17.22). Ces deux catégories de préférences ne coïncident pas en général. Cependant, si la matrice n × n symétrique A des aik a une matrice inverse, on peut alors montrer que la matrice n × n symétrique B des bik sera égale à A-1.

Terminologie attribuable à Diewert (1976, p. 129).

Voir Diewert (1976, p. 130).

Terminologie attribuable à Diewert (1976, p. 130); cette fonction de coût unitaire a été définie pour la première fois par Denny (1974).

Voir Diewert (1976, p. 133–134.)

La fonction fr* peut être définie à l’aide de cr telle que: fr*(q)=1/maxp{Σi=1npiqi:cr(p)=1}.

Cette théorie et la relation précédente sont prouvées par simple vérification.

La fonction de coût du consommateur a été définie par l’équation (17.6) ci-dessus.

Cette fonction a été introduite dans la littérature économique par Christensen, Jorgenson et Lau (1971).

On peut aussi montrer que si tous les paramètres bi = 0 et b00 = 0, C(u,p) = uC(1,p) = uc(p); autrement dit, étant donné ces contraintes paramétriques additionnelles de la fonction de coût translog générale, les préférences homothétiques sont le résultat de ces contraintes. Notons qu’il est également supposé que l’utilité u est scalaire de sorte que cette fonction est toujours positive.

Ce résultat est à attribuer à Diewert (1976, p. 122).

Si, toutefois, les préférences du consommateur sont non homothéti-ques et que l’utilité varie grandement entre les deux situations considérées, il vaudrait alors mieux calculer séparément les véritables indices du coût de la vie de Laspeyres-Konüs et de Paasche–Konüs définis par les équations (17.3) et (17.4), C(u0, p1)/C(u0, p1) et C(u1, p1)/C(u1, p0), respectivement. À cet effet, il serait nécessaire de recourir à des calculs économétriques et d’estimer empiriquement la fonction de coût ou de dépense du consommateur.

Pour prouver les égalités des équations (17.51) à (17.56), il faut tout simplement différentier les divers indices et calculer les dérivées à p0 = p1 et q0 = q1. En fait, les équations (17.51) à (17.56) restent valides, sous réserve que p1 = λ p0 et q1 = µq0 pour toute valeur de λ > 0 et µ > 0, c’est-à-dire que le vecteur de prix de la période 1 soit proportionnel à celui de la période 0 et le vecteur de quantité de la période 1 à celui de la période 0.

Hill (2002) montre que c’est le cas pour deux ensembles de données. Ses séries chronologiques sont des données annuelles sur les dépenses et les quantités pour 64 composantes du produit intérieur brut des États-Unis sur la période 1977 à 1994. Pour cet ensemble de données, Hill (2002, p. 16) a trouvé que «les indices superlatifs peuvent différer d’un facteur de plus de 2 (c’est-à-dire de plus de 100 %), même si les indices de Fisher et de Törnqvist ne diffèrent jamais de plus de 0,6 %».

Diewert (1980, p. 451) a montré que l’indice de Törnqvist PT est un cas limite de Pr quand r tend vers 0.

Voir, par exemple, Diewert (1978, p. 894) ou Fisher (1922), qui est reproduit dans Diewert (1976, p. 135).

Une grande partie de cette section est adaptée de Diewert (1978) et Alterman, Diewert et Feenstra (1999). Voir aussi Balk (1996b) pour un examen des autres définitions du concept d’agrégation en deux temps et pour des références aux ouvrages consacrés à ce sujet.

Voir Diewert (1978, p. 889). En d’autres termes, une série d’égalités semblables aux équations (17.51) à (17.56) se vérifie lorsqu’elle se situe entre les indices en deux temps et les indices correspondants calculés en une seule étape. En fait, ces égalités restent valides sous réserve que p1 = λp0 et q1 = μq0 pour toute valeur de λ > 0 et μ > 0.

Pour une comparaison empirique des quatre indices, voir Diewert (1978, p. 894–895). Pour l’indice canadien des prix à la consommation considéré dans cette étude, l’indice-chaîne de Fisher en deux temps pour 1971 était de 2,3228 et l’indice-chaîne correspondant de Törnqvist, calculé en deux étapes, était de 2,3230, mêmes valeurs que pour les indices correspondants obtenus directement.

Voir le chapitre 19 pour de plus amples informations sur cette question.

L’hypothèse de préférences homothétiques est donc retenue dans la présente section.

Dans les ouvrages de mathématiques, cette fonction d’agrégation ou fonction d’utilité est connue sous la forme d’une moyenne d’ordre r; et, dans ce contexte, r = 1 – σ; voir Hardy, Littlewood, and Pólya (1934, p. 12–13).

Pour la première application de cette méthodologie (dans le contexte de l’IPC), voir Shapiro and Wilcox (1997a, p. 121–123). Ces auteurs ont calculé les indices superlatifs de Törnqvist pour les États-Unis sur la période 1986–95 et établi ensuite l’indice CES de Lloyd-Moulton pour la même période en utilisant diverses valeurs de σ. Ils ont ensuite pris pour σ la valeur (soit 0,7) pour laquelle l’indice CES se rapproche le plus de l’indice de Törnqvist. C’est essentiellement la même métho-dologie qui a été utilisée par Alterman, Diewert et Feenstra (1999) dans leur étude des indices des prix à l’importation et à l’exportation des États-Unis. Pour d’autres méthodes d’estimation de σ, voir Balk (2000b).

Le degré d’approximation jugé «raisonnable» dépend du contexte. L’hypothèse de préférences CES de la part du consommateur n’est pas raisonnable lorsqu’il s’agit d’estimer les élasticités de la demande: il faut au moins, dans ce cas, une approximation de second ordre des préférences du consommateur. Si l’on veut donner une approximation des dépenses du consommateur sur les produits considérés, toutefois, il est généralement indiqué d’opter pour une approximation CES.

Comme indiqué au chapitre 15, le mois 0 est appelé la période de référence des prix et l’année b, la période de référence des pondérations.

Cela suppose que e0 est supérieur à zéro. Si e0 est égal à zéro, pour avoir PK = PLo, il faudra que et soit lui aussi égal à zéro.

On peut voir que, lorsque les prix du mois t sont égaux à ceux du mois 0, 0, et = e0 et C(ub,pt) = C(ub,p0), l’égalité (17.83) est alors satisfaite et PLo = PK. Cela n’est pas surprenant puisque les deux indices sont égaux à l’unité lorsque t = 0.

Ce type d’approximation par la série de Taylor a été utilisé dans Schultze and Mackie (2002, p. 91) pour l’indice du coût de la vie, mais il est à attribuer pour l’essentiel à Hicks (1941–42, p. 134) dans le contexte de l’excédent de consommation. Voir aussi Diewert (1992b, p. 568) et Hausman (2002, p. 8).

Ce type d’approximation de second ordre est à attribuer à Hicks (1941–42, p. 133–134) (1946, p. 331). Voir aussi Diewert (1992b, p. 568), Hausman (2002, p. 18), Schultze and Mackie (2002, p. 91). Pour d’autres méthodes de modélisation du biais de substitution, voir Diewert (1998a; 2002c, p. 598–603) et Hausman (2002).

Voir Diewert (1993b, p. 109–110).

Voir Diewert (1993b, p. 149).

Une matrice n × n symétrique A avec ième élément égal à aij est semidéfinie négative si, et seulement si, pour chaque vecteur z = [z1,…,zn], on a Σi=11bΣj=11baijzizj0.

Notons que le biais approximatif de la période 0 défini par le membre de droite de l’approximation (17.91) est fixe, alors que le biais approximatif de la période t défini par le membre de droite de l’approximation (17.92) augmente quadratiquement avec le temps t. Par conséquent, le biais approximatif de la période t finira par l’emporter sur celui de la période 0 en cas de tendance temporelle linéaire, si on laisse t s’accroître suffisamment.

Une condition plus générale qui assure la positivité de γ est que le vecteur [α1,…,αn] ne soit pas un vecteur propre du noyau de la matrice des dérivées partielles de second ordre ∂2C(u,p)/∂pi∂pj (ayant 0 pour valeur propre).

On sait que C(u, p) est linéairement homogène pour les composantes du vecteur de prix p; voir Diewert (1993b, p. 109) par exemple. En conséquence, à l’aide du théorème d’Euler sur les fonctions homogènes, on peut montrer que pb est un vecteur propre de la matrice des dérivées partielles de second ordre ∂2C(u,p)/∂pi∂pj ayant 0 pour valeur propre et donc que Σi=1nΣj=1n[2C(u,p)/pipj]pibpjb=0. Voir Diewert (1993b, p. 149) pour une preuve détaillée de ce résultat.

Nous supposons également que α – γM2 soit positif.

Si M est grand par rapport à t, on peut alors voir que les deux premiers termes de la dernière équation de (17.99) peuvent l’emporter sur le dernier terme, qui est le terme quadratique en t.

Notons que la durée relativement grande de M par rapport à t donne lieu à un biais qui augmente à peu près linéairement avec t et non quadratiquement.

À des fins de simplification des calculs, nous avons supposé que la tendance des prix est linéaire et non géométrique, hypothèse qui aurait été plus naturelle.

Une autre hypothèse importante qui a été utilisée dans l’exemple numérique est celle qui porte sur l’ampleur de la divergence des prix. Si le vecteur de divergence des prix est doublé, soit α1 = 0,004 et α2 = –0,004, le paramètre γquadruple et le biais approximatif quadruplera lui aussi.

Cette hypothèse et les indices annuels en résultant ont été proposés pour la première fois par Mudgett (1955, p. 97) et Stone (1956, p. 74–75).

Si certains produits ne sont pas disponibles dans certains mois m, ces produits peuvent être retirés des vecteurs de quantités mensuelles correspondants qm.

Pour de plus amples détails sur la manière de mettre en place ce cadre, voir Mudgett (1955, p. 97), Stone (1956, p. 74–75) et Diewert (1998b, p. 459–460).

Pour de plus amples détails sur la manière de mettre en place ce cadre, voir Diewert (1999a, p. 50–51).

Voir Diewert (1999a, p. 56–61) pour des précisions sur cette approche économique.

Voir Diewert (1999a, p. 67–68) pour un exemple empirique de l’application de cette approche aux indices de qualité. Le chapitre 22 présente un exemple empirique d’indices des prix sous forme d’indices annuels mobiles.

Les hypothèses à émettre sur les préférences pour justifier cette approche économique sont présentées dans Diewert (1999a, p. 51–56).

Le problème posé par l’utilisation de pondérations annuelles en vue de retracer les mouvements saisonniers des prix et quantités est qu’une variation du prix d’un produit hors saison peut être fortement amplifiée par l’application de pondérations annuelles. Baldwin (1990, p. 251) a observé ce problème dans le cas d’un indice des prix fondé sur des pondérations annuelles: «Mais un indice des prix est affecté si un produit saisonnier a la même part du panier dans tous les mois de l’année; cette part sera trop faible dans les mois où il sera de saison, et trop grande dans les mois hors saison». Les problèmes de saisonnalité sont considérés sous un angle plus pragmatique au chapitre 22.

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