Chapter

15. Fondements de la Théorie Des Indices

Author(s):
International Monetary Fund
Published Date:
November 2006
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Introduction

Il n’est pas possible, en général, de répondre à la question «Quelle est la moyenne de tel ou tel ensemble de grandeurs?» si l’on ne sait pas dans quel but elle est posée. Il existe en effet autant de types de moyenne que d’objectifs poursuivis et, s’agissant des prix, nous pouvons presque dire qu’il y a autant d’objectifs que d’auteurs qui écrivent sur ce sujet. D’où ces vaines controverses entre des personnes qui poursuivent, littéralement, des buts opposés. (Edgeworth (1888, p. 347)).

15.1 Les biens physiquement distincts et les types de services uniques proposés aux consommateurs se comptent par millions. Du côté de l’offre ou de la production de l’économie, les produits qui font l’objet d’échanges actifs sont encore plus nombreux. En effet, les entreprises produisent non seulement des biens destinés à la consommation finale, mais aussi des produits d’exportation et des produits intermédiaires qui sont demandés par d’autres producteurs. De même, elles utilisent collectivement des millions de biens et de services importés, des milliers de types de services différents relatifs au secteur du travail et des centaines de milliers de types de capitaux spécifiques. Si nous distinguons en plus les produits physiques par leur localisation géographique, par la saison ou le moment de la journée où ils sont produits ou consommés, ce sont alors des milliards de produits qui sont achetés ou vendus chaque année dans toute économie développée. Il est souvent nécessaire de ramener ce vaste ensemble d’informations sur les prix et les quantités à quelques chiffres seulement. Le présent chapitre s’efforce de répondre à la question suivante: comment des informations microéconomiques pouvant impliquer des millions de prix et de quantités peuvent-elles être agrégées en un petit nombre de variables de prix et de quantités? C’est tout le problème des indices.

15.2 Il est possible de poser le problème des indices dans le cadre de la théorie microéconomique: sachant que nous souhaitons appliquer un modèle économique fondé sur la théorie du producteur ou du consommateur, quelle est la «meilleure» méthode à suivre pour bâtir un ensemble d’agrégats à cette fin? Lorsque l’on construit des prix globaux ou des quantités globales, toutefois, d’autres points de vue (qui ne s’inscrivent pas dans une optique économique) sont possibles. Certains d’entre eux seront examinés dans ce chapitre et dans le suivant. Les approches économiques seront approfondies aux chapitres 17 et 18.

15.3 On peut ramener le problème des indices à la décomposition de la valeur d’un ensemble bien défini de transactions effectuées dans une période donnée en un prix global multiplié par une quantité globale. Il apparaît cependant que cette approche du problème des indices ne débouche sur aucune solution utile. C’est pourquoi nous examinons, aux paragraphes 15.7 à 15.17, le problème de la décomposition d’un rapport de valeurs afférentes à deux périodes en un terme qui mesure la variation globale des prix entre les deux périodes (l’indice des prix) multiplié par un terme qui mesure la variation globale des quantités entre les deux périodes (l’indice des quantités). L’indice des prix le plus simple est l’indice de paniertype, dans lequel on fixe les n quantités pour calculer les valeurs de ce panier aux prix de la période 0 et aux prix de la période 1. L’indice de paniertype est simplement le rapport de ces deux valeurs, dans lequel les prix varient alors que les quantités restent fixes. Deux options s’imposent naturellement pour le panier fixe: les quantités achetées (ou vendues) durant la période de référence 0 ou les quantités achetées (ou vendues) durant la période en cours 1. Elles conduisent respectivement aux indices de prix de Laspeyres (1871) et de Paasche (1874).

15.4 Malheureusement, les mesures de la variation globale d’un prix données par les indices de Paasche et de Laspeyres peuvent différer l’une de l’autre, parfois de façon très sensible. C’est pourquoi nous envisageons, aux paragraphes 15.18 à 15.32, de faire la moyenne de ces deux indices pour obtenir une mesure unique de la variation des prix. Aux paragraphes 15.18 à 15.23, nous soutenons que la «meilleure» moyenne est la moyenne géométrique, qui est l’indice des prix idéal d’Irving Fisher (1922). Aux paragraphes 15.24 à 15.32, nous proposons de faire l’indice de la moyenne des deux paniers-types au lieu de calculer la moyenne des indices des prix de Paasche et de Laspeyres. Cette approche de la théorie des indices par un panier fixe conduit à l’indice des prix préconisé par Correa Moylan Walsh (1901; 1921a). D’autres approches fondées sur un panier fixe sont cependant possibles. Au lieu de choisir le panier de la période 0 ou de la période 1 (ou une moyenne des deux), on peut opter pour un panier qui se rapporte à une période tout à fait différente, disons la période b. C’est, au demeurant, un usage bien établi des offices de statistique que de prendre un panier se rapportant à une année entière (voire à deux années) d’achats et de ventes antérieures à la période 0, qui est en général d’un mois. Les indices de ce type, dans lesquels la période de référence des pondérations diffère de la période de référence des prix, ont été proposés initialement par Joseph Lowe (1823), et sont examinés aux paragraphes 15.64 à 15.84. Ils sont aussi évalués d’un point de vue axiomatique au chapitre 16, et d’un point de vue économique au chapitre 171.

15.5 Aux paragraphes 15.65 à 15.75, une autre approche de la détermination de la forme fonctionnelle ou de la formule de l’indice des prix est examinée. Cette méthode, que l’on doit à l’économiste français Divisia (1926), repose sur l’hypothèse que les données de prix et de quantités sont disponibles sous forme de fonctions continues du temps. La théorie de la différentiation est utilisée pour décomposer le taux de variation d’un agrégat en valeur continu dans le temps en deux termes qui reflètent la variation globale des prix et des quantités. En dépit des possibilités qu’elle ouvre2, toutefois, la méthode de Divisia n’aide guère les offices de statistique à opter catégoriquement pour telle ou telle formule d’indice.

15.6 Aux paragraphes 15.76 à 15.97, les avantages et inconvénients de l’utilisation d’une période de référence fixe dans la comparaison d’indices bilatéraux sont mis en balance avec ceux de la méthode consistant à toujours comparer la période en cours à la période précédente, dite aussi chaînage. Dans ce système, un maillon correspond à une comparaison d’indices entre une période donnée et la précédente. Ces maillons sont multipliés les uns aux autres pour permettre des comparaisons sur un grand nombre de périodes.

Décomposition des agrégats en valeur en composantes de prix et de quantités

Décomposition des agrégats en valeur et test de factorité

15.7 Un indice des prix est une mesure ou fonction qui résume la variation des prix de nombreux produits d’une situation 0 (période temporelle ou localisation donnée) à une situation 1. Plus précisément, un indice des prix peut être considéré dans la plupart des cas comme une moyenne pondérée de la variation des prix relatifs des produits considérés dans les deux situations. Pour déterminer un indice des prix, il faut savoir:

  • Quels produits ou produits élémentaires inclure dans l’indice?

  • Comment déterminer les prix des produits élémentaires?

  • Quelles transactions concernant ces produits élémentaires inclure dans l’indice?

  • Comment déterminer les pondérations et de quelles sources les extraire?

  • Quel type de formule ou de moyenne utiliser pour établir la moyenne des prix relatifs des produits élémentaires choisis?

On peut répondre à toutes ces questions sur la définition d’un indice des prix, sauf la dernière, en faisant appel à la définition de l’agrégat en valeur à laquelle fait référence l’indice de prix. L’agrégat en valeur V d’un ensemble donné de produits élémentaires et de transactions est estimé comme suit:

pi représente le prix du ième produit élémentaire en unités de monnaie nationale et qi la quantité correspondante achetée ou vendue durant la période considérée, l’indice inférieur i identifiant le ième des n produits élémentaires choisis pour constituer l’agrégat en valeur V. Cette définition de l’agrégat en valeur englobe la spécification du groupe de produits inclus (quels produits élémentaires inclure) et des agents économiques engagés dans les transactions concernant ces produits (quelles transactions inclure), ainsi que les principes d’évaluation et de chronologie qui motivent le comportement des agents économiques engagés dans ces transactions (détermination des prix). Les produits élémentaires inclus, leur prix (les pi), les critères d’inclusion des transactions et les pondérations de chaque produit élémentaire (les qi) relèvent tous du domaine de définition de l’agrégat en valeur. La détermination précise des pt et qi est examinée plus en détail dans d’autres chapitres du manuel, et notamment au chapitre 53.

15.8 L’agrégat en valeur V défini par l’équation (15.1) fait référence à un ensemble donné de transactions se rapportant à une période temporelle unique (non spécifiée). Nous envisageons maintenant le même agrégat en valeur pour deux localisations ou périodes, 0 et 1. Pour des raisons de commodité, la période 0 est appelée période de référence et la période 1 période en cours, et l’on suppose que des observations relatives aux vecteurs des prix et des quantités de la période de référence, soit p0 = [p10,…,pn0] et q0 = [q10,…,qn0], respectivement, ont été recueillies4. Les agrégats en valeur dans la période de référence et la période en cours sont définis, de façon évidente, comme suit:

Au paragraphe précédent, l’indice des prix a été défini comme une fonction ou mesure résumant la variation des prix des n produits de l’agrégat en valeur de la situation 0 à la situation 1. Dans ce paragraphe, l’indice des prix P(p0,p1, q0,q1) et l’indice des quantités (ou indice de volume) correspondant Q(p0,p1,q0,q1) sont définis comme deux fonctions des 4n variables p0,p1,q0,q1 (qui décrivent les prix et quantités se rapportant à l’agrégat en valeur pour les périodes 0 et 1), ces deux fonctions vérifiant l’équation suivante5:

Si l’agrégat en valeur ne compte qu’un seul produit élémentaire, l’indice des prix P devrait se réduire à un rapport de prix unique, p11/p10, et l’indice des quantités Q à un rapport de quantités unique, q11/q10. Si les produits élémentaires sont nombreux, l’indice des prix P doit être interprété comme une sorte de moyenne pondérée des rapports de prix, p11/p10,…,pn1/pn0.

15.9 On peut donc considérer que la première approche de la théorie des indices correspond au problème suivant: décomposer la variation d’un agrégat en valeur, V1/V0, en un produit de deux termes: une part attribuable à la variation des prix, P(p0,p1,q0,q1) et une part attribuable à la variation des quantités, Q(p0,p1,q0,q1). C’est cette approche de la détermination de l’indice des prix qui est retenue dans les comptes nationaux, où l’on utilise un indice des prix pour déflater un rapport de valeurs afin d’obtenir une estimation de la variation des quantités. Dans cette approche de la théorie des indices, l’indice des prix est donc utilisé principalement en tant que déflateur. On notera qu’une fois la forme fonctionnelle de l’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) connue, l’indice des quantités ou de volume correspondant Q(p0,p1,q0,q1) est totalement déterminé par P. Soit, en réarrangeant l’équation (15.3):

Inversement, si la forme fonctionnelle de l’indice des quantités Q(p0,p1,q0,q1) est connue, l’indice des prix correspondants P(p0,p1,q0,q1) est alors totalement déterminé par Q. Il n’est donc pas nécessaire de faire appel à des théories distinctes pour déterminer les indices des prix et des quantités quand on utilise cette approche de la théorie des indices par la déflation: si P ou Q est déterminé, l’autre fonction l’est aussi, implicitement, par l’équation du test de factorité (15.4).

15.10 Dans la section suivante, deux choix concrets pour l’indice des prix P(p0,p1,q0,q1) sont examinés, et les indices des quantités correspondants Q(p0,p1,q0,q1) qui résultent de l’équation (15.4) sont également calculés. Ils représentent les options les plus souvent retenues par les statisticiens pour établir les comptes nationaux.

Indices de Laspeyres et de Paasche

15.11 L’une des façons les plus simples de déterminer les formules d’indice des prix est décrite en détail par Lowe (1823). Elle consiste à mesurer la variation des prix entre les périodes 0 et 1 en spécifiant un panier de produits représentatifs6 approximatif, qui est un vecteur des quantités q = [q1,…,qn] représentatif des achats effectués durant les deux périodes considérées, et de calculer ensuite le niveau des prix dans la période 1 par rapport à la période 0 sous la forme du rapport du coût du panier dans la période 1, Σin=1pi1qi au coût du panier dans la période 0, Σi=1npi0qi. La détermination de l’indice des prix par cette méthode du panier fixe laisse une question en suspens: comment le vecteur représentant le panier fixe q doit-il être choisi?

15.12 Avec le temps, économistes et statisticiens ont demandé un peu plus de précision dans la spécification du vecteur des quantités du panier q. Deux choix s’imposent naturellement pour le panier de référence: le vecteur des produits pour la période de référence, q0, et le vecteur des produits pour la période en cours, q1. Ces deux choix conduisent respectivement à l’indice de prix de Laspeyres (1871)7PL défini par l’équation (15.5) et à l’indice de prix de Paasche (1874)8PP défini par l’équation (15.6)9:

15.13 Les formules (15.5) et (15.6) peuvent être réécrites d’une autre manière, qui est plus utile pour les offices de statistique. Définissons la part de dépenses consacrée au produit i dans la période t comme suit:

L’indice de Laspeyres (15.5) peut alors être réécrit de la façon suivante10:

en utilisant les définitions de (15.7). L’indice de prix de Laspeyres PL peut donc s’écrire sous la forme d’une moyenne arithmétique des n rapports de prix, pi1/pi0, pondérée par les parts de dépenses dans la période de référence. Jusqu’à une période très récente, la formule de Laspeyres a été très largement utilisée comme fondement conceptuel des indices des prix à la consommation (IPC) à travers le monde. Pour l’appliquer, il suffit aux offices de statistique de recueillir des informations sur les parts de dépenses sn0 dans le domaine de définition de l’indice pour la période de référence 0, puis de recueillir en continu des informations sur les prix des produits élémentaires seulement. L’IPC de Laspeyres peut donc être produit rapidement sans qu’il soit nécessaire de disposer d’informations sur les quantités pour la période en cours.

15.14 L’indice de Paasche peut aussi être écrit sous forme de parts de dépenses et de rapports des prix, de la façon suivante11:

en utilisant les définitions de (15.7). L’indice de prix de Paasche PP peut donc s’écrire sous forme de moyenne harmonique des n rapports des prix des produits élémentaires, pi1pi0 pondérée par les parts de dépenses pour la période 1 (période en cours)12. Le manque d’informations sur les quantités pour la période en cours empêche les offices de statistique de produire rapidement des indices de Paasche.

15.15 L’indice des quantités qui correspond à l’indice de prix de Laspeyres, quand on utilise le test de factorité dans l’équation (15.3), est l’indice de quantités de Paasche; cela veut dire que, si l’on remplace P dans l’équation (15.4) par PL défini par l’équation (15.5), on obtient l’indice des quantités suivant:

Notons que QP est la valeur du vecteur des quantités de la période 1 aux prix de la période 1, Σi=1npi1qi1 divisée par la valeur (hypothétique) du vecteur des quantités de la période 0 aux prix de la période Σi=1npi1qi0. Les vecteurs des quantités des périodes 0 et 1 sont donc évalués aux mêmes prix, ceux de la période en cours p1.

15.16 L’indice des quantités qui correspond à l’indice des prix de Paasche, quand on utilise le test de factorité (15.3) est l’indice des quantités de Laspeyres; cela veut dire que, si l’on remplace P dans l’équation (15.4) par PP défini par l’équation (15.6), on obtient l’indice des quantités suivant:

Notons que QL est la valeur (hypothétique) du vecteur des quantités de la période 1 aux prix de la période 0, Σi=1npi0qi1, divisée par la valeur du vecteur des quantités de la période 0 aux prix de la période 0, Σi=1npi0qi0.. Les vecteurs des quantités des périodes 0 et 1 sont donc évalués aux mêmes prix, ceux de la période de référence des prix p0.

15.17 Le problème des formules d’indices de Laspeyres et de Paasche est que, bien qu’elles soient également plausibles, elles donnent en général des estimations différentes. Or, dans la plupart des cas, il n’est guère satisfaisant pour les offices de statistique de fournir deux réponses à la question: quelle est la «meilleure» mesure synthétique de la variation globale des prix pour l’agrégat en valeur entre deux périodes données13? Dans la section suivante, nous examinons comment construire les «meilleures» moyennes de ces deux estimations de la variation des prix. Avant de le faire, toutefois, nous posons une autre question: quelle est la relation «normale» entre les indices de Paasche et de Laspeyres? Dans des conditions économiques «normales», caractérisées par une corrélation négative entre les rapports de prix afférents aux deux situations considérées et les rapports de quantités correspondants, on peut démontrer que l’indice de prix de Laspeyres sera supérieur à l’indice de Paasche correspondant14. C’est ce qui est fait à l’appendice 15.115. La divergence entre PL et PP laisse penser que, s’il faut établir une estimation unique de la variation des prix entre les deux périodes, une sorte de moyenne à pondérations symétriques des indices de Laspeyres et de Paasche devrait alors être retenue comme estimation finale de la variation de prix entre les périodes 0 et 1. Comme il a été dit plus haut, cette stratégie sera présentée à la section suivante. On gardera toutefois à l’esprit que les offices de statistique ne disposent généralement pas d’informations sur les pondérations de dépenses pour la période en cours, et que les moyennes des indices de Paasche et de Laspeyres ne peuvent donc être produites qu’avec un certain retard (en utilisant par exemple les informations données par les comptes nationaux) ou pas du tout.

Moyennes symétriques d’indices de prix fondés sur un panier fixe

L’indice de Fisher en tant que moyenne des indices de Paasche et de Laspeyres

15.18 Ainsi qu’il a été dit plus haut, puisque les indices de Paasche et de Laspeyres sont également plausibles mais donnent souvent des estimations différentes de la variation des prix entre les périodes 0 et 1, il est naturel d’envisager une moyenne symétrique de ces indices de Paasche et de Laspeyres comme estimation unique de la variation des prix entre les deux périodes. Ces moyennes symétriques16 sont par exemple la moyenne arithmétique, qui conduit à l’indice de Drobisch (1871b, p. 425) Sidgwick (1883, p. 68) et Bowley (1901, p. 227)17, PD = (1/2)PL + (1/2)PP, et la moyenne géométrique, qui conduit à l’indice idéal de Fisher (1922)18, PF, défini de la façon suivante:

À ce point, l’approche de la théorie des indices par le panier fixe se transforme en approche par les tests: pour déterminer lequel de ces indices de panier-type ou quel type de moyenne de ces indices serait le «meilleur», il faut établir les critères, tests ou propriétés souhaitables pour l’indice de prix. Cette question sera approfondie au chapitre suivant, mais la présente section propose une introduction à l’approche par les tests, car un test est utilisé pour déterminer quelle moyenne des indices de Paasche et de Laspeyres pourrait être la «meilleure».

15.19 Quelle est la «meilleure» moyenne symétrique de PL et PP à utiliser pour obtenir une estimation ponctuelle d’un indice théorique du coût de la vie? Il est tout à fait souhaitable qu’une formule d’indice des prix qui dépend des vecteurs des prix et des quantités se rapportant aux deux périodes considérées satisfasse au test de réversibilité temporelle19. Une formule d’indice P(p0,p1,q0,q1) satisfait à ce test si

c’est-à-dire que, si les données sur les prix et les quantités de la période 0 et de la période 1 sont interverties et si la formule d’indice est évaluée, ce nouvel indice P(p1,p0,q1,q0) est alors égal à l’inverse de l’indice initial P(p0,p1,q0,q1). Cette propriété se vérifie dans le cas d’un rapport de prix unique, et il semble souhaitable qu’elle se vérifie aussi pour la mesure de la variation de prix globale, de façon à ce que le choix de la période de référence n’ait pas d’importance. Autrement dit, la comparaison de l’indice entre deux points dans le temps ne devrait pas dépendre du choix de la période considérée comme période de référence: si l’autre période est choisie comme période de référence, le nouvel indice sera tout simplement égal à l’inverse de l’indice initial. On notera que les indices de prix de Laspeyres et de Paasche ne possèdent pas cette propriété de réversibilité temporelle.

15.20 Une fois défini ce que signifie, pour un indice des prix P, le fait de satisfaire au test de réversibilité temporelle, il est possible d’établir le résultat suivant20. L’indice de prix idéal de Fisher défini par l’équation (15.12) est le seul à se présenter sous forme de moyenne symétrique homogène21 des indices des prix de Laspeyres et de Paasche, PL et PP, et à satisfaire au test de réversibilité temporelle (15.13). L’indice de prix idéal de Fisher pourrait donc être la «meilleure» moyenne symétrique des indices des prix de Laspeyres et de Paasche.

15.21 Il est intéressant de noter que cette approche symétrique de la théorie des indices de panier-type remonte à l’un des pionniers de cette théorie, Arthur L. Bowley, ainsi qu’en témoignent les citations suivantes:

Si [l’indice de Paasche] et [l’indice de Laspeyres] sont proches l’un de l’autre, il n’y a plus de problèmes; s’ils sont très différents, on peut considérer qu’ils marquent les limites inférieure et supérieure d’un indice pouvant être estimé comme leur moyenne arithmétique … en première approximation (Bowley (1901, p. 227)).

Les statisticiens qui ont cherché à estimer le facteur nécessaire pour corriger la variation observée des salaires nominaux afin d’obtenir la variation des salaires réels ne se sont pas contentés de suivre uniquement la méthode II [pour calculer un indice de prix de Laspeyres], mais se sont attaqués au problème sous l’angle rétrospectif [pour calculer un indice de prix de Paasche] aussi bien que prospectif. … Ils ont calculé alors la moyenne arithmétique, géométrique ou harmonique des deux nombres ainsi obtenus (Bowley (1919, p. 348))22.

15.22 L’indice des quantités qui correspond à l’indice de prix de Fisher, quand on utilise le test de factorité (15.3), est l’indice de quantités de Fisher; cela veut dire que, si P dans l’équation (15.4) est remplacé par PF défini par l’équation (15.12), on obtient l’indice des quantités suivant:

L’indice des quantités de Fisher est donc égal à la racine carrée du produit des indices de quantités de Laspeyres et de Paasche. On notera aussi que QF(p0,p1,q0,q1) = PF(q0,q1,p0,p1): cela veut dire que, si l’on intervertit les rôles des prix et des quantités dans la formule d’indice de prix de Fisher, on obtient l’indice de quantités de Fisher23.

15.23 Plutôt que d’utiliser une moyenne symétrique des deux principaux indices de prix fondés sur un panier-type se rapportant à deux situations, PL et PP, il est possible également de retourner à la formule de base de Lowe et de choisir comme vecteur du panier q une moyenne symétrique des vecteurs des quantités du panier de la période de référence et de la période en cours, q0 et q1. Cette approche de la théorie des indices est présentée à la section suivante.

L’indice de Walsh et la théorie de l’indice de prix «pur»

15.24 Les statisticiens s’accommodent en général très bien d’un concept d’indice des prix fondé sur l’évaluation d’un panier de produits «représentatif» constant, q = (q1,q2,…,qn), aux prix des périodes 0 et 1, soit p0 = (P10,p20,…,pn0) et p1 = (p11,p21,…,pn1), respectivement. Ils le qualifient d’indice de panier-type ou indicede prix pur24, et cet indice correspond à l’indice de prix univoque de Sir George H. Knibbs (1924, p. 43)25. Lowe (1823) ayant été le premier à décrire de façon systématique ce type d’indice, il y est fait référence sous l’appellation d’indice de Lowe. La forme fonctionnelle générale de l’indice des prix de Lowe est donc

où les parts de dépenses hybrides (hypothétiques) si26, qui correspondent au vecteur des pondérations en quantités q, sont définies comme suit:

15.25 La principale raison pour laquelle les statisticiens pourraient préférer des indices de Lowe ou des indices de prix fondés sur un panier fixe, tels qu’ils sont définis par l’équation (15.15), est que le concept de panier fixe est facile à expliquer au public. Notons que les indices de Laspeyres et de Paasche sont des cas spéciaux du concept de prix pur si l’on choisit q = q0 (ce qui donne l’indice de Laspeyres) ou q = q1 (ce qui donne l’indice de Paasche)27. Le problème pratique posé par le choix de q reste cependant à résoudre, et nous y reviendrons dans cette section.

15.26 Il convient de noter que Walsh (1901, p. 105; 1921a) concevait lui aussi le problème de l’indice des prix dans le cadre susmentionné:

Chaque produit doit être pondéré en fonction de son importance ou de sa valeur totale. Mais le problème de l’axiomatique implique toujours deux périodes au moins: une première période, puis une seconde à laquelle la première est comparée. Entre les deux, des mouvements de prix ont eu lieu et il faut en faire la moyenne pour déterminer l’ampleur globale de leur variation. Mais les pondérations des produits pour la seconde période peuvent être différentes de celles utilisées pour la première période. Quelles sont alors les bonnes pondérations, celles de la première période ou celles de la seconde? Faut-il opter pour une combinaison des deux? Comme il n’y a aucune raison de préférer la première ou la seconde, une combinaison des deux semblerait être la bonne solution. Et cette combinaison ellemême implique que l’on établisse une moyenne des pondérations des deux périodes (Walsh (1921a, p. 90)).

Comme le suggère Walsh, nous nous limitons au cas où la ième pondération en quantités, qi, est une moyenn e de la quantité qi0 de la période de référence et de la quantité de la période en cours pour le produit iqi1, disons m(qi0qi1), pour i = 1,2,…,n28. Dans cette hypothèse, l’indice de prix de Lowe (15.15) devient:

15.27 Pour déterminer la forme fonctionnelle de la moyenne m, il est nécessaire de soumettre l’indice de prix pur défini par l’équation (15.17) à certains tests ou axiomes. Comme précédemment, nous demandons que PLo satisfasse au test de réversibilité temporelle (15.13). Dans cette hypothèse, il est évident d’emblée que la fonction de moyenne m doit être une moyenne symétrique29, c’est-à-dire que m doit posséder la propriété suivante: m(a,b) = m(b,a) pour tous les a > 0 et b > 0. Cependant, cette hypothèse ne donne toujours pas une définition exacte de la forme fonctionnelle de l’indice de prix pur défini par l’équation (15.17). Par exemple, la fonction m(a,b) peut être la moyenne arithmétique, (1/2)a + (1/2)b, auquel cas l’équation (15.17) se réduit à l’indice de prix de Marshall (1887) et Edgeworth (1925), PME, qui était l’indice de prix pur préféré par Knibbs (1924, p. 56):

15.28 La fonction m(a,b) peut aussi être la moyenne géométrique, (ab)1/2, auquel cas l’équation (15.17) se réduit à l’indice des prix de Walsh (1901, p. 398; 1921a, p. 97), PW30:

15.29 Il existe beaucoup d’autres possibilités pour la fonction de moyenne m, y compris la moyenne d’ordre r, [(1/2)ar + (1/2)br]1/r pour r ≠ 0. Pour déterminer complètement la forme fonctionnelle de l’indice de prix pur PLo, il faut donc à l’évidence soumettre PLo(p0,p1,q0,q1) à au moins un test ou axiome supplémentaire.

15.30 L’utilisation de l’indice de prix de Edgeworth et Marshall (15.18) pose un problème potentiel, qui apparaît lorsque la formule est utilisée pour des comparaisons de prix internationales. Si le niveau des prix d’un très grand pays est comparé à celui d’un petit pays à l’aide de la formule (15.18), l’influence du vecteur des quantités du petit pays risque d’être totalement annihilée par celle du vecteur des quantités du grand pays31. En termes techniques, la formule Edgeworth et Marshall n’est pas homogène de degré 0 dans les composantes de q0 et de q1. Pour éviter que ce problème ne se pose quand on utilise l’indice de prix pur PK(p0,p1,q0,q1) défini par l’équation (15.17), on demande que PLo satisfasse au test d’invariance à la modification proportionnelle des quantités courantes32:

Les deux tests, à savoir le test de réversibilité temporelle (15.13) et le test d’invariance (15.20), permettent de déterminer la forme fonctionnelle précise de l’indice de prix pur PLo défini par la formule (15.17): l’indice de prix pur PK doit être l’indice de Walsh PW défini par la formule (15.19)33.

15.31 Pour être facilement utilisable par les offices de statistique, une formule d’indice doit pouvoir être exprimée sous forme de fonction des parts de dépenses pour la période de référence, si0, des parts de dépenses pour la période en cours, si1, et des n rapport de prix, pi1/pi0. L’indice des prix de Walsh défini par la formule (15.19) peut être réécrit sous le format suivant:

15.32 L’approche de la théorie des indices retenue dans cette section repose sur l’examen des moyennes des divers indices de prix fondés sur un panier fixe. La première méthode consiste à prendre une moyenne symétrique des deux principaux indices fondés sur un panier fixe: les indices de prix de Laspeyres et de Paasche. Ces deux indices primaires utilisent les prix de paniers se rapportant aux deux périodes (ou localisations) considérées. En faisant leur moyenne, on obtient l’indice de prix idéal de Fisher, PF, défini par l’équation (15.12). La seconde méthode consiste à calculer la moyenne des pondérations en quantités du panier et d’établir la valeur de ce panier moyen aux prix en vigueur durant les deux périodes considérées, et conduit à l’indice de prix de Walsh, PW, défini par l’équation (15.19). Ces deux indices peuvent être présentés sous forme de fonction des parts de dépenses dans la période de référence, si0, des parts de dépenses de la période en cours, si1, et des n rapports de prix, pi1/pi0. Dans l’hypothèse où l’office de statistique dispose d’informations sur ces trois séries de variables, quel indice devrait-il utiliser? L’expérience effectuée à partir des données de deux séries temporelles normales montre que ces deux indices ne diffèrent pas beaucoup et que, dans la pratique, le choix de l’indice utilisé est indifférent34. Ces deux indices sont des exemples des indices superlatifs définis au chapitre 17. On notera cependant que l’un et l’autre traitent les données se rapportant aux deux situations de manière symétrique. Hill35 fait les observations suivantes sur les indices de prix superlatifs et l’importance de ce traitement symétrique:

La théorie économique laisse donc penser que, d’une manière générale, un indice symétrique qui assigne une pondération égale aux deux situations comparées doit être préféré à l’indice de Laspeyres ou à l’indice de Paasche pris séparément. Le choix précis d’un indice superlatif—qu’il s’agisse d’un indice de Fisher, de Törnqvist ou de tout autre indice superlatif—peut n’avoir qu’une importance secondaire, car tous les indices symétriques seront probablement proches les uns des autres, et suivront aussi d’assez près l’indice théorique sous-jacent, au moins lorsque l’écart entre les indices Laspeyres et de Paasche n’est pas très grand (Hill (1993, p. 384)).

Pondérations annuelles et indices mensuels des prix

Indice de Lowe fondé sur les prix mensuels et les quantités annuelles pour l’année de référence

15.33 Il convient d’examiner maintenant un problème essentiel posé, dans la pratique, par l’application de la théorie susmentionnée des indices de panier-type. Jusqu’à présent, nous avons supposé que le vecteur des quantités q = (q1,q2,…,qn)—qui apparaît dans la définition de l’indice de Lowe, PLo(p0,p1,q), donnée par l’équation (15.15)—correspond soit au vecteur des quantités q0 de la période de référence, soit au vecteur des quantités q1 de la période en cours, soit encore à une moyenne des deux. De fait, dans la pratique, les offices de statistique choisissent en général pour vecteur des quantités q un vecteur des quantités annuel qui se rapporte à une année de référence, disons b, antérieure à l’année de référence des prix, à savoir la période 0. Ils produisent d’ordinaire un indice des prix à la consommation mensuel ou trimestriel, mais, pour les besoins de la démonstration, nous retiendrons seulement l’hypothèse d’une fréquence mensuelle. L’indice des prix se présentera donc d’ordinaire sous la forme PLo(p0,pt, qb), où p0 est le vecteur des prix se rapportant à la période de référence des prix, à savoir le mois 0, pt est le vecteur des prix se rapportant au mois de la période en cours pour les prix, à savoir le mois t, et qb est un vecteur des quantités de référence qui a trait à l’année de référence b, laquelle est antérieure au mois 036. Notons que cet indice de Lowe PLo(p0,pt, qb) n’est pas un authentique indice de Laspeyres (car le vecteur des quantités annuel qb n’est pas, en général, égal au vecteur des quantités mensuel q0)37.

15.34 La question est la suivante: pourquoi les offices de statistique ne choisissent-ils pas, comme vecteur des quantités de référence q dans la formule de Lowe, le vecteur des quantités mensuel q0 se rapportant aux transactions du mois 0 (ce qui réduirait l’indice à un indice de prix ordinaire de Laspeyres)? Il y a deux raisons essentielles à cela:

  • La plupart des économies sont soumises à des fluctuations saisonnières, de sorte que le choix du vecteur des quantités pour le mois 0 comme vecteur des quantités de référence pour tous les mois de l’année ne serait pas représentatif des transactions effectuées au cours de celle-ci.

  • L’office de statistique établit d’ordinaire les pondérations en quantités ou en valeur des dépenses mensuelles à partir d’une enquête sur le budget des ménages reposant elle-même sur un échantillon relativement restreint. Aussi les pondérations qui en résultent sont-elles entachées, en général, de biais de sélection très importants. La pratique habituelle consiste donc à calculer la moyenne de ces pondérations de dépenses ou en quantités mensuelles sur une année pleine (voir, dans certains cas, sur plusieurs années), afin de réduire ces biais de sélection.

Les problèmes d’indice occasionnés par les pondérations mensuelles saisonnières sont étudiés plus en détail au chapitre 22. Pour le moment, on peut soutenir que l’utilisation de pondérations annuelles dans une formule d’indice mensuel est simplement une façon de traiter le problème de la saisonnalité38.

15.35 À ce stade, il convient de noter un problème lié à l’utilisation dans les indices mensuels des prix à la consommation, de pondérations annuelles correspondant à une année qui peut être éloignée: si l’évolution des prix des produits fait apparaître des tendances systématiques (mais divergentes), et si les ménages augmentent leurs achats de produits dont le prix diminue (relativement) et réduisent leurs achats de produits dont le prix augmente (relativement), l’utilisation de pondérations en quantités reposant sur une période éloignée tendra à entacher cet indice de Lowe d’un biais positif, comparé à un autre indice qui utiliserait des pondérations plus à jour, ainsi que nous le verrons plus loin. Les offices de statistique devraient donc s’efforcer de mettre à jour régulièrement les pondérations qu’ils utilisent.

15.36 Il est utile d’expliquer comment obtenir le vecteur des quantités annuel qb à partir des dépenses mensuelles consacrées à chaque produit durant l’année de référence choisie b. Soit Vib,m les dépenses consacrées par la population de référence au produit i au cours du mois m durant l’année de référence b, et pib,m et qib,m les prix et quantités correspondants. La valeur, le prix et la quantité de chaque produit sont bien sûr liés par les équations suivantes:

Pour chaque produit i, le total annuel qib peut être obtenu en déflatant les valeurs mensuelles par les prix, puis en les additionnant sur l’ensemble des mois de l’année de référence b, de la façon suivante:

où la seconde équation (15.23) est tirée de l’équation (15.22). Dans la pratique, les équations susmentionnées sont évaluées en utilisant des dépenses globales consacrées à des produits étroitement liés, et le prix pib,m est l’indice de prix du mois m pour ce groupe de produits élémentaires i dans l’année b par rapport au premier mois de l’année b.

15.37 Il est utile aussi, dans certains cas, que les prix annuels de chaque produit soient appariés aux quantités annuelles définies par l’équation (15.23). Selon les conventions en usage dans la comptabilité nationale, le prix pib raisonnable39 à apparier à la quantité annuelle qib est la valeur de la consommation totale du produit i dans l’année b divisée par qib. Nous avons donc:

où la part des dépenses annuelles consacrées au produit i au cours du mois m de l’année de référence est:

Il apparaît donc que le prix annuel du produit i pour l’année de référence pib est une moyenne harmonique, pondérée par les dépenses mensuelles, des prix mensuels du produit i de l’année de référence: pib,1,pib,2,,pib,12..

15.38 Il est possible, à partir des prix annuels du produit pour l’année de référence donnés par l’équation (15.24), de définir un vecteur de ces prix sous la forme pb = [p1b,…,pnb] Si l’on utilise cette définition, l’indice de Lowe PLo(p0,pt,qb) peut être exprimé sous la forme d’un rapport de deux indices de Laspeyres, dans lequel le vecteur des prix pb joue le rôle des prix de la période de référence dans chacun des deux indices de Laspeyres:

où la formule de Laspeyres PL est définie par l’équation (15.5). L’équation ci-dessus montre donc que l’indice de prix mensuel de Lowe, qui compare les prix du mois 0 à ceux du mois t en utilisant les quantités de l’année de référence b comme pondérations, PLo(p0,pt,qb), est égal à l’indice de Laspeyres, qui compare les prix du mois t à ceux de l’année b, PL(pb,pt,qb), divisé par l’indice de Laspeyres qui compare les prix du mois 0 à ceux de l’année b, PL(pb,p0,qb). Notons que l’indice de Laspeyres figurant au numérateur peut être calculé si l’on connaît à la fois les parts de dépenses consacrées au produit i dans l’année de référence, sib, et les rapports de prix qui comparent les prix du produit i durant le mois t, pit, aux prix moyens annuels correspondants pour l’année de référence b, pib L’indice de Laspeyres figurant au dénominateur peut être calculé si l’on connaît à la fois les parts de dépenses consacrées au produit i dans l’année de référence, sib, et les rapports de prix qui comparent les prix du produit i durant le mois, pi0, aux prix moyens annuels correspondants dans l’année de référence b, pib.

15.39 Un autre moyen commode d’évaluer l’indice de Lowe, PLo(p0,pt,qb) consiste à utiliser la formule des pondérations hybrides (15.15). Dans notre contexte, celle-ci devient:

où les pondérations hybrides si0b utilisant les prix du mois 0 et des quantités de l’année b sont définies par:

La seconde équation de (15.28) montre comment les dépenses pour la période de référence, pibqib, peuvent être multipliées par les indices de prix des produits, pi0qib, afin de calculer les parts hybrides.

15.40 Il reste encore à présenter une autre formule pour l’indice de Lowe, PLo(p0,pt, qb). Notons que la décomposition de l’indice de Lowe en indice de Laspeyres définie par le troisième terme de l’équation (15.26) inclut les rapports de prix à long terme pitpib, qui comparent les prix du mois t, pit, aux prix d’une année de référence qui peut être éloignée dans le temps, pib. Notons aussi que la décomposition de l’indice de Lowe en parts hybrides définie par le troisième terme de l’équation (15.27) inclut les rapports de prix mensuels à long terme pit/pi0, qui comparent les prix du mois t, pit, aux prix du mois de référence, . Ces deux formules se révèlent insatisfaisantes à l’usage, en raison de l’amenuisement progressif de l’échantillon: chaque mois, en effet, une forte proportion des produits disparaît du marché. Il est bon, par conséquent, de disposer d’une formule permettant d’actualiser l’indice des prix du mois précédent en utilisant seulement les rapports de prix d’un mois sur l’autre. En d’autres termes, les rapports de prix à long terme disparaissent trop vite pour qu’il soit viable, concrètement, de fonder une formule d’indice sur leur utilisation. L’indice de Lowe pour le mois t+1, PLo(p0,pt+1,qb), peut s’écrire sous la forme d’un indice de Lowe pour le mois t, PLo(p0,pt, qb) associé à un coefficient d’actualisation, de la façon suivante:

où les pondérations hybrides Sitb sont définies comme suit:

Le coefficient d’actualisation requis Σin=1Sitb(pit+1/pit),, qui va du mois t au mois t+1, est donc l’indice-chaîne utilisant les pondérations en parts de dépenses hybrides sitb, qui correspondent au mois t et à l’année de référence b.

15.41 On peut considérer que l’indice de Lowe PLo(p0, pt, qb) est une approximation de l’indice de Laspeyres ordinaire, PL(p0, pt, q0), qui compare les prix du mois de référence 0, p0, à ceux du mois t, pt, en utilisant comme pondérations les vecteurs des quantités du mois 0, q0. Il apparaît qu’une formule relativement simple relie ces deux indices. Pour l’expliquer, il faut d’abord poser un certain nombre de définitions. Commençons donc par définir ainsi le ième rapport de prix entre le mois 0 et le mois t:

L’indice de prix de Laspeyres ordinaire, du mois 0 au mois t, peut être défini en fonction de ces rapports de prix de la façon suivante:

où les parts de dépenses du mois 0, si0, sont définies comme suit:

15.42 Définissons le ième rapport de quantités ti comme le rapport de la quantité de produit i utilisée dans l’année de référence b, qb, à la quantité utilisée durant le mois 0, qi0, de la façon suivante:

L’indice de quantités de Laspeyres, QL(q0, qb, p0), qui compare les quantités de l’année b, qb, aux quantités correspondantes du mois 0, q0, en utilisant comme pondérations les prix du mois 0, p0, peut être défini comme une moyenne pondérée des rapports de quantités ti, de la façon suivante:

15.43 Si l’on applique la formule (A15.2.4) de l’appendice 15.2 du présent chapitre, la relation entre l’indice de Lowe PLo(p0,pt, qb) qui utilise comme pondérations les quantités de l’année b pour comparer les prix du mois t au mois 0, et l’indice de Laspeyres ordinaire correspondant, PL(p0,pt, q0), qui utilise comme pondérations les quantités du mois 0, se présente comme suit:

L’indice de prix de Lowe utilisant les quantités de l’année b comme pondérations, PLo(p0,pt,qb), est donc égal à l’indice de Laspeyres ordinaire utilisant les quantités du mois 0 comme pondérations, PL(p0,pt,q0), plus un terme de covariance Σin=1(rir*)(tit*)Si0 et les rapports de quantités ti = qib/qi0, divisé par l’indice de quantités de Laspeyres QL(q0, qb, p0) entre le mois 0 et l’année de référence b.

15.44 La formule (15.36) montre que l’indice de prix de Lowe coïncidera avec l’indice de prix de Laspeyres si la covariance ou la corrélation entre les rapports de prix du mois 0 au mois t, ri=pit/pi0, et les rapports de quantité du mois 0 à l’année b, ti=qib/qi0, est égale à zéro. Notons que cette covariance sera nulle dans trois types de conditions:

  • si les prix du mois t sont proportionnels à ceux du mois 0, de sorte que tous les ri = r*;

  • si les quantités de l’année de référence b sont proportionnelles à celles du mois 0, de sorte que tous les t = t*;

  • si la distribution des prix relatifs ri est indépendante de la distribution des quantités relatives ti.

Les deux premières conditions ne risquent guère de se vérifier empiriquement, mais la troisième est possible, au moins de façon approximative, si les consommateurs ne modifient pas systématiquement leurs habitudes d’achat en réponse aux variations des prix relatifs.

15.45 Si la covariance est négative dans la formule (15.36), l’indice de Lowe sera inférieur à celui de Laspeyres. Enfin, si elle est positive, l’indice de Lowe sera supérieur à celui de Laspeyres. Bien que le signe et l’amplitude du terme de covariance, Σin=1(rir*)(tit*)Si0, soient en dernière analyse, des questions d’ordre empirique, il est possible d’avancer quelques conjectures raisonnables quant au signe probable de ce terme. Si l’année de référence b précède le mois de référence des prix 0, et si les prix affichent des tendances à long terme, il est probable que cette covariance sera positive et que l’indice de Lowe sera par conséquent supérieur à l’indice de prix de Laspeyres correspondant40, c’est-à-dire

Pour comprendre pourquoi la covariance sera probablement positive, supposons que le prix d’un produit i affiche une tendance à la hausse à long terme, de sorte que rir*=(pit/pi0)r* soit positif. Si les consommateurs y répondent par des effets de substitution normaux41, il est probable que qit/qi0 moins une variation des quantités moyenne de ce type sera négatif, ou, si l’on prend les réciproques, il est probable que qi0/qit moins une variation des quantités moyenne de ce type (réciproque) sera positif. Mais si la tendance à la hausse des prix à long terme persiste depuis l’année de référence b, il est probable que tit*=(qib/qi0)t* sera aussi positif. La covariance sera donc positive dans ces conditions. En outre, plus l’année de référence b sera éloignée du mois de référence 0, plus les résidus tit* seront probablement importants et plus la covariance sera positive. De même, plus le mois de la période en cours t sera éloigné du mois de la période de référence 0, plus les résidus rir* seront probablement importants et plus la covariance sera positive. Dans l’hypothèse où les prix affichent des tendances de long terme auxquelles les consommateurs répondent par des effets de substitution normaux, l’indice de Lowe sera donc normalement supérieur à l’indice de prix de Laspeyres correspondant.

15.46 Définissons l’indice de Paasche entre les mois 0 et t de la façon suivante:

Comme il est expliqué aux paragraphes 15.18 à 15.23, on peut utiliser, à titre d’indice cible raisonnable pour mesurer la variation des prix du mois 0 au mois t, une sorte de moyenne symétrique de l’indice de Paasche PP(p0,pt, qt), défini par la formule (15.38), et de l’indice de Laspeyres correspondant, PL(p0,pt, q0), défini par la formule (15.32). Si l’on adapte l’équation (A15.1.5) de l’appendice 15.1, la relation entre les indices de Paasche et de Laspeyres peut s’écrire comme suit:

où les rapports de prix ri = pit/pi0 sont définis par l’équation (15.31) et leur moyenne pondérée par les parts de dépenses, r*, est définie par l’équation (15.32), et où les ui, u* et QL sont définis comme suit:

et les parts de dépenses du mois 0, si0, sont définies par l’identité (15.33). En conséquence, u* est égal à l’indice de quantités de Laspeyres entre les mois 0 et t. Cela signifie que l’indice de prix de Paasche qui utilise les quantités du mois t comme pondérations, PP(p0,pt,qt), est égal à l’indice de Laspeyres ordinaire qui utilise les quantités du mois 0 comme pondérations, PL(p0,pt,qt), plus un terme de covariance Σi=1n(rir*)(tit*)Si0 entre les rapports de prix rir*=(pit/pi0)r* et les rapports de quantités ut = qit/qi0, divisé par l’indice de quantités de Laspeyres QL(q0,qt,p0) entre le mois 0 et le mois t.

15.47 Bien que le signe et l’amplitude du terme de covariance, Σi=1n(rir*)(tit*)Si0, soient là encore une question d’ordre empirique, il est possible d’avancer quelques conjectures raisonnables quant au signe probable de ce terme. Si les prix affichent des tendances à long terme, et si les consommateurs répondent normalement aux variations de prix dans le cadre de leurs achats, cette covariance sera probablement négative et, par conséquent, l’indice de Paasche sera inférieur à l’indice de prix de Laspeyres correspondant. Autrement dit,

Pour comprendre pourquoi cette covariance sera probablement négative, supposons que le prix d’un produit i42 affiche une tendance à la hausse à long terme, de sorte que rir*=(pit/pi0)r* soit positif. Si les consommateurs y répondent par des effets de substitution classiques, il est probable que qit/qi0 moins une variation des quantités moyenne de ce type sera négatif. De ce fait, uiu*=(qit/qi0)u* sera sans doute négatif aussi. La covariance sera donc négative dans ces conditions. En outre, plus le mois de la période de référence 0 sera éloigné du mois de la période en cours t, plus les résidus uiu* seront importants et plus la covariance sera négative43. De même, plus le mois de la période en cours t sera éloigné du mois de la période de référence 0, plus les résidus rir* seront vraisemblablement importants et plus la covariance sera importante. Par conséquent, dans l’hypothèse où les prix affichent des tendances à long terme auxquelles les consommateurs répondent par de classiques effets de substitution, l’indice de Laspeyres sera supérieur à l’indice de Paasche correspondant, et la divergence se creusera probablement à mesure que le mois t s’éloignera du mois 0.

15.48 Si l’on regroupe les arguments avancés aux trois paragraphes précédents, on peut voir que, dans l’hypothèse où les prix affichent des tendances à long terme auxquelles les consommateurs répondent par les effets de substitution habituels, l’indice de prix de Lowe entre les mois 0 et t sera supérieur à l’indice de prix de Laspeyres correspondant, qui sera lui-même supérieur à l’indice de prix de Paasche correspondant; autrement dit, si l’on pose ces hypothèses,

Par conséquent, si l’indice des prix cible à long terme est une moyenne des indices de Laspeyres et de Paasche, on voit que l’indice de Laspeyres aura un biais positif—et l’indice de Paasche un biais négatif—par rapport à cet indice cible. En outre, si l’année de référence b est antérieure au mois de référence des prix, c’est-à-dire au mois 0, l’indice de Lowe aura aussi un biais positif par rapport à l’indice de Laspeyres et, de ce fait, par rapport à l’indice cible.

Indice de Lowe et indices d’année intermédiaire

15.49 L’analyse développée au paragraphe précédent repose sur l’hypothèse que l’année de référence des quantités b précède le mois de référence des prix 0. Si le mois de la période en cours t est assez éloigné du mois de référence 0, toutefois, on peut penser que l’année de référence b se rapporte à une année située entre les mois 0 et t. Et si l’année b se situe effectivement entre les mois 0 et t, l’indice de Lowe devient alors un indice d’année intermédiaire44. Il apparaît que ce type d’indice n’est plus entaché des biais positifs signalés dans les inégalités (15.43), dans l’hypothèse où l’évolution des prix fait apparaître des tendances à long terme auxquelles répond une évolution des quantités correspondant aux effets de substitution habituels.

15.50 On suppose maintenant que le vecteur des quantités de l’année de référence qb correspond à une année située entre les mois 0 et t. Dans l’hypothèse où les prix affichent des tendances à long terme et où les effets de substitutions sont habituels, ce qui implique que les quantités affichent elles aussi des tendances à long terme de direction opposée à celle des prix (de sorte que si le prix du ième produit tend à augmenter, la quantité correspondante tend à diminuer), il est probable que le vecteur des quantités de l’année intermédiaire se situera entre les vecteurs des quantités mensuels q0 et qt. L’indice d’année intermédiaire de Lowe, PLo(p0,pt,qb), et l’indice de Laspeyres allant du mois 0 au mois t, PL(p0, pt, q0), vérifieront la relation exacte donnée par l’équation (15.36). Par conséquent, PLo(p0, pt, qb) sera égal à PL(p0, pt, q0) plus le terme de covariance [Σi=1n(rir*)(tit*)Si0]/QL(q0,qb,p0), est l’indice de quantités de Laspeyres allant du mois 0 au mois t. Le terme de covariance sera probablement négatif, de sorte que

Pour comprendre pourquoi cette covariance sera probablement négative, supposons que le prix d’un produit i affiche une tendance à la hausse à long terme, de sorte que rir* = (pit/pi0) – r* soit positif. Si les consommateurs y répondent par les effets de substitution habituels, qi tendra avec le temps à diminuer relativement et, comme on pose en hypothèse que qib se situe entre qi0 et qit, il est probable que qib/qi0 moins une variation des quantités moyenne de ce type sera négatif. De ce fait, ti – t* = (qib/qi0) sera sans doute négatif aussi. La covariance sera donc sans doute négative dans ces conditions. Par conséquent, si l’on pose en hypothèse que l’année de référence des quantités se situe entre les mois 0 et t, et que les prix affichent des tendances à long terme auxquelles les consommateurs répondent par des effets de substitution classiques, l’indice de Laspeyres sera normalement supérieur à l’indice d’année intermédiaire de Lowe correspondant, et la divergence tendra sans doute à se creuser à mesure que le mois t s’éloignera du mois 0.

15.51 On peut voir aussi que, dans les hypothèses susmentionnées, l’indice de Lowe pour l’année intermédiaire sera probablement supérieur à l’indice de Paasche entre les mois 0 et t, c’est-à-dire que

Pour comprendre pourquoi l’inégalité ci-dessus se vérifiera sans doute, supposons que qb commence au vecteur des quantités q0 du mois 0 et enregistre ensuite une tendance régulière jusqu’au vecteur des quantités qt du mois t. Lorsque qb = q0, l’indice de Lowe PLo(p0,pt, qb) devient l’indice de Laspeyres PL(p0,pt, q0). Lorsque qb = qt, l’indice de Lowe PLo(p0,pt,qb) devient l’indice de Paasche PP(p0,pt,qt). On a vu précédemment que, dans l’hypothèse où les prix affichent des tendance à long terme auxquelles répondent des effets de substitution habituels, l’indice de Paasche est inférieur à l’indice de prix de Laspeyres correspondant, c’est-à-dire que PP(p0,pt,qt) est inférieur à PL(p0,pt,q0), en reprenant l’inégalité (15.42). Dans l’hypothèse où prix et quantités affichent des tendances régulières entre les mois 0 et t, et en supposant que qb se situe entre q0 et qt, nous aurons donc

Par conséquent, si l’on choisit pour l’indice de Lowe une année de référence comprise entre le mois de référence des prix, 0, et le mois en cours pour les prix, t, et si les tendances des prix et celles des quantités correspondantes suivent les effets de substitution classiques de la part des consommateurs, l’indice de Lowe qui en résultera se situera probablement entre les indices de Paasche et de Laspeyres allant du mois 0 au mois t. Si les tendances des prix et des quantités sont régulières, le choix d’une année de référence située à mi-chemin entre les périodes 0 et t devrait donner un indice de Lowe situé à peu près à mi-chemin entre les indices de Paasche et de Laspeyres; il sera donc très proche d’un indice cible idéal entre les mois 0 et t. Okamoto (2001), qui applique cette idée de base à des données sur la consommation au Japon, fait apparaître que les indices d’année intermédiaire qui en résultent sont très proches des indices idéaux de Fisher correspondants.

15.52 Il convient de noter que ces indices d’année intermédiaire ne peuvent être calculés que de façon rétrospective; il n’est donc pas possible de les calculer rapidement, à la différence des indices de Lowe utilisant une année de référence antérieure au mois 0. Les indices d’année intermédiaire ne peuvent donc pas être utilisés pour remplacer les indices de Lowe, plus actuels. Les développements qui précèdent indiquent cependant que ces indices de Lowe plus actuels seront probablement entachés d’un biais positif encore plus grand que celui d’un indice de Laspeyres ordinaire—comparé à un indice cible idéal, qui est censé être ici une moyenne des indices de Paasche et de Laspeyres.

15.53 Toutes les inégalités établies dans cette section reposent sur l’hypothèse que les prix affichent des tendances à long terme (auxquelles correspondent des réponses économiques des quantités). S’il n’existe pas de tendances à long terme systématiques des prix, mais seulement des fluctuations aléatoires autour d’une tendance commune à tous les prix, les inégalités susmentionnées ne se vérifient pas et l’indice de Lowe utilisant une année de référence antérieure donnera probablement une approximation parfaitement adéquate des indices de Paasche et de Laspeyres. Il existe cependant des raisons de croire que les prix obéissent à certaines tendances à long terme. En particulier:

  • La révolution de la miniaturisation électronique a provoqué, ces 40 dernières années, une forte tendance à la baisse des prix des produits qui font un usage intensif des puces informatiques. À mesure que de nouvelles utilisations de cette technologie apparaissaient, la part de produits reposant largement sur elle a augmenté et ce qui n’était à l’origine qu’un problème relativement mineur a pris une importance accrue.

  • D’autres avancées scientifiques majeures ont eu un effet similaire. Ainsi, l’invention des câbles en fibre optique (et des lasers) a déclenché un mouvement de baisse des prix des télécommunications qui accompagne le remplacement progressif des technologies obsolètes utilisant les câbles de cuivre.

  • Depuis la fin de la seconde guerre mondiale, une série d’accords commerciaux internationaux a permis d’abaisser de façon spectaculaire les droits de douane à travers le monde. Conjuguées aux progrès technologiques survenus dans le secteur des transports, ces réductions ont débouché sur un essor accéléré du commerce international et une amélioration remarquable de la spécialisation internationale. Les activités manufacturières ont été progressivement délocalisées des économies les plus développées vers les pays où les salaires sont bas, entraînant une déflation des prix des biens dans la plupart des pays du monde. En revanche, de nombreux services ne sont pas faciles à sous-traiter45, de sorte que les prix des services affichent en moyenne une tendance à la hausse alors que les prix des biens sont orientés à la baisse.

  • Au niveau microéconomique, enfin, on observe d’énormes différences dans le rythme de croissance des entreprises. Celles qui réussissent prennent une nouvelle dimension, diminuent leurs coûts et provoquent la disparition progressive de leurs concurrents moins heureux qui affichent des prix plus élevés et des volumes d’activité plus réduits. En conséquence, une corrélation négative systématique, parfois très forte, s’établit entre l’évolution des prix des produits élémentaires et l’évolution correspondante des volumes achetés ou vendus.

Nous avons donc quelques raisons de supposer a priori l’existence de tendances à long terme divergentes des prix. On est en droit de craindre, de ce fait, qu’un indice de Lowe qui utilise une année de référence des pondérations en quantités antérieure au mois de référence des prix ne soit entaché d’un biais positif, comparé à un indice cible plus proche de l’idéal.

L’indice de Young

15.54 Reprenons les définitions des quantités de l’année de référence, qib, et des prix de l’année de référence, pib, données par les équations (15.23) et (15.24). Les parts de dépenses pour l’année de référence peuvent être définies, comme à l’ordinaire, de la façon suivante:

Définissons aussi le vecteur des parts de dépenses pour l’année de référence comme à l’ordinaire, à savoir sb = [s1b,…,snb]. Ces parts de dépenses pour l’année de référence ont été utilisées afin d’établir une autre formule susceptible de remplacer l’indice des prix de Lowe pour l’année de référence b allant du mois 0 au mois t, que l’équation (15.26) définit de la façon suivante: PL0(p0,pt,qb)=[Σi=1nSib(pit/pib)]/[Σi=1nSib(pi0/pib)] Plutôt que d’utiliser cet indice comme cible à court terme, de nombreux offices de statistique ont recours à l’indice suivant, qui lui est étroitement lié:

Ce type d’indice a été défini pour la première fois par un économiste anglais, Arthur Young (1812)46. Notons que l’utilisation de l’indice de Young plutôt que d’autres indices déjà proposés dans ce chapitre marque un changement d’orientation. Jusqu’ici, les indices présentés étaient en effet des indices reposant sur un panier fixe (ou des moyennes de tels indices): un panier de produits représentatif, d’une certaine manière, des deux périodes comparées était choisi puis «acheté» aux prix des deux périodes, et l’indice retenu était un rapport de ces deux coûts. Dans le cas de l’indice de Young, en revanche, des parts de dépenses représentatives se rapportant aux deux périodes considérées sont choisies, puis utilisées pour calculer un indice global sous forme de moyenne des rapports de prix pit/pi0 pondérée par ces parts. Notons que cette optique de la théorie des indices, qui repose sur la moyenne des rapports de prix pondérée par les parts de dépenses, est un peu différente de celle adoptée au début du présent chapitre, qui considérait le problème des indices comme un problème de décomposition d’un rapport de valeurs en un produit de deux termes, le premier mesurant la variation des prix entre les deux périodes, le second mesurant la variation des quantités47.

15.55 Les offices de statistique considèrent parfois que l’indice de Young défini ci-dessus est une approximation de l’indice de prix de Laspeyres PL(p0,pt, q0). Il est donc intéressant de comparer ces deux indices. Si l’on définit les rapports de prix mensuels à long terme allant du mois 0 au mois t par ri = pit/pi0, et si l’on utilise les définitions (15.32) et (15.48):

puisque Σi=1nSib=Σi=1nSi0=1,, et l’équation (15.32) donne r*=Σi=1nSi0ri=PL0(p0,pt,q0). On montre que l’indice de Young PY(p0, pt, sb) est égal à l’indice de Laspeyres PL(p0, pt, q0), plus la covariance entre la différence entre les parts annuelles qui se rapportent à l’année b et les parts qui se rapportent au mois 0, sib – si0, et les écarts des prix relatifs par rapport à leur moyenne, rir*.

15.56 Il n’est plus possible alors de deviner le signe probable du terme de covariance. La question n’est plus de savoir si la quantité demandée diminue lorsque le prix du produit i augmente (la réponse est en général «oui»), mais si la part de dépenses diminue lorsque le prix du produit i augmente. La réponse à cette question dépend de l’élasticité de la demande pour le produit visé. Supposons toutefois, provisoirement, que les prix des produits affichent des tendances à long terme et que, si la tendance des prix d’un produit i est supérieure à la moyenne, la part des dépenses consacrées à ce produit affiche une tendance à la baisse (et vice versa). Nous retenons donc l’hypothèse d’élasticités élevées ou d’effets de substitution très importants. Posons aussi en hypothèse que l’année de référence b est antérieure au mois 0 et que, dans ces conditions, le prix d’un produit i affiche une tendance à la hausse à long terme, de sorte que rir* = (pit/pi0) – r* est positif. Le consommateur apportant par hypothèse une réponse très élastique à cette hausse sous forme d’effets de substitution, si tendra à diminuer relativement (avec le temps) et, comme sib est par hypothèse antérieure à si0, on peut s’attendre à ce que si0 soit inférieur à sib, autrement dit à ce que sibsi0 soit positif. La covariance sera donc sans doute positive dans ces conditions. De ce fait, si les prix affichent des tendances à long terme et si les réponses des consommateurs aux variations de prix sont très élastiques, l’indice de Young sera probablement supérieur à l’indice de Laspeyres correspondant.

15.57 Supposons maintenant que les prix des produits affichent des tendances à long terme et que, si la tendance des prix d’un produit i est supérieure à la moyenne, la part des dépenses consacrées à ce produit affiche une tendance à la hausse (et vice versa). Nous retenons donc l’hypothèse d’élasticités peu élevées ou d’effets de substitution très faibles. Posons aussi en hypothèse que l’année de référence b est antérieure au mois 0 et supposons que le prix d’un produit i affiche une tendance à la hausse à long terme, de sorte que ri – r* = (pit/pi0) – r* est positif. Le consommateur apportant par hypothèse une réponse très inélastique à cette hausse sous forme d’effets de substitution, si tendra à augmenter relativement (avec le temps) et, comme on pose en hypothèse que sib est antérieur à si0, nous serions dans le cas où si0 serait supérieur à sib, autrement dit où sibsi0 serait négatif. La covariance sera donc sans doute négative dans ces conditions. De ce fait, si les prix affichent des tendances à long terme et si les réponses aux variations de prix sont très inélastiques, l’indice de Young sera probablement inférieur à l’indice de Laspeyres correspondant.

15.58 Les deux paragraphes précédents montrent que l’on ne peut pas, a priori, savoir quelle sera la différence probable entre l’indice de Young et l’indice de Laspeyres correspondant. Si les élasticités de substitution sont proches de l’unité, les deux ensembles de parts de dépenses, sib et si0, seront proches l’un de l’autre et la différence entre les deux indices sera proche de zéro. Si les parts de dépenses mensuelles ont de fortes composantes saisonnières, cependant, les parts annuelles sib pourraient être très différentes des parts mensuelles si0.

15.59 Il est utile de disposer d’une formule permettant de mettre à jour l’indice de prix de Young du mois précédent en utilisant seulement les rapports de prix d’un mois sur l’autre. L’indice de Young pour le mois t + 1, PY(p0,pt+1,sb), peut se présenter sous la forme d’un indice de Young pour le mois t, PY(p0,pt,sb) et d’un facteur d’actualisation, de la façon suivante:

en utilisant la définition (15.47)

où les pondérations hybrides sib0t sont définies comme suit:

Les pondérations hybrides sib0t peuvent être obtenues à partir des pondérations de l’année de référence sib, mises à jour, que l’on multiplie alors par les rapports de prix (ou des indices de niveaux d’agrégation plus élevés), pit/pi0. Le facteur d’actualisation requis, allant du mois t au mois t +1, est donc l’indice-chaîne (pt + 1/pit) qui utilise les parts de pondérations hybrides sb0t définies par l’équation (15.51).

15.60 Même s’il donne une approximation étroite de l’indice de Laspeyres correspondant, il est difficile de recommander l’utilisation de l’indice de Young en tant qu’estimation finale de la variation des prix de la période 0 à la période t, tout comme il était difficile de recommander l’utilisation de l’indice de Laspeyres comme estimation finale de l’inflation entre la période 0 et la période t. Souvenons-nous en effet que l’indice de Laspeyres pose un problème en ne traitant pas de façon symétrique les deux périodes considérées; autrement dit, si l’on justifie le recours à l’indice de Laspeyres en faisant valoir que c’est un bon indice de panier-type, on peut tout aussi bien justifier le recours à l’indice de Paasche en arguant que c’est un aussi bon indice de panier-type pour comparer les périodes 0 et t. L’indice de Young souffre du même défaut de symétrie dans le traitement de la période de référence. Le problème peut s’expliquer de la manière suivante. L’indice de Young défini par l’équation (15.48), PY(p0, pt, sb), calcule la variation de prix entre les mois 0 et t en prenant pour base le mois 0. Mais il n’y a aucune raison particulière, hormis les conventions, de considérer nécessairement le mois 0 comme mois de référence. Par conséquent, si l’on choisit de prendre pour base le mois t et d’utiliser la même formule pour mesurer par calcul rétrospectif la variation de prix entre le mois t et le mois 0, l’indice PY(pt, p0, sb) = Σi=1nSib(p10/pib) conviendrait. Pour permettre de comparer cette estimation de la variation de prix à l’indice de Young original, on prend alors sa réciproque, ce qui conduit à l’indice de Young rebasé48, P*Y(pt, p0, sb), défini comme suit:

L’indice de Young rebasé, PY*(p0,pt,Sb), qui utilise le mois en cours comme période de référence initiale, est une moyenne harmonique pondérée par les parts de dépenses des rapports de prix allant du mois 0 au mois t, alors que l’indice de Young initial, PY*(p0,pt,Sb),, est une moyenne arithmétique pondérée par les parts de dépenses des mêmes rapports de prix.

15.61 Fisher soutient qu’une formule d’indice devrait donner la même réponse quelle que soit la période de référence choisie:

L’une ou l’autre des deux périodes peut être retenue comme «base». Le choix de cette base fera-t-il une différence? Cela ne devrait pas être le cas, assurément, et notre test 1 exige qu’il en soit ainsi. Plus précisément, le test demande que la formule de calcul de l’indice soit telle que l’on obtienne le même rapport entre un point de comparaison et l’autre quel que soit celui des deux qui est pris comme base (Fisher (1922, p. 64)).

15.62 Le problème qui se pose avec l’indice de Young, c’est que non seulement il ne coïncide pas avec sa contrepartie rebasée, mais l’on observe une inégalité définie entre les deux indices, à savoir:

l’inégalité étant stricte si le vecteur des prix pt de la période t n’est pas proportionnel au vecteur des prix p0 de la période 049. Un office de statistique qui utilise l’indice direct de Young PY(p0,pt,sb) publiera en général un taux d’inflation plus élevé qu’un office de statistique qui s’appuie sur les mêmes données brutes mais utilise l’indice de Young rebasé, PY*(p0,pt,Sb),.

15.63 L’inégalité (15.53) ne nous dit pas de combien l’indice de Young dépassera l’indice réciproque rebasé. L’appendice 15.3 montre cependant que, avec le degré de précision d’une approximation de second ordre par une série de Taylor, la relation suivante reste valable entre l’indice direct de Young et l’indice réciproque:

où Var e est défini comme

Les écarts ei sont définis par l’expression 1 + ei = ri/r* pour i = 1,…, n, dans laquelle les ri et leur moyenne pondérée r* sont définis par

qui se révèle égale à l’indice direct de Young, PY(p0, pt, sb). La moyenne pondérée des ei est définie comme suit

qui se révèle égale à 0. Par conséquent, plus la dispersion des rapports de prixpit/pi0est grande, avec le degré de précision d’une approximation du second ordre, plus l’indice direct de Young dépasse sa contrepartie utilisant le mois t comme période de référence initiale plutôt que le mois 0.

15.64 Étant donné que deux formules d’indice également plausibles a priori, telles que l’indice de Young et l’indice réciproque, donnent des estimations différentes, Fisher (1922, p. 136) suggère de prendre en règle générale leur moyenne géométrique50. L’un des avantages de cette moyenne est que la formule qui en résulte satisfait au test de réversibilité temporelle. Plutôt que d’utiliser soit l’indice de Young pour la période de référence 0, PY(p0, pt,sb), soit l’indice de Young pour la période en cours, PY*(p0,pt,Sb),, qui est toujours inférieur à l’indice de Young pour la période de référence 0 s’il existe une quelconque dispersion des rapports de prix, il semble donc préférable de recourir à l’indice suivant, qui est la moyenne géométrique des deux indices de Young pour l’une et l’autre périodes de référence51.

Si les parts pour l’année de référence, Sib, coïncident à la fois avec les parts du mois 0 et celles du mois t, Si0 et Sit respectivement, on peut voir que l’indice de Young après «rectification» temporelle, PY**(p0,pt,Sb), définies par l’équation (15.59), coïncidera avec l’indice de prix idéal de Fisher entre les mois 0 et t, PF(p0,pt, q0, qt) (qui sera aussi égal aux indices de Laspeyres et de Paasche dans ces mêmes conditions). Notons par ailleurs que l’indice PY** défini par l’équation (15.59) peut être produit rapidement par les offices de statistique.

L’indice de Divisia et ses approximations discrètes

Indices de prix et de quantités de Divisia

15.65 La seconde approche de la théorie des indices s’appuie sur l’hypothèse que les données sur les prix et les quantités changent de façon plus ou moins continue.

15.66 Supposons que les données sur les prix et les quantités de n produits relevant du domaine de définition choisi puissent être considérées comme des fonctions continues du temps (lui-même continu), disons pi(t) et qi(t) pour i = 1,…, n. La valeur des dépenses des consommateurs à la période t est V(t) est définie de façon évidente comme suit:

15.67 Supposons maintenant que les fonctions pi(t) et qi(t) soit dérivables. Les deux membres de la définition (15.60) peuvent être dérivés par rapport au temps, pour donner:

En divisant les deux membres de l’équation (15.61) par V(t) et en utilisant la définition (15.60), on obtient l’équation suivante:

où la part des dépenses consacrées au produit i durant la période t, si(t), est ainsi définie:

15.68 La démonstration de Divisia (1926, p. 39) s’articule comme suit. Supposons que la valeur agrégée à la période t, V(t), peut être écrite comme le produit d’une fonction du niveau des prix à la période t, disons P(t), et d’une fonction du niveau des quantités à la période t, disons Q(t); autrement dit:

Supposons aussi que les fonctions P(t) et Q(t) soient dérivables. Nous obtenons, en dérivant l’équation (15.64):

En divisant les deux membres de l’équation (15.65) par V(t) et en utilisant l’équation (15.64), nous obtenons l’équation suivante:

15.69 Divisia compare les deux expressions de la dérivée logarithmique de la valeur, V’(t)/V(t), données par les équations (15.62) et (15.66), et définit simplement le taux de variation du logarithme du niveau global des prix, P’(t)/P(t), comme le premier ensemble de termes du membre de droite de l’équation (15.62). De même, il définit simplement le taux de variation du logarithme du niveau global des quantités, Q’(t)/Q(t), comme le second ensemble de termes du membre de droite de l’équation (15.62). Il énonce donc les définitions suivantes:

15.70 Les équations (15.67) et (15.68) donnent des définitions raisonnables des variations proportionnelles des niveaux des prix et/ou des quantités, P(t) et Q(t)52. Le problème, avec ces définitions, c’est que les données économiques ne sont pas recueillies de façon continue, mais discontinue. En d’autres termes, même si l’on peut penser que les transactions se font en continu, aucun consommateur n’enregistre ses achats en continu, à mesure qu’il les effectue; il a plutôt tendance à cumuler ces achats sur une période donnée et à les enregistrer ensuite. Il en va de même pour les producteurs ou vendeurs de produits; les entreprises cumulent leurs ventes sur des périodes données à des fins comptables ou analytiques. Si l’on s’efforce de se rapprocher du temps continu en adoptant des intervalles discrets de plus en plus courts, on peut s’attendre à ce que les données empiriques sur les prix et les quantités deviennent de plus en plus erratiques, car les consommateurs ne font leurs achats qu’à des moments donnés (et les producteurs ou vendeurs de produits ne procèdent à leurs ventes qu’à des moments donnés). Il n’en reste pas moins intéressant d’obtenir des valeurs approximatives des niveaux des prix et des quantités en temps continu, P(t) et Q(t), définis implicitement par les équations (15.67) et (15.68), au moyen d’approximations temporelles discrètes. Deux démarches sont possibles: utiliser les méthodes d’approximation numérique ou faire des hypothèses sur le cheminement temporel à l’aide des fonctions pi(t) et qi(t) (i = 1,…,n). La première stratégie est utilisée dans la section suivante. Pour la seconde, on se reportera à Vogt (1977; 1978), Van Ijzeren (1987, p.8–12), Vogt and Barta (1997) ou Balk (2000a).

15.71 Il existe un lien entre les niveaux des prix et des quantités de Divisia, P(t) et Q(t), et l’approche économique de la théorie des indices. Toutefois, cette relation se comprend mieux une fois que l’on a étudié l’approche économique de la théorie des indices. La question étant plutôt technique, elle a été reléguée à l’appendice 15.4.

Approximations discrètes de l’indice de Divisia en temps continu

15.72 Pour rendre opérationnels les niveaux des prix et des quantités de Divisia en temps continu, P(t) et Q(t), définis par les équations différentielles (15.67) et (15.68), il faut les convertir en temps discontinu. Divisia (1926, p. 40) suggère pour cela une méthode simple, dont voici les grandes lignes.

15.73 Soient les différences (en avant) suivantes des prix et des quantités:

Reprenons les définitions susmentionnées:

en utilisant (15.67) quand t = 0 et en prenant comme approximation de pi(0) la différence Δpi

pt = [p1(t), …,pn(t)] et qt = ([q1(t), …,qn(t)] pour t = 0,1. On peut voir ainsi que l’approximation discrète de son indice de prix en temps continu obtenue par Divisia n’est autre que l’indice de prix de Laspeyres, PL, défini plus haut par l’équation (15.5).

15.74 Mais c’est maintenant que se pose le problème relevé par Frisch (1936, p. 8): au lieu de retenir comme approximation (en avant) des dérivés les différences discrètes définies par les équations (15.69) et (15.70), d’autres approximations pourraient être utilisées pour obtenir un large éventail d’approximations temporelles discrètes. Au lieu d’utiliser les différences en avant et d’évaluer l’indice à la période t = 0, par exemple, il serait possible d’utiliser les différences en arrière et d’évaluer l’indice à la période t = 1. Les différences en arrière sont définies de façon suivante:

Cette utilisation des différences en arrière donne l’approximation suivante pour P(0)/P(1):

en utilisant (15.67) quand t = 1 et en prenant comme approximation de pi(1) la différence Δbpt

PP est l’indice de Paasche défini par l’équation (15.6). Si l’on prend les réciproques des membres de droite et de gauche de l’équation (15.73), on obtient l’approximation discrète suivante de P(1)/P(0):

15.75 C’est pourquoi, comme l’a noté Frisch53, les indices de Paasche et de Laspeyres peuvent être considérés comme des approximations (également valables) de l’indice de prix de Divisia en temps continu54. Comme il arrive que les indices de Paasche et de Laspeyres diffèrent considérablement dans certaines applications empiriques, on voit que l’idée de Divisia n’est pas aussi utile que cela lorsqu’il s’agit de déterminer une formule d’indice discret unique55. Ce qui fait l’utilité des indices de Divisia, c’est l’idée que, sous certaines conditions, leurs approximations discrètes peuvent se rapprocher d’indices économiques significatifs à mesure que les unités temporelles discrètes deviennent plus petites. En outre, si le concept de Divisia est accepté comme «correct» pour la théorie des indices, sa contrepartie temporelle discrète «correcte» pourrait être une moyenne pondérée des rapports de prix chaînés se rapportant aux deux périodes adjacentes considérées, dans lesquels les pondérations sont d’une certaine manière représentative des deux périodes considérées.

Indices à base fixe ou indices-chaînes

15.76 Cette section56 est consacrée à l’examen des mérites comparés du système de chaînage et du système à base fixe pour la construction d’indices des prix dans le cadre de séries temporelles57.

15.77 Le système de chaînage58 mesure la variation des prix d’une période donnée à la période suivante en utilisant une formule d’indice bilatéral qui inclut les prix et quantités se rapportant aux deux périodes adjacentes. Ces taux de variation sur une période (les maillons de la chaîne) sont ensuite cumulés pour donner les niveaux relatifs des prix sur la totalité de la période considérée. C’est pourquoi, si l’indice bilatéral des prix est P, le système de chaînage donne le schéma des niveaux de prix suivant pour les trois premières périodes:

15.78 Par contraste, le système des niveaux de prix à base fixe utilisant la même formule d’indice bilatéral P se borne à calculer le niveau des prix à la période t par rapport à la période de référence 0, sous la forme P(p0,p1,q0,qt). Les niveaux de prix en base fixe pour les périodes 0,1 et 2 se présentent donc de la façon suivante:

15.79 Notons que, dans le système de chaînage comme dans le système à base fixe que définissent les formules (15.75) et (15.76), le niveau de prix fixé pour la période de référence est égal à 1. Or, les offices de statistique ont pour habitude de fixer le prix de la période de référence à 100. Pour se conformer à cet usage, il faut donc multiplier chacun des nombres des formules (15.75) et (15.76) par 100.

15.80 Comme il est difficile de recueillir des informations à jour sur les quantités (ou les dépenses) pour la période en cours, de nombreux offices de statistiques fondent, de façon assez peu rigoureuse, leur indice des prix à la consommation sur l’utilisation de la formule de Laspeyres (15.5) et le système à base fixe. Il est donc intéressant d’examiner certains des problèmes qui peuvent être liés à l’utilisation des indices de Laspeyres à base fixe.

15.81 Les indices de Laspeyres à base fixe soulèvent une sérieuse difficulté: le panier fixe de produits pour la période 0 dont les prix sont relevés à la période t est souvent très différent du panier à la période t. C’est pourquoi, si certains au moins des prix et des quantités59 du panier de l’indice font apparaître des tendances systématiques, l’indice de Laspeyres à base fixe PL(p0,pt, q0,qt) peut être très différent de l’indice de Paasche à base fixe correspondant, PP(p0,pt, q0, qt)60. Cela signifie que les deux indices ne rendent probablement pas bien compte des variations des prix moyens sur la période considérée.

15.82 L’indice de quantités de Laspeyres à base fixe ne peut pas être utilisé éternellement: il arrive un moment où les quantités q0 de la période de référence sont si éloignées des quantités qt de la période en cours que la base doit être modifiée. Le chaînage est simplement le cas limite où, à chaque période, cette modification a lieu61.

15.83 Le système de chaînage a pour principal avantage de réduire, dans des conditions normales, l’écart entre les indices de Paasche et de Laspeyres62. Ces deux indices donnent chacun une perspective asymétrique de l’ampleur de la variation de prix survenue entre les deux périodes considérées, et l’on pourrait s’attendre à ce qu’une estimation ponctuelle de la variation globale des prix se situe entre ces deux estimations. C’est pourquoi l’utilisation d’un indice-chaîne de Paasche ou de Laspeyres donnera en général une différence plus faible entre les deux et, par conséquent, des estimations plus proches de la «vérité»63.

15.84 Hill (1993, p. 388), s’appuyant sur les recherches de Szulc (1983) et sur ses propres travaux (Hill, 1988, p.136–137), note qu’il n’est pas indiqué d’utiliser le système de chaînage en cas d’oscillation ou de «bouncing» des prix. Ce phénomène peut se produire dans le cadre de fluctuations saisonnières ordinaires ou dans un contexte de guerre des prix. Si l’on observe une relative monotonie des variations des prix et des quantités, toutefois, Hill (1993, p. 389) recommande l’utilisation d’indices-chaînes à pondérations symétriques (voir paragraphes 15.18 à 15.32). Les indices de Fisher et de Walsh sont des exemples d’indices à pondérations symétriques.

15.85 Il est possible d’être un peu plus précis quant aux conditions dans lesquelles on peut chaîner ou non. Fondamentalement, le chaînage est recommandé si les prix et quantités se rapportant à deux périodes adjacentes sont plus similaires que les prix et quantités relatifs à des périodes plus distantes, puisque cette stratégie conduira alors à resserrer l’écart entre les indices de Paasche et de Laspeyres à chaque maillon de la chaîne64. Il faut bien sûr disposer d’une mesure du degré de similarité des prix et des quantités se rapportant à deux périodes. Cette mesure peut être relative ou absolue. Dans le cas de comparaisons absolues, deux vecteurs de même dimension sont considérés comme similaires s’ils sont identiques, et «dissimilaires» dans le cas contraire. Dans le cas de comparaisons relatives, deux vecteurs sont similaires s’ils sont proportionnels et dissimilaires dans le cas contraire65. Une fois la mesure de similarité définie, les prix et quantités de chaque période peuvent être comparés les uns aux autres en utilisant cette mesure, et un « arbre» ou sentier reliant toutes ces observations peut être construit afin que les observations les plus similaires soient comparées les unes aux autres à l’aide d’une formule d’indice bilatéral66. Hill (1995) énonce que les structures de prix entre deux pays sont d’autant plus dissimilaires que l’écart entre PL et PP se creuse, c’est-à-dire d’autant plus dissimilaires que {PL/Pp, PL/PP} est grand. Le problème, avec cette mesure de la dissimilarité des structures de prix de deux pays, c’est qu’il est possible que PL = PP (de sorte que la mesure de Hill enregistre alors un degré de similarité maximal), mais que p0 pourrait être très différent de pt. Il faut donc procéder à une étude plus systématique des mesures de la similarité (ou dissimilarité) afin de choisir celle qui est la meilleure et pourrait être utilisée afin de construire l’algorithme d’arbre de Hill (1999a; 1999b; 2001) pour chaîner les observations.

15.86 La méthode de chaînage des observations expliquée au paragraphe précédent, qui repose sur la similarité des structures de prix et de quantités de deux observations données, ne représente pas forcément une option pratique pour les offices de statistique, car l’addition d’une nouvelle période oblige parfois à remettre en ordre les maillons précédents. La méthode «scientifique» de chaînage des observations présentée ci-dessus peut cependant aider à décider quelle méthode utiliser—chaînage ou indice à base fixe—pour procéder à des comparaisons d’un mois sur l’autre au cours d’une même année.

15.87 Certains théoriciens des indices se sont opposés au principe du chaînage en faisant valoir qu’il n’avait pas de contrepartie dans le contexte spatial:

Ils [les indices-chaînes] s’appliquent seulement aux comparaisons intertemporelles et, contrairement aux indices directs, ils ne sont pas applicables aux cas où il n’existe ni ordre naturel ni séquence. L’idée d’un indicechaîne, par exemple, n’a donc pas de contrepartie dans les comparaisons interrégionales ou internationales, car les pays ne peuvent être classés en séquences «logiques» ou «naturelles» (il n’existe ni pays k + 1 ni pays k – 1 à comparer au pays k) (von der Lippe (2001, p. 12))67.

Ce raisonnement est bien sûr correct, mais l’approche adoptée par Hill conduit à des raccordements spatiaux «naturels». L’application de la même méthode dans le cadre des séries temporelles conduirait à un ensemble de maillons entre des périodes qui pourraient ne pas correspondre à deux mois consécutifs, par exemple, mais justifiera dans bien des cas que l’on raccorde d’une année sur l’autre des données se rapportant au même mois. Nous reviendrons sur ce problème au chapitre 22.

15.88 Il est intéressant de voir s’il existe des formules d’indice donnant la même réponse, que l’on utilise la base fixe ou le système de chaînage. Si l’on compare la séquence des indices-chaînes définis par l’expression (15.75) aux indices à base fixe correspondants, il apparaît que nous obtenons la même réponse aux trois périodes lorsque la formule d’indice P vérifie l’équation fonctionnelle suivante pour tous les vecteurs des prix et des quantités:

Si une formule d’indice P vérifie l’équation (15.77), P satisfait au test de transitivité68.

15.89 Funke, Hacker et Voeller (1979) montrent que, si l’on suppose que la formule d’indice P possède certaines propriétés ou satisfait à certains tests en plus du test de transitivité susmentionné69, P doit présenter la forme fonctionnelle suivante, énoncée initialement par Konüs et Byushgens70 (1926, p. 163–166)71:

où les n constantes ai satisfont aux restrictions suivantes:

Par conséquent, dans des conditions de régularité très précaires, le seul indice des prix qui satisfasse au test de transitivité est la moyenne géométrique pondérée de tous les rapports de prix, les pondérations restant constantes dans le temps.

15.90 Lorsque les pondérations αi sont toutes les mêmes, on obtient un cas particulier intéressant de la famille d’indices définie par l’équation (15.78). Dans cette hypothèse, en effet, PKB se réduit à l’indice de Jevons (1865):

15.91 Le problème, avec les indices définis par Konüs et Byushgens et par Jevons, c’est que les rapports de prix pi1/pi0 ont des pondérations (αi, ou 1/n) indépendantes de l’importance économique du produit i dans les deux périodes considérées. Autrement dit, ces pondérations de prix ne dépendent ni des quantités de produit i consommées, ni des dépenses consacrées au produit i durant les deux périodes. Ces indices ne sont donc pas réellement utilisables par les offices de statistique à des niveaux d’agrégation plus élevés, lorsqu’on dispose d’informations sur les parts de dépenses.

15.92 Les résultats ci-dessus montrent qu’il n’est pas utile de demander que l’indice des prix P satisfasse exactement au test de transitivité. Il n’en demeure pas moins intéressant de trouver des formules d’indice qui satisfont à ce test avec un certain degré d’approximation, car, en les utilisant, on obtiendra des mesures plus ou moins identiques des variations globales des prix, que l’on choisisse des indices-chaînes ou des indices à base fixe. Fisher (1922, p. 284) trouve que les écarts par rapport à la transitivité sont assez faibles, quand on utilise son ensemble de données et son indice des prix idéal PF défini par l’équation (15.12). Il apparaît que ce degré de correspondance relativement élevé entre un indice à base fixe et un indice-chaîne reste valable pour d’autres formules à pondérations symétriques, telles que l’indice de Walsh PW défini par l’équation (15.19)72. Dans la plupart des applications de la théorie des indices aux séries temporelles où l’année de référence des indices à base fixe est modifiée tous les cinq ans environ, le fait que l’office de statistique utilise un indice à base fixe ou un indice-chaîne n’a guère d’importance, du moment que l’on emploie une formule à pondérations symétriques73. Le choix entre indice à base fixe ou indice-chaîne dépendra bien sûr de la longueur de la série temporelle considérée et du degré de variation des prix et des quantités d’une période à l’autre. Plus les prix et les quantités enregistrent d’amples fluctuations (plutôt que des tendances régulières), moins il y a de correspondance74.

15.93 Il est possible de donner une explication théorique au fait que les formules d’indice à pondérations symétriques satisfont de façon approximative au test de transitivité. L’indice de Törnqvist PT est une autre formule à pondérations symétriques75. Le logarithme naturel de cet indice est défini comme suit:

où les parts de dépenses pour la période t, Sit, sont définies par l’équation (15.7). Alterman, Diewert et Feenstra (1999, p. 61) montrent que si les logarithmes des rapports de prix ln (pit/pit1) suivent une tendance linéaire avec le temps t, et s’il en va de même pour les parts de dépenses Sit, l’indice de Törnqvist PT satisfera exactement au test de transitivité76. Comme de nombreuses séries temporelles économiques sur les prix et les quantités satisfont de façon approximative à ces hypothèses, l’indice de Törnqvist PT satisfera de façon approximative au test de transitivité. Ainsi qu’on peut le voir au chapitre 19, l’indice de Törnqvist donne en général une approximation étroite des indices à pondérations symétriques de Fisher et de Walsh, de sorte que, pour de nombreuses séries temporelles économiques (aux tendances régulières), ces trois indices à pondérations symétriques satisferont au test de transitivité avec un degré d’approximation suffisamment élevé pour que le choix d’un indice de base fixe ou d’un indice-chaîne soit sans importance.

15.94 Walsh (1901, p. 401; 1921a, p. 98; 1921b, p. 540) introduit une variante utile du test de transitivité, sous la forme suivante:

Ce test répond au motif suivant: utiliser la formule d’indice bilatéral P(p0,p1, q0, q1) pour calculer la variation des prix de la période 0 à la période 1, utiliser la même formule évaluée à partir des données correspondant aux périodes 1 et 2, P(p1, p2, q1, q2), pour calculer la variation des prix de la période 1 à la période 2,…, utiliser P(pT1, pt, qT–1, qt) pour calculer la variation des prix de la période T 1 à la période T, introduire une période artificielle T + 1 qui reprend exactement le prix et la quantité de la période initiale 0 et utiliser P(pT, p0, qT, q0) pour calculer la variation des prix de la période T à la période 0. Enfin, faire le produit de tous ces indices. Étant donné que nous voilà revenus à notre point de départ, ce produit devrait dans l’idéal être égal à un. Diewert (1993a, p. 40) qualifie ce test de test d’identité multipériodes77. On notera que, si T = 2 (de sorte que le nombre total de périodes est égal à trois), le test de Walsh se réduit au test de réversibilité temporelle de Fisher (1921, p. 534; 1922, p. 64)78.

15.95 Walsh (1901, p.423–433) montre comment ce test de transitivité pourrait être utilisé pour estimer dans quelle mesure une formule d’indice bilatéral est «bonne». Pour ce faire, il invente des données artificielles pour les prix et les quantités de cinq périodes, et en ajoute une sixième qui reprend les données de la première période. Walsh évalue ensuite le membre de droite de l’équation (15.82) pour diverses formules, P(p0, p1, q0, q1), et détermine à quel point les résultats obtenus diffèrent de l’unité. Ses «meilleures» formules donnent des produits proches de l’unité79.

15.96 Le même cadre est souvent utilisé pour évaluer l’efficacité des indices-chaînes par rapport à leurs contreparties directes. Si le membre de droite de l’équation (15.82) se révèle différent de l’unité, les indices-chaînes accusent une «dérive» spécifique. Si une formule est affectée d’une telle dérive, il est parfois recommandé d’utiliser des indices à base fixe plutôt que des indices-chaînes. Cependant, si cet avis était suivi, il aboutirait toujours à l’adoption d’indices à base fixe, pour autant que la formule d’indice bilatéral satisfasse au test d’identité, P(p0, p0, q0, q0) = 1. Il n’est pas recommandé, par conséquent, d’utiliser le test de transitivité de Walsh pour décider s’il y a lieu de calculer un indice à base fixe ou un indice-chaîne. Il est juste d’utiliser le test de transitivité de Walsh, ainsi qu’il l’a luimême utilisé initialement, comme une méthode approximative permettant de juger dans quelle mesure une formule d’indice est «bonne». Pour décider s’il vaut mieux recourir au chaînage ou utiliser un indice à base fixe, il faut voir à quel point les observations comparées sont similaires et choisir la méthode qui assurera le meilleur raccordement des observations les plus similaires.

15.97 Nous avons introduit dans ce chapitre un certain nombre de propriétés qu’une formule d’indice pourrait posséder, ou d’axiomes ou tests auxquels elle pourrait satisfaire. L’approche de la théorie des indices par les tests est étudiée de façon plus systématique au chapitre suivant.

Appendice 15.1 Relation entre les indices de Paasche et de Laspeyres

1. Reprenons les notations utilisées aux paragraphes 15.11 à 15.17. Définissons le ième prix relatif ou rapport de prix, ri, et le ième rapport de quantité, ti, comme suit:

En utilisant la formule (15.8) de l’indice de prix de Laspeyres PL et les définitions (A15.1.1), nous obtenons:

c’est-à-dire que nous définissons le rapport de prix «moyen» r* comme la moyenne des rapports de prix, ri, pondérée par les parts de dépenses de la période de référence.

2. En utilisant la formule (15.6) pour l’indice de prix de Paasche PP, nous obtenons:

en utilisant (A15.1.2) ainsi que Σi=1nsi0=1, et définissant le rapport de quantité «moyen» t* comme suit

où la dernière égalité suit, en utilisant l’équation (15.11), la définition de l’indice de quantités de Laspeyres QL.

3. En prenant la différence entre PP et PL, et en utilisant les équations (A15.1.2)-(A15.1.4), on obtient:

Soit maintenant r et t, deux variables aléatoires discrètes prenant respectivement les n valeurs ri et ti. Soit aussi si0 la probabilité conjointe que r = ri et t = ti pour

i= 1,…,n et posons que cette probabilité conjointe est égale à 0 si r = r, et t = tj lorsque ij. On peut vérifier que la somme Σi=1n(rir*)(tit*)Si0 du membre de droite de l’équation (A15.1.5) est la covariance entre les rapports de prix, ri, et les rapports de quantités correspondants, ti. Cette covariance peut être convertie en un coefficient de corrélation80. Si elle est négative, ce qui est d’ordinaire le cas en ce qui concerne les consommateurs, PP sera inférieur à PL.

Appendice 15.2 Relation entre les indices de Lowe et de Laspeyres

1. Reprenons les notations utilisées aux paragraphes 15.33 à 15.48. Définissons le ième rapport de prix liant le prix d’un produit i du mois t au mois 0, ri, et le ième rapport de quantité ti liant la quantité d’un produit i dans l’année de référence b au mois 0, ti, comme suit:

De même que dans l’appendice A15.1, l’indice de prix de Laspeyres PL(p0, pt, q0) peut être défini comme r*, moyenne pondérée par les parts de dépenses au mois 0 des différents rapports de prix ri définis par l’équation (A15.2.1), si ce n’est que le prix pour le mois pit, remplace maintenant le prix pour la période 1, pi1, dans la définition du ième rapport de prix ri:

2. Le rapport de quantité «moyen» t* liant les quantités de l’année de référence b à celles du mois 0 est défini comme la moyenne, pondérée par les parts de dépenses du mois 0, des différents rapports de quantités ti définis par l’équation (A15.2.1):

QL = QL(q0, qb, p0) est l’indice de quantités de Laspeyres liant les quantités du mois 0, q0, à celles de l’année b, qb, en utilisant comme pondérations les prix du mois 0, p0.

3. Selon la définition (15.26), l’indice de Lowe comparant les prix du mois t à ceux du mois 0, en utilisant les pondérations de quantités de l’année de référence b, est égal à:

étant donne qu’fen utilisant (A15.2.2), r* est egal a l’findice de prix de Laspeyres, PL(p0, pt, q0), et qu’fen utilisant (A15.2.3), t* est egal a l’findice de quantites de Laspeyres, QL(q0, qb, p0). L’fequation (A15.2.4) nous indique par consequent que l’findice de prix de Lowe utilisant les quantites de l’année b comme ponderations, PLo(p0, pt, qb), est egal a l’findice de Laspeyres ordinaire utilisant les quantites du mois 0 comme ponderations, PL(p0, pt, qb), plus un terme de covariance Σi=1n(rir*)(tit*)Si0 entre les rapports de prix ri=pit/pi0 et les rapports de quantites ti=qib/qi0, divise par l’findice de quantites de Laspeyres QL(q0, qb, p0) entre le mois zero 0 et l’fannee de reference b.

Appendice 15.3 Relation entre l’indice de Young et son indice réciproque

1. Reprenons l’indice de Young direct, PY(p0, pt, sb), défini par l’équation (15.48), et l’indice réciproque, P*Y (p0, pt, sb), défini par l’équation n (15.52). Définissons le ième rapport de prix entre les mois 0 et t comme suit,

et la moyenne pondérée (utilisant les pondérations de l’année de référence Sib des ri comme suit,

ce qui donne un résultat égal à l’indice de Young direct, PY(p0, pt, sb). Définissons l’écart ei des ri par rapport à leur moyenne pondérée r* à l’aide des équations suivantes:

Si l’on remplace ei dans l’équation (A15.3.2) par sa définition dans l’équation (A15.3.3), on obtient l’équation suivante:

La moyenne pondérée e* des écarts ei est donc égale à 0.

2. L’indice de Young direct, PY(p0,pt, sb) et l’indice réciproque, PY*(p0, pt, sb), peuvent être écrits sous forme de fonctions de r*, des pondérations sib et des écarts des rapports de prix ei, de la manière suivante:

3. Considérons maintenant PY*(p0,pt, sb) comme une fonction du vecteur des écarts, e = [e1,…,en], disons PY*(e). L’approximation de second ordre par une série de Taylor de PY*(e) autour du point e = 0n est donnée par l’expression suivante81:

en tilizando (A15.3.5)

en tilizando (A15.3.5)

en tilizando (A15.3.6)

où la variance pondérée de l’échantillon du vecteur e des écarts de prix est définie par

4. En réarrangeant l’équation (A15.3.8), on obtient la relation approximative suivante entre l’indice de Young direct PY (p0, pt, sb) et l’indice réciproque, PY*(p0,pt, sb), avec le degré de précision d’une approximation de second ordre par une série de Taylor autour du point où le vecteur des prix du mois t est proportionnel au vecteur des prix du mois 0:

Avec le degré de précision d’une approximation de second ordre, l’indice de Young direct sera donc supérieur à l’indice réciproque d’un terme égal à l’indice de Young direct multiplié par la variance pondérée des écarts des rapports de prix par rapport à leur moyenne pondérée. Par conséquent, plus la dispersion des rapports de prix sera grande, plus l’indice de Young direct dépassera l’indice réciproque.

Appendice 15.4 Relation entre la méthode de Divisia et l’approche économique

1. L’approche de la théorie des indices adoptée par Divisia repose sur la théorie de la différenciation. Elle ne semble donc pas avoir de lien avec la théorie économique. Cependant, Ville (1946) et un certain nombre d’autres économistes après lui82 ont établi que les indices de prix et de quantités de Divisia ont en fait un lien avec l’approche économique de la théorie des indices. C’est ce lien qui est présenté dans cet appendice.

2. Rappelons d’abord les grandes lignes de l’approche économique de la détermination des niveaux des prix et des quantités. L’approche économique particulière utilisée ici est celle de Shephard (1953; 1970), Samuelson (1953) et Samuelson et Swamy (1974).

3. On suppose que «le» consommateur a des préférences bien définies au sujet de différentes combinaisons de n produits de consommation ou produits élémentaires. Chacune de ces combinaisons peut être représentée par un vecteur positif q = [q1,…,qn]. Nous posons en hypothèse que les préférences des consommateurs pour les divers vecteurs de consommation possibles q peuvent être représentées par une fonction d’utilité f continue, non décroissante et concave. Nous faisons aussi l’hypothèse que le consommateur réduit au minimum les coûts supportés pour atteindre le niveau d’utilité de la période t, U1 = F(qt), durant les périodes t = 0,1,…,T. On suppose par conséquent que le vecteur de consommation qt observé pour la période t résout le problème suivant de minimisation du coût pour la période t:

Le vecteur des prix pour la période t pour les n produits considérés auquel le consommateur est confronté est pt. Notons que la solution du problème de minimisation du coût ou des dépenses pour la période t définit la fonction de coût du consommateur, C(ut, pt).

4. Une condition de régularité supplémentaire est imposée à la fonction d’utilité du consommateur f. On suppose que f est (positivement) homogène linéaire pour des vecteurs des quantités strictement positifs. Dans cette hypothèse, la fonction des dépenses ou de coût du consommateur, C(u,p), se décompose en uc(p) où c(p) est la fonction de coût unitaire du consommateur83. On obtient alors l’équation suivante

Les dépenses totales consacrées aux n produits de l’agrégat durant la période t, Σi=1npitqit, se décomposent en un produit de deux termes, c(pt) et f(qt). Le coût unitaire pour la période c(pt), peut être identifié comme le niveau des prix Pt dans la période t, et le niveau d’utilitéf(qt) dans la période t peut être identifié comme le niveau des quantités dans la période t, Qt.

5. Le niveau économique des prix pour la période t, Pt = c(pt), défini au paragraphe précédent est lié maintenant au niveau des prix de Divisia pour la période t, P(t), défini implicitement par l’équation différentielle (15.67). Comme aux paragraphes 15.65 à 15.71, supposons que les prix sont des fonctions continues et dérivables du temps, disons pi(t), pour i = 1,…,n. La fonction de coût unitaire peut donc être considérée elle aussi comme une fonction du temps t; autrement dit, définissons la fonction de coût unitaire comme une fonction de t de la façon suivante

6. En supposant que les dérivées partielles d’ordre un de la fonction de coût unitaire c(p) existent, on calcule la dérivée logarithmique de c*(t) comme suit:

ci[p1(t), p2(t),…,pn(t)] = ∂c[p1(t), p2(t),…,pn(t)]/∂pi est la dérivée partielle de la fonction de coût unitaire par rapport au ième prix, pi et pi(t)=dpi(t)/dt est la dérivée de la ième fonction des prix par rapport au temps, pi(t). En utilisant le lemme de Shephard (1953, p. 11), la demande du produit i minimisant le coût pour le consommateur à la période t est:

où le niveau d’utilité à la période t est u(t) = f[q1(t), q2(t),…,qn(t)]. La contrepartie temporelle continue des équations (A15.4.2) est que les dépenses totales à la période t sont égales au coût total à la période t, lequel est égal au niveau d’utilité, u(t), multiplié par le coût unitaire à la période t, c*(t):

7. La dérivée logarithmique du niveau des prix de Divisia P(t) peut s’écrire de la façon suivante, en reprenant l’équation (15.67):

en utilisant (A15.4.4)

Par conséquent, dans le cadre des hypothèses susmentionnées de minimisation des coûts en temps continu, le niveau des prix de Divisia, P(t), est essentiellement égal à la fonction de coût unitaire évaluée aux prix de la période t, c*(t) = c[p1(t),

8. Si l’on pose que le niveau des prix de Divisia P(t) est égal à la fonction de coût unitaire c*(t) = c[p1(t), p2(t), pn(t)], il découle de l’équation (A15.4.2) que le niveau des quantités de Divisia Q(t) défini par l’équation (15.68) sera égal à la fonction d’utilité du consommateur considérée comme une fonction du temps, f*(t) = f[q1(t),…,qn(t)]. En conséquence, dans l’hypothèse où le consommateur minimise continuellement le coût à supporter pour atteindre un niveau d’utilité donné auquel la fonction d’utilité ou de préférence est linéaire homogène, il est démontré que les niveaux des prix et des quantités de Divisia, P(t) et Q(t), définis implicitement par les équations différentielles (15.67) et (15.68), sont essentiellement égaux à la fonction de coût unitaire c*(t) et à la fonction d’utilité f*(t), du consommateur, respectivement84. Ce sont là des égalités plutôt remarquables, car en principe, étant donné les fonctions temporelles pi (t) et qi(t), les équations différentielles qui définissent les indices de prix et de quantités de Divisia peuvent être résolues numériquement et, de ce fait, P(t) et Q(t) sont en principe observables (à certaines constantes de normalisation près).

9. Pour de plus amples informations sur l’approche de la théorie des indices par Divisia, voir Vogt (1977; 1978) and Balk (2000a). On trouvera une approche alternative fondée sur les intégrales linéaires dans Producer Price Index Manual (IMF et al., 2004), à paraître.

Bien que les indices de ce type n’apparaissent pas au chapitre 19, où la plupart des formules d’indice présentées aux chapitres 15 à 18 sont illustrées à l’aide d’un ensemble de données artificielles, les indices dans lesquels la période de référence des pondérations diffère de la période de référence des prix sont illustrés à l’aide d’exemples numériques au chapitre 22, qui examine le problème des produits saisonniers.

Elle peut être utilisée, en particulier, pour justifier le chaînage d’indices (analysé aux paragraphes 15.86 à15.97).

Ralph Turvey observe que certaines valeurs peuvent être difficiles à scinder clairement en composantes de prix et de quantité. C’est le cas, par exemple, des commissions bancaires et des dépenses liées aux jeux de hasard ou au paiement des cotisations d’assurance vie.

Notons que l’on suppose qu’il n’y a ni apparition de nouveaux produits élémentaires ni disparition de produits existants dans les agrégats en valeur. Les approches du «problème des nouveaux produits» et de la prise en compte des changements de qualité sont examinées aux chapitres 7, 8 et 21.

Fisher (1911, p. 418) a été le premier à suggérer que les indices des prix et des quantités devraient être déterminés conjointement afin de satisfaire l’équation (15.3), que Frisch (1930, p. 399) a appelée test de factorité.

Lowe (1823, Appendice, p. 95) propose que le panier de produits q soit mis à jour tous les cinq ans. Les indices de Lowe sont analysés plus en détail aux paragraphes 15.45 à 15.85.

L’indice a été en fait proposé et justifié par Drobisch (1871a, p. 147) peu de temps avant Laspeyres (1871, p. 305), lequel a explicitement reconnu que Drobisch lui avait montré la voie. Cependant, la contribution de Drobisch a été pour l’essentiel oubliée par la plupart des analystes qui ont suivi, car il a soutenu sans relâche que le rapport de deux valeurs unitaires était la «meilleure» formule d’indice. Or, si cette formule présente des propriétés excellentes lorsque les n produits comparés ont tous la même unité de mesure, elle est inutile lorsque le panier de l’indice comprend des biens et des services, par exemple.

Drobisch (1871b, p. 424) semble aussi avoir été le premier à définir explicitement et à justifier la formule d’indice de prix de Paasche, mais il a rejeté cette option au profit de sa formule préférée, le rapport des valeurs unitaires, de sorte qu’il n’a reçu aucun crédit, là non plus, pour avoir suggéré le premier la formule de Paasche.

On notera que PL(p0, p1, q0, q1) ne dépend pas effectivement de q1 et que Pp(p0,p1,q0,q1) ne dépend pas effectivement de q0. Il n’y a aucun inconvénient à inclure ces vecteurs, toutefois, et la notation indique au lecteur qu’il est dans le cadre de la théorie des indices bilatéraux, c’est-àdire que l’on compare les prix et les quantités pour un agrégat en valeur se rapportant à deux périodes.

Cette méthode de réécriture de l’indice de Laspeyres (ou de tout autre indice de panier-type) sous forme de moyenne arithmétique des prix pondérée par les parts de dépenses est attribuable à Fisher (1897, p. 517) (1911, p. 397) (1922, p. 51) et à Walsh (1901, p. 506; 1921a, p. 92).

Cette méthode de réécriture de l’indice de Paasche (ou de tout autre indice de panier-type) sous forme de moyenne harmonique des prix pondérée par les parts de dépenses est attribuable à Walsh (1901, p. 511; 1921a, p. 93) et à Fisher (1911, p. 397–398).

On notera que le calcul présenté dans la formule (15.9) montre comment les moyennes harmoniques s’insèrent très naturellement dans la théorie des indices.

En principe, au lieu de calculer la moyenne des indices de Paasche et de Laspeyres, l’office de statistique pourrait envisager de fournir les deux (avec un certain délai pour l’indice de Paasche). Cette suggestion conduirait à une matrice des comparaisons de prix entre chaque couple de périodes plutôt qu’à une série temporelle de comparaisons. Walsh (1901, p. 425) signale cette possibilité: «En fait, si nous décidions d’utiliser ces comparaisons directes, nous devrions essayer toutes celles qui sont possibles».

Peter Hill (1993, p. 383) résume cette inégalité de la façon suivante:

On peut montrer que la relation (13) [à savoir, le fait que PL est supérieur à PP] reste valable tant que les rapports de prix et de quantités (pondérés par les valeurs) sont corrélés négativement. Il faut s’attendre à cette corrélation négative dans le cas des consommateurs qui n’ont pas d’influence sur les prix, et qui réagissent donc aux changements des prix relatifs en remplaçant les biens et services devenus relativement plus chers par ceux qui sont devenus relativement moins chers. Dans la grande majorité des situations couvertes par les indices, les rapports de prix et de quantités font apparaître cette corrélation négative, de sorte que les indices de Laspeyres tendent systématiquement à enregistrer des hausses plus fortes que les indices de Paasche, l’écart entre les deux se creusant avec le temps.

Il existe une autre façon de comprendre pourquoi PP sera souvent inférieur à PL. Si les parts de dépenses si0 de la période 0 sont exactement égales aux parts de dépenses correspondantes si1 de la période 1, l’inégalité de Schlömilch (1858) (voir Hardy, Littlewood, and Pólya (1934, p. 26)) permet de démontrer qu’une moyenne harmonique pondérée de n nombres est inférieure ou égale à la moyenne arithmétique pondérée correspondante, et que l’inégalité est stricte si ces n nombres ne sont pas tous égaux. Si les parts de dépenses sont à peu près constantes au cours des diverses périodes, il s’ensuit que PP sera en général inférieur à PL sous ces conditions (voir paragraphes 15.70 à 15.84).

Pour un examen des propriétés des moyennes symétriques, voir Diewert (1993c). Formellement, une moyenne m(a,b) de deux nombres a et b est symétrique si m(a,b) = m(b,a). En d’autres termes, les nombres a et b sont traités de la même manière dans la moyenne. Exemple de moyenne non symétrique de a et b: (1/4)a + (3/4)b. D’une manière générale, Walsh (1901, p. 105) se prononce pour un traitement symétrique si l’on entend donner la même importance aux deux périodes (ou pays) pris en considération.

Walsh (1901, p. 99) suggère aussi l’indice fondé sur une moyenne arithmétique PD (voir Diewert (1993a, p. 36) pour d’autres références aux débuts de la théorie des indices).

Bowley (1899, p. 641) a été semble-t-il le premier à suggérer l’utilisation de l’indice fondé sur une moyenne géométrique PF. Walsh (1901, p. 428–429) propose aussi cet indice, tout en commentant ainsi les différences très sensibles entre les indices de Laspeyres et de Paasche dans l’un de ses exemples numériques: «Pris séparément, les chiffres des colonnes (2) [Laspeyres] et (3) [Paasche] sont extravagants et absurdes. Mais il existe un certain ordre dans cette extravagance, car le fait que leur moyenne est proche des résultats les plus crédibles montre qu’ils balisent le chemin à suivre, le premier variant d’un côté de celui-ci, le second de l’autre».

Diewert (1992a, p. 218) a été l’un des premiers à faire référence à ce test. Si nous voulons que l’indice des prix ait la même propriété qu’un rapport de prix unique, il est important qu’il satisfasse au test de réversibilité temporelle. Cependant, d’autres points de vue sont possibles. Nous pouvons par exemple souhaiter que notre indice des prix soit utilisé pour indexer les salaires, auquel cas il n’est pas aussi important qu’il satisfasse au test de réversibilité temporelle.

Voir Diewert (1997, p. 138).

Une moyenne de deux nombres a et b, m(a,b), est homogène si, lorsque les deux nombres a et b sont multipliés par un nombre positif l, leur moyenne est aussi multipliée par l, c’est-à-dire si m possède la propriété suivante: m(λa, λb) = λm(a,b).

Fisher (1911, p. 417–418; 1922) envisage également les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique des indices de Paasche et de Laspeyres.

Fisher (1922, p. 72) indique que P et Q satisfont au test de factorité complet si Q(p0,p1,q0,q1) = P(q0,q1,p0,p1) et que P et Q satisfont aussi au test de factorité (15.3).

Voir section 7 dans Diewert (2001).

Supposons toutefois que, pour chaque produit, Q’ = Q, alors, la fraction Σ(P’Q) / Σ(PQ), c’est-à-dire le rapport de la valeur globale pour la seconde période unitaire à la valeur globale pour la première période unitaire, n’est plus simplement un rapport de totaux, il montre aussi de façon non équivoque l’effet de la variation de prix. C’est donc un indice de prix univoque pour un complexe de produits A, B, C, etc. quantitativement inchangé.

Il est évident que, si les quantités étaient différentes en ces deux occasions et si les prix étaient restés inchangés, la formule précédente deviendrait Σ(PQ’) / Σ(PQ). Il s’agirait toujours du rapport de la valeur globale pour la seconde période unitaire à la valeur globale pour la première période unitaire, mais ce ne serait pas tout. La formule donnerait une présentation générale du rapport des quantités en ces deux occasions. Il s’agit donc d’un indice de quantités univoque pour le complexe de produits, inchangé pour ce qui est des prix et ne différant qu’en ce qui concerne les quantités.

Notons que Fisher (1922, p. 53) a utilisé l’expression «pondéré par une valeur hybride», tandis que Walsh (1932, p. 657) parle de «pondérations hybrides».

On notera que, dans ce cas, la ième part définie par l’équation (15.16) est la part hybride si=pi0qi1/Σi=1npi0qi1, qui utilise les prix de la période 0 et les quantités de la période 1.

Notons que nous avons choisi que la fonction de moyenne m(qi0,qi1) soit la même pour chaque produit élémentaire i. Nous supposons que m(a,b) présente deux propriétés: m(a,b) est une fonction positive et continue, définie pour tous les nombres positifs a et b, et m(a,a) = a pour tous les a > 0.

Pour de plus amples informations sur les moyennes symétriques, voir Diewert (1993c, p. 361).

Walsh (1921a, p. 103) estime que PW est la meilleure formule d’indice: «Nous avons des raisons de croire que la formule 6 est meilleure que la formule 7. La formule 9 est peut-être la meilleure des autres, mais, entre elle et les formules 6 et 8, il est difficile de se prononcer avec assurance». Sa formule 6 est PW défini par l’équation (15.19), et sa formule 9 est l’indice idéal de Fisher défini par l’équation (15.12). L’indice de quantités de Walsh, QW(p0,p1,q0,q1) est défini par PW(q0,q1,p0,p1); ce qui veut dire que les rôles des prix et des quantités dans la définition (15.19) sont intervertis. Si l’indice de quantités de Walsh est utilisé pour déflater le rapport de valeurs, on obtient un indice des prix implicite qui est la formule 8 de Walsh.

Toutefois, cela ne devrait pas poser un grave problème dans le cadre des séries temporelles, dans lesquelles les vecteurs des quantités varient peu d’une période à la suivante.

Selon la terminologie utilisée par Diewert (1992a, p. 216); Vogt (1980) a été le premier à proposer ce test.

Voir Diewert (2001), section 7.

Diewert (1978, p.887–889), montre que ces deux indices donnent, l’un par rapport à l’autre, une approximation du second ordre autour d’un point d’égalité des prix et d’égalité des quantités. Pour les données d’une série temporelle normale où les prix et quantités ne changent guère de la période de référence à la période en cours, les indices seront par conséquent très proches l’un de l’autre.

Voir aussi Hill (1988).

Le mois 0 est appelé période de référence des prix et l’année b est appelée période de référence des pondérations.

Triplett (1981, p. 12) définit l’indice de Lowe, qu’il appelle indice de Laspeyres, et qualifie d’indice pur de Laspeyres l’indice pour lequel la période de référence des pondérations est égale à la période de référence des prix. Balk (1980c, p. 69) estime cependant que, même si l’indice de Lowe est du type des indices à base fixe, ce n’est pas un indice de prix de Laspeyres. Triplett note aussi la représentation des parts hybrides pour l’indice de Lowe défini par les équations (15.15) et (15.16). Il observe que le rapport de deux indices de Lowe utilisant les mêmes pondérations en quantités est aussi un indice de Lowe. Baldwin (1990, p. 255) qualifie l’indice de Lowe d’indice de panier-type annuel.

En fait, l’utilisation de l’indice de Lowe PL0(p0,pt,qb) pour les produits saisonniers correspond à la formule d’indice de type A de Bean et Stine (1924, p. 31). Ces derniers font trois suggestions supplémentaires au sujet de l’utilisation des indices de prix pour les produits saisonniers. Leur contribution est analysée au chapitre 22.

Ces prix annuels de produits sont donnés essentiellement des prix unitaires. En cas de forte inflation, les prix annuels définis par l’équation (15.24) risquent de ne plus être «raisonnables» ou représentatifs des prix durant l’ensemble de l’année de référence, car les dépenses des derniers mois de l’année de forte inflation seront quelque peu gonflées, de façon artificielle, par la hausse générale des prix. Dans ces conditions, les prix annuels d’un produit et les parts de dépenses annuelles qui lui sont consacrées doivent être interprétés avec prudence. Pour plus de détails sur le traitement des situations qui se créent dans les années de forte inflation, voir Hill (1996).

Pour que cette relation se vérifie, il faut aussi poser en hypothèse que les ménages répondent par des effets de substitution normaux aux tendances à la hausse à long terme qu’affichent ces prix, c’est-à-dire en diminuant (relativement) leur consommation en cas de hausse (relative) du prix d’un produit élémentaire, et en l’augmentant relativement en cas de baisse relative de ce prix.

Walsh (1901, p. 281–282) était tout à fait conscient de ces effets de substitution, comme le prouve l’observation suivante, où il rappelle le problème fondamental posé par les indices de panier-type qui utilisent les pondérations en quantités d’une seule période: «L’argument avancé par les tenants de la moyenne arithmétique repose sur l’hypothèse que nous achetons les mêmes quantités de chaque classe au cours des deux périodes, malgré la variation de leurs prix, ce que nous faisons rarement, voire jamais. Pour simplifier, on peut dire qu’en règle générale nous dépensons—en tant que communauté—plus pour des articles dont les prix ont augmenté, dont nous acquérons un moins grand nombre, et moins pour les articles dont les prix ont baissé, dont nous acquérons un plus grand nombre».

Le lecteur peut développer cette argumentation si le prix du ième produit affiche une baisse relative à long terme. Pour obtenir une covariance négative, il faut qu’il y ait certaines différences dans les tendances des prix à long terme; cela veut dire que, si tous les prix augmentent (ou diminuent) au même rythme, il y aura proportionnalité des prix et la covariance sera égale à zéro.

Cependant, QL = u* peut aussi être d’amplitude croissante, de sorte que l’effet net sur la divergence entre PL et PP est ambiguë.

Le concept d’indice d’année intermédiaire remonte à Hill (1998, p. 46):

Lorsque l’inflation doit être mesurée sur une séquence d’années spécifiée, une décennie par exemple, une solution pragmatique aux problèmes susmentionnés consiste à prendre l’année du milieu comme année de référence. Cela peut se justifier en faisant valoir que le panier de biens et services acheté au milieu de la décennie est sans doute beaucoup plus représentatif du schéma de consommation sur l’ensemble de celle-ci que les paniers achetés durant la première ou la dernière année. De plus, le fait de choisir un panier plus représentatif aura tendance aussi à réduire, voire à supprimer, tout biais du taux d’inflation sur l’ensemble de la décennie, comparé à la hausse de l’indice du coût de la vie.

Outre le concept de l’indice d’année intermédiaire, Hill introduit donc l’expression biais de représentativité. Baldwin (1990, p. 255–256) parle aussi de représentativité, même s’il n’emploie pas exactement le même terme que Hill («representativeness» au lieu de «representativity»): «Ici, la représentativité [d’une formule d’indice] suppose que les pondérations utilisées dans toute comparaison des niveaux de prix soient liées au volume des achats dans les périodes de comparaison».

Cependant, l’idée de base remonte à Walsh (1901, p.104; 1921a, p. 90). Baldwin (1990, p. 255) observe aussi que ce concept de représentativité est le même que celui proposé par Drechsler sous le néologisme caracteristicity (1973, p. 19). Pour de plus amples informations sur les indices d’année intermédiaire, voir Schultz (1999) et Okamoto (2001). On notera que ce concept pourrait être considéré comme un concurrent direct de l’indice de panier-type pluriannuel de Walsh (1901, p. 431), dans lequel le vecteur des quantités choisi est une moyenne arithmétique ou géométrique des vecteurs des quantités sur l’ensemble des périodes considérées.

Certains services peuvent cependant être sous-traités à l’échelle internationale; c’est le cas, par exemple, des centres d’appels téléphoniques, de la programmation informatique ou de l’entretien des appareils des compagnies aériennes.

Walsh attribue cette formule à Young (1901, p. 536; 1932, p. 657).

L’ouvrage publié par Fisher en 1922 est célèbre pour son approche de la théorie des indices par la décomposition d’un rapport de valeurs. Mais, dans son chapitre introductif, l’auteur adopte l’optique de la moyenne pondérée par les parts de dépenses: «Un indice des prix montre alors la variation moyenne en pourcentage des prix d’une période à l’autre» (Fisher (1922, p. 3). Fisher note ensuite l’importance des pondérations économiques: «Le calcul qui précède donne la même importance à tous les produits; par conséquent, la moyenne est dite « simple». Si un produit est plus important qu’un autre, nous pouvons faire comme s’il représentait en fait deux ou trois produits, lui donnant ainsi deux à trois fois plus de «poids» qu’un autre produit» (Fisher (1922, p. 6). Walsh (1901, p. 430–431) considère les deux méthodes: «Nous pouvons 1) établir une certaine moyenne des valeurs nominales totales des classes durant une période de quelques années et, les pondérations étant ainsi déterminées, utiliser la moyenne géométrique des [rapports des] variations des prix, ou 2) faire la moyenne des masses des diverses classes durant la période considérée, et leur appliquer la méthode de Scrope». (Cette méthode est équivalente à l’utilisation de l’indice de Lowe). Walsh (1901, p.88–90) a insisté constamment sur l’importance de la pondération des rapports de prix en fonction de leur poids économique (plutôt que d’utiliser des moyennes symétriques des rapports de prix). Les approches de la théorie des indices par la décomposition d’un rapport de valeurs et par la méthode de la moyenne pondérée par les parts de dépenses sont analysées d’un point de vue axiomatique au chapitre 16.

Si l’on utilise la terminologie de Fisher (1922, p. 118), PY*(p0,pt,sb) = 1/[PY(pt,p0,sb)] est l’indice réciproque de l’indice de Young initial, PY(p0,pt,sb).

Ces inégalités tiennent au fait que la moyenne harmonique de M nombres positifs est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique correspondante; voir Walsh (1901, p. 517) ou Fisher (1922, p.383–384). Cette inégalité est un cas particulier de l’inégalité de Schlömilch (1858); voir Hardy, Littlewood, and Polya (1934, p. 26). Walsh (1901, p.330–332) note explicitement cette inégalité (15.53), et observe que la moyenne géométrique correspondante se situerait entre les moyennes harmonique et arithmétique. Walsh (1901, p. 432) calcule quelques exemples numériques de l’indice de Young et trouve de grosses différences entre celui-ci et ses «meilleurs» indices, même en utilisant des pondérations représentatives des périodes comparées. Rappelons que l’indice de Lowe devient l’indice de Walsh quand on choisit des pondérations en quantités reposant sur une moyenne géométrique et que l’indice de Lowe peut donc se comporter de façon satisfaisante quand on utilise des pondérations représentatives. Ce n’est pas forcément le cas pour l’indice de Young, même quand des pondérations représentatives sont utilisées. Walsh (1901, p. 433) résume ainsi ses essais de calcul numérique avec l’indice de Young: «En fait, la méthode de Young se révèle déficiente sous toutes ses formes».

«Nous en venons maintenant à la troisième utilisation de ces tests, qui consiste à «rectifier» les formules, c’est-à-dire de calculer, pour toute formule donnée qui ne satisfait pas à un test, une autre formule qui y satisfait; … Cela se fait aisément par «croisement», c’est-à-dire en faisant une moyenne des «réciproques». Si une formule donnée ne satisfait pas au test 1 [réversibilité temporelle], l’indice réciproque n’y satisfera pas non plus; mais elles échoueront en fait par des voies opposées, de sorte qu’un croisement de l’une avec l’autre (obtenu en faisant leur moyenne géométrique) nous donnera la moyenne idéale satisfaisant au test» (Fisher (1922, p. 136)).

En fait, l’idée sur laquelle repose la procédure de rectification imaginée par Fisher a été suggérée par Walsh, qui avait discuté avec lui (en 1921) lors d’un débat organisé pour présenter l’ouvrage que Fisher devait publier en 1922: «Nous n’avons qu’à prendre un indice, à trouver sa réciproque de la façon préconisée par le professeur Fisher et à faire la moyenne géométrique des deux» (Walsh (1921b, p. 542)).

Cet indice est la contrepartie pondérée pour l’année de référence de l’indice non pondéré que proposent Carruthers, Sellwood et Ward (1980, p. 25) ou Dalén (1992, p. 140) dans le cadre des formules d’indice élémentaire. Pour un examen de cet indice non pondéré, voir chapitre 20.

Si les définitions sont appliquées (de façon approximative) à l’indice de Young étudié à la section précédente, il apparaît que, pour qu’il y ait associativité de l’indice de prix de Young avec l’indice de prix de Divisia, les parts pour l’année de référence choisies doivent être des parts moyennes s’appliquant à l’ensemble de la période comprise entre les mois 0 et t.

«La formule élémentaire de chaînage obtenue peut être celle de Laspeyres, de Paasche ou d’Edgeworth, ou pratiquement toute autre formule, selon le principe d’approximation que nous choisissons pour les étapes de l’intégration numérique» (Frisch (1936, p. 8)).

Diewert (1980, p. 444) obtient lui aussi les approximations de Paasche et de Laspeyres de l’indice de Divisia, en utilisant un argument d’approximation un peu différent. Il démontre aussi que plusieurs autres formules d’indice temporel discret bien connues pourraient être considérées comme des approximations de l’indice de Divisia en temps continu.

Trivedi (1981) procède à un examen systématique des problèmes soulevés par la recherche de la «meilleure» approximation temporelle discrète des indices de Divisia en faisant appel aux techniques d’analyse numérique. Celles-ci dépendent de l’hypothèse selon laquelle les fonctions de micro-prix en temps continu «réelles», pi(t), peuvent être représentées de façon adéquate par une approximation polynomiale. Cela nous conduit à la conclusion que la «meilleure» approximation temporelle discrète de l’indice de Divisia dépend d’hypothèses difficiles à vérifier.

Cette section repose en grande partie sur les travaux de Hill (1988; 1993, p.385–390).

Les résultats présentés à l’appendice 15.4 apportent une certaine justification théorique à l’utilisation des indices-chaînes en montrant que, dans certaines conditions, l’indice de Divisia sera égal à un indice économique. Par conséquent, toute approximation discrète de l’indice de Divisia se rapprochera d’autant plus de l’indice économique sous-jacent que la période considérée sera plus courte. Sous certaines conditions, donc, les indices-chaînes se rapprocheront des indices économiques.

Le principe du chaînage a été introduit en tant que tel dans les travaux économiques par Lehr (1885, p.45–46) et Marshall (1887, p. 373). Les deux auteurs observent que le système de chaînage aplanirait les difficultés soulevées par l’introduction de nouveaux produits dans l’économie, ce qu’observe aussi Hill (1993, p. 388). C’est Fisher (1911, p. 203) qui a créé l’expression «système de chaînage».

Les ordinateurs, les matériels électroniques de tous types, l’accès à l’Internet et les tarifs des télécommunications sont autant d’exemples de tendance à la baisse accélérée des prix assortie d’une tendance à la hausse des quantités.

Notons que PL(p0,pt, q0,qt) sera égal à PP(p0,pt, q0,qt) soit si les deux vecteurs des quantités q0 et qt sont proportionnels, soit si les deux vecteurs des prix p0 et pt sont proportionnels. Pour obtenir une différence entre les indices de Paasche et de Laspeyres, il faut donc utiliser à la fois des prix et des quantités non proportionnels.

Des fluctuations saisonnières régulières peuvent entraîner un phénomène de «bouncing»—pour reprendre le terme inventé par Szulc (1983, p. 548)—des données mensuelles ou trimestrielles et, si c’est le cas, le chaînage de ces données peut entraîner une forte «dérive» de l’indice; si, par exemple, les prix et les quantités retrouvent après 12 mois le niveau qu’ils avaient un an plus tôt, un indice-chaîne mensuel ne reviendra pas en général à l’unité. Par conséquent, l’utilisation d’indices-chaînes pour les données mensuelles ou trimestrielles affectées d’un «bruit» n’est pas recommandée sans un examen préalable approfondi.

Voir Diewert (1978, p. 895) et Hill (1988; 1993, p.387–388).

Cette observation sera illustrée par des données artificielles au chapitre 19.

S’agissant de savoir s’il faut construire des indices à base fixe ou des indices-chaînes, Walsh tient pour acquis que toutes les formules d’indice bilatéral raisonnables gagneraient en précision pour peu que les deux périodes ou situations comparées soient plus similaires, et est donc favorable à l’utilisation d’indices-chaînes: «La véritable question est de savoir avec laquelle des deux options [indices à base fixe ou indices-chaînes] on a les meilleures chances d’obtenir les comparaisons les plus exactes. Il semble que la probabilité penche davantage en faveur de la seconde option; en effet, les conditions seront sans doute moins diverses entre deux périodes contiguës qu’entre deux périodes éloignées d’une cinquantaine d’années, par exemple» (Walsh (1901, p. 206)).

Walsh (1921a, p.84–85) réaffirme par la suite sa préférence pour les indices-chaînes. Fisher utilise lui aussi l’idée selon laquelle le système chaînage ferait en général des comparaisons bilatérales entre données de prix et de quantités plus similaires, donc des comparaisons plus précises:

Les indices pour 1909 et 1910 (calculés tous deux sur la période 1867–1877) sont comparés l’un à l’autre. Mais la comparaison directe entre 1909 et 1910 donnerait un résultat différent et plus utile. Utiliser une base commune, c’est comme comparer les tailles relatives de deux hommes en mesurant la hauteur de chacun par rapport au sol, au lieu de les mettre à dos à dos et de mesurer directement la différence de niveau entre le sommet de leurs crânes respectifs (Fisher 1911, p. 204)).

Il semble donc souhaitable de comparer chaque année à la suivante, ou, en d’autres termes, de décider que chaque année servira d’année de référence pour la suivante. C’est la procédure recommandée par Marshall, Edgeworth et Flux. Elle résout largement le problème posé par les variations non uniformes des Q, car toutes les inégalités pour les années successives sont relativement faibles (Fisher 1911, p. 423–424).

(Diewert (2002b) adopte une approche axiomatique de la définition des divers indices de dissimilarité absolue et relative.)

Fisher (1922, p.271–276) évoque la possibilité de recourir au chaînage spatial, c’est-à-dire de lier entre eux les pays de structure similaire. La recherche moderne a cependant progressé dans le sillage des travaux initiaux de Robert Hill (1995; 1999a; 1999b; 2001). Hill (1995) utilise l’écart entre les indices de prix de Paasche et de Laspeyres comme indicateur de similarité, et montre que ce critère donne les mêmes résultats qu’un critère fondé sur l’écart entre les indices de quantités de Paasche et de Laspeyres.

On notera que von der Lippe (2001, p.56–58) critique avec vigueur tous les tests d’indice reposant sur la symétrie dans le contexte des séries temporelles, bien qu’il soit prêt à accepter cette symétrie dans le con texte des comparaisons internationales. «Mais il existe de bonnes raisons de ne pas insister sur de tels critères dans le cadre intertemporel S’il n’y a pas symétrie entre 0 et t, à quoi bon intervertir 0 et (von der Lippe (2001, p. 58)).

C’est le nom que Fisher a donné à ce test (1922, p. 413), dont le concept a été créé par Westergaard (1890, p.218–219).

Les autres tests auxquels il est fait référence sont: i) les tests de positivité et de continuité de P (p0,p1,q0,q1) pour tous les vecteurs des prix et des quantités strictement positifs p0,p1,q0,q1; ii) le test d’identité; iii) le test de commensurabilité; iv) le test selon lequel P(p0,p1,q0,q1) est positivement homogène de degré un dans les composantes de p1; et v) le test selon lequel P(p0,p1,q0,q1) est positivement homogène de degré zéro dans les composantes de q1.

Konüs et Byushgens montrent que l’indice défini par l’équation (15.78) est exact quand les préférences peuvent être représentées par une fonction de Cobb-Douglas (1928); voir aussi Pollak (1983, p.119–120). Le concept de formule d’indice exact est expliqué au chapitre 17.

Le résultat de l’équation (15.78) peut être calculé en utilisant les résultats de Eichhorn (1978, p.167–168) et de Vogt and Barta (1997, p. 47). Balk (1995) en donne une preuve simple. Ce résultat vient confirmer l’intuition d’Irving Fisher (1922, p. 274) selon lequel «les seules formules qui se conforment parfaitement au test de sécurité sont les indices à pondérations constantes…». Fisher (1922, p. 275) ajoute cependant: «Mais il est clair que l’idée de pondération constante n’est pas correcte sur le plan théorique. Si nous comparons 1913 à 1914, nous avons besoin d’un ensemble de pondérations; si nous comparons 1913 à 1915, nous avons besoin, théoriquement du moins, d’un autre ensemble de pondérations. … De même, si l’on passe du temps à l’espace, l’indice à utiliser pour comparer les États-Unis à l’Angleterre suppose un autre ensemble de pondérations, et l’indice à utiliser pour comparer les ÉtatsUnis à la France en requiert aussi un autre, du moins en théorie».

Voir, par exemple, Diewert (1978, p. 894). Walsh (1901, pages 424 et 429) trouve que ses trois formules préférées donnent toutes des résultats très proches, comme le fait l’indice idéal de Fisher pour son ensemble de données artificielles.

Plus précisément, la plupart des indices superlatifs (qui reposent sur les pondérations symétriques) satisferont aux tests de transitivité avec un degré d’approximation élevé dans le cadre des séries temporelles. Pour une définition des indices superlatifs, voir le chapitre 17. Il est bon de souligner que les indices à base fixe de Paasche et de Laspeyres risquent sans doute de diverger considérablement sur une période de cinq ans si les ordinateurs (ou tout autre produit dont les prix et les quantités affichent des tendances très différentes de celles des autres produits) sont inclus dans la valeur globale considérée (voir le chapitre 19 pour certains éléments de preuve «empiriques» sur ce sujet).

Voir à nouveau Szulc (1983) et Hill (1988).

Cette formule a été introduite implicitement dans Törnqvist (1936) et définie explicitement dans Törnqvist and Törnqvist (1937).

Ce résultat peut être étendu au cas où les variations mensuelles des prix sont proportionnelles, et où les parts de dépenses affichent des effets saisonniers constants qui s’ajoutent aux tendances linéaires; voir Alterman, Diewert, and Feenstra (1999, p. 65).

Walsh (1921a, p. 98) a parlé de test de circularité, mais, puisque Fisher a utilisé lui aussi cette expression pour décrire son test de transitivité selon la définition donnée par l’équation (15.77), il semble préférable de s’en tenir à la terminologie de Fisher, bien établie dans les travaux des économistes. (Note du réviseur: toutefois la version française gardera la terminologie française et utilisera le mot transitivité).

Walsh (1921b, p.540–541) note que le test de réversibilité temporelle est un cas particulier de son test de transitivité.

Il s’agit, fondamentalement, d’une variante de la méthodologie que Fisher (1922, p. 284) utilise pour vérifier dans quelle mesure les diverses formules correspondent à sa version du test de transitivité.

Pour la première application de cette technique de décomposition du coefficient de corrélation, voir Bortkiewicz (1923, p. 374–375).

Ce type d’approximation de second ordre est attribuable à Dalén (1992; p. 143) pour le cas où r* = 1, et à Diewert (1995a, p. 29) pour le cas d’un r* général.

Voir par exemple Malmquist (1953, p. 227), Wold (1953, p. 134–147), Solow (1957), Jorgenson and Griliches (1967) et Hulten (1973); on se reportera aussi à Balk (2000a) pour une analyse récente des travaux sur les indices de prix et de quantités de Divisia.

Pour de plus amples informations sur les fonctions de coût unitaire, voir Diewert (1993b, p.120–121). Cette question est abordée également au chapitre 17.

De toute évidence, l’échelle des fonctions d’utilité et de coût n’est pas déterminée uniquement par les équations différentielles (15.62) et (15.63).

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